Índice generl 4. Cmpos electrostáticos en medios mteriles 1, 2 2 4.1. ntroducción... 2 4.2. Conductores en equilirio electrostático...... 2 4.3. Conductores con cviddes: pntllmiento electrostático... 9 4.4. Cpciddycondensdores... 12 4.4.1. Cpcidd de un conductor... 12 4.4.2. Condensdores... 13 4.4.3. Asocicióndecondensdores... 16 4.5. Energídeuncondensdor... 16 4.6. Energíenfuncióndelcmpoeléctrico... 17 4.7. Mediosdieléctricos.Considercionesgenerles... 18 4.8. ExperimentodeFrdy... 19 4.9. nterpretcióndelexperimentodefrdy... 20 4.9.1. Densidddecrgdepolrizción... 20 4.9.2. Vectores polrizción y desplzmiento. usceptiilidd y permitividd dieléctrics 22 4.10.Diseñodecondensdores... 23 4.11.LeydeGussenmediosdieléctricos... 24 4.12.Energíeléctricenprolemscondieléctricos... 26 1 Versión 2010 2 Formto electrónico: http://personles.unicn.es/peredj/pdf_apuntes_eym/apuntes-conductoresdielectricos.pdf 1
Tem 4 Cmpos electrostáticos en medios mteriles 1, 2 4.1. ntroducción Hst hor hemos estudido el cmpo eléctrico y el potencil suponiendo que ls crgs estn en el vcío. En este tem estudiremos que ocurre cundo tenemos medios mteriles. Históricmente, Gilert no pudo electrizr por frotmiento lgunos mteriles. Posteriormente, Gry encontró que estos mteriles conducín ls crgs eléctrics y clsificó todos los mteriles en dos grupos: conductores y islntes (tmién llmdos dieléctricos) Un mteril conductor es quel cuerpo que tiene en su interior grn cntidd de crg lire (electrones) que puede moverse liremente por su interior. Los metles son un ejemplo de uen conductor. En un metl los electrones de ls cps externs de los átomos están pocos trídos por los núcleos, y que están pntlldos por los electrones de ls cps interns, en consecuenci los electrones externos son comprtidos por todos los átomos y se mueven por todo el conductor. Los dieléctricos tienen los electrones fuertemente ligdos los núcleos, de mner que sólo pueden hcer pequeños desplzmientos en torno sus posiciones de equilirio. A l crg eléctric que tiene ests condiciones se l llm crg ligd o de polrizción. ρ sf x = 0 + ρ sf E + 0 i + + + + ++ + ++ + x = d ρ sf + ρ sf E 0 + + ++ + ++ + x = 0 Figur 4.1: Equilirio electrostático. x = d 4.2. Conductores en equilirio electrostático Concepto de equilirio electrostático: Consideremos un lámin conductor eléctricmente neutr. Al colocrl en un región del espcio en l que exist un cmpo eléctrico plicdo E 0, tl como se muestr en l figur 4.1, los electrones se verán sometidos un fuerz eléctric que tiende cumulrlos en l pred x =0.Asuvez, en l pred x = d, precerá un exceso de crg positiv deid l movimiento de electrones hci l izquierd. Por tnto, el cmpo E 0 produce un seprción de crgs o polrizción del conductor. Como consecuenci, dentro del conductor prece un cmpo eléctrico E i queseopone E 0. El proce- 2
4.2 Conductores en equilirio electrostático 3 so de seprción de crgs termin cundo mos cmpos se equilirn, es decir, cundo E + i =0. A prtir de este momento el cmpo eléctrico totl dentro del conductor es nulo, ces el movimiento de crgs y se dice que el conductor está en equilirio electrostático. El tiempo necesrio pr lcnzr el equilirio electrostático depende del tipo de conductor. Pr los uenos conductores, como es el cso de los metles, este tiempo es del orden de 10 16 [s]. Propieddes de un conductor en equilirio electrostático: Un conductor en equilirio electrostático tiene ls siguientes propieddes: 1. El cmpo eléctrico en el interior de un conductor en equilirio electrostático es nulo Est propiedd se deriv directmente del concepto de equilirio electrostático introducido nteriormente. No ostnte, podemos llegr ell medinte el siguiente rzonmiento. upongmos un conductor en equilirio electrostático. i el cmpo eléctrico no fuer nulo en su interior, ls crgs lires se celerrín por l cción de dicho cmpo. En consecuenci, ls crgs se moverín y por tnto no estrímos en equilirio electrostático, lo cul entr en contrdicción con l suposición de prtid. Esto nos permite concluir que el cmpo eléctrico dee ser nulo. 2. i un conductor tiene exceso de crg, ést se encuentr distriuid en su superficie en form de un densidd superficil de crg ρ s Aplicremos l ley de Guss tomndo como gussin un superficie situd en el interiordelconductorymuypróximlsuperficie de éste, como se ilustr en l figur 4.2. = 0 Figur 4.2: uperficie gussin interior un conductor en equilirio. Al ser el cmpo eléctrico nulo, result E d = 0 d = enc = enc =0, por tnto, no hrá crg net en el interior del conductor. Tod l crg en exceso estrá en l superficie. 3. El cmpo eléctrico en el exterior, justo en l superficie, de un conductor en equilirio electrostático es perpendiculr l superficie y tiene un vlor ρ s / Est propiedd tiene dos prtes, vemos primero que el cmpo eléctrico dee ser perpendiculr l superficie. Pr ello, supondremos inicilmente que el cmpo eléctrico en un punto de l superficie del conductor tiene dirección ritrri, tl como se muestr en l figur 4.3 ρ s n = 0 Figur 4.3: Cmpo eléctrico en l superficie de un conductor en equilirio. Podemos entonces expresrlo como E = E n + E t, donde E n es l componente norml l superficie y E t l componente tngencil. Ést últim dee ser nul, y que de lo contrrio ls crgs se moverín por l superficie del conductor y no estrímos en equilirio electrostático, por tnto E = E n. t
4.2 Conductores en equilirio electrostático 4 El vlor del cmpo eléctrico en l superficie del conductor puede otenerse plicndo l ley de Guss en un cilindro de se muy pequeñ y ltur, como se muestr en l figur 4.4. A d = 0 B ρ n Δ h Figur 4.5: Cmino ritrrio entre los puntos A y B situdos en el interior de un conductor en equilirio. L diferenci de potencil entre estos dos puntos será Figur 4.4: Cilindro gussino con su mitd inferior inmers en un conductor en equilirio. No hrá flujo por l se inferior, y que está en el interior del conductor. Además, hciendo que h tiend cero tmpoco tendremos flujo por l superficie lterl, y que el cmpo es norml l superficie del conductor. Entonces de donde E d = E n = enc E n = ρ s. = ρ s, Este resultdo indic que el vlor del cmpo eléctrico en un punto de l superficie de un conductor es proporcionl l densidd de crg superficil que exist en dicho punto. 4. Todos los puntos de un conductor en equilirio electrostático están l mismo potencil Tomemos dos puntos, A y B, en el conductor, tl como se ilustr en l figur 4.5. Z B V B V A = E d. A Dentro del conductor el cmpo es nulo, luego V B V A = Z B A 0 d =0 = V A = V B. Por tnto, los puntos A y B están l mismo potencil. Al ser estos puntos ritrrios, podemos decir que todo el conductor es un volumen equipotencil y, en prticulr, su superficie es equipotencil. 5. En un conductor de form irregulr, crgdo y en equilirio electrostático, l crg tiende cumulrse en ls zons de menor rdio de curvtur En consecuenci, el cmpo eléctrico en l superficie de un conductor crgdo es tmién más intenso en ls punts, hciendo que, en ocsiones, l crg ndone el conductor dndo lugr l formción de descrgs de rco. Est propiedd se ilustr en l figur 4.6. + + + + + + + + + + = 0 +++ + + + + + + + + + Figur 4.6: Acumulción de l crg en ls punts de un conductor en equilirio.
