TEMA 5 Integrción Objetivos: Los objetivos son: (1) sber clculr integrles definids en un vrible; (2) sber clculr integrles definids en dos vrible medinte el teorem de Fubini y el teorem de cmbio de vrible; (3) utilizr integrción pr resolver problems geométricos y físicos. Prerrequisitos: Hber cubierto los objetivos de los tems nteriores. Contenido: Lección 5.1 Integrles de funciones de un vrible. Integrl de Riemmn. Teorem fundmentl del cálculo y regl de Brrow. Integrción por prtes y cmbio de vrible en ls integrles definids. Aplicciones geométrics. Lección 5.2 Integrción de cmpos esclres. Integrl de Riemmn pr cmpos esclres. Teorem de Fubini. Cmpos vectoriles y teorem de cmbio de vrible. Aplicciones. Ingenierí Informátic. Cálculo pr l computción 173
174 Cálculo pr l computción LECCIÓN 5.1 Integrles de funciones de un vrible El contenido de est lección está dedicdo l integrl de Riemmn o integrl definid de funciones de un vrible. Aunque utilizremos el cálculo de áres pr introducir los conceptos, ls plicciones de l integrl definid son múltiples, tnto en ls mtemátics como en ls distints áres de ingenierí. Segurmente el lumno recuerde tod un colección de fórmuls pr clculr el áre de polígonos. Tods ess fórmuls tienen como punto de prtid l definición del áre de un rectángulo: el áre de un rectángulo es el producto de sus dimensiones. A prtir de est definición, podemos clculr el áre de culquier polígono. Por ejemplo, en l figur l ldo podemos ver que el áre de un triángulo de bse b y ltur h es A = 1 2bh; demás, el áre de culquier otr región poligonl se puede clculr dividiéndol en triángulo. A = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 Pero, cómo clculmos el áre encerrd por un curv? No podemos obtener de form direct un expresión pr ese áre, por lo que, en estos csos, buscmos un procedimiento pr proximr su vlor. Por ejemplo, en l ntigüedd, utilizbn polígonos regulres inscritos en un círculo pr proximr el vlor de su áre; cuntos más ldos tomemos, mejor será est proximción. En un región rbitrri, tmbién podemos utilizr este procedimiento, por ejemplo, inscribiendo frnjs rectngulres podemos mejorr l proximción hciéndols cd vez más estrechs. E.T.S.I.Informátic
Tem 5: Integrción. 175 Este es el punto de prtid pr definir l integrl definid de un función de un vrible. Pr poder hcer los cálculos de ls áres necesitmos conocer ls dimensiones de los rectángulos inscritos y por eso el áre que result más fácil de clculr es l región que qued entre el grfo de l función de un vrible y el eje OX entre dos puntos de bciss x = y x = b. Aunque tiene sentido estudir l integrbilidd de culquier función cotd, lo lrgo del tem vmos trbjr solmente con funciones continus trozos. Veremos que tods ls funciones continus son integrbles, unque hy funciones integrbles que no son continus; el estudio de dichs funciones qued fuer de los objetivos del curso. Volviendo l ejemplo de l figur de rrib, podemos plnter en primer lugr proximr el áre de l región tomndo frnjs rectngulres que queden estrictmente dentro de l región, es decir, obtener un proximción por defecto. Ingenierí Informátic
176 Cálculo pr l computción Pr ello, elegimos un conjunto de puntos del intervlo [, b], que llmmos prtición = x < x 1 < x 2 <... < x n = b. Ls bses de los rectángulos serán ls diferencis (x i x i 1 ) y ls lturs serán los vlores mínimos que tome l función en cd intervlo [x i 1, x i ], m i = mín{f(t); t [x i 1, x i ]} Recordemos que estos vlores existen porque estmos suponiendo que l función f es continu. De est form, y podemos clculr l proximción por defecto del áre, n L P = m i (x i x i 1 ), i=1 y que llmmos sum inferior de f pr l prtición P = {x, x 1,..., x n }. Tmbién podemos hllr un proximción por exceso del áre. Pr ello, tommos l mism prtición y en lugr de los vlores mínimos de cd subintervlo, tommos los vlores máximos como lturs de ls frnjs rectngulres: Est proximción U P P = {x, x 1,..., x n }. M i = mín{f(t); t [x i 1, x i ]} n U P = M i (x i x i 1 ), i=1 se denomin sum superior de f pr l prtición Es evidente que, pr cd prtición, el áre exct siempre estrá entre cd sum inferior y cd sum superior, L P A U P. Además, ls proximciones mejorn medid que ñdimos puntos l prtición y reducimos l distnci entre ellos. En el límite, ls proximciones por defecto y por exceso se encontrrín pr drnos el vlor del áre. E.T.S.I.Informátic
Tem 5: Integrción. 177 Definición 5.1 Un función f cotd sobre [, b] se dice integrble en [, b] si: sup{l P : P Prtición de [, b]} = ínf{u P : P Prtición de [, b]} En tl cso, este número recibe el nombre de integrl de f sobre [, b] y se denot por l función). f o f(x) (el símbolo se us pr indicr l vrible de Como y hbímos nuncindo, ls funciones continus son integrbles en cd intervlo cerrdo. Teorem 5.2 Tod función continu en un intervlo cerrdo I, es integrble en ese intervlo. En l definición 5.1 hemos utilizdo los operdores sup e ínf que devuelven el límite o extremo superior y el límite o extremo inferior de un conjunto de números. En generl, no es fácil clculr estos vlores, unque en lgunos csos es posible hcerlo utilizndo técnics de cálculo de límites si sbemos que l función es integrble. Ejemplo 5.1.1 Vmos clculr el áre que qued entre l prábol y = x 2 y el eje OX en el intervlo [, 1]. En lugr de trbjr con tods ls prticiones posibles, es suficiente considerr ls prticiones P n = {, 1 n, 2 n,..., n n }, que se denominn prticiones regulres en n subintervlos. L rzón es que l mplitud de estos subintervlos, 1 / n, decrece y que l función es integrble, por ser continu. Además, est fmili es en relidd un sucesión y por lo tnto, l sums superiores Ingenierí Informátic
