GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 1 PÍTULO I 1.1 MNER E INTROUIÓN.. 2 1.2 SISTEMS E REPRESENTIÓN 3 1.3 SISTEM E OLE PROYEIÓN ORTOGONL 5 1.4 EL PUNTO 6 1.5 L RET 8 1.5.1 TRZS E L RET 9 1.5.2 POSIIÓN E L RET 9 1.5.2.1 Rect prlel l plno orizontl 1 1.5.2.2 Rect en posición prlel l Plno Verticl 11 1.5.2.3 Rect en posición oblicu con respecto los plnos de proyección 11 1.5.3 MÉTOOS UTILIZOS EN L ETERMINIÓN EL VERERO TMÑO E SEGMENTOS E RET 13 1.5.4 PLIIONES E LOS TRIÁNGULOS E TIMIENTO 18
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 2 1.1 MNER E INTROUIÓN Ls principles considerciones geométrics son muy ntigus y, l precer se originron en obserciones relizds por el ombre, grcis su bilidd pr reconocer y comprr forms y tmños. Mucs circunstncis en l id del ombre, ún en l edd primiti, condujeron numerosos descubrimientos geométricos: l noción de l distnci fue, sin dud lgun, uno de los primeros conceptos geométricos descubiertos; l estimción del tiempo necesrio pr cer un ije le condujo, originlmente, obserr que l rect constituye l tryectori más cort de un punto otro; incluso, por intuición, l myorí de los nimles se dn cuent de esto. L necesidd de limitr terrenos lleron l noción de figurs geométrics simples, tles como rectángulos, cudrdos, triángulos, etc. Otros conceptos geométricos simples, como ls nociones de erticlidd, de rects prlels, pueden ber sido sugerids por l construcción de predes y iiends primitis. Tmbién mucs obserciones en l id diri pudieron ber conducido los primeros ombres l concepto de curs, superficies y sólidos. Los csos de circunferenci fueron numerosos: l periferi del sol, de l lun, ls onds que se formn l lnzr un piedr en un estnque, ls sombrs producids por el sol o un cndil debieron sugerir l noción de secciones cónics. Los lfreros primitios icieron sólidos de reolución. El cuerpo del ombre, de los nimles, de mucs ojs y flores de plnts sugieren l noción de simetrí. L ide de olumen iene de mner csi inmedit, l considerr recipientes pr contener líquidos, cereles y otros rtículos de consumo dirio. e est mner se fue crendo, inconscientemente, un geometrí utilizd en un principio por el ombre pr solucionr problems geométricos concretos, que bien pudieron presentársele de mner isld, sin conexión prente entre unos y otros, y, eidentemente, tmbién l pudo utilizr en l fbricción de objetos ornmentles y rtísticos. Nturlmente, ess mnifestciones rtístics y esos problems concretos contribuyeron l ncimiento y posterior desrrollo de l geometrí, l cul comenzó olerse un cienci cundo l inteligenci umn fue cpz de extrer de relciones geométrics concrets un relción geométric bstrct y generl, que contiene ls primers como csos prticulres. L trdición tribuye los principios de l geometrí como cienci ls práctics primitis de l grimensur en Egipto; l plbr geometrí signific medición de l tierr. Pero no sólo los egipcios contribuyeron l desrrollo de l geometrí: los bbilonios tmbién trbjron en l geometrí empíric y resolieron problems prácticos. Unos cuntos siglos ntes de risto, tod l sbidurí empíric cumuld por egipcios y bbilonios ps poder de los griegos; pero éstos, diferenci de quéllos, pusieron grn empeño en concluir los ecos geométricos no sólo de mner empíric, sino, primordil y csi exclusimente, con bse en rzonmientos deductios. En l búsqued de l representción de elementos geométricos y de métodos que permitiern estblecer ls relciones existentes entre ellos, el ombre se lido del dibujo, primero sobre toscs predes de cerns y luego sobre mteriles mnufcturdos, constituyéndose est errmient en el lenguje de l geometrí y en medio de estudio y comunicción que posibilitó l construcción de mrills como ls grndes pirámides, templos y edificios ciiles y militres de grndes dimensiones y de un ltísimo grdo de perfeccionmiento técnico, en regiones como Egipto, Mesopotmi y el
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 3 mundo griego. l mismo tiempo, izo posible l mterilizción de inenciones como el tornillo sin fin, l rued dentd y otrs mrills de l ingenierí ntigu. or bien, como se indicdo, el dibujo constituye tmbién un form de comunicción, y, como culquier otr, debe ser clr y sin mbigüeddes, sobre todo cundo el mensje que se quiere trnsmitir es l bstrcción de un objeto útil cuys crcterístics deben de ser respetds en el momento de su mterilizción. Surge entonces l pregunt: si los objetos son tridimensionles, cómo representrlos sobre un superficie bidimensionl mnteniendo clr l informción concerniente sus propieddes geométrics? L respuest que se ddo tl interrognte es el método de proyecciones. L proyección de un elemento (cuerpo proyectnte) se obtiene por l incidenci de un z proyectnte sobre él, que l intersecr un superficie pln determind gener un representción bidimensionl. e ls crcterístics de ese z proyectnte y de l posición relti entre él, l superficie de proyección y el objeto, depende el tipo de representción que se obtiene. Si estudimos un cso rel, el z de ryos proyectntes puede socirse un fuente luminos (lámpr, luz solr), en tnto que si bordmos el estudio de elementos geométricos bstrctos, el menciondo z iene ser un conjunto de rects que psn por un punto, el cul se denomin origen de proyecciones o Foco. Por otr prte, l superficie de proyección, que en el cso rel puede ser culquier, se tom como pln en Geometrí escripti, mientrs que l sombr iene ser nálog de l proyección del objeto(fig. 1.1). MNNTIL LUMINOSO ORIGEN E PROYEIONES RYOS E LUZ OJETO RYOS PROYETNTES OJETO PROYEIÓN (SOMR) PROYEIÓN SUPERFIIE E PROYEIÓN SUPERFIIE E PROYEIÓN SO REL SO STRTO Fig. 1.1: Proyección de un objeto 1.2 SISTEMS E REPRESENTIÓN El conjunto conformdo por el origen de proyecciones, el z de ryos proyectntes, l superficie de proyección, el cuerpo proyectnte y l proyección mism, constituye un Sistem de Proyección que result ser finlmente un Sistem de Representción Gráfic. omo todo sistem, es un conjunto de elementos bstrctos en éste cso que se conjugn de mner ordend y rmónic pr logrr l consecución de un fin: l representción bidimensionl de un relidd tridimensionl que, unque bstrct, es un proximción de nuestro entorno cotidino. Existe un gm infinit de sistems de proyección que puede clsificrse en dos grupos principles, sber, Sistems ónicos y Sistems ilíndricos. L diferenci entre mbos rdic en l posición que se l sign l origen de proyecciones en cd cso.
