INSTITUTO D PROFSORS RTIGS SPILIDD MTMÁTI GOMTRÍ UNIDD FIH 3: Teorema de Thales y más. 3.1 Teorema de Thales. 3. Teorema de las bisetries. 3.3 irunferenia de polonio. 3.4 riterios de semejanza de triángulos. 3.5 Relaiones métrias en los triángulos retángulos. 008
Instituto de Profesores rtigas Geometría Unidad 3.1- Teorema de Thales. Teorema de Thales (general) Si dos retas r y r' ortan a un onjunto de retas paralelas, entones la razón entre las medidas de dos segmentos ualesquiera de una de ellas es igual a la razón entre las medidas de los respetivos segmentos orrespondientes en la otra. ( H ) r, r' // a ( T ) D D a // b // // d r r a r {}, a r' {'} a b r {}, b r' {'} b r {}, r' {'} d r {D}, d r' {D'} d D D Teorema de Thales (aso partiular) 008
Instituto de Profesores rtigas Geometría Unidad Reíproo del teorema de Thales (general) Si dos retas r y r' ortan a un onjunto de retas de manera que la razón entre las medidas de dos segmentos ualesquiera de una de ellas es igual a la razón entre las medidas de los respetivos segmentos orrespondientes en la otra, entones diho onjunto de retas son paralelas. ( H ) r, r' // a ( T ) d // a // b // a r {}, a r' {'} b r {}, b r' {'} r {}, r' {'} d r {D}, d r' {D'} D D Reíproo del teorema de Thales (aso partiular), puntos de los lados y respetivamente de un triángulo (). Si / / entones se umple que // (H) on / / // ' ' / área( )/área( ) área( )/[área( )+área( )] / área( )/área( ) área( )/[área( )+área( )] omo por (H) se umple / / área( )/[área( )+área( )] área( )/[área( )+área( )] área( )+área( ) área( )+área( ) área( ) área( ).h /. h / h h // Teorema de Thales en los triángulos ( H ) ualquiera, que umplen // Por a. de ulides eiste r / r // por. {} r {J} r // ' J r ' 008 3
Instituto de Profesores rtigas Geometría Unidad J // J... (1) Por (H) // // J J J es un paralelogramo J '' J// () J // De (1) y () : Por qué también se umple que las razones anteriores son iguales a? Nota: la demostraión anterior es válida para y no solamente interiores a los segmentos y respetivamente. nalizarlo a partir de las siguientes figuras. 1) ) Reíproo del teorema de Thales en los triángulos ( H ) ualquiera //, que umplen: Por a. de ulides, eiste t tal que t // por {} t // t {T} ' t ' T T Por (H): T T //. Nota: al igual que en el teorema direto, analizar los restantes asos según la posiión de los puntos y en las retas y respetivamente. 008 4
Instituto de Profesores rtigas Geometría Unidad 3.- Teorema de las bisetries. Se umplirá una propiedad análoga para la bisetriz eterior? n aso afirmativo enuniar y demostrar. Reíproo del teorema de las bisetries (H) ualquiera D que umple: D D D bisetriz de 008 5
Instituto de Profesores rtigas Geometría Unidad D D... Δ area D area D Δ Δ area D Δ area D. D. DF D D. D. DF (1) D F Por (H): D D D 1 (1) DF D DF D bisetriz D bz de.. Se umplirá una propiedad análoga para la bisetriz eterior? n aso afirmativo enuniar y demostrar. hora te proponemos busar otra forma de demostrar el teorema de las bisetries apliando el teorema de Thales. Teorema de las bisetries i) La bisetriz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos uyas medidas son proporionales a las medidas de los lados adyaentes a diho ángulo. ii) Si la bisetriz de un ángulo eterno a un triángulo intersea a la reta que ontiene al lado opuesto, diho punto y los etremos del lado opuesto determinan segmentos de medidas proporionales a las medidas de los lados del triángulo. ( H ) ualquiera ( T ) i) I bz de ii) bz de (et.) I I Demo. : a argo del letor Se podrá haer una demostraión análoga a la anterior para el reíproo del teorema de las bisetries? Problemas 1. Hallar el valor de en ada aso, siendo r, s, t retas paralelas: 6 4 r 8 s t 8 6 s 9 3 t r 4 008 6
