EXPRESIONES ALGEBRAICAS OPERACIONES CON POLINOMIOS 1) Dados los siguientes polinomios: P()=2³ 3 + 2, Q()= 3³ + ² + 2 3, opera: P() +Q() 3 P() + 2 Q() P() Q() P() Q() 2) Saca factor común: 3² 3 + 3 12 ⁴ + 6² 18 6²y³ 9y² + 9y 5³y³ + 10²y³ 3²y² + ²y 3) Calcula: ( 1) ( + 3)² (2 + 3) (3 2) ( + 1) ( 2+ 1 3) ( 2 1 3)( 2 1 3 ) (2 1)⁵ 4) Epresa estos polinomios como un producto notable: ² 6 + 9 ² + 2 + 1 ² 4 9² 3+ 1 4 ² 1 9 4² + 12 + 9 g) ² 5 h) 9 4 4 +² + 1 9 5) Divide los siguientes polinomios y eprésalos como D = d c + r: (4 ⁵ 2³ + 6² 1) : (2² +1) (3 ⁴ + ³ 2 + 3) : ( + 2) ( ⁴ 4³ + 6² 4 + 1) : (² 2 + 1) ( ⁵ 2 ⁴ + ³ 3) : (³ + 2) 6) Calcula el valor de k para que el polinomio P()=³ + ² 2 + k sea divisible por 2. 7) Verifica que el polinomio P()=2³ 8² + 8 6 es divisible por 3 sin hacer la división. 8) La división de ³ + a + 2 entre 2 da de resto 6. Cuánto vale a? www.mathematika.org 1
9) Factoriza los siguientes polinomios: ⁴ 5³ ² + 5 2 ⁴ + 6³ + 6² + 2 ⁵ + ⁴ 5³ + 3 ⁵ ⁵ 2³ + 2 ⁶ ⁵ 5 ⁴ + ³ + 3² FRACCIONES ALGEBRAICAS 10) Factoriza y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 2 + y+ y ² 4 ² 4+ 4 2³ 2 4 4 +8 3 +4 2 3 2 2 3 3 +3 2 +3 g) h) y 5 4y 4 ( 5) y+6 4y 6 4 2 4 +5 3 5 +2 2 4 +7 3 +3 2 8 4 5 5 2 4 +2 3 2 2 + 6 8 4 +16 2 3 4 2 +4 11) Opera y simplifica: 2 +1 2 +2 + 2 2 2 +3 + 2 3 12 2 9 3 2 4 4+4 3 6 1 2 1 + 1 1+ 1 1+ 1 1 (1+ 1+ 1 1+ 1 )2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 12) El coste de producir chips de memoria de ordenador (0 5) viene dado por la epresión C ()= 4 5 2 +8 en unidades monetarias. El precio por unidad al que se pueden vender las unidades producidas es P ()= 1 2 2 +20 unidades monetarias. Indica los ingresos que se obtienen al producir y vender dos unidades. Escribe el polinomio que determina el beneficio según las unidades producidas y vendidas. Indica el beneficio si se han producido y vendido tres unidades. Indica el beneficio si se han producido y vendido cinco unidades. Interpreta el resultado. www.mathematika.org 2
13) Los costes, en euros, de fabricar pares de zapatillas deportivas vienen dados por la epresión C ()= 4 25 2 +70 +600 : Calcula el coste total que supone fabricar cincuenta pares de zapatillas. Indica cuáles son los costes fijos. Indica cuáles son los costes variables. Indica cuáles son los costes totales para cada par de zapatillas cuando se fabrican pares. Indica cuáles son los costes variables para cada par de zapatillas cuando se fabrican pares. Indica cuáles son los costes totales por cada par de zapatillas cuando se fabrican setenta y cinco pares. 14) La pista de un polideportivo tiene forma de rectángulo con dos semicírculos de diámetro igual a los lados cortos. Si su perímetro es de 200m, halla la superficie que encierra en función del radio de los semicírculos. 15) Se quiere construir el marco de una ventana rectangular de 4 m² de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 16, y el de tramo vertical 25. Epresa el coste del marco en función de la longitud del tramo horizontal. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 16) Resuelve las siguientes ecuaciones: 3² 27 = 0 2² 4 = 0 16² 25 = 0 5² + 7 = 0 ² 7 + 12 = 0 ² + 8 + 15 = 0 g) ² + 6 = 9 h) 2² = 10 12 i) ² + 3 + 5 = 0 j) 6² 6 = 5 17) Resuelve las siguientes ecuaciones: 3 ( 3)² 2 = 5 (3 ) ( 1)² + 2 ( 2)² = 1 1 2 3 3+2 =1 3 ( 3) 2 1 3 =2 i) ( 1) 15 + ( 6)2 5 ( 2) ( 3) = 0 ( 3)² = 0 + ( +2)2 = (3 2) (3 4) 3 15 g) (2 3) (2 + 3) = 0 h) (5 + 7) = 0 www.mathematika.org 3
18) Escribe una ecuación de segundo grado tenga por soluciones: = 1 ; = 3 = -2 doble = 0 ; = 2 = 3 ; = 3 Sin solución 19) Resuelve las siguientes ecuaciones: ⁴ 5² + 4 = 0 4 ⁴ + 7² 2 = 0 ⁴ 4² + 3 = 0 ⁶ 9³ + 8 = 0 ⁴ + 2² + 1 = 0 2 ⁴ 2² + 4 = 0 20) Resuelve las siguientes ecuaciones: 2 3 =2 3 3 1=2 3 (2 1) 1 20=0 4+5 5= 3 5 5 3 3 2 = 2+ 4= 12 21) Resuelve las siguientes ecuaciones: ⁵ ⁴ 5³ ² 6 = 0 6³ 7² 14 + 15 = 0 ⁵ = 0 ⁵ ⁴ ³ + ² = 0 ( 1)² ( + 2) (2 + 3) = 0 ² ( + 1)³ (3 1) (2 + 1) = 0 22) Resuelve las siguientes ecuaciones: 2 + 1 2 =5+5 1 3+ =2 1 3+ 1 =2 +9 5+ +2 = 122 2 +2 1 2 +2 2 1 = 1+ 6 2 = 5 23) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por los tres métodos: 2 + y 3 =4 3 y 1 2 =0 3 + y=1 +2y + y+2 =0 3 4 + y 2 = 1 y 2 = y+1 =2y +1 2 2 1 2y 3 = 5 3 2 www.mathematika.org 4
24) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales: 1 + 1 y = 5 6 y=6 2 y=4 2 + y =13 2 1 + 1 y 2 =1 2 y+2=0 2 25 + y2 9 =1 +2y=4 2 + y=44 y 2 + y=77 + y=11 y=77 25) Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss y estudia su compatibilidad: +3y 2z=6 + 2y 2z=4 +3y 2z= 6 2 +3y 2z=8 2+ 5y 2z=10 2 3y +5z=6 4 +2y 6z=6 4 +9y 6z=18 5 3y +8z=6 +2y 3z=3 3 2y +z=7 5+ 2y 5z=1 3+2y z=0 2+ y+3z=0 3y+2z=0 2+ y 2z=8 2 4y+3z= 2 4 y+6z= 4 26) En un test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,25 puntos por cada error. Si mi nota ha sido 10,5 cuántos aciertos y cuántos errores he tenido? 27) Una empresa fabrica dos tipos de bicicletas, A y B. Para fabricar una del modelo A, se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para una del modelo B, 2 kg de cada uno de esos materiales. Si la empresa dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio, cuántas bicicletas de cada tipo puede fabricar? 28) Cuántos litros de nata con un 35% de grasa se han de mezclar con leche con un 4% de grasa para obtener 20 litros de leche con un 25% de grasa? 29) La suma de tres números es 12. Cuando restamos el tercer número a la suma de los otros dos, el resultado es 2, y si a la suma del tercero más el doble del primero se le resta el segundo, el resultado es 7 Cuáles son los tres números? 30) Dos capitales iguales se colocan al 3% y al 4% respectivamente durante un año. El segundo produce doce euros y medio más de intereses que el primero. Cuál era el capital inicial? 31) Una fábrica de perfumes dispone de seiscientos litros de un producto A y cuatrocientos de otro producto B. Mezclando ambos productos en diferentes proporciones se obtienen esencias diferentes. Se quieren preparar dos clases de perfume: la primera lleva tres partes de A y una de B y su precio será de cincuenta euros el litro, y la segunda lleva la misma cantidad de A que de B y se venderá a sesenta euros el litro. Cuántos litros de cada clase de perfume se podrán preparar? Qué ingresos totales se obtendrán? www.mathematika.org 5
32) Se compra un libro y una pulsera. La suma de los precios es de treinta y cinco euros pero hay una rebaja del seis por ciento en libros y del doce por ciento en la pulsera, así que sólo se deben pagar treinta y cuatro euros con cuarenta céntimos Cuál era el precio indicado del libro y de la pulsera? Cuánto se ha pagado al final por cada uno de ellos? 33) Julia, Clara y Miguel reparten hojas de propaganda. Clara reparte siempre el 20% del total, Miguel reparte 100 hojas más que Julia. Entre Clara y Julia reparten 850 hojas. Cuántas hojas reparte cada uno? 34) El área de un rectángulo es de treinta y cinco unidades cuadradas. Si se aumenta un lado en dos unidades y se disminuye otro en tres unidades, el área disminuye en diecisiete unidades cuadradas. Halla las dimensiones del rectángulo inicial 35) A primera hora de la mañana, en un cajero automático se quieren tener ochocientos billetes de diez, veinte y cincuenta euros, con un valor total de dieciséis mil euros. Si por cada tres billetes de cincuenta hacen falta cuatro de veinte cuántos billetes de cada tipo debe haber? www.mathematika.org 6
INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 36) Resuelve las siguientes inecuaciones: 8 3 +2 0 2 2 0 2 3 5 < 3(2 5) 4( 2) 2 4 3 +2 4 + 3 18 8 9 3+ 2 3 > 4 6 37) Halla y representa gráficamente las soluciones de las siguientes inecuaciones: 2 + 12 0 5 2 +1 32 1 4 2 2 1<0 2 2 10 8>0 (3 5)(5+2) 0 ( 2) 2 +5 2 g) 3 2 + 5 6 2<22 + 2 3 + 2 h) ( 2) 2 +( +4)( 2)+3 1 38) Representa el semiplano que epresan las siguientes inecuaciones: y 2 3 y 0 y> 3 <3 + y<4 g) 2+3y<3+ y 2 3+ 2y 1 h) 3(+2y) 2> 2y+1 39) Resuelve gráficamente los siguientes sistemas indicando los puntos en que se cortan las rectas: y> 1 + y 0 y< + 2 y 0 1 y 2 1 y> y 2 + y 2 y 3 g) 1 + y 1 3 2+ 3y 12 2y< 1 + y 2 y<1 y 0 h) + y 2 2+ 2y 4 2y 2 y 2 40) Halla el área de la región encerrada en el ejercicio 39-g. www.mathematika.org 7
41) www.mathematika.org 8