CAPÍTULO Lenguje lgebrico El lenguje lgebrico se bs en el uso de letrs y relciones mtemátics pr generlizr diferentes situciones. Ejemplos: El perímetro P de un cudrdo de ldo P = 4. A lgebr en los números reles. El áre A de un cudrdo de ldo A =. El áre A de un triángulo de bse b y ltur h Cd un de ls letrs involucrds en ls fórmuls nteriores es un vrible; cd vrible se le pueden signr diferentes vlores. En generl, un vrible es culquier letr involucrd en un expresión lgebric. Expresemos en lenguje lgebrico:. El doble de un número, x, m,.... El triple de un número x, y, b,.... L mitd de un número p, q, z,... 4. El cudrdo de p p 5. umentdo en b + b 6. disminuido en b b 7. El producto entre y b b A = b h Si en lgun expresión no está especificdo el término, podemos signr culquier vrible pr representr el enuncido, como se puede ver en los ejemplos,, y 4.
En generl, Son múltiplos de : el doble el triple el cuádruple el quíntuple : : 4 5 Son frcciones de : un medio (o l mitd) un tercio (o l tercer prte) o o un curto (o l curt prte) 4 o 4 un quinto (o l quint prte) : : 5 o 5 Son potencis de : el cudrdo el cubo l curt potenci (o l curt) 4 l quint potenci (o l quint) 5 : : Otrs expresiones lgebrics: un número pr n un número impr n Ejercicios resueltos Expresemos en lenguje lgebrico:. El doble de un número, umentdo en l mitd del mismo número. Aquí el número no está determindo; signémosle l vrible x; nos qued: x +. El doble de, umentdo en b + b. El doble de umentdo en b ( + b) Observe los ejemplos y. Cuál es l diferenci? x
CAPÍTULO 4. L mitd de más el triple de b. Aquí y están signds ls vribles, son y b. Nos qued: + b 5. El doble del cudrdo de. 6. El cudrdo del doble de. () Observe l diferenci entre los ejercicios 5 y 6. 7. L curt prte del triple del cudrdo de b. b 4 8. El triple de l curt prte del cudrdo de b. b ( ) 9. El cudrdo de l curt prte del triple de b. b ( ) 4 Observe ls diferencis entre los ejercicios 7, 8 y 9. 0. L diferenci entre el quíntuple de x y l mitd de y. y 5x. L sum de tres números pres consecutivos. (n) + (n +) + (n + 4) o (n ) + (n) + (n + ) Observe l diferenci entre mbs.. Tres impres consecutivos. n, n +, n + n +, n +, n + 5 Observe l diferenci entre mbs y exprese esos tres números de un mner distint.. L semisum entre y b. + b 4. L semidiferenci entre y b. b 5. El producto entre un número y su ntecesor. x (x ) 6. El producto entre un número y su sucesor. x (x + ) 4
Ejercicios I. Asigne vribles y exprese en lenguje lgebrico:. L mitd de un número.. El triple de, umentdo en el doble de b.. El doble del cociente entre y b. 4. El cubo de l diferenci entre x e y. 5. L diferenci entre el cubo de x y el cudrdo de y. 6. El cudrdo de equivle l sum entre el cudrdo de x y el cudrdo de y. 7. L sum de tres números consecutivos es. 8. L sum de tres pres consecutivos es 68. 9. El cubo del cudrdo de l diferenci entre x e y. 0. L curt prte del producto entre el cudrdo de y el cubo de b.. El triple de un número equivle l doble del mismo número umentdo en 5.. El volumen de un esfer de rdio r equivle l producto entre cutro tercios de p y el cubo del rdio.. L superficie de un rectángulo cuyos ldos miden ( + ) y ( ). 4. El volumen de un cubo de rist. 5. El volumen del prlelepípedo de l figur: 6. L superficie lterl del prlelepípedo de l figur. 7. L sum de los cudrdos de tres números consecutivos. 8. El cudrdo de l sum de tres números consecutivos. 0
CAPÍTULO Soluciones.. + b. b 4. (x y) 5. x y 6. = x + y 7. ( ) + + ( + ) = + ( + ) + ( + ) = 8. (n ) + n + (n + ) = 68 9. [(x y) ] 0. b 4. x = x + 5 4. V = p r. S = ( + ) ( ) 4. V = ( ) 5. V = ( + )( + ) 6. S = ( ( + ) + ( + )) 7. x + (x + ) + (x + ) 8. [x + (x + ) + (x + )] Definición: Se llm término (lgebrico) un conjunto de números y letrs que se relcionn entre sí por medio de l multiplicción y/o división. Ejemplo: b, p, 5 x y z. El término lgebrico const de un FACTOR NUMÉRICO, un FACTOR LITERAL y un GRADO. El grdo es l sum de los exponentes de ls letrs que precen en el término. Ejemplo: En el término 7 6 b 4 c el coeficiente numérico es 7 ; el fctor literl es 6 b 4 c y el grdo es (6+4+). Observción : Si el coeficiente numérico no está escrito, entonces es. Observción : Si el grdo no está escrito, entonces es. Se llm expresión lgebric culquier sum o rest de términos lgebricos. Si l expresión tiene dos términos, entonces es un binomio; si tiene tres términos se llm trinomio; si tiene cutro o más, hblmos de polinomios. (El término polinomio se puede usr en form generl pr culquier expresión lgebric.)
. Vlorizción de expresiones lgebrics Ls expresiones lgebrics no representn vlores en sí, sino que pueden ser evluds pr distintos vlores que se les signen ls letrs que ls componen. Ejercicios resueltos. El vlor del monomio b cundo = y b = 5 es 5 = 0. Reemplzmos directmente ls letrs y b por los vlores signdos; en este cso, y 5, y relizmos ls operciones indicds.. El vlor del mismo monomio b cundo = y b = 4 es: ( 4) = 9 4 = 6. Si x = ; y = 5 y z = 4, el vlor de x + y z es: + 5 4 = 4 + 5 4 = 7 4. Si m es el doble de n, n es el cudrdo de p y p =, determinemos m y n: Aquí tenemos: m = n; n = p y p =, entonces n = = 9 y m = n = 9 = 8. Así; n = 9 y m = 8. Ejercicios I. Determine coeficiente numérico, fctor literl y grdo de los siguientes términos lgebricos:. b. 5 4. 7 p q z 8 5. 0, c 7. b 8. 9. b 4 5 m n 9. 0,0 b 6. 0. x y 4
CAPÍTULO II. Si = y b =, determine el vlor de: IV. Si x = 4, y = y z = 5, determine el vlor de:. b. x + y + z. b. x y z. b. x + y x + z 4. + b + b 4. x x + y + z 5. b 5. x y 6. b 6. x y x z 7. b 5 7. x 8. + + b + b 8. z + z 9. + b b 9. x yz + x yz 0. b 4 6 0. x y 4 + z 5 III. Si m = y n = +, determine el vlor de:. m n. m m n. + m 4. m n 5. m + n m n 6. m + mn+ n 7. 5 mn 8. 9. m n m n 0. mn V. Determine el vlor de:. Si m + n = y n =, determine m.. Si m = p y p = determine m.. p + q r =, r q = 5, determine p. 4. 9 = b y =, determine b. 5. + = b y =, determine b. 6. Si es el doble de b, b es un tercio de c y c =, determine y b. 7. Si m es l curt prte de p y p es el cudrdo de, determine m. 8. L mitd de es. Cuál es el vlor de? 9. L tercer prte del doble de m es 4. Cuál es el vlor de m? 0. Si p + q = r, q es el triple que p y p = 5, cuál es el vlor de r?
