MODELO DETERMINISTICO-ESTOCASTICO DE LUTZ SCHOLZ 1. GENERALIDADES

MODELO DETERMINISTICO-ESTOCASTICO DE LUTZ SCHOLZ 1. GENERALIDADES Este modelo hdrológco, es combnado por que cuenta con una estructura determínstca para el cálculo de los caudales mensuales para el año promedo (Balance Hídrco - Modelo determnístco); y una estructura estocástca para la generacón de seres extenddas de caudal (Proceso markovano - Modelo Estocástco). Fué desarrollado por el experto Lutz Scholz para cuencas de la serra peruana, entre los años 1979-1980, en el marco de Cooperacón Técnca de la Repúblca de Alemana a través del Plan Mers II. Determnado el hecho de la ausenca de regstros de caudal en la serra peruana, el modelo se desarrolló tomando en consderacón parámetros físcos y meteorológcos de las cuencas, que puedan ser obtendos a través de medcones cartográfcas y de campo. Los parámetros más mportantes del modelo son los coefcentes para la determnacón de la Precptacón Efectva, défct de escurrmento, retencón y agotamento de las cuencas. Los procedmentos que se han segudo en la mplementacón del modelo son [1]: 1. Cálculo de los parámetros necesaros para la descrpcón de los fenómenos de escorrentía promedo. 2. Establecmento de un conjunto de modelos parcales de los parámetros para el cálculo de caudales en cuencas sn nformacón hdrométrca. En base a lo anteror se realza el cálculo de los caudales necesaros. 3. Calbracón del modelo y generacón de caudales extenddos por un proceso markovano combnado de precptacón efectva del mes con el caudal del mes anteror. Este modelo fué mplementado con fnes de pronostcar caudales a escala mensual, tenendo una utlzacón ncal en estudos de proyectos de rego y posterormente extendéndose el uso del msmo a estudos hdrológcos con práctcamente cualquer fnaldad (abastecmento de agua, hdroelectrcdad etc). Los resultados de la aplcacón del modelo a las cuencas de la serra peruana, han producdo una correspondenca satsfactora respecto a los valores meddos. 2. ECUACION DEL BALANCE HIDRICO La ecuacón fundamental que descrbe el balance hídrco mensual en mm/mes es la sguente: [Fscher] CM = P - D + G - A (1) CM = Caudal mensual (mm/mes) P = Precptacón mensual sobre la cuenca (mm/mes) D = Défct de escurrmento (mm/mes) G = Gasto de la retencón de la cuenca (mm/mes) A = Abastecmento de la retencón (mm/mes) M. Agurre N. Modelos Matemátcos en Hdrología

Asumendo: 1. Que para períodos largos (en este caso 1 año) el Gasto y Abastecmento de la retencón tenen el msmo valor es decr G = A, y 2. Que para el año promedo una parte de la precptacón retorna a la atmósfera por evaporacón. Reemplazando (P-D) por (C*P), y tomando en cuenta la transformacón de undades (mm/mes a m3/seg) la ecuacón (1) se converte en: Q = c'*c*p*ar (2) Que es la expresón básca del método raconal. Q = Caudal (m3/s) c' = coefcente de conversón del tempo (mes/seg) C = coefcente de escurrmento P = Precptacón total mensual (mm/mes) AR = Area de la cuenca (m2) 3. COEFICIENTE DE ESCURRIMIENTO Se ha consderado el uso de la fórmula propuesta por L. Turc: P D C P (3) C = Coefcente de escurrmento (mm/año) P = Precptacón Total anual (mm/año) D = Défct de escurrmento (mm/año) Para la determnacón de D se utlza la expresón: M. Agurre N. Modelos Matemátcos en Hdrología

1 D P P 0.9 L 2 2 1 2 4 3 T 0.05( T) a L 300 25 4 Sendo: L = Coefcente de Temperatura T = Temperatura meda anual ( C) Dado que no se ha poddo obtener una ecuacón general del coefcente de escorrentía para la toda la serra, se ha desarrollado la fórmula sguente, que es válda para la regón sur: C 3.16 E12 0.571 3.686 P EP r 0.96 (5) D P1.032EP ; r 0.96 (6) 1380 0.872 C = Coefcente de escurrmento D = Défct de escurrmento (mm/año) P = Precptacón total anual (mm/año) EP = Evapotranspracón anual según Hargreaves (mm/año) r = Coefcente de correlacón La evapotranspracón potencal, se ha determnado por la fórmula de Hargreaves: RSM TF 7 EP 0.0075 FA RSM 0. 075 n N RA FA 1 0. 06 AL M. Agurre N. Modelos Matemátcos en Hdrología