178 Cálculo pr l computción o inferiores socids son sucesiones numérics; por lo tnto, determinr el ínfimo y el supremo se reduce clculr límites: 1 x 2 = ínf{u P : P Prtición de [, 1]} = lím U Pn = lím = lím n i=1 = lím 1 n 3 n n M i (x i x i 1 ) i=1 ( ) i 2 ( ) 1 n n i=1 i 2 = lím 1 n 3 (1 + 22 + 3 2 + + n 2 ) = lím 1 n 3 n(n + 1)(2n + 1) 6 Otr form de simplificr el cálculo es usndo sums de Riemmn. Dd un prtición P = {x,..., x n } de un intervlo [, b], y un conjunto de puntos ξ = {x 1,..., x n} tl que x i [x i 1, x i ] pr cd i, llmmos sum de Riemmn de f pr P y ξ : R ξ P = n f(x i )(x i x i 1 ), i=1 Si l función f es continu, ls sums de Riemmn tmbién convergen l integrl. Como veremos más delnte, ls sums de Riemmn serán un herrmient más flexible pr justificr que un determind mgnitud puede ser clculd usndo un integrl. Debemos recordr que ls integrles no sirven únicmente pr clculr áres, unque este h sido el modelo que hemos utilizdo pr presentr el concepto. Teorem 5.3 Si f es un función continu y positiv en el intervlo [, b], entonces l integrl definid entre el grfo de f y el eje OX en dicho intervlo. = 1 3 f es el vlor del áre de l región comprendid Ejemplo 5.1.2 El áre de un círculo se puede clculr prtir de l gráfic de l función f(x) = r 2 x 2. Si consideremos el intervlo [, r], l región entre el grfo de f y el eje OX es un curto de círculo y por lo tnto: r [ A = 4 r 2 x 2 = 2r 2 rc sen x ] r r + 2x r 2 x 2 = πr 2 No incluimos los detlles del cálculo de l primitiv puesto que y h sido resuelt en el tem nterior. E.T.S.I.Informátic
Tem 5: Integrción. 179 5.1.1. Teorems y propieddes fundmentles Aunque hemos podido clculr un integrl definid usndo límites de sucesiones, este procedimiento dist mucho de ser eficz. Ls sums de Riemmn serán l herrmient teóric fundmentl pr l plicción de l integrl determindos modelos mtemáticos o físicos, pero no son un herrmient de cálculo. El resultdo fundmentl pr bordr este objetivo es el Teorem fundmentl del cálculo, que relcion los dos conceptos básicos del Cálculo infinitesiml, l derivción y l integrción. Teorem 5.4 (Teorem Fundmentl del Cálculo) Se f un función continu en [, b], y consideremos l función F definid como: Entonces, F es derivble y F = f F (t) = En el tem nterior hemos definido y trbjdo con el concepto de primitiv de un función, pero no hemos podido sber hst hor pr qué funciones existe primitiv. El teorem fundmentl del cálculo resuelve este problem: tod función continu en un intervlo cerrdo dmite un primitiv en ese intervlo (unque no esté expresd en términos de funciones elementles). Como corolrio de este teorem obtenemos l Regl de Brrow. Teorem 5.5 (Regl de Brrow) Si f es continu en [, b] y f = F, entonces [ ] b f = F (b) F () (Notción) = F (x) Ejemplo 5.1.3 Vmos clculr de nuevo el áre de l región del ejemplo 5.1.1 usndo l regl de Brrow: 1 [ ] x x 2 3 1 = = 1 3 3 El hecho de tener un resultdo tn potente como l Regl de Brrow pr clculr integrles definids no debe llevrnos l conclusión erróne de que podemos olvidr l definición de integrl. Por otr prte, l regl de Brrow solo es útil pr quells funciones que dmiten un primitiv expresble en términos de funciones elementles, y y sbemos que no tods ls funciones continus dmiten este tipo de primitivs. En estos csos, podrímos recurrir métodos de proximción, entre los cules se encuentr l evlución de sums de Riemmn. El siguiente resultdo recoge ls propieddes lgebrics y otrs propieddes elementles de l integrl definid. t f Ingenierí Informátic
18 Cálculo pr l computción Teorem 5.6 Sen f y g dos funciones integrbles en I y se [, b] I. Entonces, se verificn ls siguientes propieddes: 1. 2. 3. 4. ( (f ± g) = αf = α ) ( ) f ± g. f pr culquier α R. ( c ) ( ) f = f + f pr culquier c I. c f = b f Como herrmients pr el cálculo de primitivs, hemos estudido en el tem nterior el método de integrción por prtes y los métodos de sustitución. Volvemos recoger continución estos resultdos pero plicdos l integrl definid. Teorem 5.7 (Cmbio de vrible directo) Sen g continu en [, b] y tl que g existe y es continu y se f continu entre g() y g(b), entonces: f(g(x))g (x) = g(b) g() f(u)du L ventj de usr este resultdo y los siguientes está en qué, pr clculr un integrl definid, no necesitremos completr el proceso de cálculo de l primitiv deshciendo los cmbios de vrible que pliquemos. Bstrá con modificr los límites de integrción usndo l función que d el cmbio de vrible. En el segundo resultdo de cmbio de vrible debemos tener en cuent que l función del cmbio debe ser biyectiv. Corolrio 5.8 (Cmbio de vrible inverso) Se f un función continu en [α, β]. Consideremos un función g : I [α, β] biyectiv, continu y con primer derivd continu. Entonces, β α f(x) = g 1 (β) g 1 (α) f(g(u))g (u)du Ejemplo 5.1.4 En el ejemplo 5.1.2 hemos clculdo el áre de un círculo de rdio r utilizndo un primitiv que se clculó en el tem nterior. Vmos repetir el mismo cálculo pero relizndo el cmbio de vrible en l integrl E.T.S.I.Informátic
