GEODESIA Y FUNCIONES OTOGONALES Enrique Clero Curso GPS en Geodesi y Crtogrfí Crtgen de Indis Aproximción de funciones por polinomios. Consideremos el conjunto de funciones S = ; x; x ; x 3 ; x ; ::::: Si x [; b], el desrrollo de Tylor y un función f(x) continu en un intervlo [; b]. f(x) = f(x )+! f (x )(x x )+! f (x )(x x ) + 3! f (x )(x x ) 3 +:::::d un buen proximción en un reducido entorno del punto x. Cundo se trt de proximr l función f(x) en todo el intervlo [; b] por un combinción linel de elementos de S por ejemplo: P 3 (x) = + x + x + 3 x 3 hbrá que elegir un criterio de proximción. L proximción se considerrá óptim cundo los vlores de ; ; ; 3 veri quen min E = [f(x) P (x)] dx Est es l proximción mínimo cudrátic. L condición de mínimo es equivlente, en este cso, @ = ; @ = ; @ = ; @3 = esultndo el sistem de ecuciones, pr este cso prticulr: E = [f(x) P (x)] dx = E = f(x) + x + x + 3 x 3 dx @ = @ = @ = @ 3 = f(x) + x + x + 3 x 3 ( ) dx = f(x) + x + x + 3 x 3 ( x) dx = f(x) + x + x + 3 x 3 x dx = f(x) + x + x + 3 x 3 x 3 dx =
b b dx + b xdx + x b dx + 3 x 3 dx = f(x)dx b b b b xdx + x b dx + x 3 b dx + x b dx + x 3 b dx + x b dx + x 3 b dx + 3 x b dx + 3 x 5 b dx + 3 x dx = x 5 dx = x 6 dx = xf(x)dx x f(x)dx x 3 f(x)dx esult un sistem de cutro ecuciones con cutro incógnits: A = 6 AX = B dx xdx x dx x 3 dx xdx x dx x 3 dx x dx x dx x 3 dx x dx x 5 dx 3 x 3 dx x dx x 5 dx 7 5 x 6 dx X = 6 3 3 7 5 B = 6 Si se cmbi el grdo del polinomio de proximción result un sistem de ecuciones diferente cuy solución ; ; ; 3; veri crá, en generl, 6= 6= 6= 3 6= 3 3 f(x)dx xf(x)dx x f(x)dx 7 x 3 f(x)dx5 Es posible encontrr un conjunto S de funciones tles que los coe cientes obtenidos pr un determindo grdo se conserven cundo se proxime por otro de grdo myor.
Aproximción de funciones por combinciones lineles de funciones ortogonles. Consideremos el conjunto de funciones S = f' ; ' ; ' ; ' 3 ; ' ; :::::g tles que existen ls integrles y veri cn: Z b Z b ' i (x) ' j (x) = si i 6= j ' i (x) ' j (x) = k i 6= si i = j y un función f(x) es de cudrdo integrble en un intervlo [; b] : Ls funciones del conjunto S con ls propieddes nteriores se denominn ortogonles. Si demás k i = 8i se denominn ortonormles L proximción será hor P (x) = i ' i (x) = ' (x) + ' (x) + ' (x) + :::::::: + n ' n (x) i= El criterio de proximción es: min E = [f(x) P (x)] dx L condición de mínimo es equivlente @ = ; @ = ; @ = ; ::::::::::::: @ n = Derivndo bjo el signo integrl e integrdo luego término término, result el sistem linel b b b ' b + b ' ' dx + b ' ' dx + b ' ' dx + ' b dx + b ' ' dx + :::: + n b ' ' dx + ' ' dx + :::: + n :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ' ' n dx = b ' b dx + :::: + n ' ' n dx = ' ' n dx = f' dx f' dx f' dx 3
b b ' n ' dx + b ' n ' dx + b ' n ' dx + :::: + n ' ndx = f' n dx Por l ortogonlidd result b i i = k i ' b i dx = b f' i dx (i = ; ; ; :::; n) f(x)' i (x)dx Cd coe ciente depende sólo de l función ' i correspondiente, pero es independiente de ls demás. Así, pues, si con objeto de mejorr l proximción ñdimos más términos l combinción linel de funciones de S sólo hbrá que clculr los coe cientes correspondientes los términos ñdidos; los coe- cientes nteriormente clculdos son idénticos. Est es l grn ventj de ls sucesiones ortogonles en orden l representción proximd de ls funciones.. Cálculo del error de l proximción Considerremos el cso en el que S es un sucesión ortogonl. E = [f(x) P (x)] dx = E = i= " f(x) i ' i (x)# dx desrrollndo el cudrdo e integrndo. " # E = f i ' i dx = f f i ' i + i= i= i=! 