4.2 Conductores en equilirio electrostático 5 A continución veremos dos ejemplos que ilustrn ls propieddes nteriores. En concreto, el segundo de ellos se hce referenci l distriución de crg y el cmpo en conductores de form irregulr. Ejemplo 1 Un esfer conductor en equilirio electrostático, isld y de rdio tiene crg net. Clculr el potencil y el cmpo dentro y fuer de l esfer. olución: Por trtrse de un conductor en equilirio electrostático, el cmpo eléctrico en el interior de l esferesnuloytodlcrg está distriuid en l superficie. Además, por ser l esfer un figur geométric con rdio de curvtur constnte y estr isld, l crg está uniformemente distriuid. En efecto, l densidd de crg vle ρ s = = 4π 2 = cte. Al existir simetrí esféric, podemos clculr el cmpo E, en el exterior de l esfer, plicndo l ley de Guss, Φ e = enc /. egún se discutió en tems nteriores, en estos csos, el cmpo eléctrico es sólo función de l distnci rdil y tiene dirección tmién rdil, luego = E(r)ˆr. Además, tomndo como superficie gussin un esfer de rdio r (ritrrio, pero constnte), el elemento de superficie tiene tmién dirección rdil, d =dˆr. Teniendo todo esto en cuent, el flujo eléctrico, trvésdelsuperficie gussin, result Φ e = E d = E = E4πr 2. L crg encerrd por l gussin es tod l crg de l esfer, esto es, enc =. ustituyendo los dos últimos resultdos en l expresión de l ley de Guss, despejndo el cmpo eléctrico y ñdiendo l dirección, se otiene E(r) = ˆr pr r. 4π r2 Clculremos hor el potencil prtir del cmpo eléctrico. Pr ello, tomremos el origen de potenciles en el infinito, luego V (r) V ( ) = Z r E d. Tomdo d =drˆr. Pr clculr el potencil deemos considerr por seprdo los csos r y r<: Cso r : V (r) = Z r Z r Edr = 4π r 2 dr = El potencil en l superficie de l esfer es Cso r<: V (r) = = V () = Z r Z Edr 4π. E (r ) dr Z r 4π r E (r<) dr L primer integrl es idéntic l clculd en el cso nterior con r =. L segund integrl es nul, y que E (r<) =0. Por tnto, como es de esperr el potencil de l esfer conductor es constnte y de vlor igul l potencil en l superficie V (r) = 4π, r. En l figur 4.7 se muestrn ls línes de cmpo eléctrico deids un esfer con crg positiv. ρ s > 0 Figur 4.7: Línes de cmpo eléctrico deids un esfer conductor crgd positivmente.
4.2 Conductores en equilirio electrostático 6 Ejemplo 2 Dos esfers conductors de rdios y ( > ) están seprds un distnci entre sus centros d À +. e deposit un crg sore un de ls esfers y luego se conectn entre sí medinte un hilo conductor. ) Cuál es el cociente de ls crgs sore cd esfer, 1 y 2, después de l conexión?. ) dem sore ls densiddes de crg y el cmpo eléctrico en l superficie. Teniendo en cuent que el cmpo eléctrico en l superficie de un esfer crgd vle E = ρ s, podemos expresr el cociente entre los cmpos en l superficie de cd esfer como E 2 E 1 = ρ s2 ρ s1 = > 1. lo cul indic que el cmpo eléctrico es más intenso en ls vecinddes de l esfer más pequeñ. Figur 4.8: Esfers conductors conectds medinte un hilo tmién conductor. olución: Un vez relizd l conexión y lcnzdo el equilirio electrostático, ls dos esfers estrán l mismo potencil. Además, l ser l distnci entre ms esfers mucho myor que su rdio, supondremos que un no influye sore l otr, y por tnto, l distriución de crg sore cd un de ells será uniforme. L condición de iguldd de potencil se expres como d 1 4π = 2 4π, de donde 1 = 2 > 1 Expresndo l crg en función de l densidd de crg, se otiene ρ s1 4π 2 ρ s2 4π 2 =, con lo cul ρ s2 = ρ s1 > 1. Este resultdo indic que l esfer más pequeñ lmcen myor densidd de crg. Cálculo del cmpo eléctrico deido conductores en equilirio electrostático: Como y semos, en un conductor en equilirio, el cmpo eléctrico en el interior es nulo y l crg en exceso se distriuye en su superficie. De ests propieddes se deriv que el cálculo del cmpo eléctrico deido conductores crgdos se reduce l cálculo, en el exterior del conductor, del cmpo deido ls correspondientes distriuciones superficiles de crg. En consecuenci, como y hemos delntdo en el ejemplo 1, podemos plicr, este prolem, ls misms técnics pr el cálculo de cmpos y potenciles, vists en tems nteriores. A continución mostrremos ejemplos con simetrí pln, cilíndric y esféric. Los resultdos otenidos se emplerán posteriormente en el cálculo de cpciddes. Ejemplo 3 Clculr el cmpo eléctrico deido dos plnos conductores prlelos, infinitos, seprdos un distnci d, con l mism densidd superficil de crg ρ s C/m 2, pero de signo opuesto. olución: Un form conveniente de resolver este prolem es clculr el cmpo eléctrico que produce cd uno de los plnos conductores y plicr el principio de superposición.
4.2 Conductores en equilirio electrostático 7 1 2 + ρ sf ( 1) (2) x = 0 1 2 = 0 0 x = d ρ sf 1 2 = 0 + ρ sf x = 0 E = E 1 + E 2 x = d Figur 4.9: Determinción, medinte el principio de superposición, del cmpo eléctrico deido dos plnos crgdos. egún vimos en el tem 2, el cmpo eléctrico producido por un plno infinito con densidd de crg uniforme ρ s > 0, situdo en x =0es + ρ s ˆx pr x>0 E 1 = 2 ρ s ˆx pr x<0 2 Pr un plno con densidd de crg uniforme ρ s situdo en x = d, el correspondiente resultdo es ρ s ˆx pr x>d E 2 = 2 + ρ s ˆx pr x<d 2 En virtud del principio de superposición, el cmpo totl es l sum de los cmpos producidos por cd uno de los plnos conductores, luego E = 1 + 2 = 0 pr x<0 ρ s ˆx pr 0 <x<d 0 pr d<x ρ sf En primer lugr dee entenderse que un crg por unidd de longitud, signific que en un trmo de cilindro de longitud hy un crg totl =, es decir, el dto represent un densidd linel de crg. Por tnto, pr que los dos cilindros, de igul longitud, tengn l mism crg, deen tener l mism densidd linel de crg. Por otr prte, los cilindros son superficies, por tnto podemos clculr tmién su densidd superficil de crg. Así, pr el cilindro interior tenemos ρ s () = = 2π = [C/m 2 ], 2π mientrs que pr el cilindro exterior result ρ s () = [C/m 2 ], 2π e oserv que ls densiddes superficiles de cd cilindro son distints, lo cul er esperdo y que mos tienen igul crg (slvo el signo) y distint superficie. Un vez discutido el significdo de,ordremos el cálculo del cmpo eléctrico. Por trtrse de un prolem con simetrí cilíndric, plicremos l leydegussdeformnálogcómolohicimos en el tem 2. El cmpo que uscmos tiene l form = E(ρ)ˆρ. Además, los conductores dividen el espcio en tres regiones: 1) el interior del coxil interno (ρ <), 2) el espcio intermedio ( <ρ<) y3)el espcio exterior (ρ >). Lssuperficies gussins son cilindros de rdio ρ ritrrio (pero constnte). Por tnto, el flujo eléctrico tiene l mism expresión generl el tods ells E d ZZ ZZ ZZ = d + d + d inf. sup. lt. Ejemplo 4 Dos superficies cilíndrics conductors coxiles, infinitmente lrgs, de rdios y (con <) tienen crgs igules y opuests. El cilindro interior tiene un crg positiv C/m por unidd de longitud. Clculr el cmpo eléctrico. olución: En ms ses, y d son perpendiculres, en consecuenci, no hy flujotrvésdelsses, es decir, ls dos primers integrles son nuls. En l superficie lterl y d son prlelos, demás, E esconstnteentodlsuperficie lterl (y que ρ tmién lo es), por tnto ZZ ZZ Φ e = E d = E d = E2πρ sup. lt. sup. lt.