Tem 5: Integrción. 181 definid. r A =4 r 2 x 2 x = r sen θ (est función es biyectiv en [, π/2]) = r cos θdθ x = θ = =4 x = r θ = π/2 π/2 r 2 cos 2 θdθ = 4r 2 π/2 [ θ =4r 2 2 + 1 ] π/2 4 sen 2θ = 4r 2 π 4 = πr2 ( 1 2 + 1 ) cos 2θ dθ 2 Podemos observr que l evitr deshcer los cmbios, ls expresiones que mnejmos son más simples. L técnic de integrción por prtes tmbién tiene su enuncido correspondiente con integrles definids. Teorem 5.9 (Integrción por prtes) Sen f y g dos funciones tles que f y g son continus, entonces: [ ] b f(x)g (x) = f(x)g(x) g(x)f (x) Aprentemente, este resultdo no conllev ningun ventj de form isld, pero es útil pr usrlo conjuntmente con los cmbios de vrible. Ejemplo 5.1.5 Utilizmos el resultdo nterior pr clculr l siguiente integrl definid π/2 π/6 cos x ln sen x Pr ello, utilizmos el cmbio de vrible t = sen x, dt = cos x Los límite de integrción se modificn de l siguiente form: pr x = π/6, el vlor de t es 1/2, mientrs que pr x = π/2 el vlor de t es 1. π/2 π/6 cos x ln sen x = [ = t ln t 1 1/2 ln t dt dt u = ln t du = t dv = dt v = t ] 1 1/2 1 1/2 dt = ln(1/2) 2 [ ] 1 t = ln 2 1/2 2 1 2 Ingenierí Informátic
182 Cálculo pr l computción 5.1.2. Aplicciones geométrics En est sección vmos ver lguns plicciones geométrics de l integrl definid: volúmenes de revolución y longitud de curv. En l relción de ejercicios se presentrán lguns más. Volúmenes: método de secciones Supongmos que tenemos el sólido cotdo por dos plnos perpendiculres l eje OX, X =, X = b. Supongmos que pr cd x [, b] conocemos el áre, A(x), de l sección del sólido por el plno X = x y que l función A sí definid es continu en [, b]. Entonces, el volumen del sólido viene ddo por: V = A(x) En lgunos csos, el enuncido del problem drá l posición del sólido respecto de los ejes coordendos, pero más frecuentemente, tendremos que elegir nosotros est posición, de tl form que se fácil clculr ls áres A(x). Ejemplo 5.1.6 Se cort un cuñ de un tronco (cilíndrico) de rdio 2 dm dndo dos cortes con un sierr mecánic que llegn hst el centro del tronco. Si uno de los cortes se hce perpendiculr y el otro formndo un ángulo de 3 con el primero, qué volumen tendrá l cuñ? Pr hcer el cálculo utilizndo el método de ls secciones, situmos el sólido como se muestr en l figur. L bse de l cuñ, perpendiculr l eje del tronco, es el interior del semicírculo y = 4 x 2. Al hcer los cortes perpendiculres l eje OX, ls secciones son triángulos rectángulos cuy bse es 4 x 2 y form un ángulo de 3 con l hipotenus. Por lo tnto, su ltur es 3(4 x 2 ) y el áre de l sección es A(x) = 3 2 (4 x2 ). El volumen que querímos clculr es: V = 2 2 A = 2 2 3 2 (4 x2 ) = 3 [4x x3 2 3 ] 2 2 = 16 3 3 E.T.S.I.Informátic
Tem 5: Integrción. 183 Como cso prticulr, podemos clculr el volumen de sólidos de revolución usndo el método de los discos. Si consideremos un región pln determind por el grfo de un función continu f entre y b que gir lrededor del eje OX, el sólido generdo verific que ls secciónes perpendiculres l eje OX, son circulos de rdio f(x). Por tnto, el volumen del sólido es: V = πf(x) 2 Volúmenes de revolución: método por cps Otr form de generr un sólido de revolución es girndo l región determind por un función continu en un intervlo [, b] con, lrededor del eje OY. El volumen de un sólido sí generdo es: V = 2πxf(x) Longitud de un curv prmetrizd Se γ : [, b] R 2 un curv prmetrizd diferencible y con derivd continu. Si γ(t) = (x(t), y(t)), l longitud de l curv γ es: l = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt L expresión del integrndo se denomin diferencil de longitud dl = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt y expres cómo vrí l longitud de l curv respecto de l vrición del prámetro. Como cso prticulr, l longitud de l gráfic de un función derivble f, en un intervlo [, b] es: L = 1 + [f (x)] 2 5.1.3. Integrles impropis En generl, decimos que un integrl definid es impropi si l función del integrndo no está definid en lgún punto del dominio de integrción o este no está cotdo. Pr bordr este tipo de integrles tenemos que fijrnos en primer lugr en los csos más simples, es decir, quellos en los que l función no está definid exctmente en un punto. Ingenierí Informátic
184 Cálculo pr l computción Definición 5.1 Se f un función continu en [, + ). L integrl impropi + f se define como + f = lím t + Decimos que l integrl converge si este límite existe y es un número rel. De form nálog se define f Definición 5.11 Se f un función continu en [, b) y no definid en b. L integrl impropi f se define por f = lím t b Decimos que l integrl converge si este límite existe y es un número rel. De form nálog se define t t f f f si f es continu en (, b] y no definid en. L regl de Brrow se extiende fácilmente l evlución de integrles impropis. Por ejemplo, si F es un primitiv de f en el intervlo [, + ), entonces: + [ ] + f = lím (F (t) F ()) = F (t) t + (Notción) Ejemplo 5.1.1 Vmos clculr dos integrles impropis de l función f(x) = 1 x 2 [ x 2 = 1 ] = lím x ( 1 x x + 1) = 1 1 1 x 2 = [ 1 x 1 ] 1 = lím x + ( 1 + 1 x ) = + Teorem 5.12 Si f es un función continu y no negtiv, entonces cd uno de los tipos básicos de integrles impropis o bien convergen un número rel c o bien divergen. Ls definiciones nteriores solo recogen los csos en que l integrl es impropi en uno de los límites de integrción, pero tmbién podemos considerr integrles impropis en los dos límites de integrción o en un punto interior. En estos csos, solo podemos dr l definición de convergenci; por ejemplo, si f es continu en (, + ) y no est definid en, decimos que l integrl impropi f converge si convergen l integrles f y b f pr lgún b > ; nálogmente se define l convergenci del resto de integrles impropis. E.T.S.I.Informátic