Soluciones I. Coeficiente numérico Fctor literl Grdo... 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0.. 5 0,0 7 0, 5 9 4 b b p q z 8 c b b 4 m n x y 4 6 II... 5. 5 4. 9 5. 6. 9 7. 8. 9. 8 0. 5 III.... 4. 5 5. 5 6. 7. 0 8. 5 6 9. 5 0. 6 IV... 4. 7 4. 80 5. 4 6. 64 7. 5 8. 45 9. 85 0. V.. m = 4. m =. p = 7 4. b = 5 5. b = 6. = 8 b = 4 7. m = 8. = 9. m = 6 0. r = 0. Reducción de términos semejntes y uso de préntesis Definición: Se llmn términos semejntes quellos que tienen el mismo fctor literl (y por consiguiente el mismo grdo); sólo pueden diferir en el coeficiente numérico. Ejemplo. Son términos semejntes:,,, 0,5, 4 Ejemplo. No son términos semejntes: b y b, y, b y b, Vemos que en el ejemplo, el fctor literl de todos ellos es ; por est rzón son todos semejntes. En el ejemplo, en cmbio, tenemos en los tres csos fctores literles diferentes entre sí. En un expresión lgebric sólo podemos reducir quellos términos que son semejntes y esto se efectú sumndo (o restndo) los coeficientes numéricos y mnteniendo el fctor literl. El uso de préntesis es frecuente en álgebr. Sirve pr seprr expresiones lgebrics y se elimin de cuerdo con ls siguientes regls:. Si está precedido de un signo + o no tiene signo escrito, se elimin sin hcer ningún cmbio.. Si está precedido de un signo se elimin después de cmbir todos los signos de los términos del interior del préntesis. (Es impor- 4
CAPÍTULO tnte hcer notr que l eliminr el préntesis tmbién se elimin el signo que lo ntecede.) Si un expresión lgebric contiene préntesis, es conveniente eliminrlo ntes de proceder reducir los términos semejntes. Ejercicios resueltos. + + Los tres términos de l expresión son semejntes; por lo tnto, summos sus coeficientes numéricos y conservmos el fctor literl: + + = 6. + b 5 + 6b Aquí los términos y 5 son semejntes entre sí y lo mismo ocurre con b y 6b; entonces los podemos grupr entre sí y obtenemos: + b 5 + 6b = ( 5) + (b + 6b) = + 9b. x 6 y 5xy 6 7x 6 y x 6 y + xy 6 Agrupmos los términos según su semejnz y obtenemos: (x 6 y 7x 6 y x 6 y) + ( 5xy 6 + x y 6 ) = 5x 6 y + 6xy 6 4. 5m + (m 7n) n Antes de proceder l reducción de términos es necesrio eliminr el préntesis; como éste está precedido de un signo +, lo eliminmos sin hcer cmbios y obtenemos: 5m + m 7n n = 8m 9n 5. x y (x y xy ) + x y En este cso, l eliminr el préntesis (y el signo que lo precede) debemos cmbir los signos de los términos del interior; nos qued: x y x y + xy + x y (x y x y + x y) + xy = 5x y + xy 6. + + + 4 Aquí no es posible hcer ningun reducción pues no existen términos semejntes. Si en un expresión nos encontrmos con préntesis dentro de otros préntesis, procedemos eliminrlos desde dentro hci fuer tendiendo l mism regl. 5
7. b [ ( b + ) b] Eliminmos primero el préntesis interior: b [ + b b] Ahor eliminmos el exterior: b b + + b (b b + b) + ( + ) = b Ejercicios I. Reduzc ls siguientes expresiones:. m + m. + + 9. m m 7m 4. 6x y x y + x y 5. b 5b + 9 6. + b b + b 7. x yz + xy z xyz xy z + xyz x yz 8. pq + p q 5q + 7pq p 9. x 6y x y 5y 0. 5 + b 4b b... 4. + + 4 b 5 b + b 6 b 5 m m + m m 4 b + b 5 5. p + 4 q 7p + q 6. + + + 4 + 4 4 7. 0, m 0,0n +,07m,0n m n 8. 0,5x y 0,4xy + 0,x y 0,xy + x y 9.,7,5,5 + 4,4 6
CAPÍTULO 0. + x + xy + x xy + xy x. 5 m n mn m n + 0 m n 8 mn. 7 4 p 5 6 q + 4 p 6 q. u + u v + v u + uv v 4. s 4 t+ s s 5 s+ t+ 4 t 5. 0,7 0, 5b, 5b,b +,04 6. 0 + 5 9 + 6 + 7. 6 pt 5 p 4 t+ pt 5 p + 7 4 t+ 6 pt 8. x yz x y z + x y z x y z 9. 4 b b b b + b 0. 0,7m 7 p 0,04 m + 0,p 4 p Ii. Elimine préntesis y reduzc los términos semejntes:... 4. 5. + b + b + b + b b + + b b + b b b 6. x + y x x y 7. m n m + n m n 8. + b c b + c + b + c 9. x y + x y x x y 0. b + b b.. x + y x x y x x y y z x x y z x x. 4. b 4 4 b 5 7
5. 4 x + 5 y x y 5 y x 6. b b 7. b b + + b 8. + + b + + b 4 9. 4 x 5 y 5 4 x 4 x 5 y 5 y 5 y 0. Si P = x + x y Q = x 5x + 7, obteng P + Q.. Si P = x x y Q = x x, obteng Q P y P Q.. Si M = + + 4 y N = 4 +, obteng M + N y M N.. Si P = x 5x ; Q = x 7x + y R = x x +, obteng P + Q R y P (Q R). 4. Si P = m 6 + m m; Q = m 5 + m 4 m + m y N = m 6 + m 5 m + m, obteng P + Q N y N P. 5. Si A = b + b; B = b y C = + b + b, encuentre A + B + C ; A + B C y A (B + C). 6. Si P = + b y Q = b, entonces encuentre el vlor de P + Q. 7. Si P = b c y Q = 4 + b + c, encuentre Q P. 4 8. Si A = x + x x + 5 y A + B = x x + x 4, encuentre B. 9. Si A = x x + 5x ; B = x x y A B + C = x x x, encuentre C. 0. Si P = x ; Q = x ; R = x, determine P (Q + R + ). Soluciones I.. m.. 8m 4. 5x y 5. 7b 6. 7. xyz 8. 9pq 0p 7q 9. 4y 0. 7 7b.. b + 5 6 b. m 4. 0 b 5. 5p + 9 4 q 6. + 4 4 7. 0,7m,05n 8.,8x y 0,6xy 9. 0.089 0. 4. m n 0 mn. 7p 6q. u 7 + 4uv 4. s + t 5.,57,7b 6. 9 + 7. pt p + t 8. x yz x y z 9. 4 b 9 6 b 0. 50 m 8 40 p 8
CAPÍTULO II... b. 4. b 5. b 6. x + y 7. 5m 5n 8. b + c 9. x + y 0. b. 5x + y. 4y z x. 4 + b 4. 0 5. 5 y x 6. + b 7. + b 8. + + 4 b 9. 4 x y 0. x x + 5. Q P = 4x 4x P Q = 4x 4x. M + N = 4 + + M N = 5 +. P + Q R = -x x 5x P (Q R) = 4x 7x + 5x 4. P + Q N = m 4 N P = m 5 m + m 5. A + B + C = + b + b A + B C = b b A (B + C) = b + b 6. P + Q = 7. Q P = 6 + 6 b + c 8. B = x 6x + x 9 9. C = x 4 0. P (Q + R + ) = x + x + x 4 Multiplicción lgebric.4 Multiplicción de potencis. L expresión n se llm potenci de bse y exponente n. Se cumple: n m = n + m ( n ) m = n m 0 = con 0 (b) n = n b n Multiplicción de o más monomios. Multiplicmos los coeficientes numéricos y los fctores literles entre sí (hcemos uso de ls propieddes socitiv y conmuttiv de l multiplicción). Multiplicción de un monomio por un polinomio. Multiplicmos el monomio por cd término del polinomio (hcemos uso de l propiedd distributiv de l multiplicción respecto de l dición). Multiplicción de dos polinomios. Multiplicmos cd término del primer polinomio por cd término del segundo. Siempre que se posible, es necesrio reducir términos semejntes. 9
Ejercicios resueltos. 6 7 = 6 + 7 =. (b) 4 = 4 b 4. x 5 x 9 x 4 = x 5 + 9 + 4 = x 8 4. b = b = 6 b 5. 5x y 4 x 6 y 6 = 5 x x 6 y 4 y 6 = 0x 8 y 0 6. 4 b ( + b b) = 4 b 4 b b 4 b ( b) = 4 4 b 4 b + 4 b 7. (m 5 m 4 mp) m = m 5 ( m) m 4 ( m) mp ( m) = 9m 6 + 6m 5 +m p 8. (x + y) (x + y) = x (x + y) + y (x + y) = x x + x y + y x + y y = 6x + 4xy + yx + y = 6x + 7xy + y (los términos 4xy y yx son semejntes, por lo tnto deben reducirse). Ejercicios I. Efectúe ls siguientes operciones:. 5. bc bc. m m 4 m 5. x x x 4. b 5. xy x y 6. b b 7. b 6 8. xy 5x y 9. m 5n 0. x xy. x xy x. b 5bc c 4. 7bc bc 8 6. x y x y 6 y 7. 4bc b b 5 c 7 8. pr pr 5 pr 7p r 4 9. 6x 6x 0. x 4 x 5 x 4. n n +. m n. x p + x p 4. p x p x p x + 9 5. 9 6. n n n 7. x 5 b x + x + b x 4. m p m 0
