1 OBJETIVOS Defiir escueto y valor actual. Distiguir las actualizacioes simples y compuestas. Ietificar los istitos tipos e escuetos. Demostrar fórmulas pricipales y erivaas. Resolver situacioes problemáticas. CONTENIDOS: Descueto. Valor actual. Valor Nomial. Descueto simple. Descueto comercial simple. El valor actual e el escueto comercial. El escueto comercial simple. Fórmula pricipal. Fórmulas erivaas. El escueto comercial simple. Fórmula pricipal. Fórmulas erivaas. El escueto racioal simple. Fórmula pricipal. Fórmulas erivaas. El moto e el escueto racioal simple. Fórmula pricipal. Fórmulas erivaas. Reversibilia el escueto. El límite el valor actual. Relació etre la tasa e escueto y la tasa e iterés. Descueto compuesto. El escueto comercial compuesto. Fórmula pricipal. Fórmulas erivaas. Relació etre la tasa e iterés y la tasa e escueto. Descueto comercial compuesto. El escueto comercial compuesto e base al moto. Fórmula pricipal. Fórmulas erivaas. Descueto comercial compuesto e base al valor actual. Fórmula pricipal. Fórmulas erivaas. Descueto racioal compuesto. El moto e el escueto racioal compuesto. Fórmula pricipal. Fórmulas erivaas. Descueto racioal compuesto. El escueto racioal compuesto e base al valor actual. Fórmula pricipal. Fórmulas erivaas. Descueto racioal compuesto e base al moto. Fórmula pricipal. Fórmulas erivaas.
2 DESCUENTO DESCUENTO (Defiició) Se llama escueto al capital que se le resta a ua eua por haberla pagao ates e su vecimieto, ebio a la aplicació e ua cierta tasa e escueto. VALOR ACTUAL E ua operació e escueto, el valor que se paga espués e haberle practicao el escueto se eomia valor actual y se lo represeta co la letra V. VALOR NOMINAL Cuao se escueta ocumetos ates e su vecimieto, el valor futuro o moto se lo cooce co el ombre e valor omial y se lo represeta co N, o sea que C=N.- DESCUENTO SIMPLE DESCUENTO SIMPLE (Defiició) Se llama escueto simple a la operació e escueto calculaa co ua ley simple. DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE EL VALOR ACTUAL EN EL DESCUENTO COMERCIAL E el escueto comercial, el valor actual se represeta co Vc y e acuero co los coceptos ateriores, el valor actual se calcula co: Vc C Dc FÓRMULA PRINCIPAL DEL DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE Dese el puto e vista matemático, se llama escueto comercial simple (Dc) al iterés simple calculao e base al valor futuro co ua cierta tasa e escueto. De lo aterior, eucimos que el escueto comercial se calcula siempre e base al valor futuro o moto. Esto sigifica que la fórmula el escueto comercial simple es: Dc C Para el caso e los escueto e ocumetos, la fórmula e escueto comercial simple es: Dc N Ua persoa escueta u ocumeto e $4.100 que se vece etro e 3 meses y se actualiza mesualmete co el 3% mesual. Se pie calcular el escueto comercial simple y el valor que se paga.
3 Actualizació: simple y mesual (escueto comercial simple) C=$4.100 T=3 (meses) =3 R=3% mesual =0,03 Icógitas Dc=? Vc=? Para el escueto comercial hacemos: Dc C Dc $ 4.100 0,03 3 Dc $369 Para el valor actual hacemos: Vc C Dc $ 4.100 $369 Vc $3.731 FÓRMULAS DERIVADAS DEL DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE Para obteer las fórmulas erivaas, se ebe partir e la fórmula pricipal, o sea: Dc C EL MONTO EN EL DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE Partieo e la fórmula pricipal, espejamos el moto, o sea: C Dc U ocumeto que se vece e 5 meses se lo paga hoy y sufre u escueto comercial simple e $320. Cuál será su valor omial se la actualizació es mesual y se le aplica el 8% bimestral e escueto? Cuál es el valor que se paga realmete? Actualizació: mesual y simple T=5 meses =5 Dc=$320 R=8% bimestral R=8%:2 R=4% mesual =0,04 Icógitas C=? Vc=? Para calcular el valor omial o futuro, hacemos: C Dc $320 C C $1.600 5 0,04
4 Ahora, el valor actual o valor que se paga es: Vc C Dc Vc $ 1.600 $320 Vc $1.280 EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE De la fórmula pricipal espejamos el úmero e períoos y quea: Dc C Cuál ebe ser el tiempo que se ebe aelatarse el pago e ua eua e $5.000 para que sufra u escueto comercial simple e $350, sabieo que la actualizació aplicaa es semaal co el 7% mesual e escueto? Cuál será el valor actual e la eua? Actualizació semaal y simple C=$5.000 Dc=$350 R=7% mesual R=7%:4 R=1,75% semaal =0,0175 Icógitas =? Vc=? Para calcular el úmero e períoos hacemos: Ahora, para el caso el valor actual hacemos: Dc $350 4 semaas C $5.000 0,0175 Vc C Dc Vc $ 5.000 $350 Vc $4.650 LA RAZÓN EL EN DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE Partieo e la fórmula fuametal, espejamos la tasa para luego calcular la razó, o sea: Dc C Pero sabemos que: R 100% Calcular el tato por cieto que se le ebe aplicar a ua eua e $800 para que sufra u escueto comercial simple e $100 si se sabe que se la paga 4 meses ates e su vecimieto y teieo e cueta que la actualizació es mesual. Calcular tambié el valor real que se paga.
