Trigonometri
Trigonometri Rons trigonomètriques d un ngle gut c Denominció Definició Propiett àsic Sinus sin = 0 sen 1 Cosinus Tngent cos = c tg = tn = c Propiett fonmentl sen + cos = 1 Rons trigonomètriques de qulsevol ngle 0 cos 1 tg = tn = sen cos 180 180 + 360 Si és un ngle del primer qudrnt: 180 és del segon qudrnt i sin (180 ) = sin cos (180 ) = cos 180 + és del tercer qudrnt i sin (180 + ) = sin cos (180 + ) = cos 360 és del qurt qudrnt i sin (360 ) = sin cos (360 ) = cos
Not històric sore els termes trigonomètrics L trigonometri és un prt de l mtemàtic que, genèricment, estudi l relció entre l mesur dels ngles i els costts d un tringle. De fet, l mteix prul trigonometri té l origen en quest fet: tri signific "tres", gono, signific "ngle" i metri signific "mesur, és dir, trigonometri signific un "mesur de (figures) m tres ngles". El terme trigonometri el troem per primer vegd en l or del mtemàtic lemny Brtholomeus Pitiscus, Bltnometri sive de dimensione tringulorum, pulicd el 1595, encr que molts resultts de l trigonometri j eren coneguts l ntiguitt (teorem de Pitàgores, teorem de Tles...). Els primers usos de l trigonometri (encr que no tingués quest nom) vn ser l crtogrfi, l stronomi i l nvegció, i només recentment el seu ús s h estès molts ltres cmps. L stronomi és, potser, el cmp que des d ntic v estr més unit l trigonometri i, de fet, l mjor prt d estudis trigonomètrics es presentven en trells stronòmics. Fins l segle XIII no es v produir l primer presentció de l trigonometri com ciènci independent de l stronomi: v ser el mtemàtic pers Shrf l Din l Tusi. De l or Prolemtum vriorum geodeticum de B. Pitiscus. Els termes sinus, cosinus i tngent tenen un històri curios. Un ntig or hindú sore stronomi, Sury Siddhnt, dón un tul de mitjnes cordes (en un ltre tem s estudirà el significt de l cord), que coincideixen m l ide del sinus d un ngle, molt útils per clculr els moviments de les estrelles. Posteriorment, l or Aryhtiy d Aryht, que tmé er hindú (cp l 500 dc) f un estudi més profund de les mitjnes cordes, que denomin jiv (en sànscrit, llengu en què està escrit quest or). Els àrs l vn trduir i el terme jiv v ser trnsformt en l ràic ji, però escrit j (tès que l àr clàssic no té vocls). Més endvnt, els trductors l lltí d quest or, vn trduir j per sinus, j que vn pensr que es referi ji (i no ji), i ji signific pit o sin (tot i que en ctlà utilitzem l prul sinus). Així, del significt originl, mitjn cord, es v pssr, per un trducció erròni, sinus. A nd de l nècdot, quest relt il lustr el recorregut dels estudis trigonomètrics l llrg de l històri: primer, l Índi, posteriorment, en àr, des de Bgdd fins l Al Andlus; des d quí es v introduir Europ m les trduccions lltines, fins les llengües modernes. Les ltres dues rons trigonomètriques tenen un històri més recent. El cosinus v sorgir de l necessitt de clculr el sinus de l ngle complementri. Així, originàriment, Edmund Gunter el 160 v escriure co.sinus precisment per indicr "sinus de l ngle complementri" (que com sem, és igul l cosinus de l ngle); un mic més trd, John Newton (no Isc Newton) v estndrditzr el terme cosinus, del qul prové el nostre cosinus. Finlment, l prul tngent deriv de l prul lltin tngere, que signific tocr (molt relciont m l ide geomètric de l tngent), i v ser introduïd per Dne Thoms Fincke el 1583.