4.2 Conductores en equilirio electrostático 8 Pr clculr l crg encerrd, considerremos cd región por seprdo: Cso ρ<: Todlcrgestáenlsuperficie ρ =, por tnto enc =0, en consecuenci E =0 pr ρ< Ejemplo 5 Un esfer conductor de rdio tiene crg net positiv. Concéntric con ell hy un superficie esféric conductor de rdio >ycrg net. Clculr el cmpo eléctrico. olución: Cso <ρ<: Ahor, l crg encerrd es l crg correspondiente un trmo de cilindro interno de longitud, es decir, enc =. Relcionndo este resultdo con el flujo, trvés, de l ley de Guss, se otiene E = pr <ρ< 2π ρˆρ r d r < r r < r < d donde se h ñdido el vector unitrio ˆρ que indic l dirección. Cso ρ>: Al tener mos cilindros l mism crg, pero de sentido contrrio, result enc =0. Por tnto E =0 pr ρ> Ls línes de cmpo eléctrico resultntes se muestrn en l figur 4.10. + > 0 Figur 4.10: Línes de cmpo eléctrico deids dos superficies cilíndrics, coxiles, con crg por unidd de longitud de igul vlor y signo opuesto. z < r Figur 4.11: Esfer gussin (con trzo discontinuo) pr cd un de ls regiones del espcio r<, <r<y <r. El prolem tiene simetrí esféric. En consecuenci, el cmpo uscdo es de l form = E(r) ˆr. Pr determinr E(r) plicremos l ley de Guss: E d = enc. Ls superficies gussins serán esfers de rdio r con centro en el origen de coordends. Ls dos esfers concéntrics dividen el espcio en tres regiones: r <, <r<y<r.en culquier de ells, el elemento de superficie es de l form d =dˆr, yportnto,elflujo vle E d = E d = E4πr 2. Pr clculr l crg encerrd hy que considerr por seprdo ls tres regiones mostrds en l figur 4.11. Pr r < l crg encerrd es nul y que tod l crg está en l superficie del conductor. Portnto,enestregiónelcmpoesnulo. d
4.3 Conductores con cviddes: pntllmiento electrostático 9 Pr <rl crg encerrd es l sum lgeric (con su signo) de l crg de mos conductores, por tnto enc =0. En consecuenci, el cmpo eléctrico fuer del conductor externo tmién es nulo. Por último, l crg encerrd pr <r<es l crg del conductor interno, es decir, enc =+. Relcionndo este resultdo con el flujo, trvés de lleydeguss,seotiene E4πr 2 = Despejndo E y ñdiendo el vector unitrio que indic l dirección, result E = 4π r 2 ˆr. Por tnto 0 pr r< E = ˆr pr r 4π r2 0 pr <r L figur 4.12 ilustr ls línes de cmpo eléctrico deids ls dos esfers. Figur 4.12: Línes de cmpo eléctrico deids dos esfers concentrics con crg de igul vlor y signo opuesto. 4.3. Conductores con cviddes: pntllmiento electrostático Los conductores con cviddes interiores presentn propieddes de interés. Vemos lguns de ells: int int ext ext Figur 4.13: Conductor con un cvidd en su interior 1. En un conductor con un cvidd en su interior, crgdo y en equilirio, tod l crg se sitú únicmente en l superficie exterior. En efecto, considerndo un superficie entermente situd dentro del cuerpo conductor, como se muestr en l figur 4.13, y plicndo l ley de Guss, llegmos Φ e = E d = 0 d = enc =0 es decir, l crg net encerrd dentro de dee ser nul. Como el único lugr donde puede her crg es l superficie de l cvidd, concluimos que l crg net en dich superficie dee ser nul, es decir int =0. Como consecuenci, el cmpo dentro de l cvidd es nulo y el volumen completo, conductor y cvidd, formn un volumen equipotencil. int cv int ext ext Figur 4.14: Conductor con un cvidd que contiene un crg cv. 2. i en el interior de l cvidd de un conductor neutro y en equilirio se introduce un crg de determindo v-
4.3 Conductores con cviddes: pntllmiento electrostático 10 lor, en l superficie extern del conductor prece un crg de igul vlor. Pr demostrr est propiedd st con plicr l ley de Guss en un superficie gussin situd en el conductor como l mostrd en l figur 4.14 con trzo discontinuo. Dentro de un conductor en equilirio el cmpo es nulo, por tnto, el flujo tmién lo es, resultndo Φ e = E d = 0 d = enc =0 L crg encerrd será l sum de cv más l crg net inducid en l superficie interior int,portnto enc = cv + int =0 int = cv. El conductor es neutro, luego int + ext =0 ext = int = cv, es decir, en l superficie ext prece un crg igul l de l cvidd. i el conductor no fuer neutro y tuvier, por ejemplo, un crg net c, tendrímos int + ext = c y l crg resultnte en ext serí ext = c int = c + cv. Ejemplo 6 Un cscrón conductor, esférico, hueco, de rdio interno y rdio externo está descrgdo. En el centro de l cvidd hy un crg puntul positiv q. ) Clculr l densidd de crg en cd superficie del conductor. ) Determinr el cmpo eléctrico y el potencil en tods ls regiones del espcio. q > 0 Figur 4.15: Cscrón conductor, esférico y hueco con un crg en el centro de l cvidd. olución: ) Denotremos por y l crg en l superficie intern y extern del cscrón, respectivmente. Pr determinr ests crgs, plicremos l ley de Guss. Tomndo como gussin un circunferenci de rdio >r>y teniendo en cuent que el cmpo eléctrico dentro del conductor es nulo, result E d = enc = q + =0, de donde = q. Como el cscrón es neutro, + =0,luego = q. Ls densiddes de crgs uscds son: ρ s () = = q 4π 2, ρ s () = = q 4π 2. ) Pr clculr el cmpo eléctrico, plicremos l ley de Guss E d = enc. Teniendo en cuent l simetrí esféric del prolem, el cmpo eléctrico será de l form = E(r)ˆr. Como es usul en estos csos, tomndo superficies gussins en form de circunferenci centrd en l posición de l crg puntul q, elflujo result E d = E4πr 2 Pr clculr enc considerremos 3 regiones: r<, >r>y r>.
