8. Series uméricas Aálisis de Variable Real 204 205 Resume Aquí veremos el cocepto de serie, que o es más que el de suma ifiita. Veremos que alguas de ellas se puede sumar y otras o. Aprederemos a sumar alguas de ellas, y, e muchos casos, aprederemos métodos para dilucidar si ua serie se puede sumar o o. Ídice. Defiició y propiedades básicas.. Itroducció....2. Series y sumas parciales....3. Propiedades básicas de las series... 4.4. Series telescópicas... 4.5. Criterios del Resto y de Cauchy... 5 2. Series de térmios o egativos 7 2.. Criterios de acotació y comparació... 7 2.2. Criterios de la Raíz y del Cociete... 9 2.3. Criterios para series de térmios o egativos y decrecietes... 6 3. Criterios para series co térmios si sigo fijo 25 3.. Criterio de Comparació geeral... 25 3.2. La series alteradas y el Criterio de Leibiz... 25 3.3. Series absolutamete covergetes... 27 3.4. Criterios geerales de la Raíz y del Cociete... 28 3.5. Criterios de Abel y Dirichlet... 30 4. Comutatividad de las series 33 4.. Reordeacioes... 33 4.2. Teoremas de reordeació... 36
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. Defiició y propiedades básicas.. Itroducció Cocepto de serie Iformalmete, ua serie es ua suma de ifiitos sumados. Estas sumas se usa implícitamete, por ejemplo, al cosiderar desarrollos decimales ilimitados de los úmeros reales: así, la igualdad 7{3 2,333...sigifica 7 3 2 ` 3 0 ` 3 00 ` 3 000 `, suma co ifiitos sumados de la forma 3{0, P N. E geeral, cosideraremos ua sucesió cualquiera pa q y su suma 8 a. Qué setido habrá que darle a esta suma? La respuesta se impoe de modo atural: 8 a tiee que ser lím m mñ8 a. Aalizado el proceso aterior, se trata de formar mediate la sucesió de sumados pa q ua ueva sucesió de sumas ps m q dada por s m a `a 2 ` `a m, m P N, y determiar el límite (si existe) de esta última sucesió. Esquemáticamete, lugar 2 3 4...... térmio a a 2 a 3 a 4... a... suma a a ` a 2 a ` a 2 ` a 3 a ` a 2 ` a 3 ` a 4... a ` `a... Ahora bie: si, e defiitiva, vamos a parar al estudio de la covergecia de ua sucesió, qué ovedad vamos a ecotrar respecto a lo que ya sabemos de sucesioes? El cambio radica e el puto de partida: tomado como dato la sucesió de sumados pa q, os plateamos determiar propiedades de la sucesió de sumas ps q basádoos e propiedades de los térmios a..2. Series y sumas parciales Qué es ua serie? Defiició 8.. (I) Ua serie 8 a es u par ordeado de sucesioes ppa q, ps qq relacioadas por la codició de que para cada P N es s a ` `a. (II) El térmio -ésimo de la primera sucesió, a, recibe el ombre de térmio -ésimo de la serie. (III) El térmio -ésimo de la seguda sucesió, s, recibe el ombre de suma parcial -ésima de la serie.
Series covergetes y divergetes Defiició 8.2. (I) Se dice que la serie 8 a es covergete si la sucesió ps q de sus sumas parciales es covergete, es decir, si existe y es fiito el límite ÿ lím s lím a k. (II) Decimos que la serie 8 a es divergete a 8 si la sucesió de sus sumas parciales es divergete a 8 oa8, respectivamete. (III) Decimos que la serie 8 a es oscilate si la sucesió de sus sumas parciales es oscilate. (IV) Si ua serie 8 a es covergete o divergete, se llama suma de dicha serie al límite de la sucesió de sus sumas parciales. Dicha suma se represeta tambié 8 a. A veces es cómodo cosiderar series de la forma 8 m a, dode m es u úmero etero: las sumas parciales estará etoces defiidas solo a partir de m y será s m a m, s m` a m ` a m`,...,s a m ` `a m ` a m,... Se utiliza tambié la otació 8 m a e vez de a m ` a m` ` `a `... y, cuado o da lugar a cofusió, se abrevia como a. Ejemplos. (Serie geométrica) ar. 0 k La suma parcial de esta serie es de la forma s m a ` ar ` ar 2 ` `ar ` ar ap ` r ` r 2 ` `r m ` r m q # a rm`, si r, r pm ` qa, si r. Excluyedo el caso trivial e que a 0, se obtiee: (a) si r, la serie 8 0 ar es covergete y su suma es a{p rq. (b) Si r, la serie es divergete a 8 si a 0 oa8 si a 0. (c) Si r la serie oscila etre 0 y a. 2
(d) Si r la serie oscila etre 8 e 8. (Serie armóica). Sus sumas parciales se suele deotar como h m, y teemos h m mÿ m ÿ ª ` ª dx m` x dx x logpm ` q. Luego la serie armóica diverge a 8 a pesar de que lím p{q 0. La covergecia o depede de los primeros térmios U hecho importate es que el comportamieto de ua serie o se ve afectado por el valor de los primeros térmios de la misma. Proposició 8.3. Cosidérese ua serie 8 a y u atural m. Etoces las series 8 a y 8 m a tiee siempre el mismo carácter. Más específicamete: (I) 8 a coverge si, y solo si, lo hace 8 m a. Si coverge, etoces a m ÿ a ` m a. (II) 8 a diverge a 8 si, y solo si, lo hace 8 m a. (III) 8 a diverge a 8 si, y solo si, lo hace 8 m a. (IV) 8 a es oscilate si, y solo si, lo es 8 m a. Demostració. Basta observar que para cada p m es pÿ a m ÿ a ` y que m a es ua catidad fija (idepediete de p), y aplicar la Defiició 8.2 y los resultados coocidos para sucesioes. 3 pÿ m a,
.3. Propiedades básicas de las series Liealidad de la suma de series Proposició 8.4. Sea 8 a y 8 b dos series covergetes. Cualesquiera que sea, P R, la serie 8 p a ` b q es covergete y se tiee p a ` b q a ` b. Demostració. Basta teer e cueta que pÿ p a ` pÿ b q a ` pÿ b para todo atural p. Corolario 8.5. Si 8 a coverge y 8 b o coverge, etoces o coverge 8 pa ` b q. Demostració. Si la serie 8 pa ` b q covergiera, etoces la serie b `pa ` b q`pqa tambié covergería, segú la Proposició 8.4. Ejemplo. 8 p ` 2 q o coverge. E efecto, 8 o coverge, mietras que 8 sí. 2.4. Series telescópicas Series telescópicas Proposició 8.6. Sea pa q y pb q dos sucesioes de úmeros reales tales que para todo P N se cumple a b b `. Etoces la serie 8 a (deomiada serie telescópica) es covergete si, y solo si, la sucesió pb q coverge, e cuyo caso teemos a b lím b. 4
Demostració. Basta teer e cueta que las sumas parciales de la serie 8 a so pÿ s p Ejemplos. a pb b 2 q`pb 2 b 3 q` `pb p b p q`pb p b p` q b b p`. p ` q. La suma parcial p-ésima es simplemete s p pÿ p ` q pÿ ` p `, co lo que lím p s p. Es decir, la serie 8 a coverge y su suma es. log `. La suma parcial de orde p es pÿ a pÿ log ` pÿ `logp ` qlog logpp ` qlog logpp ` q, que tiede a 8. Es decir, la serie 8 logp ` {q diverge a 8..5. Criterios del Resto y de Cauchy El Criterio del Resto Proposició 8.7 (Criterio del Resto). Si la serie 8 a coverge, debe cumplirse que lím a 0. Demostració. Si ps p q es la sucesió de las sumas parciales, es decir s p p a, etoces, si la serie coverge, existe y es fiito el límite l lím p s p. Teiedo e cueta que a p s p s p, para p 2, deducimos que lím p a p lím p s p lím p s p l l 0. 5
