Experenca de Thomson - Medda de e/m: V Cátodo fgura 111 La fgura 111 muestra un dagrama esquemátco del aparato utlzado por el centífco nglés J. J. Thomson en 1897, medante el cual mdó la relacón e/m de la carga a la masa de un electrón. En un tubo de vdro donde se ha hecho el vacío, se mantene una dferenca de potencal (de algunos mles de voltos) entre el ánodo A y el cátodo calente (que es actvado por un flamento calefactor). Los electrones emtdos por el cátodo son acelerados haca el ánodo A, donde la mayor parte son detendos. Pero un haz estrecho pasa a través de las rendjas exstentes en el ánodo A y en el segundo ánodo A. El conjunto de electrodos consttudo por el cátodo y los dos ánodos, denomnado cañón electrónco, tene la msón de atraer los electrones del cátodo, encauzarlos formando un fno haz de rayos y proyectarlo según el eje del tubo. El extremo del tubo se recubre por la parte nteror con una sustanca q qe qv v A A P Ánodos APARATO DE THOMSON fluorescente, lo cual hace que el punto de mpacto del haz de electrones aparezca como una señal lumnosa brllante. El tubo está provsto de dos placas metálcas P y P, entre las cuales se establece un campo eléctrco vertcal y, por medo de un electromán exteror, se establece asmsmo un campo magnétco perpendcular al anteror (fguras 111 y 112). S el campo eléctrco está drgdo haca abajo y no hay campo magnétco, la corrente de electrones se desvará haca arrba mentras pasa por las placas y esta desvacón se observará sobre la pantalla fluorescente. S sólo exste un campo magnétco drgdo haca el plano del dbujo, la corrente de electrones se desvará haca abajo. E Haz de electrones P Campos eléctrco y magnétco cruzados. Cuando una partícula negatva se mueve haca la derecha, expermenta una fuerza eléctrca drgda haca arrba y una fuerza magnétca drgda haca abajo. fgura 112 E Pantalla Ajustando adecuadamente los campos eléctrco y magnétco, puede hacerse que la desvacón sea nula. En estas condcones, la fuerza ee sobre un electrón Ing. Sandra Slvester Págna 150
en la regón en que atravesa el campo eléctrco, es gual y opuesta a la fuerza ev ejercda por el campo magnétco: ee = ev. De esta expresón se puede deducr la velocdad de los electrones: (128) S suprmmos el campo eléctrco, la corrente de electrones se moverá ahora en el campo magnétco, descrbendo un arco de crcunferenca cuyo rado sa- bemos que es R = mv/e. En consecuenca: Combnando esta ecuacón con la (128), obtenemos: El Rado R puede deducrse del desplazamento de la señal fluorescente, de la extensón del campo magnétco y de la dstanca del campo a la pantalla, por lo tanto, puede calcularse e/m. El valor más precso determnado hasta la fecha para esta relacón, es: e/m = 1,758820174 x 10 11 C/kg. (129) Qunce años después de los expermentos de Thomson, el físco estadoundense Robert Mllkan consguó medr la carga del electrón con precsón. Este valor, junto con el de e/m, permtó determnar la masa del electrón. Ejercco Nº 78: Supongamos que reproducmos el expermento de Thomson con un potencal de aceleracón de 150 V y un campo eléctrco deflector cuya magntud es de 6 x 10 6 N/C. a) A qué fraccón de la velocdad de la luz se trasladarán los electrones? b) De qué magntud es el campo magnétco necesaro? c) Con este campo magnétco, qué le ocurrrá al haz de electrones s aumentamos el potencal de aceleracón a más de 150 V? a) La velocdad de los electrones está determnada por el potencal acelerador V. La energía cnétca es gual a la pérdda de energía potencal eléctrca ev, donde e es la magntud de la carga del electrón: 1 2 2 2 1,610 150 9,1110 7,2610 / Ing. Sandra Slvester Págna 151
