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SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº 04 FACULTAD DE : Ciencias Emresariales ESCUELA PROFESIONAL DE : Administración DOCENTE : Walter Orlando Gonzales Caicedo CICLO: I ASIGNATURA : Lógico Matemática FECHA: TEMAS: Cuantificadores Circuitos lógicos TIEMPO: 08 horas académicas. COMPETENCIA: Desarrolla y alica los cuantificadores en un conjunto de roosiciones así como identifica los elementos del dominio ue dan solución a la función roosicional; demostrando dominio del tema con reflexión y ersistencia. CAPACIDADES: Alica el cuantificador lógico universal y existencial en la simbolización y negación de roosiciones. Infiere rocedimientos ara reresentar fórmulas lógicas y/o esuemas moleculares a través de circuitos lógicos. E V A L U A C I Ó N ACTITUDES: RESPONSABILIDAD: Manifiesta comromiso e identificación en su trabajo académico. PUNTUALIDAD: Revela reseto a los demás y a si mismo asistiendo untualmente a las clases. PARTICIPACIÓN: Muestra disosición a enfrentarse a situaciones roblemáticas novedosas. Particia activamente en el desarrollo de las clases. DESCRIPCIÓN DETALLADA DE EVALUACIÓN MOMENTOS O MEDIOS Y ESTRATEGIAS Y TIEMPO FASES MATERIALES INDICADORES INSTRUMENTO METODOLOGÍA MOTIVACIÓN: El docente y los estudiantes Material Imreso recuerdan a través de ejemlos Interés or el rácticos la definición de tema, Pizarra enunciados abiertos o funciones articiación Observación roosicionales y su utilidad en el Plumones individual y en esontánea lenguaje matemático 50 min. acrílicos gruo. EXPLORACIÓN El docente resenta en la izarra Mota Motivación y una lista con enunciados en el exloración Palabra hablada lenguaje natural ara ue los estudiantes lo exresen en el lenguaje lógico simbólico (Lluvia de ideas, Técnica Problematización interrogativa) El uso ara seguir la secuencia. 01) El docente utilizando los enunciados lógicos elaboradas or los alumnos, formula las siguientes interrogantes : Un enunciado abierto o función roosicional uede tener una, dos y tres variables? Podemos decir ue los valores ue se da a la variable hacen del enunciado Exosición oral 45 min. Dadas las secuencias de las roosiciones del Módulo utiliza los cuantificadore s aroiados ara reresentar adecuadament e los ejercicios lanteados. Particiación activa evaluación 05) autoevaluació n 04) 2
El docente utilizando los enunciados lógicos elaboradas or los alumnos, formula las siguientes interrogantes : Un enunciado abierto o función roosicional uede tener una, dos y tres variables? Podemos decir ue los valores ue se da a la variable hacen del enunciado Exosición oral 45 min. Dadas las secuencias de las roosiciones del Módulo utiliza los cuantificadore s aroiados ara reresentar adecuadament e los ejercicios lanteados. Particiación activa evaluación 05) autoevaluació n 04) abierto una roosición verdadera o falsa? Problematización Ejemlifiue. Qué nombre le ondríamos a la función roosicional si le anteonemos la alabra ara todo? Qué nombre le ondríamos a la función roosicional si le anteonemos la alabra existe algún? Cómo defines a un circuito lógico? Los alumnos exonen sus lanteamientos y resoluciones. El docente sistematiza la información Se forma 7 gruos. Modulo de lógica matemática 02) Construcción del conocimiento El docente entrega la hoja de información Conozcamos los cuantificadores y circuitos lógicos: cuantificador universal, existencial y negación de roosiciones ue contienen Paelógrafo. Módulo lógico matemático 02) Textos auxiliares. 185 min. Identifica Cuantificador universal, existencial. Infiere rocedimiento s ara negar cuantificadore s evaluación 05) autoevaluació n cuantificadores; circuitos en serie y en aralelo. (ANEXO Nº 02) 3 cinta adhesiva Trabaja en forma individual y grual, comentan 04)