5 Actualizació: mesual C=$800 Dc=$100 T=4 meses =4 Icógitas R=? Vc=? Para calcular la razó, primero ebemos calcular la tasa y luego multiplicarla por 100%, o sea: Dc C $100 $800 4 0,03125 Ahora la razó es: R 100% R 0,03125 100% R 3,125% Para el caso el valor actual se hace: mesual Vc C Dc Vc $ 800 $100 Vc $700 EL VALOR ACTUAL EN EL DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE Como se sabe el valor actual es el valor que se paga e la eua espués e haberle practicao el escueto. Para el caso el escueto comercial simple se lo represeta co Vc. Para poer etermiar la fórmula para su cálculo, se parte e lo siguiete: Vc C Dc Dc C Reemplazao la segua fórmula e la primera, quea: Sacao factor comú el moto, se tiee: Vc C C Vc C. 1 Se paga u ocumeto 30 ías ates e su vecimieto cuyo valor omial es e $5.200 y por el aelato al pago se realiza u escueto comercial simple el 10% mesual y capitalizació iaria y año comercial. Cuál es el valor que se paga? Cuál es el escueto que se practica? Actualizació iaria T=30 ías =30 C=$5.200 R=10% mesual R=10%:30 R=0,333% iario =0,00333
6 Icógitas Vc=? Dc=? Para calcular el valor actual hacemos: Vc C.( 1. ) Vc $5.200.(1 0,00333 30) Vc $4.685,20 Ahora teieo e cueta que: Dc C Vc Dc $ 5.200 $4.685,20 Dc $514,80 LAS FÓRMULAS DERIVADAS DEL VALOR ACTUAL EN EL DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE Partieo e la fórmula el valor actual, se puee obteer las fórmulas erivaas. EL MONTO EN EL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE Partieo e: Vc C. 1 Despejamos el moto y quea: Vc C 1 Calcular el valor el ocumeto si se paga $1.300 5 meses ates e su vecimieto, aplicáole u escueto comercial simple el 7% trimestral y la actualizació es mesual. Calcular tambié el escueto practicao. Actualizació: simple y mesual Vc=$1.300 T=5 meses =5 R=7% trimestral R=7%:3=2,33% mesual =0,0233 Icógitas C=? Dc=? Para calcular el valor el ocumeto hacemos: Ahora, el escueto se calcula co: Vc $1.300 C C C $1.471,42 1 1 0,0233 5 Dc C Vc Dc $ 1.471,42 $1.300 Dc $171,42
7 EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE Partieo e la fórmula pricipal, o sea: Pasamos al primer miembro el moto, quea: Vc C. 1 Vc C 1 Pasamos el 1 al primer miembro, sacamos comú eomiaor y multiplicamos ambos miembros por -1, o sea: C Vc (1) C Despejamos el úmero e períoos y se llega a la fórmula eseaa: C Vc C Calcular el tiempo ates e su vecimieto que se ebe escotar u ocumeto e $2.500 si se sabe que se le aplica u escueto comercial simple el 3% mesual, sabieo que se pagará por icho ocumeto $1.800 si la actualizació es mesual. Calcular tambié el escueto que se realizará. Actualizació: mesual y simple C=$2.500 R=3% mesual =0,03 Vc=$1.800 Icógitas =? Dc=? Para calcular el úmero e períoos, hacemos: C Vc $2.500 $1.800 9, 33 meses C 0,03 $2.500 Ahora, para calcular el escueto usamos el cocepto iicial el mismo, o sea: Dc C Vc Dc $ 2.500 $1.800 Dc $700 LA RAZÓN EN EL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE Para emostrar esta fórmula erivaa partimos e la (1), o sea: C Vc C
8 Despejamos la tasa para luego calcular la razó, quea: C Vc C Luego, la razó es: R 100% Se escueta u ocumeto e $7.200 4 meses ates e su vecimieto y se paga $6.500 Cuál es el tato por cieto que se le aplicó al escueto comercial si la actualizació es mesual? Cuál es el escueto realizao? Actualizació: mesual y simple C=$7.200 T=4 meses =4 Vc=$6.500 Icógitas R=? Dc=? Para calcular la razó, primero ebemos calcular la tasa: C Vc C $7.200 $6.500 4 $7.200 0,0243 Ahora, la razó se calcula co: R 100% R 0,0243 100% R 2,43% mesual EL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE FÓRMULA PRINCIPAL DEL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE Dese el puto e vista matemático, se llama escueto racioal simple al iterés simple calculao e base al valor actual co ua tasa e escueto.- El escueto racioal es tambié llamao escueto matemático ya que se lo calcula sobre el valor real que se paga. Teieo e cueta esta efiició, teemos la fórmula para calcular el escueto racioal simple: Dr Vr Doe Dr es el escueto racioal simple y Vr es el valor actual co escueto racioal simple.
