3. ÁLGEBRA VECTORIAL

Ojetivo: El lumno plicrá el álger vectoril en l resolución de prolems geométricos.

Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3.2 Cntiddes esclres y cntiddes vectoriles. Definición de segmento dirigido. Componentes esclres de un segmento dirigido en l dirección de los ejes coordendos. El vector como tern ordend de números reles. Definición de módulo de un vector e interpretción geométric. Vector de posición de un punto. Vector nulo. Vector unitrio. Vectores unitrios i, j, k. Vectores representdos por un cominción linel de los vectores i, j, k. 3.3 Definición de iguldd de vectores. Operciones con vectores: dición, sustrcción y multiplicción por un esclr. Propieddes de ls operciones. 3.4 Producto esclr de dos vectores y propieddes. Condición de perpendiculridd entre vectores. Componente esclr y componente vectoril de un vector en l dirección de otro. Ángulo entre dos vectores. Ángulos, cosenos y números directores de un vector. 3.5 Producto vectoril: definición, interpretción geométric y propieddes. Condición de prlelismo entre vectores. Aplicción del producto vectoril l cálculo del áre de un prlelogrmo. 3.6 Producto mixto e interpretción geométric.

Sistem crtesino de tres dimensiones Y Eje de Ordends Origen Eje de Aciss X Eje de cots Z

Sistem crtesino de tres dimensiones Z Y X

Sistem crtesino de tres dimensiones III Z II IV I Y X VIII VII V VI

Sistem crtesino de tres dimensiones Z P (x, y, z) z x P y Y X Existe Correspondenci Biunívoc

Simetrís en el Sistem Crtesino 3D Z P (x, y, z) z y x P Espejo Y -z X P XY (x, y, -z)

Simetrís en el Sistem Crtesino 3D Z z P (x, y, z) P (x, y, z) P XY (x, y, -z) P XZ (x, -y, z) y P YZ (-x, y, z) x P Espejo Y P X (x, -y, -z) -z P Y (-x, y, -z) X P Z (-x, -y, z) P O (-x, -y, -z) P XY (x, y, -z)

Ejercicios

Cntiddes Esclres y Vectoriles Un esclr es quell entidd mtemátic que solo posee mgnitud. Un esclr, se puede empler pr indicr lguns crcterístics físics como l ms, l longitud, el volumen, l tempertur, el tiempo, etc. Un vector es quell entidd mtemátic que posee mgnitud, dirección y sentido, y se puede representr geométricmente con un segmento dirigido. Un vector se puede empler pr indicr lguns crcterístics físics como l velocidd, l fuerz, l celerción, etc.

Segmento Dirigido Un segmento dirigido es l porción de un rect comprendid entre dos puntos, uno de los cules se le llm punto inicil y l otro punto finl. A B AB BA

Componentes Esclres de un Segmento Dirigido Ls componentes esclres de un segmento dirigido en l dirección de los ejes coordendos se otienen restndo ls coordends del punto finl, ls correspondientes coordends del punto inicil. Z c A B Y X

Vector como Tern Ordend de Números Reles Un vector se puede expresr como un tern ordend de números reles que corresponden ls componentes esclres del segmento dirigido que represent dicho vector. Z c A B AB = (,, c) Y X

Vector de Posición de un Punto Un vector de posición es quel que tiene como punto inicil, el origen de coordends y como punto finl un punto culquier del sistem; tl que, ls coordends del punto serán ls componentes esclres del vector. Z P (x, y, z) z p = (x, y, z) x y Y X

Vector de Posición de un Punto Un vector de posición es quel que tiene como punto inicil, el origen de coordends y como punto finl un punto culquier del sistem. Z P (x, y, z) z p = (x, y, z) x y Y X

Modulo de un Vector El módulo de un vector es l longitud del segmento dirigido que represent dicho vector. Z P (x, y, z) El módulo del vector p se determin medinte l expresión siguiente: z p = x 2 + y 2 + z 2 p x y Y El módulo de un vector siempre es un vlor positivo. X