CAPÍTULO 8. p p + q q 5 9. x 4 b x + 4 c x x b x c x + 0. (b) 5 4 b. (mp) (mp) mp. (x) x + (x) x + (x) x. (m n) 5 m 5 n 6 4. ( ) ( ) 4 6 5. x (x) 6 (x) + 4 6. 5 6 7. b4 8 b7 4 b4 8. 6 5 x y 5 4 x6 y 5 9. 8 9 6 b 4 5 b c 4 b 5 c 40. 0, 6 b 7 c 4 0,0bc 4 0, b 4. 0,0 5 b 4, 4 b 8,7b 6 4. 0,5xyz 4,x yz,x 6 4.,0 4 b, b 4 44. 0,06m n 6 p 0,6mn 6 p 4 45. 5 6 b 4 b 5 0,5 b 4 II. Monomio por polinomio:. ( b). 5x ( x 5x). 7b ( b) 4. x (x 6 x 4 + x x + ) 5. 6x 5 y (x y 4xy 4 x y ) 6. (4xy 5xy 4 ) 6xy 7. (m mn + n 6 ) m 4 n 8. 5m np 4 (mn 6 p m 4 n 4 p + mnp) 9. 6m (m 5n) m(6m + 4n) 0. p q 4 (pq pq ) + p q (q q 5 + p ). 6 b ( b + b + 4 b 6 ) 7 b (b ). 0 bc( + b c). 5 b 5 ( b + b ) 4. x 6 y 4 (x + xy + y ) 5. b(b + b + 5bc) 6. 7 6 b 8 c 9 (bc 5 b + 4b c bc ) 7. (x 6 y 4xy 9x 0 y ) x 6 y 8. x 4 x y 9. b + 5 b 0. 4 x y 6 5 xy4 + 4xy. p q 4 pq 5 pq + pq. b c 6 bc b c. 5 x6 y z 4 xyz 4 + x4 y z 6 4. 4 m n 4m 6 n mn4 m6 n 5. 5 x y x y xy 6. 6 b 4 c 4 5 b 4 b 4 7. 0,0 6 b ( b 0,0b ) 8. 0,5m 4 n ( 0,5m 6 n mn +,5mn ) 9. 0,07 4 b (00b 4 0b b) 0.,x 6 y (,xy 9,x y +,xy 8 ). 0,5bc ( b c ) + 4,8bc ( b c ).,x 6 y z (,xyz,x y z + xyz ). 4 p qr 5 p qr + 4 pqr6 4. 5 m n 0 p 0m n 5 m6 n + 5. x y 6 4 x6 y 4 x6 y 6. x y 4 x y xy 4 + y 7. 5 4 b c 5 4 bc 0 bc 4b
III. Efectúe ls siguientes operciones:. (x + y) ( x + y ) 8. (p 4) (p + 7). ( + b ) ( b) 9. (x y 4z) (x + y + z). ( x) ( y) 0. (x + y z )(x y 4z) 4. (x 6y) (x xy). ( + ) ( n + n + + n + ) 5. (x + x y) ( xy + 4xy ). ( ) ( n + n + n + ) 6. (4x + y) ( x 5xy). (u v) (u uv + v ) 7. (6 5b) (b + 7) 4. (x + y) (x + xy + y ) 8. ( + b + ) ( b) 5. ( x + y ) (x xy y) 9. ( b + b ) (b b ) 6. (y + x) (x xy + y ) 0. (5x y + xy xy) (x y ) 7. ( x y + z) (x + y z). (m + n mn) (m n) 8. (x y) (x + xy + y ). ( xy xy ) (xy 5xy) 9. (x + y) (x xy + y ). (p q + pq 5pq 4 ) ( pq + p) 0. ( + b) ( 4 b + b b + b 4 ) 4. (x + ) (x ). ( b) ( + b + b + b ) 5. ( + b) ( b). (x + y) (x n + x n + x n ) 6. (x + 4) (x 6). (p q ) (p n p n q n q n ) 7. ( + 5) ( + 7) Soluciones I.. 5. m. x 8 4. b 5. x y 6. 6 b 7. b 6 8. 5x y 5 9. 0 mn 0. x y. x y. 5 b c 5. 4 b c 9 4. m p 5. b c 6. x 5 y 8 7. 44 4 b 8 c 8 8. 4p 6 r 9. 6x 6 0. 8 4 x. n +. 6 m + n. x p 4. p 6x + 7 5. 6. n 7. 4x b x 8. p + q 9. x 4 b x + 4 c x + 0. 9 b 7
CAPÍTULO. m 6 p 6. (x) x. m 5 n 4. 4 5. (x) 9 + 6. 5 6 7. b5 8. xx9 y 7 4 9. 5 9 b c 4 40. 0,000 9 b 9 c 8 4. 0,05 0 b 8 4.,55x 9 y z 5 4.,9 7 b 5 44. 0,06m n p 6 45. 5 b II.. 6b. 0x + 5x + 5x. 4b 7b 4. 9x 8 6x 6 + x 5 6x + 9x 5. 8x 7 y 4 + 4x 6 y 7 + x 7 y 5 6. 4x y + 0x y 5 7. 9m 6 n 6m 5 n + m 4 n 8 8. 5m n 7 p 6 + 5m 6 n 5 p 6 5m n p 5 9. 6m 0m n mn 0. 5p q 5 4p q 7 p q 4 + p 5 q. 0 b 8. 0 bc + 0b c 0bc. 7 + 6 b 4. x 8 y 4 + x 7 y 5 + x 6 y 6 5. 6b b 5b c 6. 4 7 b 9 c 0 5 8 b 9 c 9 + 8 7 b 0 c 7 7 b 9 c 7. x y + x 7 y + 7x 6 y 4 8. 0. 0 x y 0 + x y 4 x y 6. 6. x4 y + x y x y 5 7. 6 b c 8 + 4 5 b c 8 + 4 5 5 b 4 c 7 III.. x + xy + x y + y. 6 b b. x y + xy 4. x 0x y + xy 5. x y 5x y + x y 4 6. 8x 0x y xy 5xy 7. 4 b 0b 8. b + b 9. b 5b + b + b b 4 0. 5x y 5x y + x y xy 4 x y + xy. m 5m n + 5mn n. 7x y + 5x y x y 4. 6p q + 4p q 9p q + 6p q + 5p q 5 0p q 4 4. x 4 5. b 6.x x 4 7. 4 + + 5 8. 4p + 6p 8 9. x xy y xz 7yz 4z 0. x x y 4x z + xy y 4y z xz + yz + 4z. n + n+ + n+ + n+. n+ n. u 4u v + 4uv v 4. x + x y + xy + y 5. x + x y + xy + x y xy y 6. x x y + 4xy + 4y 7. x 5xy + 0xz y + 7yz z 8. x y 9. x + y 0. 5 + b 5. 4 b 4. x n + x n + x n + yx n + yx n- + yx n. p n+ p n+ q n p q n q p n + q n+ p n + q n+ 8 x xy 9. 6 b 5 b p q 5 p q 4 + 6 p q. b 4 c + 4 b 5 c. 5 x6 y z 4 5 x y z + 5 x0 y 4 z 0 4. m n + m8 n 6 + 6 m n 4 5. 5 x4 y 5 x y 6. 5 b 6 c + b 6 c + b 4 c 7. 0,0 6 b 0,0 8 b 4 0,0009 7 b 5 8. 4 m0 n + m 5 n 5 4 m n 9. 7 5 b 6 0,7 5 b 5 0,4 5 b 0.,5x 7 y 0,x 8 y +,5x 7 y 9. 5, bc 5,b c 5,bc.,4x 7 y 4 z +,64x 8 y 5 z 6,6x 7 y 4 z 4. 0 p4 q r 5 + 6 p q r 4. 4m n p + 4 m n p 4 5 m n 0 p 5. x y 6 + x4 y + x4 y 4
.5 Productos notbles Dentro de l multiplicción lgebric existen lgunos productos que pueden ser desrrolldos en form direct, es decir, sin multiplicr término término primero, y luego reducir. Éstos son: Cudrdo de un binomio. El desrrollo de este producto corresponde l cudrdo del primer término, más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo y más el cudrdo del segundo, es decir: ( ± b) = ± b + b Sum por diferenci. Es igul l diferenci de los cudrdos de los términos, es decir: ( + b) ( b) = b Producto de binomios con un término común. Es el cudrdo del término común más el producto del término común por l sum de los términos no comunes y más el producto de los términos no comunes, o se: (x + ) (x + b) = x + x ( + b) + b Cubo de un binomio. Corresponde l cubo del primer término, más (o menos) el triple del cudrdo del primer término multiplicdo por el segundo, más el triple del primer término multiplicdo por el cudrdo del segundo y más (o menos) el cubo del segundo. Así: ( ± b) = ± b + b ± b Pr obtener otrs potencis de un binomio podemos determinr los coeficientes medinte el triángulo de Pscl, que se obtiene de l siguiente mner: Comienz y termin con. Cd coeficiente se obtiene sumndo los dos correspondientes según el orden en l fil nterior. L primer fil corresponde los coeficientes de ( + b) 0 L segund fil corresponde los coeficientes de ( + b) L tercer fil corresponde los coeficientes de ( + b) Así, l fil n-ésim nos entreg los coeficientes de ( + b)n. Los fctores literles se obtienen de l siguiente mner: En ( + b)n debe hber (n + ) términos. El primer fctor literl es n ; el segundo es n b ; el tercero es n b y sí sucesivmente. El grdo del término decrece medid que el grdo de b ument hst terminr en bn. (Cd término se form con el coeficiente numérico obtenido del triángulo de Pscl y el fctor literl señldo más rrib). 4