9 Calcular el escueto racioal simple que se le ebe aplicar a ua eua que se paga por ella $3.254, 5 meses ates su vecimieto, sabieo que se le aplica ua tasa e escueto el 5% bimestral y actualizació mesual. Calcular tambié el valor real e la eua al vecimieto. Actualizació: mesual y simple Vr=$3.254 T=5 meses =5 R=5% bimestral R=5%:2 R=2,5% mesual =0,025 Icógitas Dr=? C=? Calculamos primero el escueto racioal, o sea: Dr Vr Dr $ 3.254 5 0,025 Dr $406,75 Ahora, como se sabe el moto es: C Dr Vr C $ 3.254 $406,65 C $3.660,75 FÓRMULAS DERIVADAS DEL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE Para obteer las fórmulas erivaas el escueto racioal simple, se ebe partir e la fórmula pricipal y espejarlas e ella. EL VALOR ACTUAL EN EL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE Partieo e la fórmula pricipal el escueto racioal simple, o sea: Dr Vr Despejamos el valor actual y quea: Vr Dr U ocumeto que se vece e 5 meses se realiza u escueto racioal simple e $245,21 aplicáole el 6% bimestral y la actualizació mesual. Cuál es el valor que se paga por icho ocumeto? Cuál es su valor omial? Actualizació: mesual y simple T=5 meses =5 Dr=$245,21 R=6% bimestral R=6%:2 R=3% mesual =0,03
10 Icógitas Vr=? C=? Para calcular el valor actual co escueto racioal, hacemos: Vr Dr $245,21 Vr Vr $1.634,73 5 0,03 Ahora, el valor omial o valor futuro es: C Vr Dr C $ 1.634,73 $241,21 C $1.875,94 EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE Partieo e la fórmula pricipal e escueto racioal simple, o sea: Despejamos el úmero e períoos y quea: Dr Vr Dr Vr Calcular el tiempo que se ebe aelatar el pago e ua eua si se paga por ella $7.300 co u escueto racioal e $1.358,89, sabieo que se le aplicó el 7% trimestral, si la actualizació es mesual. Calcular tambié el valor e la eua al vecimieto. Actualizació: mesual y simple Vr=$7.300 Dr=$1.358,89 R=7% trimestral R=7%:3 R=2,33% mesual =0,0233 Icógitas =? C=? Para calcular el úmero e períoos, hacemos: Ahora el moto se calcula co: Dr $1.358,89 7, 98meses Vr 0,0233 $7.300 C Vr Dr C $ 7.300 $1.358,89 C $8.658,89
11 LA RAZÓN EN EL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE Como se sabe para calcular la razó, primero ebemos calcular la tasa. Para ello partimos e la fórmula pricipal, o sea: Despejamos la tasa y quea: Dr Vr Dr Vr Y la razó es: R R 100% 100% Calcular el tato por cieto que se le ebe aplicar a ua eua si se la paga 3 bimestres ates e su vecimieto, aboao por ella $8.500, sabieo que tuvo u escueto racioal simple e $2.300 y la actualizació es bimestral. Calcular tambié el moto e la eua al vecimieto. Actualizació: mesual y simple T=3 bimestres =3 Vr=$8.500 Dr=$2.300 Icógitas R=? C=? Para calcular la razó, primero calculamos la tasa, o sea: Dr Vr $2.300 3 $8.500 0,0901 Ahora, la razó es: R 0,0901100% R 9,01% bimestral EL MONTO EN EL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE Partieo e las fórmulas el escueto racioal simple y el moto, o sea: Dr Vr C Vr Dr Reemplazao la primera fórmula e la segua, se tiee: C Vr Vr
12 Sacao factor comú el valor actual, teemos: C Vr.( 1 Ua persoa escueta u ocumeto 6 meses ates e su vecimieto y paga por el $2.550,32 sabieo que se le aplicó u escueto racioal simple co el 25% aual y actualizació mesual. Calcular el valor omial el ocumeto y el escueto realizao. Actualizació: mesual y simple T=6 meses =6 Vr=$2.550,32 R=25% aual R=25%:12 R=2,08% mesual i=0,0208 Icógitas C=? Dr=? Para calcular el moto se hace: C Vr.( 1 C $2.550,32.(1 6 0,0208) C $2.868,60 Para calcular el escueto hacemos: Dr C Vr Dr $ 2.868,60 $2.550,32 Dr $318,28 LAS FÓRMULAS DERIVADAS DEL MONTO EN EL DESCUENTO RACIONAL SIMPLE Para obteer las fórmulas erivaas e la pricipal, la ebemos espejarlas e ella. EL VALOR ACTUAL EN EL MONTO CON DESCUENTO RACIONAL SIMPLE Partieo e la fórmula pricipal, o sea: C Vr.( 1 Pasamos el parétesis al otro miembro, quea: C Vr 1 Se escueta u ocumeto e $7.000 que se vece e 5 meses teieo u escueto racioal el 9% trimestral y actualizació mesual y simple. Cuáto se pagará por icho ocumeto a la fecha? Cuál es el escueto que sufrió?