Ejemplos.. ` Como lím lím ` ` ` e 0, el Criterio del Resto 8.7 os permite asegurar de esta maera que la serie estudiada o coverge. (Serie armóica). Hay que ser muy cuidadosos co la aplicació del Criterio del Resto 8.7. Esta serie o coverge, como ya hemos visto ateriormete. Si embargo, obsérvese que el térmio geeral de la serie verifica la codició del Criterio del Resto 8.7, ya que lím p{q 0. Esto evidecia que dicho criterio es ua codició ecesaria, pero o suficiete. El Criterio de Cauchy Como ocurría co las sucesioes, o co las itegrales impropias, a veces podemos comprobar si ua serie coverge o o, si ecesidad de hallar su suma. Veremos umerosos criterios que os permite decidir esto. El que vamos a ver a cotiuació es especialmete importate, pues está e la base de muchos de los demás. Teorema 8.8 (Criterio de Cauchy para series). Ua serie 8 a es covergete si, y solo si, para todo " 0 existe u 0 P N tal que, cualesquiera que sea m, P N co m 0, se cumple mÿ a k ". k Demostració. La serie es covergete si, y solo si, lo es la sucesió ps q de sus sumas parciales, lo que equivale a que ps q sea ua sucesió de Cauchy, y esto a su vez o es otra cosa que la afirmació de que para cada " 0 exista u 0 tal que para cualesquiera m, P N co m 0 sea s m s "; pero s m s mÿ a k k ÿ k a k mÿ a k. k 6
Ejemplos.. Veremos ua vez más que la serie armóica o coverge, comprobado esta vez que o se cumple la codició de Cauchy 8.8. Para ello, sea " {2. Veremos que, dado u 0 P N arbitrario, siempre podemos ecotrar m, P N tales que m 0 y m k p{kq ". E efecto, sea 2 0 ` y m 2 0. Etoces, m 0 y 0 mÿ k!. k pm ` q m p20 2 0 ` q 2 0 2 ". Esta serie coverge ya que verifica la codició del Criterio de Cauchy 8.8. (E realidad, ya sabemos por el Tema 5 que coverge a e.) E efecto, para u " 0 arbitrario, fijemos u 0 4 tal que { 0 ". Obsérvese etoces que 2 k k! si k 4, así que, si m, P N so tales que m 0, se obtedrá mÿ k mÿ k! k 2 ` k 2 2 ` 2 ` ` 2 2 m 2 2 m` 2 2. Series de térmios o egativos 2.. Criterios de acotació y comparació 2 0 ". El Criterio de Acotació El estudio del carácter de ua serie se simplifica cuado esta es de térmios o egativos. Proposició 8.9 (Criterio de Acotació). Sea 8 a ua serie tal que a 0 para cada P N. Etoces 8 a coverge si, y solo si, la sucesió ps q de sus sumas parciales está acotada superiormete. E caso cotrario, la serie diverge a 8. 7
Demostració. Puesto que para cada P N es s ` s a ` 0, la sucesió ps q es creciete. Luego, o bie está acotada superiormete y coverge, o bie o está acotada superiormete y diverge a 8. Ejemplo. 0!. Observemos que para, siempre es! 2. Por tato, cualquiera que sea p P N, pÿ 0 pÿ! ` ` El Criterio de Comparació 2 ` 2 ` 2 2 ` ` 2 p ` 2 p 2 3. Teorema 8.0 (Criterio de Comparació, de Gauss). Sea 8 a y 8 b dos series tales que 0 a b para 0. Si 8 b coverge, tambié coverge 8 a. E cosecuecia, si 8 a diverge, tambié lo hace 8 b. Demostració. Sabemos que 8 a tiee el mismo carácter que 8 0 a,y que 8 b tiee el mismo carácter que 8 0 b. Deotado por ps q la sucesió de sumas parciales de 8 0 a y por pt q la de 8 0 b, se sigue que para cada 0 es s t, luego si pt q está acotada superiormete, tambié lo está ps q. Basta aplicar ahora el Criterio de Acotació 8.9. El Criterio de Comparació Asitótica Teorema 8. (Criterio de Comparació Asitótica). Sea 8 a y 8 b series de térmios o egativos. Supogamos que existe lím a b l P R. (I) Si l 8y la serie 8 b coverge, etoces la serie 8 a tambié coverge. (II) Si 0 l y la serie 8 b diverge, etoces la serie 8 a tambié diverge. (III) Si 0 l 8etoces las dos series 8 a y 8 b tiee el mismo carácter. 8
Demostració. Observemos e primer lugar que para que exista lím a {b debe ser b 0 a partir de u determiado térmio, así que supodremos que es b 0 para todo P N. Pasemos ahora a probar cada uo de los apartados. (I) Sea r l. Etoces existe algú 0 P N tal que a {b r para todo 0, es decir, 0 a rb para todo 0. Si la serie 8 b coverge, etoces tambié la serie 8 rb coverge y, por el Criterio de Comparació 8.0, la serie 8 a coverge. (II) Basta itercambiar e (I) los papeles de pa q y pb q y teer e cueta que ua serie de térmios o egativos solo puede coverger o diverger. (III) Basta aplicar los apartados (I) y (II). U caso particular importate a la hora de aplicar el Criterio de Comparació Asitótica 8. es cuado pa q y pb q so sucesioes equivaletes. Observemos que e este caso se tiee lím a {b, por lo que podemos aplicar el apartado (III), y así las series 8 a y 8 b tedrá el mismo carácter. Ejemplo. log ` Basta observar que la sucesió logp ` {q es equivalete a la sucesió {, por lo que uestra serie tedrá el mismo carácter que la serie armóica 8 {, es decir, diverge. Hecho de otra forma, log ` lím lím log ` log e. Por tato, llegamos tambié así a la coclusió de que esta serie tiee el mismo carácter que la armóica y, por tato, diverge.. 2.2. Criterios de la Raíz y del Cociete Criterios de la Raíz y del Cociete La comparació co las series geométricas proporcioa dos criterios muy útiles e la práctica: el Criterio de la Raíz 8.2 y el Criterio del Cociete 8.3. Después veremos, e los teoremas 8.24 y 8.25, versioes más geerales para series de térmios cualesquiera, así que dejamos la demostració para etoces. Teorema 8.2 (Criterio de la Raíz, de Cauchy). Sea 8 a ua serie de térmios o egativos. (I) Si lím sup? a, la serie 8 a es covergete. 9
(II) Si lím sup? a, la serie 8 a es divergete. Teorema 8.3 (Criterio del Cociete, de D Alembert). Sea 8 a ua serie de térmios positivos. (I) Si lím sup a ` {a, la serie 8 a es covergete. (II) Si lím if a ` {a, la serie 8 a es divergete. Observacioes. Ejemplos. Fijémoos e que e el Criterio de la Raíz 8.2 solamete aparece implicado el límite superior, mietras que e el del Cociete 8.3 hay que cosiderar límite superior e iferior. De todas formas, e la mayor parte de los casos prácticos, aparece u límite, así que e geeral o es ecesario hacer esta distició. Si los límites que aparece e los dos criterios ateriores vale, estos o da iformació. Siempre que el Criterio del Cociete 8.3 da iformació, tambié da iformació el Criterio de la Raíz 8.2. A veces, este último da más iformació que el primero. Esto se debe a que, como hemos visto e el Tema 5, los límites superior e iferior de? a está situados etre los límites superior e iferior de a ` {a, así que cuado, por ejemplo, lím sup a ` {a, tambié se cumple que lím sup? a. Si embargo, e muchos casos prácticos, ambos da exactamete la misma iformació. E efecto, la mayoría de las veces o os hará falta cosiderar límites superior e iferior, ya que existe límite. Obsérvese que, cuado existe lím a ` {a, tambié existe lím? a, y además ambos coicide. Así que ambos criterios da e este caso la misma iformació. E el Criterio del Cociete 8.3, la codició utilizada para la divergecia de que lím if pa ` {a q puede ser sustituida por la más débil a ` {a, si 0. E efecto, e este caso la sucesió pa q será creciete a partir del térmio 0 -ésimo, lo cual hará imposible que la serie verifique el Criterio del Resto 8.7.. 0
