Aproimació FFF del Produco Ierior Bruo de España 97-00 uilizado fucioes paraméricas. Fracisco Parra Rodríguez Docor Ecoomía UNED Jefe de Servicio de Esadísicas Ecoómicas y Sociodemográficas del Isiuo Caabro de Esadísicas..- Iroducció La aproimació FFF mulivariada de Galla (98,983) presea dificulades prácicas ya que precisa de ua gra caidad de daos para ser esimada por los méodos covecioales, la reducció de grados de liberad que ocasioa el uilizar secuecias de series de seos y coseos e ua regla de difícil aplicació prácica, puede solvearse paramerizado los águlos que deermia la relació polar e u eje de res dimesioes. Se presea u ejemplo co el Produco Ierior Bruo, el empleo a iempo compleo y el sock de capial eo de la ecoomía española durae el periodo 97-000 que ofrece resulado o muy alejado de la aproimació FFF mulivariada, preseado además la veaja de que puede ser implemeado e u coeo eórico de resriccioes de las variables que deermia la fució de producció..- Paramerizació de curvas Se deomia ecuacioes paramérica a aquellas ecuacioes e que las variables X e Y, cada ua separadamee, esá epresadas e fució de la misma ercera variable,, a la que se deomia variable paramérica, esas ecuacioes se represea e la siguiee forma geeral: X u( ) Y v( ) Ua ecuació paramérica permie represear curvas o superficies e el plao o e el espacio, mediae valores arbirarios (parámeros). E el uso esádar del sisema de coordeadas, ua o dos variables (depediedo de si se uiliza dos o res dimesioes respecivamee) so cosideradas como variables idepediees, mieras que la resae, a la que se deomia variable depediee, oma u valor e fució de los valores que oma las variable(s) idepediee(s). Así por ejemplo la epresió de u puo cualquiera (, y) equivale a la epresió (, f ( )). Esa represeació iee la limiació de requerir que la curva sea ua fució de X e Y, es decir que odos los valores X ega u valor y sólo u valor correspodiee e Y, y o odas las curvas cumple co dicha codició. E ua ecuació paramérica, ao X como Y so cosiderados variables depediees, cuyo resulado surge de ua ercera variable (si represeació
gráfica) coocida como parámero, lo que la represeació de fucioes circulares e dode u valor de X puede dar lugar a dos valores de Y. Por ejemplo, e la ecuacióy X, ua paramerizació edrá la X u( ) forma Y v( ), por lo que ua paramerizació posible sería X Y Ua circuferecia co cero e el orige de coordeadas y radio r verifica X r cos que X + Y r, y ua epresió paramérica sería Y r si La represeació paramérica de ua curva e u espacio -dimesioal cosise por ao e fucioes de ua variable que acúa como variable idepediee o parámero (habiualmee se cosidera que es u úmero real y que los puos del espacio -dimesioal esá represeados e por coordeadas reales), de la forma i fi ( ), fi : [ a, b] R, dode e i represea la i-ésima coordeada del puo geerado al asigar valores del iervalo [a, b] a. Por ejemplo, para represear ua curva e el espacio se usa 3 fucioes X u(), Y v() y Z g(). Es comú que se eija que el iervalo [a, b] sea al que a cada puo a y < b le correspoda u puo disio de la curva; si las coordeadas del puo obeido al hacer a so las mismas del puo correspodiee a b la curva se deomia cerrada. Se dice que u puo de la curva correspodiee a u valor del iervalo es u puo ordiario si las derivadas de las fucioes paraméricas eise e y so coiuas e ese puo y al meos ua es disia de 0. Si u arco de curva esá compueso solamee de puos ordiarios se deomia suave. Es comú resumir las ecuacioes paraméricas de ua curva e ua sola ecuació vecorial r ( ) f ( ) eˆ f ( ) eˆ + f ( ) eˆ +... f ( ) i i i eˆ ê dode i represea al vecor uiario correspodiee a la coordeada i-ésima. Por ejemplo, las fucioes paraméricas de u círculo uiario co cero e el orige so cos, y se. Podemos reuir esas ecuacioes como ua sola ecuació de la forma r cos( )ˆ i + si( ) ˆ ( ) j 3 Ua superficie paramerizada e R es la image de ua fució coiua S 3 defiida e ua regió D R que oma valores e R, eso es, S : ( u, v) D R S(, v) ( u, v), y( u, v), z( u, v) R ( ) 3