Quines són les rons trigonomètriques d un ngle gut? A prtir dels resultts nteriors poden definir les rons trigonomètriques d un ngle gut qulsevol: el sinus, el cosinus i l tngent. El sinus d un ngle gut és igul l quocient entre el ctet opost l ngle i l hipotenus: sin = S h de destcr que el sinus és un nomre positiu mi més grn que 1 (un ctet no pot ser mi superior l c hipotenus): 0 sen 1. Per l sev nd, el cosinus d quest ngle és igul l quocient entre el ctet contigu l ngle i l hipotenus: cos = c Tmé cl destcr que el cosinus és un nomre positiu mi més grn que 1 (un ctet no pot ser mi superior l hipotenus): 0 cos 1. L tngent d quest ngle és igul l quocient entre el ctet opost i el ctet contigu l ngle (s usen indistintment els símols tg o tn): tg = tn = c No és difícil consttr que l tngent tmé es pot clculr com el quocient del sinus entre el cosinus de l ngle: tg = tn = sin cos = c = c Les rons trigonomètriques d un ngle depenen del tringle rectngle escollit? Les rons trigonomètriques d un ngle no depenen del tringle escollit per definir-les. Cl destcr que el sinus, el cosinus i l tngent d un ngle no depenen del tringle rectngle en el qul es tro quest ngle. Efectivment, donts quests tringles rectngles m dos ngles iguls (el recte i ): c c 1
Llvors, el tercer ngle tmé és igul (180 90, en mdós csos). Així, doncs, es trct de dos tringles semlnts i, per ixò, m costts proporcionls. Per tnt, es compleix: = = c ' ' c' L primer igultt tmé es pot expressr ixí: ' = ' en ltres prules, el càlcul del sinus de l ngle en mdós tringles h de donr el mteix resultt. De l mteix mner, com c c' c = o tmé = ' c' ' ixí, doncs, el cosinus de l ngle tmpoc no depèn del tringle que escollim per tror-lo. Igulment, c ' = per tnt, = ' c' c c' d quest mner, tmpoc l tngent d no depèn del tringle que s utilitzi per clculr-l. En definitiv, per qulsevol ngle de 0 90º, hi h un únic nomre que pugui ser el seu sinus, un únic nomre, el seu cosinus i, finlment, un únic nomre, l sev tngent. Aquests tres nomres es coneixen com les rons trigonomètriques àsiques de l ngle. Quines són les rons trigonomètriques àsiques de l ngle de 60º o p/3 rd? L ngle de 60º o p/3 rd té per cosinus 1/, per sinus i tngent 3 1, 73. 3 0,866 per c 60º 60º Si unim dos tringles rectngles iguls m un ngle de 60º (o p/3 rd), pel seu ctet mjor, otindrem indefectilement un tringle equilàter, perquè l ltre ngle del tringle rectngle és 30º, i 30 + 30 = 60. L hipotenus de qulsevol d mdós tringles rectngles és igul l costt del tringle equilàter. El ctet contigu l ngle de 60º f l meitt de l hipotenus. És dir, si és l hipotenus, i és el ctet contigu l ngle de 60º, el quocient entre quest ctet i l hipotenus és: 1 = Aquest resultt no depèn ni del vlor concret de l hipotenus, ni del vlor concret del ctet. És dir, quest quocient sempre serà igul 1/ per un tringle rectngle m un ngle de 60º, i sem que es denomin cosinus de 60º, i s escriu cos 60. Així, doncs, cos 60 = ½ o é, en rdins cos p/3 = 1/ El ctet opost l ngle de 60º, c, es pot relcionr m els ltres dos costts, per mitjà del teorem de Pitàgores: = + c r é, com que =
en definitiv, () = + c és dir, 4 = + c c = 3 o el que és el mteix c = 3 Per tnt, si volem estlir l proporció entre el ctet opost l ngle de 60º i l hipotenus: c 3 3 = = 0,866 Aquest proporció no depèn de l longitud dels costts del tringle rectngle m un ngle de 60º i sem que es denomin sinus de 60º, i s escriu sin 60. Així, doncs, 3 π 3 sin 60 = 0,866 o é, en rdins sin = 0,866 3 Finlment, podem tror l relció entre el ctet opost i el ctet contigu de 60º: c = 1 3 tmpoc depèn quest proporció del vlor concret dels ctets i, com sem, es denomin tngent de 60º, i s escriu tg 60, o tmé, tn 60. De mner que, π tg 60 = 3 1,73 o é, en rdins, tg = 3 1,73 3 Quines són les rons trigonomètriques àsiques de l ngle de 45º o p/4 rd? L ngle de 45º o p/4 rd té tnt per cosinus com per sinus i tngent, 1. 0,707 per Si un dels ngles d un tringle rectngle és igul 45º (o p/4 rd), és evident que l ltre ngle ( prt del recte) h de ser tmé de 45º. Per 45º. l mteix ró, mdós ctets hn de ser iguls, és dir, = c. Si cominem quest fet m el teorem de Pitàgores: 45º = + c = + = és dir: c. = o, tmé, 1 = ixí, doncs, l proporció entre el ctet contigu de 45º i l hipotenus és igul 0,707, i és independent del vlor concret dels costts d quest tringle. Així, doncs, el cosinus de 45º és igul cos 45 = π 0, 707 o é, en rdins cos = 0, 707 4 3