RSM = Radacón solar meda TF = Componente de temperatura FA = Coefcente de correccón por elevacón TF = Temperatura meda anual ( F) RA = Radacón extraterrestre (mm H2O / año) (n/n) = Relacón entre nsolacón actual y posble (%) 50 % (estmacón en base a los regstros) AL = Elevacón meda de la cuenca (Km) Para determnar la temperatura anual se toma en cuenta el valor de los regstros de las estacones y el gradente de temperatura de -5.3 C 1/ 1000 m, determnado para la serra. 4. PRECIPITACION EFECTIVA Para el cálculo de la Precptacón Efectva, se supone que los caudales promedo observados en la cuenca pertenecen a un estado de equlbro entre gasto y abastecmento de la retencón. La precptacón efectva se calculó para el coefcente de escurrmento promedo, de tal forma que la relacón entre precptacón efectva y precptacón total resulta gual al coefcente de escorrentía. Para fnes hdrológcos se toma como precptacón efectva la parte de la precptacón total mensual, que corresponde al défct según el método del USBR (precptacón efectva hdrológca es el antítess de la precptacón efectva para los cultvos). A fn de facltar el cálculo de la precptacón efectva se ha determnado el polnomo de qunto grado: PE a 2 3 4 5 0 a1p a2p a3p a4p a5p (8) PE = Precptacón efectva (mm/mes) P = Precptacón total mensual (mm/mes) a = Coefcente del polnomo El cuadro 4.1 muestra los valores límte de la precptacón efectva y el cuadro 4.2 muestra los tres juegos de coefcentes, a, que permten alcanzar por nterpolacón valores de C, comprenddos entre 0.15 y 0.45. M. Agurre N. Modelos Matemátcos en Hdrología

Cuadro 4.1 Límte superor para la Precptacón Efectva: Curva I : Curva II : Curva III: PE = P - 120.6 para P > 177.8 mm/mes PE = P - 86.4 para P > 152.4 mm/mes PE = P - 59.7 para P > 127.0 mm/mes Cuadro 4.2 Coefcentes para el Cálculo de la Precptacón Efectva: Curva I Curva II Curva III a0-0.018-0.021-0.028 a1-0.01850 +0.1358 +0.2756 a2 +0.001105-0.002296-0.004103 a3-1204 E-8 +4349 E-8 +5534 E-8 a4 +144 E-9-89.0 E-9 +124 E-9 a5-285 E-12-879 E-13-142 E-11 De esta forma es posble llegar a la relacón entre la precptacón efectva y precptacón total: Q C P 12 1 PE P (9) C = Coefcente de escurrmento Q = Caudal anual P = Precptacón Total anual 12 1 PE Suma de la 5. RETENCION DE LA CUENCA precptacón efectva mensual M. Agurre N. Modelos Matemátcos en Hdrología

Bajo la suposcón de que exsta un equlbro entre el gasto y el abastecmento de la reserva de la cuenca y además que el caudal total sea gual a la precptacón efectva anual, la contrbucón de la reserva hídrca al caudal se puede calcular según las fórmulas: R CM P (10.1) CM PE G A (10.2) Donde: CM = Caudal mensual (mm/mes) PE = Precptacón Efectva Mensual (mm/mes) R = Retencón de la cuenca (mm/mes) G = Gasto de la retencón (mm/mes) A = Abastecmento de la retencón (mm/mes) R = G para valores mayores que cero (mm/mes) R = A para valores menores que cero (mm/mes) Sumando los valores de G o A respectvamente, se halla la retencón total de la cuenca para el año promedo, que para el caso de las cuencas de la serra varía de 43 a 188 (mm/año). 6. RELACION ENTRE DESCARGAS Y RETENCION Durante la estacón seca, el gasto de la retencón almenta los ríos, consttuyendo el caudal o descarga básca. La reserva o retencón de la cuenca se agota al fnal de la estacón seca; durante esta estacón la descarga se puede calcular en base a la ecuacón: Q Q t 0 e a( t) (11) Donde: Q t = descarga en el tempo t Q o = descarga ncal a = Coefcente de agotamento t = tempo Al prncpo de la estacón lluvosa, el proceso de agotamento de la reserva termna, comenzando a su vez el abastecmento de los almacenes hídrcos. Este proceso está descrto por un défct entre la precptacón efectva y el caudal real. En base a los hdrogramas se ha determnado que el abastecmento es más fuerte al prncpo de la estacon lluvosa contnuando de forma progresva pero menos pronuncada, hasta el fnal de dcha estacón. M. Agurre N. Modelos Matemátcos en Hdrología