4.3 Conductores con cviddes: pntllmiento electrostático 11 r<: En este cso enc = q. ustituyendo este resultdo en l ley de Guss se otiene q E = 4π r 2 >r>: En est región enc = q + =0. En consecuenci y como er de esperr, el cmpo eléctrico dentro del conductor es nulo. r>: Ahor enc = q + + = q. El cmpo resultnte es q E = 4π r 2 Pr determinr el potencil, considerremos ls misms regiones que en el cálculo del cmpo. in emrgo, en este cso conviene empezr hcer los cálculos en l región más extern. Así r : V (r) V ( ) = r : Z r = q 4π V (r) V ( ) = = = r : V (r) V ( ) Z r = E d = = = = Z Z r Z E d Z r q 4π E d dr r 2 = q 4π r Z r E d E d Z Z r E d E d q Z r q 4π +0 dr 4π r 2 q 4π + q 4π r q 4π µ q 1 4π r + 1 1 E d Apntllmiento electrostático: Consideremos un conductor en equilirio, neutro y con un cvidd interior. upongmos que en l cvidd hy un crg cv > 0. egún hemos visto nteriormente, en l superficie interior del conductorseinduceuncrg cv yenlsuperficie exterior un crg cv que produce un cmpo en el exterior del conductor. i hor conectmos el conductor tierr, ls crgs de l superficie exterior ndonrán el conductor. En consecuenci, no hrá cmpo en el exterior del conductor, es decir, l crg de l cvidd no producirá ningún efecto en el exterior del conductor. Decimos entonces que l crg de l cvidd está pntlld electrostáticmente. Un conductor con un cvidd que produce este pntllmiento se denomin jul de Frdy. = int cv int cv int ext ext Figur 4.16: Jul de Frdy Ejemplo 7 Un cscrón conductor, esférico, hueco, de rdio interno y rdio externo está conectdo tierr. En el centro de l cvidd hy un crg puntul positiv q. Determinr el cmpo eléctrico y el potencil en tods ls regiones del espcio. q > 0 Figur 4.17: Cscrón conductor, esférico y conectdo tierr con un crg en el centro.
4.4 Cpcidd y condensdores 12 olución: Este prolem es igul l nterior con l diferenci de que en quel l crg net en el conductor er un dto y el potencil er desconocido, mientrs que en éste l crg es desconocid y el potencil es dto (V =0, por estr unido tierr). Pr resolver este prolem, supondremos crgs y en ls superficies r = y r =, respectivmente. Como y semos dee ser igul l crg de l cvidd cmid de signo, luego = q. El vlor de es desconocido. Determinremos primermente el cmpo y luego el potencil. Por ser un conductor en equilirio, el cmpo dentro de l coron es nulo. Pr clculr el cmpo dentro de l cvidd (r ) yenelexteriordel conductor (r ) empleremos l ley de Guss, Φ e = enc /. En ms regiones el flujo vle Φ e = E d = E = E4πr 2. L crg encerrd pr r es enc = q. ustituyendo en l ley de Guss, result E(r) = q 4π r 2. Pr r l crg encerrd es enc = q + + =. El cmpo result Utilizremos este dto pr clculr.ldiferenci de potencil entre r = y r = es Z V () V ( ) = E (r ) d = = Z 4π r 2 dr 4π =0, de donde =0.Portntoenelexteriornohy cmpo y el potencil es nulo. En consecuenci, l crg situd en el interior de l cvidd no produce ningún efecto en el espcio exterior l conductor. 4.4. Cpcidd y condensdores 4.4.1. Cpcidd de un conductor Los conductores pueden lmcenr crg eléctric y por tnto pueden lmcenr energí. En l práctic, l form más sencill de crgr un conductor es conectrlo un terí, como se ilustr en l figur 4.18 E(r) = 4π r 2 donde es ún desconocid. El potencil en l cvidd se puede otener prtir del cmpo medinte l expresión Z r V (r) V () = E (r ) d = = Z r q 4π q 4π r 2 dr µ 1 r 1 El conductor está unido tierr, por tnto su potencil es nulo, es decir V =0 pr r. V Figur 4.18: Conductor crgdo. Result interesnte conocer l cntidd de crg que puede lmcenr el conductor en relción su potencil, lo cul se conoce como cpcidd o cpcitnci del conductor. Mtemáticmente, l cpcidd de un conductor se define como C V,
4.4 Cpcidd y condensdores 13 donde V represent el potencil del conductor respecto l origen de potenciles (l tierr). L cpcidd de un conductor no depende de su crg ni de su potencil, solmente depende de su geometrí (form y dimensiones físics) y del dieléctrico que hy en el espcio circundnte. L unidd de l cpcidd en el es el frdio [F], que, prtir de l expresión nterior, puede definirse como l cpcidd de un conductor que crgdo con un culomio dquiere un potencil de un voltio, luego 1 Frdio = 1 Culomio 1 Voltio. El frdio es un unidd muy grnde, de poco interés práctico; por ello se usn sumúltiplos. Los más utilizdos son: Vemos un ejemplo. 1 [μf] = 10 6 [F], 1 [nf] = 10 9 [F], 1 [pf] = 10 12 [F]. Ejemplo 8 Clculr l cpcidd de un esfer conductor de rdio. Cuál dee ser su rdio pr que l cpcidd resultnte se 1 frdio? olución: egún vimos en un ejemplo nterior, el potencil de un esfer conductor de rdio yconcrg vle V = 4π, por tnto C = V =4π [F]. Pr que l cpcidd se de un frdio, el rdio dee vler = C 4π =9 10 9 [m], es decir, se necesit un esfer de 9 millones de kilómetros!. L expresión de l cpcidd de un esfer, otenid en el ejemplo nterior, nos permite introducir un unidd nuev pr l permitividd, y que = C 4π, luego, en el podemos expresr en uniddes de [F/m], que es un unidd muy utilizd. 4.4.2. Condensdores Concepto de condensdor: Los condensdores son dispositivos que se usn pr lmcenr crg y por tnto energí eléctric. Tl como se muestr en l figur 4.19, un condensdor est formdo por dos conductores con crgs igules y opuests, + y, que presentn influenci totl, es decir, tods ls línes de cmpo que slen del conductor con crg + mueren en el conductor con crg. + ΔV = V 1 V 2 + + + + + + + + + + + + + V V 2 1 Figur 4.19: Condensdor crgdo. Los conductores que formn un condensdor, tmién llmdos rmdurs, no tienen porqué ser de l mism form y tmño. Por tnto, l iguldd de crg en mos conductores, no implic que ls correspondientes densiddes de crg den ser tmién igules. Cpcidd de un condensdor: Considermos un condensdor que crgmos medinte un terí con un diferenci de potencil V = V 1 V 2. L cpcidd de dicho condensdor
4.4 Cpcidd y condensdores 14 se define como C V donde es l crg dquirid por el conductor positivo (el otro conductor tendrá un crg ). O x Cálculo de cpciddes: d Podemos determinr l cpcidd de un condensdor emplendo el siguiente procedimiento: 1. Elegir un sistem de coordends decudo l geometrí del prolem 2. uponer un conductor crgdo con crg + yelotroconcrg 3. Clculr el cmpo eléctrico E prtirdel crg 4. Utilizr el cmpo eléctrico pr determinr l diferenci de potencil entre los conductores medinte l expresión Z 1 V = V 1 V 2 = E d 2 5. Finlmente, l cpcidd se otiene evlundo el cociente / V. Tnto pr un único conductor como pr un condensdor, l cpcidd es un propiedd físic que depende sólo de l geometrí y del tipo de dieléctrico que rellene el espcio circundnte. Por tnto el cociente / V no dee depender de l crg ni de l densidd de crg en los conductores. A continución veremos 3 ejemplos de cálculo de cpciddes medinte el procedimiento que cmos de descriir. Cd uno se corresponde con un tipo de simetrí: pln, cilíndric y esféric. Ejemplo 9 Clculr l cpcidd de un condensdor formdo por dos plcs conductors, prlels, circulres de rdio y seprds un distnci d. Figur 4.20: Condensdor de plcs plnoprlels circulres. olución: iguiendo el procedimiento nteriormente descrito, comenzremos signdo un crg net + l conductor situdo en x =0y un crg net l otro. eguidmente, clculremos el cmpo eléctrico deido los dos conductores crgdos. Teniendo en cuent que d, los efectos de orde son pequeños y podemos proximr el cmpo eléctrico en el condensdor por el cmpo eléctrico deido dos plnos conductores infinitos. egún se otuvo en el ejemplo 3, este cmpo vle E = ρ s ˆx = ˆx El siguiente pso consiste el clculr l diferenci de potencil entre los conductores. Pr ello emplemos l expresión Z 0 V = V (0) V (d) = E d d El cmino de integrción dee llevrnos del conductor negtivo (x = d) l conductor positivo (x =0). El resultdo finl es independiente de l tryectori prticulr de integrción, por lo que tomremos un rect lo lrgo del eje x, que es l más sencill. En consecuenci d =dxˆx y Z 0 V = ˆx dxˆx = d Z 0 d dx = d Por último, sustituyendo este resultdo en l definición de cpcidd C = / V,seotiene C = d = π 2 d [F]