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 4 Sistems ónicos: El origen de proyecciones se encuentr en un lugr finito del espcio, lo que tre como consecuenci l conergenci de los ryos proyectntes. Si éstos se socin con ryos isules y el origen de proyecciones se soci con el ojo umno, puede inferirse que con los sistems cónicos se obtienen representciones que se proximn ls imágenes que nuestro cerebro cpt de los objetos físicos reles. En relidd estos sistems genern gráfics nálogs ls producids por cámrs fotográfics, fectds por deformciones con respecto los elementos reles, lo que dificult l determinción de medids excts y l precición de ls forms plns. Pr un mejor comprensión puede cerse l comprción con un sistem de iluminción rtificil en donde l fuente luminos es un lámpr. Sistems ilíndricos: diferenci de los cónicos, estos sistems tienen l prticulridd de ubicr el origen de proyecciones en el infinito, es decir, result ser un punto impropio. omo consecuenci de ello, los ryos proyectntes formn entre sí un ángulo ERO, es decir, son prlelos pues conergen en el infinito (Fig. 1.2). Es eidente que result difícil comprr este tipo de sistem de proyección con lgun form de isión, sin embrgo result útil estblecer semejnz con un sistem de iluminción nturl, en el que l fuente de luz es el sol, ddo que este stro se encuentr tn lejdo de l tierr y es tn grnde con relción nuestro plnet, que los ryos solres son, en l práctic, prlelos entre sí. ORIGEN E PROYEIONES RYOS PROYETNTES PROYEIÓN SUPERFIIE E PROYEIÓN Fig. 1.2: Proyección ilíndric Es eidente que si los ryos proyectntes son prlelos entre sí, cd uno de ellos form un ángulo µ igul con respecto l superficie de proyección, lo que implic l existenci de infinitos sistems de proyección cilíndricos dependiendo del lor que tome µ. En generl, se bl de sistems cilíndricos ortogonles si µ=9 y de sistems cilíndricos oblicuos si µ 9 (Fig. 1.3). ORIGEN E PROYEIONES RYOS PROYETNTES ORIGEN E PROYEIONES RYOS PROYETNTES PROYEIÓN PROYEIÓN SUPERFIIE E PROYEIÓN SUPERFIIE E PROYEIÓN SISTEM ILÍNRIO ORTOGONL SISTEM ILÍNRIO OLIUO Fig. 1.3: Sistems de Proyección ilíndricos.
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 5 L rinte ortogonl de los sistems cilíndricos es l empled en l representción técnic, y se con uno o más plnos de proyección. onstituye, demás, el sistem de proyección que present menos dificultd l or de resoler problems geométricos en el espcio. 1.3 SISTEM E OLE PROYEIÓN ORTOGONL Tmbién conocido como Sistem iédrico o Sistem de Monge, contempl dos plnos de proyección perpendiculres entre sí que coinciden con los plnos coordendos XY y XZ de un sistem de ejes crtesino. En consecuenci, constituye l errmient más decud pr el estudio descriptio de l geometrí espcil. El plno XY se consider Plno Horizontl (PH) de referenci y ls proyecciones sobre él se denominn proyecciones orizontles, icnográfics o tmbién plnt. El plno XZ será entonces el Plno Verticl (PV) de referenci, y ls proyecciones respectis son llmds proyecciones erticles, ortográfics o lzdo (3). L intersección de los dos plnos de proyección se llm eje de proyección y más comúnmente líne de tierr (), porque se supone que el plno orizontl de proyección coincide con el del terreno. ic líne corresponde l eje coordendo X, de cuerdo con el Sistem Interncionl, y diide cd uno de los plnos de proyección en dos regiones, que se denominn superior (+PV) e inferior (-PV) pr el plno erticl, y nterior (+PH) y posterior (-PH) pr el orizontl (Fig. 1.4). PV (Superior) +Z LÍNE E TIERR X PH (nterior) PH (Posterior) -Y Origen de oordends +Y PV (Inferior) -Z Fig. 1.4: El Sistem de oble Proyección Ortogonl. su ez, los dos plnos coordendos de proyección, debiéndoseles considerr como infinitos, diiden l espcio en cutro regiones o diedros: Primero (nterior-superior), Segundo (superior-posterior), Tercero (posterior-inferior) y urto (inferior-nterior). Ls proyecciones orizontles se genern por l incidenci de ryos proyectntes prlelos l eje Z y por ende perpendiculres PH - cuyo origen se supone, por conención, en el primer diedro distnci infinit de PV. nálogmente, ls proyecciones erticles son producids por ryos prlelos Y, proenientes de un foco que se supone en el primer diedro distnci infinit de PH.