7. COEFICIENTE DE AGOTAMIENTO Medante la fórmula (11) se puede calcular el coefcente de agotamento "a", en base a datos hdrométrcos. Este coefcente no es constante durante toda la estacón seca, ya que va dsmnuyendo gradualmente. Con fnes práctcos se puede desprecar la varacon del coefcente "a" durante la estacón seca empleando un valor promedo. El coefcente de agotamento de la cuenca tene una dependenca logarítmca del área de la cuenca. a f Ln AR (12) a 3.1249 E 67 r 0.86 0.1144 19.336 3.369 AR EP T R 1.429 (12. a) El análss de las observacones dsponbles muestran, además certa nfluenca del clma, la geología y la cobertura vegetal. Se ha desarrollado una ecuacón empírca para la serra peruana: En prncpo, es posble determnar el coefcente de agotamento real medante aforos sucesvos en el río durante la estacón seca; sn embargo cuando no sea posble ello, se puede recurrr a las ecuacones desarrolladas para la determnacón del coefcente "a" para cuatro clases de cuencas: - Cuencas con agotamento muy rápdo. Debdo a temperaturas elevadas (>10 C) y retencón que va de reducda (50 mm/año) a medana (80 mm/año): a 0.00252 LnAR 0.034 (12.1) - Cuencas con agotamento rápdo. Retencón entre 50 y 80 mm/año y vegetacón poco desarrollada (puna): a 0.00252 LnAR 0.030 (12.2) - Cuencas con agotamento medano. Retencón medana (80 mm/año) y vegetacón mezclada (pastos, bosques y terrenos cultvados): M. Agurre N. Modelos Matemátcos en Hdrología

a 0.00252 LnAR 0.026 (12.3) - Cuencas con agotamento reducdo. Debdo a la alta retencón (> 100 mm/año) y vegetacón mezclada: a 0.00252 LnAR 0.023 (12.4) a = coefcente de agotamento por día AR = área de la cuenca (km 2 ) EP = evapotranspracón potencal anual (mm/año) T = duracón de la temporada seca (días) R = retencón total de la cuenca (mm/año) 8. ALMACENAMIENTO HIDRICO Tres tpos de almacenes hídrcos naturales que ncden en la retencón de la cuenca son consderados: - Acuíferos - Lagunas y pantanos - Nevados por: La determnacón de la lámna "L" que almacena cada tpo de estos almacenes está dado - Acuíferos: L A 750( I) 315 ( mm/ año) (13.1) Sendo: L A = lámna específca de acuíferos I = pendente de desagüe : I <= 15 % L L 500 ( mm/ año) (13.2) - Lagunas y Pantanos Sendo: L L = Lámna específca de lagunas y pantanos M. Agurre N. Modelos Matemátcos en Hdrología

- Nevados L N 500 ( mm/ año) (13.3) Sendo: L N = lámna específca de nevados Las respectvas extensones o áreas son determnadas de los mapas o aerofotografías. Los almacenamentos de corto plazo no son consderados para este caso, estando los msmos ncludos en las ecuacones de la precptacón efectva. 9. ABASTECIMIENTO DE LA RETENCION El abastecmento durante la estacón lluvosa es unforme para cuencas ubcadas en la msma regón clmátca. En la regón del Cusco el abastecmento comenza en el mes de novembre con 5%, alcanzando hasta enero el valor del 80 % del volumen fnal. Las precptacones altas del mes de febrero completan el 20 % restante, y las precptacones efectvas del mes de marzo escurren drectamente sn contrbur a la retencón. Los coefcentes mensuales expresados en porcentaje del almacenamento total anual se muestran en el cuadro 9.1 Cuadro 9.1 Almacenamento Hídrco durante la época de lluvas (valores en %) Regón Oct Nov Dc Ene Feb Mar Total Cusco 0 5 35 40 20 0 100 Huancavelca 10 0 35 30 20 5 100 Junín 10 0 25 30 30 5 100 Cajamarca 25 5 0 20 25 35 100 La lámna de agua A que entra en la reserva de la cuenca se muestra en forma de défct mensual de la Precptacón Efectva PE. Se calcula medante la ecuacón: R 100 A a (14) Sendo: M. Agurre N. Modelos Matemátcos en Hdrología