Instituto de Profesores rtigas Geometría Unidad. Hallar e y sabiendo que r, s, t son retas paralelas: r 6 y s 3 t 5 D ' ' ' D' a b ' d e 3. n la figura los segmentos,, D y D miden respetivamente 8, 10, 1 y 15. alular las medidas de los segmentos '', '', 'D', D'' sabiendo que '' mide 54 y que las retas a, b,, d y e son paralelas. 4. Un triángulo () tiene los lados y de medidas 6 y 0, respetivamente. Sobre el lado, a 6 del vértie se toma un punto M. Determinar la distania de un punto N situado sobre el lado, al vértie, de manera que MN sea paralelo a. 5. I es bisetriz de. Hallar en ada aso: 6 3 I 8 5 3 4 I 6 1 8 6. es bisetriz del ángulo eterno de vértie. Hallar en ada aso: 1 1 6 1 6 8 7. alular e y sabiendo que I es bisetriz del. 15 1 8. Hallar la medida del lado en el triángulo (): 9 i) I es bisetriz y el perímetro de () es 75. ii) es bisetriz del ángulo eterno de vértie y el perímetro del triángulo () es 3. I y I 10 8 30 10 008 7
Instituto de Profesores rtigas Geometría Unidad 9. n el triángulo (), I es bisetriz de y es bisetriz del ángulo eterno de vértie. alular I. 40 0 I 30 10. Siendo I y las bisetries de los ángulos interno y eterno de vértie, alular, sabiendo que I 8 y I 6. 11. l perímetro de un triángulo () es 100. La bisetriz del ángulo divide al lado en dos segmentos de l6 y 4. Hallar las medidas de los lados del triángulo. 1. La bisetriz eterna de un triángulo () determina sobre un segmento de medida 'y'. Siendo las medidas de los lados y, respetivamente, el triple y el doble de la medida del menor segmento determinado por la bisetriz interna I sobre el lado que mide 0, determine el valor de 'y'. I 3.3- irunferenia de polonio. Problema Dos baros ( y ) que navegan en la nohe han perdido ontato entre sí y on tierra. La última informaión disponible permitía saber la ubiaión de ambos y que la veloidad de uno () era el doble que la del otro (), aunque no se sabía qué direiones llevaban. Pueden llegar a hoarse? n aso afirmativo: uáles son los posibles puntos de hoque? Problema y fijos de modo que 4 m. onstruir, en una misma figura, el lugar geométrio de P tal que: a) i) P P ii) P P 3 P iii) P 4 iv) Qué podría deir del lugar geométrio de de P si P P se hae ada vez mayor? b) i) P 1 P ii) P 1 P 3 iii) P 1 P 4 iv) Qué podría deir del lugar geométrio de de P si P P se aera a ero? 008 8
Instituto de Profesores rtigas Geometría Unidad ) i) P P 5 ii) P 3 P 5 iii) P 4 P 5 iv) Qué podría deir del lugar geométrio de de P si P P d) i) P 8 P 5 ii) P 7 P 5 iii) P 6 P 5 iv) Qué podría deir del lugar geométrio de de P si P P P e) uál es el lugar geométrio de P si P 1? se aera a 1 por valores menores que 1? se aera a 1 por valores mayores que 1? Teorema: irunferenia de polonio.- l lugar geométrio de los puntos del plano uya razón de distanias a dos puntos distintos, fijos y es un número real k dado, positivo y distinto de uno, es una irunferenia uyo diámetro es el segmento determinado por los puntos X e Y de la reta tales que su razón de distanias al y al es k. Teorema Direto.- + π, k { 1} (H),, X / X, X k X ( ) Y / Y, Y, Y k Y P / P π, P k P P XY P P X o P Y P por (H) XY r P P P Pt bz P Pt rayo interior del P Z / Pt {Z} Y Q X Z Por teo. de las bisetries: P Z y Z P Z X Z Por (H): P X y X (1) P X t 008 9
Instituto de Profesores rtigas Geometría Unidad Sea r la reta que inluye a la bisetriz del P (et.). omo Pt es la bisetriz del P, entones Pt r () Pt Queremos probar que y r son seantes. Supongamos // r P P.. Por (H): P k P k 1, ontra hipótesis, Q / {Q} r P P ntones, por teorema de las bisetries (et.): P Q. P Q omo r inluye las bisetries de los ángulos eternos en P, los puntos de r son eteriores al triángulo P, entones Q no pertenee al segmento pero si a la reta. Por (H): P k P Q k Q on Q y Q (H) Q Y (3) De (1), () y (3) : XPY reto P XY L.G. de Thales nuniar y demostrar el teorema reíproo del anterior. 008 10
Instituto de Profesores rtigas Geometría Unidad 3.4- riterios de semejanza de triángulos. l onepto de triángulos semejantes tiene que ver on la orrespondenia de éstos en una semejanza. Puesto que abordaremos el onepto de semejanza a posteriori, diha definiión sería huea en este momento y en este planteo. Sin embargo, podemos aeptar la idea de triángulos semejantes omo aquellos que tienen sus pares de lados proporionales y sus pares de ángulos ongruentes. Veamos riterios mínimos para estableer la semejanza de dos triángulos. Primer riterio.- Si dos triángulos tienen un ángulo ongruente y las medidas de los lados que lo determinan son proporionales, entones son semejantes. (H), PQR PQR Q PQ QR P Q R Segundo riterio.- Si dos triángulos tienen dos ángulos respetivamente ongruentes, entones son semejantes. (H), PQR PQR Q R Q P R Terer riterio.- Si dos triángulos tienen las medidas de sus tres lados respetivamente proporionales, entones son semejantes. (H), PQR PQR P PQ QR PR R Q 008 11
