Tema 4 Representación de Funciones 0.- Introducción.- Estudio de una función...- Dominio...- Simetrías...- Periodicidad..4.- Continuidad..5.- Puntos de Corte con los ejes..6.- Asíntotas y ramas infinitas..7.- Monotonía..8.- Curvatura..9.- Esbozo o dibujo de la gráfica..- Ejemplo de aplicación..- Ejercicios Resueltos. Raúl González Medina I.E. Juan Ramón Jiménez Tema 4
Matemáticas º Bachillerato CCNN 4.0.- Introducción Esta Unidad pretende ser una aplicación práctica de todo lo aprendido hasta ahora en el bloque de Análisis. En ella nos centraremos en las funciones polinómicas y racionales. Asimismo, usaremos el cálculo de límites como instrumento para conocer las posibles asíntotas de una función, así como su continuidad. Incluiremos también el estudio de la derivada para obtener los etremos relativos y la monotonía de una función. A partir de la segunda derivada obtendremos los puntos de infleión y estudiaremos su curvatura. Por esta razón la representación gráfica de funciones se considera una de las aplicaciones del cálculo de límites y de las derivadas más utilizada en las ciencias sociales y, en correspondencia, es uno de los temas de ejercicios más frecuentes en las Pruebas de acceso a la universidad. Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-
Matemáticas º Bachillerato CCNN 4..- Representación de Funciones A la hora de estudia una función, trabajaremos cada uno de los siguientes apartados:. Dominio y recorrido. Simetrías. Periodicidad 4. Continuidad 5. Puntos de Corte 6. Asíntotas 7. Monotonía 8. Curvatura 9. Representación Veamos paso a paso cada uno de los ítems anteriores: 4...- Dominio y recorrido Dominio: Valores de para los que está definida (eiste) f () Recorrido: Valores que toma f () Funciones Polinómicas, son de la forma f ( ) ao a... an an y su dominio es. Funciones Racionales, son de la forma los valores que anulan el denominador. Funciones Irracionales, son del tipo f ( ) n f '( ), siendo su dominio: El mismo que f () si n es impar o n n n n ao a... an an f ( ) y su dominio es menos n n b b... b b n El conjunto de valores reales que hagan f ( ) 0 si n es par n Funciones eponenciales, son de la forma f '( ) f ( ) a, con a>0 y a, su dominio es. Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-
Matemáticas º Bachillerato CCNN Funciones logarítmicas, son de la forma f ( ) log f '( ), con a>0 y a f '( ) 0 Funciones circulares: f ( ) sen, f ( ) cos, su dominio es. A partir de estas dos, podemos definir el resto de funciones circulares: sen tg( ), sec( ) cos cos sus dominios son (k ), k Z cos ctg( ), cosec( ) sus dominios son k, k z sen sen 4...- Simetrías La función f : A es par si A, f( ) f( ) La curva de cualquier función par es simétrica respecto del eje OY La función f : A es impar si A, f( ) f( ) La curva de toda función impar es simétrica respecto del origen de Coordenadas (0,0) 4...- Periodicidad La función f : A es periódica, si eiste un número real T distinto de cero, llamado periodo, tal que: f ( T) f ( ) 4..4.- Continuidad. Las discontinuidades de una función, son los puntos donde la función no es continua. Según la definición de continuidad en un punto, una función es continua en un punto a cuando se cumple: a) f( a) b) lim f( ) a c) lim f( ) lim f( ) f( a) a a Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-