4.4 Cpcidd y condensdores 15 Finlmente, sustituyendo este resultdo en l definición de cpcidd C = / V,result Ejemplo 10 Un condensdor cilíndrico está compuesto por dos cilindros conductores coxiles de rdios y (con <)ylongitud À,. Clculr su cpcidd. C = 2π ln(/) [F] z Ejemplo 11 Un condensdor esférico está formdo por dos esfers conductors concéntrics de rdios y (con <). Clculr su cpcidd. Figur 4.21: Condensdor cilíndrico. olución: Comenzmos crgndo los conductores con igul crgdedistintosigno:>0 el cilindro interno y el cilindro externo. A continución determinmos el cmpo producido por los conductores crgdos. Teniendo en cuent l condición À,, supondremos que el condensdor es lo suficientemente lrgo como pr desprecir los efectos de orde. En est situción el cmpo puede proximrse por el deido los coxiles de longitud infinit con un crg por cd trmo de longitud. egún se otuvo en un prolem nterior el cmpo uscdo vle E = ˆρ ρ. 2π ρ El siguiente pso consiste en clculr l diferenci de potencil entre los conductores que formn el condensdor: V = V () V () = Z E d L tryectori de integrción será un líne rdil, por tnto d =dρˆρ. Entonces Z V = ˆρ dρˆρ 2π ρ = Z 1 2π ρ dρ = 2π ln(/) Figur 4.22: Condensdor esférico. olución: Comenzremos crgndo el condensdor, es decir signndo un crg + l esfer intern y un crg lesferextern. El siguiente pso consiste en clculr el cmpo eléctrico. En relidd este cálculo se hizo en un prolem nterior, oteniéndose E = ˆr r. 4π r2 A continución determinremos l diferenci de potencil entre los dos conductores: V = V () V () = Z E d En este cso, tommos como tryectori de integrción un líne rdil, por tnto d =drˆr. Entonces Z V = ˆr drˆr 2 = 4π 4π r Z 1 r 2 dr = 4π µ 1 1 Finlmente, sustituyendo este resultdo en l definición de cpcidd C = / V,result
4.5 Energí de un condensdor 16 C = 4π [F] demás, reconociendo l integrl que nos qued como l crg net del conductor, result U e = 1 2 V. 4.4.3. Asocición de condensdores Los condensdores se pueden socir en serie y en prlelo Asocición en prlelo: C eq = Asocición en serie: 1 C eq = NX n=1 NX C n 1 C n=1 n (Pr más detlles ver signtur Análisis de Circuitos) 4.5. Energí de un condensdor Energí lmcend en un conductor: egún vimos en tems nteriores, l energí electrostátic lmcend en un distriución superficil de crg es U e = 1 ZZ ρ 2 s V d donde l integrl se extiende tod l distriución de crg. upongmos un conductor crgdo con crg net y potencil V. L crg estrá distriuid sore su superficie con un densidd ρ s. En principio, pr clculr l energí electrostátic lmcend en el conductor tendrímos que evlur l integrl nterior. in emrgo, teniendo en cuent que l superficie de un conductor en equilirio electrostático es equipotencil (V = cte), result U e = 1 ZZ 2 V ρ s d, Ejemplo 12 Determinr l energí electrostátic lmcend por un esfer conductor de rdio con crg net. olución: Al trtrse de un conductor en equilirio electrostático, l energí lmcend se clcul medinte l expresión U e = 1 2 V, donde es l crg del conductor y V su potencil. egún otuvimos en prolems nteriores, el potencil de un esfer conductor de rdio y crg vle V = 4π, Por tnto l energí result U e = 1 2 V = 2 [J] 8π e oserv que U e es siempre positiv con independenci del signo de. i tuviésemos vrios conductores, l energí totl serí simplemente l sum de l energí de cd uno de los conductores individules. Energí lmcend en un condensdor: L energí lmcend en un condensdor es l sum de ls energís lmcends en cd uno de los dos conductores que los formn, luego U e = 1 2 1V 1 + 1 2 2V 2, donde 1,2 y V 1,2 son l crg y el potencil de cd conductor. Por trtrse de un condensdor, y suponiendo que el conductor 1 está crgdo positivmente, podemos hcer 1 =+ y 2 =, luego U e = 1 2 (V 1 V 2 ),
4.6 Energí en función del cmpo eléctrico 17 donde identificmos el término V 1 V 2 como l diferenci de potencil entre mos conductores. Escriiendo V = V 1 V 2 se otiene U e = 1 2 V. Expresión que nos d l energí de un condensdor en función de su crg y de l diferenci de potencil entre sus rmdurs. Recordndo l definición de cpcidd, C = / V, podemos expresr l energí lmcend en un condensdor de ls siguientesformslterntivs U e = 1 2 V = 1 2 C V 2 = 1 2 2 C, pudiendo elegir quell que más nos conveng en cd cso. Ejemplo 13 Clculr l energí electrostátic lmcend en un condensdor esférico de rdios y, crgdo con un crg. olución: En prolems nteriores se otuvo l cpcidd de un condensdor esférico: C = 4π Teniendo en cuent demás que el enuncido nos d l crg del condensdor, l energí lmcend se puede clculr simplemente medinte l expresión U e = 1 2 2 C = 2 8π 4.6. Energí en función del cmpo eléctrico Cundo se ord el estudio de fenómenos electromgnéticos vriles con el tiempo, result más conveniente clculr l energí eléctric en función del cmpo eléctrico que en función de l crg. El ojetivo de este prtdo es otener un expresión generl pr l energí en función del cmpo, lo [J] cul se puede hcer, medinte deducción mtemátic riguros, prtir de l expresión de l energí en función de l crg. in emrgo, deido l complejidd de tl deducción, empleremos un cmino lterntivo, no riguroso. Consideremos un condensdor de plcs plnoprlels de nchur y seprds un distnci d. i l diferenci de potencil entre ls plcs es V, l energí lmcend se puede expresr como U e = 1 2 C V 2 = 1 2 d V 2. Relcionndo l diferenci de potencil con el cmpo eléctrico existente en el condensdor V = Ed y grupndo términos, result U e = 1 2 E 2 (d) = 1 2 E 2 τ donde τ = d es el volumen del condensdor. Est expresión se pueden interpretr diciendo que l energí electrostátic de un condensdor se encuentr en el espcio donde hy cmpo eléctrico. Podemos definir l energí por unidd de volumen como u e = U e τ = 1 2 E 2 L mgnitud u e se denomin densidd de energí eléctric y tiene uniddes de [J/m 3 ]. e oserv que pr el condensdor de plcs plnprlels l densidd de energí es un constnte, por serlo el cmpo eléctrico. in emrgo, en un cso generl, E será función de l posición, por lo que tendremos que definir u e como u e = du e dτ = 1 2 E 2, donde, en generl, u e será función de ls coordends espciles. egún l expresión nterior, l energí eléctric lmcend en un volumen elementl dτ es du e = u e dτ = 1 2 E 2 dτ. L energí lmcend en un volumen finito se otendrá sumndo ls energís de todos los volúmenes elementles que lo conformn, luego ZZZ U e = τ 1 2 E 2 dτ, que es l expresión generl uscd.