Se forma 7 gruos. Modulo de lógica matemática 02) El docente entrega la hoja de información Conozcamos los cuantificadores lógicos: y circuitos cuantificador universal, existencial y negación de roosiciones ue contienen Paelógrafo. Módulo lógico matemático 02) Textos auxiliares. 185 min. Identifica Cuantificador universal, existencial. Infiere rocedimiento s ara negar cuantificadore s evaluación 05) autoevaluació n cuantificadores; circuitos en serie y en aralelo. (ANEXO Nº 02) Los alumnos dan lectura individualmente a la hoja de cinta adhesiva Trabaja en forma individual y grual, comentan,discuten 04) Construcción del conocimiento información. En gruos elaboran un cuadro comarativo a cerca de los cuantificadores universales y existenciales ; circuitos en serie y aralelo.. Infieren rocedimientos ara simbolizar roosiciones con cuantificadores y circuitos lógicos. Esuematizan y sustentan su información de manera secuencial. El docente sistematiza y refuerza la información resolviendo ejercicios rácticos. Transferencia del conocimiento (Hoja de información,trabajo en euio, Ejemlificación) Los estudiantes resuelven los ejercicios lanteados en su módulo de trabajo. Los estudiantes artician anotando sus resuestas en la izarra Los estudiantes elaboran ejercicios referidos a Cuantificadores: universal y existencial, Niegan 4 Hoja imresa Folder trabajo de 120 min. Alica estrategias metacognitivas ara simbolizar y negar roosiciones ue contiene cuantificadore s. Grafican circuitos evaluación 05)
Transferencia del conocimiento Los estudiantes resuelven los ejercicios lanteados en su módulo de trabajo. Los estudiantes artician anotando sus resuestas en la izarra Los estudiantes elaboran ejercicios referidos a Cuantificadores: universal y existencial, cuantificadores. Niegan Grafican circuitos lógicos en serie, aralelo y sustentan el Hoja imresa Folder trabajo de 120 min. Alica estrategias metacognitivas ara simbolizar y negar roosiciones ue contiene cuantificadore s. Grafican circuitos lógicos en serie y aralelo evaluación 05) rocedimiento emleado. Luego contrastan la validez de sus resuestas con la información ue realiza el Presentación de trabajo individual o grual docente. 03) (Hoja de información,gruo de estudio, trabajo en euio). 03) BIBLIOGRAFÍA Trelles Montero, Oscar y Rosales Para, Diógenes. (2000). Introducción a la lógica. Editorial ontificia. Ferrater Mora José. Lógica Matemática. Esinoza Ramos. (2006). Matemática Básica I. Editorial J. J. Perú. Stewart, James. Primer curso de Lógico Matemática. Garfunkel, Salomón. Las Matemáticas en la vida cotidiana. Gonzales Caicedo, Walter Orlando y otros. (2009). Modulo de Lógico Matemática. Lambayeue Perú. ANEXO Nº 01 Recuerda: Hay ue arender a hacer las cosas más eueñas de la manera más grande. Goethe. Objetivo : Lograr motivar a los estudiantes y reflexionar. Materiales: Paelotes y lumones azul, negro y rojo. ANEXO Nº02 Modulo de lógico matemática CUANTIFICADORES A diferencia de las roosiciones ue hemos manejado hasta ahora, el enunciado x 3 no es Verdadero ni Falso. Cuando la variable x se reemlaza or ciertos valores de x, 5
or ejemlo 2, la roosición resulta Falsa. Este es un ejemlo de un enunciado abierto, el cual viene a ser una reosición sólo cuando las variables son remlazadas or los nombres articulares de los objetos. Si un enunciado abierto se llama P y las variables x 1, x 2,, x n ; escribimos P(x 1, x 2,, x n ) y en el caso de una sola variable escribimos P(x). El enunciado x 1 =x 2 +x 3, es un enunciado abierto con 3 variables. Si denotamos el enunciado or P(x 1, x 2,x 3 ), entonces P(7,3,4) es Verdadero, ya ue 7=3+4, ero P(1,2,3) es Falso, ya ue 1 2+3. 