Matemáticas º Bachillerato CCNN Si en algún punto no se verifican los tres puntos anteriores, decimos que en dicho punto la función no es continua. 4..4..- Discontinuidades de una función En la tabla siguiente se resumen los 4 tipos de discontinuidades: 4..5.- Puntos de Corte con los ejes Con el eje X: Para calcular los puntos de corte de la función con el eje, hacemos las soluciones de dicha ecuación, y éstas son los puntos de corte con el eje. f ( ) 0 y calculamos Con el eje Y: Calculamos f (0) 0 f., y los puntos de corte son los puntos, (0) 4..6.- Asíntotas y ramas infinitas 4..6..- Asíntota Vertical La recta vertical =a es una asíntota vertical de la función f () si eiste alguno de estos límites:. lim f ( ). lim f ( ). lim f ( ) a a a Cómo saber dónde buscar la asíntota vertical? Si es una función polinómica, no tiene asíntotas de ningún tipo. Si es una función RACIONAL, tendremos que buscar en las raíces del denominador, o lo que es lo mismo, donde se anula el denominador. Eso son los candidatos; después hay que comprobar que efectivamente es así. Otra función que tiene asíntota vertical es la función LOGARÍTMICA, más concretamente, en los puntos etremos de los intervalos donde empieza el dominio. Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-4
Matemáticas º Bachillerato CCNN 7.5.6..- Asíntota Horizontal límites: La recta horizontal y=k es una asíntota horizontal de la función f () si eiste alguno de los siguientes. lim f( ) k. lim f( ) k' Una función tiene como máimo asíntotas horizontales correspondientes a cada uno de los límites en el infinito. Una función puede tener como máimo dos asíntotas horizontales, correspondientes a cada uno de los límites en + y en - : tendríamos una asíntota hacia la izquierda y otra hacia la derecha aunque frecuentemente la misma recta es asíntota por la izquierda y por la derecha. En funciones racionales, si hay asíntota para embargo, en funciones con radicales suelen ser distintas., la misma recta es asíntota para. Sin La gráfica de una función puede cortar a la asíntota horizontal en uno o varios puntos, aunque en la mayoría de las funciones elementales la gráfica está por encima o por debajo de la asíntota. 7.5.6..- Asíntota Oblicuas y ramas parabólicas Se estudian solo si lim f ( ), es decir si no hay asíntota horizontal. f ( ) Lo primero es estudiar el límite: lim f ( ) Si lim la curva tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY. f ( ) Si lim 0 la curva tiene una rama hiperbólica en la dirección OX. (de la forma y ) Si f ( ) lim m 0, estudiamos el límite: lim f( ) m f ( ) Si lim m 0 lim llamada asíntota oblicua. f ( ) m y b, la curva tiene la asíntota en la dirección y=m+b f ( ) Si lim m 0 de la recta y=m y lim f ( ) m, la curva tiene una rama parabólica en la dirección Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-5
Matemáticas º Bachillerato CCNN Asíntota vertical =0 Asíntota Oblicua y= Rama Parabólica Rama Hiperbólica Debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones: Una función puede tener como máimo dos asíntotas oblicuas correspondientes a cada uno de los límites. Las asíntotas horizontales y las oblicuas son mutuamente ecluyentes. La gráfica de una función puede cortar a la asíntota oblicua en uno o varios puntos. La situación de la gráfica respecto de la asíntota oblicua se hace estudiando el signo de f() (m+n) para valores grandes de. 7.5.7.- Monotonía En este punto, estudiaremos los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos y absolutos. Para ello nos ayudaremos de derivada, que igualaremos a cero para obtener los posibles etremos. En una tabla, en la que representaremos la recta real, indicaremos con una línea sencilla los puntos de derivada nula, y con dos rayas los puntos de no dominio. Por tanto, si utilizamos la tabla, tenemos: (-,0) (0,) (,+ ) f () - + + f() Mín (0,) Calculamos el signo de la derivada en cada uno de los intervalos formados y veremos si la función es creciente o decreciente, señalándolo con una flechita, y donde están los etremos relativos, que calcularemos. Véase el ejemplo del final. Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-6