4.7 Medios dieléctricos. Considerciones generles 18 Ejemplo 14 Clculr l energí electrostátic lmcend por un esfer conductor de rdio con crg net. Relizr el cálculo emplendo el cmpo eléctrico. olución: L cmpo eléctrico deido un esfer conductor crgd vle E(r) = 0, r < 4π r 2 ˆr r Pr clculr l energí st con hcer l integrl U e = 2 ZZZ E 2 dτ Est integrl dee relizrse todo el espcio. Tomndo dτ =4πr 2 dr, l expresión l integrl result U e = Z 0 E 2 2 4πr 2 dr 0 Teniendo en cuent que pr r < el cmpo es nulo, se otiene Z U e = 2 = 2 8π µ 2 4π r 2 4πr 2 dr 1 r 2 dr = 2 [J] 8π Z 4.7. Medios dieléctricos. Considerciones generles Todos los medios mteriles se componen de moléculs formds por átomos, que su vez están formdos por entes crgdos (núcleos tómicos y electrones). Vemos que ocurre cundo un medio dieléctrico se sitú en un región del espcio en l que existe un cmpo eléctrico plicdo E 0.nicilmente descriiremos l cción de un cmpo externo sore un átomo isldo y sore un molécul isld. Posteriormente ordremos el cso de un dieléctrico. Acción de un cmpo externo sore un átomo isldo: En usenci de cmpo externo plicdo, l nue de crg negtiv tiene simetrí esféric en torno l núcleo (considerdo puntul), por tnto los centros de crgs positivs y negtivs del átomo coinciden, como se ilustr en l figur 4.23. E = 0 x = 0 + q q Figur 4.23: Átomo no polrizdo. Los centros de crg positivo y negtivo coinciden. Cundo existe un cmpo externo plicdo se produce fuerz sore el núcleo positivo en l mism dirección del cmpo y sore l nue de crg negtiv en dirección opuest l cmpo. Como consecuenci, se deform l nue de crg negtiv, con lo que los centros de crgs positivs y negtivs no coinciden. Decimos entonces que el átomo se h polrizdo, o en otrs plrs se h formdo un dipolo eléctrico como se muestr en l figur 4.24. q E 0 E 0 + x q x p = q ( = x ) ) ) c) Figur 4.24: ) Átomo polrizdo (dipolo tómico). ) Diujo esquemático de un dipolo. c) Modelo mecánico de un dipolo. Los desplzmientos producidos por E0 (del orden de frcciones muy pequeñs del diámetro moleculr) están compensdos por intenss fuerzs x k m q F
4.8 Experimento de Frdy 19 resturdors que se formn l cmir l configurción de crgs dentro del átomo (modelo mecánico de muelle). Est redistriución de crgs en el átomo produce un cmpo dicionl que se superpone l cmpo inicilmente plicdo. El átomo polrizdo se crcteriz medinte un mgnitud vectoril llmd momento dipolr eléctrico: p = q. Este proceso se llm polrizción electrónic o de desplzmiento. Acción de un cmpo externo sore un molécul isld: Distinguimos dos csos: 1. Moléculs no polres: son quells que en usenci de cmpo plicdo tienen un momento dipolr eléctrico nulo. Al ctur un cmpo plicdo se polrizn de mner nálog l cso del átomo (polrizción electrónic) 2. Moléculs polres: son quells que, en usenci de cmpo plicdo, tienen un momento dipolr permnente (no nulo). Al ctur un cmpo plicdo, se produce un pr de fuerzs y el dipolo moleculr se orient prlelo l cmpo plicdo (polrizción por orientción). Ej.: Agu Acción de un cmpo externo sore un dieléctrico: Considerremos un medio dieléctrico como un colección de moléculs tods igules y que no interccionn entre sí. Además, en un dieléctrico idel no existe crg lire. Csos: 1. Medionopolr:(colección de moléculs no polres). En usenci de cmpo plicdo no existen dipolos moleculres. Con cmpo eléctrico plicdo se formn dipolos moleculres por polrizción electrónic. Todos los dipolos tienen l mism orientción del cmpo el medio se polriz. 2. Medio polr: (colección de moléculs polres). En usenci de cmpo plicdo cd molécul tiene momento dipolr no nulo. Los momentos dipolres se orientn l zr el momento dipolr totl del mteril es nulo. Con cmpo eléctrico plicdo todos los dipolos se orientn con el cmpo el mteril se polriz (polrizción por orientción). A est ordención se oponen fenómenos como l gitción térmic. e el medio polr o no polr, l plicr un cmpo eléctrico externo el resultdo finl es el mismo:el medio se comport como un colección de dipolos orientdos con el cmpo plicdo como se ilustr en l figur 4.25. E 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Figur 4.25: Dieléctrico polrizdo. 4.8. Experimento de Frdy Consideremos un condensdor de plcs plnoprlels seprds un distnci d y con vcío entre ls plcs. Conectmos este condensdor un diferenci de potencil V 0 y dquiere un crg (figur 4.26-) d + ε 0 V 0 d + ε 0 V 0 + d + > 1 ε r V < V 0 + ) ) c) Figur 4.26: ) Crg del condensdor vcío. ) Medid de l d.d.p. con el condensdor vcío. c) Medid de l d.d.p. con el condensdor relleno de dieléctrico.