Evidentment, com que mdós ctets són iguls, l proporció entre el ctet opost de 45º i l hipotenus hurà de tenir el mteix vlor. Aquest vlor és el sinus de 45º. És dir: sin 45 = 0,707 o é, en rdins π sin = 0,707 4 Finlment, podem tror l relció entre el ctet opost i el ctet contigu de 45º. En quest cs és molt fàcil: 1 c = tmpoc no depèn quest proporció del vlor concret dels ctets. Així, doncs, l tngent de 45º és 1, és dir, π tg 45 = 1 o é, en rdins tn = 1 4 Com es clculen les rons trigonomètriques d un ngle m l clculdor? Per clculr les rons trigonomètriques d un ngle en un clculdor, s utilitzen les tecles que hi corresponen, tenint en compte si quest es tro en mode DEG (grus) o en mode RAD (rdins). En generl, no és tn fàcil tror les rons trigonomètriques de qulsevol ltre ngle, prt dels j estudits. Fins l prició de les clculdores científiques, hi hvi tules trigonomètriques que permetien tror les rons trigonomètriques de qulsevol ngle; de l mteix mner, tmé hi hvi tules que permetien tror un ngle prtir d un de les seves rons trigonomètriques. En l ctulitt, questes tules no s utilitzen, perquè qulsevol clculdor f questes funcions de mner més eficient i senzill. Ans de començr relitzr qulsevol càlcul, s h de tenir en compte de quin mner s introdueix l ngle, en grus sexgesimls o en rdins. L clculdor té un mode de trell en grus sexgesimls, mode DEG (de l nglès, degree, és dir, gru), i un mode de trell en rdins, mode RAD. Normlment, el mode de trell es pot llegir sempre sore l pntll, en lgun dels seus extrems. Per cnvir d un mode un ltre només cl loclitzr les tecles MODE (si no existeix, costum ser l tecl INV) i les dues nteriors: es pression primer l tecl MODE (o INV), i posteriorment l de l mode que volem. Per exemple, per posr l clculdor en mode grus sexgesimls s h de fer el següent: MODE + DEG Si volem trellr m rdins, s h de fer el mteix, però pressionnt l tecl RAD en lloc de l tecl DEG. Un vegd fet ixò, per clculr les rons trigonomètriques, primer s hn de loclitzr les tres tecles que permeten clculr-les: les tecles SIN, COS i TAN. Es pot oservr que en l prt superior d questes tecles hi h, hitulment, certes expressions (sin 1, cos 1, tn 1, generlment), que indiquen que m questes tecles tmé es poden clculr els ngles prtir de les rons trigonomètriques. Per clculr el sinus d un ngle, s h de posr l clculdor en el mode correcte (DEG o RAD). Per exemple, si volem clculr el sinus de 33º, hem de posr l clculdor en mode DEG. Posteriorment, cl escriure l ngle, 33, i finlment, pressionr l tecl SIN. Otindrem, 0.544639035 ( l clculdor l com deciml és un punt), que és el sinus de 33º. De mner semlnt, podem clculr el cosinus i l tngent de qulsevol ngle gut. 4
En cnvi, si coneixem el sinus d un ngle i volem ser de quin ngle es trct, hem d ctur ixí: introduïm l ngle, pressionem l tecl INV seguid de l tecl SIN (és dir, clculem l invers del sinus, o sigui, l ngle prtir del seu sinus). Per exemple, si volem conèixer l ngle (en mode DEG) que té per sinus 0,83, introduïm quest nomre, seguit de INV i SIN; preixerà l pntll 55.356473. És dir, el sinus de 55,356473º és 0,83. De mner semlnt es poden tror els ngles que tenen per cosinus (o per tngent) un vlor determint. En quest cs, cl recordr que el sinus i el cosinus hn de ser vlors entre 0 i 1. A més, en generl, els vlors otinguts són proximts. Exercicis àsics m clculdor: Clculeu les rons trigonomètriques d quests ngles: que el seu sinus és igul 0,3 (sol: cos = 0,9474, tg = 0,3378) β el cosinus del qul és igul 0,93 (sol: sin β = 0,3676, tg β =,530) γ l