Las variables idepediees de la fució S se llama parámeros de la superficie y la propia fució S recibe el ombre de paramerizació de la superficie. La image por S de la froera de la regió D se llama borde o cooro de la superficie. Si S es iyeciva, lo que sigifica que o hay puos dobles, eoces se dice que la superficie es simple.. Paramerizació de ua fució periódica. Dadas observacioes de la variables aleaorias N( σ )., y.. A cada observació (, ) le correspode u puo P e el eje caresiao, de forma que P (, ); P (, );... P (, ) que a su vez, se hace correspoder co ua forma polar r γ (, ), siedo: r + yγ ArcTg para cada par Dado que P (, ) + i ( r cos ) + i( r si ) g(γ ) () r r, se obiee que r si( γ ) o Pudiédose esimar la variable aleaoria γ, a parir de ua epasió FFF de la forma: π π π ( π γ γ o + γ + γ + c cos + c si si es par, y ( ) si es impar. ó g J j ( γ / θ ) a + bγ + cγ + u cos( jγ ) v ssi( jγ ) j j
Ejemplo Uilizado el empleo equivalees a iempo compleo de la CNE de España para el periodo 97-0, vamos a cosruir dicha serie emporal a parir de la represeació e armóicos del ciclo empírico del argumeo, es decir de y g(γ ) siedo π π γ γ o + γ + γ + ( ) si es impar. c π cos + c ( π si, si es par, y E la Tabla º figura los cálculos realizados para obeer la la serie radiaes : γ Para dispoer de esa serie se ha elazado las series de coabilidad acioal 97-997 base 86; 995-009 base 000 y 009-0 elaborada co la base 008. El elace se ha realizado uilizado como coeficiee de elace L C L 86 995 000 995
Tabla º. Empleo equivalee a iempo compleo. 97-0. Miles. Empleo equivalee oal () / γ radiaes γ radiaes FFF Empleo equivalee oal (FFF) 97.743 74,7,5707,5707 749 97.878 6439,0,5706,5706 0969 973 3.94 3 4398,00,5706,5706 534 974 3.6 4 335,56,5705,5705 354 975 3.08 5 605,59,5704,5704 3300 976.889 6 48,3,5703,5703 30 977.786 7 86,50,570,5703 303 978.443 8 555,40,570,570 775 979.76 9 35,93,570,570 537 980.90 0 90,3,5700,5700 37 98.590 053,60,5698,5699 7 98.483 956,88,5698,5698 974 983.49 3 879,,5697,5697 86 984.56 4 796,83,5695,5696 788 985.350 5 756,68,5695,5695 756 986.509 6 79,3,5694,5694 765 987.09 7 707,57,5694,5694 85 988.433 8 690,7,5693,5693 905 989.860 9 676,84,5693,569 034 990 3.3 0 666,,5693,569 0 99 3.450 640,46,569,569 408 99 3.4 60,86,569,569 65 993.85 3 558,77,5690,5690 99 994.788 4 53,8,5689,5690 34 995 3.00 5 50,79,5689,5690 3584 996 3.03 6 507,80,5688,5689 3954 997 3.668 7 506,,5688,5689 4348 998 4.58 8 509,,5688,5689 476 999 4.9 9 54,50,5689,5689 585 000 5.670 30 5,3,5689,5689 563 00 6.76 3 5,79,5689,5689 6036 00 6.549 3 57,4,5689,5689 6444 003 6.949 33 53,60,5688,5688 688 004 7.405 34 5,90,5688,5688 775 005 7.970 35 53,43,5688,5688 7477 006 8.564 36 55,67,5689,5688 774 007 9.090 37 55,93,5689,5687 7908 008 8.988 38 499,69,5688,5687 806 009 7.733 39 454,68,5686,5686 8073 00 7.8 40 43,0,5685,5686 805 0 6.988 4 44,33,5684,5685 7965 Teiedo e cuea el peridograma de la serie γ radiaes (figura º) se ha esimado la siguiee aproimació de Fourier:
π π γ,57044 0,0008 + 0.0004 cos Figura º Periodograma de γ radiaes Especro de v años 9e-007 4.0 0.3 5.9 4. 3..6. 8e-007 7e-007 6e-007 5e-007 4e-007 3e-007 e-007 e-007 0 0 5 0 5 0 frecuecia escalada La represeació del argumeo e radiaes y la edecia calcula aparece e la Figura º.
Figura º. Serie γ radiaes y esimació FFF,570,5705,5700,5695,5690 g radiaes g radiaes FFF,5685,5680 97 974 977 980 983 986 989 99 995 998 00 004 007 00 La represeació de la serie de empleos equivalees a iempo compleo esimada se recoge e la figura siguiee: Figura º 3. Empleo equivalee a iempo oal 97-0.000 9.000 7.000 5.000 Empleo equivalee oal () Empleo equivalee oal (FFF) 3.000.000 9.000 97 975 979 983 987 99 995 999 003 007 0
Teemos ahora observacioes de dos variables aleaorias N(, σ ) y N( σ ). y, y e.. y y y.. y (, ) A cada observació y forma que P le correspode u puo e el eje caresiao, de P (, y); P (, y );... P (, y que su vez, se hace correspoder u forma polar r siedo: ) para cada par (, y ), r + y y y ArcTg Dado que P, y ) + iy ( r cos ) + i( r se ),se obiee que: ( cos( ), y r si( ) e y g( ). r La variable aleaoria puede paramerizase eoces como y g( ) g( λ ) Las ecuacioes paraméicas sería eoces: y g( γ ) g( ) g( γ ) Esimádose los águlos co la forma geeral: π π π ( π γ γ o + γ + γ + c cos + c si si es par, y ( ) si es impar.
Ejemplo Uilizamos ahora las cifras de Empleo a iempo compleo y PIB e euros cosaes de la CNE (Tabla º).
