INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: HUGO HERNAN BEDOYA TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 9 DE MAYO 5 unidades LOGRO Soluciona situaciones problema que involucran razones y proporciones, para hacer uso de los ángulos entre rectas paralelas cortadas por rectas secantes. El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial, el estudio de los efectos nutricionales de los organismos entre otros. Función cuadrática. Es una función de la forma f ( ) a b c, con a, b, c IR, a 0, con Dominio(D) y rango(ran) o Df IR y Ran f I f respectivamente y vértice (V) imágenes ( If ), b b V, f a a función tener en cuenta la ordenada del punto que determina el Vértice, Depende de la Si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta. Nota: la función cuadrática es un caso particular de la parábola, en la que sus ramas están abiertas hacia arriba o hacia abajo. Lo anterior implica que dicha función se puede llevar a la forma y k a( h), con V ( h). Raíces Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de para los cuales la epresión vale 0, es decir los valores de tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje. Podemos ver a continuación que eisten parábolas que cortan al eje en:
Pero para resolver a² + b +c = 0 observamos que no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones lineales, ésta tiene la particularidad de poseer un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante. Entonces, para resolverla podemos hacer uso de la llamada formula general o del bachiller: (formula que esta a la derecha de la grafica anterior) Al resultado de la cuenta b distintas posibilidades: - ac se lo llama discriminante de la ecuación, esta operación presenta Si b - ac > 0 tenemos dos soluciones posibles. Si b - ac = 0 el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola solución real. Si b - ac < 0 la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución real. Entonces, si la ecuación esta completa ya sabemos como calcular las raíces (con la fórmula) y si la ecuación es incompleta solo basta despejar la variable de la ecuación: Ejemplos a. y 6 Primero, recordamos que el dominio de toda función cuadrática son todos los Números Reales, luego comparando la función dada con la estructura general de una función cuadrática, y a b c, tenemos que a = y como sale siendo mayor que cero, entonces la grafica de esta función se abre hacia arriba. Ahora, podeos hallar la imagen de algunos valores en la función dada, para generar así una tabla de valores: f ( ) ( ) ( ) 6 f ( ) 6 f (0) (0) (0) 6 Ahora para = f ( ) f ( 0) 6 y 0 f ( ) ( ) ( ) 6 Ahora para = f ( ) 6 y () () 6 f ( ) 6 y
Luego podemos hallar las coordenadas del vértice, empleando la epresión b b V, f, y teniendo en cuenta que a, b y c 6. De donde a a f 6 7 6 6,75 Ahora hallamos los cortes con los respectivos ejes Eje y (hacemos = 0) y 0 0 6 y 6, por lo que el punto de corte con el eje y es ( 0, 6) 7 V, Eje (hacemos y = 0) 6 0 En este caso podemos primero analizar el discriminante para saber si dicha función tiene cortes y cuantos, luego con la formula general o del bachiller o factorizando hallamos la coordenada de los puntos si eisten Discriminante ()( 6) = + = 5, como vemos es mayor que cero, por lo que hay dos cortes distintos Aplicando la formula general o del bachiller ()( 6) () 5 5 v 5 v 3 por lo que los puntos de corte con el eje y son (,0), ( 3,0) Finalmente realizamos la grafica considerando los puntos de: la tabla, el vértice y los cortes Ranf= y / y IR, y 7 / b. y 0 Lo primero es organizar la función dada, y 0, con a, b y c 0 Vértice V,9 Eje y (=0) y 0, punto (0,0) Cortes o Interceptos Eje (y = 0) Buscamos el discriminante y tenemos ( ) ()(0) 0 36, por lo tanto no hay cortes con el eje ; sin embargo si no se analiza el discriminante al intentar hallar los valores de, tenemos:
( ) ( ) () ()(0) 0 36 Ahora al calcular la raíz cuadrada de -36, encontramos que no hay respuesta, o mas eactamente no esta definida en los números Reales, lo anterior implica que la grafica de la función no corta al eje c. y 3 a, b 3 y c 0 Vértice 3 9 V, 8 Cortes o Interceptos Eje y (=0) y 0, punto (0,0) Eje (y = 0) Buscamos el discriminante y tenemos ( 3) ()(0) 9 0 9, por lo tanto como el discriminante es mayor que cero, hay dos posibles cortes con el eje. 3 9 () 3 3 3 3 0 3 3 0 PROPIEDADES DE LAS RAICES DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO b y a. c a
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO ECUACIONES CUADRATICAS Son aquellos problemas cuya solución se obtiene resolviendo una ecuación cuadrática o de segundo grado. Problema La suma de dos números es 0 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números Primero se asigna la variable a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse a cualquiera de los dos, por ejemplo: : Primer número Como la suma de ambos es 0, entonces necesariamente el otro será: 0 : Segundo número, (esta epresión es equivalente a asignar y al otro número despejarla en función de de la siguiente epresión + y = 0 Ahora, la condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos números da 58, entonces: + (0 - ) = 58, esta es la ecuación a resolver Para hacerlo, aplicamos algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenamos para llegar a la forma de una ecuación cuadrática conocida. Para ello, nos ayudamos de la epresión (a b) = a (a)(b) + b Desarrollando la ecuación se tiene: + 0 (0)() + = 58 = + 00 0 + = 58 Ordenando y agrupando: 0+ = 0; luego para resolver más fácilmente la ecuación, dividimos entre toda la ecuación: 0 + = 0 Ahora podemos aplicar la fórmula general (del bachiller) para resolver la ecuación de segundo grado y llegaremos a = 7 o = 3. Así, los datos para aplicar la fórmula del bachiller o general a =, b = 0 c = 0 ( ) () 0 00 8 0 6 Problema ()() 0 0 7 v 0 3 Los números buscados son 7 y 3. El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta m, el área se duplica. Halle el área original de la sala. Largo y ancho son diferentes. El problema permite que la variable se asigne a cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho. Supongamos que: : ancho de la sala El largo es 3 metros mayor que el ancho, así es que: + 3 : largo de la sala.