E este caso, iguo de los dos criterios os resuelve el problema. E efecto, si llamamos a {, teemos que lím a ` {p ` q lím a { lím `, así que el Criterio del Cociete 8.3 o da iformació. Por las observacioes que hemos hecho hace u mometo, podemos adiviar que tampoco dará iformació el Criterio de la Raíz 8.2, pero vamos a hacer los cálculos de todas maeras. Se tiee lím? a lím?, co lo que el Criterio de la Raíz 8.2 o da iformació, como ya habíamos vaticiado. Observemos que e este caso, e que el límite sale e cualquiera de los dos criterios, ya sabíamos ateriormete que la serie o coverge. 2. Tampoco para esta serie os da iformació iguo de los dos criterios. E efecto, si a { 2, se tiee lím a ` {p ` q 2 2 lím lím. a { 2 ` El lector podrá verificar fácilmete que el límite del Criterio de la Raíz 8.2 tambié vale. E este caso, a diferecia de lo que ocurría e el ejemplo aterior, podemos comprobar fácilmete que la serie sí que coverge. E efecto, si 2, teemos que 2 p q. Como la serie 8 2`{p q { coverge (por ser telescópica), el Criterio de Comparació?? os dice que 8 {2 tambié coverge.!. 0 Auque hemos cometado que, e líeas geerales, ambos criterios da la misma iformació, frecuetemete hay que elegir uo u otro depediedo
de cuál de ellos os dé cálculos más secillos. Para la serie que estudiamos e este mometo, la existecia de u factorial e el deomiador os hace pesar que la aplicació del Criterio del Cociete 8.3 es más secilla, ya que se produce ua coveiete simplificació. E efecto, si llamamos a {!, obteemos lím a ` {p ` q! lím a {!! p ` q! ` 0. E cosecuecia, la serie coverge (cosa que ya habíamos visto ateriormete de uas cuatas maeras). 2 plog q. E este otro caso, la presecia de ua potecia -ésima e el deomiador os sugiere utilizar el Criterio de la Raíz 8.2. Sea a plog q. Etoces lím? a lím log 0, y el Criterio de la Raíz 8.2 os da la covergecia de la serie. #, si k!, kp N, 2 a, dode a, e caso cotrario. 3 Este es u ejemplo e que el Criterio del Cociete 8.3 o da iformació, mietras que el Criterio de la Raíz 8.2, sí. Itetemos primero aplicar el Criterio del Cociete 8.3. Estudiemos los diferetes valores de a ` {a segú que o ` sea o o factoriales. Si, tato como ` so factoriales, así que a 2 a {22 {2 2. Si k! para u k, observamos que ` o es u factorial, así que a ` a {3` {2 3 2. 3 Si k!, dode k P Nzt, 2u, etoces o es u factorial, pero ` sí, de modo que a {2` ` 3. a {3 2 2 2
E todos los demás casos, resulta que i i ` so factoriales, y por tato a ` a {3` {3 3. Resumiedo, $ {2, si, a & ` 2 3 3, si k!, kp Nztu, a 2 % 3 2, si k!, kp Nzt, 2u, {3, todos los demás casos. Observamos así que la sucesió pa ` {a q tiee tres límites subsecueciales, que so 0, {3 e 8. E cosecuecia, lím if a ` {a 0 y lím sup a ` {a 8, y igua de las dos cosas sirve para obteer iformació del Criterio del Cociete 8.3. Veamos ahora qué pasa si aplicamos el Criterio de la Raíz 8.2. Es imediato que #?, si k!, kp N, a 2 3, e caso cotrario. Esto os dice que los límites subsecueciales de la sucesió p? a q so {2 y {3. Por tato, lím sup? a {2. El Criterio de la Raíz 8.2 os dice de esta forma que la serie coverge. El Criterio de Raabe El Criterio de Raabe 8.4, que estudiamos a cotiuació, es u iteresate complemeto para los dos ateriores. Normalmete coduce a cuetas más complicadas que las que produce el Criterio del Cociete 8.3, pero fucioa a veces cuado este o. Por eso, la estrategia geeral será itetar aplicar el Criterio del Cociete 8.3 y, si esto o fucioa, pasar al Criterio de Raabe 8.4 a cotiuació. Teorema 8.4 (Criterio de Raabe). Sea 8 a ua serie de térmios positivos. (I) Si lím if p a ` {a q, la serie 8 a es covergete. (II) Si existe 0 P N tal que pa ` {a q para todo 0, e particular si lím sup p a ` {a q, la serie 8 a es divergete. 3
Demostració. (I). Sea l lím if p a ` {a q, y elijamos u r tal que r l. Como lím if a` r, a existe u 0 P R tal que de dode De aquí obteemos que a` a r si 0. a ` p rqa si 0. p qa a ` p qa p rqa pr qa si 0. () Como pr qa 0, esta última desigualdad implica que la sucesió pp qa q es decreciete a partir del 0 -ésimo térmio. Como además resulta que es positiva, queda probado así que la sucesió pp qa q es ua sucesió covergete. Esto implica que la serie telescópica 8 pp qa a ` q es covergete. Teiedo e cueta la desigualdad (), el Criterio de Comparació 8.0 asegura que 8 a es covergete. (II) Supogamos ahora que para u cierto 0 P N (que supoderemos diferete de ) se tiee a` para todo 0. a Esta desigualdad puede ser reescrita como sigue: a ` p qa para todo 0. Por tato, la sucesió pp qa q es ua sucesió creciete a partir del 0 -ésimo térmio. E cosecuecia, o sea, p qa p 0 qa 0 para todo 0, a p 0 qa 0 para todo 0. Empleado el Criterio de Comparació 8.0, y teiedo e cueta que la serie 8 2 p{p qq es divergete ( la serie armóica!), resulta que 8 a es divergete. 4
Observacioes. Hagamos otar, comparado co el papel que tiee los límites e los criterios del Cociete 8.3 y la Raíz 8.2, que e el Criterio de Raabe 8.4 este papel aparece completamete ivertido. Queremos decir co esto que e el Criterio del Cociete 8.3, por ejemplo, si el límite iferior es mayor que, etoces la serie diverge; e el Criterio de Raabe 8.4, e cambio, es cuado el límite superior es meor que cuado se obtiee la divergecia. Siempre que el Criterio del Cociete 8.3 da iformació, tambié la da el de Raabe 8.4. El recíproco es falso. E efecto, supogamos que el Criterio del Cociete 8.3 os iforma de que la serie 8 a coverge, es decir, teemos que Etoces de dode lím sup a ` a. lím if a` 0, a lím if a` 8 p q 8. a Por tato, el Criterio de Raabe 8.4 tambié os avisa de la covergecia de la serie. Si, por el cotrario, el Criterio del Cociete 8.3 os da que la serie diverge, es decir, se tiee a ` lím if, a etoces será de dode lím sup a` 0, a lím sup a` 8 p a q 8, así que tambié e este caso el Criterio de Raabe 8.4 coicide e que la serie diverge. Si embargo, cuado el Criterio del Cociete 8.3 da iformació, los límites que aparece e el Criterio de Raabe 8.4 da siempre los valores extremos, es decir, 8 y 8. Como veremos, estos límites e ocasioes resulta ser úmeros reales y, si so ambos meores que o ambos mayores que, e estos casos el Criterio de Raabe 8.4 da iformació, mietras que el del Cociete 8.3, o. 5