Tem 5: Integrción. 185 Ejercicios de clse 1. Considermos l región del primer cudrnte encerrd entre l gráfic de l función f(x) = 1 x y los ejes de coordends. Se pide: ) Clculr vlores proximdos del áre de l región: 1) Utilizndo l sum superior en un prtición del intervlo formd por 2 puntos. 2) Utilizndo l sum superior en un prtición del intervlo formd por 3 puntos. 3) Utilizndo l sum superior en un prtición del intervlo formd por 5 puntos. 4) Repit los prtdos nteriores utilizndo sums inferiores. b) Clcule el vlor excto del áre de dos mners distints: 1) Tomndo límite sobre l sum de Riemmn pr un elección culquier sobre l prtición P n = {, 1 n, 2 n,..., 1} y sbiendo que l sum de los n primeros números nturles es 1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1) 2 2) Utilizndo l regl de Brrow. c) Compre los resultdos proximdos obtenidos en el primer prtdo con el vlor excto obtenido en el segundo prtdo y compruebe que se verific l desiguldd: L P A U P. 2. Determine l función F (t) = t f(t) dt donde: 2x si x 2 f(t) = 4 si x 2 3. Usr ls propieddes de l integrl definid y el teorem fundmentl pr hllr ls siguientes derivds: d x e t dt, d x 3 t 5 dt, 1 d x 2 sen t dt x 4. Consideremos ls siguientes funciones definids en el intervlo [, 1]: f(x) = x 2 1 si x < 4 3x, g(x) = 2x 4 si 4 x 1 Ingenierí Informátic
186 Cálculo pr l computción ) Clcule ls integrles 1 f(x) e 1 g(x) b) Indique ls propieddes de l integrl definid que se vn plicndo pr clculr l integrl 1 (2f(x) 3g(x)) 5. Aplique los teorems del cmbio de vrible (directo e inverso) pr clculr ls siguientes integrles definids: () e ln x (b) e x π 2 /4 sen x 6. Utilice l integrl definid pr clculr el áre de ls siguientes regiones: ) L región determind por l curv de ecución f(x) = 2x + 1, el eje de bsciss y ls rects x = y x = 4. b) L región limitd por l prábol de ecución y = x 2 + 3x + 1 y el eje de bsciss. 7. Fórmul generl del áre. ) Clcule l integrl de l función sen x en el intervlo [ π, π]. b) Esboce l gráfic de l función del prtdo nterior y utilice l integrl definid pr clculr clcule el áre de l región comprendid entre est gráfic y el eje de bsciss. c) Deduzc que, si f es un función continu en el intervlo [, b], entonces el áre que qued entre l gráfic de l función y el eje de bsciss vle: A = f(x) 8. Si f y g son dos funciones continus en un intervlo [, b] entonces el áre que qued encerrd entre ls gráfics de ls dos funciones vle: A = g(x) f(x) ) Hcer un dibujo pr interpretr y deducir los elementos que precen en l fórmul. b) Utilizr este resultdo pr clculr el áre comprendid entre ls gráfics de ls funciones f(x) = x 4 9x 2 + 1 y g(x) = x 2 + 1. 9. Utilice el método de secciones pr clculr el volumen de un pirámide cudrngulr cuy ltur es h y el ldo de l bse vle d. E.T.S.I.Informátic
Tem 5: Integrción. 187 1. Consideremos l región comprendid entre ls gráfics de ls funciones f(x) = x 2 y g(x) = x. Se pide: ) Clculr el volumen de revolución que se gener l girr l región lrededor del eje OX. b) Clculr el volumen de revolución que se gener l girr l región lrededor del eje OY. 11. Consideremos l región comprendid entre l curv y = x 2 y l rect y = x + 2. Se pide: ) Clculr el volumen de revolución que se gener l girr l región lrededor del eje Y = 1. b) Clculr el volumen de revolución que se gener l girr l región lrededor del eje X = 2. 12. Clcule el volumen de un tronco de cono de ltur h y rdios de ls bses r y R: ) Utilizndo el método de discos. b) Utilizndo el método de cps. 13. Hlle l distnci recorrid por un movil entre los instntes t = y t = 4 si su posición viene determind por ls ecuciones: x(t) = t2 2, y(t) = 1 (2t + 1)3/2 3 14. Un cble eléctrico soportdo por dos postes distntes 2 metros dopt l form de un ctenri (coseno hiperbólico) de ecución y = 15 cosh x. Clcule l longitud del cble entre esos dos postes. 15 15. Hlle l longitud de l circunferenci de ecución polr r = 2 sen θ 16. De mner nálog los volúmenes de revolución y utilizndo los resultdos obtenidos pr el cálculo de l longitud de un curv, se pueden deducir fórmuls pr clculr el áre de un superficie de revolución. ) Girndo lrededor del eje OX: Si γ(t) = (x(t), y(t)) es un curv diferencible [, b], entonces el áre de l superficie generd l girr l curv respecto del eje OX es: S = 2π y(t) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt En prticulr, si l curv es el grfo de un función f, l expresión nterior qued: S = 2π f(x) 1 + [f (x)] 2 Ingenierí Informátic
188 Cálculo pr l computción Se pide: 1) Hcer un dibujo e interpretr los elementos que precen en ls fórmuls. 2) Hllr l superficie determind l girr lrededor del eje OX l curv de ecución x(t) = t, y(t) = t 2 /2 entre ls constntes t = y t = 4. 3) Clculr l áre de l superficie engendrd l girr el rco de curv y = x 2 entre x = y x = 1 lrededor del eje OX. b) Girndo lrededor del eje OY : Si γ(t) = (x(t), y(t)) es un curv diferencible [, b] siendo, entonces el áre de l superficie generd l girr l curv respecto del eje OY es: Se pide: S = 2π2πx(t) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt 1) Hcer un dibujo e interpretr los elementos que precen en l fórmul. 2) Hllr l superficie determind l girr lrededor del eje OX l curv de ecución x(t) = t, y(t) = t 2 /2 entre ls constntes t = y t = 4. 3) Deducir l fórmul en el cso en el que l curv se el grfo de un función f. 4) Clculr l áre de l superficie engendrd l girr el rco de curv y = x 2 entre x = y x = 1 lrededor del eje OY. 17. Clculr el áre lterl de un cono de ltur h y rdio de l bse r. 18. Clculr l superficie de l esfer de rdio R. 19. Integrl de un cmpo esclr sobre un líne: Se γ : [, b] R 2 un curv prmetrizd diferencible y con derivd continu. Supongmos que sobre cd punto de l curv tenemos plicdo un cmpo esclr f : R 2 R. L integrl del cmpo f sobre l curv γ(t) = (x(t), y(t)) se define como: f = f(γ(t))dl = f(x(t), y(t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt C Se pide: ) Hcer un dibujo e interpretr los distintos elementos de l fórmul. b) Clculr l integrl del cmpo esclr f(x, y) = x 2 + y 2 sobre l curv x(t) = (t sen t), y(t) = (1 cos t), t 2π e interpretr geométricmente el resultdo. E.T.S.I.Informátic