13 Actualizació: simple y mesual C=$7.000 T=5 meses =5 R=9% trimestral R=9%:3 R=3% mesual =0,03 Icógitas Vr=? Dr=? Para calcular el valor actual hacemos: C Vr 1 $7.000 Vr Vr $6.086,95 1 5 0,03 Para calcular el escueto racioal, se tiee: Dr C Vr Dr $ 7.000 $6.086,95 Dr $913,05 EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL MONTO CON DESCUENTO RACIONAL SIMPLE Partimos e la fórmula pricipal, o sea: C Vr.( 1 Pasamos al primer miembro el valor actual, quea: C Vr 1 Pasamos el 1 al primer miembro y sacamos comú eomiaor, se tiee: C Vr Vr (2) Ahora, espejamos el úmero e períoos y se llega a la fórmula eseaa: C Vr Vr Ua persoa tiee ua eua e $7.200 y la cacela ates e su vecimieto sufrieo el 8% cuatrimestral e escueto racioal simple y la actualizació es mesual, pagao e este mismo istate $5.800. Cuál es el tiempo que se aelató el pago e la eua? Cuál es el escueto que sufrió la eua? Actualizació: mesual y simple C=$7.200 R=8% cuatrimestral R=8%:4 R=2% mesual =0,02
14 Vr=$5.800 Icógitas =? Dr=? Para calcular el úmero e períoos, hacemos: C Vr $7.200 $5.800 12, 06 meses Vr 0,02 $5.800 Por supuesto, para calcular el escueto, se tiee: Dr C Vr Dr $ 7.200 $5.800 Dr $1.400 LA RAZÓN EN EL VALOR NOMINAL CON DESCUENTO RACIONAL SIMPLE Para calcular la razó, primero ebemos calcular la tasa y luego multiplicarla por cie para obteerla. Para ello partimos e la fórmula (2), o sea: C Vr Vr Despejamos la tasa, se tiee: C Vr Vr Y como se sabe: R R 100% 100% Se escueta u ocumeto e $3.500 7 meses ates e su vecimieto, pagáose e este istate $2.800. Si se sabe que el escueto sufrio es el racioal simple y la actualizació es mesual Cuál es el tato por cieto aplicao? Cuál es el escueto realizao? Actualizació: mesual y simple C=$3.500 T=7 meses =7 Vr=$2.800 Icógitas R=? Dr=?
15 Para calcular la razó, primero ebemos calcular la tasa, o sea: C Vr Vr $3.500 $2.800 7 $2.800 0,0357 Ahora, la razó es: R 100% R 0,0357 100% R 3,57% mesual LA REVERSIBILIDAD DEL DESCUENTO LA REVERSIBILIDAD (Cocepto) Se ice que ua operació fiaciera es reversible, cuao el valor que se obtiee al efectuar ua actualizació se trasforma e el mismo valor futuro al que se actualizó, comparáola co la misma tasa e iterés urate el mismo tiempo que la operació origial. Se escueta u ocumeto 5 meses ates e su vecimieto y cuyo valor omial es e $5.000, co el 3% mesual y actualizació mesual. Se pie calcular: a) El valor actual aplicáole u escueto comercial b) El valor actual aplicáole u escueto racioal Actualizació mesual T=5 meses =5 C=$5.000 R=3% mesual Icógitas a) Vc=? b) Vr=? a) Calculamos el valor actual para el escueto comercial, o sea: Vc C.( 1. ) Vc $5.000.(1 0,02 5) Vc $4.500 b) Calculamos el valor actual para el escueto racioal, o sea: C Vr 1. $5.000 Vr Vr $4.545,4545 1 5 0,02 Ahora, calculemos el valor omial co estos valores actuales y co capitalizació simple, mesual y co la misma tasa, se tiee: a) Cálculo el moto co el valor actual co escueto comercial: C Co.( 1 i. ) C $4.500.(1 0,02 5) C $4.950 b) Cálculo el moto co el valor actual co escueto racioal: C Co.( 1 i. ) C $4.545,4545.(1 0,02 5) C $5.000
