OPTIMIZACION CLASICA. M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 1

OPTIMIZACION CLASICA M.C. Héctor Martínez Rubin Celis

Máimos y Mínimos Locales Funciones Decrecientes y Crecientes f '() f ( ) Gráfica de f ( ) + Crece Sube - Decrece Baja Cuando una gráfica cambia en su pendiente de crecer a decrecer un máimo local ocurre si eiste un intervalo ( m, n ) que contenga a c, tal que; f ( ) f ( c ), para todo en ( m, n ) Cuando una gráfica cambia en su pendiente de decrecer a crecer un mínimo local ocurre si eiste un intervalo ( m, n ) que contenga a c, tal que; f ( ) f ( c ), para todo en ( m, n ) Valores Críticos Los valores críticos de en el dominio de f donde f '( ) = 0, o f '( ) no eiste son llamados valores críticos de f. Se obtiene la a. derivada de f(), se iguala esta a cero y se resuelve para. Ejemplo: f ( ) = 3-6 + 9 + M.C. Héctor Martínez Rubin Celis

obteniendo la a. derivada e igualando esta a cero, tenemos que f '()=3 -+9=0 ; 3( -4+3)=0; 3(-)(-3)=0 Así; resolviendo para se obtienen los valores críticos = y =3 Criterio de la a. derivada Analizando el comportamiento de la gráfica tenemos que; f () f() Gráfica de f() (-, ) + Crece Sube = 0 Máimo local Tangente horizontal (, 3) - Decrece Baja =3 0 Mínimo local Tangente horizontal (3, ) + Crece Sube por lo tanto ocurre un máimo local en (, 5) y un mínimo local en (3, ) Concavidad La gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo (a, b) si f '() crece sobre (a, b) y es cóncava hacia abajo en el intervalo (a, b) si f '() decrece sobre (a, b). f ''() f '() Gráfica y=f() Ejemplo + Crece Cóncava hacia arriba - Decrece Cóncava hacia abajo d y f () = D untos de f () = = y = D f () d infleión: Un punto de infleión es un punto en la gráfica de una función donde la M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 3

concavidad cambia. Esta se obtiene sacando f ''() e igualándola a cero y resolviendo para cuyos valores serán los puntos de infleión. f ''()=6 - = 6( - ) =0; así, el punto de infleión se presenta en = f ''() - - - - - 0 + + + + -3 - - 0 3 4 5 6 Criterio de la da. derivada La da, derivada puede ser utilizada para encontrar Años etremos locales. Suponga que una función satisface f '(c) 0 y f ''() >0 la gráfica debe ser cóncava hacia arriba, por lo tanto corresponde a un mínimo local y si f '(c) = 0 y f ''(c) < 0 la gráfica debe ser cóncava hacia abajo, por lo tanto corresponde a un mínimo local. Ejemplo: f ( ) = 3-6 + 9 + Obteniendo la a. derivada e igualando esta a cero, tenemos que f '()=3 -+9=0 ; 3( -4+3)=0; 3(-)(-3)=0 M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 4

y resolviendo para se obtienen los valores críticos = y =3 Sacando la da. Derivada f ''()=6 - y sustituyendo en esta los puntos críticos; f ''() = -6 el cual es < 0 y corresponde a un Máimo local f ''(3) = 6 el cual es > 0 y corresponde a un Mínimo local VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIABLES Condición suficiente para un valor etremo relativo Se desea encontrar entre los puntos críticos aquellos que son puntos de máimo o de mínimo relativo y los que no lo son. Si P o (a,b) es un punto crítico de f(,y), entonces f (a,b) = f yy (a,b) = 0 y en consecuencia, el plano tangente a la superficie z = f(,y) en P o es horizontal. Si cerca de P o la superficie esta por encima o sobre el plano tangente, entonces P o es un punto mínimo relativo. Si la superficie esta por abajo o sobre el plano tangente, entonces P o es un punto de máimo relativo. Si la superficie esta en parte por encima y en parte por debajo, entonces P o se llama punto de silla. Si P o es un punto crítico, este ocurre en; f ( o,y o ) = 0 y f y ( o, y o ) = 0 y será un; Mínimo relativo, Si f (, y) > f ( o, y o ) o un Máimo relativo, Si f (, y) < f ( o, y o ) Considérese que; M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 5

f f = ( )= f f f = ( )= y y y f yy f y = f y f f = = y y Sea P o (a,b) un punto crítico de z=f(,y) y supóngase que f y f yy son continuas en algún entorno N(P o ). Para simplificar sea; A= f (a,b), B= f y (a,b) y C = f yy (a,b) I) Si AC - B > 0 y A > 0, entonces P o es un punto mínimo relativo para f II) Si AC - B > 0 y A < 0, entonces P o es un punto máimo relativo para f z=f(,y) Máimo local Po(a,b,c) M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 6 y