/ 7,2610 310! 2,4 % / b) c) 610 $/ 7,2610 / 0,83 & S aumentamos el potencal de aceleracón V, aumentará la velocdad de los electrones v. Esto no alterará la fuerza eléctrca ascendente ee, pero sí aumentará la fuerza magnétca descendente ev (ver fguras 111 y 112). En consecuenca, el haz de electrones se doblará haca abajo e ncdrá en la pantalla por debajo de la poscón de equlbro. Espectrómetro de Masas: En 1919, Francs Aston, dscípulo de Thomson, construyó la prmera famla de nstrumentos denomnados espectrómetros de masas. Los msmos fueron desarrollados para determnar la masa de ones cargados postvamente, prncpalmente en el fgura 113 Placa fotográfca m 2 m 1 R 2 P 1 R 1 estudo de los sótopos de los elementos químcos. En la fgura 113 se muestra una varante construda por el norteamercano anbrdge, que utlza un selector de velocdades. Los ones postvos provenentes de una fuente (que los genera por bombardeo de átomos neutros con rayos X) pasan a través de estrechas ranuras exstentes en las dos lámnas metálcas A 1 y A 2, entre las cuales se mantene un potencal sufcentemente elevado como para acelerar los ones haca la ranura de A 2 y formar un delgado haz a la salda. Se supone que cada on ha perddo un electrón y por lo tanto la carga neta a consderar para cada uno es smplemente e. Los ones tendrán en general velocdades dstntas al salr de A 2, por lo que el paso sguente es un fltro de velocdades que seleccone úncamente aquellos que tengan una velocdad prefjada. v E A 1 A 2 P 2 A 3 ESPECTRÓMETRO DE MASAS Se mantene entre las placas P 1 y P 2 un campo eléctrco drgdo de zquerda a derecha y un campo magnétco perpendcular al plano de la fgura y salente del msmo. A contnuacón, una tercera lámna ranurada A 3 sólo permte el paso de aque- Ing. Sandra Slvester Págna 152
llos ones que no son desvados por los campos eléctrcos y magnétcos stuados entre A 2 y A 3. Estos ones serán aquellos que tenen una velocdad tal que la fuerza magnétca ejercda sobre ellos queda exactamente compensada por la fuerza eléctrca, es decr:, (130) En la regón stuada debajo de A 3 hay un campo magnétco normal al plano de la fgura y salente del msmo, pero no hay campo eléctrco. En esta regón un on se mueve descrbendo una trayectora crcular de rado: Con el selector de velocdades se consgue que todos los ones de esta regón tengan la msma velocdad. En consecuenca, la razón v/e es la msma para todos los ones y el rado R es drectamente proporconal a la masa m del on. Los ones de masas dferentes descrben trayectoras semcrculares dstntas e ncden sobre una placa fotográfca después de haber efectuado una semrrevolucón. La emulsón depostada sobre la placa queda mpresonada exactamente gual que s hubera estado expuesta a la luz. Como las dmensones longtudnales de las ranuras son perpendculares al plano de la fgura, las trayectoras semcrculares son como cntas curvadas y cada una produce una línea sobre la placa fotográfca. La dstanca de cualquer línea a la ranura A 3 es dos veces el rado de la trayectora en la cual se mueve cada on partcular. Puesto que los rados son proporconales a las masas, dferencas guales de masa se traducen en separacones guales de las líneas sobre la placa fotográfca revelada. El aparato dspersa el haz de ones en un espectro de masas, como un prsma dspersa un haz de luz blanca en un espectro de colores. Por ello el nombre de espectrómetro de masas. ) * ) (131) Los sótopos son átomos que tenen el msmo número atómco (nº de protones), pero dstnto número de masa (nº de protones nº de neutrones). La mayor parte de los elementos son mezcla de sótopos. Por ejemplo, el oxígeno se presenta sempre como una mezcla de tres sótopos: (! O,! O y!! O. El supraíndce y el subíndce a la zquer- Ing. Sandra Slvester Págna 153