16 De acuero a lo aterior teemos os afirmacioes: a) Para el caso el escueto comercial, iremos que o es reversible, ya que se colocó el valor actual al iterés simple y por el mismo úmero e períoos y co la misma tasa y o se obtuvo el moto. b) Para el caso el escueto racioal, afirmamos que es reversible, ya que se colocó el valor actual que se obtuvo al iterés simple y por el mismo úmero e períoos y co la misma tasa y se obtuvo el moto. EL LÍMITE DEL VALOR ACTUAL Partieo e la fórmula e valor actual co escueto comercial, o sea: Vc C.( 1. ) Y hacemos 1, teemos: 1 Vc C. 1 Simplificao la tasa, quea: Vc C.( 11) Vc C.0 Vc 0 Co esto cocluimos que el valor actual se aula si el úmero e períoos es igual al iverso e la tasa aplicaa. Por lo cosiguiete, poemos ecir que e el escueto comercial, el valor actual está efiio para valores el tiempo etre hasta 1.- Si calculamos Vc para C=1.000; R=20% por períoo y =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; teremos: Vc C.( 1. ) Vc $1.000.(1 0,2 )
17 Ahora, costruimos ua tabla para la gráfica e la fució Vc Vc 0 1.000 1 800 2 600 3 400 4 200 5 0 6-200 Observamos que para el períoo 6, el valor actual tiee u valor egativo (-200), por lo que se ice se proujo u absuro fiaciero. RELACIÓN ENTRE LA TASA DE INTERÉS Y DE DESCUENTO Tegamos e cueta las fórmulas el capital iicial e el moto e el iterés simple y el moto e valor actual co escueto comercial: C Co Vc C.( 1. 1 i. ) Como se sabe, el valor actual es el capital iicial, por lo tato Co=C, etoces aplicao la propiea trasitiva e la iguala, quea: C 1 i. C.(1. ) Aplicao la propiea cacelativa, se tiee: 1 1. 1 i. 1 (3)
18 Ahora, para la TASA DE INTERÉS y teieo e cueta que esta proporció 1+i. es u extremo y sabieo que u extremo es igual al proucto e los meios iviio e el otro extremo (corolario el Teorema Fuametal e las Proporcioes), quea: Pasao el 1 al otro miembro, se tiee: Y sacao comú eomiaor, quea: Cacelao el 1 y el -1, se tiee: Simplificao quea la fórmula eseaa: 1 1 i. 1. 1 i. 1 1. 11. i. 1.. i. 1. i 1. Determiar la tasa e iterés correspoiete al escueto el 2% mesual e 3 meses. R=2% mesual =0,02 mesual =3 meses Icógita i=? Utilizao la fórmula emostraa ateriormete, teemos: i 0,02 i i 0, mesual 1. 1 0,02 3 021 Ahora, para la TASA DE DESCUENTO, partimos e la fórmula (3), o sea: 1 1. 1 i. 1
19 Que es lo mismo que: 1 1. 1 i. Pasao 1 al otro miembro, quea: 1. 1 1 i. Sacao comú eomiaor, se tiee: 11 i.. 1 i. Cacelao, quea: i.. 1 i. Cacelao y premultiplicao ambos miembros por -1, llegamos a la fórmula eseaa: i 1 i. Determiar la tasa e escueto correspoiete al iterés el 5% mesual a 5 meses. R=5% mesual i=0,05 mesual =5 meses Icógita =? Calculamos la tasa e escueto co la fórmula emostraa últimamete, o sea: 1 0,05 0, mesual 1 i. 1 0,05 5 04 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Cuál será el escueto comercial simple que tería u ocumeto cuyo valor omial es e $7.200 y que se vece etro e 5 meses y se lo paga hoy co el 9% bimestral y actualizació mesual? Cuáto pagaríamos por icho ocumeto?