III) Si AC - B < 0, entonces P o es un punto de silla para f Si AC - B elaborada. = 0, entonces la naturaleza de P o requiere una investigación más A continuación se presenta una gráfica que contiene diversos máimos, mínimos y puntos de silla: M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 7

Ejemplos: Ejemplo Dada la función Z= f(,y) = + y +, encuentre los punto etremos. Paso : Encontrar los punto críticos f = = 0 f = y = 0, así los puntos críticos ocurren en (0, 0) Paso : Calcule A=f (0,0), B= F (0,0) y C= f (0,0) M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 8

A = f =, B = f = 0 y C = f = Paso 3 Evaluar AC - B () - 0 = 4 > 0 y A = > 0 así; f(0,0) = corresponde a un mínimo local Ejemplo Dada la función Z= f(,y) = - - y + 6 + 8y -, encuentre los punto etremos. Paso : Encontrar los punto críticos f = - +6 = 0 y =3, f = -y + 8 = 0 y y = 4 Así los puntos críticos ocurren en (3, 4) M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 9

Paso : Calcule A=f (3,4), B= f (3,4) y C= f (3,4) A = f =-, B = f = 0 y C = f = - Paso 3 Evaluar AC - B (-)(-) - 0 = 4 > 0 y A = - < 0 así; f(3,4) = 4, corresponde a un máimo local Ejemplo 3 El costo anual de mano de obra y el costo del equipo automático para una compañía productora de T.V. s esta dado por; C(,y) = + y + 3y - 6-8y + 54 donde es la cantidad gastada por año en mano de obra, e y es la cantidad gastada en equipo automático. Determine cuanto deberá gastarse en cada concepto cada año para minimizar el costo. Cual es el mínimo costo? M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 0

Dada la función C(,y) = + y + 3y - 6-8y + 54, encuentre los punto etremos. Paso : Encontrar los punto críticos C = 4 + y - 6 = 0 y C = + 6y - 8 = 0 resolviendo este sistema de ecuaciones encontramos que =3. e y=.6, así el punto crítico ocurre en (3.,.6) Paso : Calcule A=C (3.,.6), B= C (3.,.6) y C= C (3.,.6) A = C = 4, B = C = y C = C = 6 Paso 3 Evaluar AC - B (4)(6) - = 0 > 0 y A = 4 > 0 Así; Costo mínimo total teniendo gasto de $3. en mano de obra y de $.6 en equipo automático será de C(3.,.6) = $.4 el cual corresponde a un mínimo local M.C. Héctor Martínez Rubin Celis

PROGRAMACIÓN NO LINEAL Se define un problema de a ser considerado Min f() Sujeto a; g i ()=0 ; h () 0, i=,,...,m< n j =,,...,r donde = [,,..., ] T y todas las funciones f, g, y h son diferenciables. En pocas palabras, se desea determinar de entre un conjunto de todos los números que satisfacen las m restricciones igualdades g i ()=0 ; i=,,...,m< n y de r restricciones desigualdades h () 0, j =,,...,r que conjunto particular [,,..., ] produce un valor mínimo de f(). Note que m, en numero de restricciones igualdades, debe ser estrictamente menor que n, el numero de variables. Si m n el problema se dice estar sobre restringido, debido a que no hay grados de libertad sobrantes para optimizar. El numero de grados de libertad esta dado por n-m. El conjunto de todos los valores posibles que satisfacen a todas las restricciones es definido como conjunto factible. Cualquier elemento en este conjunto será llamado punto factible. El problema de definido previamente, únicamente trata con funciones diferenciables. Una clase de problemas donde las restricciones son violadas es denominado Programación Entera. Estos problemas, requieren que la solución elegida de un conjunto de enteros en lugar de un conjunto de numeros reales. Se trataran en futuro, problemas con restricciones igualdades, restricciones con desigualdades y con ambos tipos. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic

Teniendo un problema de optimización sujeto a ciertas interacciones y siendo el caso en que estas sean igualdades. La representación del problema sea Min o Ma f() Sujeto a; g i ()=0 ; i=,,...m y m< n donde; m es el numero de restricciones y n es el numero de variables El problema consiste en determinar un punto X en cual produzca un mínimo relativo para f() y también satisfaga a las restricciones. Ciertamente la región factible es enormemente reducida con la presencia de las ecuaciones (restricciones con igualdades). La solución consiste en formar un nuevo problema sin restricciones a la función objetivo con Multiplicadores de Lagrange λ i =,,..,n. La nueva función objetivo L(X,λ) es llamada el Lagraciano. Esta definida en E m+n, el cual es un problema multidimensional, ya que eisten m+n elementos desconocidos ( m= λ i s + n variables). El precio pagado por prescindir de las restricciones es un problema multidimensional. Como el problema es definido por L(X,λ) = f() + Σ i=,,.., m λ i g i () es ahora sin restricciones, se pueden aplicar las condiciones necesarias para estacionalidad, que son; δl δ j δf = + δ j i=,,..,m δ g δ i j j=,,..,n δl = g ()= 0 i δ λi =,,...,m Lo cual produce un conjunto de m+n ecuaciones en m+n elementos desconocidos M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 3

(X,λ) para ser encontrados para los valores óptimos (X,λ ). Nótese que δl δ λi = 0 =,,...,m garantiza que las restricciones sean satisfechas en la solución óptima. En este caso g i ()=0 ; i=,,...m y el valor óptimo de el Lagraciano es igual que el retorno óptimo del problema original L(X,λ ) = f( ) Para la forma cuadrática se puede resolver este problema (una vez que se ha probado la conveidad y obteniendo el Lagraciano y derivadas parciales por Programación Lineal, utilizando el Método Simple. Proceso de aplicación: Cualquier mínimo o máimo local de la función z= f(,y) sujeto a una restricción g(,y)=0 estará entre esos puntos ( o, y o ) para los que ( o, y o, λo ) es una solución a el sistema F (,y,λ) = 0 F y (,y,λ) = 0 F λ (,y,λ) = 0 Donde; F(,y,λ) = f(,y) + λg(,y), provee todas las derivadas parciales que eisten. Pasos claves: Paso. Formule el problema en la forma; Maimizar( o Minimizar) z = f(,y) Sujeto a g(,y)=0 Paso. De la ecuación F: F(,y,λ) = f(,y) + λ g(,y) Paso 3. Encuentre los puntos críticos para F; lo que es, resolver el sistema F (,y,λ) = 0 F y (,y,λ) = 0 F λ (,y,λ) = 0 Paso 4. Sí ( o, y o, λo ) es el único punto crítico de F, entonces se asume que ( M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 4

o, y o ) siempre producirá la solución a los problemas que consideremos. Sí F tiene más de un punto crítico, entonces evalúe z = f(,y) en ( o, y o ) para cada punto crítico ( o, y o, λo ) de F. Para los problemas que consideramos, se asume que el más grande de esos valores es el máimo valor de f(,y), sujeto a la restricción g(,y) = 0, y el más pequeño es el mínimo valor de f(,y), sujeto a la restricción g(,y) = 0. Ejemplo: tal que Ma + 4 + = 6 Tenemos que L(,, λ)= + 4 +λ[ + - 6] lo cual produce las condiciones necesarias = + λ = 0, = 8 +λ = 0, = + λ -6 = 0, Así; = 3, = 3/, y λ = -6. Sin embargo, esta es la solución a el problema tal que Min + 4 + = 6 debido a que la solución al problema de maimización es ilimitada, entonces; =, =, y f(, ) = Ejemplo: Min + + tal que + 3 + =, + = 4 Primero se elimina despejando = 4 -. Entonces M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 5

L(,, λ)= + + (4 - ) +λ[ + 3 + - ] lo cual produce las condiciones necesarias = +λ +3λ = 0, = 4 - (4 - )+3λ +λ = 0, = λ +3+ -= 0, En lugar de las cinco ecuaciones con cinco incógnitas que resultarían si se escribiera el Lagraciano L(,,, λ, λ )= + + +λ [ + 3 + - ]+ λ [ + - 4] en este caso, = +λ+3λ = 0, = 4 +3λ +λ+ λ = 0, = 3+ λ = 0, 3 λ = +3sub+ -= 0, = +3-4= 0, λ Ejemplo: Min ( - ) + ( -) tal que M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 6