Matemáticas º Bachillerato CCNN 7.5.8.- Curvatura Para la curvatura, nos ayudaremos de la segunda derivada. Calculamos f () y la igualamos a cero, de forma que estos puntos serán los posibles puntos de infleión. Utilizaremos una tabla similar a la del apartado anterior para discutir la curvatura y los puntos de infleión, pero en ésta, trabajaremos con la segunda derivada de la función. 7.5.9.- Dibujo de la gráfica Atendiendo a todos los datos obtenidos una vez seguidos los 8 pasos anteriores, ya estamos en paraje de poder representar la función. Veamos todo esto con un ejemplo. 4..- Ejemplo.- Dominio: Representar la función f ( ) 4 La función es un cociente de polinomios, por tanto su dominio es el conjunto de los números reales, menos los valores que anulen el denominador. Dom( f), 4 0 4 Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-7
Matemáticas º Bachillerato CCNN.- Simetrías: f( ) f( ) 4 4 coordenadas. Por tanto la función es impar, es simétrica respecto del origen de.- Periodicidad: La función f () no es periódica, no aparecen funciones circulares. 4.- Puntos de discontinuidad: Como f () es un cociente de polinomios, es una función continua ecepto donde se anule el denominador. lim lim 8 4 0 8 4 0 8 lim 4 0 8 lim 4 0 La función f () presenta en = y en =- dos discontinuidades asintóticas. 5.- Puntos de corte con los ejes. Hacemos f ( ) 0 0 4 4 Calculamos f ( 0) 0 0 0 Por tanto el punto de corte con el eje X y con el eje Y es el (0,0) 6.- Asíntotas: Como hemos visto ya, f () presenta en = y en =- dos asíntotas verticales. Como lim f ( ) y lim f ( ) asíntota oblicua o rama parabólica. f ( ) Calculamos lim lim lim 4 4 lim f ( ) lim 4 Por tanto f () presenta una asíntota oblicua en y=., no presenta asíntotas horizontales, pero si puede presentar alguna Y ahora calculamos lim 0 4 4 7.- Monotonía y curvatura: Para ello, lo primero es calcular la derivada de f () Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-8
Matemáticas º Bachillerato CCNN ( ) f '( ) y la igualamos a cero para calcular los etremos relativos: 4 Estudiamos ahora el signo de ( ) f '( ) 0 ( ) 0 4 f '( ) para ver los intervalos de monotonía. 0 Dibujamos una línea recta en la que ponemos los puntos que hacen la derivada 0, los puntos que hacen la función cero, y los puntos donde no es continua. f () (-,- ) (-,-) (-,0) (0,) (, ) ( f () + - - - - + f() Mín (-,) Punto de Infleión Má (-,) es creciente en el intervalo,, f () es decreciente en el intervalo,,, tiene un máimo en f ( ) en el punto, tiene un mínimo en f ( ) en el punto f () f () Vamos a calcular ahora los puntos de infleión, donde la curva cambia de cóncava a convea. Para ello trabajamos con la segunda derivada. f ''( ),,+ ) f ()<0 f ()>0 0 f''( ) 8 ( ) 4 y la igualamos a cero 8 ( ) f''( ) 0 4 8 ( ) 0 0 Obtenemos punto, vamos a ver dónde la función cambia de convea a cóncava. Tenemos un punto de infleión en el punto (0,0) 8.- Gráfica de la función: Con todos los datos que ya tenemos de f (), lo único que nos falta es representarla. Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-9
Matemáticas º Bachillerato CCNN 4..- Ejercicios resueltos.- Estudiar las asíntotas de la función f ( ) Asíntotas Verticales: lim 0 lim 0 La función presenta una Asíntota Vertical en el punto = Asíntota Horizontal: lim La función no presenta Asíntota Horizontal lim Asíntotas Oblicuas o Ramas Infinitas: f ( ) lim Como lim, calculamos el límite f ( ) lim lim m= Ya sabemos que la función tiene una asíntota oblicua en la dirección de la recta y=m+b. Vamos a calcular b haciendo el límite lim[ f ( ) m] : lim [ f ( ) m] lim lim lim Por tanto la función presenta una Asíntota Oblicua en la dirección de la recta y 4.- De la función f ( ) se pide: ( ) a) Dominio de Definición y asíntotas. b) Máimos y mínimos relativos en intervalos de crecimiento y decrecimiento c) Representación Gráfica. Dominio: Dom( f ) Asíntotas Verticales: 4 4 lim 0 4 4 lim 0 La función presenta una Asíntota Vertical en el punto = Asíntota Horizontal: 4 lim 4 lim La función no presenta Asíntota Horizontal Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-0