da del símbolo del elemento químco, ndcan el nº de masa y el nº atómco, respectvamente. Por lo tanto, todos los sótopos del oxígeno tenen 8 protones en el núcleo, 70 72 73 74 76 ( pero! O tene ocho neutrones,! O nueve neutrones y!!o dez neutrones. La fgura 114 es una reproduccón de una placa que muestra los sótopos del germano, tal como son ESPECTRO DE MASAS DEL GERMANIO fgura 114 separados por un espectrómetro de masas. Las cfras son los números máscos de los sótopos. Ejercco Nº 79: El campo eléctrco entre las placas del selector de velocdades de un espectrómetro de masas es de 1,12 X 10 5 V/m y el campo magnétco en ambas regones es de 0,54 T. Un haz de ones seleno con una sola carga cada uno descrbe una trayectora crcular de 31 cm de rado en el campo magnétco. Determnar la masa de este on seleno y su masa atómca relatva. (una undad de masa atómca = 1 u = 1,66 x 10 27 kg). -, - - 0,31 1,610 0,54 & 1,1210. / 1 1,2910. /0 1,6610 ( 77,71 2 234565 5 66 67ó46 /0 1,2910. /0 NOTA: La masa del sótopo en undades de masa atómca, redondeada a enteros, es gual al NÚMERO DE MASA: 78. Ejercco Nº 80: En un espectrómetro de masas, la magntud del campo magnétco del selector de velocdades es de 0,65 T y los ones lo atravesan sn desvarse con una velocdad de 1,82 x 10 6 m/s. a) Cuál es la magntud del campo eléctrco del selector de velocdades? b) S la separacón entre las placas P1 y P2 es de 5,2 mm, cuál es la dferenca de potencal entre las msmas? a) b) 1,8210 0,65 &1,18310 / /5, 5 1,18310 /5,210 6,15 / Ing. Sandra Slvester Págna 154
Efecto Hall: EFECTO HALL. La fuerza magnétca sobre una partícula cargada está drgda haca arrba cuando una corrente crcula haca la derecha, tanto s la msma se debe a partículas postvas que se mueven haca la derecha (a) como s se debe a partículas negatvas que se mueven haca la zquerda (b). Hemos vsto que las cargas, cuando se mueven en un campo magnétco, expermentan una fuerza perpendcular a su movmento. Por consguente, s estas cargas se desplazan en un conductor, serán mpulsadas haca un lado del msmo. Debdo a esto, se produce una separacón de cargas en el conductor que se conoce como efecto Hall (descuberto por el físco estadoundense Edwn Hall en 1879). Para descrbr este efecto, consderemos un conductor de cnta plana que transporta una corrente I haca la derecha y es atravesado por un campo magnétco perpendcular al plano de la cnta, como se muestra en la fgura 115. Supongamos prmero que la corrente está formada por partículas cargadas postvamente que se mueven haca la derecha, como ndca la fgura 115a. La fuerza magnétca sobre estas partículas es - 9, en donde 9 es la velocdad de desplazamento de los portadores de carga. Como esta fuerza está drgda haca arrba, las partículas postvas se mueven haca el borde superor de la cnta, dejando el borde nferor de la msma con un exceso de carga negatva. Esta separacón de carga produce un campo eléctrco E en la cnta, que se opone a la fuerza magnétca que actúa sobre los portadores de carga. Cuando las fuerzas electrostátca y magnétca se equlbran, los portadores de carga dejan de moverse haca arrba. El borde superor de la cnta está a mayor potencal que el borde nferor. Esta dferenca de potencal se puede medr con un voltímetro. ε F q v d E ε F v d E (a) (b) q d d fgura 115 Por otro lado, s la corrente está formada por partículas cargadas negatvamente, como ndca la fgura 115b, los portadores de carga se moverán haca la zquerda. La fuerza magnétca - 9 se drge nuevamente haca arrba, pues los sgnos de - y 9 han cambado ambos. Pero ahora la carga negatva se acumula en el borde Ing. Sandra Slvester Págna 155