Ejemplos. 2. Sea a { 2. Ya hemos visto que el Criterio del Cociete 8.3 o resuelve la covergecia de esta serie. Vamos a aplicar ahora el Criterio de Raabe 8.4. Teemos a` 2 22 ` a p ` q 2 2 ` 2 ` Ñ 2. E cosecuecia, esta serie coverge. 3 5 p2 q. 2! Si escribimos etoces a ` a a 3 5 p2 q, 2! 3 5 p2 qp2 ` q{p2` p ` q!q 3 5 p2 q{p2!q 2 ` 2p ` q 2 ` 2 ` 2 Ñ, así que el Criterio del Cociete 8.3 o resuelve uestro problema. Co el Criterio de Raabe 8.4, e cambio, obteemos a` 2 ` a 2 ` 2 2 ` 2 Ñ De aquí se sigue que la serie diverge. 2. 2.3. Criterios para series de térmios o egativos y decrecietes El Criterio de Abel-Prigsheim Cuado trabajamos co series de térmios o egativos y decrecietes, se puede obteer ua mejora del Criterio del Resto 8.7. Teorema 8.5 (Criterio de Abel-Prigsheim). Sea pa q ua sucesió decreciete de térmios o egativos. Si la serie 8 a coverge, etoces lím a 0. 6
Demostració. Como la serie 8 a coverge, verificará el Criterio de Cauchy 8.8 y por tato, dado " 0, existe u 0 P N tal que si m 0 etoces k m a k "{2. E particular, para todo 0, será k 0 a k "{2. Como la sucesió pa q es decreciete, obteemos que p 0 ` qa a 0 ` a 0` ` `a ` a Por otro lado, si 2 0 será 2 2 2 0 2p 0 ` q. ÿ k 0 a k " 2. Teiedo e cueta que además 2 0 0, se tedrá para todo 2 0 que a 2p 0 ` qa 2 " 2 ". Hemos probado de esta maera que lím a 0. Ejemplos.. Obviamete, si a {, obteemos que a Û 0, así que el Criterio de Abel-Prigsheim 8.5 prueba de forma extremadamete secilla que la serie armóica diverge. 2 log. Si a { log, la sucesió pa q es positiva y decreciete y además a { log Ñ8, así que uestra serie diverge. 2 log. Veremos co este ejemplo que el recíproco del Criterio de Abel-Prigsheim 8.5 o es cierto. Es decir, este criterio, como ocurría co el del Resto 8.7, es ua codició ecesaria, pero o suficiete. Si a {p log q es el térmio geeral de esta serie, podemos observar que la sucesió pa q (que está defiida solo a partir de 2) es decreciete y positiva. Además, la sucesió a { log tiede obviamete a 0. Vamos a ver que, si embargo, la serie 8 2 a diverge. 7
E efecto, si desarrollamos las sumas parciales (de orde ua potecia de 2) de esta última serie y agrupamos térmios de forma coveiete, obteemos 2 k ÿ 2 log 2log2 ` 3log3 ` ` 4log4 ` p2 k ` q logp2 k ` q ` p2 k ` 2q logp2 k ` 2q ` ` 2 k log 2 k 2log2 ` 4log4 ` ` 4log4 ` 2 k log 2 ` k 2 k log 2 ` ` k 2 k log 2 k 2log2 ` 2 2k ` ` 4log4 2 k log 2 k 2log2 ` 2log4 ` ` 2log2 k 2log2 ` 2 ` ` k. Como las sumas parciales de la serie armóica o está acotadas, esto obliga a que las de la serie 8 2 {p log q tampoco lo esté, así que, por el Criterio de Acotació 8.9, esta serie diverge. a, dode a # 2 si es u cuadrado, e caso cotrario. Co este ejemplo mostraremos que la hipótesis de mootoía que aparece e el Criterio de Abel-Prigsheim 8.5 o es superflua. Es evidete que a # si es u cuadrado, e caso cotrario, así que la sucesió pa q o coverge a 0, ya que tiee ua subsucesió (la pk 2 a k 2q) que claramete coverge a. Si embargo, 8 a coverge, ya que si cosideramos ua de sus sumas parciales, podemos descompoer- 8
la e dos, obteiedo kÿ a kÿ a es u cuadrado kÿ es u cuadrado kÿ kÿ ` a o es u cuadrado ` kÿ 2 o es u cuadrado 2 ` kÿ 2 ÿ k 2 2. Como la sucesió 8 p{2 q coverge, sus sumas parciales estará acotadas superiormete y, segú la desigualdad que acabamos de probar, tambié estará acotadas superiormete las sumas parciales de 8 a. Esto implica, segú el Criterio de Acotació 8.9, que 8 a coverge. Así pues, la serie 8 a coverge, pero la sucesió pa q o coverge a 0. Esto parece cotradecir el Criterio de Abel-Prigsheim 8.5, pero o es así. Lo que ocurre es que la sucesió pa q o es decreciete. Esto resulta evidete si eumeramos sus primeros térmios:, 4, 9, 4, 25, 36, 49, 64, 9,... El Criterio de Codesació El siguiete criterio muestra que para ver el comportamieto de ua serie 8 0 a de térmios positivos y decrecietes o es ecesario cosiderar todos los térmios, ya que dicho comportamieto se codesa e ta solo uos pocos, por ejemplo, los de la forma pa 2 kq. Teorema 8.6 (Criterio de Codesació, de Cauchy). Sea 8 a ua serie de térmios positivos tal que pa q es ua sucesió decreciete. Etoces 8 a coverge si, y solo si, lo hace la serie 8 k 0 2k a 2 k. Demostració. De acuerdo co el Criterio de Acotació 8.9, solo debemos pregutaros cuádo las sumas parciales s p p a de la serie costituye ua sucesió acotada. Por otra parte, dado que la sucesió ps p q es claramete creciete, puede darse solo dos casos. Si ps p q está acotada, es evidete que todas sus subsucesioes será tambié acotadas. Si ps p q o está acotada, etoces diverge a 8, y todas sus subsucesioes tambié tederá a 8 y, por tato, o estará acotadas. 9
Esto quiere decir que todas las subsucesioes de ps p q comparte la misma coducta e cuato a acotació: o so todas acotadas, o so todas o acotadas. Por tato, para ver si la sucesió de sumas parciales ps p q es acotada o o, bastará que estudiemos ua de sus subsucesioes, por ejemplo, ps 2 pq. E cosecuecia, cosideraremos a partir de ahora ta solo las sumas parciales de la forma s 2 p 2 p k 0 a k. Defiamos, por otra parte, las sumas parciales t p p k 0 2k a 2 k. Desarrollado la suma parcial s 2 p y agrupado térmios, y teiedo e cueta que la sucesió pa q es decreciete, obteemos s 2 p ÿ2 p a a ` a 2 `pa 3 ` a 4 q`pa 5 ` a 6 ` a 7 ` a 8 q` `pa 2 p` ` `a 2 pq a ` a 2 ` 2a 4 ` 4a 8 ` `2 p a 2 p a 2 ` pÿ 2 k a 2 2 k 2 t p. k 0 Por otro lado, podemos optar por agrupar los térmios de s 2 p de maera diferete: s 2 p Hemos probado así que ÿ2 p a a `pa 2 ` a 3 q`pa 4 ` a 5 ` a 6 ` a 7 q` `pa 2 p ` `a 2pq`a 2 p a ` 2a 2 ` 4a 4 ` `2 p a 2 p ` 2 p a 2 p pÿ 2 k a 2 k t p. k 0 2 t p s 2 p t p. E cosecuecia, las sucesioes de sumas parciales pt p q y ps 2 pq so, o ambas acotadas, o ambas o acotadas. Ejemplos.. 20
Dado que la sucesió p{q es positiva y decreciete, podemos aplicar el Criterio de Codesació 8.6, cocluyedo que esta serie diverge, ya que tambié lo hace la serie 8 0 2k p{2 k q 8 0. 2 log. Segú el Criterio de Codesació 8.6, basta ver si coverge o o la serie 2 k log 2 k log 2 Como la serie 8 p2k {kq diverge, llegamos a la coclusió de que tambié lo hace 8 2p{ log q. Podemos observar e este ejemplo que este criterio es geeralmete bastate útil cuado el térmio geeral de la serie cotiee u logaritmo. La razó es que al pasar de ua serie a la otra, log se trasforma e log 2 k k log 2, co lo que el logaritmo queda icorporado a ua costate que o depede de k, lo que puede simplificar otablemete la serie. Esto lo veremos tambié e el siguiete ejemplo. 2 log. Esta serie tiee la misma coducta que la serie k 2 k 2 k log 2 k log 2 Como la serie armóica diverge, cocluimos que la serie que estamos estudiado tambié diverge. El Criterio de la Itegral El criterio que vamos a estudiar ahora es especialmete iteresate, pues evidecia ua fuerte relació etre las series y las itegrales impropias. Teorema 8.7 (Criterio de la Itegral, de Cauchy). Sea f : r, 8q Ñ r0, 8q ua fució decreciete. Etoces k (I) El límite lím p fpkq k fq existe y es fiito. (II) La itegral impropia 8 f es covergete si, y solo si, la serie 8 fpq coverge. 2 2 k k. k.