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 6 on el fin de fcilitr el nálisis, y en ist de que el plno coordendo YZ no se tomdo como un plno de proyección principl, se omite l considerción de l prte negti del eje X. omo en l práctic es necesrio dibujr sobre un plno único ls proyecciones de un figur, se bte uno de los plnos coordendos sobre el otro, ciéndolo girr lrededor de l líne de tierr de modo que se brn los diedros primero y tercero. Se bte uno u otro de los plnos de proyección según l posición de l superficie de dibujo, de mner que si ést es erticl, coniene suponer que el giro de 9 lo reliz PH, en tnto que si es orizontl, se supondrá que es PV quien gir (Fig. 1.5). El giro se relizrá, de cuerdo con l norm interncionl, ciendo coincidir l prte nterior de PH con l inferior de PV. +PV = -PH +Z +Z = -Y X X +PV -Y -PH +PH +Y -PV +PH = -PV -Z -Z = +Y Fig. 1.5: btimiento de los plnos de proyección. 1.4 EL PUNTO El estudio de los sistems de representción debe ser el de los distintos elementos geométricos, de ls relciones que se estblecen entre ellos y sus plicciones práctics. El elemento geométrico fundmentl es el punto, el cul es dimensionl y puede definirse trés de su posición en el espcio medinte coordends, referids un sistem que normlmente es rectngulr (crtesino). El espcio geométrico euclídeo o ulgr está compuesto por un cntidd infinit de puntos; l sum de infinitos elementos dimensionles conform un todo. Ls dos proyecciones de un punto P del espcio en el sistem iédrico se obtienen construyendo ryos proyectntes que psn por el punto y que sen perpendiculres los plnos de proyección. Los puntos comunes los ryos y estos plnos constituyen ls proyecciones diédrics de P. Tles proyecciones se denotn, en este trbjo medinte un letr myúscul o un número (nombre del punto) con un superíndice que indic el plno de proyección en donde se encuentrn. Este superíndice es un letr minúscul:, si se trt de l proyección sobre el plno erticl y, si se trt de l proyección sobre el plno orizontl.
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 7 El punto P y sus proyecciones diédrics determinn un plno, que puede llmrse el plno proyectnte del punto P. Este plno es perpendiculr los dos plnos de proyección y por lo tnto lo es tmbién su intersección. Ls intersecciones P o P y P o P del plno proyectnte con PV y PH, son perpendiculres l líne de tierr y representn ls coordends z y y del punto P; l distnci del origen de coordends P o constituye l coordend x; l líne P o P se mntiene perpendiculr l líne de tierr cundo PH gir noent grdos en torno ell (Fig. 1.6). +PV = -PH P P P +PV Z Z Po Y P -PH +PH P Y +PH = -PV -PV Fig. 1.6: Proyecciones diédrics de un punto. L distnci del punto PH tiene el lor de su coordend z y se denomin comúnmente cot, y que el plno orizontl se soci con el del terreno. el mismo modo l distnci del punto PV corresponde l lor de su coordend y y recibe el nombre de uelo o lejmiento. omo luego del giro mbos plnos de proyección coinciden, ls dos proyecciones del punto P estrán en l dirección P o P, de mner que: l proyección orizontl y l erticl de un punto, después de efectur el btimiento de uno de los plnos de proyección sobre el otro, se ubicn siempre sobre un líne rect perpendiculr l líne de tierr. e mner recíproc, dos puntos P y P del dibujo situdos en un líne rect perpendiculr l líne de tierr, se considern como ls proyecciones de un único punto del espcio P. sí, pues, cd punto del espcio está completmente definido medinte sus dos proyecciones diédrics, por ello, culquier otr proyección que se relice será de crácter uxilir. ependiendo de los lores que dopten ls coordends rectngulres de un punto del espcio se obtienen siete posiciones crcterístics, sber: 1. Punto ubicdo en l Primer Región: Sus coordends y y z son positis; tiene su proyección orizontl por debjo de l líne de tierr y su proyección erticl por encim de ell. 2. Punto ubicdo en l Segund Región: Su coordend y es negti y su coordend z es positi; tiene mbs proyecciones ubicds por encim de l líne de tierr.
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 8 3. Punto ubicdo en l Tercer Región: Sus coordends y y z son negtis; tiene su proyección orizontl por encim de l líne de tierr y su proyección erticl por debjo de ell. 4. Punto ubicdo en l urt Región: Su coordend y es positi y su coordend z es negti; tiene mbs proyecciones ubicds por debjo de l líne de tierr. 5. Punto E ubicdo en el plno orizontl de proyección: Su coordend z es cero; si l coordend y es positi, el punto se encuentr en l prte nterior de PH, si es negti, se encuentr en l prte posterior. L proyección erticl del punto se ubic sobre l líne de tierr. 6. Punto F ubicdo en el plno erticl de proyección: Su coordend y es cero; si l coordend z es positi, el punto se encuentr en l prte superior de PV, si es negti, se encuentr en l prte inferior. L proyección orizontl del punto se ubic sobre l líne de tierr. 7. Punto G ubicdo en mbos plnos de proyección: Es un punto que pertenece l líne de tierr, y que ést constituye el lugr común PV y PH. Sus coordends y y z son cero. mbs proyecciones se ubicn sobre l líne de tierr. Ls posiciones descrits se muestrn en l Fig. 1.7. F=F F=F -PH +PV G=G =G E F +PH E=E G=G =G E F -PV E=E Fig. 1.7: Posiciones del punto. Representción en el Sistem iédrico. 1.5 L RET Es el elemento geométrico unidimensionl y puede determinrse trés de un segmento de rect, el cul, su ez, se define como l menor distnci entre dos puntos. El estudio de ls proyecciones diédrics de l rect se reliz tendiendo ls distints posiciones que ést puede doptr con respecto l sistem de referenci empledo, es decir, con respecto los plnos coordendos de proyección: Plno Verticl y Plno Horizontl. Ls ribles objeto de estudio es ls proyecciones diédrics son, en definiti, ls concernientes ls crcterístics de l rect: tmño de un segmento (longitud) y ángulos que form con los plnos de proyección (dirección). L clsificción de ls distints