Matemáticas º Bachillerato CCNN Asíntotas Oblicuas o Ramas Infinitas: 4 Como lim, calculamos el límite f ( ) 4 lim lim ( ) m= Ya sabemos que la función tiene una asíntota oblicua en la dirección de la recta y=m+b. f ( ) lim Vamos a calcular b haciendo el límite lim[ f ( ) m] : 4 4 lim [ f ( ) m] lim lim 0 Por tanto la función presenta una Asíntota Oblicua en la dirección de la recta y Máimos y mínimos: Para calcular los máimos y mínimos necesitamos la derivada. Calculamos la derivada: 8( ) 8 f '( ) 4 ( ) ( ) Igualamos la derivada a cero para encontrar los posibles etremos relativos: 8 8 f '( ) 0 ( ) ( ) ( ) Creamos una tabla: f () + - 0 + f() Asíntota Vertical Mínimo Relativo (,4) Intervalos de Crecimiento:,, Intervalos de Decrecimiento:, Máimos y mínimos: Mínimo relativo en (,4) Representación Gráfica: Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-
Matemáticas º Bachillerato CCNN.- Estudia y representa gráficamente la siguiente función: f ( ).- Dominio: Dom( f ),.- Simetrías: f ( ) Por tanto la función es impar simétrica respecto al origen de coordenadas..- Periodicidad: La función no es periódica. 4.- Continuidad: La función es continua en todos los puntos de su dominio, mientras que en los puntos =- y = presenta discontinuidades de segunda especie (Asintóticas). 5.- Puntos de corte con los ejes: Eje : f ( ) 0 0 Eje y: f ( 0) 0 Corta a los ejes en el (0,0) 6.- Asíntotas: Asíntotas Verticales: lim 0 lim 0 La función presenta una Asíntota Vertical en el punto =- lim 0 lim 0 La función presenta una Asíntota Vertical en el punto = Asíntota Horizontal: lim La función no presenta Asíntota Horizontal lim Asíntotas Oblicuas o Ramas Infinitas: Como lim, calculamos el límite f ( ) lim f ( ) lim lim m= Ya sabemos que la función tiene una asíntota oblicua en la dirección de la recta y=m+b. Vamos a calcular b haciendo el límite lim[ f ( ) m] : lim [ f ( ) m] lim lim lim 0 Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-
Matemáticas º Bachillerato CCNN Por tanto la función presenta una Asíntota Oblicua en la dirección de la recta y 7.- Máimos y mínimos: Para calcular los máimos y mínimos necesitamos la derivada. Calculamos la derivada: 4 4 ( ) f '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Igualamos la derivada a cero para encontrar los posibles etremos relativos: Creamos una tabla: ( ) f '( ) 0 ( ( ) 0 ) 0-0 f () + 0 - No Definida - 0 - No Definida - 0 + f() Máimo Relativo Asíntota Vertical Asíntota Vertical Mínimo Relativo, (0,0), Intervalos de Crecimiento: ], ] [, [ Intervalos de Decrecimiento: [, [ ],[ ], ] Máimo relativo en, y mínimo relativo en, 8.- Concavidad y conveidad. Puntos de Infleión: Para ello necesitamos la segunda derivada: ( ) f '( ) ( ) ( ) f ''( ) 0 0 ( ) Por tanto en (0,0) tenemos un punto de infleión: - 0 f () - No Definida + 0 - No Definida + f() Asíntota Vertical Punto de Infleión (0,0) Asíntota Vertical Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-
Matemáticas º Bachillerato CCNN 9.- Representación Gráfica: 4.- Sea la función definida por f ( ) a) Estudiar las asíntotas, las zonas de crecimiento y decrecimiento, los máimos y mínimos relativos y las zonas de concavidad y conveidad. b) Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior, realiza un esbozo de la gráfica de f. El dominio de la función es, por tanto no tiene asíntotas verticales. lim 0 La función presenta una asíntota horizontal en y=0. lim 0 No presenta asíntotas oblicuas ya que Estudiemos su derivada: lim Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-4