A = abastecmento mensual défct de la precptacón efectva (mm/mes) a = coefcente de abastecmento (%) R = retencón de la cuenca (mm/año) 10. DETERMINACIÓN DEL CAUDAL MENSUAL PARA EL AÑO PROMEDIO Está basado en la ecuacón fundamental que descrbe el balance hídrco mensual a partr de los componentes descrtos anterormente: CM PE G A (15) CM = Caudal del mes (mm/mes) PE = Precptacón efectva del mes (mm/mes) G = Gasto de la retencón del mes (mm/mes) = abastecmento del mes (mm/mes) A 11. GENERACIÓN DE CAUDALES MENSUALES PARA PERIODOS EXTENDIDOS A fn de generar una sere sntétca de caudales para períodos extenddos, se ha mplementado un modelo estocástco que consste en una combnacón de un proceso markovano de prmer orden, segun la ecuacón (16) con una varable de mpulso, que en este caso es la precptacón efectva en la ecuacón (17): Q t Q (16) f t1 Q g PE t (17) Con la fnaldad de aumentar el rango de valores generados y obtener una óptma aproxmacón a la realdad, se utlza además una varable aleatora. Z z 2 S 1 r (18) Q t B1 B2 2 Q B3 PE zs 1 (19) t1 t r La ecuacón ntegral para la generacón de caudales mensuales es: M. Agurre N. Modelos Matemátcos en Hdrología

Q t = Caudal del mes t Q t-1 = Caudal del mes anteror PE t = Precptacón efectva del mes B1 = Factor constante o caudal básco. Se calcula los parámetros B1, B2, B3, r y S sobre la base de los resultados del modelo para el año promedo por un cálculo de regresón con Q t como valor dependente y Q t-1 y PE t, como valores ndependentes. Para el cálculo se recomenda el uso de software comercal (hojas electróncas) o de uso específco (programas elaborados tales como el SIH). El proceso de generacón requere de un valor ncal, el cual puede ser obtendo en una de las sguentes formas: - empezar el cálculo en el mes para el cual se dspone de un aforo - tomar como valor ncal el caudal promedo de cualquer mes, - empezar con un caudal cero, calcular un año y tomar el últmo valor como valor Qo sn consderar estos valores en el cálculo de los parámetros estadístcos del período generado. 12. TEST ESTADISTICOS Para determnar la caldad de la concdenca de los caudales generados con los observados, se desarrolla la comparacón de los promedos y desvacones tpo de los valores hstórcos y los generados. Para probar s los promedos salen de la msma poblacón, se utlza el test de Student (Prueba "t"). Esta prueba debe ser desarrollada para cada mes. Se compara el valor de t con el valor límte tp,n que ndca el límte superor que, con una probabldad de error del P%, permte decr que ambos promedos pertenecen a la msma poblacón. La comparacón estadístca de promedos se realza medante el test de Fscher (Prueba "F"). que se compara con el valor límte F p/2 (%), (n1,n2) 13. RESTRICCIONES DEL MODELO El modelo presenta certas restrccones de uso o aplcacón tales como: M. Agurre N. Modelos Matemátcos en Hdrología

Modelos Matemátcos en Hdrología M. Agurre N. - El uso de los modelos parcales, úncamente dentro del rango de calbracón establecdo. - Su uso es úncamente para el cálculo de caudales mensuales promedo. - Los regstros generados en el período de secas presentan una mayor confabldad que los valores generados para la época lluvosa. - La aplcacón del modelo se restrnge a las cuencas en las que se ha calbrado sus parámetros (serra peruana: Cusco, Huancavelca, Junn, Cajamarca) Es mportante tener en cuenta las menconadas restrccones a fn de garantzar una buena performance del modelo. REFERENCIAS [1] Flemng, G. 1979. "Determnstc models n hydrology". FAO Rome [2] Schulze, R.E 1994 "Hydrologcal Models". IHE Delft. [3] Lnsley, R.K. & Franzn J.B. 3ra Impresón "Ingenería de los Recursos Hdraulcos" CECSA [4] Clark, R.T. 1973 "Mathematcals Models n Hydrology". FAO Rome. [5] Refsgaard, J.C. 1996 "Determnstc Hydrology". IHE Delft [6] Agurre N., M. 1992 "Análss y Aplcacón de Modelos Matemátcos para la Generacón de Caudales en Cuencas de la Regón". Cusco. [7] Salas, J. 1976 "Modelos de Smulacón Estocástca". CIDIAT, Mérda. [8] Scholz, Lutz. 1980, Generacón de Caudales Mensuales en la Serra Peruana. Plan Mers II. Cusco 59