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 9 posiciones de rect se reliz rindo estos ángulos, comenzndo por ls posiciones notbles, que son quells situciones en ls que l rect form con los plnos de proyección ángulos notbles: cero y noent grdos. Si un punto del espcio pertenece un determind rect, ls proyecciones de quél deben siturse sobre ls proyecciones omónims de ést. 1.5.1 Trzs de l rect Se un rect m definid por el segmento ; los puntos pertenecientes un rect m que se encuentrn sobre los plnos de proyección se denominn trzs de l rect m. En ist de que existen dos plnos principles de proyección, se llmrá trz orizontl () de l rect l punto común entre ell y PH, y trz erticl () de l rect l punto común entre ell y PV (Fig. 1.8). Eidentemente, l trz erticl es tmbién el punto de intersección de l rect con su proyección erticl, y como este punto se ll en el plno erticl, tendrá su proyección orizontl en l líne de tierr. Por otr prte, siendo l trz erticl un punto perteneciente l rect en el espcio, su proyección erticl deberá encontrrse sobre l proyección erticl de m ; por lo tnto, l proyección orizontl de l trz erticl corresponde l corte entre l proyección orizontl de m con l líne de tierr. nálogmente, el corte de l proyección erticl de l rect m con l líne de tierr es l proyección erticl de l trz orizontl (punto de PH, Z = ); l proyección orizontl de ese punto se encuentr sobre l proyección orizontl de l rect m. m m m m m Fig. 1.8: Trzs de un rect. Nótese cómo los puntos de trz mrcn un cmbio de región de l rect m. En el ejemplo, l izquierd de m se encuentr l segund región; entre y, l rect está en l primer región y l derec de, m se sitú en l curt región del espcio. 1.5.2 Posición de l rect L rect es un elemento geométrico único que dopt distints posiciones en el espcio con relción l sistem de referenci, es decir, con respecto los plnos de proyección del
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 1 sistem diédrico. Se denomin α l ángulo que se form entre l rect y el plno orizontl y β l formdo con el plno erticl. e cuerdo con los lores que pueden tomr los ángulos α y β es posible signr nombres ls posiciones que dopt l rect. Ests posiciones se denominn notbles cundo form ángulos de cero o noent grdos con respecto los plnos de proyección, le decir, cundo es prlel o perpendiculr uno de ellos. En el primer cso, un segmento de rect de determind longitud se proyect como otro segmento de igul tmño, en tnto que en el segundo cso, se proyect como un punto, y que los ryos proyectntes correspondientes cd uno de los infinitos puntos de l rect se confunden en uno solo. 1.5.2.1 Rect en posición prlel l plno orizontl El ángulo formdo con el plno orizontl (α) es, obimente, igul cero. L intersección de l rect con este plno () es un punto impropio, o lo que es lo mismo, está en el infinito (Fig. 1.9). ependiendo del lor del ángulo formdo por l rect con respecto l plno erticl, se obtienen los siguientes csos: Rect de Punt: En est situción, l rect form un ángulo con PV β = 9, por lo que su proyección erticl ( ) se reduce un punto. L proyección orizontl de l rect ( ) es otr rect, l cul es perpendiculr l líne de tierr y se present en Verddero Tmño, y que un segmento en est posición se proyect en con su mism longitud. Rect Prlel l Líne de Tierr: En este cso prticulr, l rect es prlel mbos plnos de proyección, por lo que β =. Se represent en mbs proyecciones como rects prlels l líne de tierr y en Verddero Tmño. mbos puntos de trz ( y ) resultn ser puntos impropios. Rect Horizontl: L rect en est posición, es oblicu con respecto PV, le decir, <β<9º. omo consecuenci, l proyección erticl (c ) es un rect prlel l líne de tierr cuy longitud es menor con relción l mgnitud de l rect en el espcio (c), en un proporción igul l coseno del ángulo β. L proyección orizontl (c ) reflej el Verddero Tmño y es un rect inclind con respecto l líne de tierr; el lor de este ángulo es el mismo lor de β. = = == b b b = E c E E F c c F F = = = b b E E c F c : Rect de Punt b: Rect Prlel l Líne de Tierr c: Rect Horizontl F Fig. 1.9: Rect en posición prlel l Plno Horizontl
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 11 1.5.2.2 Rect en posición prlel l Plno Verticl El ángulo formdo con el plno erticl (β) es igul cero. L intersección de l rect con este plno () es un punto impropio, o lo que es lo mismo, está en el infinito (Fig. 1.1). ependiendo del lor del ángulo formdo por l rect con respecto l plno orizontl, se presentn los siguientes csos: Rect de Pié: En est situción, l rect form un ángulo con PH α = 9, por lo que su proyección orizontl (d ) se reduce un punto. L proyección erticl de l rect (d ) es otr rect, l cul es perpendiculr l líne de tierr y se present en Verddero Tmño, y que un segmento GH en est posición se proyect en G H con su mism longitud. Rect Prlel l Líne de Tierr: edo que en est posición l rect tmbién es prlel PH, se trtó en el numerl 1.5.2.1. Rect Frontl: L rect en est posición, es oblicu con respecto PH, le decir, <α<9º. omo consecuenci, l proyección orizontl (e ) es un rect prlel l líne de tierr cuy longitud es menor con relción l mgnitud de l rect en el espcio (e), en un proporción igul l coseno del ángulo α. L proyección erticl (e ) reflej el Verddero Tmño y es un rect inclind con respecto l líne de tierr; el lor de este ángulo de inclinción es el mismo lor de α. G d H G d H b b b I e = J I I e e J J H G d b b I e J G =H = ==d G =H = =d d: Rect de Pié b: Rect Prlel l Líne de Tierr e: Rect Frontl I e J Fig. 1.1: Rect en posición prlel l Plno Verticl. 1.5.2.3 Rect en posición oblicu con respecto los plnos de proyección En este cso los lores que doptn los ángulos α y β son distintos de cero y de noent grdos. Esto tre como consecuenci que ningun de ls proyecciones diédrics reflejn el Verddero Tmño de un determindo segmento de rect en est posición; de igul mner, los propios lores de α y β precen distorsiondos. nte est relidd, se ce necesrio plicr un método uxilir que permit determinr los lores ngulres y el Verddero Tmño, bien medinte el cmbio de posición del segmento de rect objeto de