Demostració. (I). Sea d ÿ fpkq k Para ver que pd q es ua sucesió covergete, veremos que es moótoa y acotada. Observemos e primer lugar que, por ser f decreciete, se tiee de dode ª fp ` q fpxq fpq si x Pr, ` s, fp ` q De aquí obteemos por u lado que d ` d ˆ` ÿ k ˆ` fpkq ÿ fpkq k fp ` q ª ` ª ` ÿ k ª ` f. f fpq. ˆ ÿ f fpkq f 0. Esto os idica que la sucesió pd q es decreciete. Por otro lado, podemos escribir d ÿ fpkq k ÿ k ª k` k k ˆª ` fpkq ÿ ˆ f fpq` fpkq k f ª k` k ª ª f f f 0. Así, resulta que la sucesió pd q es siempre positiva y, por tato, acotada iferiormete. Cocluimos, segú el Teorema de la Covergecia Moótoa 4.9, que dicha sucesió tiee límite fiito. (II). Llamemos ˆ ÿ C lím k fpkq ª f. Segú el apartado (I), sabemos que C existe y es fiito. Podemos escribir kÿ ˆ kÿ fpq fpq 22 ª k ª k f ` f.
Pasado al límite e ambos miembros, obteemos que fpq C ` lo que os permite cocluir que la serie 8 fpq y la itegral impropia 8 f so, o ambas fiitas, o ambas ifiitas. Ejemplos.. El Criterio de la Itegral 8.7 resulta útil para tratar series porque os permite pasar al estudio de ua itegral impropia. Qué vetaja ofrece esto? Pues que e umerosas ocasioes la itegral impropia se puede calcular explícitamete, mietras que o es ta fácil hacer lo mismo co ua serie. E el caso que os ocupa, el Criterio de la Itegral 8.7 os dice que, e lugar de la serie, podemos estudiar la itegral impropia 8 p{xq dx. Calculado la itegral (cosa que e realidad ya hemos hecho ates), podemos ver que diverge, ya que ª 8 dx log xˇˇˇ8 8. x E cosecuecia, 8 p{q diverge. 2 log. Aplicado el Criterio de la Itegral 8.7, debemos estudiar la covergecia de la itegral impropia 8`{px 2 log xq dx. Calculemos explícitamete esta itegral, realizado el cambio de variable u log x, du dx{x. ª 8 ª dx 8 2 x log x du log uˇˇˇ8 8. log 2 u log 2 ª 8 Se cocluye de esta maera que la serie que estudiamos diverge. ª 8 0 ex2 dx. El Criterio de la Itegral 8.7 tiee la particularidad de que tambié se puede usar e el setido cotrario, para estudiar covergecia de itegrales impropias, pasado de ellas al estudio de series. La vetaja e este caso es f, 23
que a las series se les puede aplicar muchos criterios que o existe para itegrales impropias. E el ejemplo que estamos viedo, la itegral impropia o se puede calcular explícitamete de forma secilla; si embargo, la covergecia de la serie correspodiete es muy fácil de establecer. Segú el Criterio de la Itegral 8.7, deberemos estudiar la covergecia de la serie 8 e2. Si aplicamos el Criterio de la Raíz 8.2, obteemos lím? e2 lím e 0, así que la serie 8 e2 coverge, y tambié lo hace la itegral impropia 8 0 ex2 dx. Alguas aplicacioes (I) La costate de Euler o Euler-Mascheroi lím ÿ k log. k Aplicado el Criterio de la Itegral 8.7 a la fució f dada por fpxq {x, y teiedo e cueta que podemos ver que ª dx x log, ÿ k k log ÿ k ª k dx x tiee u límite fiito. (II) La fució de Riema, defiida para s por psq s. El Criterio de la Itegral 8.7 permite comprobar co facilidad que la serie 8 {s coverge si, y solo si, s. La fució zeta de Riema tiee 24
múltiples aplicacioes, especialmete e Teoría de Números (está muy relacioada co la distribució de los úmeros primos), auque tambié e otras áreas tales como la Física, la Teoría de Probabilidades y Estadística Aplicada. Hay expresioes más o meos secillas para p2q, P N, que fuero halladas por Euler. Se sabe, por ejemplo, que p2q 2 {6, p4q 4 {90... Si embargo, hasta fechas muy recietes (Apéry, 978) o se había podido probar ta siquiera que p3q es irracioal. 3. Criterios para series co térmios si sigo fijo 3.. Criterio de Comparació geeral El Criterio de Comparació, de uevo El Criterio de Comparació 8.0, que ya vimos para series de térmios o egativos, puede ser geeralizado a ua versió del mismo válida para series co térmios si sigo fijo. Proposició 8.8 (Criterio de Comparació, de Gauss). Sea 8 a, 8 b y 8 c tres series. Supogamos que, para todo P N, a b c. Si 8 a y 8 c coverge, tambié lo hace 8 b. Demostració. Como 8 a y 8 c coverge, tambié lo hará 8 pc a q. Como además se tiee 0 b a c a, el Criterio de Comparació (para series de térmios o egativos) 8.0 os da que 8 pb a q coverge. Se cocluye que la serie 8 b 8 pa `pb a qq tambié coverge. 3.2. La series alteradas y el Criterio de Leibiz El Criterio de Leibiz Ua serie alterada es aquella e que el sigo de los térmios va alterado etre positivo y egativo. O sea: Defiició 8.9. Decimos que ua serie 8 a es alterada si para todo P N es a a ` 0. Para este tipo de series, obteemos u criterio de ua sorpredete simplicidad: Teorema 8.20 (Criterio de Leibiz). Sea 8 a ua serie alterada tal que p a q es decreciete y covergete a 0. Etoces 8 a coverge. 25
Demostració. Si s deota la suma parcial -ésima, teemos que mostrar que la sucesió ps q tiee límite fiito. Para ello, cosideraremos por separado las subsucesioes ps 2 q y ps 2 q. Supogamos, si falta de geeralidad, que a 0. Etoces, para todo P N, se tiee a pq ` a. Teiedo e cueta que a 2` a 2`2, obteemos que s 2`2 s 2 a 2` ` a 2`2 a 2` a 2`2 0. Esto prueba que la sucesió ps 2 q es creciete. Del mismo modo, s 2` s 2 a 2 ` a 2` a 2 ` a 2` 0, así que ps 2 q es decreciete. Por otra parte, s 2 s 2 ` a 2 s 2 a 2 s 2. E cosecuecia, ps 2 q está acotada superiormete por s a y ps 2 q está acotada iferiormete por s 2 a ` a 2. E resume, ambas subsucesioes so covergetes puesto que so moótoas y acotadas. Además como s 2 s 2 ` a 2 y a 2 Ñ 0, las dos deberá teer el mismo límite, así que ps q coverge, que es lo que deseábamos probar. Ejemplos. (Serie armóica alterada) pq `. Obviamete, esta serie es alterada. Como además { Ñ 0, el Criterio de Leibiz 8.20 dice que la serie coverge. 2 pq log. Es obvio que la serie es alterada y que log { Ñ 0. Bastaría ver que la sucesió plog {q es decreciete, lo que es falso, pero sí es cierto que es decreciete a partir de 3. E efecto, la fució defiida e p0, 8q, tiee por derivada fpxq log x x, f pxq log x x 2 26
