Reursión y Relaiones de Reurrenia UCR ECCI CI-0 Estruturas Disretas Prof. Krysia Daviana Ramírez Benavides
Algoritmos Reursivos Un algoritmo es reursivo si se soluiona un problema reduiéndolo a una instania del mismo problema on la entrada más pequeña.
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Reursión e Iteraión 5
Reursión e Iteraión 6
Progresión Geométria Es una suesión infinita de números donde el oiente de ualquier término (distinto del primero) entre su predeesor es una onstante llamada razón omún. Ejemplos: 5, 5, 45, 35, 5/5 = 3, 45/5 = 3, 35/45 = 3, 5 = 3*5, 45 = 3*5, 35 = 3*45, 7,, 63, 89, /7 = 3, 63/ = 3, 89/63 = 3, = 3*7, 63 = 3*, 89 = 3*63, 7
8 Relaión de Reurrenia Es una euaión en donde para obtener el valor atual se depende de uno o más valores predeesores inmediatos a él. Donde: k Z +, determina el orden de la relaión y debe ser n k. e i Z +, i = 0,,,..., k, determina si la relaión es lineal o no. f(n) es una funión dada, n N y de orden k. Cada n i R, i = 0,,,..., k y n 0. Son los oefiientes de la relaión. Cada a j R, j = 0,,,..., k-. Son las ondiiones frontera o iniiales. 0 0,...,,,... 0 k k e k n k n e n n e n n e n n A a A a A a k n n f a a a a k
Relaión de Reurrenia (ont.) Una relaión de reurrenia para una suesión {a 0, a, a, a 3, } es una fórmula que expresa ada término a n, a partir de ierto n N, en funión de uno o más de los términos que le preeden. Los valores de los términos neesarios para empezar a alular se llaman ondiiones iniiales. Se die que una suesión es una soluión de la relaión de reurrenia si su término general verifia diha relaión. 9
Relaión de Reurrenia (ont.) Las relaiones de reurrenia pueden onsiderarse omo ténias avanzadas de onteo. Resuelve problemas uya soluión no puede obtenerse usando variaiones, permutaiones, ombinaiones o on las ténias derivadas del prinipio de inlusión-exlusión. 0
Relaión de Reurrenia (ont.) Ejemplos: 5, 5, 45, 35, a n+ = 3a n, a 0 = 5, n 0 7,, 63, 89, a n+ = 3a n, a 0 = 7, n 0
Relaión de Reurrenia (ont.) Toda relaión de reurrenia tiene: Coefiientes, pueden ser onstantes o variables, que son valores que están multipliando ada término on subíndie de la relaión de reurrenia. Condiiones frontera o iniiales, que son los valores iniiales que se neesitan para resolver la relaión de reurrenia, y se denotan omo a 0, a,, a k-.
Relaión de Reurrenia (ont.) Torres de Hanoi. Se tienen n disos y 3 estaas. Los disos están apilados en la estaa, ordenados de mayor a menor. El objetivo es pasar los disos uno por uno a otra estaa, oloados en el orden original. En el proeso no se permite que un diso mayor se oloque sobre otro menor. Si a n es el número de movimientos que se requieren para haer esto, enuentra una relaión de reurrenia para alular a n. 3
Relaión de Reurrenia (ont.) Torres de Hanoi. (http://www.uterra.om/juegos/torre_hanoi.php) Para mover n disos basta mover n disos a una estaa libre, mover el diso mayor a la otra estaa libre y mover de nuevo los n disos sobre el diso mayor: a n = a n + Condiión iniial: a = 4
Relaión de Reurrenia (ont.) Sea M = {A,B,C} y sea S n el onjunto de suesiones de longitud n, formadas on las letras de M, en las que todas las adenas de As son de longitud par. Enuentra una relaión de reurrenia para alular S n. 5
Relaión de Reurrenia (ont.) Las suesiones de longitud n formadas on las letras {A,B,C} en las que todas las adenas de As son de longitud par, se dividen en tres grupos: las que empiezan por A, las que empiezan por B y las que empiezan por C. Las que empiezan por A, a ontinuaión de la A han de tener otra A y a ontinuaión una suesión de longitud n en las que todas las adenas de As son de longitud par. Las que empiezan por B o C, a ontinuaión han de llevar una suesión de longitud n en las que todas las adenas de As son de longitud par. 6