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 12 estudio, bien medinte l introducción de nues proyecciones cilíndrics ortogonles (Fig. 1.11 y 1.12). En generl, existen dos csos de rect en posición oblicu, origindos por l considerción de un tercer plno de proyección: el plno coordendo XZ o uno prlelo él. Rect de Perfil: En est posición, l rect form ángulos distintos de cero y noent grdos con los plnos de proyección erticl y orizontl, pero es prlel l plno coordendo XZ (Plno Lterl), por lo que se cumple que α + β = 9 El Verddero Tmño de un segmento de rect en est posición se reflej en un proyección uxilir, l cul se ce sobre un plno culquier prlelo l plno coordendo XZ y, por lo tnto, perpendiculr. omo este plno uxilir se proyect como línes rects en los plnos de proyección principles, será necesrio btirlo sobre uno de ellos pr logrr er l proyección lterl resultnte. El btimiento se reliz comúnmente en torno l intersección entre PV y el plno lterl uxilir medinte un giro de 9. El procedimiento pr encontrr es proyección lterl prtiendo de ls proyecciones diédrics, es el siguiente (Fig. 1.11): Se comienz ubicndo culquier distnci del origen de coordends preferiblemente l derec de ls proyecciones de l rect de perfil un plno lterl, el cul se represent por línes que formn ángulo recto con l líne de tierr, ls cules se cortn sobre ell en el punto R. Enseguid se trzn por ls proyecciones = = K g L K g l l K K g L = L Plno Lterl uxilir l g L l l L = K Fig. 1.11: Rect de Perfil. K g g L 2 l R 1' 2' l 1 orizontles de los puntos que definen l segmento de rect línes de referenci prlels y que cortn l proyección orizontl del plno lterl uxilir en 1 y 2. Luego, con centro en R y rdios R1 y R2 se dibujn curtos de circunferenci que definen sobre l líne de tierr los puntos 1 y 2. Si se lentn perpendiculres por 1 y 2, y prlels por ls proyecciones erticles de los puntos que definen l segmento de rect, se obtienen, en los cortes correspondientes, ls proyecciones lterles btids de estos puntos, y, en consecuenci, l proyección lterl btid de l rect de perfil (Fig. 1.11). l K g l l L L proyección lterl permite tmbién l determinción de ls trzs de l rect: el corte entre l proyección lterl de l rect y l proyección erticl del plno lterl define l (proyección lterl de l trz erticl), en tnto que el corte entre l proyección lterl de l rect de perfil y define l. Un ez obtenids ests proyecciones lterles se procede determinr ls proyecciones diédrics de los puntos de trz, plicndo el procedimiento descrito nteriormente en form iners y recordndo los conceptos de los puntos de trz.
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 13 Rect Oblicu, en Posición ccidentl o en Posición ulquier: En est posición, l rect form ángulos distintos de cero y noent grdos con los tres plnos coordendos, es decir, no es prlel PV, PH ni PL, por lo que el erddero tmño de un segmento de rect en ests condiciones no se reflej ni en ls proyecciones diédrics ni en l proyección lterl. Por lo nterior se cumple que α + β < 9 y que los plnos de proyección PV y PH formn entre sí 9. Si se soci un rect con l tryectori idel de un móil, si se supone ese moimiento de izquierd derec, y se consider l obserdor en l primer región del espcio, puede entonces blrse de cutro situciones generles pr l rect en posición ccidentl: scendente ci delnte (Fig. 1.12-), scendente ci trás (Fig. 1.12-b), escendente ci delnte (Fig. 1.12-c), escendente ci trás (Fig. 1.12-d). P j P P = Q j j = Q Q P P j j Q Q = M g = M N M g g N N M M g g N N Fig. 1.12-: Rect Oblicu scendente ci delnte. Fig. 1.12-b: Rect Oblicu scendente ci trás. R R k k R S S k S = = R R k k S S = T T T l l U U l U = T T l l U U Fig. 1.12-c: Rect Oblicu escendente ci delnte. Fig. 1.12-d: Rect Oblicu escendente ci trás. 1.5.3 Métodos utilizdos en l determinción del Verddero Tmño de segmentos de rect omo y se indicdo, los segmentos de rect en posición oblicu no reflejn en ls proyecciones diédrics su Verddero Tmño. Lo mismo ocurre con los lores ngulres α y β. Por tl motio, es bsolutmente necesri l plicción de métodos que permitn l resolución de los siguientes tipos de problem: do un segmento en posición oblicu, determinr su Verddero Tmño y los lores de α y β.
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 14 eterminr un punto P sobre un rect en posición oblicu, teniendo como referenci l distnci que y entre P y culquier otro punto de l rect. onstruir ls proyecciones de un rect si se conocen el Verddero Tmño de un segmento sobre ell, y los lores α y β. Los métodos comúnmente empledos pr logrr el objetio plntedo son los siguientes: 1. btimiento 2. Giro 3. Introducción de nueos plnos de proyección 1. btimiento: onsiste en l rotción de un segmento de rect en torno un eje prlelo uno de los plnos de proyección (eje de btimiento) st logrr que dopte un posición forble, es decir, un en l que su Verddero Tmño se proyecte sobre lguno de los plnos de proyección. Se un segmento el cul define un rect - en posición oblicu (Fig. 1.13-). Si se trz un rect prlel l proyección orizontl del segmento por su extremo de menor cot (), se gener un triángulo rectángulo denomindo triángulo de btimiento. Su ipotenus es el segmento en el espcio (Verddero Tmño), el ángulo formdo entre ell y l rect prlel l proyección orizontl de es α y el cteto opuesto este ángulo es un segmento perpendiculr PH de longitud igul l diferenci entre ls cots de y ( Z = Z Z ). or bien, si el triángulo rot un Fig. 1.13-: Triángulo de btimiento ángulo de 9 en torno l cteto dycente l ángulo α (eje de btimiento), dopt un posición de prlelismo con respecto PH, por lo que, si se proyect el triángulo sobre este plno de proyección, se obtiene el Verddero Tmño (VT) del segmento y el lor rel de α. L proyección del punto (nue posición del punto ) se denot por R ( btido). En l representción diédric se procede de l siguiente mner: se trz por l proyección erticl del extremo del segmento de menor cot ( ) un prlel, que l cortr l referenci del otro extremo define l diferenci de cot. Enseguid se copi el lor de est diferenci usndo el compás sobre un perpendiculr l proyección orizontl del segmento de rect, trzd por l icnogrfí (proyección orizontl) del extremo de myor cot (), lo que result en el punto R. Luego, el segmento definido por R y l proyección orizontl del otro extremo ( ) es l ipotenus del triángulo de btimiento, cuy longitud es el Verddero Tmño (VT) del segmento. Finlmente, el ángulo formdo entre el Verddero Tmño del segmento y su proyección orizontl tiene el mismo lor del ángulo α, formdo entre l dirección definid por y y el plno orizontl. R ' Z VT R Z Z