2. Se escueta u ocumeto 60 ías ates e su vecimieto pagáose actualmete $1.250 co el 5% mesual e escueto y actualizació iaria (año comercial) Cuál será el escueto racioal simple? Cuál será su valor omial? 3. U ocumeto e $3.000 se vece etro e 3 meses y se ha escotao al 3% mesual. Calcular su valor actual, sabieo que el escueto es comercial y simple y que la actualizació es mesual. 4. Resolver el problema aterior, pero co escueto racioal. 5. U ocumeto e $5.200 se ha pagao 40 ías ates e vecer co el 30% aual e escueto. Calcular el valor percibio luego e escotarlo, teieo e cueta que la actualizació es iaria, año comercial y escueto racioal simple. 6. Ua eua se ocumetó a 40 ías co u ocumeto firmao por $7.300. Calcular el valor recibio, sabieo que se le aplicó u escueto racioal simple el 30% aual y actualizació iaria (año civil). 7. Calcular los meses ates e vecer que se pagó u ocumeto e $2.500 si co el 25% aual, le permitió obteer u valor actual e $2.000 co u escueto racioal simple. 8. Por pagar u ocumeto co escueto 90 ías ates e su vecimieto co el 30% aual e escueto racioal simple, se ha percibio $3.620,44. Cuál es el valor omial el ocumeto y cuál es el escueto racioal simple practicao, sabieo que la actualizació es mesual? 9. Ua persoa tiee ua eua e $2.500 la que se ocumetó al 28% aual. Al escotarla pagó $2.200. Calcular el tiempo e meses que se aelató el pago e icha eua sabieo que la actualizació es mesual. Calcular tambié el escueto racioal simple realizao. 10. Ua persoa paga $1.200 por ua eua que vece etro e 3 meses, sabieo que se le aplica u escueto el 4% bimestral co actualizació mesual. Cuál es el escueto racioal simple realizao? Cuál es el valor omial e la eua? 11. Se paga u ocumeto que se vece e 4 meses obteieo u escueto racioal simple e $890,45 co el 8% trimestral. Calcular el valor que se paga sabieo que la actualizació es mesual. Calcular tambié el valor e la eua al vecimieto. 12. Se paga u ocumeto co $725,30 meos pagáose u valor actual e $3.869,47 aplicáosele u escueto racioal simple el 9% trimestral cuátos meses ates e su vecimieto se escotó el ocumeto? Cuál es el valor omial el mismo? 13. Calcular cuáto recibe ua persoa al pagar 3 meses ates e vecer u ocumeto e $3.500 co u escueto comercial simple el 30%. Calcular tambié el escueto practicao. 14. Por haber pagao 40 ías ates e vecer u ocumeto e $2.300 se ha recibio u valor actual e $1.800. Calcular el tato por cieto aual que se le aplicó al escueto comercial simple realizao. 15. Cuátos meses ates e vecer se escotó u ocumeto e $8.000 si se le aplicó el 30% aual y se paga $6.963,52 si la actualizació es mesual y co escueto comercial simple? 16. Por escotar al 30% aual u ocumeto e $2.310 se ha percibio e valor actual $1.830,47. Si la actualizació es iaria y año civil y el escueto es comercial simple Cuátos ías ates e vecer se ha efectuao la operació? 17. U ocumeto e $5.200 se escotó 35 ías ates e su vecimieto recibieo u valor actual e $4.800. Cuál es el tato por cieto aplicao al escueto comercial simple si la actualizació es iaria? 18. Ua eua e $8.900 se ocumeta a 15 ías e plazo Cuáto recibe hoy si el ocumeto se escueto e forma comercial y simple co el 40% aual y actualizació iaria y año civil? 19. U ocumeto e $3.750 se escotó co el 28% aual, percibieo u valor e $3.520,12. Calcular cuátos ías ates e vecer se ha efectuao la operació si la actualizació es iaria y el escueto es comercial y simple. 20
21 EL DESCUENTO COMPUESTO EL VALOR ACTUAL EN EL DESCUENTO COMERCIAL COMPUESTO E el valor actual co escueto comercial compuesto ebemos usar la siguiete omeclatura: Dc : Descueto comercial compuesto. Vc : Valor actual co escueto comercial compuesto. C : Moto a iterés compuesto. Para etermiar la fórmula e valor actual e el escueto comercial compuesto, partimos e: Vc' C' Dc' es: Y teieo e cueta que para u períoo (=1), el valor actual co escueto comercial simple Vc C.( 1. ) C.(1.1) C.(1 Hacieo razoamietos y teieo e cueta que la ley compuesta ivolucra el moto el períoo aterior para calcular el el actual, se tiee: Períoo Moto o valor futuro Valor actual 1 ' ' C V C'.(1 ) 1 ' 2 2 C'.( 1 3 4 C'.( 1 ) C'.( 1 ) 2 3 V V V 2 C'.( 1 ).(1 C'.(1 ' 2 3 3 C'.( 1 ).(1 C'.( 1 ) ' 3 4 4 C'.( 1 ).(1 C'.( 1 ) 5 6-1 C'.( 1 C'.( 1 2 ) 1 ) V ' 2 1 1 C'.( 1).(1 ) C'.( 1) 1 V ' C'.( 1).(1 ) C'.( 1) Este cuaro se explica e la siguiete forma: Períoo 1: E este períoo, el valor futuro es el moto C, el valor actual co escueto comercial simple, teieo e cueta que =1, es: ' V1 C'.(1 Períoo 2: E este períoo, el moto es el valor actual el períoo aterior, o sea: ' V1 C'.(1
