IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 007-008 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN A EJERCICIO 1 (1 puto) Dada la matriz A=, calcule el valor de a para que A sea la matriz ula. a 0 1 ( putos) Dada la matriz M = calcule la matriz (M -1.M T ) 1 1 Dada la matriz A=, calcule el valor de a para que A sea la matriz ula a 0 A a +a a = A.A =. = = 0 0. a 0 a 0 a a 0 0 Igualado ambas matrices teemos: a + a = 0 a = 0 a = 0 a = 0 La úica solució comú a las cuatro ecuacioes es a = 0. 1 Dada la matriz M = calcule la matriz (M -1.M T ) 1 1 Sabemos que si mediate trasformacioes elemetales podemos pasar de (A I) a (I B), la matriz B es la matriz iversa de A. 1 1 0 1 1 0 1 1 0 F 1+F (-) 1 0-1 1 1 0 1 F +F 1(-1) 0-1 -1 1 F (-1) 0 1 1-1 0 1 1-1 Luego M -1-1 1 1 = ; M= t ; M -1.M T -1 1 1 1 =. = 1-1 1 1-1 1-1 1 (M -1.M T ) 1 1 8 =. = -1 1-1 1 - -1 EJERCICIO x+1 Sea la fució f defiida mediate f(x) = x-1 (0 putos) Determie los putos de corte co los ejes. (1 puto) Estudie su curvatura. c) (1 puto) Determie sus asítotas. d) (0 putos) Represete la fució. Se cosidera la fució f defiida mediate f(x) = x+1 x-1 Ates de empezar la fució que me ha dado es ua hipérbola, que como sabemos tiee ua asítota vertical (A.V.) y otra horizotal (A.H.), y su domiio es todo R meos el º que aula el deomiador, que será la A.V. Si igualamos el deomiador a cero, teemos x-1=0, de dode x = 1/. Determie los putos de corte co los ejes. Para x = 0 teemos f(0) = 0+1 = -1. Corte co el eje OY, (0,-1). 0-1 Para f(x) = 0, teemos x + 1 = 0(se iguala sólo el umerador a cero), de dode x = -1. Corte co el eje OX, (-1,0). 1
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua Estudie su curvatura. Nos está pidiedo que estudiemos su ª derivada, que es la que os idica su curvatura. f(x) = x+1 x-1 f (x) = 1(x-1)-(x+1). = x-1-x- = - (x-1) (x-1) (x-1).(x-1). 1(x-1) f (x) = = 4 4 (x-1) (x-1) De f (x) = 0, teemos 6(x-1) = 0, es decir x-1 = 0, luego la solució es x = 1/. Ya advertí ates que este puto o está e el domiio, será ua A.V., o obstate a su izquierda y derecha la curvatura es distita. Como f (0) = (4)/(+) > 0, f es covexa ( ) e (-,1/). Como f (1) = (-4)/(+) < 0, f es cócava ( ) e (1/, ). Ya he dicho que x = 1/ o es puto de iflexió, porque o está e el domiio. c) Determie sus asítotas. Como f(x) = x+1 es u cociete, y tiee igual grado umerador y deomiador, teemos ua A.H, y es la x-1 misma es ±. Además como es u cociete, los úmeros que aula el deomiador so cadidatos a ser A.V., vamos a comprobarlo. x+1 x 1 1 Como lim = lim = lim =, la recta y = 1/, es la A.H. Como e el apartado ( vimos que (0,-1) x x-1 x x x era u puto de corte co los ejes, por la forma de la hipérbola, está por debajo de la A.H e +, y por ecima de la A.H e -. Como lim x+1 +1 = = +, la recta x = 1/ es la A.V., u pelí a su derecha la fució está e +, y por la 1 x-1 0+ x + forma de las hipérbolas, u pelí a su izquierda la fució está e -. d) Represete la fució. Co todo lo aterior u esbozo de f (e azul, las asítotas está e rojo) es EJERCICIO Parte I Laura tiee e su moedero 6 moedas fracesas, italiaas y 4 españolas. Vicete tiee 9 fracesas y italiaas. Cada uo saca, al azar, ua moeda de su moedero y observa