4.9 nterpretción del experimento de Frdy 20 L cpcidd del condensdor será C 0 = V 0. i desconectmos el condensdor de l terí, l crg permnecerá en ls rmdurs y por tnto l diferenci de potencil, que podemos medir con un voltímetro, seguirá siendo V 0 (figur 4.26-). En ests condiciones, introducimos entre ls plcs del condensdor un dieléctrico. Al medir de nuevo l d.d.p. entre ls plcs del condensdor se otiene un vlor V < V 0 (figur 4.26-c). En todo el proceso l crg se mntiene constnte. Finlmente, l retirr el mteril, el voltímetro vuelve mrcr V 0. Repitiendo est experienci con distintos mteriles se comprue que l relción V 0 /V es un constnte cuyo vlor depende del tipo de mteril. Al introducir el mteril en el condensdor cmi l d.d.p. mnteniéndose constnte l crg, por tnto dee cmir l cpcidd del condensdor. L cpcidd con el condensdor lleno es C = V, entonces C = V 0 C 0 V =cte= r > 1. L constnte r es un propiedd que crcteriz cd mteril y se denomin constnte dieléctric o permitividd reltiv. Pr l myorí de los mteriles, su vlor es myor que l unidd. L permitividd del dieléctrico se define como = r. L presenci del dieléctrico tmién fect l vlor del cmpo eléctrico dentro del condensdor y l de l energí lmcend. Pr el condensdor vcío E 0 = V 0 d. Pr el condensdor con dieléctrico E = V d, Portnto,lintroducireldieléctrico,elcmpodentro del condensdor disminuye, y que E 0 E = V 0 V = r > 1, L energí lmcend en el condensdor vcío es U e0 = 1 2 V 0. L energí lmcend en el condensdor crgdo vle U e = 1 2 V. Por tnto, l introducir el dieléctrico, l energí lmcend disminuye, y que U e0 U e = V 0 V = r > 1, 4.9. nterpretción del experimento de Frdy En este prtdo ordremos l interpretción del experimento de Frdy, descrito en el prtdo nterior, desde dos puntos de vist complementrios: 1. En términos de l crg de polrizción que prece en el mteril dieléctrico 2. Medinte l introducción de un nuevo cmpo que llmremos vector polrizción. 4.9.1. Densidd de crg de polrizción Hemos visto que l colocr un dieléctrico entre ls plcs de un condensdor crgdo y desconectdo de l terí, el cmpo en el condensdor disminuye, mientrs que l crg sore ls plcs permnece constnte. L disminución del cmpo dee provenir de l prición, dentro del dieléctrico, de crgs de polrizción.
4.9 nterpretción del experimento de Frdy 21 + + 0 + ++ + + ++ + ++ + + ++ + + + + ++ + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ) ) Figur 4.27: ) Condensdor vcío. ) Condensdor lleno de dielectrico polrizdo. 0 + + ρ sf + ++ ρ sp + + + + ++ + ++ + p + ρ sp + + ρ sf ++ + ++ + ++ + ++ Figur 4.28: Cmpo eléctrico de polrizción E p y densiddes de crg de polrizción ρ sp. Tl como se ilustr en l figur 4.27, como consecuenci del fenómeno de polrizción del dieléctrico, prece crg positiv en un de ls crs del dieléctrico y crg negtiv en l otr. El efecto neto del fenómeno de polrizción del dieléctrico es, por tnto, l formción de un densidd de crg superficil en el dieléctrico, que denominremos densidd de crg de polrizción y denotremos como ρ sp. L crg de polrizción que prece en el dieléctrico d lugr un cmpo que llmremos cmpo eléctrico de polrizción E p, tl como se muestr en l figur 4.28. Este cmpo se opone l cmpo externo E 0 credo por ls crgs lires, dndo como resultdo un cmpo totl E.Como E 0 y E p son de sentido contrrio, el módulo de E vle E = E 0 E p. Como y conocemos, pr un condensdor plnoprlelo el cmpo externo se expres en función de l densidd de crg que hy en sus plcs como E 0 = ρ sf siendo ρ sf l densidd superficil de crg lire. Análogmente, el cmpo eléctrico de polrizción se expres en función de l densidd de crg de polrizción: E p = ρ sp. ustituyendo ests dos expresiones en l ecución nterior result E = ρ sf ρ sp Teniendo en cuent demás que, según el experimento de Frdy, el cmpo totl E yelcmpo externo E 0 se relcionn trvés de l constnte dieléctric del mteril como E = E 0 / r podemos escriir E = E 0 = ρ sf, r r que sustituyendo en l expresión nterior result ρ sf = ρ sf ρ sp, r de donde podemos clculr l densidd de crg de polrizción en función de l densidd de crg lire µ r 1 ρ sp = ρ sf. r Como r > 1, l densidd de crg de polrizción es menor que l densidd de crg lire. El fenómeno de polrizción ocurre en todo el volumen del dieléctrico, por ello, en generl, si el dieléctrico no es homogéneo, precen crgs de polrizción tntoenlsuperficie como en el volumen del dieléctrico.
4.9 nterpretción del experimento de Frdy 22 4.9.2. Vectores polrizción y desplzmiento. usceptiilidd y permitividd dieléctrics En este prtdo ordremos l polrizción dieléctric desde un punto de vist lterntivo l considerdo en el prtdo nterior. Ahor nuestro ojetivo es introducir, con un enfoque teórico, l permitividd como prámetro que crcteriz ls propieddes eléctrics de un mteril, desde un punto de vist mcroscópico. Vector polrizción: Como y semos, desde un punto de vist microscópico, l mteri está constituid por un conjunto de dipolos eléctricos. Con el propósito de psr un descripción mcroscópic que nos se útil desde el punto de vist de l teorí de cmpos definiremos el vector polrizción P como el momento dipolr por unidd de volumen: p P = lím τ 0 τ = d p dτ. i considermos un volumen elementl dτ dentro de un dieléctrico polrizdo, el momento dipolr totl correspondiente dicho volumen será d p = P dτ. e supone que dτ es pequeño escl mcroscópic pero grnde escl tómic, de mner que en el volumen elementl dτ hy un grn número de moléculs, cd un con un momento dipolr p, y tods igulmente orientds. El vector P es un cmpo vectoril que tendrá vlor nulo fuer del dieléctrico polrizdo y, en generl, vlor no nulo en su interior. El vector polrizción puede interpretrse como l respuest del dieléctrico l plicción de un cmpo eléctrico Vector desplzmiento: En prolems que involucrn dieléctricos conviene introducir un nuevo cmpo vectoril que llmremos vector desplzmiento D y que definiremos como D = E + P. usceptiilidd y permitividd dieléctrics: Como P represent l respuest del dieléctrico l plicción de un cmpo eléctrico E,deeexistir un relción entre P y E: P = P ( E). Est relción se puede determinr ien experimentlmente, ien prtir de ls propieddes microscópics de l mteri. Pr l myor prte de los mteriles, el vector polrizción result proporcionl l cmpo eléctrico, lo cul podemos expresr en l form P = κ ee, donde κ e es un constnte propi de cd mteril llmd susceptiilidd dieléctric. Losmteri- les que verificn l relción nterior de denominn dieléctricos lineles e isótropos. Además, si κ e no depende de l posición se dice que el dieléctrico es homogéneo. Un vez estlecid un relción entre P y E, podemos relcionr directmente D con E,prlo cul st sustituir el vlor de P en l expresión D = + P, oteniéndose D = E + 0 κ e E = 0 (1 + κ e ) E, que puede escriirse como D = E = r E, donde = (1 + κ e ), es l permitividd del dieléctrico, y r = es l permitividd reltiv o constnte dieléctric. L relción D = E se llm ecución de constitución. Ejemplo 15 e un condensdor plnoprlelo con plcs de nchur seprds un distnci d, lqueseintroduceundieléctricoentrelsplcs de mner que se mntiene l crg constnte. Determinr como vrín los vectores D, E y P, l d.d.p. y l cpcidd.