superor de la cnta y la carga postva en el borde nferor, resultando una dferenca de potencal de sgno opuesto a la del caso con cargas postvas. Una medcón del sgno de la dferenca de potencal entre los bordes superor e nferor de la cnta, nos drá el sgno de los portadores de carga. En el caso de los metales, el borde superor de la cnta adquere carga negatva, lo que demuestra que en un metal los portadores de carga son en efecto negatvos (electrones). En los semconductores, los portadores de carga pueden ser negatvos (electrones) o postvos (conduccón por huecos ). Dentro de los materales de este tpo hay lugares, llamados huecos, que normalmente estarían ocupados por un electrón pero que de hecho están vacíos. Una carga negatva faltante equvale a una carga postva. Cuando un electrón se traslada en un sentdo para llenar un hueco, deja otro hueco tras de él. El hueco emgra en el sentdo opuesto al del electrón. La dferenca de potencal entre los bordes superor e nferor de la cnta se llama fem de Hall (o voltaje de Hall) y puede calcularse en funcón de la velocdad de desplazamento. La fuerza magnétca de módulo - 9 es equlbrada por la fuerza electrostátca de módulo -, en donde es el campo eléctrco transversal debdo a la separacón de cargas. Así resulta 9. S el ancho de la cnta es d, la dferenca de potencal es 5. La fem de Hall es: : 5 9 5 (132) A partr del valor de la fem de Hall, podemos determnar el número de portadores de carga por undad de volumen (n) del materal de la cnta. La ntensdad de corrente es: 4 3-9 ; [ver ecuacón (90) en pág. 99] en donde A es la seccón transversal de la cnta. Para una cnta de ancho d y espesor t, el área transversal es A = d t. Como los portadores de carga son electrones, el valor de q es la carga e de un electrón. La densdad numérca de los portadores de carga es: 3 4 ; - 9 4 5 7 9 Susttuyendo 9 5 : / de la ecuacón (132), obtenemos: 3 4 7 : (133) Ing. Sandra Slvester Págna 156
La fem de Hall proporcona un método convenente para medr campos magnétcos. Reajustando la ecuacón (133), podemos escrbr para la fem de Hall: : 4 3 7 (134) Una cnta puede calbrarse mdendo la fem de Hall para una determnada ntensdad de corrente en un campo magnétco conocdo. La ntensdad de un campo magnétco desconocdo puede entonces medrse stuando la cnta en el msmo, hacendo crcular una corrente conocda y mdendo VH. Ejercco Nº 81: Un segmento conductor de plata de 0,23 mm de espesor y 11,8 mm de ancho, transporta un corrente de 120 A en una regón donde exste un campo magnétco de 0,95 T perpendcular al segmento. S hay 5,85 x 10 28 electrones lbres por m 3, hallar: a) la magntud de la velocdad de desplazamento de los electrones; b) la magntud del campo eléctrco debdo al efecto Hall; c) la fem de Hall. a) 3 > - 9 9 4 ; - 9 @ 9 4 ; - 3 120 ; 11,810 0,2310 1,610 5,8510! 9 4,7210 / b) 9 4,7210 /0,95 & 4,4810 $/ c) : 5 11,810 4,4810 $/ 5,2910. Ejercco Nº 82: Supongamos que en el ejercco anteror el metal del segmento es desconocdo. Cuando el campo magnétco es de 2,29 T y la corrente es de 78 A, la fem de Hall resulta ser de 131 µv. Cuál es la densdad de electrones lbres? 3 4 78 ;2,29& 7 : 0,2310 1,610 13110 3,710! A7C3/ Ing. Sandra Slvester Págna 157