El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos:. ( + 3 ) : área de la sala. Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales. Las condiciones del problema eplican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en metros, así que, luego del aumento quedan: + 3 = nuevo ancho de la sala + 5 = nuevo largo de la sala ( + 3 ). ( + 5) = nueva área de la sala Según los datos del problema, el área se ha duplicado, así es que planteamos la ecuación: ( + 3 ). ( + 5) =.. ( + 3) Se efectúan las multiplicacionesdistributiva) y obtenemos + 5 + 3 + 5 = + 6 Se pasa todo al primer miembro: + 5 + 3 + 5 6 = 0 Se simplifica: + + 5 = 0 Esta es la ecuación a resolver. Se aplica la fórmula conocida y resulta: = 5 y = 3. La solución = 3 se desecha, ya que es el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como única respuesta que el ancho original () era 5 metros. Como el largo inicial + 3 = 8 metros, el área original era 8m. 5m = 0 m. Problema 3 Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros Como es un triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" (c = a + b ). La hipotenusa es el lado mayor ( 5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuación: ( + 3) + ( ) = ( 5) Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene: + (3)() + 3 + ()() + = ().(). 5 + 5 = + 6 + 9 + 8 + 6 = 0 + 5 Reagrupando: + 6 + 9 + 8 + 6 + 0 5 = 0 Finalmente: + 8 = 0 Es la ecuación a resolver Las raíces de la ecuación son = 0 y = 9. La solución = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería m, lo cual no es posible. La solución es entonces, = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos metros y 5 metros y con hipotenusa 3 metros.
El área de un triángulo es base por altura dividido ; la base y la altura son los dos catetos que están a 90, por lo tanto el área es ()(5) 30 m,luego el perímetro es la suma de los lados, es decir, P = m + 5m + 3m = 30 m. ACTIVIDAD Decir a partir del análisis del discriminante, si las siguientes ecuaciones cuadráticas : No tienen soluciones Reales, tienen dos soluciones Reales distintas o tienen dos soluciones reales iguales (es decir una solución) a. 5 6 0 g. 5 0 l. b. 0 7 3 0 h. 0 c. 7 0 0 i. 9 0 m. 0 d. 7 0 j. 5 0 6 e. 3 0 k. 8 5 0 n. ( ) 0 f. 5 8 0. Resolver por factorización y empleando la fórmula del bachiller o general algunas de las siguientes ecuaciones cuadráticas. ( l a m i t a d p o r c a d a m e t o d o ). 5 6 0. 3 7. 8 6.( 3). 7 3 0 3. 7 0 0 5. + ( 7 ) = 5 6. 7 0 8. ( ) 580 9. 7 0 6 3 3. Con la ayuda de una tabla de valores, graficar las siguientes funciones cuadráticas, para ello tenga en cuenta los putos correspondientes al vértice y a los interceptos. a. y 7 3 d. y 5 f. y b. y 7 0 e. y 9 6 c. y 5 g. y ( ). Problemas que generan ecuaciones de segundo grado: a. La suma de dos números es 6 y su producto es 53, Cuáles son los números? b. El largo de una mesa de Ping-Pong es de,0m mayor que el ancho, si el área de la misma es de,05m. Cuáles son las dimensiones de la mesa? c. La altura de un triangulo es 5cm menos que su base, si el área del triangulo es 07cm. Hallar la base y la altura del triangulo. d. Si la suma de un numero y su reciproco es 5, Cuál es el numero? e. La suma de tres números positivos es 0. Hallo los números sabiendo que el segundo es el doble del cuadrado del primero y el tercero es quíntuplo del primero. f. Una función cuadrática tiene una epresión de la forma y = ² + a + a y pasa por el punto (, 9). Calcular el valor de a. g. Dentro de años la edad de Marcela será la mitad del cuadrado de la edad que tenia hace 3 años. Hallar la edad actual de Marcela h. Dentro de años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 3 años. Calcula la edad de Pedro. i. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es m². j. Escribir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y 3 y y ½ -b/3 y b/ k. Dos caños A y B llenan juntos una pis cina en dos horas, A lo hace por s í s olo en tres horas m enos que B. Cuántas horas tarda a cada uno s eparadamente? ES MEJOR ESTAR CALLADO Y PARECER TONTO QUE HABLAR Y DESPEJAR LAS DUDAS DEFINITIVAMENTE. Julios Groucha Mar