TEMA 9:. TASA DE VARIACIÓN MEDIA La siguiente gráfica representa la temperatura en el interior de la Tierra en función de la profundidad. Vemos que la gráfica es siempre creciente, es decir, a medida que aumenta la profundidad también aumenta la temperatura. Sin embargo, ese aumento no es siempre igual ya que hay intervalos donde el incremento es mucho mayor. Si queremos saber el incremento de temperatura entre: [000,000] ΔTT(000)-T(000)00-800500 [000, 500] ΔTT(500)-T(000)500-0000 [500,000] ΔTT(000)-T(500)5700-50000 [000,4000] ΔTT(4000)-T(000)6600-5700900 Si queremos comparar estos incrementos debemos averiguar la variación de la temperatura por kilómetro: T (000)(000) T 00 800 500 0'5º K por km 000 000 000 000 T (500)(000) T 500 00 00 0'4º K por km 500 000 500 500 T (000)(500) T 5700 500 00 4'4º K por km 000 500 500 500 T (4000)(000) T 6600 57 00 900 0'9º K por km 4000 000 000 000 Así, aunque la amplitud de los intervalos es diferente podemos comparar los cuatro resultados, ya que todas estas variaciones son un promedio por km dentro de cada intervalo. Vemos que la temperatura siempre aumenta (valores positivos) con la profundidad y que es entre 500 y 000 km cuando lo hace con mayor rapidez. Si yf() es una función cualquiera y a < b son dos posibles valores de, se llama incremento de la variable a la diferencia: b a. Para este incremento de la variable se define el incremento de la función: f f ( b) f ( a). Se define la tasa de variación media de la función yf() entre a y b: f f ( b) f ( a) TVM [ a, b] b a La TVM es el cociente entre el incremento que eperimenta la función en ese intervalo y la amplitud del intervalo, y nos da una medida de cómo varía la función en ese intervalo. Si observamos la siguiente figura y recordamos la definición de pendiente de una recta, notaremos que la tasa de variación media en el intervalo [a,b] coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función que pasa por los puntos de abscisa a y b: /8 IBR IES LA NÍA
º) Observa la gráfica de la función y calcula de forma aproimada las tasas de variación media en los intervalos [,], [,5], [5,7], [7,8], [8,0] y [0,]. (0;0,75;0,5;-,5;-0,5;0) º) Halla la tasa de variación media de f ( ) + en [0,], e interpreta gráficamente el resultado. º) Un material radiactivo se desintegra en función del tiempo, 0't medido en días, según la función: M ( t) M 0. e, donde M(t) es la masa, en miligramos, eistente en el instante t y M 0 es la masa al inicio del proceso. Si la masa inicial es de 50 mg, calcula: a. La masa eistente al cabo de 0 días y al cabo de 0 días. b. Cuándo se ha desintegrado más rápidamente en los diez primeros días o en los cinco siguiente? 4º) La siguiente gráfica muestra la evolución de un capital invertido en dos fondos de inversión diferentes y en distintos momentos. a. Cuál es la TVM de cada uno de los capitales desde el inicio? b. Y en los últimos cuatro meses? c. Y en el último mes? d. Puedes decidir qué fondo es más rentable? 5º) Halla la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: a. f ( ) 4 + en [,5], () + f, (/) + 5 f ( ) en, b. ( ) en [,] c. [ ] d. f ( ) en [, 0 ] y en [ 0, ] e. f ( ) 9 + 0 en [ 4,4'0], (-0,99), (-4;6). DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO La tasa de variación media de una función nos informa acerca de su variación en un intervalo. Cuanto mayor sea la amplitud de dicho intervalo la información de la TVM es menos significativa. Si queremos información más precisa sobre la variación de la función en un punto concreto a, tomamos intervalos de la forma [a, a+h], y calculamos la TVM: TVM [ a, a + h] f ( a + h) f ( a) a + h a f ( a + h) h f ( a) /8 IBR IES LA NÍA
Considerando incrementos cada vez menores de la variable, es decir, tomando valores de h cada vez más próimos a cero, podemos definir la tasa de variación instantánea o derivada de la función en a como: f ( a h) f ( a) f ( a) lim h 0 h La derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a cero. Si el límite eiste y es finito decimos que f() es derivable en a. Interpretación geométrica: Hemos visto que la TVM coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica que pasa por los puntos de abscisa a y a+h. Pues bien la derivada de una función en el punto de abscisa a será la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y f () en el punto A(a,f(a)). 6º) Considera la función f (). Calcula : a. TVM [ ;,5] b. TVM [ ;,] c. TVM [ ;,0] d. TVM [ ;,00] e. A qué valor se acercarán esas TVM? [a f ( ) ] 7º) Se estima que dentro de t años la tirada de un periódico será N ( t) 50t + 00t + 000 ejemplares. a. Calcula la tasa de variación media en los próimos tres años. b. Calcula la tasa de variación instantánea en el tercer año. 8º) A partir de la gráfica de f() obtén el valor de: a. f ( )() y f b. f ( ),(0)() f y f c. f ( ),(0)() f y f 9º) Observa la siguiente gráfica. Teniendo en cuenta que las rectas trazadas son tangentes a la función f(), halla los valores de las siguientes derivadas: f ( )(4) y f. 0º) Observa la gráfica de la función y di qué valor tienen aproimadamente: a) f (0),)() b 0,)(0),)( si f ) c f d f º) Halla la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a. f () 6 en b. f en () + 8, 0,, /8 IBR IES LA NÍA