3 i ' i 5 dx Teniendo en cuent que ls integrles de los productos ' i ' j son nuls, por l ortogonlidd, se puede escribir: E = b i i= ' i dx n X i= b i f' i dx + f dx Teniendo en cuent que b f' i dx = i ' i dx = ik i E = E = i= b i f dx ' i dx i k i i= n X i= b i i ' b i dx + f dx = f dx b i i= ' i dx
. Desiguldd de Bessel pr ls sucesiones ortonormles En el cso de que ls funciones de S sen ortonormles, k i = E = f dx como E > result: i= i i= b i < f dx 8i result 3 Propieddes de los sistems S de funciones ortogonles Consideremos el conjunto de funciones S = f' ; ' ; ' ; ' 3 ; ' ; :::::g tles que existen ls integrles y veri cn: Z b Z b ' i (x) ' j (x) = si i 6= j ' i (x) ' j (x) = k i 6= si i = j El conjunto S es numerble por lo que se utiliz lterntivmente l expresión sucesión de funciones ortogonles, tmbién se utiliz pr designrlo el término sistem de funciones ortogonles..- Sistems ortogonles cerrdos pr un clse de funciones. Un sistem ortogonl se dice que es cerrdo pr ls funciones de un ciert clse cundo el error E de l proximción tiende cero cundo n tiende in nito. Si ls funciones de l clse son de cudrdo integrble, en el limite E = f dx X i k i = ) i= i= f dx = X i k i (Prsevl) X Se dice que l serie i ' i converge en medi l función f(x) en el intervlo [; i= b] 5
Dd un función de l clse existe siempre un desrrollo convergente en medi que l represent..- Sistems ortogonles completos. Un sistem ortogonl se dice que es completo si l existenci de un función h ortogonl tods ls de S implic que h es un función idénticmente nul. Ejemplos de sistems ortogonles. Consideremos l sucesión fcos nxgen el intervlo [; ] : Se veri c pr n = ; ; 3; ::: cos cos nx nxdx = dx = x sennx n = Pr m 6= n cos mx cos nxdx = (cos(m + n)x + cos(m n)x) dx = Pr n = ; cos nx dx = Además L sucesión fcos nxg cos nxdx = sennx n = n = ; ; ; ::::es un sistem ortogonl sen(m+n)x m+n + sen(m n)x m n =. L sucesión fsennxg n = ; ; 3; ::::en el intervlo [; ] sen nxdx = ( cos nx) dx = x sennx n = Pr m 6= n ls integrles: senmxsennxdx = (cos(m+n)x cos(m n)x)dx = ( sen(m+n)x (m+n) sen(m n)x (m n) = 6
.3 L fmili de funciones f; sennx; cos nxg n = ; ; 3; ::: x [ ; ] dx = sen nxdx = cos nxdx = Si m 6= n senmx:sennxdx = cos mx: cos nxdx = senmx: cos nxdx = cos nx ( )dx = +cos nx ( )dx = Est fmili de funciones constituyen l bse del nálisis rmónico. Constituyen un sistem cerrdo pr ls funciones que son desrrollbles en serie de Fourier. Los coe cientes del desrrollo in nito o de l proximción por un número nito de funciones de este sistem ortogonl se denominn coe cientes de Fourier (son los i determindos nteriormente).tods ls funciones de l fmili tienen el período común y reciben el nombre genérico de rmónicos. Se denomin nálisis rmónico de un función periódic f(x) l expresión, exct o proximd, medinte un serie de Fourier o un sum prcil, es decir, un combinción linel de rmónicos. Un de ls principles plicciones del nálisis rmónico en Geodesi es el estudio de ls mres oceánics prtir de los registros de los mreógrfos.. Construcción de un sucesión de funciones ortogonles. Consideremos un sucesión de polinomios: P (x) ; P (x) ; P (x) ; P 3 (x) ; ::::::::; P n (x) ; :::::::: de grdo n = ; ; ; 3; :::::; n; :::: tles que son ortogonles en el intervlo ( ; ): Si tles polinomios existen se dice que se h construido un fmili de funciones esférics. En prticulr, cundo P n(x)dx = n+ 7