Tabla º.- Produco Ierior Bruo e euros cosaes del año 000 y Empleo equivalee a iempo compleo. 97-0. Milloes de euros y miles de empleos. Produco Ierior Bruo (euros año 000) Empleo equivalee oal () y/ radiaes radiaes FFF Produco Ierior Bruo (FFF) 97 65.69.743 0,873,58,53 66.947 97 86.886.878,769,559,556 84.980 973 309.3 3.94 3,437 3,58,579 307.676 974 36.605 3.6 4,667 4,530,599 34.464 975 38.376 3.08 5,055 5,53,536 33.55 976 339.5.889 6,38 6,538,533 34.336 977 348.855.786 7,85 7,534,5343 349.795 978 353.957.443 8,4458 8,5357,5353 350.876 979 354.06.76 9,085 9,5364,5364 353.74 980 358.7.90 30,406 0,5376,5374 356.395 98 358.079.590 30,8967,5384,5384 358.0 98 363.686.483 3,678,539,5394 365.74 983 37.759.49 3,587 3,540,5403 374.506 984 377.3.56 33,838 4,54,540 374.57 985 387.067.350 34,03 5,545,546 388.58 986 399.453.509 34,7076 6,540,540 399.700 987 4.987.09 35,089 7,543,543 4.393 988 443.768.433 35,697 8,548,546 440.94 989 464.793.860 36,49 9,543,549 46.096 990 48.79 3.3 36,933 0,543,5433 484.46 99 493.5 3.450 36,6637,5435,5437 496.796 99 496.504 3.4 37,4979,544,544 498.088 993 490.78.85 38,838 3,5446,5447 49.466 994 50.775.788 39,394 4,5453,545 498.7 995 55.405 3.00 39,586 5,5455,5455 54.64 996 57.86 3.03 39,984 6,5458,5457 56.306 997 548.84 3.668 40,44 7,5459,5459 547.990 998 57.78 4.58 40,77 8,5459,5459 573.464 999 599.966 4.9 40,06 9,5459,5460 60.76 000 630.63 5.670 40,3 30,5459,5460 63.564 00 653.55 6.76 40,3855 3,5460,546 654.389 00 670.90 6.549 40,544 3,546,546 67.63 003 69.695 6.949 40,8 33,5463,546 689.686 004 74.9 7.405 4,040 34,5464,5463 7.073 005 740.08 7.970 4,855 35,5465,5465 738.60 006 769.850 8.564 4,470 36,5467,5467 769.07 007 797.367 9.090 4,7699 37,5469,5470 800.56 008 804.3 8.988 4,3538 38,547,5474 809.99 009 774.85 7.733 43,6643 39,5479,5478 77.540 00 77.809 7.8 44,664 40,5484,5484 770.578 0 775.034 6.988 45,638 4,5489,5489 774.
Figura º4.- Periodograma de radiaes Especro de v años 7e-005 4.0 0.3 5.9 4. 3..6. 6e-005 5e-005 4e-005 3e-005 e-005 e-005 0 0 5 0 5 0 frecuecia escalada Tediedo e cuea el especro de la serie radiaes (Figura º4), se calcula la siguiee epasió FFF: π π π π 4π 6π,50 + 0,00 0.00 + 0.0003cos + 0,003si + 0,0003si + 0,0003si La esimació de la serie represea e la Figura º5. radiaes a parir de la epasió FFF se
Figura º5. Serie radiaes y esimació FFF,5600,5550,5500,5450,5400,5350,5300,550,500 97 974 977 980 983 986 989 a radiaes 99 995 a radiaes FFF 998 00 004 007 00 La esimació del PIB e euros cosaes a parir del empleo aparece e la figura siguiee: Figura º 6. Produco Ierior Bruo e euros cosaes del año 000. 97-0. 800.000 700.000 600.000 500.000 400.000 300.000 00.000 00.000 0 97 974 977 980 983 986 989 99 995 998 Produco Ierior Bruo (euros año 000) 00 004 007 00 Produco Ierior Bruo (FFF)
Se raa ahora de esima la relació y F, z ) ( e dode y z acúa como variables eplicaivas. E ese caso las relacioes geoméricas a cosiderar so las que aparece e la figura º3. Figura º3 Se pare ahora de la represeació polar ere cada y por u modulo r + z z. que vedrá dada z y u argumeo ArcTg. de forma que se puede cosruir u uevo plao ere el modulo r y la variable depediee. r Dado que el modulo puede eer u valor diferee segú se cambie el ivel de la variable parece acosejable ormalizar dichas variables. E cosecuecia ahora eemos dos variables r e cuya represeació polar edrá a su vez u módulo ρ r + y y u argumeo y β ArcTg. r Operado ρ + z + y Las represeació polar del sisema vedría dada a parir de: y r ρ cos( β ) y ρ se β ) e ( ( ) z y g β + ()
Dado que g z ) (, eoces ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ) ( g g g g g y β β β + + por oro lado y dado que z ArcTg π. eoces ( ) [ ] ( ) + g g g z y π β β cosiderado ao la sucesió de águlos y β como series de Fourier, se puede afirmar que el cojuo de daos (, y, z ), puede paramerizarse e fució de ua de ellas cualesquiera, y. Supogamos que e uesro cojuo de daos la dimesió, es eógea, eoces: ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] + ) ( g g g y g z β β () Siedo + + + + ( si cos o c c π π π π + + + + ( si cos o c b π π π β π β β β La paramerizació sobre la dimesió z : ( ) [ ] ( ) + ) ( g g g z y g z z z π β β π (3) Por úlimo, la paramerizació sobre y
z [ g( β )] + [ g( β ) g( )] y y [ g( β )] + g( β ) y y π g (4) Ejemplo 3 E el ejemplo 3 plaeamos ua esimació de la fució de producció de la ecoomía española uilizado los daos de empleo equivalee a iempo compleo, el Produco Ierior Bruo de la CNE, valorada esá úlima e euros cosaes y el Sock eo de de capial de la Fudació del BBVA valorada e miles de euros cosaes base 000, y si cosiderar el valor de la vivieda (ver abla º6).