Tem 5: Integrción. 189 2. Integrl de líne: Se F : D R 2 R 2 un cmpo vectoril continuo y se γ : [, b] R 2 un curv regulr tl que C = γ([, b]) D. Llmmos integrl de líne de F sobre l curv C o circulción de F trvés de C l integrl: C F = F (γ(t)) γ (t) dt = (F 1 (γ(t))x (t) + F 2 (γ(t))y (t)) dt L principl plicción de est integrl es el cálculo del trbjo totl que reliz un cmpo de fuerzs F l desplzrse por l curv C. Un form lterntiv de expresr el integrndo es F 1 (x, y) + F 2 (x, y)dy, que se denomin form diferencil. Clcule l integrl de líne C xy4 + x 2 y 3 dy, donde C es un curv que une los puntos O = (, ) y A = (1, 1) con los siguientes recorridos: ) Poligonl con segmentos prlelos los ejes coordendos (ls dos posibiliddes). b) Segmento OA. c) Curv y 3 = x 21. Estudir l convergenci de ls siguientes integrles impropis y, en su cso, clculr su vlor: () 1 x (b) e x log x (c) 1 1 x 22. Se Ω l región bjo l curv y = e x, x. Se pide: ) Clcule el áre de Ω. b) Clcule el volumen del sólido de revolución obtenido l girr Ω lrededor del eje OX. c) Clcule el volumen del sólido de revolución obtenido l girr Ω lrededor del eje OY. d) Clcule ls superficies de revolución de los sólidos obtenidos en los prtdos nteriores. 23. p-integrles. ) Determine los vlores de p pr que l integrl impropi pr >, se convergente y clcule su vlor. b) Determine los vlores de p pr que l integrl impropi pr >, se convergente y clcule su vlor. x p, (x ) p, Ingenierí Informátic
19 Cálculo pr l computción LECCIÓN 5.2 Integrción múltiple Consideremos un cmpo esclr f : R R 2 R y supongmos que f es positiv y cotd en el rectángulo R = [, b] [c, d]. De l mism form que pr ls funciones de un vrible utilizábmos rectángulos, hor podemos intentr proximr el volumen de l región que qued entre el grfo de f y el plno XY tomndo prisms. L mner más simple de hcerlo es tomndo prticiones de los intervlos [, b] y [c, d] y considerndo como bse de los prisms los rectángulos que formn: Ls proximciones por defecto y por exceso se clculn de form similr como hemos hecho en un vrible. Bst tomr los vlores menor y myor que tom l función en cd rectángulo. Un proximción por defecto del volumen será l sum inferior de f L P = i,j m ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ) E.T.S.I.Informátic
Tem 5: Integrción. 191 Un proximción por exceso del volumen será l sum superior de f: U P = i,j M ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ) Pr mejorr ests proximciones bst tomr prticiones más fins de los intervlos. Definición 5.13 Se f : R R 2 R un cmpo esclr cotdo en el rectángulo R = [, b] [c, d]. Decimos que f es integrble en R si ínf {U P } = sup{l P }. P P En tl cso, este número lo llmmos integrl de f en R y lo denotmos: f = ínf{u P } = sup{l P } R Teorem 5.14 Si un cmpo es continuo en en un rectángulo, tmbién es integrble Pr los cmpos integrbles, es posible utilizr sums de Riemmn pr clculr ls integrles, es decir, podemos considerr culquier punto de cd intervlo de l prtición en lugr del máximo o el mínimo. Tmbién pr cmpos integrbles, podemos considerr sucesiones de prticiones en lugr de tods ls posibles sucesiones, siempre y cundo l distnci entre los puntos de l prtición decrezc. Ejemplo 5.2.1 Consideremos el cmpo f(x, y) = 2x + y definido en l región [, 1] [, 1]; este cmpo es integrble por ser continuo. Pr cd m consideremos l prtición, P m, determind por l siguiente prtición del intervlo [, 1]: {, 1 / m, 2 / m,..., m / m = 1}; y consideremos l elección de puntos, ξ m, dd por el vértice superior derecho de cd rectángulo. L correspondiente sucesión de sums de Riemmn es: R m = ( 2 i m + j ) 1 m m 2 = 1 m 3 (2i + j) 1 i,j m = 1 m 3 m = 1 m 3 m j=1 i=1 j=1 j=1 1 i,j m m (2i + j) = 1 m ( m 3 mj + 2 ( mj + 2 m(m + 1) 2 m i=1 ) i ) = 1 m 3 ( m 2 (m + 1) + m = 1 ( m 3 m 2 m(m + 1) ) (m + 1) + m = 3m2 (m + 1) 2 2m 3 m j=1 ) j Por lo tnto, R (2x + y)dy = lím m + 3m 2 (m + 1) 2m 3 = 3 2 Ingenierí Informátic
192 Cálculo pr l computción Además de ls funciones continus en rectángulos, hy otrs funciones que tmbién son integrbles. En el cso de ls integrl múltiple, nos hce flt considerr un segundo cso que tmbién utilizremos. Teorem 5.15 Se C un subconjunto cotdo de R 2 y se f un cmpo esclr continuo y cotdo en C. Se R un rectángulo tl que C R y consideremos el cmpo f(x) si x C f(x) = si x R C Entonces, el cmpo f es integrble en R. Además, esto nos permite extender l definición de integrbilidd regiones más generles. Definición 5.16 Siguiendo ls notciones del teorem nterior, llmmos integrl de f en C : f = f C Con el siguiente resultdo estblecemos que efectivmente l integrl nos permite clculr el volumen de regiones de tres dimensiones. Teorem 5.17 Consideremos un cmpo esclr f : C R 2 R y supongmos que f es positivo y cotdo en C. Entonces, l integrl C f es el vlor del volumen del sólido comprendido entre el grfo de f en C y el plno XY. R No vmos bordr en este curso ls integrles de cmpos de tres o más vribles, unque teóricmente su definición no supone ningun dificultd. Como veremos lo lrgo del tem, el clculo de ls integrles múltiples se sustent en el cálculo de primitivs y en el estudio y trnsformción de ls regiones de integrción y por lo tnto, el nivel de dificultd que port el umento de ls vribles no está en el propio concepto de integrl sino en l mnipulción de regiones y objetos en el espcio. Por est rzón, en este curso trbjremos solmente en regiones plns. Teorem 5.18 Sen f y g dos cmpos esclres integrbles sobre D R 2 y c, k R. 1. Linelidd: (cf + kg) = c f + k g D D D E.T.S.I.Informátic