se denominn Polinomios de Legendre. Slvo un constnte, podemos escribir: P (x) = P (x) = x + P (x) = x + x + P 3 (x) = x 3 + x + x + 3 P (x) = x + x 3 + x + 3 x +... Procediendo de un mner ordend l condición de ortogonlidd permite determinr los coe cientes. P P dx = (x + ) dx = = ) = P (x) x Determindos P (x) y P (x) l condición de ortogonlidd permite escribir: P P dx = P P dx = P P dx = P P dx = x + x + dx = 3 + = x x + x + dx = 3 = P (x) x 3 A prtir de P ; P ; P se determin P 3 por ls condiciones P P 3 dx = P P 3 dx = P P 3 dx = result P 3 (x) x 3 3 5 x Análogmente P ; P 5 ; ::::: P (x) x 6 7 x + 3 35 Ls polinomios P ; P ; P ; P 3 ; P ; P 5 ; ::: veri cn ls condiciones de ortogonlidd y tmbién l sucesión k P ; k P ; k P ; k 3 P 3 ; k P ; k 5 P 5 ; ::: los polinomios de Legendre se obtendrán determinndo ls constntes k ; k ; k ; k 3 ; k ; k 5 ; ::: de mner que se cumpl l condición P n(x)dx = n+ 8
k k P dx = = x+ ) k = P dx = 3 = x+ ) k = k P dx = 5 = x+ ) k 8 5 = 5 ) k 9 = ) k = 3 esultn los primeros términos de l sucesión de Polinomios de Legendre P (x) P (x) x P (x) 3 x P 3 (x) 5 x3 3 x P (x) 35 8 x 5 x + 3 8 P 5 (x) 63 8 x5 35 x3 + 35 8 x epresentción grá c y.75.5.5 - -.5.5 -.5 x -.5 P = 3 x 9
y.5 - -.5.5 x -.5 - P 3 (x) 5 x3 3 x y.75.5.5 - -.5.5 -.5 x P (x) 35 8 x 5 x + 3 8
y.5.5 - -.5.5 -.5 x -.5 P 5 (x) 63 8 x5 35 x3 + 35 8 x Los polinomios de Legendre veri cn l relción de recurrenci: (n + ) P n+ = (n + ) xp n np n Así P = 3xP P = 3x ) P (x) 3 x 3P 3 = 5xP P = 5x 3 x x ) P 3 (x) 5 x3 3 x P = 7xP 3 3P ) P (x) 35 8 x 5 x + 3 8 5P 5 = 9xP P 3 ) P 5 (x) 63 8 x5 35 x3 + 35 8 x Veri cn l fórmul de Olinde odrigues P n (x) = n n! d n dx n (x ) n y son soluciones de l ecución diferencil: x y xy + n (n + ) y =
5 Armónicos esféricos 5. Funciones socids de Legendre Se obtienen prtir de l fórmul de Ferrers P nm (x) = ( x ) m dm dx m P n (x) Siendo P n (x) el polinomio de Legendre de grdo n. Se veri c: Si m = ) P n (x) = P n (x) Si m > n ) P nm (x) Si m es pr se obtiene un polinomio Si m es impr un función que contiene p denominción de funciones socids. En Geodesi se utiliz l sustitución x = cos Aplicndo l fórmul result: n m P nm (x) P nm (cos ) x cos p x sen 3x ( + 3 cos ) 3x p x 3 sen 3 x 3 ( cos ) 3 x(5x 3) 8 (3 cos + 5 cos 3) 3 3 5x p x 3 8 (sen + 5sen3) 3 5 x 5 x (cos cos 3) 3 3 5 x 3 5 (3sen sen3) x por eso l 5. Armónicos esféricos super ciles Sobre l super cie de un esfer tomndo como coordends curvilines l ltitud geocéntric y l longitud se de nen ls funciones nm (; ) = P nm (cos ) cos m S nm (; ) = P nm (cos )senm Ests funciones son ortogonles respecto l producto interno = = (; )b(; )sendd = :bd nm : sr d = si s 6= n o r 6= m
S nm :S sr d = si s 6= n o r 6= m nm :S sr d = en culquier cso nd = n+ nmd = Snmd = (n+m)! n+ (n m)! (m 6= ) Un función f (; ) de nid sobre l super cie de l esfer puede desrrollrse (o proximrse) en serie de rmónicos esféricos P f (; ) = P Y n (; ) = n= np n= mn= [ nm nm (; ) + b nm S nm (; )] Teniendo en cuent l ortogonlidd los coe cientes del desrrollo son: n = n+ nm = n+ b nm = n+ (n m)! (n+m)! f(; )P n (cos )d (n m)! (n+m)! f(; ) nm (; )d f(; )S nm (; )d 3