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 15 el mismo modo, es posible generr un triángulo de btimiento que permit l isulizción del Verddero Tmño del segmento y del lor rel del ángulo formdo entre l dirección y PV, es decir, β. Su construcción se lle cbo ubicndo un prlel l proyección erticl del segmento, en el punto de menor uelo (), siendo su Y ipotenus el segmento en el espcio, β es el ángulo formdo entre y l Fig. 1.13-b: Triángulo de btimiento prlel l proyección erticl y el cteto opuesto β tiene un tmño igul l diferenci entre los uelos de y ( Y = Y Y ) (Fig. 1.13-b). Medinte un moimiento de rotción de 9 en torno l rect prlel l proyección erticl del segmento, el triángulo de btimiento lleg ser prlelo l PV, por lo que, si se proyect sobre este plno en l nue posición, se obtiene que el segmento definido por R y es el Verddero Tmño de, en tnto que el ángulo formdo entre ese Verddero Tmño y l proyección erticl del segmento tiene el mismo lor que el ángulo β. L construcción de este segundo triángulo de btimiento en el sistem diédrico es nálog l del primero, y es fácilmente deducible de l Fig. 1.13-b. 2. Giro: l igul que el btimiento, el Giro se fundment en l rotción de un segmento de rect en posición oblicu en torno un rect prlel uno de los plnos de proyección. L diferenci entre mbos métodos rdic en que el giro se reliz en torno rects de pié o de punt (eje de giro), lo que implic que el ángulo de rotción o giro se de noent grdos únicmente si se trt de segmentos de rect en posición de perfil. L rotción se reliz st conseguir que el segmento oblicuo dopte un posición orizontl (eje de punt) o frontl (eje de pié). on el fin de simplificr el procedimiento, se seleccion un eje de giro que teng un punto común con el segmento de rect objeto de estudio y se ce, demás, coincidir ese punto con uno de los extremos de dico segmento. Se un segmento el cul define un rect - en posición oblicu. onsidérese un rect de punt que ps por el punto como eje de giro. El rdio de giro será el segmento K. L rotción del punto en torno ese eje se reliz en un plno prlelo PV, por lo que l tryectori de se proyect en el plno erticl como un circunferenci de rdio. omo se quiere ller el segmento un posición orizontl, el corte de es circunferenci con un prlel l líne de tierr trzd por l proyección erticl del centro de giro, d como resultdo l nue proyección erticl de ( ), como se muestr en l Fig. 1.14-. r '' Y VT R Y
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 16 onsiderndo que el giro de se reliz en un plno prlelo PV, es eidente que su uelo permnece inrible, por lo que, en el corte de un prlel trzd por con un perpendiculr trzd por, se obtiene l proyección orizontl del punto en su nue posición ( ). lro está que l plicrse el giro del segmento como se indicdo, el ángulo que form con el plno erticl permnecido constnte; sí, en ls proyecciones diédrics, el ángulo β de l rect definid por y es igul l formdo entre l nue proyección orizontl del segmento y l líne de tierr, y que en l nue posición l rect es orizontl. Por est mism rzón, el segmento constituye el Verddero Tmño del segmento. =K '' '' '' K K K '' K ' =K ' ' ' 1.14-1.14-b '' '' =K VT K =K Fig. 1.14: Giro de un segmento de rect K ' VT ' nálogmente, el giro del segmento oblicuo en torno un eje de pié se reliz en un plno prlelo PH. Supóngse que el eje de giro ps por (Fig. 1.14-b); el uelo de permnece constnte en el moimiento, sí como tmbién es constnte el ángulo formdo entre l rect y el plno orizontl, es decir, α. En l segund posición, el segmento es frontl, por lo tnto, su Verddero Tmño se proyect sobre PV según el segmento. Finlmente, el ángulo formdo entre y l líne de tierr tiene el mismo lor que el ángulo α que l dirección de rect, definid por y, form con el plno erticl de proyección. El procedimiento en l representción diédric del giro de un segmento en torno un eje de pié es nálogo l plicdo cundo el eje es de punt.
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 17 3. Introducción de nueos plnos de proyección (mbio de Plno): diferenci de los dos métodos expuestos nteriormente, no se fundment en el cmbio de posición del segmento de rect oblicuo, objeto de estudio. Este método se bs en el cmbio de posición de uno de los obserdores irtules y de l dirección de los ryos proyectntes correspondientes. Este moimiento gener un nueo plno de proyección, el cul deberá ser eidentemente - prlelo l rect oblicu objeto de estudio, de tl form que ést se proyectrá en erddero tmño sobre el menciondo plno. Se un segmento que define l rect en posición oblicu (Fig. 1.15-). Si se introduce un nueo plno de proyección orizontl PH2 que se prlelo l rect y perpendiculr l plno erticl, se gener un segundo sistem de proyección, en el que los puntos y se proyectn en 2 y 2. Nótese cómo l segund líne de tierr 2 debe ser prlel l proyección erticl del segmento, y que el nueo plno orizontl de proyección es prlelo l rect en el espcio. En l nue proyección ( 2 2 ), el segmento se encuentr en Verddero Tmño, y, como en el sistem constituido por los plnos de proyección PV y PH2 l rect está en posición orizontl, el ángulo formdo entre l proyección 2 2 y 2 es el ángulo β de l rect, puesto que dic rect no rido su posición relti con respecto PV. irección de ryos proyectntes perpendiculres PH irección de ryos proyectntes perpendiculres PH2 PH2 PV 2 2 Y 2 2 2 2 Y 2 PH Fig. 1.15-: Introducción de un nueo plno orizontl de proyección. El procedimiento en l representción diédric comienz por el trzdo de l nue líne de tierr 2, prlel l proyección orizontl de y culquier distnci de este segmento. Seguidmente se trzn por y línes de referenci perpendiculres 2. omo los sistems y 2 comprten el mismo plno erticl, el uelo de los puntos y es el mismo, sí, determinmos ls nues proyecciones de y de copindo ls distncis de y sobre ls referencis perpendiculres 2 y prtir de ell. Es importnte señlr que si el uelo de uno de los puntos es negtio en el sistem se mntendrá negtio en el sistem 2, pues, como y se dico, mbos comprten el mismo plno erticl de proyección. onsidérese or un nueo plno erticl PV2, perpendiculr PH, prlelo l rect y culquier distnci de ell; l intersección de PV2 con PH result en un nue líne de tierr 3 que es prlel l proyección erticl de l rect. Ls