Tem 5: Integrción. 193 2. Aditividd: Si D = D 1 D 2 y Áre(D 1 D 2 ) =, f = f + f D D 1 D 2 5.2.1. Teorem de Fubini. Consecuencis El teorem de Fubini, que enuncimos continución, demuestr que los conceptos de integrl sobre cd dimensión son coherentes: Teorem 5.19 (de Fubini) Se f : C R 2 R un cmpo esclr continuo sobre el conjunto cerrdo y cotdo C con C R = [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] Consideremos el cmpo: f(x) si x C f(x) = en otro cso Entonces: C f(x, y)dy = 1 (2 Ejemplo 5.2.2 Clculemos l integrl 1 2 R ) f(x, y)dy... (2x + y)dy con R = [, 1] [, 1]. En l sección nterior se clculó est integrl hciendo uso de sums de Riemnn. 1 ( 1 ) (2x + y)dy = (2x + y) dy R = = 1 1 [ x 2 + yx ] 1 (1 + y)dy = x= dy [y + y2 2 ] 1 y= = 3 2 Supongmos que D R 2 está limitdo por los grfos de ls funciones ϕ 1 : [, b] R y ϕ 2 : [, b] R tl y como se muestr en l figur, entonces D f(x, y) dy = ( ) ϕ2 (x) f(x, y)dy ϕ 1 (x) Ingenierí Informátic
194 Cálculo pr l computción Ejemplo 5.2.3 Vmos clculr el volumen de l cuñ descrit en el ejemplo 5.1.6 utilizndo un integrl doble. Concretmente, el sólido es l región que qued entre el grfo del cmpo f(x, y) = y 3 y el plno OX en el dominio D definido por 2 x 2, y 4 x 2. ( 2 ) 4 x 2 V = 3y dy = 3y dy D 2 2 [ ] 4 x 2 3 3 2 = 2 y2 = (4 x 2 ) 2 2 3 = [4x x3 2 3 ] 2 2 = 16 3 3 2 5.2.2. Teorem de cmbio de vrible El teorem de Fubini es l herrmient fundmentl pr el cálculo de integrles múltiples, sin embrgo, hemos podido observr que su plicción no es sencill si l región de integrción no es rectngulr. Los cmbios de vrible nos vn permiter utilizr descripciones más simples de un región. Por ejemplo, mientrs que un círculo de rdio centrdo en (, ) en coordends crtesins se describe por 2 x 2 y 2 x 2, x, en coordends porlres se describe simplemente por r, θ 2π. Pr hcer est descripción lterntiv, hemos usdo l plicción T (r, θ) = (r cos θ, r sen θ) que convierte ls coordends polres en coordends crtesins. Est plicción tiene su origen e imgen en R 2, es decir, es un cmpo vectoril. Pr poder enuncir el teorem de cmbio de vrible necesitmos introducir lgunos conceptos previos. E.T.S.I.Informátic
Tem 5: Integrción. 195 R r Y 2π Θ θ 2π T X x 2 x 2 y 2 x 2 Definición 5.2 Un cmpo vectoril es un plicción cuyo dominio está contenido en un espcio R n y su imgen lo está en otro espcio R m ; es decir, responde l esquem f : D R n R m. Un cmpo vectoril está determindo por m cmpos esclres: f = (f 1,..., f m ). En el teorem de cmbio de vrible, necesitremos utilizr cmpos vectoriles continuos y diferencibles, es decir, sus componentes deben ser cmpos esclres continuos y diferencibles. Pr los cmpos diferencibles, necesitremos demás clculr su mtriz jcobin. Definición 5.21 Si f = (f 1,..., f n ) es diferencible en Dom(f), llmmos mtriz jcobin de f en l mtriz: D 1 f 1 () D 2 f 1 ()... D n f 1 () f 1 () D 1 f 2 () D 2 f 2 ()... D n f 2 () f 2 () Jf() =. =...... D 1 f m () D 2 f m ()... D n f m () m n f m () Tods ls propieddes lgebrics de l diferencibilidd son inmedits prtir de ls correspondientes propieddes de los cmpos esclres. Enuncimos solmente l regl de l cden en un resultdo que generliz todos los que hemos visto nteriormente. Teorem 5.22 (Regl de l cden) Si g : R n R m y f : R m R p son cmpos vectoriles diferencibles, entonces f g es otro cmpo vectoril diferencible y J(f g)() = Jf(g()) Jg(). En cd cso, l plicción de l regl de l cden d un serie de igulddes que permiten clculr ls prciles de f g prtir de ls prciles de ls Ingenierí Informátic
196 Cálculo pr l computción componentes de f y g. Vemos ests igulddes en un tipo concreto de composición. Si g : R n R m y f : R m R, g = (g 1,..., g m ), f g es un cmpo esclr en R n y l regl de l cden d ls siguientes ecuciones: (ls dmos con ls dos notciones introducids) D k (f g)() = D 1 f(g())d k g 1 () + D 2 f(g())d k g 2 ()+ + + D m f(g())d k g m () (f g) () = f (g()) g 1 () + f (g()) g 2 ()+ x k x 1 x k x 2 x k + + f (g()) g m () x m x k Y podemos enuncir el teorem de cmbio de vrible. Dmos el enuncido solmente pr cmpos de dos vribles, unque el resultdo es válido pr culquier dimensión. Teorem 5.23 Se F : T (D) R 2 R un cmpo esclr continuo, siendo D cerrdo y cotdo. Se T : D R 2 R 2 un cmpo vectoril biyectivo, slvo en un subconjunto de áre nul, diferencible y con ls derivds prciles continus. Entonces: F = (F T ) det(jt ) T (D) D Mientrs que pr ls integrles de un vrible, este teorem se utiliz fundmentlmente pr el cálculo de primitivs pr simplificr l función integrr, en l integrción múltiple lo utilizremos fundmentlmente pr describir de form más sencill l región de integrción. Ejemplo 5.2.4 Hemos mostrdo más rrib el cmbio coordends polres: T (r, θ) = (r cos θ, r sen θ) Vemos como se trnsform un integrl l plicr este cmbio de vribles. En primer lugr, clculmos el jcobino de T : JT (r, θ) = cos θ r sen θ sen θ r cos θ Por lo tnto, el vlor bsoluto del determinnte es: det(jt (r, θ)) = r ; y l fórmul de cmbio de vrible qued: F (x, y) dy = r F (r cos θ, r sen θ) r dr dθ T (D) D E.T.S.I.Informátic