CAPÍTULO Representción geométric de expresiones lgebrics. ) L expresión b represent el áre del rectángulo de ldos y b. D C A D b b) Observemos el cudrdo del binomio (+b) = + b + b b K b C B c) Observemos el producto de un sum por su diferenci: D I b C b A b G b H B b b E F J A (ABCD) = (+b) ( b) H b b b A J b Ejercicios resueltos I B Tenemos A (EFGA) = A (HBCI) \ A (ABCD) = A (EFGHIDA) que es b. ( + x) = + x + x = 4 + 4x + x. ( 5b) = () 5b + (5b) = 9 0b + 5b. (x y) (x + y) = (x) y = 4x y 4. + 5y 5y = 5y = 4 5y 5. (x + 8) (x + 5) = x + (5 + 8)x + 5 8 = x + x + 40 6. ( + ) ( 7) = () + ( 7) + 7 = 4 4 = 4 8 7. (p + ) = p + p + p + = p + 6p + p 4 + 8 = p + 6p + p + 8 8. (t r) = (t) (t) r + (t) r r = 8t 4t r + 6t r r = 8t t r + 6tr r 9. ( + b) 4 = 4 + 4 b + 6 b + 4b + b 4 = 4 + 4 b + 6 b + 4b + b 4 0. ( + y) 5 = () 5 + 5() 4 y + 0 () y + 0() y + 5()y 4 + y 5 = () 5 + 5 6 4 y + 0 8 y + 0 4 y + 0y 4 + y 5 = 5 + 80 4 y + 80 y + 40 y + 0y 4 + y 5 5
Ejercicios I. Cudrdo de binomio.. (x + y). (p q). (p + q) 4. ( + b) 5. ( b) 6. (x + ) 7. ( 6) 8. (x + 9) 9. (p ) 0. (x + 5). (6x 5y). (m ). (6x y + x) 4. (4pq q) 5. (9x 7y ) 6. (8 b + 7b 6 ) 7. (5x y xy z 6 ) 8. ( b) + ( 5b) 9. (x 5y) (x + y) + (x y) 0.. + b + b b 5. x 5 yz. (0, 0,bc) 4. (,5xy +,5x y) 5. 4 b 5 b6 II. Sum por diferenci.. (u v) (u + v). (x + y) (x y). ( b) ( + b) 4. (5x y) (5x + y) 5. (x xy) (x + xy) 6. (6 + ) (6 ) 7. (9m n) (9m + n) 8. ( 4 b + 5b) (4 b + 5b) 9. ( 6m n 7m) ( 6m n + 7m) 0. (0 ) (0 + ). b b +. 5b + 5b. ( + b) ( b) ( + b) 4. ( + 5x) ( 5x) 5. ( 9x + 5xy) ( 9x 5xy) 6. ( n 5 p + ) (n 5 p + ) 7. ( ) ( + ) ( ) ( + ) 8. (x xy) (x + xy) + (x + xy) 9. ( w 5 ) ( + w 5 ) 0. 4 p 5 q4 4 p + 5 q4. bc x + 4x bc x 4x. (0,05x ) (0,05x + ). (6x 5 y z ) (6x 5 y z + ) 4. p + q 4 p q 4 5. (0,x y z) (0,x y + z) 6
CAPÍTULO III. Producto de binomios con término común.. ( + ) ( + ). (x + 5) (x + 4). (t + ) (t ) 4. ( + 5 ) ( 9) 5. (x 8) (x ) 6. ( 7) ( 9) 7. (x + ) (x ) 8. (x + ) (x + 8) 9. (x 4) (x 6) 0. (x + 6) (x ). (x ) (x 8). (x ) (x + ). ( 7) ( + ) 4. (x + 5) (x + ) 5. ( ) ( + 4) 6. (b + 5) (b + 9) 7. (6x ) (6x + 5) 8. ( + b) ( + 5b) 9. ( b) ( 5b) 0. (9 4) (9 + ). (6x y) (6x 7y). (4 b ) (4 b + 9). 4. 5 5. 4 b 4 6b 5b 5 + b p 4 + q p 4 + q IV. Cubo de un binomio.. ( + b) 0. ( y). (p q). ( + t). (x + ). ( x) 4. ( ). (5 ) 5. (t + 4) 4. ( ) 6. ( ) 5. (t + t ) 7. ( b) 6. ( + x 4 ) 8. ( 5b) 7. (t ) 9. (x + y) 8. (u + 5v) V.. ( + b) 4. (x y) 5. ( + b) 6 4. ( ) 7 Otrs potencis de binomios. 5. ( + ) 6 6. x + y 4 7. ( + 4) 4 9. 0.... 8. 9. x + y b 5 p + q 0 m 5 n 4. 5. t + t + 5 4 0. (x + ) 5 VI. Representción geométric de expresiones lgebrics. Investigr de qué mner se pueden representr como sum o rest de áres los siguientes productos.. ( b) = b + b. (x+) (x+b) = x + (+b)x + b. (x ) (x+b) = x + (b )x b 4. (x ) (x b) = x (+b)x + b 5. (+b+c) = + b + c + b + bc + c 7
Soluciones I.. x + xy + y. p pq + q. 4p + 4pq + q 4. 9 + 6b + b 5. 4 b + 9b 6. x + x + 7. + 6 8. x + 8x + 8 9. 9p 6p + 0. x + 0x + 5. 6x 60xy + 5y. 4m 4m +. 6x 4 y + 4x y + 4x 4. 6p q 4pq + 9q 5. 8x 4 6x y + 49y 4 6. 64 4 b + b 7 + 49 b 7. 5x 4 y 90x y z 6 + 9x y 4 z 8. 4b + 4b 9. 47x 9xy + 0y 0. 4 + b 4.. 6 5 b + b 5 4 x 4 4 5 x yz + 5 y z. 0,0 4 0,04 bc + 0,04 b c 4.,5x y 4 + 7,5x y + 6,5x 4 y 5. 6 4 b 6 0 b + 5 b II.. u v. x 4y. 9 b 4. 5x 4 9y 5. 4x 9x y 6. 6 7. 8m 4 9n 8. 5b 6 4 b 9. 6m 4 n 6 49m 0. 00 4. b 4. 4 4 5b. 4b b 4. 5x 5. 8x 4 5x y 6. 69n 0 p 4 7. 8. x 4 + 4x y 9. w 0 0. 6 p4 4 5 q. b c 6x. 0,005 x 4 4. 6x 0 y 4 z 6 4x 4. 4p q 5. 0,09 x 4 y 4z 6 III.. + 5 + 6. x + 9x + 0. t t 6 4. 4 45 5. x 9x + 8 6. 6 + 6 7. x 0x 4 8. x + x + 4 9. x 0x + 4 0. x + 4x. x x + 4. x x 6. + 5 84 4. x 4 + 8x + 5 5. 4 + 6. 4b + 8b + 45 7. 6x + x 5 8. 4 + 6b + 5b 9. 9 4 b + 0b 0. 8 + 6 44. 6x 4 54x y + 4y. 6 4 b + 4 b 7. 6 b + b 4. 5 + b 5 40b 5. p 6 + pq + q IV.. + b + b + b. p p q + pq q. x + 6x + x + 8 4. 9 + 7 7 5. t + t + 48t + 64 6. 8 + 6 7. 8 b + 6b b 8. 7 5 b + 5b 5b 9. 8x + 6x y + 54xy + 7y 0. 9y + 7y 7y. 8 + 6t + 54t + 7t. 7 54 x + 6x 8x 8
CAPÍTULO. 5 75 + 5 4. 7 6 54 5 + 6 4 8 5. t 6 + t 7 + t 8 + t 9 6. + x 4 + x 8 + x 7. 8t 6t + 54t 4 7 6 8. u 6 + 5u 4 v + 75u v + 5v 9. 0. x + x y + 6xy + 8y.. 5 p + 5 p q + 5 4. 5. pq + q. t + t4 + 6 t 5 + 8 t 6 V.. 6 4 + b + 4 b + 8b + b 4. x 5 0x 4 y + 40x y 80x y + 80xy 4 y 5. 6 + 6 5 b + 5 4 b + 0 b + 5 b 4 + 6b 5 + b 6 4 + 4 b + b b 4. 8 7 448 6 + 67 5 560 4 + 80 84 + 4.000 m 500 m n + 50 mn 5 n 5. 79 6 +.96 5 + 4.860 4 + 4.0 +.60 + 576 + 64 6. x 4 6 + x y 4 + x y + xy 4 + y 4 6 7. 8 4 + 4 + 864 + 768 + 56 8. 9. + 5 6 + 5 4 + 5 + 5 4 + 5.40 4 0. x 5 + 5x 4 + 0x + 0x + 5x + Fctorizción.6 Fctorizr un expresión lgebric (o sum de términos lgebricos) consiste en escribirl en form de multiplicción. Veremos los siguientes csos:.6. Fctor común (monomio y polinomio) Aquí, todos los términos de l expresión presentn un fctor común, que puede ser un monomio o un polinomio, por el cul se fctoriz, es decir, el término común es uno de los fctores de l multiplicción. El otro se determin plicndo l multiplicción lgebric. 9
Ejercicios resueltos. Fctoricemos l expresión + 6 Vemos que el término está contenido en mbos términos del binomio que queremos fctorizr; por lo tnto, es el fctor común y escribimos + 6 = ( + ). El segundo fctor se obtiene buscndo los términos por los cules hy que multiplicr el fctor común () pr obtener los términos de l expresión originl.. Fctoricemos l expresión 6xy 5x y + x y El coeficiente numérico contenido en los tres términos de l expresión es el tres y el fctor literl es xy; por lo tnto, el fctor común es xy. Y escribimos: 6xy 5x y + x y = xy (y 5x + 7xy).. Fctoricemos l expresión 56 0 0 b b b 4 El término o fctor común de los numerdores es 5 y el de los denomindores es b; por lo tnto, el fctor común de l expresión es: 5 b y escribimos: 5 6 0 0 b b b 4 = 5 b 4 b 4 b 4. Fctoricemos l expresión m ( + b) n ( + b). Aquí podemos considerr el préntesis ( + b) como un solo término y podemos fctorizr por él. Entonces nos qued: m ( + b) n ( + b) = ( + b) (m n) 5. Fctoricemos l expresión (p q) p + q Aquí no encontrmos un término común en form inmedit, pero podemos hcer un socición decud y nos qued: (p q) p + q = (p q) (p q) = (p q) ( ) Observción : El proceso está completo si no es posible seguir fctorizndo dentro de los préntesis (o fctores) obtenidos. Observción : Por l propiedd conmuttiv de l multiplicción no import el orden en que se entregue el resultdo. 0