+ = 6 Primero se elimina despejando = 4 -. Entonces L(,, λ)= ( - ) + ( -) +λ[ + - 6] lo cual produce las condiciones necesarias f = ( - )= 0, f = ( - )= 0, de la cual =, =, y f(, ) = 0. Usando la restricción para eliminar, obtenemos; Min ( - ) + (6 - -) f = ( - )- (4 - )= 0, de la cual = 3, = 3, y f(, ) =. Las soluciones restringidas y no restringidas son mostradas a continuación M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 7

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Programación Cuadrática Min Z=/ X T AX + b T X Sujeto a; C=d Donde; A es una matriz de nn y m<n C es una matriz de mn y m<n L(X,λ) = / X T AX + b T X + λ T [ C - d ] tenemos; L (X,λ ) = A + b + C T λ = 0 L (X,λ ) = C - d = 0 En forma matricial A C T C X - b = 0 λ d la solución será; = M λ X - - b d donde A M = C T C 0 y M es una matriz de tamaño (mn)x(m+n). Sí M es una matriz no singular, entonces puede ser invertida y la solución a (X,λ ) eiste y puede ser determinada. Ejemplo Min Z=( - ) + ( -) tal que + = 4, 0 M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 9

M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 0 desarrollando Z, tenemos Z = -4 +4 + - 4 +4 = -4-4 + + +8 y como Z=/ X T AX + b T entonces el problema se convierte en; [ ] [ ] - 4 4 + 0 0 Z = Min Sujeto a; [ ] [4] = Obteniendo L(X,λ) = / X T AX + b T X + λ T [ C - d ], tenemos [ ] [ ] [ ] ] [4] - [ + - 4 4 + 0 0 )= L(, λ λ y como L (X,λ ) = A + b + C T λ = 0 L (X,λ ) = C - d = 0 entonces L = -4 + λ = 0 L = -4 +λ = 0 L = + -4 = 0 en forma matricial d - b = X 0 C C A T λ

M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 4 4 4 = 0 0 0 λ Teniendo como solución: =.6, =., λ = 0.8, y Z= 0.8 Ejemplo Ma Z = 3 + 4-3 - - + 8 tal que + = 7 + 3 = 0, 0 desarrollando Z, tenemos y como Z=/ X T AX + b T entonces el problema se convierte en; [ ] [ ] 8 + 4 3 + - 4-3 - 3-4 Z = Ma Sujeto a; [ ] 0 = 7 3 Obteniendo L(X,λ) = / X T AX + b T X + λ T [ C - d ], tenemos

M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic [ ] [ ] 0] - +3 [ -7] + [sub+ + 8 + 4 3 + - 4-3 - 3-4 )= L(, λ λ λ L (X,λ ) = A + b + C T λ = 0 L (X,λ ) = C - d = 0 entonces L = 3-3 - 4 + λ () + λ = 0 L = 4-3 - 4 +λ + 3λ = 0 L = + -7 = 0 L = + 3-0 = 0 en forma matricial d - b = X 0 C C A T λ 0 7-4 - 3 = 0 0 3 0 0 3 4 3-3 - 4 λ λ Teniendo como solución: =., =.6, λ = 5.56, λ =.48 y Z= -5.36 Interpretación Económica Considérese el problema siguiente Min f() Sujeto a;

g i ()=b, i =,,...,m< n donde los valores numéricos de b son considerados como la cantidad de recursos escasos que están limitados de acuerdo a las restricciones. Es intuitivamente claro que si los valores del recurso b varían, la solución óptima (, λ) cambiará. Como deseamos saber que efectos se tendrán en L(, λ) con un cambio en b y como esta es una constante, entonces = = 0. Así; o L(, λ) = -λ, L f (, λ )= ( )= - λ, bi bi i =,,...,m debido a que L(, λ) = f() en el óptimo. Si pensamos en la función objetivo como el retorno en pesos, entonces λ puede ser interpretado como pesos por unidad del i vo. recurso. Ya que este tiene las dimensiones de un precio, los Multiplicadores de Lagrange son denominados algunas veces precios sombra. Otra interpretación que sigue del anterior resultado es que los Multiplicadores de Lagrange representan coeficientes de sensibilidad. Esto significa que el valor marginal de cantidades adicionales del i vo recurso esta dado por -λ cuando todos los recursos son asignados óptimamente. Si convertimos a un problema de maimización cambiando el signo de f(), también cambiamos los signos de todos los λ, i =,,...,m. Ejemplo: Ma f( ) + f( ), sujeto a + =b Si f( ) = 50 - ( - ) y f( ) = 50 - ( - ), entonces L =00 - ( - ) - ( - ) + λ[ + -b], M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 3