1. DEFINICIÓN La colección de objetos ue al reemlazarlos en lugar de las variables en un enunciado abierto lo convierten en una roosición verdadera se llama el conjunto de verdad del enunciado. Antes de determinar el conjunto de verdad es necesario saber cuáles objetos están disonibles ara ser tomados en cuenta. Es decir, debemos haber esecificado un universo de discurso. Denotemos or U= D P el conjunto universo, es decir el dominio de la función roosicional. Ejemlo: Sea Q(x) en enunciado x 2 =4. Si tomamos el conjunto de los números reales como el universo del discurso, el conjunto de verdad será 2 y -2. Q(x) = {2,-2} en Si el universo del discurso fuera el conjunto de los naturales, entonces el conjunto de verdad sería 2. Q(x) = {2} en Recordemos ue un enunciado abierto P(x) no es una roosición, ero P(a) es una roosición ara cualuier a en el universo del discurso. Otra forma de construir una roosición a artir de P(x) es modificándola mediante un cuantificador. Dado un enunciado abierto P(x) con variable x, el enunciado: x Є D P : P(x). Se lee: Para Todo x en el dominio se cumle P de x Y es verdadero recisamente cuando el conjunto de verdad ara P(x) es el universo comleto. El Símbolo se llama el Cuantificador Universal. El enunciado: x Є D P / P(x). Se lee Existe x en el dominio, tal ue P de x. Y es verdadero recisamente cuando el conjunto de verdad ara P(x) no es vacío. El símbolo se llama Cuantificador Existencial. Las exresiones: Todo hombre es mortal. Puede traducirse resectivamente como: Para todo x, si x es hombre entonces x es mortal. En forma simbólica tenemos: x Є D P : P(x); donde P(x): x es mortal. Algunos hombres son sabios. Puede traducirse resectivamente como: Existe un x, tal ue x es hombre y x es sabio. En forma simbólica tenemos: x Є D P / P(x); donde P(x): x es hombre y x es sabio Otros giros utilizados ara la exresión "ara todo x" son: Todo x Cualuiera x 6
Cada x Otros giros utilizados ara la exresión 'Existe un x" son: Hay x Existe x, tal ue Algún x Algunos x Ejemlo: Suonga ue el universo es el conjunto de los, entonces: a) x, x 3 es Verdadero, ero x, x 3 es Falso. b) x, x >0 es Verdadero, ero x, x >0 es Falso. c) x, x 2 = -1 es Falso, ero x, x+2 > x es Verdadero. d) x = x cuando x 0 -x cuando x<0 1 =1 2 =2 3,14 =3,14-1 =-(-1)=1-2 =-(-2)=2 OBSERVACIÓN: La negación del cuantificador universal es el existencial y la negación del cuantificador existencial es el universal. Es decir: x Є D P : P(x) x Є D P / P(x) x Є D P / P(x) x Є D P : P(x) Ejemlo: Halle una negación ara: cada número real ositivo tiene un inverso multilicativo. Solución: Sea el universo, el conjunto de todos los, el enunciado uede reresentarse or: x Є : x>0 y Є / xy=1 Si: x=2, y=1/2 xy=1 x=3, y=1/3 xy=1 x=1/5, y=5 xy=1 Y así sucesivamente. Entonces la negación de x Є : x>0 y Є / xy=1, es: x Є : x>0 y Є / xy=1 x Є / x>0 y Є / xy=1 x Є / x>0) y Є / xy=1 = x Є / x>0 y Є : xy=1) = x Є / x>0 y Є : xy 1 7
Esto último se lee: Existe un número ositivo x ara el cual no hay inverso. OBSERVACIÓN: Las roosiciones universales ueden aarecer negadas, como en el enunciado: "No todos son mecánicos". En este caso la simbolización será: [ x Є D M : M(x)], donde M(x) es la función roosicional "x es mecánico" ue toma valores dentro del conjunto de referencia formado or los hombres. Las alabras "ningún", "ninguno", "nada", "nadie" corresonden también a enunciados universales con negaciones, ero de una manera distinta a las roosiciones anteriores. La roosición: "ninguno es mecánico" no euivale a la roosición "no todos son mecánicos" Sino a la exresión "ara todo x, x no es mecánico" ue se simboliza: x Є D M : M(x). Las roosiciones existenciales ueden estar negadas, como or ejemlo: "no es cierto ue hay fantasmas" la cual se simboliza como: [ x Є D F / F(x)] donde F(x) simboliza la exresión "x es un fantasma". Análogamente a lo ue ocurre con los cuantificadores universales, las roosiciones existenciales ueden tener negaciones internas como "algo no es mortal" la cual se simboliza como: x Є D M / M(x), donde M(x) simboliza la exresión "x es mortal". OBSERVACIÓN: Dado un enunciado P(x) la roosición!x, P(x), se lee Existe un único x, tal ue P(x). El enunciado!x, P(x) cuando el conjunto de verdad consta de exactamente un elemento del universo. Ejemlo: En el universo de los, la roosición!x, x es un número ar ositivo y rimo; es verdadero, ya ue el único elemento del conjunto de verdad es el 2. Es decir: P(x) = {2,4,6,8, } P(x) = {2} Ejemlo: El enunciado!x, x 2 = 4 es verdadero si el