CAPÍTULO Ejercicios Fctorice ls siguientes expresiones:. m + m. + b. b 4. b + b b 5. pq p q 6. 6x y 5 x y 6 8x y 4 7. b + c + d 8. 6x y 6 x 6 y 9. x y xy 0. 6 4 5 + 56 7. + + + 4. b 6 b b. 5mn 0m 4. q + q + q 6 5. 0q 5 0pq 5 5pq 6 6. 8gh 5 4g h 8g h 7. 7y 6 x 5yx 4 8y 4 8. x 9. + 0. 6 7 5 5 4. 4m 5 r 6 6m 4 r 5 6m 5 r. b c 6 b 5 c + 7 b c. x x y x y + x y 4 4. xyz xy 5. 6 + 6 6 6. t 9 + t 8 + t 5 7. b 6 b 5 8. x 6 y 9 z + x 6 y 8 z 6 + x 5 y 8 z 0 9. 4 0. b + b b. p q b + pq c + p q bc. c 5 5 c4 0 c 5. b + b x x b x 4. m 0 0 + m0 0 m5 5 5. p q + pq 6. ( ) ( ) 7. (x + 4) + b (x + 4) + c (x + 4) 8. x (z + ) + (z + ) 9. m ( c) + c 40. m ( c) + c 4. (x + y + z ) x y z 4. b + ( b) 4. + x + x 44. c ( 5c) d ( 5c) 45. + c b + c q 46. x (x y) x + y c 47. ( + b) ( + c) ( + b ) ( + d) 48. ( + ) (x y) (x y) 49. ( + 6) ( + b) + ( + b) 50. ( + + c) ( c) + ( + + c) (b d) 5. x + y + z + (x + y + z ) 5. (b + x) + b (b + x) + c (b + x) 5. 5 4 6 b 5 5 bc 54. m (x + y z) n (x + y z) p (x + y z) 55. 4 b b b 56. x + y x y
Soluciones. m (m + ). ( + b). ( 4b) 4. b (b + b ) 5. pq (q p) 6. 6x y 4 (y y x) 7. (b + c + d) 8. x y (y 4 x 4 ) 9. xy (xy ) 0. 7 5 ( + 8 ). ( + + + ). b ( 4b ). 5m (n ) 4. q ( + q + q 5 ) 5. 5q 5 ( 6p pq) 6. gh (9h g 4g h) 7. 7y (y 5 x 5x 4 4y ) 8. ( x) 9. ( + ) 0. 4 ( 7 5). m 4 r (mr r 8m). b c (c 4 b + 5 b). x ( y y + y 4 ) 4. xy (z ) 5. 6 ( + 6 5 ) 6. t 5 (t 4 + t + ) 7. b 5 (b ) 8. x 5 y 8 z 6 (xyz 6 + x + z 4 ) 9. 0. b + 4 b. pq. pq. b x 4. m5 5 b pq b + c + p q bc pq b + c + p q bc + b x x m 5 5. pq ( p + q) 6. ( ) ( ) 4 + m5 7. (x + 4) ( + b + c) 8. (x + ) (z + ) 9. ( c) (m + ) 40. ( c) (m ) 4. (x + y + z ) ( ) 4. ( + ) ( b) 4. ( + x + x ) 44. ( 5c) (c d) 45. + c b q 46. (x y) (x ) 47. ( + b) (c d) 48. (x y) ( + x + y) 49. ( + b) ( + 6 + ) 50. ( + + c) ( c + b d) 5. (x + y + z ) ( + ) 5. (b + x) ( + b + c) 5. 5 bc b 5 54. (x + y z) (m n p) 55. b b 4 b 56. x + y.6. Fctor común compuesto Muchs veces, no todos los términos de un expresión lgebric contienen un fctor común, pero hciendo un decud grupción de ellos podemos encontrr fctores comunes de cd grupo. Veremos, con ejemplos, cómo procederemos en estos csos. Ejercicios resueltos. Fctoricemos: c + d + bc + bd Si observmos, vemos que el primer y el segundo término tienen el fctor común y el tercer y el curto término tienen b como fctor común. Asocimos y fctorizmos por prte: c + d + bc + bd = (c + d) + (bc + bd) = (c + d) + b(c + d)
CAPÍTULO Ahor nos qued (c + d) como fctor común, por lo tnto, l expresión originl qued fctorizd como sigue: c + d + bc + bd = (c + d) ( + b). Fctoricemos: x + bx + cx y by cy Aquí podemos socir el primer y el curto término, el segundo y el quinto, el tercero y el sexto y nos qued: x + bx + cx y by cy = (x y) + (bx by) + (cx cy) = (x y) + b(x y) + c(x y) = ( + b + c) (x y). Fctoricemos: x + bx + cx + y + by + cy z bz cz Asociemos en el orden nturl los tres primeros, los tres siguientes y los tres últimos: x + bx + cx + y + by + cy z bz cz = (x + bx + cx) + (y + by + cy) (z + bz + cz) = x( + b + c) + y ( + b + c) z( + b + c) = ( + b + c) (x + y z) Observción: L form de socir no es únic, pero l fctorizción sí lo es. En el primer ejemplo podrímos hber socido el primer y el tercer término y el segundo con el curto y el resultdo hbrí sido el mismo. Ejercicios Fctorice ls siguientes expresiones:. c + d + bc + bd. x y + bx by + cx cy. pc + qc + pd + qd 4. rt + rv st sv 5. c d + bc bd 6. xu xv yu + yv 7. u + v bu bv 8. x + y + b x + b y 9. c d + bc bd 0. x + y + x + y. b + x bx. + 5z + 4y + 0yz. c + d + b c + b d 4. x bx y + by 5. + b + + b 6. x y + b x y b 7. bc bcz xy + xyz 8. bd bf + cd 6cf 9. xp + xq yp 4yq + 4zp + 8zq 0. 4 + c + d + + c + d + b + bc + bd. x + x y x b + y + y 4 y b y + b
. x + b x + c x + y + b y + c y. c 6d bc + bd 4. q r + bq br 5. u + u v v w w 6. x y bx + by 7. m t 5b m + 5b t 8. x y + x y + bx by 9. p 4 + p q + p r + p q + q + qr + p r + q r + r 0. x bx cx + y by cy z + bz + cz. u v + b u b v + u v. 4 b + x x bx + y y by. x y w x y z xyw + xyz 4. x + bx + cx y by cy 5. x + bx y by z bz Soluciones. ( + b) (c + d). ( + b + c) (x y). (p + q) (c + d) 4. (r s) (t + v) 5. ( + b) (c d) 6. (x y) (u v) 7. ( b) (u + v) 8. ( + b ) (x + y) 9. ( + b) (c d) 0. ( + ) (x + y). ( + x) ( b). ( + 4y) ( + 5z). ( + b ) (c + d ) * 4. (x y ) ( b) 5. ( + ) ( + b) 6. (x y ) ( + b ) 7. (bc xy) ( z) 8. (b + c) (d f) 9. (x y + 4z) (p + q) 0. ( + + b) ( + c + d). (x + y ) ( + y b). (x + y ) ( + b + c ). (6 b) (c d) 4. ( + b) (q r) 5. (u v w) ( + ) 6. ( b) (x y) * 7. ( 5b ) (m t ) 8. ( + + b) (x y) 9. (p + q + r) (p + q + r ) 0. (x + y z) ( b c). ( + b + ) (u v). ( + x + y) ( b) *. xy (xy ) (w z ) 4. ( + b + c) (x y) 5. (x y z) ( + b) NOTA: Los ejercicios señldos con * son posibles de fctorizr ún más con los métodos que veremos continución..6. Diferenci de cudrdos Recordemos que el producto de un sum de dos términos por su diferenci es igul l diferenci de los cudrdos de mbos términos. Aplicmos este resultdo en ls fctorizciones de l págin siguiente: 4
CAPÍTULO Ejercicios resueltos. Fctoricemos b Observmos que y b son los cudrdos de y b, respectivmente. Así: b = ( + b) ( b). Fctoricemos 9m 6p 9m es el cudrdo de m y 6p es el cudrdo de 4p. Entonces : 9m 6p = (m + 4p) (m 4p). Fctoricemos 5 4b Usndo el mismo rzonmiento nterior vemos que l expresión se fctoriz: 5 4b = + 5 b 4. Fctoricemos 6 4m 4 5 b En este ejemplo podemos fctorizr primero por 6 (fctor común monomio). 6 4m 4 = 6 ( 4m 4 ) y hor, el término ( 4m 4 ) es exctmente un diferenci de cudrdos y por lo tnto l fctorizción correspondiente es: 6 4m 4 = 6 ( 4m 4 ) = 6 ( m ) ( + m ) Observción: No es importnte el orden en que uno presente los fctores, puesto que l multiplicción es conmuttiv, es decir: ( + b) ( b) = ( b) ( + b) Ejercicios Fctorice ls siguientes expresiones:. x y. 4b. 9m 6n 4. 9 5p 5. x 0,0y 6. 00 64b 6 7. m n p 8. m 4 n 6 z 9. b c d 0. x 0. b 6 + 4. +. 5 4. 8 4 b 5. p q q 6. 49 b 4 c 6 m 6 n 0 7. 6 75b 8 8. 45m 6 80p 8 9. 7x 4 48y 0. x y b. m n b. 5n 6 6m 4. 40 90 4 4. 4m + 54n 5. m 6 n 4 p b c 6. x 8y z 6 7. 0 00b 0 8. 44b 0 c 6 9. 8c 4 9d 4 0. 5 5