Tabla º 6. Empleo equivalee a iempo compleo, Produco Ierior Bruo de la s y el Sock eo de de capial. Milloes cosaes de euros año 000 y miles de empleos. Produco Ierior Bruo (Ces) Y Empleo a iempo compleo X Sock de Capial Z 97 43.448.743 65.69 97 6.07.878 86.886 973 84.333 3.94 309.3 974 307.959 3.6 36.605 975 38.363 3.08 38.376 976 346.79.889 339.5 977 363.943.786 348.855 978 379.636.443 353.957 979 393.68.76 354.06 980 406.56.90 358.7 98 47.897.590 358.079 98 49.637.483 363.686 983 440.56.49 37.759 984 448.43.56 377.3 985 459.7.350 387.067 986 474.688.509 399.453 987 496.304.09 4.987 988 53.763.433 443.768 989 559.3.860 464.793 990 597.434 3.3 48.79 99 635.839 3.450 493.5 99 668.94 3.4 496.504 993 69.947.85 490.78 994 75.836.788 50.775 995 744.64 3.00 55.405 996 769.988 3.03 57.86 997 799.70 3.668 548.84 998 835.577 4.58 57.78 999 878.4 4.9 599.966 000 93.074 5.670 630.63 00 968.8 6.76 653.55 00.0.559 6.549 670.90 003.056.437 6.949 69.695 004.03.659 7.405 74.9 005.57.349 7.970 740.08 006.7.898 8.564 769.850 007.84.60 9.090 797.367 008.344.5 8.988 804.3 009.380.05 7.733 774.85 00.43.46 7.8 77.809
La esimació de la fució de producció se puede abordar resrigiedo algua de las res variables, eso es si se resrige el Empleo equivalee esaríamos e u modelo de fució de producció e el que esa magiud esaría limiado la producció acioal y lo cosideraríamos eógeo a la fució de producció, si resrigimos el sock de capial sería ese oro facor de producció el limiaivo y por ao sería eógeo, si resrigimos el PIB esaríamos ae u modelo e el que la demada agregada limiaría el PIB y ese úlimo esablecería la caidad de empleo y sock capial ecesaria para alcazar el volume aual de producció, e ese caso el PIB sería la variable eógea al modelo. E primer lugar hay que aproimar las rayecorias emporales de los águlos y β.
Tabla º 7.- Empleo equivalee a iempo compleo, Produco Ierior Bruo de la s y el Sock eo de de capial e logarimos y su represeació polar. Produco Ierior Bruo Empleo equivalees a iempo compleo Sock de Capial r β radiaes β FFF radiaes 97,4885 9,457,407 5,594 0,6753 0,6755 0,996 97,5668 9,4633,4765 5,6594 0,6763 0,676 0,99 973,648 9,4875,5579 5,7389 0,6767 0,6764 0,938 974,6965 9,497,6377 5,8058 0,6767 0,6765 0,966 975,709 9,4749,709 5,8465 0,6757 0,6764 0,999 976,7344 9,464,7565 5,8839 0,6758 0,676 0,935 977,764 9,456,8048 5,979 0,6758 0,6758 0,9347 978,7769 9,489,8470 5,9358 0,6758 0,6754 0,9377 979,7774 9,407,88 5,954 0,6754 0,675 0,940 980,7903 9,3844,955 5,9649 0,6754 0,675 0,944 98,7885 9,3579,9430 5,976 0,675 0,675 0,9448 98,8040 9,3486,9707 5,9886 0,675 0,6754 0,9463 983,860 9,3439,9958 6,006 0,6755 0,6758 0,9474 984,8406 9,397 3,035 6,0065 0,676 0,676 0,9493 985,8664 9,3370 3,037 6,0357 0,676 0,6763 0,9493 986,8979 9,3509 3,0704 6,0709 0,6763 0,6765 0,9498 987,957 9,3950 3,49 6,38 0,6765 0,6764 0,949 988 3,003 9,48 3,688 6,959 0,6765 0,676 0,9494 989 3,0493 9,469 3,345 6,689 0,6760 0,6757 0,950 990 3,086 9,497 3,3004 6,343 0,675 0,675 0,9507 99 3,085 9,5067 3,367 6,3994 0,6743 0,6745 0,954 99 3,53 9,49 3,434 6,437 0,6736 0,6739 0,9550 993 3,036 9,46 3,4473 6,44 0,679 0,6733 0,9577 994 3,59 9,456 3,48 6,4670 0,6730 0,679 0,959 995 3,57 9,474 3,50 6,5093 0,677 0,676 0,9596 996 3,766 9,488 3,554 6,545 0,675 0,674 0,960 997 3,45 9,58 3,593 6,5954 0,675 0,673 0,9596 998 3,583 9,565 3,6359 6,656 0,673 0,67 0,959 999 3,3046 9,605 3,6859 6,73 0,670 0,670 0,9586 000 3,3539 9,6595 3,7355 6,799 0,678 0,678 0,9579 00 3,3897 9,693 3,783 6,849 0,675 0,676 0,9580 00 3,464 9,74 3,870 6,898 0,670 0,67 0,9584 003 3,4469 9,7379 3,8704 6,9474 0,6707 0,6708 0,9587 004 3,4790 9,7645 3,94 6,9985 0,6704 0,6704 0,9589 005 3,546 9,7965 3,966 7,0557 0,670 0,6700 0,9590 006 3,5540 9,890 4,06 7,6 0,6698 0,6696 0,959 007 3,589 9,8569 4,0656 7,756 0,6693 0,669 0,9595 008 3,5976 9,856 4,3 7,099 0,6687 0,6687 0,963 009 3,5597 9,783 4,376 7,95 0,6678 0,668 0,9655 00 3,5565 9,7574 4,63 7,974 0,6676 0,6674 0,9675