= - ( - )+ λ = 0, = - ( - )+ λ = 0, y La sensibilidad = + λ - b= 0, = = b/, λ = b-4 f - λ = = 4 - b b implica que para b < 4 un incremento en b tiene un retorno positivo, mientras que para b > 4 un incremento en b tendrá un retorno negativo o perdida. Si b = 4, entonces λ = 0, y las soluciones a el problema con o sin restricciones son idénticas. Eistencia de λ Los Multiplicadores de Lagrange pueden ser usados para resolver cierto tipo de problemas de toma de decisiones. Por ejemplo, si una cantidad adicional del algún recurso puede ser comprado por y pesos por unidad, entonces esta compra deberá realizarse si -λ > y Esto es, si el valor marginal de retorno (-λ) de la asignación óptima de una unidad adicional del recurso es mayor que su costo marginal y, entonces la compra de cantidades adicionales del recurso i vo es económica. M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 4

Ejemplo Si en el ejemplo anterior, se supone que cantidades del recurso adicional cuestan $ por unidad y b =, entonces el retorno marginal, -λ =, es mayor que el costo marginal, y=, y la compra deberá ser realizada hasta el punto donde b=3. Por esto - λ==y e incrementos futuros en el recurso no son económicos a este costo. Si b>4, ningún recurso adicional deberá ser comprado a cualquier precio o aún ser aceptado regalado. DESIGUALDADES EN LAS RESTRICCIONES Una desigualdad en la restricción sería h i ()=0 ; j=,,...,r se convertirán las DESIGUALDADES en igualdades utilizando el método de las variables de holgura y posteriormente aplicando los Multiplicadores de LAGRANGE. Se definirá a θ j como una variable de holgura real para cada desigualdad h j (). Entonces si; h i () 0 entonces h j () - θ j = 0; j=,,...,r esta desigualdad es satisfecha por el valor θ j. Aplicando las condiciones necesarias de Lagrange L(X,λ,θ) = f() + Σ i=,,.., m λ i (h j ()-θ j ) _L = _ i _f _ i + i=,,..,m _ hi λ j = 0 _ i i=,,..,n j=,,...,m _L = h j ()-θ j = 0 _ λ j _L = -λ j θ j = 0 _ θ j =,,...,m M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 5

de la ultima ecuación, λ j = 0 o θj = 0, o ambos Caso I Caso II Caso III Si λ j = 0 y θj 0, entonces la restricción hj () 0 es ignorada ya que h j ( ) = θ j > 0 y la solución óptima no se cambia por la presencia de la restricción. Si θ j = 0 y λi 0, entonces h j ( ) = 0 y la solución óptima esta en los limites de la j esima restricción. Ya que λ j 0, la solución no satisface f( ) = 0. Si λ j = 0 y θj 0 para toda j, entonces la restricción hj ( ) = 0, y la solución satisface f( ) = 0. Esto es, el límite pasa a través del óptimo no restringido. Ejemplo Encuentre los valores máimo y mínimo de - 3y - para + y Definamos a θ = - - y, θ real Entonces L(, y, λ, θ) = - 3y - +λ (θ - + + y ) y = 4 - +λ= 0, = -6y + λy = 0, y L = θ -+ λ + y, = λθ = 0, θ M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 6

Caso : θ=0 (solución restringida). Entonces 4 - + λ = 0 y(λ - 6) = 0 + y = El cual tiene tres soluciones: =0., y=±(0.96) 0.5, λ=3, f(, y)= -3. =, y=0 λ=-, f(, y)= 0 =-, y= 0, λ=-3, f(, y)= 4 Caso : y λ=0 (solución no restringida) 4 - = 0-6y = 0 + + y = θ, =0.5, y=0 θ =.5, f(, y)= -0.5 por inspección el valor mínimo de f(,y) ocurre en 0.± (0.96) 0.5 y el máimo ocurre en -.0 Ejemplo Sujeto a; Ma y Min + ( - ) + ( - 3) 4, y = 4 El Lagraciano es; L(, y, λ, θ) = + +λ [θ + ( - ) + ( - 3) - 4 ] +λ ( - 4 ) Entonces; = +λ( - )+λ = 0, M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 7