Matemáticas º Bachillerato CCNN f ( ) ( ) ( ) f'( ) ( ) ( ) ; f '( ) 0 0 Creamos una tabla: - f () - 0 + 0 - f() Intervalos de Crecimiento: [,] Min Absoluto Ma Absoluto 0 -/ / 0 Intervalos de Decrecimiento: ], ] [, [ Máimo Absoluto en, y mínimo absoluto en, Para los intervalos de concavidad y conveidad utilizaremos la segunda derivada: f'( ) ( ) f''( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 4 f ''( ) 0 0 y 0 f () - 0 + 0-0 + f() Punto de Infleión, 4 Punto de Infleión (0,0) Punto de Infleión, 4 El dibujo de la gráfica es: Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-5
Matemáticas º Bachillerato CCNN 5.- Dada la función f( ), se pide e a) Dominio y asíntotas. Puntos de corte de la gráfica con las asíntotas, si las hay. b) Crecimiento y decrecimiento. c) Dibujar la gráfica a partir de los resultados anteriores. Dominio de f; *. Asíntotas Verticales: lim 0 0 e La función no tiene asíntota vertical lim e Asíntota Horizontal: lim e La función presenta Asíntota Horizontal en y = / lim e La función no presenta asíntotas oblicuas. Calculamos la derivada para estudiar los distintos intervalos de crecimiento y decrecimiento. f( ) e e e f'( ) 0 e e Por tanto la función es siempre creciente, Creciente en ], 0[ ]0, [ Creamos una tabla: f () + f() 0 No definida No definida + / / La función no tiene ni máimos ni mínimos relativos. El dibujo de la gráfica es: Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-6
Matemáticas º Bachillerato CCNN 6.- Dada la función f ( ) ln, >0, se pide: a) Eplicar de forma razonada por qué la ecuación ln 0 tiene eactamente una raíz. b) Representar gráficamente la curva de la función f. Vamos a estudiar la función. Dominio ]0, [ LH ' ln lim ln lim ln lim lim lim lim lim lim lim lim ln 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Calculamos su derivada: f '( ) ln ; igualamos a cero: Creamos una tabla: f '( ) 0 ln e 0 f () f() No Definida No Definida - e - 0 + Min Absoluto e e + Intervalos de Crecimiento:, e Intervalos de Decrecimiento: 0, e Mínimo absoluto en e, e e A la pregunta de eplicar de forma razonada por qué la ecuación ln-=0 tiene eactamente una raíz diremos que: La función f es una función definida en X>0, vemos que la función empieza en -, y es decreciente hasta, en el que hay un mínimo absoluto, y a partir de este punto pasa a ser creciente hasta. Por tanto, e tenemos una función que al principio es negativa, cambia de signo a positiva, que es contínua, y que diverge a, entonces corta al eje una vez sola vez, y la ecuación solo tiene una solución. Si dibujamos la gráfica: Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-7
Matemáticas º Bachillerato CCNN 7.- Dada la función f( ) ln a) Determinar su dominio de definición. b) Calcula sus asíntotas c) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcula sus máimos y mínimos. d) Dibuja la gráfica de la función f. Dominio de f: ]0,[ ], [ Asíntotas Verticales: lim ln 0 La función presenta una Asíntota Vertical en el punto = lim ln 0 Asíntota Horizontal: lim ln lim 0 0 ln La función no presenta Asíntota Horizontal Asíntotas Oblicuas o Ramas Infinitas: Como lim, calculamos el límite ln f ( ) lim lim 0 ln f( ) lim Por tanto la función presenta una Rama hiperbólica en la dirección del eje OX. Para los intervalos de crecimiento de la función necesitamos calcular su derivada: Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-8
Matemáticas º Bachillerato CCNN ln f( ) f '( ) ; f '( ) 0 ln 0 e ln ln Creamos una tabla: 0 e f () f() No Definida No Definida 0 - No definida Asíntota Vertical + 0 - Mínimo Absoluto e Intervalos de Decrecimiento: ]0,[ U ],e] Intervalos de Crecimiento: [ e, [ Mínimo absoluto en ee, La representación gráfica es: Raúl González Medina 05 Representación de Funciones VII-9