tngent del qul és igul 1,3 (sol: sin γ = 0,7759, cos γ = 0,6308) Quines són les rons trigonomètriques de l ngle de 83º? (sol: sin 83 = 0,995; cos 83 = 0,119; tg 83 = 8,1443) Quines són les rons trigonomètriques de l ngle de 1 rd? (sol sin 1 = 0,8415; cos 1 = 0,5403; tg 1 = 1,5574) Quin és l ngle que té per sinus 0,131? Quines són les seves ltres rons trigonomètriques? (sol: = 0,134 rd = 7,071º; cos 7,071 = 0,994; tg 7,071 = 0,114). Quin és l igultt àsic de l trigonometri? Qulsevol ngle menor que l ngle recte compleix el següent: sin + cos = 1. Dont un tringle de ctets i c, i d hipotenus es pot clculr: 1 (sin ) + (cos ) c c + c = + = + = = =. tenint en compte que = + c. En definitiv, (sin ) + (cos ) = 1. qulsevol que sigui l ngle, l sum dels qudrts del sinus i el cosinus és igul 1. De vegdes, quest igultt tmé s escriu ixí: c. sin + cos = 1. Aquest fórmul ens permet clculr el sinus prtir del cosinus (i l inrevés): sin = 1 cos per tnt, sin = de l mteix mner 1 cos cos = 1 sin 5
Per exemple, si el sinus d un ngle fos 0,4, el seu cosinus huri de ser cos = 1 0, 4. De l mteix mner, si el cosinus d un ngle β fos 0,8, el seu sinus seri sen = 1 0,8. Com es clculen ls rons trigonomètriques de qulsevol ngle? Les rons trigonomètriques de qulsevol ngle es poden deduir fàcilment de les rons trigonomètriques d un ngle gut. y Per clculr les rons trigonomètriques de qulsevol ngle, sigui o no gut, hem de diuixr en el pl crtesià un circumferènci unitàri de centre l origen de coordendes: és dir, es representen dues rectes rels perpendiculrs, que incloguin els punts de l intervl [ 1,1], i que es tllin en el punt 0 de cdscun d elles. Es diuix un circumferènci de rdi 1, centrd en l intersecció de les rectes, com s oserv en l il lustrció. x Es diuix un ngle,, tl com es mostr en l imtge. Si projectem el segment que form l ngle sore l rect horitzontl, otenim un tringle rectngle. Com que l hipotenus f exctment 1, el cosinus de l ngle h de ser x/1: per tnt, cos = x. De l mteix mner és fàcil comprovr que sin = y. Evidentment, l tngent d quest ngle h de ser tg = y/x. Ar podem diuixr quest segon ngle, β, quest vegd otús. En quest cs, podem y definir, de mner semlnt l cs nterior: sin β = y cos β = x β A prtir d quí, l tngent d quest ngle es pot clculr com tg β = y/x = sin β/cos β. x Es pot oservr en l il lustrció qui el cosinus de β serà negtiu; r é, el seu vlor solut no pot ser, en cp cs, mjor que 1. En generl es poden definir d quest mner les rons trigonomètriques de qulsevol ngle de 0 360º, essent el sinus i el cosinus de qulsevol ngle nomres compresos entre 1 i 1. D ltr nd, qulsevol ngle més grn de 360º (o p rd) es correspon un ngle entre 0º i 360º, tl com mostr quest imtge: 71º 431º 6
Evidentment, els ngles 71º i 431º (71 + 360) tenen les mteixes rons trigonomètriques. En generl, si és un ngle de 0º 360º, llvors: sin = sin (360 +) = sin ( 360 + ) =... cos = cos (360 +) = cos ( 360 + ) =... És dir, les rons trigonomètriques es vn repetint qun se sum 360 un ngle. Així, per exemple, sin (834) = sin (3 360 + 6) = sin 6. Cd zon de l circumferènci unitàri dividid per les dues rectes rels es denomin qudrnt. Així, doncs, hi h qutre qudrnts, que es denominen de l 1 l 4 tl com mostr l imtge: n. qudrnt 1r. qudrnt 3r. qudrnt 4t. qudrnt En tot cs, les rons trigonomètriques de qulsevol ngle es poden tror coneixent únicment les rons trigonomètriques dels ngles del primer qudrnt. Per demostrr-ho, n hi h prou d oservr questes il lustrcions: 180 180 + 360 Podem firmr, doncs, que si és un ngle del primer qudrnt: sin (180 ) = sense cos (180 ) = cos sin (180 + ) = sense cos (180 + ) = cos sin (360 ) = sense cos (360 ) = cos L propiett fonmentl de l trigonometri se segueix complint; és dir, per qulsevol ngle es compleix sempre: sen + cos = 1. Això és ixí, perquè en últim terme el sinus i el cosinus d un ngle sempre es clculen prtir del sinus i el cosinus d un ngle gut; l únic modificció és el signe, que no és importnt qun s elev el vlor l qudrt. 7
8