conjunto universo es el de los, ero es falso cuando el universo del conjunto de los, ues este universo tiene dos números, el 2 y -2, ue cumlen con la condición x 2 = 4. Es decir:!x, x 2 = 4 es verdadero en los, ya ue x 2 = 4 x = ±2 ero -2 no ertenece a los, or tanto x=2 es el conjunto de verdad en los. CIRCUITOS LÓGICOS CIRCUITOS CONMUTADORES: Un circuito conmutador es un circuito eléctrico ue contiene interrutores ara el aso o interrución de la corriente. Para el diseño de estos circuitos designemos or y dos interrutores eléctricos ue dejan asar corriente y or ~ y ~ los ue no dejan asar corriente estos se ueden conectar or un alambre en serie o en aralelo. Gráficamente tenemos: 8
Figura (1) Figura (2) En la figura (1) se tiene un circuito en serie y se reresenta or: En la figura (2) se tiene un circuito en aralelo y se reresenta or: v Observación: Su evaluación en tablas de verdad es: 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Donde: 1 = verdadero (V) 0 = falso (F) Ejemlo1: Describe simbólicamente el siguiente circuito: Solución: Observemos ue el circuito esta en serie y en aralelo, tenemos: y están en aralelo es decir: v, ( v ) y están en serie, es decir: ( v ) r y están en aralelo es decir: r v r, (r v ) y están n serie, es decir: r (r v ) Luego: la reresentación de todo el circuito es: [ ( v ) ] v [r (r v ) ] SIMPLIFICACION DE CIRCUITOS: r r Para la simlificación de circuitos se debe tener en consideración las leyes de euivalencia. Ejemlo 2: Del ejemlo anterior se tiene ue el circuito ueda simlificado de la siguiente manera: [ ( v ) ] v [r (r v ) ] Ξ { [ ( v )] } v { [r (r v ) ] } Ξ ( ) v (r ) Ξ [ ( ) v r] [ ( ) v ] Ξ [ ( ) v r] Ξ [ ( v r) ( v r) ] Ξ [ ( v r) ] ( v r) Ξ ( v r) Luego: se obtiene el circuito: r 9
Ejemlo 3: Simlificar el siguiente circuito Solución: Tenemos: {[ ( v ) ] v [ ( v ) ] } ( v ) Ξ { ( ) v [( ) ] } ( ) Ξ { ( ) v [( ( )]} ( ) Ξ { ( ) v ( F)} ( ) Ξ { ( ) v F} ( ) Ξ {( )} ( ) Ξ ( ) ( ) Ξ F F Ξ F ANEXO Nº 03 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº 04 DESARROLLO LOS CONTENIDOS DE FORMA COLECTIVA. I. Simbolizar los siguientes enunciados: 1. Todo es erecedero. 2. Hay marcianos. 3. Alguien no es erfecto. 4. No hay cosas sólidas. 5. Si todo es rojo, hay algo rojo. 6. Nada se mueve. 7. No todo es erecedero. 8. Nada es erecedero. 9. Existe un número real ue no es ositivo y no es negativo. 10. Existe un aralelogramo ue es euilátero y euiángulo. 11. Todo número real elevado al cuadrado es no negativo. 12. Existe un número real; ue sumado con cualuier número real, da or resultado este último. 13. Hay cisnes negros. 14. Existen animales carnívoros. 15. Hay números erfectos. 16. Existen ciudades de clima frío. 17. Todos los nevados son colombianos. 18. Hay cetáceos ue son eces. 19. Algunos números negativos no son enteros. 20. Algunos gobernantes no resetan la libertad. II. Negar los enunciados de la arte II. III. Exresar en el lenguaje corriente los enunciados simbolizados ue se resentan a continuación: Sean: 10
A(x) : x es un animal H(x) : x es un hombre M (x) : x es un mamífero V( x) : x es un vertebrado 1. x / A(x) V( x) 2. x / A(x) V( x) M (x) 3. x : H(x) [A(x) M (x) V( x)] 4. x : A(x)) [V( x) V( x)] 5. [ x / H(x) M (x)] 6. [ x : A(x) M (x)] 7. x / A(x) M (x) 8. x : H(x) M (x) 9. x: H(x) [M (x) H(x)] 10. x / A(x) [V( x) M (x)] I. Negar los enunciados de la arte III. II. Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados, considerando como universo el conjunto de los números reales. 3 11. x. x = x. 12. x : 2 x + 5 = x 2 13. x : x + 3x 2 = 0 14. x. x 3 < x 2 15. x : x 2x + 5 0 16. x. 2 x + 3x = 5x 17. x. x + 3 > 6 18. x : x + 3 > 9 19. x x 2. 10 8 20. 2 x : 2x = 18 III. Negar los enunciados de la arte V. IV. Simlificar los siguientes circuitos: 21. ~ ~ ~r ~ 22. 23. ~ ~ ~ ~ 11
1. ~ ~ ~ 2. ~ ~ ~ ~ ~ I. Determinar los circuitos lógicos ue reresentan los siguientes esuemas moleculares: 3. ~ [ ~ (r v )] 4. ~ ( ~ )] 5. ( ) ( ) 6. [~ ( v ) v (~ ] ( ) 7. ( v ) (~ ~ ) 8. ( r) 9. ( r) 10. ( ) 12