la acioalidad. (0 putos) Obtega el espacio muestral asociado al experimeto. (1 puto) Cuál es la probabilidad de que las moedas extraídas o sea de la misma acioalidad? c) (0 putos) Cuál es la probabilidad de que igua de las moedas extraídas sea fracesa? Llamemos LaF, LaI, LaE, ViF y ViI, a los sucesos "Laura tiee ua moeda fracesa, italiaa o española y Vicete tiee ua moeda fracesa o italiaa. Obtega el espacio muestral asociado al experimeto. Espacio muestral de Laura E 1 = { LaF, LaI, LaE }, co p(laf) = 6/1, p(lai) = /1 y co p(lae) = 4/1, Espacio muestral de Vicete E = { ViF, ViI}, co p(vif) = 9/1 y p(vii) = /1,
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua Espacio muestral producto E = { LaF_ ViF, LaF_ ViI, LaI ViF, LaI_ ViI, LaE_ViF, LaE_ ViI} Si observamos hay 6 sucesos elemetales compuestos, es decir la probabilidad de cada uo de ellos es el producto de las probabilidades de los sucesos que lo compoe Cuál es la probabilidad de que las moedas extraídas o sea de la misma acioalidad? Suceso = {distita acioalidad} p(a) = p(laf y ViI) + p(lai y ViF) + p(lae y ViF) + p(lae y ViI) = = 6. 1 1 +. 9 1 1 +. 9 1 1 + 4. 1 1 = 1 8 + 1 8 + 1 + 1 1 = 7 1 0 8 c) Cuál es la probabilidad de que igua de las moedas extraídas sea fracesa? Suceso C = {igua moeda fracesas} Pide p(c) = p(lae y ViI) + p(lai y ViI) = 4. 1 1 +. 1 1 = 1 1 + 1 4 = 1 8 = 0 1 EJERCICIO Parte II Se desea estimar la proporció de idividuos zurdos e ua determiada ciudad. Para ello se toma ua muestra aleatoria de 00 idividuos resultado que 4 de ellos so zurdos. (1 putos) Calcule, usado u ivel de cofiaza del 97%, el correspodiete itervalo de cofiaza para la proporció de idividuos zurdos de la població. (0 putos) Sería mayor o meor el error de estimació si se usara u ivel de cofiaza del 9%? Razoe la respuesta. Para costruir el itervalo: - Se elige u estimador del parámetro que se desea estimar ( X para μ, y p para p), e uestro caso es de proporció luego es p = 4 = = 0 1 00 0 - Se elige u ivel de cofiaza 1 α co el que se desea costruir el itervalo, que os lo da y es del 97%, es decir 1 α = 97% = 0 97, de dode α = 0 0 = % como ivel de sigificació. - El itervalo cetrado e el estadístico p obteido de la muestra sería: p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ I.C. = I( p) = p ˆ - z ˆ 1 α/., p + z 1 α/. para estimar p Dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) tal que p(-z 1-α/ Z z 1-α/ ) = =1 - α. De esa igualdad se deduce que p(z z 1-α/ ) = 1 - α/, que se mira e la tabla de la distribució Normal, y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/. p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = 1 0 0/ = 0 98, mirado e la tabla de la N(0,1), que correspode a z 1-α/ = 17. Por tato el itervalo de cofiaza pedido es p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ 0'1.0'8 0'1.0'8 I.C.=I(p)= p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. = 0'1 - '17., 0'1 + '17. 00 00 (0 1 0 04476 ; 0 1 + 0 04476) = (0 1064; 0 19476) p(1 ˆ p) ˆ Sabemos que el error máximo = E = z 1 α /., e uestro caso:
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua p(1 ˆ p) ˆ 0'1.0'8 E = z 1 α /. = '17. 0 04476 = 4 4476% 00 Si tomásemos 1 α = 9% = 0 9, de dode α = 0 0 = %, de dode p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = 1 0 0/ = = 0 97, mirado e la tabla de la N(0,1), que correspode a z 1-α/ = 1 96, y el error sería: p(1 ˆ p) ˆ 0'1.0'8 E = z 1 α /. = 1'96. 0 0440406 = 4 40406% 00 Es decir el error sería más pequeño, porque se multiplica por ua catidad más pequeña (z 1-α/ = 1 96). OPCIÓN B EJERCICIO 1 ( putos) U pastelero dispoe de 10 kg de haria, kg de azúcar y 6 kg de matequilla para hacer dos tipos de tartas, A y B. Para hacer ua horada de tartas del tipo A se ecesita kg de haria, 1 kg de azúcar y 1 kg de matequilla, mietras que para hacer ua horada de tartas del tipo B se ecesita 6 kg de haria, 0 kg de azúcar y 1 kg de matequilla. Sabiedo que el beeficio que se obtiee al veder ua horada del tipo A es de 0 y de 0 al veder ua horada del tipo B, determie cuátas horadas de cada tipo debe hacer y veder para maximizar sus beeficios. Leyedo el problema podemos formar la siguiete tabla Tarta tipo A Tarta tipo B Restriccioes Nº tartas x y x 0; y 0 Haria x 6y x+6y 10 Azúcar x 0 y x+0 y Matequilla x y x+y 6 Beeficio F(x,y) = 0x+0y Maximizar Teiedo e cueta lo aterior teemos las siguietes iecuacioes (restriccioes): x+6y 10; x + 0 y ; x + y 6; x 0; y 0; La fució beeficio es F(x,y) = 0x + 0y Para dibujar la regió factible o recito, de cada iecuació despejamos la icógita y, para dibujar la recta correspodiete, y después observado las iecuacioes tedremos la regió factible. Iecuacioes : x+6y 10; x + 0 y ; x + y 6; x 0; y 0 x+y 0; x + y 44; x + y 6; x 0; y 0 Rectas: y = -x/+; y = -x+44; y = -x + 6; x = 0 (eje OY), y = 0 (eje OX) Dibujamos las rectas 4
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua Si os fijamos e las desigualdades y -x/+; y -x+44; y -x + 6; x 0, y 0, vemos que el recito factible, y los vértices A, C, D y E de dicha regió so: De x= 0 e y=0, Teemos el puto de corte A(0,0) De y= -x+44 e y = 0, teemos x =, y el puto de corte B(,0) De y= -x+44 e y = -x+6, teemos -x+44 = -x+6, de dode 18 = x, luego y = 8, el puto de corte es C(18,8). De y= -x/+ e y = -x+6, teemos -x/+ = -x+6, de dode -x+0 = -x+, por tato x =, luego y = 4, el puto de corte es D(,4). De y= -x/+ y x = 0, teemos y =, y el puto de corte E(0,) El recito tiee por vértices A(0,0), B(,0), C(18,8), D(,4) y E(0,). Cosideremos la fució beeficio F(x,y) = 0x + 0y. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que la fució F alcaza su máximo y míimo absoluto e la regió acotada, y que este extremo debe estar situado e algú vértice del recito ( o e u segmeto, si coicide e dos vértices cosecutivos), por lo que evaluamos F e los putos ateriores: F(0,0) = 0(0) + 0(0) = 0, F(,0) = 0() + 0(0) = 440; F(18,8) = 0(18) + 0(8) = 600, F(,4) = 0() + 0(4) = 760, F(0,) = 0(0) + 0() = 70. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 760 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el puto (,4). El mayor beeficio es 760 y se obtiee elaborado tartas del tipo A y 4 tartas del tipo B EJERCICIO (1 putos) La gráfica de la derivada de ua fució f es la recta que pasa por los putos (0,-) y (4,0). Estudie la mootoía de la fució f. (1 putos) Calcule la derivada de las siguietes fucioes: x e g(x) = (x + 1).L(x + 1 ); h(x) = 7x - 4 La gráfica de la derivada de ua fució f es la recta que pasa por los putos (0,-) y (4,0). Estudie la mootoía de la fució f. F pasa por (0,-) y (4,0), luego la gráfica de f es:
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua Como f (x) < 0 e (-,4), f(x) es estrictamete decreciete e (-,4). Como f (x) > 0 e (4, ), f(x) es estrictamete creciete e (4, ). Por defiició x = 4 es u míimo relativo. Calcule la derivada de las siguietes fucioes: g(x) = (x + 1).L(x + 1 ); h(x) = e x 7x - 4 Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. Tambié algo sobre extremos absolutos / f(x) f'(x).g(x) - f(x).g'(x) ( f(x)+g(x) ) = f (x)+g (x); = ; ( (f(x) k ) = k.f(x) k-1.f (x); g(x) (g(x)) ( e kx ) = k.e kx.; ( f(x). g(x) ) = f (x).g(x) + f(x).g (x); (x k ) = k.x k-1 ; ( ) / f'(x) L(f(x) = f(x) ;(k) = 0. G(x) = (x + 1).L(x + 1 ); g (x) = (x + 1).().L(x + 1 ) + (x + 1) x. x +1 x x x 4 x 4 e e.(7x -4) - e.x e. 7x - x - 4 h(x) = =. (7x -4) (7x -4) 7x - 4 ; f (x) = ( ) EJERCICIO Parte I De los 10 coches de u cocesioario, 90 tiee motor diesel y el resto de gasolia. De los coches co motor diesel, 7 so uevos y el resto usados; mietras que de los coches co motor de gasolia hay el mismo úmero de coches uevos que de usados. Se elige, al azar, u coche de dicho cocesioario; calcule la probabilidad de que: (1 puto) Sea uevo. (1 puto) Tega motor diesel, sabiedo que es usado. El problema es fácil de hacer utilizado ua tabla de cotigecia. Leyedo el problema teemos: Diesel Gasolia Total Nuevo 7 0 Usado Total 90 10 Completamos la tabla de cotigecia Diesel Gasolia Total Nuevo 7 0 10 Usado 18 0 48 Total 90 60 10 Calculamos ya las probabilidades: Sea uevo. P(Nuevo) = 10/10 = 17/ 6
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua ega motor diesel, sabiedo que es usado. p(diesel y Usado) = 18/48 = /8 EJERCICIO Parte II ( putos) Ua variable aleatoria sigue ua ley Normal co desviació típica 6. De qué tamaño, como míimo, se debe elegir ua muestra que os permita estimar la media de esa variable co u error máximo de y ua cofiaza del 99%? Cual es el tamaño de la muestra, que os permita estimar la media de esa variable co u error máximo de y ua cofiaza del 99%? Sabemos que si ua variable aleatoria X sigue ua ormal N(µ,σ), la distribució muestral de medias σ sigue ua ormal N(µ, ). Datos σ = 6; E = ; 1 - α = 99%. Pide. X Sabemos que el itervalo cetrado e el estadístico x obteido e la muestra sería: σ σ I.C. = I(µ) = x - z 1 - α/. < µ < x + z 1 - α/., para estimar µ. Dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) tal que p( Z <z 1 - α/ )=1-α, σ z el error es E = z 1 - α /., de dode el tamaño es 1 - α /. σ E - Co u ivel de cofiaza 1 α = 99%, es decir 1 α = 99% = 0 99, de dode α = 0 01 = 1% como ivel de sigificació. De la igualdad p( Z <z 1 - α/ ) = 1 - α, se deduce que p(z z 1-α/ ) = 1 - α/, que se mira e la tabla de la Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/. p(z z 1-α/ ) = 1 - (0 01)/ = 0 99, mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor más próximo a 0 99 es la mitad de 0 9949 y 0 991, que correspode a z 1-α/ = ( 7+ 8)/ = 7. Me pide el tamaño de la muestra es: míimo de la muestra es = 60. z 1 - α /. σ '7. 6 = E 9 67, por tato el tamaño 7