y, por tato, será estrictamete decreciete e re, 8q. Esto implica que si 3 se tiee log logp ` q. ` E cosecuecia, aplicado el Criterio de Leibiz 8.20, la serie estudiada resulta ser covergete. 3.3. Series absolutamete covergetes Series absolutamete covergetes Otra estrategia para maejar series co térmios si sigo fijo cosiste e estudiar la serie de los valores absolutos de los térmios. Defiició 8.2. Ua serie 8 a se dice que es absolutamete covergete si la serie 8 a es covergete. Proposició 8.22. Si 8 a y 8 b so absolutamete covergetes y, P R, etoces 8 p a ` b q tambié es absolutamete covergete. Demostració. Este hecho se deduce de la desigualdad y el Criterio de Comparació 8.0. a ` b a ` b La clave que da utilidad a la covergecia absoluta es lo que sigue a cotiuació. Proposició 8.23. Toda serie absolutamete covergete es covergete. Dicho de otro modo, si 8 a coverge, tambié coverge 8 a y, e ese caso, a a. Demostració. Supogamos que 8 a coverge. Como a a a, el Criterio de Comparació 8.0 os dice que 8 a tambié coverge. Por otra parte, para cada k P N se tiee kÿ a kÿ a por la Desigualdad Triagular.29. Pasado al límite (ua vez que ya sabemos que las dos series coverge), a a. 27
Ejemplos. e se.! Esta serie o tiee sigo fijo. Veamos qué ocurre si e vez de estudiar esta serie directamete, examiamos la serie de los valores absolutos de sus térmios. Como esta última es de térmios o egativos, podemos aplicarle muchos más criterios. Teemos que e se e!!. Aplicado el Criterio del Cociete 8.3, e ` {p ` q! 2 {! e ` Ñ 0, así que 8 e {! coverge, y, por el Criterio de Comparació 8.0, la serie que estamos estudiado coverge absolutamete. pq `. Ya hemos visto que esta serie, la armóica alterada, es covergete. Si embargo, la estrategia del ejemplo aterior o se puede utilizar e este caso, pues esta serie o es absolutamete covergete. E efecto, pq `, que diverge. Volveremos a la covergecia absoluta u poco más adelate. 3.4. Criterios geerales de la Raíz y del Cociete El Criterio de la Raíz de uevo A cotiuació volvemos a los Criterios de la Raíz?? y del Cociete 8.3, e uas versioes más geerales que las que dimos ateriormete. Como se recordará, cuado vimos estos resultados os saltamos las demostracioes. E esta ocasió sí que probamos estos resultados. Teorema 8.24 (Criterio de la Raíz, de Cauchy). Sea 8 a ua serie. 28
(I) Si lím sup a a, la serie 8 a coverge absolutamete. (II) Si lím sup a a, la serie 8 a o coverge. Demostració. (I) Sea L lím sup a a, y cosideremos c tal que L c. Etoces existirá algú 0 P N tal que a a c para todo 0. Por lo tato, 0 a c, 0. Como 0 c, la serie geométrica 8 0 c coverge y, por el Criterio de Comparació 8.0, tambié lo hace la serie 8 a. (II) E este caso, tedremos que a a para ifiitos aturales, y para estos mismos aturales se tedrá que a. Se deduce que el límite de pa q o puede ser 0 y, e cosecuecia, la serie 8 a o coverge. Observació. Para la divergecia, la codició de que lím sup a a se puede a sustituir por la más débil de que exista ifiitos aturales tales que a (como se evidecia e la demostració). El Criterio del Cociete de uevo Teorema 8.25 (Criterio del Cociete, de D Alembert). Sea 8 a ua serie de térmios o ulos. (I) Si lím sup a ` { a, la serie 8 a coverge absolutamete. (II) Si lím if a ` { a, la serie 8 a o coverge. Demostració. (I) Supogamos que L lím sup a ` { a y sea c tal que L c. Etoces existirá algú 0 P N tal que a ` { a c para todo 0. Por lo tato, a ` c a si 0. Cosideremos la sucesió de sumas parciales s k k a. Si k 0 se tedrá s k`2 s k` a k`2 c a k` c s k` s k. Es decir, la sucesió ps k q k 0 es cotractiva y por tato coverge. Esto implica que la serie 8 a es covergete. (II) Existirá u 0 P N tal que si 0 etoces a ` { a, es decir, a ` a. E cosecuecia, la sucesió p a q 0 es creciete y por tato o puede coverger a 0. Esto implica claramete que la serie 8 a o coverge. Observació. La codició para la divergecia de que lím if a ` { a puede ser sustituida por la codició de que exista 0 P N tal que a ` { a para todo 0. (Véase la demostració). 29
3.5. Criterios de Abel y Dirichlet Ua cosecuecia de la Fórmula de Sumació Recordemos la Fórmula de Sumació de Abel, que ya utilizamos ateriormete co el fi de probar uo de los teoremas del valor medio itegral. Lema (Fórmula de Sumació, de Abel). Sea pa q y pb q dos sucesioes, y llamemos, para todo P N, A k a k. Etoces ÿ a k b k A b ` ` k ÿ A k pb k b k` q. Este resultado tiee la siguiete cosecuecia, que utilizaremos para probar los dos criterios siguietes. Lema 8.26. Sea pa q ua sucesió y sea pb q ua sucesió moótoa y acotada. Supogamos que la sucesió de sumas parciales A k a k es acotada y que la sucesió pa b ` q coverge. Etoces tambié covergerá la serie 8 a b. Demostració. Teiedo e cueta que la sucesió pb q es moótoa y covergete, se tedrá que la serie (telescópica) k b b ` pb b ` q es covergete. Además, si defiimos K supt A P N u, se tedrá A pb b ` q K b b `, así que, por el Criterio de Comparació 8.0, la serie 8 A pb b ` q es (absolutamete) covergete. Como estamos supoiedo que pa b ` q tambié coverge, por la Fórmula de Sumació de Abel podemos obteer e coclusió que 8 a b es covergete. Los Criterios de Abel y Dirichlet Teorema 8.27 (Criterio de Abel). Si 8 a es ua serie covergete y pb q es ua sucesió moótoa y acotada, la serie 8 a b es covergete. Demostració. La sucesió pb q es, por hipótesis, moótoa y acotada. Como 8 a coverge, la sucesió de sumas parciales A k a k es acotada. Para verificar las hipótesis del Lema 8.26, bastará comprobar que pa b ` q coverge, lo que se cumple porque tato pb q como pa q so covergetes. 30