4.10 Diseño de condensdores 23 olución: Determinremos ntes ls cntiddes pedids pr el cso del condensdor vcío. uponiendo que el condensdor está crgdo con un crg f, l densidd de crg en ls plcs será ρ sf = f. Los cmpos E 0, D 0 y P 0 vlen E 0 = ρ sf, D 0 = ρ sf, P 0 =0. L d.d.p. es Z + V 0 = V + V = E 0 d Z 0 = E 0 d = E 0 d = ρ sf d d y l cpcidd C 0 = f V 0 = ρ sf d = d. ρ sf Al introducir el dieléctrico l crg lire en ls plcs no vrí, luego D = D 0 = ρ sf. El cmpo eléctrico vle hor E = D = ρ sf, y el vector polrizción P = D E = ρ sf ρ sf = L d.d.p. es Z + µ1 1 r ρ sf. V = V + V = E d Z 0 = E d = Ed = ρ sf d d = V 0 <V 0, r y l cpcidd C = f V = ρ sf ρ sf d = d = rc 0 >C 0. 4.10. Diseño de condensdores egún se desprende del experimento de Frdy, l cpcidd de un condensdor es proporcionl r, por tnto es preferile empler medios de lt permitividd pr umentr l cpcidd. Por otr prte, el cmpo de ruptur del dieléctrico (cmpo por encim del cuál se produce un rco eléctrico que perfor el dieléctrico) dee ser lto. En un condensdor plnoprlelo V = Ed, de form que V máx = E máx d ysie máx es grnde d puede elegirse pequeño sin tener que disminuir l d.d.p. máxim de trjo. El dieléctrico dee ser sólido pr evitr el contcto eléctrico entre plcs. Existen muchos tipos de condensdores; quí se comentn sólo dos: Condensdor de ppel: se fric con dos hojs metálics, interclndo entre ms plcs delgds de ppel impregnds en prfin quectúndedieléctrico. Condensdor electrolítico de grn cpcidd: Const de un hoj de metl en contcto con un electrolito. Cundo se plic el voltje entre ls hojs de metl y el electrolito, se form un cp de óxido metálico (islnte) que sirve de dieléctrico. Al ser est cp muy delgd se consiguen cpciddes muy lts. Hy otros tipos de condensdores como los electrolíticos que utilizn ceite como dieléctrico y los condensdores vriles, formdos por plcs móviles. Mteril r E rup (MV/m) Vcío 1 Aire seco 1,00059 3 Teflón 2,1 60 Curzo 3,78 8 Ppel 3,7 15 Agu 80 Titnto de estroncio 233 8 Titnto de rio 10000
4.11 Ley de Guss en medios dieléctricos 24 Ejemplo 16 e construye un condensdor plnoprlelo con ppel de d = 0,14 mm de espesor entre lámins de luminio de superficie =15 480 mm 2.Clculr: 1. L cpcidd 2. Diferenci de potencil máxim Recordmos que en est ecución enc represent l crg encerrd dentro de l superficie gussin. Cundo estmos en el vcío se trt siempre de crg lire, sin emrgo cundo existen medios dieléctricos l crg encerrd puede ser tnto crg lire como crg de polrizción, por tnto, escriiremos hor l ley de Guss pr el cmpo E como 3. i se conect un d.d.p. de 180 V determinr E y E 0. olución: E d = 1 f enc + p enc 0 1. L cpcidd vle C = d = 3,7 15 480 10 6 0,14 10 3 =1,6 [nf]. 2. L d.d.p. máxim es V máx = E máx d = 15 10 6 0,14 10 3 = 2,1 10 3 [V]. 3. El cmpo eléctrico cundo el condensdor está crgdo con el dieléctrico es E = V d = 180 0,14 10 3 =1,3 106 [V/m], y pr el condensdor vcío E 0 = r E =3,7 1,3 10 6 = 4. 8 10 6 [V/m]. 4.11. Ley de Guss en medios dieléctricos Como consecuenci de l presenci de medios dieléctricos es necesrio reconsiderr l form de l ley de Guss que hemos estdo utilizndo hst este momento: E d = enc. donde f enc y p enc son, respectivmente, l crg lire y de polrizción encerrds. Desde un punto de vist teórico, est ecución muestr de form explícit cómo ls fuentes del cmpo eléctrico son tods ls crgs, tnto ls lires como ls de polrizción. No ostnte, desde un punto de vist práctico, no tiene pens utilidd, y que normlmente sólo se conocen ls crgs lires. Pr el cálculo del cmpo eléctrico en prolems que involucren mteriles dieléctricos, y siempre que hy l simetrí necesri, puede utilizrse l ley de Guss, pero expresd en términos del vector desplzmiento, dich ley se escrie como D d = f enc. Est ecución indic que ls únics fuentes de D son ls crgs lires. En consecuenci, su vlor no depende del dieléctrico prticulr que tengmos en el prolem. Un vez determindo D, el cmpo eléctrico se otiene trvés de l expresión E = D/. Como plicción de todo esto considermos el siguiente ejemplo. Ejemplo 17 Clculr el vector desplzmiento y el cmpo eléctrico credo por un crg puntul q 0 inmers en un dieléctrico infinito de permitividd. Determinr l fuerz ejercid por q 0 sore otr crg puntul q.
4.11 Ley de Guss en medios dieléctricos 25 O q' r d ε D Ejemplo 18 Un conductor esférico de rdio tiene un crg totl. Dichoconductorestárecuierto con un mteril islnte de permitividd 1, form esféric y concéntrico con él, que se extiende desde r = hst r =. Desder = hst el infinito hy un segundo mteril islnte de permitividd 2.Hllr D en cd punto del espcio. Figur 4.29: olución: Como el dieléctrico es infinito, el prolem tiene simetrí esféric D = D(r)ˆr, > 0 ε 1 ε 2 y se puede usr Guss pr clculr D: D d = f enc. El flujo del vector desplzmiento trvés de un esfer de rdio r centrd en l crg q 0 es D d = D d = D4πr 2, y l crg lire encerrd en dich esfer es f enc = q 0. ustituyendo los dos últimos resultdos en l ley de Guss, despejndo D y poniendo el resultdo en form vectoril se otiene D = q0 4πr 2 ˆr. Clculmos hor el cmpo eléctrico como D E = = q0 4π r 2 ˆr. Osérvese que el resultdo otenido es el mismo queenelvcíoconlsustituciónde por. i hor colocmos un crg puntul q, l fuerz que l crg fuente q 0 ejerce sore ell es F q0 q = q = q0 q 4π r 2 ˆr, que es l expresión de l ley de Coulom en el vcío donde se h cmido por. Figur 4.30: olución: Pr clculr el vector desplzmiento podemos plicr l ley de Guss D d = f enc. Teniendo en cuent que el prolem tiene simetrí esféric y por tnto D = D(r)ˆr, elprimermiemro de est ecución vle D d = D d = D4πr 2. Pr clculr l crg encerrd considerremos tres regiones: r<(interiordelesferintern).eneste cso f enc =0,luego D 0 =0. <r<(dieléctrico 1). Ahor f enc =, por tnto D 1 = 4πr 2 ˆr. <r(dieléctrico 2). En este cso f enc =, entonces D 2 = 4πr 2 ˆr.