Las aproimacioes FFF se ha realizado co las siguiees fucioes: π π π π 4π 4π 0,93+ 0,0009 + 0.00 0.005cos + 0,004si 0,007cos + 0,0005si + 6π 6π 8π 0π + 0,0003cos 0,000si 0,0005cos + 0,000si π π β 0,670 + 0,0038 0.005 π π 4π 6π 0.0009cos + 0,000si + 0,0004cos + 0,0003si Los resulados gráficos de las aproimacioes se recoge e las figuras º 7 y º 8. Figura º7. Serie radiaes y esimació FFF 0,9800 0,9700 0,9600 0,9500 0,9400 0,9300 0,900 0,900 0,9000 0,8900 4 7 0 3 6 9 5 8 3 34 37 40 a radiaes a FFF Figura º8. Serie β radiaes y esimació FFF 0,6780 0,6760 0,6740 0,670 0,6700 0,6680 0,6660 0,6640 0,660 0,6600 4 7 0 3 6 9 5 8 3 34 37 40 b radiaes b FFF
La obeció del modelo que resrige el empleo a iempo parcial ( ) se calcula e la abla º 8 uilizado el sisema de ecuacioes (), los resulados gráficos se icluye e las figuras º 9 y º0 Tabla º8. Paramerizació del modelo que resrige el empleo a iempo compleo. β FFF FFF Empleo a iempo compleo () Esimació de Sock de Capial Esimació del Produco Ierior Bruo 97 0,6755 0,996 9,457,403,494 97 0,676 0,96 9,4633,470,5573 973 0,6764 0,94 9,4875,566,6396 974 0,6765 0,968 9,497,6433,694 975 0,6764 0,995 9,4749,693,739 976 0,676 0,933 9,464,753,7396 977 0,6758 0,9350 9,456,89,7665 978 0,6754 0,9376 9,489,8464,7666 979 0,675 0,940 9,407,8838,7745 980 0,675 0,944 9,3844,95,788 98 0,675 0,9445 9,3579,9356,7848 98 0,6754 0,9464 9,3486,979,807 983 0,6758 0,9479 9,3439 3,007,839 984 0,676 0,9489 9,397 3,003,8333 985 0,6763 0,9495 9,3370 3,048,8740 986 0,6765 0,9496 9,3509 3,0644,8984 987 0,6764 0,9494 9,3950 3,6,955 988 0,676 0,9494 9,48 3,676,999 989 0,6757 0,9498 9,469 3,59 3,0347 990 0,675 0,9509 9,497 3,3060 3,0880 99 0,6745 0,957 9,5067 3,3703 3,74 99 0,6739 0,9550 9,49 3,44 3, 993 0,6733 0,957 9,46 3,4348 3,076 994 0,679 0,9590 9,456 3,4789 3,7 995 0,676 0,9600 9,474 3,537 3,580 996 0,674 0,960 9,488 3,556 3,744 997 0,673 0,9596 9,58 3,590 3,096 998 0,67 0,9589 9,565 3,630 3,55 999 0,670 0,9583 9,605 3,6779 3,997 000 0,678 0,958 9,6595 3,740 3,3577 00 0,676 0,958 9,693 3,7893 3,396 00 0,67 0,9584 9,74 3,89 3,430 003 0,6708 0,9586 9,7379 3,869 3,4490 004 0,6704 0,9587 9,7645 3,9089 3,4755 005 0,6700 0,9588 9,7965 3,9560 3,509 006 0,6696 0,959 9,890 4,08 3,5487 007 0,669 0,9600 9,8569 4,0788 3,593 008 0,6687 0,967 9,856 4,38 3,6067 009 0,668 0,9644 9,783 4,06 3,5484 00 0,6674 0,9679 9,7574 4,749 3,5609
Figura º9. Paramerizació del sock capial e el modelo que resrige el empleo. 4,5 4,0 3,5 3,0,5,0,5 97 974 977 980 983 986 989 99 995 998 00 004 007 00 Sock de Capial (z) Esimació de Sock de Capial Figura º0 Paramerizació del Produco Ierior Bruo e el modelo que resrige el empleo. 4,0 3,8 3,6 3,4 3, 3,0,8,6,4,,0 97 974 977 980 983 986 989 99 995 998 00 004 007 00 Produco Ierior Bruo (y). Esimació del Produco Ierior Bruo La obeció del modelo que resrige del sock de capial eo ( z ) se calcula e la abla º 9 uilizado el sisema de ecuacioes (3), los resulados gráficos se icluye e las figuras º y º