Relaión de Reurrenia (ont.) Reíproamente, si a una palabra de longitud n en las que todas las adenas de As son de longitud par se agrega AA delante obtenemos una suesión de longitud n en las que todas las adenas de As son de longitud par, y si a una palabra de longitud n en las que todas las adenas de As son de longitud par, se agrega delante B o C obtenemos una suesión de longitud n en las que todas las adenas de As son de longitud par 7
Relaión de Reurrenia (ont.) La relaión de reurrenia es: a n = a n + a n Condiiones iniiales: a0 = (existe una únia suesión de longitud 0, la palabra vaía, en las que todas las adenas de As son de longitud par) a = (existen suesiones de longitud, las suesiones B y C, en las que todas las adenas de As son de longitud par), a = 5 (existen 5 suesiones de longitud en las que todas las adenas de As son de longitud par, las suesiones AA;BB;BC;CB;CC) No es neesario alular a pero dado que a 0 es disutible, sirve para omprobar que a = a + a 0 y por tanto a 0 es oherente on la relaión de reurrenia 8
Relaión de Reurrenia (ont.) Una relaión de reurrenia puede ser: Primer Orden: Cuando la relaión de reurrenia sólo depende de su predeesor inmediato. Ejemplo: a n+ = 3a n, a 0 = 5, n 0. Segundo Orden: Cuando la relaión de reurrenia depende de sus dos predeesores inmediatos. Ejemplo: a n = a n- + 5a n-, a 0 = 0, a =, n. Lineal: Cuando ada término on subíndie de la relaión de reurrenia aparee elevado a la primera potenia. Ejemplo: a n+ = 3a n, a 0 = 5, n 0. No Lineal: Cuando algún término on subíndie de la relaión de reurrenia aparee elevado a una potenia diferente a la primera potenia. Ejemplo: a n+ = 3a n, a 0 = 5, n 0. 9
Relaión de Reurrenia (ont.) Una relaión de reurrenia puede ser: Homogénea: Cuando f(n) = 0 para todo n N. Ejemplo: a n+ = 3a n a n+ 3a n = 0, a 0 = 5, n 0. No Homogénea: Cuando f(n) 0 para todo n N. Ejemplo: a n+ = 3a n + n a n+ 3a n = n, a 0 = 5, n 0. Coefiientes Constantes: Cuando ada término on subíndie de la relaión de reurrenia está multipliado por una onstante. Ejemplo: a n+ = 3a n, a 0 = 5, n 0. Coefiientes Variables: Cuando algún término on subíndie de la relaión de reurrenia está multipliado por una valor variable. Ejemplo: a n = na n-, a 0 =, n. 0
Relaiones de Reurrenia (ont.) La soluión general de una relaión de reurrenia es el valor de a n es una funión de n que no depende de los términos anteriores de la suesión, una vez definido las ondiiones frontera o iniiales, que se obtiene a partir de la relaión de reurrenia.
Soluión General: Relaiones de Reurrenia de Primer Orden, Lineales, Homogéneas y on Coefiientes Constantes La relaión de reurrenia Donde: a n+ = a n, a 0 = A 0, n 0 es una onstante diferente de ero. a 0 = A 0 es únia. La soluión general de diha relaión está dada por a n = A 0 n, n 0. Está última euaión es una funión disreta uyo dominio es el onjunto N de los enteros no negativos.
Soluión General: Relaiones de Reurrenia de Segundo Orden, Lineales, Homogéneas y on Coefiientes Constantes La relaión de reurrenia n+ a n+ + n+ a n+ + n a n = 0, a 0 = A 0, a = A, n 0 Donde: n+, n+ y n son onstantes diferentes de ero. a 0 = A 0 y a = A son únias. Para obtener la soluión general de diha relaión: Se sustituye a n = dr n, donde d 0 y r 0, se obtiene: n+ dr n+ + n+ dr n+ + n dr n = 0. Se saa omo fator omún dr n, se obtiene una euaión uadrátia llamada euaión araterístia: n+ r + n+ r + n r = 0. 3
Soluión General: Relaiones de Reurrenia de Segundo Orden, Lineales, Homogéneas y on Coefiientes Constantes (ont.) Para obtener la soluión general de diha relaión: Se resuelve la euaión uadrátia y se obtiene las raíes de esa euaión r y r, estas son llamadas raíes araterístias. Estas raíes pueden ser: números reales distintos, números reales iguales y números omplejos onjugados. Sólo se analizará los dos primeros asos. Si las raíes obtenidas son números reales distintos se va formando la soluión general de la siguiente manera: a n = r n + r n. Si las raíes obtenidas son números reales iguales se va formando la soluión general de la siguiente manera: a n = r n + nr n. 4