Vector Nulo y Vector Unitrio Un vector nulo es quel que tiene como punto inicil y como punto finl l mismo punto; es decir, es quel de módulo cero. p = 0 Un vector unitrio quel que tiene como módulo l unidd, independientemente de su dirección y sentido. p = 1

Ejercicios

Iguldd entre Vectores Pr que exist iguldd entre dos vectores, es necesrio que exist iguldd componente componente. = ( 1, 2, 3 ) = ( 1, 2, 3 ) = Ssi: 1 = 1 2 = 2 3 = 3

Sum de Vectores Anlíticmente, l sum de dos o más vectores se otiene sumndo componente componente los vectores involucrdos. = ( 1, 2, 3 ) = ( 1, 2, 3 ) + = ( 1 + 1, 2 + 2, 3 + 3 ) Geométricmente l sum de vectores se reliz como sigue: + = +

Sum de Vectores L sum de vectores tiene ls propieddes siguientes: 1) Cerrdur 2) + = + Conmuttividd 3) + ( + c ) = ( + ) + c Asocitividd 4) O + = Existenci del elemento idéntico 5) ( ) + = O Existenci del elemento inverso

Sustrcción entre Vectores Anlíticmente, l sustrcción entre vectores se otiene restndo componente componente los vectores involucrdos. = ( 1, 2, 3 ) = ( 1, 2, 3 ) = ( 1 1, 2 2, 3 3 ) Geométricmente l sustrcción de vectores se puede relizr de dos forms: = = = + ( )

Sustrcción entre Vectores Ls propieddes de l sustrcción entre vectores son ls misms que ls propieddes de l sum excepción de l conmuttividd + = ( ) Anticonmuttividd

Ejercicios

l esclr = ( 1, 2, 3 ) l = (l 1, l 2, l 3 ) Producto de un Esclr por un Vector Geométricmente, el producto de un vector por un esclr es otro vector que mntiene l dirección del primero, pero su mgnitud y sentido pueden cmir dependiendo del vlor del esclr. l > 1 l = 1 0 < l < 1 l = 0 0 > l > 1 l l l l = O l l = 1 l l < 1 l

Producto de un Esclr por un Vector El producto de un esclr por un vector tiene ls propieddes siguientes: 1) Cerrdur 2) (l 1 + l 2 ) = l 1 + l 2 3) l 1 ( + ) = l 1 + l 1 4) l 1 ( l 2 ) = (l 1 l 2 ) 5) 1 = 6) l = l

Ejercicios

Vectores Unitrios i, j, k Los vectores i, j, k, son vectores que tienen de mgnitud l unidd; demás, tienen l mism dirección que los eje coordendos y puntn hci l prte positiv de dichos ejes. Z k i j Y X

Vectores representdos por cominción de i, j, k = ( 1, 2, 3 ) = ( 1, 0, 0 ) + ( 0, 2, 0 ) + ( 0, 0, 3 ) = 1 ( 1, 0, 0 ) + 2 ( 0, 1, 0 ) + 3 ( 0, 0, 1 ) i j k = 1 i + 2 j + 3 k

Ejercicios

Producto Esclr de Dos Vectores = ( 1, 2, 3 ) = ( 1, 2, 3 ) = 1 1 + 2 2 + 3 3 El producto esclr de dos vectores no tiene un representción geométric, y que como su nomre lo indic es un esclr. A este producto tmién se le conoce como producto interno o producto punto.

Producto Esclr de Dos Vectores El producto esclr de dos vectores tiene ls propieddes siguientes: 1) = 2) ( + c ) = + c 3) l = l ( ) 4) > 0 ; si = 0 5) = 2 Cundo el producto esclr de dos vectores es cero, los vectores son perpendiculres. Ssi = 0 Condición de Perpendiculridd

Ejercicios

Componentes Esclr y Vectoril L componente esclr de un vector sore l dirección de otro, se denot de l form siguiente: Comp. Esc. que se lee, componente esclr del vector sore l dirección del vector ; geométricmente, el vlor soluto de l componente esclr, represent l mgnitud de l proyección de un vector, sore l dirección de otro vector. Comp. Esc.

