CpÌtulo 5 Aplicciones de l Integrl En este cpìtulo veremos plicciones no tn obvis de l integrl. En relidd deberì llmrse ìplicciones de ls sums de Riemnnî, porque lo ms importnte que tiene es el procesodeproximrcossutilizndols,ydecomo(luegodetomrciertolìmite)setrnsformn en integrles. Es importnte que quede clro el concepto: proximremos cntiddes utilizndo sums, que resultn sums de Riemnn de lgun funciûn, ypor ende se trnsformn en un integrl, luego de cierto proceso de lìmite. 5.1. Are de regiones DeÖniciÛn 5.1 Si f :[;b]! R es un funciûn positiv e integrble, entonces el re de l regiûn delimitd por l gr Öc de f yel eje x; con x en [;b] es R b f. Si f :[;b]!r no es necesrimente positiv, l integrr f se obtiene un n mero que es l diferenci entre el re de ls regiones donde f es positiv menos el re de ls regiones donde f es negtiv. Pr obtener el re net se debe integrr jf j. 73
74 Aplicciones de l Integrl DeÖniciÛn 5. Si f :[;b]! R es un funciûn integrble, entonces el re net de l regiûn delimitd por l gr Öc de f; con x en [;b] es R b jfj. Ejemplo 5.3 Pr clculr el re de l regiûn delimitd por l funciûn f(x) =x 3 x x enel intervlo [ 1; ] hcemos 1 x 3 x x dx = Z 1 (x 3 x x)dx + (x 3 x x)dx = 5 1 + 8 3 Si queremos clculr el re entre el gr Öco de dos funciones, bst con restr ls res correspondientes: DeÖniciÛn5.4 Si f;g :[;b]! R sonfunciones integrblescon f(x) g(x), entonces el re net de l regiûn delimitd por ls gr Öc de f y g, con x en [;b],es R b (f g) Ejemplo 5.5 Pr clculr el re delregiûndelimitd porlsfunciones f(x) =x +6 y g(x)=x enel intervlo [ ; 3] hcemos Z 3 (x +6 x )dx = 1 3 x3 + 1 x +6x 3 = 37 1
Aplicciones de l Integrl 75 Notr que no estmos usndo que f y/o g sen positivs, yque estoesirrelevnte: si no son positivs, summos un constnte c ( mbs) de form tl que queden positivs (esto es como correr el eje x pr bjo hst que los dos gr Öcos queden positivos). L regiûn no cmbi, y su re es (f + c) (g + c) = (f g) Ejemplo 5.6 Pr clculr el re de l regiûn delimitd por ls funciones f(x) =x +1 y g(x) =xenel intervlo [ 1; ] hcemos : 1 (x +1 x)dx = 1 3 x3 1 x + x 1 = 85 6
76 Aplicciones de l Integrl Cundonosbemos que f funciûn que cmbib de signo: g; l situciûn es similr l plnted cundo tenìmos un DeÖniciÛn5.7 Si f;g :[;b]!r sonfunciones integrbles, entonces el re net de l regiûn delimitd por ls gr Öc de f y g, con x en [;b],es R b jf gj. Ejemplo 5.8 Pr clculr el re de l regiûn delimitd por ls funciones f(x) =cos(x) y g(x) =sin(x) en el intervlo [ ] hcemos jcos(x) sin(x)j dx = Z 4 (cos(x) sin(x)) dx+ 4 (sin(x) cos(x)) dx = p 1. 5.. C lculo de Vol menes Vmos clculr el volumen de lgunos sûlidos prticulres. Como punto de prtid utilizremos (unicmente) que el volumen de un prlelepipedo rectngulr de ldos l y w, y ltur h es lwh.