Tem 5: Integrción. 197 En l integrl de l izquierd, T (D) represent l región de integrción descrit en coordends crtesins, mientrs que D, en l integrl de l derech, represent l mism región pero descrit en coordends polres. 5.2.3. Áplicciones Áres plns L form más simple de expresr el áre de un región pln D es: Áre(D) = dy, y que está integrl corresponde l volumen de un cilindro de bse D y ltur 1. D Áre del grfo de cmpo El áre del superficie del grfo de un cmpo esclr diferencible y con prciles continus en un dominio D es 1 + (D1 f(x, y)) 2 + (D 2 f(x, y)) 2 dy D Ingenierí Informátic
198 Cálculo pr l computción Ejercicios de clse 1. Hllr l integrl doble de los cmpos indicdos: ) f(x, y) = (x + 2y) 2 sobre R = [ 1, 2] [, 2]. b) f(x, y) = xy 3 e x2 y 2 sobre R = [1, 3] [1, 2]. 2. Esbozr l región sobre l que se integr, intercmbir el orden de integrción y evlur l integrl 1 1 x xy dy 3. Hlle el áre encerrd por l crdioide de ecución ρ = (1 + cos θ). 4. Utilice coordends polres pr dibujr l región, D, encerrd por (x 2 + y 2 ) 2 = 2 (x 2 y 2 ), x. Exprese en coordends polres l integrl f(x, y) dy. D 5. Considérese l región, D R 2 delimitd por ls prábols Se pide: y = x 2 + 4, y = x 2, y = 6 x 2, y = 12 x 2 ) Definir un biyección T : [6, 12] [, 4] D. b) Utilizr l biyección T pr clculr l integrl D xy dy 6. Clculr y dy donde R es l región limitd por l curv x(t) = R (t sen t), y(t) = (1 cos t), t 2π, y el eje OX. 7. Clcule l superficie del prboloide z = x 2 + y 2 sobre el círculo D = {(x, y) R : x 2 + y 2 1}. E.T.S.I.Informátic
Tem 5: Integrción. 199 Relción de ejercicios 1. Consideremos l región del primer cudrnte encerrd entre l gráfic de l función f(x) = 1 x 2 y el eje OX. Se pide: ) Clculr vlores proximdos del áre de l región. 1) Utilizndo l sum superior en un prtición del intervlo formd por 2 puntos. 2) Utilizndo l sum superior en un prtición del intervlo formd por 3 puntos. 3) Utilizndo l sum superior en un prtición del intervlo formd por 5 puntos. 4) Utilizndo l sum superior en un prtición del intervlo formd por 9 puntos. 5) Repit los prtdos nteriores utilizndo l sum inferior. b) Clcule el vlor excto del áre de dos mners distints: 1) Tomndo límite sobre l sum de Riemmn pr un elección culquier sobre l prtición P n = {, 1 n, 2 n,..., 1}. 2) Utilizndo l regl de Brrow. c) Compre los resultdos proximdos obtenidos en el primer prtdo con el vlor excto obtenido en el segundo prtdo y compruebe que se verific l desiguldd: L P A U P. 2. Otro procedimiento similr l de ls sums de Riemmn pr cercrse de mner proximd l vlor de un áre dd es utilizr trpecios en lugr de rectángulos. Pr ello, considermos un prtición P = {x,..., x n } de un intervlo [, b] y construimos n trpecios de bse [x i 1, x i ] y lturs f(x i 1 ) y f(x i ). Si summos el áre de los trpecios obtenemos un proximción del vlor del áre buscd. Utilice este procedimiento pr proximr el áre de l región del ejercicio nterior y compruebe en cd prtdo que l proximción que proporcion este método es siempre mejor (está más cerc del verddero vlor) que l que proporcionn ls sums superiores e inferiores. Ingenierí Informátic
2 Cálculo pr l computción 3. Clcule ls siguientes integrles definids ) c) e) 1 1 π/2 π/4 x 3 e x b) e x d) sen x f) π 5 2 3 1 x cos 2 x 2 x 2 1 x 2 2x + 5 4. Usr ls propieddes de l integrl definid y el teorem fundmentl pr hllr ls siguientes derivds: ) c) e) ( d t dt 1 ( t d 2 dt 2 t ( d t 3 dt ) x 2 ) 3 + 4x 2 t 2 1 4 + 3x 2 ) b) d) d 2 dt 2 d dt ( t 2 ( 3t 1 ) x 2 + 1 ) 1 4 + x 2 5. Clcule el áre del recinto determindo por l curv y = x 3 16x y el eje de bsciss. 6. Hlle el áre determind por ls curvs y = x 4 2x 2 e y = 2x 2. 7. Hlle el áre encerrd por l elipse de ecución x2 2 + y2 b 2 = 1 8. Clcule el áre comprendid entre ls funciones sen x y cos x en el intervlo [ π 4, 9π 4 ]. 9. Hlle el áre entre l curv y = 1 x y los ejes de coordends. 1. Clcule el áre limitd por l curv x = 1 y 2 y el eje OY. 11. Clcule el áre comprendid entre ls curvs de ecuciones y = 2 x 2 e y + x =. 12. Clcule el áre determind por ls prábols y = x 2 y x = y 2. 13. Hllr el áre de l región limitd por l gráfic de l función x 2 + 1 si x > f(x) = x + 1 si x el eje OX y l ordend x = 5. E.T.S.I.Informátic
Tem 5: Integrción. 21 14. Consideremos el áre del primer cudrnte limitd por l curv y = x, l rect x + 4y 12 = y el eje de bsciss. Se pide ) Clculr el áre de l región. b) Clculr el volumen de revolución obtenido l hcer girr l región lrededor del eje OX. c) Clculr el volumen de revolución obtenido l hcer girr l región lrededor del eje OY. 15. Clcule el volumen de revolución obtenido l hcer girr lrededor del eje OY l región comprendid entre curv y 2 = x y l rect x = 1. 16. Consideremos l región A encerrd por ls gráfics de ls funciones f(x) = 2x 1 2 x2 y g(x) = 1 2x. Se pide: ) Hllr el volumen de revolución obtenido l hcer girr l región A lrededor del eje OX. b) Hllr el volumen de revolución obtenido l hcer girr l región A lrededor del eje OY. 17. Consideremos l región A del ejercicio nterior. Plntee ls integrles definids que permiten clculr los volúmenes de revolución que se indicn: ) Volumen de revolución obtenido l hcer girr l región A lrededor del eje x = 1 b) Volumen de revolución obtenido l hcer girr l región A lrededor del eje x = 3 c) Volumen de revolución obtenido l hcer girr l región A lrededor del eje y = 2 d) Volumen de revolución obtenido l hcer girr l región A lrededor del eje y = 1 18. Clculr el volumen del sólido de revolución que se engendr l girr lrededor del eje OX l gráfic de l función: x 1 si 1 x 3 f(x) = 2 si 3 < x 5 definid entre 1 y 5. 19. Clcule el volumen de un cono de ltur h y rdio r: ) Utilizndo el método de discos. b) Utilizndo el método de cps. Ingenierí Informátic