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 18 proyecciones ortogonles de y sobre el nueo plno reflejn el erddero tmño del segmento, por l posición frontl que éste tiene en el sistem diédrico definido por PH y PV2; por es mism rzón, el ángulo formdo entre 3 3 y 3 tiene el mismo lor del ángulo α de l rect. Finlmente, como el plno orizontl es común pr los sistems y 3, l cot de los puntos y no rí de un sistem otro. El trzdo en diédrico en este cso es nálogo l nterior (Fig. 1.15-b). PV 3 PV2 3 3 3 Z 3 3 Z 3 PH Fig. 1.15-b: Introducción de un nueo plno erticl de proyección. 1.5.4 plicciones de los triángulos de btimiento undo se quiere determinr ls proyecciones de diédrics de un segmento de rect en posición oblicu - prtir de dtos como el Verddero Tmño y los ángulos que form con los plnos de proyección, es útil utilizr los triángulos de btimiento, puesto que en ellos se encuentrn tods ls ribles mencionds relcionds de mner precis con ls proyecciones ecs sobre PV y PH. El conocimiento de dicos triángulos y l bilidd pr utilizrlos grntizn l resolución de culquier problem de este tipo. En generl, es posible estblecer los siguientes csos típicos: 1. eterminr un segmento de rect conocid un proyección y el Verddero Tmño. Se un segmento de rect y supóngse que se conoce el punto y sólo un de ls proyecciones de, l orizontl por ejemplo. demás, el Verddero Tmño de es tmbién conocido. omo se conocen los lores de uelo de mbos extremos ( y ) es posible determinr l diferenci de uelo entre ellos; por otr prte el triángulo de btimiento formdo por VT, proyección erticl (l incógnit) y diferenci de uelo se puede construir siempre que se conozcn dos de sus ldos, ddo que es rectángulo. sí, el tmño de l proyección erticl de será el cteto p de un triángulo rectángulo, que tiene por ipotenus el Verddero Tmño de y el otro cteto de tmño igul l diferenci de uelo ( Y) entre y.
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 19 Finlmente, ciendo centro en l proyección erticl de y con rdio igul l tmño de l proyección erticl de, se trz un rco que, l cortr l referenci del punto, define l proyección erticl de este punto (Fig. 1.16-). Este problem puede tener dos soluciones, como se preci en l Fig. 1.16-, un solución o ningun solución. L primer situción se obtiene si l sum de los ángulos α y β del segmento es menor que 9; l segund situción corresponde un rect en posición orizontl (rco tngente l líne de referenci del punto ) en cuyo cso l sum de α y β result ser igul 9; finlmente, no existe solución posible si es sum es myor que 9, lo que en el ejemplo se trduce en un tmño de proyección erticl menor que l diferenci de coordends X entre los puntos y. Por otr prte, este ejercicio puede ser resuelto plicndo giro en torno un eje de pié (o de punt). Pr ello se procede dibujndo un rco de centro en l proyección orizontl del punto y de rdio igul, el cul cort un prlel trzd por en el punto, proyección orizontl del punto en l segund posición (después del giro). Seguidmente, se construye un rco de centro en y rdio igul l erddero tmño del segmento ; el punto de corte entre dico rco y l referenci perpendiculr correspondiente, iene ser l proyección erticl de. Luego si se trz por un prlel se obtiene, en el corte con l referenci correspondiente l punto, l proyección fltnte de éste punto, es decir, (Fig. 1.16-b). Veddero Tmño de ' VT Y Z p ' 2 Y Fig. 1.16- Fig. 1.16-b 2 Z 2 Fig. 1.16-c Si se introduce un nueo plno de proyección (Fig. 1.16-c) es tmbién posible resoler el problem. do que se conoce l proyección orizontl del segmento y l proyección erticl de uno de sus extremos (), result eidente l posibilidd de crer un nueo plno de proyección erticl prlelo l segmento, lo cul se trduce en un líne de tierr 2 prlel l proyección orizontl de dico segmento. Un ez lld l proyección uxilir ( 2 ) del punto, se construye un rco de centro en este punto y rdio igul l erddero tmño de ; el punto de corte entre dico rco y l referenci perpendiculr 2 correspondiente l punto
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 2 es l proyección uxilir 2 de este punto. Finlmente se determin su proyección erticl recordndo que l cot de es igul en los sistems y 2. 2. eterminr un segmento de rect conocid un proyección y el ángulo formdo entre l rect y l proyección desconocid. Se un segmento de rect y supóngse que se conoce el punto y sólo un de ls proyecciones de, l erticl por ejemplo. demás, el lor del ángulo que form l rect con l proyección desconocid, es decir, α, es tmbién conocido. omo se conocen los lores de cot de mbos extremos ( y ) es posible determinr l diferenci de cot entre ellos; por otr prte el triángulo de btimiento formdo por VT, proyección orizontl (l incógnit) y diferenci de cot se puede construir siempre que se conozcn el ángulo α y uno de sus ldos, puesto que es rectángulo. Si se dibuj un triángulo rectángulo con un ángulo interno igul α y de cteto opuesto ese ángulo igul l diferenci de cot entre y ( Z), se obtiene que el cteto dycente α es l proyección orizontl del segmento (p). Finlmente, ciendo centro en l proyección orizontl de y con rdio igul l tmño de l proyección orizontl de, se trz un rco que, l cortr l referenci del punto, define l proyección orizontl de este punto (Fig. 1.17-). l igul que en el cso número uno y por ls misms rzones, es posible obtener dos soluciones, tl y como se muestr en l Fig. 17-, un solución o ningun solución. ' Z α Z p ' Fig. 1.17- Fig. 1.17-b Pr llr l solución de este ejercicio plicndo giro (Fig. 1.17-b) es necesrio relizr el moimiento de rotción en torno un eje de pié, y que el ángulo conocido es el que form el segmento con el plno orizontl de proyección. En primer lugr se dibuj por un rect que forme α grdos con correspondiente l proyección erticl de l rect luego del giro; el punto de corte entre est rect y un prlel trzd por iene ser. Luego, en ist de que l rect es