. FUNCIÓN DERIVADA En el último ejercicio hemos visto que el cálculo de la derivada de una función en varios puntos requiere hallar el correspondiente límite en cada caso. f ( a + h) f ( a) Si en la definición de derivada en un punto: f ( a) lim, ponemos la variable en lugar h 0 h del valor concreto a, tenemos una nueva función, f () que a cada valor le asigna el valor de la derivada (la pendiente) de f() en ese punto: f ( ) lim h 0 f ( h) h f ( ) Esta función recibe el nombre de función derivada de f() o simplemente, derivada de f. º) Halla la función derivada de º) Halla la función derivada de f () f () 4 f f f., y el valor de ( ),(),() En lugar de calcular las derivadas de todas las funciones usando la definición, se acaba por memorizar la derivada de las funciones más usuales (todas ellas se justifican calculando el límite antes definido). Función Función constante: f (), k k R f () 0 Derivada Función potencial: f () n f (). n n Función raíz cuadrada: f () f () Función eponencial: f () Función logarítmica: Funciones trigonométricas: f () e () f () ln sen f () cos f e f () f () cos f () sen Ejercicio: 4º) Utiliza la derivada de la función potencial para calcular la derivada de las siguientes funciones: 4 ) f () 5) f () 7 ) f () 6) f () ) f () 7) f () 4) f () 4/8 IBR IES LA NÍA
4. REGLAS DE DERIVACIÓN. OPERACIONES Aplicando la definición de derivada y las propiedades de los límites, se obtienen las reglas que permiten derivar funciones obtenidas al operar con otras funciones.. Derivada de la suma de dos funciones: ()()()() f + g f + g. La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas. Ejemplo: + + + f () () f. Derivada del producto de dos funciones: ()()()()()() f g f g + f g. La derivada de un producto es igual a la derivada del primer factor por el segundo sin derivar, más el primero sin derivar por la derivada del segundo. Ejemplo: f ()() sen fcos sen +. Derivada del producto de una constante por una función: ()()() k f k f. La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función. La justificación es bastante sencilla si utilizamos la regla anterior y la derivada de la función constante: ()()()()() k f 0()()() k f + k f f + k f k f Ejemplo: f () 4() 4 f ()()()() 4. Derivada del cociente de dos funciones: f () f g f g. g g () La derivada de un cociente es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, dividido por el cuadrado del denominador. 5.( + )(5). 6 Ejemplo: f ()() f + ( )( ) + + 5º) Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) f ( ) + b) f ( ) 5 c) f ( ) 6 + d) f ( ) + 0 e) f ( ) 4 f) f ( ) 4 g) f ( ) h) f ( ) + i) f ( ) j) f ( ) k) f ( ) (5 + ) l) f ( ), [ ] m) f ) sen e ( + ) (, [ ] n) f ( ) ln o) f ( ) ( + )( ) p) f ( ) e cos q) f ( ) e r) f ( ) 4ln + sen s) f ( ), e e 5/8 IBR IES LA NÍA
4 5 t) f ( ) u) f ( ) ln sen v) f ( ) w) cos f ( ) 5 ) + f ( ) y) f ( ), ln (ln ) z) 4 6 f ( ) + 5 aa) f ( ) ln 7 bb) f ( ) 7 sen cc) f ( ) dd) f ( ) ( ) e ee) f ()(4 )(4 5) + 6 7 0 + 0 ff) f (), 4 5 (4 5 ) gg) f ( ) ( + ) 5. APLICACIONES DE LA DERIVADA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Como la derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto, podemos saber si una función es creciente o decreciente en dicho punto analizando el signo de su derivada: Si f (a) > 0 f() es creciente en a. Si f (b) < 0 f() es decreciente en b. Pendiente positiva. Creciente en a, Pendiente negativa Decreciente en b. Etremos relativos en c y en d, pendiente igual a 0. 6º) Razona cuál de las siguientes gráficas se corresponde con una función y su derivada: 6/8 IBR IES LA NÍA
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7º) Fíjate en la representación gráfica de la función f () + a) En qué valores de es nula la derivada? b) Escribe los intervalos en los que la derivada es positiva y en los que la derivada es negativa. 8º) Indica si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes en los puntos de abscisa: -,, y 5: a)() f 4)() b g 5)() + c h 9º) Cuál de estas funciones crece más rápidamente en : f ( ) 6 + 4 + 0 5 o 4 g ( ) + 4? 0º) Calcula la pendiente de la recta tangente a la curva Razona si f() es creciente o decreciente en ese punto. º) Calcula la ecuación de la recta tangente a: a. f () 5 en. b. + 5 f ( ) en f () 5 + en el punto. º) El número de individuos, en millones, de una población viene dado por la función 5 + t P ( t), donde t es el número de años transcurridos desde t0. Se pide: t + t + a. La población inicial. b. La TVM durante los 5 primeros años. Puedes asegurar con ese dato que la población ha disminuido durante esos años? c. La tasa de variación instantánea (derivada) el quinto año. Puedes asegurar con ese dato que la población está disminuyendo en ese momento? d. El tamaño esperado de la población a muy largo plazo. º) Se ha estimado que el gasto de electricidad de una empresa, de 8 a 7 horas, sigue esta función G() t 0, 0 t 0,6 t + 4, 05 t 0, t ]8,7[ a. Cuál es el consumo a las 0 horas? Y a las 6h? b. El consumo está aumentando o disminuyendo a las 6? c. Determina las horas del día en las que aumenta el consumo. 4º) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de: f ( ) 5 + 4 + 6, 5 + g( ), h( ) 4 8 8/8 IBR IES LA NÍA