Fuerza sobre un Conductor que transporta una Corrente: Cuando un conductor que transporta una corrente se encuentra en un campo magnétco, se ejercen fuerzas magnétcas sobre los electrones en movmento dentro del conductor. Estas fuerzas se transmten a la sustanca que forma el conductor y, por lo tanto, el conductor en conjunto expermenta una fuerza, un momento o ambas cosas a la vez. F l Fuerza sobre un conductor rectlíneo perpendcular a un campo magnétco. fgura 116 La fgura 116 representa una porcón de un conductor rectlíneo de longtud A y seccón A, dentro del cual crcula una corrente de ntensdad. Un campo magnétco es perpendcular al conductor. Puesto que la fuerza sobre el conductor es la resultante de las fuerzas ejercdas sobre las cargas móvles, expresaremos la ntensdad de la corrente en el conductor en funcón del número n de cargas móvles por undad de volumen, de la carga q de cada una de ellas y de su velocdad v: 4 3 - ; La fuerza f sobre cada carga será: D - El número de cargas en la longtud A es: $ 3 A ; Por consguente, la fuerza resultante será: E $ D 3 A ;- y puesto que 4 3 - ;, se puede escrbr: E 4 A (135) S la dreccón del conductor forma un ángulo ϕ con la dreccón del campo, de la ecuacón (122) se deduce que: E 4 A 3 F (136) Ing. Sandra Slvester Págna 158
S el conductor no es rectlíneo, el campo magnétco no es unforme o ambas cosas a la vez, la relacón: 5E 4 5A 3 F (137) da el valor de la fuerza sobre un elemento de conductor de longtud 5A, en un punto en que la nduccón es y F el ángulo formado por 5A y. La dreccón de 5E es perpendcular al plano determnado por 5A y ; su sentdo puede deducrse medante la regla de la mano zquerda, s el dedo medo apunta en el sentdo de la corrente convenconal en el conductor. La ecuacón (137) en notacón vectoral, se escrbe: 5EIJ 45A J IIJ Fuerza y Momento sobre un Crcuto Rectangular: La fuerza resultante y el momento sobre un crcuto completo stuado en un campo magnétco, pueden calcularse a partr de la ecuacón (137) medante una ntegracón extendda a todos los elementos del crcuto. F = a F = a fgura 117 c d b α ϕ 0 F F 0 e f F = a a F = a ESPIRA RECTANGULAR DE HILO QUE TRANSPORTA UNA CORRIENTE, SITUADA EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME. En la fgura 117 se representa una espra rectangular de hlo conductor cuyas dmensones son a y b. La normal al plano del cuadro forma un ángulo K con la dreccón de un campo magnétco unforme. El cuadro puede grar alrededor de un eje 00 y transporta una corrente de ntensdad 4 (para smplfcar el esque- Ing. Sandra Slvester Págna 159
ma se ha omtdo ntercalar un generador o un dspostvo por donde entre y salga la corrente). Los lados cd y ef del cuadro son perpendculares al campo y por lo tanto se ejerce sobre ellos fuerzas guales y de sentdo opuesto, drgdas haca arrba y haca abajo (ver fgura), de valor: E 46 Los lados ce y df forman un ángulo F con el campo. Sobre ellos actúan fuerzas guales y de sentdo opuesto, drgdas haca la derecha y haca la zquerda (ver fgura), de valor: E) 4 N 3 F Estas fuerzas que son representadas en la fgura como fuerzas úncas, están en realdad dstrbudas a lo largo de cada lado del cuadro. La fuerza resultante sobre el cuadro es evdentemente nula. El momento resultante, por el contraro, no es nulo, ya que las fuerzas sobre los lados cd y ef consttuyen un par de momento: Cuando el plano del cuadro es paralelo al campo, K 90 y el momento es máxmo. Cuando el plano del cuadro es perpendcular al campo, K 0 y el momento es nulo. M 4 6 N 3 K (138) Dado que ab es el área A del cuadro, la ecuacón (138) puede escrbrse: M 4 ; 3 K (139) S el cuadro es un devanado con espras muy próxmas, que tene N vueltas, entonces será: M $ 4 ; 3 K (140) La ecuacón (139) en notacón vectoral, se escrbe: MJ 4 ;J IJ El vector ;J es perpendcular a la superfce A y su dreccón es la de avance del tornllo (rosca derecha) cuando gra en el sentdo de la corrente. Ing. Sandra Slvester Págna 160