22 Pero el valor actual para este períoo y co =1 es: V ' ' 2 2 V1.( 1 ) C'.(1.(1 C'.(1 Períoo 3: E este períoo, el moto es el valor actual el períoo aterior, o sea: Pero el valor actual para este períoo y co =1 es: V V ' 2 2 C'.( 1 ) ' ' 2 3 3 V2.( 1 ) C'.(1.(1 C'.(1 Períoo 4: E este períoo, el moto es el valor actual el períoo aterior, o sea: Pero el valor actual para este períoo y co =1 es: V ' 3 3 C'.( 1 ) V ' ' 3 4 4 V3.( 1 ) C'.(1.(1 C'.(1 Y así seguimos hasta que llegamos al peúltimo períoo, o sea: Períoo -1: E este períoo, el moto es el valor actual el períoo aterior, o sea: Pero el valor actual para este períoo y co =1 es: V V ' 2 2 C'.(1 ' ' 2 1 1 V2.(1 C'.(1.(1 C'.(1 Hasta que llegamos al último períoo, o sea: Períoo : E este períoo, el moto es el valor actual el períoo aterior, o sea: Pero el valor actual para este períoo y co =1 es: V ' 1 1 C'.(1 ' 1 V ' V 1.(1 C'.(1.(1 C'.(1 Que es el valor actual para períoos, o sea que Vc =V, etoces Vc ' C'.(1
23 Calcular el valor que se pagará e ua eua e $8.500, que se la hace efectiva 4 meses ates e su vecimieto co el 4% bimestral e escueto comercial compuesto y actualizació mesual. Calcular tambié el escueto realizao. Actualizació: mesual y compuesta C =$8.500 T=4 meses =4 R=4% bimestral R=2% mesual =0,02 Icógitas Vc =? Dc =? Para calcular el valor actual co escueto comercial compuesto, se hace: Vc' C'.(1 Vc' $8.500.(1 0,02) 4 Vc' $7.840,13 Ahora, como se sabe, el escueto es la iferecia etre el moto y el valor actual, o sea: Dc' C' Vc' Dc' $8.500 $7.840,13 Dc' $659,87 FÓRMULAS DERIVADAS DEL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMERCIAL COMPUESTO Iuablemete que para obteer las fórmulas erivaas el valor actual co escueto comercial compuesto, se ebe partir e la fórmula pricipal y ese allí espejar las eseaas. EL MONTO EN EL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMERCIAL COMPUESTO Partieo e la fórmula pricipal, o sea: Vc ' C'.(1 Pasamos la potecia el biomio al primer miembro y quea la fórmula eseaa: Vc ' C ' (1) Ua persoa escueta u ocumeto 30 ías ates e su vecimieto y paga por él $3.250,45 co u escueto el 30% aual co actualizació iaria y compuesta. Cuál es el valor omial el ocumeto? Cuáto fue el escueto comercial practicao? Actualizació: iaria y compuesta T=30 ías =30 Vc =$3.250,45 R=30% aual R=0,08% iario =0,0008
24 Icógitas C =? Dc =? Calculamos el valor omial el ocumeto que es el moto. Para ello hacemos: Vc' $3.250,45 C' C' C' $3.329,44 30 (1 (1 0,0008) Ahora, como se sabe, el escueto es la iferecia etre el moto y el valor actual, o sea: Dc' C' Vc' Dc' $3.329,44 $3.250,45 Dc' $78,99 EL NÚMERO DE PERÍODOS EN EL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMERCIAL COMPUESTO Partieo e la fórmula pricipal, o sea: Pasamos el moto al primer miembro, quea: Vc ' C'.(1 Vc' (1 C' (1) Ahora tomamos logaritmo e ambos miembros, o sea: Vc' log(1 log C' Aplicao las propieaes e los logaritmos, se tiee: log( 1 ) logvc' log C' Y espejao el úmero e períoos se llega a la fórmula eseaa, o sea: log Vc ' log C ' log(1) Qué tiempo se ebe aelatar el pago e ua eua e $5.200, pagáose $4.820,44, sabieo que se le aplicó el 7% trimestral e escueto comercial compuesto y co actualizació mesual? Cuáto es el escueto practicao? Actualizació: mesual y compuesta C =$5.200 Vc =$4.820,44 R=7% trimestral R=2,33% mesual =0,0233
25 Icógitas =? Dc =? Calculemos el úmero e períoos usao la fórmula emostraa preceetemete, o sea: logvc' logc' log $4.820,44 log $5.200 3, 21meses log(1 log(1 0,0233) Ahora, como se sabe, el escueto es la iferecia etre el moto y el valor actual, o sea: Dc' C' Vc' Dc' $5.200 $4.820,44 Dc' $379,56 LA RAZÓN EN EL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMERCIAL COMPUESTO Partieo e la fórmula (1), o sea: Vc' (1 C' Pasamos el expoete al primer miembro, quea: Vc' C' 1 Hacieo ua trasposició e térmios, se tiee: Vc' 1 C ' Llegamos a la fórmula que os permite calcular la tasa e escueto. Para calcular la razó hacemos: R R 100% 100% Se paga ua eua e $3.500 co u escueto comercial compuesto, 3 meses ates e su vecimieto, lo que os permite aboar $2.766,77. Si la actualizació es mesual Cuál será el tato por cieto aplicaa a la icha eua? Cuál será el escueto practicao? Actualizació: mesual y compuesta C =$3.500 T=3 meses =3 Vc =$2.766,77 Icógitas R=? Dc =?