= +λ( - 3)- 4 λ = 0, L = θ +( - ) +( - 3 ) - 4= 0, λ = λ - 4 = 0, = λθ = 0. θ Caso : λ = 0 ( + λ ) = 0, - 4λ = 0, θ = 4- ( - ) - ( - 3), 4 = No eisten soluciones que satisfagan a todas las ecuaciones para un valor real de θ. Así la solución debe corresponder al Caso. Caso : θ=0 Ahora de las epresiones L = θ +( - ) +( - 3 ) - 4= 0, λ = λ - 4 = 0, tenemos que 4- ( - ) - ( - 3) = 0 4 = el cual resolviéndolo nos da dos soluciones (, ) corresponde a un mínimo con f() = 5; y (3.86, 3.7), el cual corresponde (aproimadamente) a un máimo con f() = 8.73. M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 8

Optimización con desigualdades en las restricciones El Teorema de Kuhn y Tucker provee un conjunto riguroso de condiciones necesarias para los problemas de desigualdades en las restricciones. Estas condiciones necesarias, además a su generalidad y plenitud, añade una condición adicional a aquellas que fueron derivadas del enfoque de las variables de holgura usando Multiplicadores de Lagrange. El teorema de Kuhn y Tucker Considere el problema de optimización Min f() tal que donde g i () 0, i=,,...,r =[,,..., n ] T y no eiste perdida en la generalidad en no establecer directamente la igualdad en las restricciones, debido a que ellas siempre son convertidas a desigualdades. Recordaremos, que las igualdades en las restricciones se trataron previamente. Como se hizo anteriormente, se asume que f() y g i (), i=,,..,r, son funciones diferenciables. La prueba de las condiciones necesarias Kuhn y Tuker procede definiendo la r L(, λ )= f ()+ Σ i = λi gi () función similar a la Lagraciana M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 9

y considerando la eistencia de los multiplicadores de Lagrange λ.entonces en el punto satisfaciendo tal que Min f() = f ( ) g () 0, i=,,...,r las siguientes condiciones se deben cumplir: _f r _g i ( )+ Σ ( i = λ i )= 0 _ j _ j j =,,...,n g () 0, (λ )g () = 0, λ 0, i=,,...,r i=,,...,r i=,,...,r o en una notación más compacta L(, λ) = 0 L(, λ) 0 ( λ) T g() = 0 λ 0 Estos resultados son llamados las condiciones estacionarías Khun y Tuker. Más adelante se mostrará otra forma del teorema de Kuhn y Tucker que involucra condiciones de punto de silla. Aunque estas condiciones deben lograrse en un máimo, no son necesariamente muy útiles para determinar el punto óptimo. En particular, el conjunto de igualdades y desigualdades no lineales previo presenta un problema computacional retador. Para problemas de alta dimensionalidad, la determinación del óptimo por soluciones directas a estas desigualdades es escasamente factible. Es educativo fijar estas condiciones eplícitamente para otros varios problemas de optimización. M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 30

Ejemplo : Determine las condiciones estacionarías Kuhn y Tucker para el problema tal que Ma f() g i () 0, i=,,...,r Las condiciones necesarias para este problema son obtenidas sustituyendo -f() por f() en la anterior epresión. Por lo tanto - _f _ j ( )+ Σ i r = _gi λi ( )= 0 _ j j =,,...,n o _f r _gi ( )+ Σ (- ) ( i = λi )= 0 _ j _ j j =,,...,n Simplemente cambiando el signo de λ, las condiciones para este problema son: _f r _g i ( )+ Σ ( i = λ i )= 0 _ j _ j j =,,...,n g () 0, (λ )g () = 0, λ 0, i=,,...,r i=,,...,r i=,,...,r Ejemplo : Determine las condiciones estacionarias Kuhn y Tucker para el problema Min f() M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 3

tal que g i () 0, i=,,...,r En este caso simplemente se cambia el signo de g () en las condiciones anteriores. Por lo tanto _f r _gi ( )+ Σ (- ) ( i = λi )= 0 _ j _ j j =,,...,n Así las condiciones para este problema son: _f r _g i ( )+ Σ ( i = λi )= 0 _ j _ j j =,,...,n g () 0, (λ )g () = 0, λ 0, i=,,...,r i=,,...,r i=,,...,r Ejemplo 3: Determine las condiciones estacionarias Kuhn y Tucker para el problema tal que Ma f() g i () 0, i=,,...,r En este caso simplemente se cambia el signo f() y de g () en las condiciones anteriores. Por lo tanto - _f _ j ( )+ Σ i r = _g i (- λ i ) ( )= 0 _ j j =,,...,n Así las condiciones para este problema son: M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 3