Fuerza y Momento sobre una Espra crcular: Z fgura 118 a sen ϕ Z a sen ϕ df X ϕ a dl dϕ ϕ X X ϕ a dϕ X Z (a) FUERZAS QUE ACTUAN SORE UNA ESPIRA CIRCULAR DE HILO QUE TRANSPORTA UN CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME Z (b) En la fgura 118a se representa una espra crcular de rado a por la cual crcula una corrente 4. El plano de la espra concde con el eje XZ y se encuentra en un campo magnétco unforme, paralelo al eje X. La fuerza 5E sobre un elemento 5A (65F) de la espra está drgda haca el lector. Su valor es: 5E 4 5A 3 F 4 6 3 F 5F En la fgura 118b, las flechas df, normales al plano de la espra, muestran que las fuerzas sobre los dstntos elementos de longtud 5A varían de un punto al otro de la espra. Para evtar confusón, no se han representado las líneas de flujo magnétco (paralelas al eje X). El momento de la fuerza 5E respecto al eje Z es: 5M 5E 6 3 F 4 6 3 F 5F y el momento total: P M O5M 4 6 O 3 Q F 5F 4 R 6 Ing. Sandra Slvester Págna 161
Pero R 6 es smplemente el área de la espra, de modo que: M 4 ; (141) Esta expresón concde con la obtenda para un cuadro rectangular paralelo al campo magnétco. Puede demostrarse que se cumple tambén para una espra plana de forma cualquera. S la normal al plano de la espra forma un ángulo K con el campo, se tene: M 4 ; 3 K (142) Un devanado helcodal de hlo conductor se denomna solenode. S el solenode está devanado con las vueltas muy próxmas puede equpararse, con aproxmacón aceptable, a certo número de espras crculares que se encuentran en planos perpendculares a su eje longtudnal. El momento total que actúa sobre un solenode stuado en un campo magnétco, es smplemente la suma de los momentos sobre cada una de las espras. Por consguente, para un solenode de N vueltas: M $ 4 ; 3 K (143) sendo K el ángulo formado por el eje del solenode y el sentdo del campo. El par es máxmo cuando el campo es perpendcular al eje longtudnal del solenode. El efecto de este par, s el solenode puede grar lbremente, es llevarlo a una poscón en la cual el campo es paralelo al eje del solenode. El comportamento de un solenode, es el msmo que el de una barra mantada o una aguja magnétca, en el sentdo de que tanto el solenode como el mán, s pueden grar lbremente, se colocarán por sí msmos con sus ejes paralelos al campo magnétco. Momento Dpolar Magnétco: En la ecuacón (142), el producto 4 ; se denomna momento dpolar magnétco o momento magnétco µ de la espra de corrente: S 4 ; (144) En térmnos de µ, la ecuacón (142) se escrbe: M S 3 K (145) Ing. Sandra Slvester Págna 162
El momento de torsón M tende a hacer grar la espra en la dreccón de K decrecente, es decr, haca su poscón de equlbro estable. Una espra de corrente, o cualquer otro cuerpo que expermente el momento de torsón magnétco dado por la ecuacón (145), recbe tambén el nombre de dpolo magnétco. La ecuacón (145) en notacón vectoral, se escrbe: MJSIJ IJ µij ;J fgura 119 La dreccón de SIJ 4;J es perpendcular al plano de la espra (fgura 119) y su sentdo (que es gual al de ;J ) está determnado por la regla del tornllo. El momento de torsón es máxmo cuando SIJ y IJ son perpendculares y es cero cuando son paralelos (K 0 equlbro estable) o antparalelos (K 180 equlbro nestable). La poscón K 180 es nestable porque s la espra se desplaza un poco respecto a este ángulo, la msma tende a trasladarse aún más. En el caso de un solenode con N espras, el momento magnétco es: S $ 4 ; (146) Cuando la orentacón de un dpolo magnétco camba en un campo magnétco, el campo realza trabajo sobre él. En un desplazamento angular nfntesmal 5K, el trabajo 5T está dado por M 5K y hay un cambo correspondente de energía