26 Para poer calcular la razó, primero ebemos calcular la tasa, o sea: Vc' $2.766,77 1 1 3 0,07 C' $3.500 Ahora calculamos la razó co: R 100% R 0,07 100% R 7% mesual Ahora, como se sabe, el escueto es la iferecia etre el moto y el valor actual, o sea: Dc' C' Vc' Dc' $3.500 $2.766,77 Dc' $733,23 RELACIÓN ENTRE LA TASA DE INTERÉS Y LA TASA DE DESCUENTO Teieo e cueta las fórmulas el moto compuesto y el moto e el valor actual co escueto comercial compuesto, poemos establecer ua relació etre la tasa e iterés y la tasa e escueto, o sea: C ' Co.(1 i) C' Vc' (1 Pero teieo e cueta que el capital iicial es lo mismo que el valor actual, se puee hacer: Co.(1 i) Co (1 Y aplicao la propiea cacelativa, teemos: (1 i) 1 1 (1 (2) PARA LA TASA DE INTERÉS sea: Partieo e la relació (2) pasamos el expoete como íice e la raíz al seguo miembro, o 1 i 1 1 Y resolvieo la raíz, se llega a: 1 1 i 1
27 Despejao la tasa e iterés y sacao comú eomiaor, se tiee: 11 i 1 Resolvieo se llega a la fórmula eseaa: i 1 PARA LA TASA DE DESCUENTO Partieo e la fórmula (2), espejamos el meio ( 1, o sea: (1 1 (1 i) Pasao el expoete como íice al otro miembro, quea: 1 1 1 i Resolvieo la raíz y pasao el 1 al otro miembro, quea: 1 1 1 i Y multiplicao ambos miembros por -1 y sacao comú eomiaor, quea: 11 i 1 i Y resolvieo se llega a la fórmula eseaa: i 1 i PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Ua persoa paga u ocumeto e $5.000 5 meses ates e su vecimieto co ua tasa e escueto comercial compuesto e 2% mesual y actualizació mesual. Cuál es el valor que aboa? Cuál es el escueto realizao? 2. Se escueta u ocumeto que vece e 6 meses pagáose $2.532,45, sabieo que se le practicó u escueto comercial compuesto el 8% trimestral y actualizació mesual. Cuál es el valor omial el ocumeto? Cuáto es el escueto que se realizó?
28 3. Ua persoa que paga ua eua 90 ías ates su vecimieto cuyo valor omial es e $2.800 aboao $2.530,78 co ua actualizació iaria y u escueto comercial compuesto. Cuál es el tato por cieto aplicao al escueto? Cuál es el valor el escueto? 4. Se escueta u ocumeto e $930,45 pagáose $855,30 co u escueto el 30% aual y actualizació mesual y escueto comercial compuesto. Cuátos ías ates e su vecimieto se pagó la eua? Cuál es el valor el escueto realizao? 5. Cuáto se percibirá por u ocumeto e $550 que se escueta 45 ías ates e su vecimieto al 95% e iterés aual co actualizació iaria y compuesta? Cuál será el escueto comercial realizao? 6. Cuál será el valor omial e u ocumeto que escotao 40 ías ates e su vecimieto, al 26% aual y que arrojó u valor actual e $2.440,80 co actualizació iaria y compuesta? Cuál será el escueto comercial realizao? 7. Cuáto tiempo ates e su vecimieto se escotó u pagaré e $1.200 al 45% aual, si se obtuvo la suma e $995,90 como valor actual co actualizació mesual y compuesta? Cuál es el escueto comercial realizao? 8. Cuáto percibirá u comerciate por el escueto comercial compuesto e os ocumetos e $4000 y $5000 respectivamete, que vece, el primero el ía 15 e mayo y el otro el ía 15 e juio, si la operació se efectuó el 10 e marzo a la tasa el 25% aual? 9. A qué tasa aual se escotó u pagaré cuyo valor omial es e $1.100 si se cobró 85 ías ates e su vecimieto u valor actual e $875,50 si la actualizació es mesual y compuesta co escueto comercial? DESCUENTO COMERCIAL COMPUESTO Dese el puto e vista matemático, se llama escueto comercial compuesto a la iferecia etre el moto compuesto o valor futuro y el valor actual, o sea: Dc' C' Vc' (1) Doe: Dc es el escueto comercial compuesto Vc es el valor actual co escueto comercial compuesto C es el valor futuro o moto y para el caso e los ocumetos, es el valor omial FÓRMULA PRINCIPAL DEL DESCUENTO COMERCIAL COMPUESTO EN BASE AL MONTO Teieo e cueta la fórmula (1) y la el valor actual co escueto comercial compuesto, o sea: Vc ' C'.(1 Y reemplazao esta última e la (1), se tiee: Dc ' C' C'.(1