5 Soluión General: Relaiones de Reurrenia de Segundo Orden, Lineales, Homogéneas y on Coefiientes Constantes (ont.) Para obtener la soluión general de diha relaión: Una vez que se tiene este avane de la soluión general on las ondiiones frontera o iniiales se forma un sistema de euaiones y se halla y. Con los valores que se obtengan de las raíes r y r, y las onstantes y se obtiene la soluión general de la relaión de reurrenia: a n = r n + r n, n 0 Raíes diferentes. a n = r n + nr n, n 0 Raíes iguales. Raíes reales iguales 0 Raíes reales diferentes 0 0 0 0 0 0 0 0 r r A r r a A r r a r r A r r a A r r a
Soluión General: Relaiones de Reurrenia de Primer o Segundo Orden, Lineales, No Homogéneas y on Coefiientes Constantes La relaión de reurrenia n+ a n+ + n+ a n+ + n a n = f(n), a 0 = A 0, a = A, n 0 Donde: f(n) 0. n+, n+ y n son onstantes diferentes de ero. a 0 = A 0 y a = A son únias. Para obtener la soluión general de diha relaión se suma la soluión homogénea asoiada a nh y la soluión partiular a np. 6
Soluión General: Relaiones de Reurrenia de Primer o Segundo Orden, Lineales, No Homogéneas y on Coefiientes Constantes (ont.) Para obtener la soluión general de diha relaión se realiza lo siguiente: Se resuelve la relaión homogénea asoiada omo se onoe sin saar las onstantes, on los pasos anteriormente dados, y así se obtendrá la soluión homogénea asoiada a nh. Luego, se obtiene la soluión partiular a np observando la funión dada f(n) y busando en la tabla. Si a np ontiene raíes distintas a las obtenidas en a nh, entones se pasa al siguiente paso. Si ontiene una raíz igual a las obtenidas en a nh, entones a np = na np y se pasa al siguiente paso. Si ontiene dos raíes iguales a las obtenidas en a nh, entones a np = n a np y se pasa al siguiente paso. 7
Soluión General: Relaiones de Reurrenia de Primer o Segundo Orden, Lineales, No Homogéneas y on Coefiientes Constantes (ont.) f(n), onstante n n n t, t Z+ r n, r R n t r n a n p A, onstante A n + A 0 A n + A n + A 0 A t n t + A t- n t- + + A n + A 0 Ar n r n (A t n t + A t- n t- + + A n + A 0 ) Tabla 8
Soluión General: Relaiones de Reurrenia de Primer o Segundo Orden, Lineales, No Homogéneas y on Coefiientes Constantes (ont.) Para obtener la soluión general de diha relaión se realiza lo siguiente: Se obtiene el valor de ada onstante de la a np, o sea, las onstantes A t, A t-,..., A, A 0 ; lo ual se logra sustituyendo ada término a n de la relaión de reurrenia dada por la a np y resolviendo la euaión. Por ejemplo: f(n) = r n, por lo tanto a np = Ar n, entones se obtiene algo así: n+ Ar n+ + n+ Ar n+ + n Ar n = r n Con la soluión homogénea asoiada a nh y la soluión partiular a p n obtenidas se tiene la soluión general de la relaión de reurrenia a n = a nh + a np. Por último, se alula los valores y de la soluión homogénea asoiada, mediante un sistema de euaiones, sustituyendo on las ondiiones iniiales dadas. Con esto se obtiene la soluión general de la relaión de reurrenia. 9
Transformaión de una Relaión de Reurrenia No Lineal a Lineal Se puede transforma una relaión de reurrenia no lineal a lineal para poder resolverla mediante una sustituión algebraia b n = a n. Ejemplo: a n+ = 3a n, a 0 = 3, n 0 b n+ = 3b n, b 0 = 9, n 0 Una vez heho esto se puede resolver omo una relaión de reurrenia lineal, para este ejemplo orresponde a una relaión de primer orden, homogénea y on oefiientes onstantes. 30
Transformaión de una Relaión de Reurrenia No Lineal a Lineal Después de resolverla se saa la raíz a ada número obtenido en la soluión general para tener la soluión general de la relaión de reurrenia no lineal. Ejemplo: b n = 9*3 n, n 0 a n = 3* 3 n, n 0 3
Referenias Bibliográfias Jonnsonbaugh, Rihard. Matemátias Disretas. Prentie Hall, Méxio. Sexta Ediión, 005. Grimaldi, Ralph P. Matemátia Disreta y Combinatoria. Addison Wesley Longman de Méxio, S.A. Terera Ediión, 998. 3