Tabla º9. Paramerizació del modelo que resrige el sock de capial β FFF FFF Sock de Capial (z) Esimació del Empleo equivalee a iempo compleo Esimació del Produco Ierior Bruo 97 0,6755 0,996,407 9,454,4936 97 0,676 0,96,4765 9,468,5637 973 0,6764 0,94,5579 9,48,63 974 0,6765 0,968,6377 9,4885,6885 975 0,6764 0,995,709 9,480,735 976 0,676 0,933,7565 9,4680,7448 977 0,6758 0,9350,8048 9,450,7583 978 0,6754 0,9376,8470 9,494,767 979 0,675 0,940,88 9,406,7730 980 0,675 0,944,955 9,3847,78 98 0,675 0,9445,9430 9,363,79 98 0,6754 0,9464,9707 9,3470,8085 983 0,6758 0,9479,9958 9,3357,879 984 0,676 0,9489 3,035 9,377,8443 985 0,6763 0,9495 3,037 9,3336,8694 986 0,6765 0,9496 3,0704 9,355,9044 987 0,6764 0,9494 3,49 9,3896,9477 988 0,676 0,9494 3,688 9,490,994 989 0,6757 0,9498 3,345 9,4680 3,043 990 0,675 0,9509 3,3004 9,493 3,085 99 0,6745 0,957 3,367 9,503 3,00 99 0,6739 0,9550 3,434 9,498 3, 993 0,6733 0,957 3,4473 9,4700 3,97 994 0,679 0,9590 3,48 9,4578 3,49 995 0,676 0,9600 3,50 9,4654 3,458 996 0,674 0,960 3,554 9,4868 3,75 997 0,673 0,9596 3,593 9,53 3,099 998 0,67 0,9589 3,6359 9,569 3,57 999 0,670 0,9583 3,6859 9,66 3,3074 000 0,678 0,958 3,7355 9,6556 3,353 00 0,676 0,958 3,783 9,6869 3,390 00 0,67 0,9584 3,870 9,75 3,408 003 0,6708 0,9586 3,8704 9,7389 3,450 004 0,6704 0,9587 3,94 9,768 3,4805 005 0,6700 0,9588 3,966 9,8004 3,546 006 0,6696 0,959 4,06 9,896 3,5495 007 0,669 0,9600 4,0656 9,8476 3,5803 008 0,6687 0,967 4,3 9,848 3,5946 009 0,668 0,9644 4,376 9,8050 3,5787 00 0,6674 0,9679 4,63 9,7480 3,5479
Figura º. Paramerizació del empleo equivalee a iempo compleo e el modelo que resrige el sock de capial 0,0 9,9 9,8 9,7 9,6 9,5 9,4 9,3 9, 9, 9,0 97 974 977 980 983 986 989 99 995 998 00 004 007 00 Empleo a iempo compleo () Esimació del Empleo equivalee a iempo compleo Figura º. Paramerizació del Produco Ierior Bruo e el modelo que resrige el sock de capial 3,8 3,6 3,4 3, 3,0,8,6,4,,0 97 974 977 980 983 986 989 99 995 998 00 004 007 00 Produco Ierior Bruo (y). Esimació del Produco Ierior Bruo La obeció del modelo que resrige del Produco Ierior Bruo ( y ) se calcula e la abla º 0 uilizado el sisema de ecuacioes (4), los resulados gráficos se icluye e las figuras º 3 y º4
Tabla º0. Paramerizació del modelo que resrige el Produco Ierior Bruo β FFF FFF Produco Ierior Bruo (y). Esimació del Empleo equivalee a iempo compleo Esimació de Sock de Capial 97 0,6755 0,996,4885 9,4485,3976 97 0,676 0,96,5668 9,4705,4796 973 0,6764 0,94,648 9,489,5685 974 0,6765 0,968,6965 9,4945,6457 975 0,6764 0,995,709 9,4659,6803 976 0,676 0,933,7344 9,4603,746 977 0,6758 0,9350,764 9,453,8088 978 0,6754 0,9376,7769 9,4366,8568 979 0,675 0,940,7774 9,4094,8867 980 0,675 0,944,7903 9,3906,936 98 0,675 0,9445,7885 9,3606,9393 98 0,6754 0,9464,8040 9,3438,966 983 0,6758 0,9479,860 9,3344,9939 984 0,676 0,9489,8406 9,350 3,0097 985 0,6763 0,9495,8664 9,335 3,0340 986 0,6765 0,9496,8979 9,3505 3,0638 987 0,6764 0,9494,957 9,393 3,0 988 0,676 0,9494 3,003 9,4355 3,779 989 0,6757 0,9498 3,0493 9,475 3,407 990 0,675 0,9509 3,086 9,4958 3,3040 99 0,6745 0,957 3,085 9,5003 3,36 99 0,6739 0,9550 3,53 9,4869 3,4065 993 0,6733 0,957 3,036 9,4584 3,4308 994 0,679 0,9590 3,59 9,4586 3,48 995 0,676 0,9600 3,57 9,4704 3,573 996 0,674 0,960 3,766 9,4897 3,5583 997 0,673 0,9596 3,45 9,564 3,596 998 0,67 0,9589 3,583 9,5700 3,637 999 0,670 0,9583 3,3046 9,64 3,6830 000 0,678 0,958 3,3539 9,6567 3,737 00 0,676 0,958 3,3897 9,6866 3,788 00 0,67 0,9584 3,464 9,7093 3,84 003 0,6708 0,9586 3,4469 9,7364 3,8670 004 0,6704 0,9587 3,4790 9,767 3,96 005 0,6700 0,9588 3,546 9,8004 3,966 006 0,6696 0,959 3,5540 9,838 4,07 007 0,669 0,9600 3,589 9,8540 4,0747 008 0,6687 0,967 3,5976 9,8450 4,44 009 0,668 0,9644 3,5597 9,793 4,78 00 0,6674 0,9679 3,5565 9,754 4,703
Figura º3. Paramerizació del empleo equivalee a iempo compleo e el modelo que resrige el Produco Ierior Bruo 0,0000 9,9000 9,8000 9,7000 9,6000 9,5000 9,4000 9,3000 9,000 9,000 9,0000 97 974 977 980 Empleo a iempo compleo () 983 986 989 99 995 998 00 004 007 00 Esimació del Empleo equivalee a iempo compleo Figura º4. Paramerizació del sock de capial e el modelo que resrige el Produco Ierior Bruo 4,5000 4,0000 3,5000 3,0000,5000,0000,5000 Ejemplo 4 Sock de Capial (z) A ravés de la aproimació FFF de el Produco Ierior Bruo ( recoge e la Tabla º. 97 974 977 980 983 986 989 99 995 998 00 004 007 00 Esimació de Sock de Capial β radiaes puede esimarse direcamee y ) a parir de (). Los cálculos ecesarios se