potencal. De acuerdo con lo expuesto anterormente, la energía potencal es mínma cuando SIJ y IJ son paralelos y máxma cuando son antparalelos. Para hallar una expresón de la energía potencal en funcón de la orentacón, aprovechamos la smetría que exste entre las nteraccones de dpolos eléctrcos y magnétcos. En un dpolo eléctrco, el momento de torsón es MJUJIJ y la energía potencal correspondente V W UJ. IJ. El momento de torsón sobre un dpolo magnétco es MJSIJIJ, por tanto, conclumos que la energía potencal U correspondente es: V W SIJ.IJ W S C K (147) Ing. Sandra Slvester Págna 163
Ejercco Nº 83: Un hlo vertcal recto conduce una corrente de 1,5 A haca abajo en una regón comprendda entre los polos de un gran electromán superconductor, donde el campo magnétco tene una magntud unforme = 0,6 T y es horzontal. Cuáles son la magntud y la dreccón de la fuerza magnétca sobre un segmento de 5 cm de hlo s la dreccón del campo magnétco es: a) haca el este; b) haca el sur; c) 30º al sur del oeste? a) E 4 A 1,5 ;0,05 0,6 & 4510 $ La dreccón de la fuerza es haca el sur. b) La dreccón de la fuerza es haca el oeste y la magntud es la msma. c) La dreccón de la fuerza es 30º al oeste del norte y la magntud es la msma. Ejercco Nº 84: Una barra horzontal de 0,25 m de largo está montada en una balanza y conduce una corrente. En la ubcacón donde se halla la barra, un campo magnétco horzontal unforme tene una magntud de 0,085 T y su dreccón es perpendcular a la barra. La balanza mde la fuerza magnétca sobre la barra, la cual resulta ser de 0,15 N. Cuál es la corrente? 4 E A 0,15 $ 0,25 0,085 & 7,06 ; Ejercco Nº 85: Una bobna crcular de alambre de 9,18 cm de dámetro tene 18 espras y conduce una corrente de 3,22 A. La bobna está en una regón donde el campo magnétco es de 0,45 T. a) Qué orentacón de la bobna le proporcona el momento de torsón máxmo y cuál es el valor este momento? b) Con qué orentacón de la bobna el momento de torsón es gual al 68 % del hallado en el punto anteror? a) El momento de torsón máxmo se produce cuando el plano de la bobna es paralelo al campo magnétco (α = 90º): M Yá[ $ 4 ; 3 90 18 3,22 ; \R ] 0,0918 ^ _0,45& 0,173 $ 2 b) El momento de torsón sobre la bobna es gual al 68 % del máxmo cuando sen α = 0,68 α = 43 º Ejercco Nº 86: Una bobna crcular con 30 espras y 0,05 m de rado, yace en un plano horzontal. Conduce una corrente de 5 A en sentdo contraro a las agujas del reloj vsta desde arrba. La bobna está en un campo magnétco unforme drgdo haca la derecha de 1,2 T. Hallar las magntudes del momento magnétco y del momento de torsón sobre la bobna. S$ 4 ; 30 5 ; `R0,05 a1,18 ; Ing. Sandra Slvester Págna 164
M S 3 K 1,18 ; 1,2 & 3 90 1,41 $ El momento de torsón tende a hacer grar el lado derecho de la bobna haca abajo y el lado zquerdo haca arrba, buscando una poscón donde la normal a su plano es paralela al campo magnétco. Ejercco Nº 87: S la bobna del ejercco anteror gra respecto a su poscón orgnal hasta otra poscón donde su momento magnétco es paralelo al campo magnétco, cuál es el cambo de energía potencal? V b W S C K b W1,18 ; 1,2 & C 90 0 V c W S C K c W1,18 ; 1,2 & C 0 W 1,41 > V V c WV b W 1,41 > La energía potencal dsmnuye porque la rotacón es en la dreccón del momento de torsón magnétco. Ejercco Nº 88: El momento magnétco de una bobna es de 1,45 Am 2 y está ncalmente orentado en antparalelo a un campo magnétco unforme de 0,835 T. Cuál es el cambo de energía potencal de la bobna cuando se la hace grar 180º de modo que su momento magnétco sea paralelo al campo? V V c WV b W S C 0 es C 180 W 2 S V W2 1,45 ; 0,835 & W 2,42 > Campo Magnétco creado por un Elemento