_f r _g i ( )+ Σ ( i = λi )= 0 _ j _ j j =,,...,n g () 0, (λ )g () = 0, λ 0, i=,,...,r i=,,...,r i=,,...,r Ejemplo 4 Desarrolle las condiciones Kuhn y Tucker para el problema tal que Min f() g i () 0, 0, i =,,...,r j =,,...,r Se define el Lagraciano _g L( r i n, λ, μ )= f ( )+ Σ i = λi ( )+ Σ j = j j _ μ j e intentando eliminar μ de las condiciones necesarias _f (, λ, μ )= ( )+ Σ i j _ j _g i λ i ( _ j L r = j )+ μ = 0 μ = 0 μ 0 las condiciones restantes no son funciones de μ. Ahora definimos L(, λ )= f ( )+ Σ i r = λi g i (), M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 33

y las condiciones anteriores pueden ser escritas como (, λ )= -μ subj 0, j =,,...,n j L j (, λ ) j = 0 Las variables μ han sido eliminadas de las condiciones necesarias, las cuales se resumen a continuación: a) L(, λ) 0 d) L(, λ) 0 b) () T L(, λ)=0 e) (λ) T g() = 0 c) 0 f) λ 0 Siempre que eistan desigualdades 0 se utilizaran las epresiones d, e y f por cada desigualdad. Problema: Use las condiciones estacionarias Kuhn y Tucker para resolver el problema siguiente Min { f() = ( - ) + ( - ) } tal que - =, +, 0 0 Estableciendo el Lagraciano L(,λ,μ)= ( - ) + ( - ) +λ( - -) + μ( + - ) M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 34

Ahora = ( -)- λ + μ 0, = ( - )+ λ + μ 0, 0, 0, a) [ ( - )-λ+μ]= 0, corresponde a 0 b) [ ( - )+λ+μ]= 0, corresponde a 0 c) + - 0, corresponde a L(, λ) 0 d) μ 0, corresponde a la desigualdad 0 (λ) T g() = 0 e) μ[ + -]= 0, corresponde a la desigualdad 0 (λ) T g() = 0 f) - - = 0, para resolver estas ecuaciones, primero se asume que 0, 0 y μ=0. Entonces se resuelven a), b) y f) ( - )-λ= 0, ( - )+λ= 0, - - = 0, generando =, =, y λ= 0. Pero esta solución no satisface a c) + - 0 falso. A continuación sea μ 0 y resuélvase f), e), a) y b) generando ( - )-λ+μ= 0, ( - )+λ+μ= 0, + -= 0, - - = 0, =/, =3/, μ=, λ= 0 y f(, )=/ M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 35

Checando 0, 0, y μ 0 se determina que la solución se ha obtenido. Condiciones de Punto de Silla M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 36

Dos desventajas del estado estacionario Kuhn y Tucker son que () que son condiciones necesarias para funciones no conveas f() y g (), y () se aplican únicamente cuando las funciones f() y g () son diferenciables. El Lagraciano tiene un punto de silla en (, λ), y las condiciones estacionarias Kuhn y Tucker pueden también ser establecidas en términos de las propiedades de los valores del punto de silla de L(, λ). Teorema. Un punto (, λ) con λ > 0 es un punto de silla del Lagraciano L(, λ) asociado con un problema primo si y solamente si las siguientes condiciones se cumplen:. minimiza L(,λ) para todo valor de. g () 0, i =,,...,r 3. λ g () = 0, i =,,...,r El problema primo es definido como tal que Min f() = f ( ) g () 0, i=,,...,r donde = [,,..., ], y f() y g () son funciones de valor real. No eisten requerimientos de no diferenciabilidad o conveidad sobre estas funciones. Teorema. Si el punto (, λ) es un punto de silla para el Lagraciano asociado con el problema primo, entonces resuelve el problema primo. M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Instituto Tecnológico de Tepic 37