TEMA: DERIVADAS. Derivada de una función en un punto Se define la derivada de una función f() en un punto "a" como el resultado, del siguiente límite: f ( a + ) f ( a) f '( a) lim Si el límite eiste es finito se dice que f() es derivable en a. En caso contrario, se dice que f() no es derivable en a. Interpretación geométrica Recordamos que la derivada en a es la pendiente de a, f ( a ). la recta tangente a la curva en el punto A ( ) º) Calcula, utilizando la definición, las siguientes derivadas: a) f() -+5 en b) f ( ) ln + en 0 + c) f ( ) en - en. Derivadas Laterales Puesto que la derivada en un punto se define como un límite, en algunos casos tendremos que calcular límites laterales (por ejemplo, en las funciones definidas a trozos). Se definen las derivadas laterales de una función f() en a, como: f ( a + ) f ( a) Derivada lateral por la izquierda: f ( a ) lim + f ( a + ) f ( a) Derivada lateral por la dereca: f ( a ) lim+ Para que una función sea derivable en un punto se debe cumplir que las derivadas laterales eistan sean iguales. Ese valor coincide con f (a). + < º) g( ) + <, calcula g (-),g () g () + º) Calculas las derivadas laterales en los puntos que se indican: a. f ( ) en. /0 IBR IES LA NÍA
b. c. 5 + < 0 f ( ) en 0 0 + 5 f ( ) en >. Derivabilidad continuidad Observa que decir que una función es derivable en a implica necesariamente que el numerador de la definición de derivada tenga límite 0, cuando tiende a 0, pues de lo contrario el límite sería infinito, por tanto: f ( a + ) f ( a) f es derivable en a f '( a) lim es finito lim[ f ( a + ) f ( a) ] 0 lim f ( a + ) lim f ( a) lim f ( a + ) f ( a), si llamamos a+ lim f ( ) f ( a) f es continua en a a Si una función es derivable en un punto, es continua en dico punto Un enunciado equivalente sería : Si una función no es continua en un punto, no es derivable en dico punto (la continuidad es condición imprescindible para la derivabilidad) 4º) Pon ejemplos gráficos, cuando sea posible, que ilustren los siguientes casos.. Continua derivable. No continua no derivable. Continua no derivable 4. No continua derivable 5º) Estudia la derivabilidad de la función representada en la siguiente gráfica: 6º) Estudia la derivabilidad en el origen de la función valor absoluto de. 4. Función derivada Cuando deseamos calcular la derivada de una función en varios de sus puntos nos encontramos con el inconveniente de tener que calcular los correspondientes límites. /0 IBR IES LA NÍA
f ( a + ) f ( a) Si en la definición de derivada en un punto: f ( a) lim, ponemos la variable en lugar del valor a, tenemos una nueva función, f () que a cada valor le asigna el valor de la derivada de f() en ese punto: f ( ) lim f ( + ) f ( ) Esta función recibe el nombre de función derivada de f() o simplemente, derivada de f. El cálculo de la función derivada permite obtener el valor de la derivada en cada punto. Ejercicio: 7º) Halla la función derivada de f ( ) de g ( ) 5. Derivadas de algunas funciones elementales A partir de la definición de función derivada se pueden obtener las derivadas de algunas funciones elementales.. Función constante: f ( ) k f ( ) 0. La derivada de la función constante es 0.. Función potencial: f ( ) n f ( ) n. Función recíproca: f ( ) f ( ) (Demostración en el último ejercicio) 4. Función raíz cuadrada: f ( ) f ( ) (Demostración en el último ejercicio) 5. Función eponencial: f ( ) a f ( ) a.ln a, en el caso particular del nº e f ( ) e f '( ) e 6. Función logarítmica: f ( ) log a f ( ), en el caso particular del logaritmo.ln a neperiano: f ( ) ln f ( ), puesto que lne. 7. Función seno: f ( ) sen f ( ) cos n 8. Función coseno: f ( ) cos f '( ) sen 9. Función arcoseno: 0. Función arcocoseno:. Función arcotangente: f ( ) arcsen f ( ) arccos f ( ) arctg f ( ) f ( ) f ( ) + 8º) Calcula la derivada de las siguientes funciones: /0 IBR IES LA NÍA