Tabla º0. Esimació del Produco Ierior Bruo a ravés de la aproimació FFF de β radiaes Produco Ierior Bruo (Ces). Empleo a iempo compleo Sock de Capial β FFF r r*g(β) 97,4885 9,457,407 0,6755 5,594,4938 97,5668 9,4633,4765 0,676 5,6594,564 973,648 9,4875,5579 0,6764 5,7389,634 974,6965 9,497,6377 0,6765 5,8058,6905 975,709 9,4749,709 0,6764 5,8465,70 976,7344 9,464,7565 0,676 5,8839,7430 977,764 9,456,8048 0,6758 5,979,76 978,7769 9,489,8470 0,6754 5,9358,7670 979,7774 9,407,88 0,675 5,954,7735 980,7903 9,3844,955 0,675 5,9649,78 98,7885 9,3579,9430 0,675 5,976,7896 98,8040 9,3486,9707 0,6754 5,9886,809 983,860 9,3439,9958 0,6758 6,006,837 984,8406 9,397 3,035 0,676 6,0065,8406 985,8664 9,3370 3,037 0,6763 6,0357,8709 986,8979 9,3509 3,0704 0,6765 6,0709,903 987,957 9,3950 3,49 0,6764 6,38,950 988 3,003 9,48 3,688 0,676 6,959,9937 989 3,0493 9,469 3,345 0,6757 6,689 3,0403 990 3,086 9,497 3,3004 0,675 6,343 3,0844 99 3,085 9,5067 3,367 0,6745 6,3994 3,5 99 3,53 9,49 3,434 0,6739 6,437 3,8 993 3,036 9,46 3,4473 0,6733 6,44 3,57 994 3,59 9,456 3,48 0,679 6,4670 3,4 995 3,57 9,474 3,50 0,676 6,5093 3,498 996 3,766 9,488 3,554 0,674 6,545 3,73 997 3,45 9,58 3,593 0,673 6,5954 3,098 998 3,583 9,565 3,6359 0,67 6,656 3,553 999 3,3046 9,605 3,6859 0,670 6,73 3,3049 000 3,3539 9,6595 3,7355 0,678 6,799 3,354 00 3,3897 9,693 3,783 0,676 6,849 3,39 00 3,464 9,74 3,870 0,67 6,898 3,46 003 3,4469 9,7379 3,8704 0,6708 6,9474 3,4498 004 3,4790 9,7645 3,94 0,6704 6,9985 3,4789 005 3,546 9,7965 3,966 0,6700 7,0557 3,58 006 3,5540 9,890 4,06 0,6696 7,6 3,549 007 3,589 9,8569 4,0656 0,669 7,756 3,5845 008 3,5976 9,856 4,3 0,6687 7,099 3,5986 009 3,5597 9,783 4,376 0,668 7,95 3,5688 00 3,5565 9,7574 4,63 0,6674 7,974 3,55 FFF Mulivariada,4900,563,6454,696,7084,734,768,7703,7793,787,7895,8097,8307,8349,8647,8987,9535 3,008 3,0476 3,0884 3,090 3,3 3,087 3, 3,54 3,789 3,59 3,578 3,304 3,350 3,3889 3,40 3,4494 3,478 3,57 3,55 3,5937 3,5950 3,5594 3,557 E la úlima columa de la abla se ha realizado ua aproimació a ua FFF co dos variables (Galla, 98,98), cuya meodología se describe e el aeo. Ese ipo de aproimació iee el icoveiee que ecesia
muchas variable eplicaivas. E ese caso se ha uilizado la epasió descria e la abla siguiee: Tabla º. Aproimacio FFF mulivariada del logarimo del PIB. parámero y -,85 -,76-8,9-0,90 z 3,7 5,45,89 4,69 z -0,4 -,9 *z -,03-3,70 cos() -0,0-0,0 se() 0,0 0,79 cos(z) 0,0,0 se(z) 0,06,53 cos(*) -0,0 -,37 se(*) 0,0 0,8 cos(*z) 0,0 3,5 se(*z) -0,06-6,59 cos(+z) 0,0,4 se(+z) 0,04,45 Los resulados gráficos de ambas epasioes se represea juo a la serie origial e la Figura º5 y º6, e la primera se recoge los iveles de las series y e la seguda las diferecia e las series, que al veir epresadas e logarimos adquiere el sigificado de asa de crecimieo auales. Figura º5. Aproimació al Produco Ierior Bruo, uilizado ua fució paramerizada y la FFF mulivariada. 3,8000 3,6000 3,4000 3,000 3,0000,8000,6000,4000,000,0000 97 974 977 980 983 986 989 99 995 998 00 004 007 00 Produco Ierior Bruo. r*g(b) FFF Mulivariada
Tabla º6.- Diferecias logarímicas del Produco Ierior Bruo, uilizado ua fució paramerizada y FFF mulivariada. 0, 0,08 0,06 0,04 0,0 0-0,0-0,04 97 975 978 98 984 987 990 993 996 999 00 005 008-0,06 Produco Ierior Bruo. r*g(b) FFF Mulivariada Los resulados so muy similares, si bie el error cuadráico medio de la aproimació FFF Mulivariada es meor (0,003845 free a 0,004638).