de Corrente: fgura 120 La dreccón de la aguja de la brújula sempre es perpendcular a la dreccón de la corrente Las prmeras observacones regstradas sobre campos magnétcos creados por correntes fueron las de Oersted, quen descubró que una aguja manada que puede grar alrededor de un eje (como la brújula) y está próxma a un hlo conductor que crcula una corrente, tende a colocarse con su eje longtudnal perpendcular al conductor (fgura 120). Experencas posterores realzadas por ot y Savart y ampladas por Ampere, condujeron a una relacón que permte calcular la densdad de flujo magnétco en cualquer punto del espaco que rodea a un crcuto por el cual pasa una corrente. El crcuto puede magnarse dvddo en pequeños Ing. Sandra Slvester Págna 165
elementos de longtud 5A, uno de los cuales se representa en la fgura 121. Las cargas móvles de cada elemento crean un campo en todos los puntos del espaco. El campo del crcuto completo en cualquer punto, es el resultante de los campos nfntesmales creados en el msmo punto por todos los elementos del crcuto. Plano perpendcular al eje de dl Plano determnado por r y dl dl r f P CAMPO MAGNÉTICO DEIDO A UN ELEMENTO DE CORRIENTE d fgura 121 Eje de dl Línea de nduccón El sentdo del campo nfntesmal 5 creado en el punto P por el elemento 5A, está representado en la fgura. Se deduce de esto que las líneas de campo, a las cuales son tangentes los vectores 5, son crcunferencas que se encuentran en planos perpendculares al eje del elemento. El sentdo de estas líneas es el de las agujas de un reloj cuando se mran en el sentdo convenconal de la corrente (tambén por la regla del tornllo). El valor de 5 está dado por la sguente ecuacón: 5/ 4 5A 3 f (148) sendo r la dstanca entre 5A y el punto P, y f el ángulo formado por r y 5A. Esta expresón se conoce como ley de ot y Savart, pero con frecuenca se la mencona erróneamente como ley de Ampere. En el sstema nternaconal (SI), k es gual exactamente a 10 7 weber por ampero-metro. Con el objeto de elmnar el factor 4R de otras ecuacones de uso más frecuente que la msma ley (tal como se hzo en electrostátca con la ley de Coulomb), ha sdo convenente defnr una nueva constante de proporconaldad g Q medante la ecuacón g Q 4R / : / g Q 4R 10( TN ; g Q 4R / 4R10 ( TN ; Ing. Sandra Slvester Págna 166
La ecuacón (148) se converte entonces en: Ley de IOT y SAVART 5 g Q 4R 4 5A 3 f (149) Se deduce de esta ecuacón que la densdad de flujo 5 debda a un elemento de corrente es nula en todos los puntos del eje del elemento, puesto que 3 f 0 en dchos puntos. Para un punto stuado a una dstanca r del elemento, la densdad de flujo es máxma en un plano que pasa por dcho elemento y lo corta perpendcularmente, ya que f 90 y 3 f 1 en todos los puntos de ese plano. La expresón de la densdad de flujo resultante en cualquer punto del espaco, debda a un crcuto completo, es: O5 g Q 4R O4 5A 3 f (suma geométrca) La ntegral se refere a la suma geométrca de los vectores de campo nfntesmales, sendo por lo tanto necesaro descomponer los msmos según tres ejes e ntegrar separadamente sus componentes. Utlzando la notacón vectoral, la ecuacón (149) se converte en: La ntensdad 4 es un escalar, J es el vector drgdo desde el elemento de corrente 5AJ al punto en el cual ha de calcularse 5IJ y es el módulo de este vector. Además, es J y 5A 5A}5AJ. 5IJ g Q 4R 4 5AJ J (150) NOTA: S en lugar de un elemento de corrente, hubéramos consderado el campo magnétco creado por una carga puntual - movéndose a una velocdad, hubéramos encontrado que su valor vene dado por la ecuacón (149), susttuyendo 4 5A por - : g Q 4R - 3 f Ing. Sandra Slvester Págna 167