. + y. 64 b 4 c 6 + x 8 y. 6x 4 4y 6 4. 5 4 b x y 5. 4x 8 6 6. 5m6 n 4 5 7. b 8. 4 45b 5 9. m 0 8p 4 q 6 40. b b 4. x y x + y 4. 5x 4 5 4. m c n 0 d 4 44. 9b 6 4 45. 5 x 6 y 6 46. b b 47. p q rp + rq 48. + c b bc 49. m n pm pn 50. qr q s Soluciones. (x + y) (x y). ( + b) ( b). (m + 4n) (m 4n) 4. ( 5p) ( + 5p) 5. (x 0,y) (x + 0,y) 6. (0 8b ) (0 + 8b ) 7. (mn + p) (mn p) 8. (m n z) (m n + z) 9. (b cd) (b + cd) 0. ( x 5 ) ( + x 5 ). ( b ) ( + b ). ( ) ( + ). ( ) ( + ) 4. ( b) ( + b) 5. q (pq ) (pq + ) 6. (7b c m n 5 ) (7b c + m n 5 ) 7. ( 5b 4 ) ( + 5b 4 ) 8. 5 (m 4p 4 ) (m + 4p 4 ) 9. (x 4y) (x + 4y) 0. (x y b ) (x + y b ). (m n b ) (m n b + ). (5n 8 4m ) (5n 8 + 4m ). 0 ( ) ( + ) 4. 6 (n 6 m) (n 6 + m) 5. (m n p 6 bc) (m n p 6 + bc) 6. (x yz ) (x + yz ) 7. ( 5 0b 5 ) ( 5 + 0b 5 ) 8. (b 5 c ) (b 5 + c ) 9. 9 (c d ) (c + d ) 0. (5 ) (5 + ). y + y. (x4 y 8b c ) (x 4 y + 8b c ). 4 (x y 8 ) (x + y 8 ) 4. b 5 xy b + 5 xy 5. 6 (x 4 ) (x 4 + ) 6. 5m n 5 5m + n 5 9. (4m 5 p q ) (4m 5 + p q ) 40. 4. 5x 5 45. 5x + 5 7. b 4. + b b b b + b m 6 c n5 m 6 d c 8. 5 b b + 4. (x y) (x + y ) + n5 d 44. 6 + b 6 b x 5 y x + 5 46. ( + b) ( b ) 47. (p q) (p + q r) y 48. ( b) (+ b + c) 49. (m + n) (m n p) 50. q (r qs) (r + qs) 6
CAPÍTULO.6.4 Trinomios ordendos Definición: Llmmos trinomio ordendo (según el grdo) un expresión de l form x + bx + c, donde, b, c, y x representn números reles. En generl, los trinomios pueden proceder: De l multiplicción de un binomio por sí mismo (o un cudrdo de binomio); por ejemplo: ( + 7) = + 4 + 49 De l multiplicción de dos binomios con un término común; por ejemplo: ( + ) ( + 6) = + 8 + O de l multiplicción de dos binomios de términos semejntes: (x + ) (x + ) = x + 5x + Con ests considerciones, resolvmos los ejercicios presentdos continución: Ejercicios resueltos. Fctoricemos x + 0x + 5 Observmos que el primer término (x ) y el último (5) son los cudrdos de x y 5, respectivmente, y demás el término centrl (0x) corresponde l doble del producto de x y 5; entonces l expresión es un cudrdo de binomio y sí: x + 0x + 5 = (x + 5). Fctoricemos 8 + 6 Usndo el mismo rzonmiento nterior, observmos que el trinomio corresponde l cudrdo del binomio ( 4) y escribimos: 8 + 6 = ( 4) El signo del término centrl del trinomio indic el signo que corresponde l segundo término del binomio.. Fctoricemos y + y + 6 Aquí vemos que tnto el primer término como el tercero corresponden cudrdos exctos (de y y de 6, respectivmente), pero el término centrl (y) no corresponde l doble del producto entre y y 6 (es decir, y); en este cso, el trinomio puede corresponder l producto de dos binomios con un término común, que serí y. 7
Buscmos entonces dos números cuyo producto se igul 6 (el último término del binomio) y el producto del término común (y) por l sum de estos números se igul l término centrl (y). Los números son + 9 y + 4. En efecto: + 9 + 4 = 6 y 9 + 4 = Entonces: y + y + 6 = (y + 9) (y + 4). 4. Fctoricemos 48 Descrtmos l posibilidd de cudrdo de binomio pues el último término ( 48) no es cudrdo de ningún número. Buscmos dos números cuyo producto se 48, y cuy sum se, l que l multiplicrl por el término común nos d el término centrl. Los números son 8 y + 6 y l fctorizción correspondiente es: 48 = ( 8) ( + 6). 5. Fctoricemos x 5x + 6 No es cudrdo de binomio por l mism rzón nterior (el + 6 no es cudrdo de un número entero). Corresponde entonces l producto de dos binomios con un término común, que en este cso es x. Buscmos dos números cuyo producto se + 6 y cuy sum se 5. Los números son y. Por lo tnto, l fctorizción correspondiente es: x 5x + 6 = (x ) (x ). 6. Fctoricemos l expresión x x En este ejemplo, ni siquier el primer término es cudrdo excto de un término entero. Amplifiquemos por el coeficiente de x (en este cso, por ) pr obtener un primer término como en los ejemplos nteriores, es decir, un cudrdo excto. x x 4x 6x 4 / Podemos plicr l numerdor el rzonmiento de los ejemplos nteriores (porque el primer término y es un cudrdo excto) y entonces trtremos de fctorizr como producto de dos binomios con un término común que en este cso es x. Buscmos dos números que multiplicdos sen igul 4 y cuy sum se igul (pues l multiplicr l sum por el término común x se debe obtener 6x). Los números son 4 y y sí, l fctorizción de l expre- sión mplificd es: 4x 6x 4 = x 4 x + 8
CAPÍTULO Podemos fctorizr el primer término por dos y luego simplificrlo por el denomindor, obteniendo: x x = x x = (x 4) (x + ) (x ) (x + ) x x = (x ) (x + ) 7. Fctoricemos x 5x + Siguiendo los psos nteriores, obtenemos: x 5x + x 5x + 6 (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) / Ejercicios Fctorice ls siguientes expresiones:. x + 4x + 49. x + 8x + 6. + 8 + 8 4. 6 + 9 5. y 4y + 44 6. x + 0x + 5 7. t t + 8. z + 6z + 64 9. x x + 0. + 6. + 6 + 9. 4x + 0x + 5. 9x 6x + 4. 4b + 4b 5. y + 6xy + 9x 6. 4t + t + 9 7. 4x + xy + 9y 8. 9x 0xy + 5y 9. x + 4xy + 49y 0. x 4 + x +. x + 5x + 6. x + x 6. x x 6 4. x 5x + 6 5. 5 6 6. + 0 7. + 8 + 7 8. y + y 56 9. x 4 6x + 9 0. 4 + 0y + 5y 4. x 4 + x y + y 4. x 6 + x +. 4 4 b + 4b 4 9
4. 9m 4 0m p + 5p 4 5. 9m 0mp + 5p 4 6. x 4 x + 7. + + 4 8. + b + b 4 9. + 40. 40 4. 4 + 5 + 6 4. 4x x + 0 4. 9x 9x 8 44. 5x 5x + 45. x + 5x + 46. x + 5x 47. x + 4x + 8 48. x + x 4 49. 6x x + 5 50. x +5x + 8 5. 7x 8x + 5. 6x + 5x 4 5. 8x x 54. 5x 8x + 9 55. x + x 4 56. 7 + 57. 5 + 58. 6 + + 6 59. + 5 60. 8 5 6. 5x 6x + 5 6. 8 8 + 4 6. 4 + 5 + 6 64. x x 40x 65. x 4 x + 66. + 6 + 4 67. m m 0m 68. n 4 + n 69. p 4 + p + 70. p p p + Soluciones. (x + 7). (x + 4). ( + 9) 4. ( ) 5. (y ) 6. (x + 5) 7. (t ) 8. (z + 8) 9. (x ) 0. ( 6). ( + ). (x + 5). (x ) 4. ( b) 5. (y + x) 6. (t + ) 7. (x + y) 8. (x 5y) 9. (x + 7y) 0. (x + ). (x + ) (x + ). (x + ) (x ). (x ) (x + ) 4. (x ) (x ) 5. ( 9) ( + 4) 6. ( + 6) ( 5) 7. ( + 7) ( + ) 8. (y 7) (y + 8) 9. (x ) 0. ( + 5y ). (x + y ). (x + ). ( b ) 4. (m 5p ) 5. (m 5p ) x 6. 7. + 8. + b 9. ( ) ( ) 40. ( + 5) ( 8) 4. ( + ) ( + ) 4. (x 5) (x ) 4. (x + 4) (x 7) 44. (5x ) (5x ) 45. (x + ) (x + ) 46. (x ) (x + ) 47. (x + ) (x + 4) 48. (x ) (x + 4) 49. (x 5) (x ) 50. (x + 7) (x + 4) 5. (7x ) (x ) 5. (x + 4) (x ) 5. (4x + ) (x ) 54. (5x ) (x ) 55. (x + 7) (x ) 56. ( ) ( ) 57. (5 ) ( + ) 58. ( + ) ( + ) 59. ( 5) (4 ) 60. ( ) (4 + 5) 6. (x 5) ( 5x ) 6. ( ) ( ) 6. ( + ) ( + ) 64. x(x + 5) (x 8) 65. (x ) (x + ) (x ) 66. ( + ) ( + ) 67. m(m 6) (m + 5) 68. (n ) (n + ) (n + ) 69. (p + ) 70. (p ) (p + ) 40