Aeo Aproimació FFF. Galla (98,98) irodujo ua forma fucioal co capacidades muy disias a las propuesas hasa el momeo, cuyas propiedades de fleibilidad era e odos los casos locales. La forma de Fourier que uiliza Galla posee la propiedad de fleibilidad global, es decir, permie aproimar arbirariamee cerca ao a la fució como a sus derivadas sobre odo el domiio de defiició de las mismas. La idea que subyace e ese ipo de aproimacioes (que podría deomiarse semi-oparaméricas) es ampliar el orde de la base de epasió, cuado el amaño de la muesra aumea, hasa coseguir la covergecia asióica de la fució aproimae a la verdadera fució geeradora de los daos y a sus derivadas. Por raarse de ua forma Sobolev-fleible (free a la Diewer-fleibilidad de las aeriores) es capaz de esimar cosiseemee las elasicidades precio y rea sobre odo el espacio de daos (ElBadawi, Galla y Souza, 983); además, asióicamee puede coseguirse corases esadísicos isesgados (Galla, 98, 98) y la elimiació del problema de iferecias aumeadas provocado por la especificació de u deermiado modelo. Por úlimo, Galla y Souza (99) ha mosrado la ormalidad asióica de las esimacioes derivadas de la forma de Fourier. E la pare egaiva, el modelo de Fourier puede coseguir la regularidad global, pero las resriccioes paraméricas que ello implica so ecesivamee fueres (Galla, 98); si embargo, eise codicioes más débiles (que o desruye i la fleibilidad i la cosisecia de los esimadores) co las que se puede coseguir la regularidad eórica al meos sobre u cojuo fiio de puos (Galla y Golub, 983), auque la impleació de ales resriccioes resula compleja (McFadde, 985). E cualquier caso, las simulacioes de Moe Carlo realizadas por Fleissig, Kases y Terrell (997) y Chalfa y Galla (985) ha mosrado que la regió de regularidad de la forma de Fourier libre -si resriccioes de igú ipo- es mucho mayor que la correspodiee a las formas Leoief-Geeralizada o Traslog. U poliomio de Fourier viee dado por la epresió: a + j Dode k es el úmero de ciclos eóricos o armóicos que cosideramos, siedo el máimo /. π w0 es la frecuecia fudameal (ambié deomiada frecuecia agular fudameal). oma los valores eeros compredidos ere y (es decir,,, 3,...). k ( u j cos( jwo) + v j si( jwo) ) Los coeficiees de los armóicos viee dados por las epresioes: a yi, u j ( yi cos( w0i j) ), v j yi si( woi j) i i i Para cosular la orma Sebolevhp://pareo.uab.es/mcreel/Ecoomerics/ecoomerics.pdf
La aproimació a ua fució o periódica g() por ua serie de epasió de Fourier se realiza e Gallar (98) añadiedo es esa u érmio lieal y cuadráico. De esa forma que la aproimació uivariada se escribe como: J g( / θ ) a + b + c + u j cos( j) v j s si( j) () j El vecor de parámeros es ( a b, c, u v,...,, ) J. Supoiedo que los daos siguiera el modelo esimaría θ por míimos cuadrados, miimizado s ( θ ) ( ) y g ( / θ ) [ i K i ] i θ, u J v J de logiud K 3 + J, siedo y g( ) + e para i,,, se Dado que la variable eógea i o esa epresada e forma periódica, debe de rasformase o ormalizarse e u iervalo de logiud meor que π 0,π. i i i, [ ] La aproimació mulivariada se describe e Galla (984): A ( ) ' ' g / θ uo + b' + ' C + u0 + [ u j cos( jk ) v j si( jk ) ] Dode C A u k. La regla de formació de la secuecia { k } esá dada e 0 ' k a Galla (98) y e Galla (98) para diferees sisemas.
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