a. f ( ) 4 b. f ( ) 7 c. f ( ) 5 9º) Justifica que si f ( ) n f '( ) n n n 6. Función derivada operaciones Reglas que permiten derivar funciones obtenidas como operaciones con otras funciones derivables: ) Suma: ( f + g)'( ) f '( ) + g' ( ) ) Producto de una constante por una función: ( k. f )'( ) k. f '( ) ) Producto de funciones: ( f. g) ( ) f ( ). g( ) + f ( ). g ( ) f ( ) 4) Función recíproca: ( ) f f ( ) 5) Cociente: f f ( ). g( ) f ( ). g ( ) ( ) g g ( ). 0º) Dadas las siguientes funciones calcula asta la tercera derivada: a. f ( ) 4 + b. f 4 ( ) + 8 7 4 c. f ( ) 5 4 + 6 8 + d. 4 6 f ( ) + + e. 5 f ( ) 5 8 ln + cos + 5 º) La función que describe la posición de un móvil, que se desplaza siguiendo una traectoria rectilínea, en función del tiempo es ( t) t 6t, donde se mide en metros t en segundos. Calcula: a. La velocidad la aceleración en función del tiempo. b. La posición, la velocidad la aceleración para ts [7m, 45ms -, 4ms - ] c. El instante en que su velocidad es ms -. [s] d. El instante en que la aceleración es 8 ms -. [0/9 s] º) Obtén la derivada de las funciones tg, cot g º) Cuál de las dos funciones + 5, + 6 crece más rápidamente (está más inclinada) en? [la ª] 4º) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: f ( ). f ( ). f ( ) 5 4/0 IBR IES LA NÍA
5 4. f ( ) sen + ln 5 + 5. ( ) 5 f 6. f ( ) 7 7. f ( ) 8. f ( ) 5 9. f ( ) + 0. f ( ) ( + )(5 ). f ( ) log. f ( ) ( ) +. f ( ) + 4. f ( ) 5. f ( ) + 6. f ( ) ( )( 5) 7. f ( ) 8. f ( ) log 9. f + ( ) 0. f ( ) sen + cos + e. f ( ) sen cos ( sen cos ). f ( ) e. f ( ) ln 4. 6. f ( ) arctg + + 5. f ( ) + 4 + [ ] ( + ) 8.. + 9. f ( ) ln, [ ln ] f 4 ( ) ln, [ (4ln ] f ( ) e sen, e ( sen + cos ). f ( ) ln 7. f ( ) arcsen + 0. f ( ), ( ) f ( ), 4 5º) Cuál es la pendiente de la tangente a la curva sen f ( ) en π? [m4] + sen 7. Ecuación de la recta tangente Recordamos que la derivada de una función en un punto coincide con el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Para poder obtener la ecuación de la recta tangente necesitamos la pendiente m t un punto de la recta. Como m f (a) el punto A( 0, 0 )(a,f(a)), directamente, de la ecuación punto-pendiente: m( 0 ) : f ( a) f ( a)( a) 0 También debemos saber calcular la ecuación de la recta normal a la curva en A(a,f(a)). Como la recta normal es perpendicular a la recta tangente, tendremos que las pendientes son opuestas e inversas: m N m t 5/0 IBR IES LA NÍA
+ 6º) Escribe las ecuaciones de la tangente la normal a la curva en, alla el área del triángulo determinado por esas dos rectas el eje de abscisas. 7º) Halla la ecuación de la recta tangente en el punto que se indica: a. f ( ) ln, en e, e b. f ( ) e, en e e c. f ( ), en 4 + 4 8º) Determina los puntos de la curva +9-9+5 en los cuales la tangente es paralela a la recta +5, [ -7] + a 9º) Calcula el valor de a para que f ( ) tenga pendiente en el punto de abscisa. a Obtén la ecuación de la recta normal en ese punto.[a -; -+]] + 0º) Qué ángulo forma la recta tangente a en el punto de abscisa? 4 º) En qué puntos la curva f() 4-7 + ++ tiene tangente que forma un ángulo de 45 con el eje de abscisas? [0, /4 ] º) En qué puntos la tangente a la curva - +5- es perpendicular a la recta +-0? [/] º) Determina los coeficientes a b en a +b+, sabiendo que la recta tangente en es. [a, b -6] 0 < 4º) Comprueba que la función f ( ) + es derivable en. 0 0 5º) Es derivable en 0 la función f ( )? Y la función g ( )? [f no, > 0 > 0 g sí] 6º) Estudia en qué puntos tienen recta tangente (son derivables) las siguientes funciones: + 0 b. f() -+ + 0 < < c. f() - a. f ( ) + 8 5 4 8 > 4 + a <. 7º) Halla a b para que f ( ) a + b < 0 sea continua. Para esos valores estudia la + 0 derivabilidad de f(). [a; b] a 8º) Sea f ( ). Para qué valores de a es continua? Para que valores de a es > a derivable? [a derivable; a no derivable] 6/0 IBR IES LA NÍA