CAPÍTULO.6.5 Sums o diferencis de cubos Los fctores de un diferenci de cubos son: x y = (x y) (x + xy + y ) Los fctores de un sum de cubos son: x + y = (x + y) (x xy + y ) Ejercicios resueltos. Fctoricemos 8 Observmos que es el cubo de y que 8 es el cubo de. Se trt de un diferenci de cubos, por lo tnto: 8 = ( ) ( + + 4). Fctoricemos x + 7 El término x es el cubo de x y 7 es el cubo de. Aquí tenemos un sum de cubos y por lo tnto: x + 7 = (x + ) (x x + 9). Fctoricemos 7 5b El primer término es el cubo de y el segundo término es el cubo de 5b, entonces escribimos: 7 5b = ( 5b) (9 + 5b + 5b ) 4. Fctoricemos 6 b 6 Aquí tenemos primero un diferenci de cudrdos, l cul fctorizmos como un sum por su diferenci. Luego, cd uno de los fctores corresponde un sum o diferenci de cubos. Procedmos por psos: 6 b 6 = ( + b ) ( b ) = ( + b) ( b + b ) ( b) ( + b + b ) y és es l fctorizción requerid. Ejercicios Fctoricemos ls siguientes expresiones:. m 6 n. x + p. 8 b 4. t 64 v 5. 7 x + y 6. m n6 7. 5 8. x + y 9. 6 x 54 y 0. 6 7 b. z y. 5 4
. 8 b 4. b c 6 + d 5. m x + 6. b 6 c 9 + 8 7. x y 8. m 9 9. b 7 0. t. 6 + 8 b. 8 t + 64. 5 t z 4. 6 t y 5. + b 6. + 7. 6 8. b 9. t 6 t 0. p + q 9. m +. 7 + b 7. 9 4. x y 5. 0,00 6 b 6. 6 b 7. 5 + z 8. 64 6 9. m n p 6 8 40. z + y Soluciones. (m n) (m 4 + m n + n ). ( b) ( + b + 4b ) 5. (x + y) (9x xy + y ) 7. ( 5) ( + 5 + 5 ) 9. (x y) (4x + 6xy + 9y ). z y 4 z + 6 yz + y. ( b) ( + b + 9b ) 5. (mx + ) (m x mx + ) 7. (x y) (x + y) (x + y ) (x 4 + x y + y 4 ) (x 4 x y + y 4 ) 9. (b 4 ) ( b 8 + b 4 + 9). 8( + b) (9 b + b ). 5t z 5. + b 5t + 5t z + z 4 b + b 7. ( ) ( + ) ( 4 + + ) 9. 4 t t t + 6 t +. (m 4 + ) (m 8 m 4 + ). ( ) ( + + ) ( + + 6 ) 5. 0, b 0,0 + 0, b + 4 b 7. 5 + z 5 5z + z 9. (mnp ) (m n p 4 + mnp + 4 ). (x + p) (x px + p ) 4. (t 4v) (t + 4tv + 6v ) 6. m n 4m + mn + n4 4 8. x + y x xy + y 0. 7( b) (4 + b + b ). 5 5 + 5 + 4 4. (bc + d) (b c 4 bc d + d ) 6. (b c + ) ( b 4 c 6 b c + 4) 8. (m ) (m + m + ) (m 6 + m + ) 0. (t ) (t + t + ). 8(t + ) (t t + 4) 4. t y 6. ( ) ( + + ) t + ty + 4 y 8. ( + b) ( b + b ) 0. (p + q ) (p pq + q 6 ). ( + b) ( b + b ) ( 6 b + b 6 ) ( 8 9 b 9 + b 8 ) 4. x y 6. 6 + b x y + x y + 6 6 b + b 8. 4 6 6 + + 6 40. z + y 4z 6yz + y 4
CAPÍTULO Frcciones lgebrics.7.7. Simplificción Pr simplificr un frcción es necesrio y suficiente que el numerdor y el denomindor tengn un fctor común. En el cso de monomios, l simplificción se hce en form direct; en cmbio, si el numerdor o el denomindor de l frcción tienen dos o más términos, es necesrio fctorizr primero y luego simplificr. Ejercicios resueltos. Simplifiquemos b Aquí tnto el numerdor ( ) como el denomindor (b) contienen el término como fctor. Simplificmos, pues, por él y obtenemos: b = b. Simplifiquemos 6m p q mp q En este ejemplo, el término mp q está contenido en el numerdor y en el denomindor. Simplificndo, nos qued: 6m p q mp q = m p q. Simplifiquemos + 4 En este cso no es posible hcer un simplificción direct, pues en el numerdor hy un binomio (recordemos que no podemos simplificr términos que se sumn o restn). Debemos entonces fctorizr primero y después simplificr: + 4 = ( + ) 4 = + Y y no es posible seguir reduciendo porque el numerdor no se puede fctorizr más. 4. Simplifiquemos + b + b Usndo el mismo rzonmiento nterior, fctorizmos primero y luego simplificmos: + b ( + b) = + b + b = 5. Simplifiquemos x + 5x + 6 x + x + Fctorizndo y luego simplificndo obtenemos: x + 5x + 6 x + x + (x + ) (x + ) = (x + ) (x + ) = x + x + 4
x 6. Simplifiquemos x + 6x + Procediendo como ntes: x x + 6x + = (x + ) (x ) (x + ) (x + ) = x x + 7. Simplifiquemos x x y x y xy x xy x y xy = x (x y ) x (x y) (x + y) (x + y) = = xy (x y) xy (x y) y Ejercicios Simplifique ls siguientes expresiones:. 5b. p q p q 5. + b 7. b + c + xb + xc b c. 6b 4. 5 c d 5 b c 6. b b b 8. x + x + x + 5x + 6. b b 5. m6 n 5 m 4 n 7. x 5 x + 5 9. x4 y x + y 4. 6m 6pm 6. ( + b) ( + b) 8. + 40. x x + x 4x 5. 5d 0d 7. (p + ) (p + ) 4 9. b c b + c 4. b b 4 b 6 b 6. 5 p q 5 pq 8. + b ( + b ) 4 0. x + 4 x + x + 6 4. x + bx y by x y 7. m np mn p 9. z4 y 6 z y 4. xy x y xy 4. 0x 5xy 4x y 8. 0 6 b 6 b 0. 44. bc 6 bc b c 44. 6 + 6 + 4 9. 5 x6 y 5 z 4 5 x y z. c. 6x xy 4x y 45. x 4 x x + x + x 0. b 6 b 6. m4 n 4 4mn 4. pq p q pq 46. x x + 0 x 5. 4 b 4 4b. b 6 6 b 6 5. 5xy + 0x y 4 47. x xy x 4 y 4. 6 6 4. ( b ) 5 6 b 6. m mn + n m n 48. x y 4 x 4 y 44
CAPÍTULO 49. 5b 5 5b 5. x x + 6 x 55. c d bc + bd c d 58. x x + 5 x 50. x + x x + x 5. b b b + b 56. p x + px p pq + xp xq 59. 4p 4p + 4p 5. x x + x x 54. 6 p q pq p q p q 57. x + 0x x + x 0 60. m m m 6 Soluciones. 5b. b. b 4. p 5. 6. 5p q 7. m n 8. 0 b 9. 5x 5 y 4 z 0.. b 4 5 b 5 4. 6. q 4. d b 5. m n 6. + b 7. p + 8. ( + b ) 9. z y 0. 44. c. m n 4. 6 b 6 4. 5b 4 5. + b 6. b 7. x 5 8. 9. b c 0. x + 4. xy y. b. x x + y 4. p q 5. 5x y 6. m n m + n 7. + x b c 8. x + 4 x + 9. x y 40. x x + 4. 4. + b x + y 4. 5x x + y 44. 6 + 4 45. x x x + 46. x 6 x + 5 47. x x + y 48. x4 + y 49. b 5 b 50. x 5. x + x + 5. x 6 x + 5. b b 54. 55. b c + d 56. px p q 57. x + x + 0 58. x 5 x + 59. p p + 60. m m m.7. Multiplicción y división de frcciones lgebrics Multiplicmos los numerdores y los denomindores entre sí y hcemos tods ls simplificciones posibles. En el cso de los monomios ls simplificciones pueden hcerse ntes o después de multiplicr; en el cso de los polinomios (expresiones con dos términos o más) es conveniente hcer tods ls simplificciones primero (fctorizndo por supuesto) y luego ls multiplicciones. Pr dividir frcciones, multiplicmos l primer por el recíproco de l segund. 45
Ejercicios resueltos. Efectuemos el siguiente producto: b b Multiplicndo en form direct obtenemos: b b b b = = 6 b 6 = b. Efectuemos el producto: xy 6b 5z xz 0b x Multiplicndo en form direct obtenemos: xy 6b 5z 0 x y b z = = y z xz 0b x 60 x z b x b. Efectuemos el producto: + b b + b = x bx b Aquí debemos simplificr ntes de multiplicr (de lo contrrio complicmos mucho el ejercicio). Como sbemos, fctorizmos primero, obteniendo: + b b + b = + b b b = x bx b x b + b b x Un vez hechs ls fctorizciones podemos simplificr un fctor de culquier numerdor con un fctor igul de culquier denomindor. 4. + + 4 + 4 + 4 + 4 Fctoricemos primero: + 4 + + 4 + 4 + 4 = + + + + + + el resultdo es 5. Multipliquemos: 5 + b b b b 5 Aquí no es posible efectur ningun simplificción; por lo tnto, procedemos multiplicr directmente. 5 + b b = 5 + b b = 5 b b b b 5 b 5 5b 0 0b 5b + 5b Reduciendo términos semejntes obtenemos finlmente: 5 b b 0 5 b + 5 b 6. Efectuemos l siguiente división: b : x x y Cmbimos el signo de división (:) por el de multiplicción ( ) e invertimos l segund frcción. Nos qued: 46