Componentes Esclr y Vectoril L componente vectoril de un vector sore l dirección de otro, se puede denotr de l form siguiente: Comp. Vect. que se lee, componente vectoril del vector sore l dirección del vector. Geométricmente, l componente esclr represent el vector que se otiene l proyectr un vector, sore l dirección de otro vector. Comp. Vect.

Componentes Esclr y Vectoril Ddos los vectores y.

Componentes Esclr y Vectoril El vector tiene su vector unitrio denotdo por u u

Componentes Esclr y Vectoril Existe un vector l u, prlelo l vector u y que form un triángulo rectángulo con el vector. En tl cso, l corresponde l Comp. Esc.. l u u

Componentes Esclr y Vectoril En el triángulo, se puede trzr otro vector en función de los vectores y l u quedndo: l u u

Componentes Esclr y Vectoril En el triángulo, se puede trzr otro vector en función de los vectores y l u quedndo: ( l u ) l u u

Componentes Esclr y Vectoril ( l u ) l u u

Componentes Esclr y Vectoril El vector es perpendiculr l vector ( l u ); por lo tnto: ( l u ). = 0 l u ( l u ) Aplicndo ls propieddes del producto punto, despejndo l y simplificndo, se otiene: l = u Como l es l componente esclr del vector sore l dirección del vector : Comp. Esc. =

Componentes Esclr y Vectoril Por otro ldo, el vector l u, es l componente vectoril del vector sore l dirección del vector ; por lo tnto: ( l u ) Comp. Vect. = l u l u Comp. Vect. = u

Ángulo entre dos Vectores El coseno del ángulo entre el vector y el vector l u se otiene con: l u ( l u ) cos q,lu l u Desrrollndo, se otiene lo siguiente: u cos q,lu > cos q, q, ng cos

Ángulos, Cosenos y Números Directores Z q q, p, i = ng cos = ng cos p i p i X k i g j p = (p 1, p 2, p 3 ) Y q p, i (p = ng cos 1, p 2, p 3 ) (1, 0, 0) p i = ng cos p 1 p = ng cos p 2 p g = ng cos p 3 p

Ángulos, Cosenos y Números Directores = ng cos p 1 p cos = p 1 p p 1 = p cos = ng cos p 2 p cos = p 2 p p 2 = p cos g = ng cos p 3 p cos g = p 3 p p 3 = p cos g Ángulos Directores Cosenos Directores Números Directores

Ejercicios

Producto Vectoril El producto vectoril de dos vectores es un tercer vector, el cul es perpendiculr los que le dieron origen. = ( 1, 2, 3 ) x = ( 1, 2, 3 ) x = ( 2 3-3 2 )i ( 1 3-3 1 )j + ( 1 2-2 1 )k x = (( 2 3-3 2 ), ( 1 3-3 1 ), ( 1 2-2 1 )) x = ( 2 3-3 2, 3 1 1 3, 1 2-2 1 )

Propieddes del Producto Vectoril x = ( x ) Anticonmuttividd x ( + c ) = x + x c Distriutividd por l izquierd ( + ) x c = x c + x c Distriutividd por l derech ( l ) x = x ( ) l ( ) l = x O x = x O = O

Propieddes del Producto Vectoril x = sen q, sen q, = x q, = ng sen x Cundo el producto vectoril de dos vectores es el vector nulo, los vectores son prlelos. Ssi x = O Condición de Prlelismo

Ejercicios

Áre de un prlelogrmo Áre = se x h h se = q, h = sen q, Áre = sen q, Áre = x

Áre de un triángulo Áre = x 2

Ejercicios

BIBLIOGRAFÍA 1. Solis Uldo, Rodolfo; Nolsco Mrtínez, Jesús E.; Victori Rosles, Angel; Geometrí Anlític ; Ed. Limus; México, 1997. 2. Cstñed de Isl Pug, Erick; Geometrí Anlític en el Espcio ;, UNAM; México, 2000. 3. Benítez, René; Geometrí Vectoril ; Ed. Trills; México, 2002.