22 Cálculo pr l computción 2. Clcule el volumen de revolución obtenido l hcer girr lrededor del eje OX l región comprendid entre curv y 2 = x y l rect x = 1. 21. Clcule el volumen de revolución que se gener l hcer girr el círculo de ecución x 2 + y 2 + r 2 lrededor de l rect x = x en los siguientes csos: ) x = b) x = k 1 22. Hlle l distnci recorrid por un móvil entre t = y t = 2, sbiendo que su posición en cd instnte está dd por: x(t) = cos t + t sen t y(t) = sen t t cos t 23. Ls coordends de un punto móvil vienen dds en el instnte t por ls ecuciones x = t 2, y = t 3. Encuentre l longitud del espcio recorrido entre t = y t = 2. 24. Hlle l longitud del rco de curv y = x 3/2 entre los puntos (, ) y (4, 8). 25. Hlle l longitud del rco de curv 9x 2 = 4y 3 limitd por (, ) y (2 3, 3). 26. Clcule l longitud del rco de curv y = 2x x 1 entre x = y x = 1. 27. Hlle l longitud de un sector de circunferenci de rdio r y mplitud θ. 28. Clcule l longitud de l hipocicloide cuys ecuciones polres son x = 2 cos 3 θ, y = 2 sen 3 θ. 29. L circunferenci x 2 + y 2 = 4 gir lrededor de l rect y = 2. Hlle el áre de l superficie engendrd. 3. Clcule l áre de l superficie engendrd l girr lrededor del eje OX el rco de curv y = x 3 entre x = y x = 1. 31. Encuentre el áre lterl de un cilindro de rdio r y ltur h. 32. Clcule el áre de l superficie de un esfer de rdio r. 33. Clculr medinte l definición l integrl de líne, x 2 y 2 +dy +zdz donde C es l circunferenci contenid en el plno Z =, centrd en el origen y de rdio r. C E.T.S.I.Informátic
Tem 5: Integrción. 23 34. Estudir l convergenci de ls siguientes integrles impropis y, en su cso, clculr su vlor: 2 1 (x + 1)(x + 2) 4 + x 2 x 4 x 2 x (1 + x 2 ) 2 3 2 e (x + 2)(3 x) 2 x 2 x(log x) 2 π 2 e 2x cos x tg x x 2 1 35. Hllr el áre de l región limitd superiormente or xy = 1, x >, inferiormente por y(x 2 + 1) = x, y l izquierd por x = 1. 36. Hllr l integrl doble de los cmpos indicdos: ) f(x, y) = y 3 cos 2 x sobre R = [ π/2, π] [1, 2]. b) f(x, y) = x 2 + 2xy y x sobre R = [, 1] [ 2, 2]. c) f(x, y) = xy + x/(y + 1) sobre R = [1, 4] [1, 2]. d) f(x, y) = y 5 sen xe y3 cos x sobre R = [, 1] [ 1, ]. 37. Esbozr l región sobre l que se integr, intercmbir el orden de integrción y evlur ls siguientes integrles: () π/2 cos θ cos θ dr dθ (b) 1 1 1 y (x+y 2 ) dy (c) 4 x 1 1 (x 2 +y 2 ) dy 38. Aplicr el teorem de Fubini l integrl f(x, y) dy pr los siguientes conjuntos: D ) El interior de l circunferenci x 2 + y 2 = 4. b) Interior de l curv x 2 + y 2 x 2y + 2 =. c) Pr y, l región comprendid entre x 2 +y 2 = 16 y x 2 +y 2 = 9. 39. Clcule el áre de l circunferenci de ecución polr ρ = 2s cos θ. 4. Plntee l integrl definid que permite clculr el áre encerrd por l circunferenci centrd en el origen y de rdio r, exterior l crdioide de ecución polr ρ = r(1 cos θ). 41. Hlle el áre de l región encerrd por l curv ρ = 4 + cos θ. Ingenierí Informátic
24 Cálculo pr l computción 42. Psndo coordends polres, clculr l integrl: R ( ) 2 x 2 2 x 2 y 2 dy 43. Clculr (y x) dy donde R es l región limitd por ls rects y = x + 1, y = x 3, y = ( 1/3)x + (7/9), y = ( 1/3)x + 5. 44. Utilizndo integrles dobles y un cmbio de vrible, demostrr que el áre interior l elipse x2 2 + y2 b2 = 1 es πb. 45. Hllr l superficie del grfo del cmpo f(x, y) = xy en l región [, 1] [, 1]. 46. El teorem de Green relcion l integrl de líne y l integrl doble: C F = (D 1 F 2 D 2 F 1 ) D donde: C es un curv regulr trozos, cerrd y simple de R 2 recorrid en el sentido contrrio ls gujs del reloj; D es l región interior de est curv; F : D R 2 R 2 es un cmpo vectoril diferencible cuys prciles son continus y cotds. Utilizr el teorem de Green en los siguientes ejercicios: ) Clculr l integrl C y3 + (x 3 + 3xy 2 )dy, donde C es l curv que v del punto (1, 1) l punto (, ) siguiendo l rect Y = X y vuelve l punto (1, 1) siguiendo l curv Y = X 3. b) Clculr l integrl de líne C 2xy + (x2 + 2x)dy, donde C es l curv formd por l circunferenci X 2 + Y 2 = 1 recorrid en el sentido de ls gujs del reloj y l elipse (X/3) 2 + (Y/2) 2 = 1 recorrid en el sentido contrrio ls gujs del reloj. Es posible utilizr el mismo método si cmbimos el sentido de giro de l circunferenci? 47. A prtir del teorem de Green se deduce que el áre encerrd por un curv cerrd y simple γ(t) = (x(t), y(t)), t [, b] es: 1 2 (x(t)y (t) y(t)x (t))dt ) Clculr el áre de l región encerrd por triángulo limitdo por ls rects X =, 2X 3Y = y X + 3Y = 9 E.T.S.I.Informátic
Tem 5: Integrción. 25 b) Clculr el áre de l región interior l lzo del folium de Descrtes, es decir, l región limitd por l curv: x(t) = 3t t 3 + 1, y(t) = 3t2 t 3 + 1 c) Deducir que el áre de l región pln limitd por l curv cerrd y simple definid en coordends polres por r = f(θ), θ [, b], es: A = 1 2 r 2 dθ d) Usr l fórmul nterior pr clculr el áre de l región interior de l crdioide r = 2(1 + cos θ). Ingenierí Informátic