CAPÍTULO b : x xy = b xy x Hcemos ls simplificciones decuds y obtenemos: b xy x = by 7. Efectuemos l siguiente división: + b : b b 6 b Procediendo como en el ejemplo nterior: + b : b b 6 b = + b b 6 b b = + b b 6 b + b b = b (Aquí fue necesrio fctorizr el término b ntes de simplificr). Ejercicios I. Simplifique ls siguientes expresiones:. b. x6 y 0 4x 5 y. 6p + q p + q 4. x + 5x 4 x + x + 4. x bx. b 5b. 4. + b + b p q p q 4. 5. x x x 5. x4 x y + y 4 x 4 y 4 6. c + d + bc + bd c d + bc bd 4. b 5. 6m n 5. 6. + b + b x + 5 5x + 5 6. 4 x + x 7. xy x y xy 7. b + 6 b + b 6 b 8. bx + bxy xy y 6bx xy 6. b b 7. + + 8. x 6y x + 4y 9. 4 + + 7. 6m n 5mn 8. p qr 6 pq r 5 8. 0x 5xy 4x y 9. x y xy x xy 9. b + b 0. m n m n 40. 4. t t 4t 6t + 50 y 4y + 44y + 0 9. p6 q 4p 6 q 0. x y x y. 5 + 6 4 4. b y bx + xy b by + bx xy 0. b c bc. b + b. b + b + b 4. 0 + + 6. x y z x y 6 z 0. b b. b + b 4 + b + b 44. 4u v 6u v uv 47
45. p x + px p + px + x 47. b c 4 b c + b c + b c 49. x y x y 46. 0 4 + 0 48. x y x + xy + y 50. m 4p m 4mp + 4p II.. b b b Efectúe ls operciones indicds (multiplicciones):. x + xy + y x + y. + 4 + 4 6 + 6 +. x y x. m n mn 4 4. b b 5. x 0y 5y 6x 6. u v u u v v 7. 0 bc 4b b 5c 8. xy m m 4x y 0m x 9. b b c 4 c 0. x y x x x y.. x x 4. x x m n m + n m n m n 5. + 6. x + 6x y 7. x + 5x + 6 x 4 8. + x x + + xy x + x + x x x 9. b b + b b 0. x 6 x 6 x x 4. x 6x + 5 x + x 4 x. x 6 x x x x x + x x + 4. m mp p 4p m p m 5. 6 5 6 + + 6. 7. x x y y xy x + xy + y + b b b + b b + b b 8. 5b b b + b 5b 9. 4 6 5 + 6 4 + 0. + + + + 0 5 + III. Efectúe ls siguientes operciones (divisiones):. : 5. b b : 6 b 9. 5n p nz : np 4z. 5 bc : 5 b c b bc. : 6. x : x 5 0 0. + : + 4. x x y : x y xy x + y. x y : x y 7. xy : x y. x : x x 5. b b : x x : bx x 4. m x : n x 8. + b b : b. b : + b b b 6. x 6 : x 5x + 6 x y 6xy 48
CAPÍTULO 7. : 4 + 4. x : x : x 8. : : 5. x y : x y 4 :x 9. : 4 0. : + 5 5 + 0. + : + 6 6. 5 + 6 : + + 6. : b b 6. + 7. 8. : + 5 + 6 : x 6x x x + 6 c d bc + bd c : d b + b+ b 9. x + x + 0 : x + x + x x + x + x 4 x 5 0. x x x 4 x + x : x + x Soluciones I.. b. x b. 5 4. 6b 5. m n 6. b 7. m 5n 8. pr q 9. q 0. bc. 9yz. x y. + b 4. 5. 6. 5 7. 8. 5x 9. y 7.. x y 0. x + y. b. + b b + b 4. x x + 40. t+ t 46. + 5 5 II. 8. x 4y 9. b 4. 47. 5 y + y 5. x y x + y 4. x b+ x 0. m n m+ n 6. c + d c d 4. 6 +. 6 4. bc + b+ c 48. x y 49. x + x y + y x + y. + + 7. b b 44. u+ v uv. 5. 4 x 6. x b + b 8. x + y x 45. px p+ x 50. m+ p m p 9. +. b. y. m 4. 5. 6. u 6 7. b 8. 5m 4x 9. 0. x. x + y. +. 6x + x 8. 9. b 5. + 4 + 6. x y 0. x + x + 4. 4. m n 5.. x x + 0 x + +. x x 7. b + b 8. + b 0b 9. 6. 4x 4. 7. mp + p 0. 4 5 + 4 x 49
III.... x 4. m n 5. b 6. 7. y 8. 9. 0 b+ b p 0. +. x b. + b+ b. 5b 4. x y 5. 6 6. 4 x x 7. + 8. 9. + + 0. 6 5. 4 + 4. 6 + +. b 4. x 5. 6. + 7. x 6 x 8. + b c + d 9. x + 4 x 5 0. x.7. Adición y sustrcción de frcciones lgebrics Si ls frcciones tienen el mismo denomindor, entonces summos (o restmos) los numerdores y conservmos el denomindor. Si los denomindores son diferentes, entonces debemos buscr el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos y mplificr cd frcción por el fctor necesrio, de modo que tods queden reducids un denomindor común. El mínimo común múltiplo de expresiones lgebrics es quell que ls contiene, como fctores, tods. Ejercicios resueltos. Encontremos el m.c.m. entre y. Vemos que está contenido (como fctor) en, por lo tnto, el m.c.m. es.. Encontremos el m.c.m. entre, y. Aquí ninguno de los tres términos contiene los otros dos. Buscmos el m.c.m. entre los coeficientes numéricos, en este cso es, y entre los fctores literles, en este cso, como se trt de monomios de l mism bse, es el término que tiene el exponente más lto. Así, el m.c.m. es.. Encontremos el m.c.m. entre x, xy, x. Usndo el rzonmiento nterior, determinmos el m.c.m. entre los coeficientes numéricos, que es el 6, y entre los fctores literles, que es x y. Así, el m.c.m. entre x, xy, x es 6x y. 4. Encontremos el m.c.m. entre b y b. Como sbemos, l fctorizción correspondiente de b es ( b) ( + b); por lo tnto, b está contenido en b y sí el m.c.m. es b. 50
CAPÍTULO 5. Encontremos el m.c.m. entre + y +. Aquí ningún término está contenido en el otro; por lo tnto, el m. c. m. es el producto de los dos, es decir, + 5 + 6. 6. Efectuemos ls operciones indicds. + + + 5 Se trt de un sum con igul denomindor, sí es que summos los numerdores y conservmos el denomindor. + + + 5 = + + + 5 = + 7. Efectuemos ls operciones indicds: 4 x + 5 x 5x Los denomindores son diferentes; por lo tnto, debemos determinr el m.c.m. entre ellos, que será el denomindor común. Este es 0x. Luego mplificmos cd frcción por el término decudo pr obtener el m.c.m. 4 x + 5 x 4 0x + 5 5x = 5x 0x 40x + 5x 6 = 0x = 65x 6 0x 8. Efectuemos ls operciones siguientes: m+ m + 4m m+ + m 4 m Fctoricemos los denomindores pr encontrr el m.c.m. m+ m m+ m+ m m+ + m El m.c.m. es m (m + ) (m - ) Es conveniente mntener el m.c.m. fctorizdo, pues sí fcilit el proceso de mplificción de cd frcción y el de simplificción, si es posible, l finl. m+ m m+ m+ m m+ + m = m m+ m m+ + m m+ m m+ m m + m m m m+ m + 4m m m+ m = m + m = m m+ m Fctorizmos el numerdor y hcemos l simplificción correspondiente: m+ m m m+ m = m m m = m m 4m 5
Ejercicios I..,, 5 Determine el mínimo común múltiplo entre: 6. 6m, m +, 6m +.,,. x, xy 4. x, xy, y 5. m, n 6. m, mn, n 7. x, y, xy 8.,, 9. x yz, xy z 0. xy z, xyz. 4p q, 5pq. 5p 6 q 6, 6p 5 q 5. + b, b 4. + 4, + 5. + 6, 4 7. x +, x, x 8., x +, x + 9., b, + b 0. b, b + b. x +, x + 5x + 6, x +. x, x 4, x 5x + 6. +,, + + 4. +, + 4 + 4, 4 5. x + 9x + 4, x 4, x + 5x 4 6.,, 7. p, p + 5, p 5p 8. x +, 4x + 4, x + x + 9. t 5p, t 5p, 5t 5p 0. x + y, x + xy + y, x y II. Efectúe ls operciones indicds:. 4 + 5. 6 + 5 6 + 6 + 6. 6 + 4. 5 5. + 5 5 x 4 + x 4 + x 4 6. + 5b + b + b 4 + 5b + + b + b 7. x x + 6 + x x + 6 4x 4 x + 6 8. x + 5 x + 5x + x x 4 x 9. 0.. 4 4 + 4 4 4 p q 6p 4q + p p + p + p + + 4 0.. 4. 5. 4b + 4 4b + 6 + 5 0 0 + 4 4b 4b x x + x x + x + x + x + 5x + 6 x + 5x + 6 x + 5x + 6 5x x x + x x + x + 6 x + x + 4x x 6x x + x x + x + x 6x + x 4x + x x 5