Teorema 8.28 (Criterio de Dirichlet). Si 8 a es ua serie cuya sucesió de sumas parciales es acotada y pb q es ua sucesió moótoa y covergete a 0, la serie 8 a b es covergete. Demostració. Tambié aquí la sucesió pb q es, por hipótesis, moótoa y acotada. Tambié por hipótesis, la sucesió de sumas parciales A k a k es acotada. Además, como pb q coverge a 0, se tedrá que la sucesió pa b ` q coverge (a 0). El Lema 8.26 os asegura fialmete que 8 a b es covergete. Observació. El Criterio de Leibiz 8.20 es u caso particular del Criterio de Dirichlet 8.28. Sea 8 a ua serie alterada. Si p a q es decreciete y covergete a 0 (recuérdese que estas so las hipótesis del Criterio de Leibiz 8.20), podemos defiir las dos sucesioes x a { a e y a. Para cada P N, x solo puede tomar los valores o. Como para todo P N es a a ` 0, deberá tambié ser x x ` 0. E cosecuecia, o x pq para todo, o x pq ` para todo. E cualquiera de los dos casos, la sucesió de sumas parciales X k x k es acotada. Como py q es decreciete y covergete a 0, el Criterio de Dirichlet os dice que la serie 8 a 8 x y es covergete. Ejemplos. se. Es evidete que la sucesió p{q es decreciete y covergete a 0, así que, para poder aplicar el Criterio de Dirichlet 8.28 y ver que uestra serie es covergete, solo teemos que probar que la serie 8 se tiee sumas parciales acotadas. Para ello, daremos ua fórmula geeral para las sumas parciales. Si k P N, teemos que sepk ` q se k cos ` cos k se, sepk q se k cos cos k se. Sumado ambas expresioes, obteemos que y, por tato, 2sek cos sepk q`sepk ` q. 2p cos q se k 2sek 2sek cos 2sek sepk qsepk ` q `se k sepk q `sepk ` qse k. 3
Se sigue que 2p cos qpse ` se 2 ` se 3 ` `sep q`se q 2p cos q se ` 2p cos q se 2 ` 2p cos q se 3 ` `2p cos q sep q`2p cos q se `pse se 0qpse 2 se q ` `pse 2 se qpse 3 se 2q ` `pse 3 se 2qpse 4 se 3q ` ``psep qsep 2qq pse sep qq ` `pse sep qq psep ` qse q se ` se sep ` q. U razoamieto aálogo al que hicimos ates os dice que se se`p ` q 2 2 sep ` q se`p ` q` 2 2 sep ` q cos cosp ` q se, 2 2 2 2 sep ` q cos ` cosp ` q se 2 2 2 2 y, restado, se sep ` q 2cosp ` 2 q se 2. E cosecuecia, se ` se 2 ` `se se ` se sep ` q 2p cos q 2cos se 2cosp ` q se 2 2 2 2 2p cos 2 ` 2 se2 q 2 pcos cosp ` qq se 2 2 2 2se 2 2 cos cosp ` q 2 2 2se. 2 32
Fialmete, se ` se 2 ` `se cos 2 cosp ` 2 q 2se 2 ` cos 2 2se 2 ` cos2 4 se2 4 4cos 4 se 4 2cos2 4 4cos 4 se 4 2 cota 4», 96 2. ` se. Sabemos que la sucesió p ` {q es moótoa y acotada y, segú acabamos de ver, la serie 8 se { es covergete, así que, por el Criterio de Abel 8.27, la serie estudiada es covergete. 4. Comutatividad de las series 4.. Reordeacioes Cambia la suma si reordeamos la serie? Qué sucede cuado e ua serie se cambia el orde de los sumados? E geeral, las series o matiee la propiedad comutativa de las sumas fiitas, como veremos e el siguiete ejemplo. Ejemplo. pq `. Sea ps q la sucesió de sumas parciales de esta serie. Vamos a ver a qué coverge los térmios pares de esta sucesió. Como s 2` s 2 ` {p2 ` q, está claro que la subsucesió de los térmios impares tedrá tambié el mismo límite, co lo que habremos hallado el límite de toda la sucesió ps q, es decir, la suma de la serie. Co este fi, os vedrá bie echar mao de la Costate de 33
Euler-Mascheroi. (Recuérdese que lím p ` {2 ` `{ log q.) s 2 2ÿ k pq k` k 2 ` 3 4 ` ` 2 3 2 2 ` 2 2 ` 3 ` 2 3 ` 2 2 ` 4 ` 2 2 ` 2 ` 2 ` 3 ` 4 ` 2 3 ` 2 2 ` 2 ` 2 2 2 ` 4 ` 2 2 ` 2 ` 2 ` 3 ` 4 ` 2 3 ` 2 2 ` 2 ` 2 ` 2 ` ` ` 2 ` 3 ` 4 ` 2 3 ` 2 2 ` 2 ` logp2q 2 ` 2 ` ` log `plogp2qlog q Ñ ` log 2 log 2. Cocluimos así que pq log 2. Ahora vamos a cambiar de orde los sumados de esta serie. Para ello, recolocaremos sus térmios de forma que dos térmios positivos se altere siempre co u térmio egativo. Es decir, cosideraremos la serie a ` 3 2 ` 5 ` 7 4 ` Para ver cuáto suma esta serie, como a Ñ 0, cosideracioes similares a las hechas ates muestra que basta calcular el límite de las sumas parciales cuyo máximo ídice es múltiplo de 3; es decir, vamos a calcular el límite lím 3 k a k. 34
Teemos 3ÿ k Por tato, a k ` 3 ` 2 5 ` 7 ` ` 4 4 3 ` 4 2 ` 3 ` 5 ` ` 4 3 ` 4 2 ` 4 ` ` 2 ` 2 ` 3 ` ` 4 2 ` 4 ` 4 2 ` 4 ` ` 4 2 ` 4 2 ` 4 ` ` 2 ` 2 ` 3 ` ` 4 2 ` 4 ` 4 ` 2 2 ` ` 2 ` ` 2 2 2 ` ` ` 2 ` 3 ` ` 4 2 ` 4 ` logp4q 4 ` 2 2 ` ` 2 ` logp2q 2 ` 2 2 ` ` log ` logp4q logp2q log 2 2 Ñ `p2log2 log 2q 3 log 2. 2 2 2 2 a 3 log 2. 2 Vemos así co este ejemplo que, cuado hay ivolucrados ifiitos sumados, el orde de los sumados sí que cambia la suma. Qué es ua reordeació? A cotiuació vamos a caracterizar qué tiee que cumplir ua serie para que sí podamos aplicar la propiedad comutativa. Para ello ecesitaremos ua defiició precisa de qué sigifica cambiar de orde ua serie. Defiició 8.29. Dada ua serie 8 a, decimos que otra serie 8 b es ua reordeació de 8 a si existe ua biyecció r : N Ñ N, tal que b a rpq para cada P N. Iformalmete, ua serie es ua reordeació de otra si tiee exactamete los mismos térmios, pero e otro orde. 35
Ejemplo. Si 8 a ` ` ` `, reordeacioes suyas so 2 3 4 8 b 2 ` ` 4 ` 3 `, 8 c 3 ` 2 ` ` 6 ` 5 ` 4 ` E cambio, 8 d ` 3 ` 5 ` 6 ` o es reordeació de 8 a. Hagamos la observació, muy fácil de comprobar, de que ser reordeació de es ua relació de equivalecia. Covergecia icodicioal Que ua serie tega la propiedad comutativa sigificará que tega suma y que cualquier reordeació suya tega la misma suma. Vamos a dar u ombre especial a las series covergetes co la propiedad comutativa. Defiició 8.30. (I) Ua serie se deomia icodicioalmete covergete si todos sus reordeacioes so covergetes y tiee la misma suma. (II) Decimos que ua serie es codicioalmete covergete si es covergete, pero o es icodicioalmete covergete. 4.2. Teoremas de reordeació U par de lemas E los teoremas que vamos a ver a cotiuació, probaremos que la propiedad comutativa para las series está estrechamete relacioada co la covergecia absoluta. Cocretamete, se verá que ua serie es icodicioalmete covergete si, y solo si, es absolutamete covergete. El Teorema de Reordeació de Dirichlet 8.33, que probaremos e muy breve, establece ua de las implicacioes. Para abordarlo, veamos ates u par de resultados auxiliares. Lema 8.3. Sea 8 a ua serie. Sea Etoces aǹ máxta, 0u, ań míta, 0u. (I) Si 8 a coverge absolutamete, etoces 8 aǹ y 8 ań coverge. (II) Si 8 a coverge, pero o absolutamete, etoces 8 aǹ y 8 ań diverge a 8. 36