Aplicciones de l Integrl 77 Un sûlido cilìndrico de bse yltur h es quel pr el cul existe un eje de form tl que si efectumos cortes perpendiculres dicho eje (es decir, hcemos l intersecciûn del sûlido con un plno), l regiûn pln resultnte es exctmente ; independientemente de l ltur l que se hg el corte. Vmos clculr el volumen de un sûlido cilìndrico, cuy bse es l regiûn determindporl gr Öc de unfunciûnpositiv f; tlcomosugierelsiguiente Ögur: Tommos = x < x 1 < < x n = b un prticiûn P de [;b] y t i [x i 1 ;x i ],y proximmos el solido usndo prlelepipedos rectngulres de bse [x i 1 ;x i ] yltur f(t i ): de donde el volumen V se puede proximr sumndo elvolumen de los prlelepipedos: V f(t i )(x i x i 1 )h = h f(t i )(x i x i 1 ) h f, kp k! Como h es l ltur del sûlido, y R b fes el re de l bse, eso nos llev deönir: DeÖniciÛn 5.9 El vol men V de un sûlido cilindrico de bse V =( re de h y ltur h es
78 Aplicciones de l Integrl Ejemplo 5.1 Volumendel cilindro de rdio r yltur h: seg nldeöniciûn nterior, elvolu- men es h ( re del disco de rdio r); es decir V = h.se puede repetir el rzonmiento que llevû l deöniciûn nterior pr clculr el volumen de medio cilindro, de l siguiente mner: tomr f(x) = p r x con x [ r;r]; r =x <x 1 < <x n =run prticiûn P de [ r;r] y t i [x i 1 ;x i ],yproximrlo sumndo el volumen de los prlelepipedos V q r t i (x i x i 1 )h = h q r t i (x i x i 1 ) h kp k! Z r r p r x dx = h r, Otr form de clculr el volumen de un sûlido es conociendo el re de cortes trnsversles del mismo, proximndo el solido con un uniûn de solidos cilìndricos: DeÖniciÛn 5.11 Denotemos P c lplno perpendiculr l eje x yque ps por el punto c (o se el plno x = c en R 3 ).Si S es un solido que est entre los plnos P y P b ; yl interscciûn de S con el plno P x tiene re A(x); entonces el volumen V de S es V = A(x)dx. Est deönciûn viene motivd de lo siguiente: si tommos = x <x 1 < <x n =bun prticiûn P de [;b] y t i [x i 1 ;x i ],ycortmos l solido S en n rebnds con los plnos P xi. El volumen proximdo de cd rebnd ser A(t i )(x i x i 1 ) (proximndo cd rebnd con su solido cilindrico cuy bse es l interscciûn de S con el plno P ti )entonces el volumen proximdo ser l sum del volumen de cd revnd, es decir V A(t i )(x i x i 1 ) h kp k! A(x)dx.
Aplicciones de l Integrl 79 Pr que este rzonmiento no se obvimente cuestionble, necesitmos que l funciûn A(x) se integrble en [;b],lo cul, seg n nuestr experienci, es ms omenos equivlente pedir que dich regiûn se rzonble como pr merecer un n mero que llmmos su re. Ejemplo 5.1 Supongmos que S esel cilindro de rdio 3cortdo por dos plnos: uno perpendiculr l eje del cilindro yotro 45 grdos. Entonces A(x) =x p 9 x,yel volumen del solido es Z 3 x p 9 x dx = 3 9 3 3 x =18: ObservciÛn 5.13 Este procedimiento se puede plicr hciendo cortes con plnos perpendiculres l eje y; en cuyo cso obtendremos un funciûn A(y) que me d el re de dicho corte ltur y; e integrndo dich funciûn obtendremos el volumen del sûlido. Ver Ejemplo 5. ObservciÛn5.14 Si tenemos un sûlido cilìndrico S de bse yltur h ylo ubicmos decudmente deformtlqueloscortesperpendiculres leleje x sentodos (esdecir, lo ponemos ìprleloî l eje x), yquesu bseestèen x = (yporlo tntolleg hst x = h), entoncesel re A de dicho cortenodependede x yesexctmenteel re de ysuvolumen ser V = Z h Adx = ha = h ( re de, que es l form en que hbìmos deönido su volumen. Dicho ms corto: l fûrmul de volumen que tenemos pr sûlidos cilìndricos es un cso prticulr de l dd en l DeÖniciÛn 5.11:
8 Aplicciones de l Integrl Hy un fmili prticulr de solidos que se llm ìsolidos de revoluciûnî, yque se obtienen l hcer girr un regiûn pln en torno de un eje. Por ejemplo, si f :[; b]! [; 1) y R es l regiûn pln determind por y = f (x), y =,x=,yx=b.al hcer girr l regiûn R en torno l eje x se obtiene un solido S El re A(x) de un corte trnsversl con el plno P x es A (x) = = (x) y entonces (utilizndo l fûrmul nterior) el volumen V de S es V = Z d c (x) dx. Cilindros, esfers, conos ytubos son ejemplos de solidos de revoluciûn: Ejemplo 5.15 El volumen del sûlido de revoluciûn generdo por l regiûn limitd por l gr Öc de l funciûn f(x) = p x,con x [; 4] es V = Z 4 p x dx = Z 4 =8.
Aplicciones de l Integrl 81 Este mètodo sirve tmbièn pr clculr el volumen de sûlidos ìhuecosî, es decir, generdos l rotr l regiûn delimitd por el gr Öco de dos funciones: si tenemos f; g :[; b]! [; 1) y tl que f (x) g (x) ; yrotmos l regiûn entre sus gr Öcs lrededor del eje x obtenemos un solido cuyo volumen es V = f (x) g (x) dx Notr que lo que estmos hciendo es clculr el volumen restndo el volumen de dos sûlidos. Ejemplo 5.16 El volumen del sûlido generdo l rotr lrededor del eje x l regiûn limitd por el gr Öco de ls funciones f(x) = 1 +x yg(x)=x,con x [; ] es V = 1 + x x! dx = 69 1
8 Aplicciones de l Integrl ObservciÛn 5.17 Cundo clculmos el volumen de este tipo de sûlidos, no es lo mismo hcer (f (x) g (x)) dx. øel volumen de què sûlido d est ltim integrl? R b Otro tipo de sûlido de revoluciûn es el que se obtiene l hcer girr un regiûn pln en torno l eje y Por ejemplo, si f :[;b]! [; 1) y R es l regiûn pln determind por y = f (x), y =,x =,y x =b.al hcer girr l regiûn R en torno l eje y se obtiene un solido S Un procedimiento pr clculr el volumen de S es el de los ìcscrones cilìndricosî: si tommos = x <x 1 < <x n =bun prticiûn de [;b] y t i = 1 (x i +x i 1 ) (el punto medio del intervlo [x i 1 ;x i ]), podemos proximr l sûlido S por medio de cilindros huecos, cuyo volumen (clculndo un rest) ser proximdmente (x i x i 1 )f(t i) (ver dibujo).