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 21 frontl, l proyección orizontl de se ll en un prlel trzd por. Por último, se trz un rco de centro en l proyección orizontl de y rdio igul l segmento, el cul cort l referenci perpendiculr que corresponde l punto en. Result imposible determinr l solución (o soluciones) de este ejercicio medinte l introducción de un nueo plno de proyección, y que el ángulo conocido es el que form l rect con l proyección desconocid. 3. eterminr un segmento de rect conocid un proyección y el ángulo formdo entre l rect y l proyección dd. Se un segmento de rect y supóngse que se conoce el punto y sólo un de ls proyecciones de, l erticl por ejemplo. demás, el lor del ángulo que form l rect con l proyección dd, es decir, β, es tmbién conocido. L proyección erticl del segmento es el cteto dycente l ángulo β del triángulo de btimiento, en tnto que el cteto opuesto es l diferenci de uelo entre los puntos extremos del segmento. Si por l proyección erticl (dd) de culquier de los puntos extremos del segmento de rect, se trz un líne que forme un ángulo β con l proyección erticl del segmento, y si por el otro extremo de ést se lent un perpendiculr ell, se obtiene, el lor de l diferenci entre los uelos de y. Finlmente, el tmño de Y se consign sobre l referenci del punto, por delnte o por detrás del niel de uelo del punto, obteniéndose sí l proyección orizontl del punto. Es eidente que existen dos posibles soluciones, tl y como se muestr en l Fig. 1.18-. Y Fig. 1.18- Y Y plicndo giro del segmento en torno un eje de punt es tmbién posible llr l solución del problem. El procedimiento se inici con el trzdo de un rco de centro en y rdio igul l proyección erticl de, el cul cort un prlel trzd por en el punto. continución, se construye por un rect que forme β grdos con l líne de tierr, rect ést que iene ser l proyección orizontl del segmento, el cul tiene un posición orizontl. Finlmente, se trz por un prlel que cort l referenci correspondiente l punto en l proyección orizontl de este punto (Fig. 1.18-b). β Fig. 1.18-b ' ' e igul mner, l solución del problem se obtiene si se introduce un nueo plno de proyección orizontl prlelo l segmento, generándose sí un nueo sistem
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 22 de proyección cuy líne de tierr 2 debe ser prlel l proyección erticl de, y en el cul éste segmento tiene un posición orizontl. Trzndo por 2 un líne que forme β grdos con 2 se obtiene, en el corte con l referenci perpendiculr 2 que ps por, l proyección uxilir de. Luego, sbiendo que l cot del punto es igul en los sistems y 2, es fácil llr l proyección orizontl del punto (Fig. 18-c). Y 2 2 β 2 Y Fig. 1.18-c 4. eterminr un segmento de rect conocido el Verddero Tmño y el lor de α y β. Se un segmento de rect y supóngse que se conoce el punto y ningun de ls proyecciones de. demás, se conocen los lores ngulres α y β. Veddero Tmño de omo pr un mismo segmento mbos triángulos de btimiento tienen en común l ipotenus (VT), y como se conocen mbos ángulos con los plnos de proyección, es necesrio construir los dos polígonos. Se prte de l construcción de un circunferenci de diámetro VT, en l cul se inscriben los triángulos de btimiento (recuérdese que mbos triángulos son rectángulos y que el rco cpz de 9 es un semicircunferenci 1 ), trzndo desde uno de los extremos del diámetro VT línes que formen ángulos α y β con éste. Luego, los cortes de ls línes trzds se unen con el otro extremo del diámetro VT. p p Z Y e l construcción nterior se obtienen los lores de mbs proyecciones del segmento y de ls diferencis de cot y uelo entre esos dos puntos (Fig. 1.19-) Fig. 1.19-1 e cuerdo con Puig dm (urso de Geometrí Métric, Tomo I. Editoril ibliotec Mtemátic. Mdrid 1973), el rco cpz de un ángulo α sobre un segmento es el lugr geométrico formdo por los értices de los ángulos igules α y cuyos ldos psn por los puntos y.
GENERLIES EN EL ESTUIO E L OLE PROYEIÓN ORTOGONL 23 El trsldo de esos lores l representción diédric se reliz de l siguiente form: Se construye un circunferenci de centro en y rdio igul p y un circunferenci de centro en y rdio igul p. Seguidmente se consign el tmño de Z por rrib y por debjo del niel de cot de y sobre su referenci, y se trzn línes prlels por los puntos sí obtenidos. Luego, se consign el lor de Y por delnte y por detrás del niel de uelo y sobre su referenci, trzndo enseguid línes prlels por los puntos resultntes. Los cortes entre l circunferenci de centro en y ls prlels situds un distnci igul Z de es proyección, son ls cutro posibles soluciones pr ; del mismo modo, los puntos comunes l circunferenci de centro en y ls prlels situds un distnci igul Y de es proyección, definen cutro posibles soluciones pr. Fig. 1.19-b e est mner se concluye que existen cutro posibles rects que pueden contener l segmento y que existen, sobre ess cutro rects, oco soluciones pr el segmento (Fig. 1.19-b). Es posible determinr ls soluciones de este tipo de problem plicndo dos giros simultánemente (l Fig. 1.19-c muestr un de ells), uno en torno un rect de pié que ps por y el otro en torno un rect de punt que ps por ese mismo punto. El procedimiento comienz con l construcción de l doble proyección ortogonl de un segmento de rect frontl, de longitud igul l erddero tmño de y que form α grdos con PH. En segundo lugr, se trzn ls proyecciones de un segmento orizontl, de igul longitud y formndo β grdos con PV. Pr encontrr l proyección erticl del punto se construye un rco de centro en y rdio igul l proyección erticl de, el cul cort un prlel trzd por en el punto buscdo ( ). e form nálog, el corte entre un rco de centro en y rdio y un prlel trzd por, corresponde l proyección orizontl del punto. Veddero Tmño de Fig. 1.19-c ' ' '' '' Hy que destcr que no es posible resoler este problem plicndo nueos plnos de proyección, pues se desconocen mbs proyecciones diédrics del segmento.