Demostració. Es obvio que aǹ,ań 0. Se comprueba además fácilmete que de lo que se sigue que a aǹ ań, a aǹ ` ań, aǹ a ` a 2, ań a a. 2 De aquí se obtiee fácilmete las dos afirmacioes del euciado. Lema 8.32. Dada ua serie 8 a de térmios o egativos y ua de sus reordeacioes 8 b, se tiee: (I) Si 8 a es covergete co suma s, tambié 8 b tiee suma s. (II) Si 8 a diverge a 8, tambié 8 b diverge a 8. Demostració. (I) P N, defiamos Sea r : N Ñ N tal que b a rpq para cada P N. Para todo M pq máxt rpq,rp2q,...,rpqu. Deotado co t la suma parcial -ésima de 8 b, será etoces t b ` b 2 ` `b a rpq ` a rp2q ` `a rpq a ` a 2 ` `a Mpq s, lo que prueba que 8 b es covergete co suma meor o igual que s. Como a su vez 8 a es ua reordeació de 8 b, por el mismo motivo su suma s será meor o igual que la suma de 8 b, lo que implica la igualdad etre ambas sumas. (II) E caso cotrario, 8 b sería covergete, y etoces 8 a, reordeació suya, tambié covergería. El Teorema de Reordeació de Dirichlet Teorema 8.33 (de Reordeació, de Dirichlet). Toda serie absolutamete covergete es icodicioalmete covergete. Demostració. Supogamos que la serie 8 a coverge absolutamete, y sea 8 b ua de sus reordeacioes. 37
Por el Lema 8.3, 8 aǹ y 8 ań so ambas covergetes. Utilizado el Lema 8.32, se obtiee que 8 bǹ y 8 bń so tambié covergetes, y además aǹ bǹ y ań bń. Se cocluye de esta maera que a aǹ ań bǹ bń b. El Teorema de Reordeació de Riema El Teorema de Reordeació de Riema 8.34 establece la implicació recíproca a la que aparece e el Teorema de Dirichlet 8.33; es decir, prueba que si ua serie coverge pero o lo hace absolutamete, etoces la serie o cumple la propiedad comutativa, y además deja de cumplirla de la peor forma posible: la suma reordeada puede dar como resultado cualquier valor o, icluso, o existir. Teorema 8.34 (de Reordeació, de Riema). Sea, P R,, y sea 8 a ua serie covergete, pero o absolutamete. Etoces, dicha serie tiee ua reordeació 8 b, tal que lím if ÿ b k, k lím sup ÿ b k. k Demostració. Supodremos, si pérdida de geeralidad, que a 0 para todo P N: Sea pp q y pq q las subsucesioes de pa q formadas por sus térmios positivos y egativos respectivamete, e el orde e que aparece e la serie. Por el Lema 8.3, sabemos que 8 aǹ y 8 ań so divergetes (a 8). Esto implica que 8 p y 8 q tambié so divergetes (la primera a 8 y la seguda a 8): o hay más que observar que las sucesioes pp q y pq q se diferecia de las paǹ q y pań q solamete e alguos térmios ulos itercalados. Por otro lado, como 8 a coverge, está claro que pp q y pq q coverge ambas a 0. Costruiremos dos sucesioes crecietes de úmeros aturales, pm q y pk q, tales que la serie p ` p 2 `p m ` q ` q 2 ` `q k ` p m` ` p m`2 `p m2 ` q k` ` q k`2 ` `q k2 `, 38
que claramete es ua reordeació de 8 a (salvo térmios ulos), satisfaga lo que se dice e el euciado. Para ello, elijamos dos sucesioes p q y p q que coverja a y, respectivamete, y además. Sea m, k los meores aturales para los que p ` p 2 ` `p m, p ` p 2 ` `p ` q ` q 2 ` `q k. Sea m 2, k 2 los meores aturales para los cuales p ` p 2 ` `p m ` q ` q 2 ` `q k ` p m` ` p m`2 ` `p m2 2, p ` p 2 ` `p m ` q ` q 2 ` `q k ` p m` ` p m`2 ` `p m2 ` q k` ` q k`2 ` `q k2 2. Repetimos luego este proceso sucesivas veces, lo que es posible porque p y q diverge. Si s y t represeta las sumas parciales de la serie que acabamos de costruir cuyos últimos térmios so p m y q k respectivamete, será s p m, t q k. Como p Ñ 0 y q Ñ 0, vemos que s Ñ y t Ñ. Fialmete, está claro que igú úmero meor que o mayor que puede ser límite subsecuecial de las sumas parciales de la reordeació por osotros costruida. Teiedo e cueta el Teorema de Reordeació de Riema 8.34, el lector será si duda capaz de respoder las siguietes pregutas acerca de la serie armóica alterada: Se puede reordear de forma que la suma de la reordeació valga? Y de forma que valga e? Y de forma que diverja a 8? Y de forma que oscile etre y? Y para que oscile etre 8 e 8? (Respuestas: Sí, sí, sí, sí y sí!) E realidad, la situació que se da e el Teorema 8.34 es mucho más grave de lo que el euciado predice. Si cosideramos la reordeació costruida e la demostració, se puede probar que los límites subsecueciales de la sucesió de sus sumas parciales so todo el itervalo r, s. E particular, escogiedo 8, 8, obteemos ua serie tal que los límites subsecueciales de sus sumas parciales so toda la recta ampliada. Los dos teoremas de reordeació se puede combiar ahora para establecer la equivalecia que ya veíamos auciado. Corolario 8.35. Ua serie es icodicioalmete covergete si, y solo si, es absolutamete covergete. 39
Referecias [] R. G. Bartle y D. R. Sherbert, Itroducció al Aálisis Matemático de ua variable, Limusa, México, 990. [2] A. J. Durá, Historia, co persoajes, de los coceptos del cálculo. Aliaza, Madrid, 996. [3] I. Gratta-Guiess, Del cálculo a la teoría de cojutos, 630 90: Ua itroducció histórica. Aliaza Editorial, Madrid, 984. [4] M. Guzmá, El ricó de la pizarra: Esayos de visualizació e aálisis matemático, Pirámide, Madrid, 996. [5] K. A. Ross, Elemetary aalysis: The theory of calculus, Spriger, Berlí, 980. [6] M. Spivak, Cálculo ifiitesimal, Reverté, 994. [7] T. M. Apostol, Aálisis Matemático (2a. ed.). Reverté, Barceloa, 99. [8] V. A. Zorich, Mathematical Aalysis I, Spriger-Verlag, Berlí, 2003. 40