Aplicciones de l Integrl 83 Por lo tnto, el volumen proximdo ser V = (x i x i 1 )f(t i)= 1 (x i + x i 1 )(x i x i 1 )f(t i )= i f(t i )(x i x i 1 ) kp k! xf(x)dx, si f es integrble en [;b] (pues en tl cso lo que nos quedû es un sum de Riemnn de l funciûn integrble xf(x)). Eso motiv l siguiente deöniciûn: DeÖniciÛn 5.18 Si f :[;b]! [; 1) es un funciûn integrble y R es l regiûn pln determind por y = f (x), y =,x=,yx=b.al hcer girr l regiûn R en torno l eje y se obtiene un solido S cuyo volumen es V = xf(x)dx Ejemplo 5.19 Pr clculrelvolumendelsûlidoquesegener lgirrentornoleje y l regiûn pln determind por l gr Öc de l funciûn f(x) =x x 3 ;con x [; ] hcemos V = x x x 3 dx = 16 5 L mism tècnic se puede utilizr cundo l regiûn pln que se hce girr lrededor del eje y est determind por el gr Öco de dos funciones f; g :[; b]! [; 1) ytl que f (x) g (x) ; en cuyo cso el volumen qued V = x(f(x) g(x)) dx, que no es ms que l rest de dos vol menes: el del sûlido determindo l rotr l gr Öc de f menos el del sûlido determindo l rotr l gr Öc de g. Ejemplo 5. Pr determinr el volumen del sûlido generdo l rotr lrededor del eje y l regiûn determind por ls funciones f(x) =xyg(x)=x con x [; 1] hcemos V = Z 1 x x x dx = 1 6.
84 Aplicciones de l Integrl Podemos clculr el volumen usndo el re de un corte perpendiculr l eje y: dicho corte es un nillo de rdio interior y yde rdio exterior p y,por lo tnto A(y) = p y,y V = Z 1 A(y)dy = Z 1 ( ( p y) )dy = Z 1 (y y )dy = 1 6 øse puede hcer esto mismo con el Ejemplo 5.19? øquè diöcultd encuentr?: 5.3. Longitud de un gr Öc Si tenemos f : [;b]! R un funciûn derivble, y queremos clculr l longitud de su gr Öc, podemos intentr hcerlo proximndo l mism con segmentos (los cules sbemos medir). Intuitivmente, mientrs ms segmentos utilicemos, mejor ser nuestr proximciûn. Pr formlizr esto: tomemos = x <x 1 < <x n =bun prticiûn de [;b],entonces el segmento de extremos (x i 1 ;f(x i 1 )) y (x k ;f(x k )) tiene longitud L i = q (x i x i 1 ) +(f(x i ) f(x i 1 ))
Aplicciones de l Integrl 85 ypor lo tnto l longitud proximd ser L q (x i x i 1 ) +(f(x i ) f(x i 1 )). Pero el Teorem del Vlor Medio me segur que (pr cd i) existe t i (x i 1 ;x i ) tl que con lo que nuestr longitud proximd qued f(x i ) f(x i 1 )=f (t i )(x i x i 1 ), L = = q (x i x i 1 ) +(f(x i ) f(x i 1 )) = q (x i x i 1 ) +(f (t i )(x i x i 1 )) = q 1+(f (t i )) (x i x i 1 ) kp k! q (x i x i 1 ) +(f (t i )(x i x i 1 )) = q 1+(f (x)) dx si f esintegrble en [;b].esto llev l siguiente deöniciûn: DeÖniciÛn5.1 Si f :[;b]! R esun funciûn derivble con derivd integrble en [;b],l longitud de l gr Öc de f es q L = 1+(f (x)) dx Ejemplo 5. L longitud de l curv y = x 3= con x [; ] es s 1+ 3 x1= dx = r 1+ 9 4 xdx = 1 7 (9x +4) 3 = p 8 7 7
86 Aplicciones de l Integrl pejemplo 5.3 Pr clculr l circunferenci C R deun cìrculo de rdio R; usmos f(x) = R x yclculmos C R = 4 = 4R Z R s Z 4 1+ Rcos R cos Z x R 1 sin =R cos ) p dx =4R p R x =(x=r R xdx =.