Instituto de Profesores rtigas Geometría Unidad 3.5- Relaiones métrias en los triángulos retángulos. Teorema del ateto.- n todo triángulo retángulo la medida de un ateto es media proporional entre las medidas de la hipotenusa y la de su proyeión sobre la misma. (H) reto proy ( ). Por (H): reto Por (H): proy ( ) es interior a ntones. Por ser retos: nuniar y demostrar el teorema reíproo del anterior. Teorema de Pitágoras.- n todo triángulo retángulo, el uadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los uadrados de las medidas de los atetos. (H) reto + Por (H): reto Sea proy ( ).. Sumando miembro a miembro:. +.. ( ) + + + omo es interior a : + nuniar y demostrar el teorema reíproo del anterior. 008 1
Instituto de Profesores rtigas Geometría Unidad Teorema de la altura.- n todo triángulo retángulo, la medida de la altura orrespondiente al vértie al que onurren los atetos es media proporional entre las medidas de los segmentos que su pie determina en la hipotenusa. (H) reto proy ( ). Por (H): reto Por (H): proy ( ) ntones es interior a reto, en + 90º, en + 90º. nuniar y demostrar el teorema reíproo del anterior. Problemas 1. ualquiera de ortoentro H. Las retas b y son perpendiulares a en y respetivamente. H {N}, H b {M}. a) Demostrar que los triángulos HN y HM son semejantes. b) Los triángulos anteriores son semejantes al triángulo?. diámetro de O,r. Las retas a y b son tangentes a O,r en y respetivamente. un punto de O,r y t la tangente a la irunferenia en. t a {}, t b {D}. a) Demostrar que los triángulos DO y son semejantes. b) Son semejantes los triángulos O y OD? ) Demostrar que. D es onstante y alularlo en funión de r. 3. ualquiera y su irunferenia irunsripta. biz {,D}, biz {}. a) Demostrar que. D.. b) nontrar en la figura dos triángulos semejantes al D y deduir que D D. D. 008 13
Instituto de Profesores rtigas Geometría Unidad 4. Perteneiente al diámetro de una irunferenia O,r se onsidera un punto / (/3)r. Se onsideran D tal que D O,r y la reta OH D tal que H D. OH D {}. a) alular la medida de los segmentos D, D y OH en funión de r. b) es perpendiular a OD? ) Demostrar que DH) y H son insriptibles. d) I y J los entros de las irunferenias irunsriptas a los uadriláteros anteriores. s reto el ángulo IHJ? e) alular el área del triángulo IHJ e IJ en funión de r. 5. n un triángulo retángulo en, se onsidera la perpendiular a por que la orta en D, y la perpendiular a por D que la orta en. Demostrar que el triángulo D es semejante on los siguientes triángulos: a) D b) D ). 6. Se da un triángulo insripto en una irunferenia. La bisetriz del orta a en D y a en M. a) Probar que DM D. b) Probar que M MD. M. 7. Se dan dos irunferenias y 1, seantes en y. Se onsideran un par de retas por que ortan a en M y N, y a 1 en M 1 y N 1, respetivamente. Probar que MM 1 NN 1. 8. Sean tres puntos alineados, y. Se onsideran las semiirunferenias 1 de diámetro y de diámetro, inluídas en semiplanos opuestos. Por I, un punto de, se onsidera la perpendiular a que orta a 1 en M y a en N. Sea P tal que M N {P}. a) Probar que el uadrilátero MNP es insriptible. b) Probar que P P. ) Probar que P.. 9. Sea D un trapeio de bases y D, insripto en una irunferenia. Sea P un punto de en distinto semiplano que respeto de D y P {}. Probar que P. P PD. P. 10. Dado un triángulo, anithorario, retángulo en tal que el segmento H es altura, H, : a) demostrar que H 3. b) alular H y onstruir el triángulo para. 11. Se onsidera un triángulo retángulo en y de altura H, on H y H y. alular la altura, la medida de los atetos, el perímetro y el área en funión de e y. 008 14