0 9º) Sea f ( ) a + b > 0 a. Calcula a b para que f() sea continua. [ a R, b0] b. Calcula a b para que f() sea derivable. [a-, b0] π 5sen < π π 0º) Halla a b para que f ( ) asen + b sea continua. Es derivable en todo π cos + < R para estos valores de a b? [a4, b-; en -π/ si, en π/ no] º) Sean las funciones f ( ) 6 + g( ) + + 6. Calcula los puntos donde: a. Se cortan sus gráficas [(,7) (,)] b. Sus rectas tangentes son paralelas. [(,6)] 5 c. Sus rectas tangentes son perpendiculares. ± º) En el plano se tiene la curva +. Encontrar razonadamente las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (,) son tangentes a dica curva. (Sep-05)[- en (0,-); 0-7 en (4,)] º) Dada la función polinómica f ( ) 4, se pide obtener razonadamente: a. La gráfica de la curva 4 b. El punto P de esa curva cua tangente es perpendicular a la recta de ecuación + 0 [(-/,5/4)] c. Las rectas que pasan por el punto (-,) son tangentes a la curva 4, obteniendo los puntos de tangencia. (jun-0) [+5 en -; 6+ en -] 8. Derivada de la función compuesta: regla de la cadena Las reglas de derivación anteriores permiten obtener la función derivada de las funciones elementales más usuales, pero todavía no podemos calcular la derivada de funciones como: f ( ) + 8, f ( ) sen( + ), f ( ) e. Estas funciones son funciones compuestas. Para derivar este tipo de funciones debemos aplicar la siguiente epresión, que se conoce como regla g o f ( ) g ( f ( )) f ( de la cadena: ( ) ) Ejemplo: 7 ( ) 5 ( ) 5 7 + +, en este caso la función eterna g es la potencia, la función interior f es + 5 5( ) + + 7 7 ( + ) 5 7 + ( ) ( ) 7 4º) Calcula la derivada de las siguientes funciones: 7/0 IBR IES LA NÍA
. f ( ) + 5. f ( ) ( + 5). 4 f ( ) 4. 7. 0. 4, f ( ) 4 4 ln( + ) 5. f ( ) ln(7 + ) 6. f ( ) + f ( ) ln 8. f ( ) ln 9. f ( ) e 5 f ( ). f ( ) 4 e. f ( ) sen4. f ( ) sen(ln( + )) 4. f ( ) cos( 5 + ) 5. f ( ) cos 6. f ( ) tg,[ sec ] 7. f ( ) arcsen8, 8 64 9. f ( ) arccos, 0. f ( ) arctg( + ) + + 4 8. f ( ) arctg [ ]. f ( ) ln( tg( + )) 9. Derivación logarítmica La derivación logarítmica es una técnica basada en las propiedades de los logaritmos para obtener la derivada de algunas funciones, en especial las de tipo eponencial-potencial, es decir, aquellas cua f ( ) g base cuo eponente son funciones: [ ] ( ) Antes de derivar tomamos logaritmos neperianos a ambos lados de la igualdad: [ ] ( ) Aplicamos las propiedades de los logaritmos: ln g( ) ln [ f ( ) ] Derivamos los dos miembros de la igualdad: g ( ) ln + g ( ) ( ) f ( ) f Despejamos :. g ( ) ln + g( ) f ( ) f ( ) g f f ( ). g ( ) ln + g( ) f ( ) Sustituimos por su epresión: [ ] ( ) ( ) Ejemplo: ( ) ln ln ln f ( ) g ln ln ln ln. Derivamos los dos miembros de la igualdad: + Multiplicando por :. [ ln + ].[ ln + ] 5º) Calcula la derivada de: 8/0 IBR IES LA NÍA
6 a) ( + 5), ( + 5) ln( + 5) + + 5 b) (cos ) ln, cos c), ln ln TABLA DE DERIVADAS Funciones elementales F. constante: k, k R 0 F. identidad: F. potencial: n Función raíz cuadrada: F. recíproca: Función eponencial: Función logarítmica: Funciones trigonométricas: n n. ( f ) f ( ) a a a ln e lg a ln e Función compuesta ( ) n n n( f ( ) ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) a f ( ) e lg a f ( ) ln a ln( f ( )) f ( ) a f ( ).ln a ( ) f ( ) e f ( ) f ( ) ln a f f ( ) f ( ) sen cos sen( f ( )) f ( ) cos( f ( )) cos sen cos( f ( )) f ( ) sen( f ( )) Funciones trigonométricas inversas: tg arcsen arccos cos sec tg( f ( )) f ( ) cos f ( ) arcsen( f ( )) f ( ) f ( ) arccos( f ( )) f ( ) f ( ) arctg arctg( f ( )) ( ) + f ( ) f + 9/0 IBR IES LA NÍA
DERIVADAS PARA PRACTICAR:. ( ). 8 7 8. 5. 6 7 4. 6. ( + ) sen sen cos sen + sen 4cos ( + sen) 7.. ln ( + ln ) 8..(ln ) (ln ) + ln( ) 9.. arccos arccos 0. sen 9sen. cos. sen() 9cos(). arct + 4 +. ctg( + 7) cos ec ( + 7) 4. ln( sen) cot g 5. log( + +) 7. e + e e e + + sen 6. ln ( + + ).ln0 sen 4 8. ln(ln ) ( e e ) 6 9. arctg( ) 4 0. + 9. arccos( ). + e arccos cos ln + ln. arccos e. sen ( +) (4 + 4 ) ( + ) 4. sen + +.ln 5. sen( ). cos( ).( + ln ) 6. arcsen(ln ) (ln ) 0/0 IBR IES LA NÍA