U estimador utual atural de la roorció e u exerimeto biomial se ecuetra dado or el estadístico roorció =x/, dode x rereseta el úmero de éxitos e ruebas o exerimetos realiados. Etoces la roorció de la muestra =x/ se utiliará como estimador utual del arámetro. Si o se esera que la roorció descoocida esté demasiado cerca de 0 ó de, se uede establecer u itervalo de cofiaa ara al cosiderar la distribució muestral de roorcioes.
Recordemos ara la distribució Biomial ara la distribució de roorcioes ( ) x q q ( ) E este deseje observamos de la rimera ecuació que se ecesita el valor del arámetro y es recisamete lo que queremos estimar, or lo que lo sustituiremos or la roorció de la muestra siemre y cuado el tamaño de muestra o sea equeño.
q Cuado es equeña y la roorció descoocida se cosidera cercaa a 0 ó a, el rocedimieto del itervalo de cofiaa que se establece aquí o es cofiable, or tato, o se debe utiliar. ara estar seguro, se debe requerir que ó q sea mayor o igual a 5. El error de estimació será la diferecia absoluta etre y, y odemos teer el ivel de cofiaa de que esta diferecia o excederá a l factor Ejemlo q U exortador de cerámica Maya utilia u cojuto de ruebas ara evaluar la auteticidad del roducto. Todas las ieas debe asar todas las ruebas ates de vederse. Ua muestra aleatoria de 500 ieas tiee como resultado 5 de ellas falla e ua o más ruebas. Ecuetra u itervalo de cofiaa de 90% ara la roorció de las ieas de la oblació que o asa todas las ruebas.
Solució Datos Fórmula x=5 =500 IC=90% q U exortador de cerámica Maya utilia u cojuto de ruebas ara evaluar la auteticidad del roducto. Todas las ieas debe asar todas las ruebas ates de vederse. Ua muestra aleatoria de 500 ieas tiee como resultado 5 de ellas falla e ua o más ruebas. Ecuetra u itervalo de cofiaa de 90% ara la roorció de las ieas de la oblació que o asa todas las ruebas. IC 5 x / 500 0.03 0.5 (0.90 / ) Z=.645 0.05 0.030.97 0.03.645 500 Z Se sabe co u ídice de cofiaa del 90% que la roorció de ieas defectuosos que o asa las ruebas e esa oblació esta etre 0.075 y 0.045. 0.03 0.055 0.045 0.075 0.075 0.045
Ejemlo E ua muestra de 400 artículos fabricadas or tu comañía, se ecotraro 0 defectuosos. Si la roorció de artículos defectuosos e esa muestra se usa ara estimar, que vedrá a ser la roorció verdadera de todas los artículos defectuosas fabricados or tu comañía. Ecuetre el máximo error de estimació ε tal que se ueda teer u 95% de cofiaa e que dista meos de ε que de.
Solució Datos Fórmula x=0 =400 IC=95% q E ua muestra de 400 artículos fabricadas or tu comañía, se ecotraro 0 defectuosos. Si la roorció de artículos defectuosos e esa muestra se usa ara estimar, que vedrá a ser la roorció verdadera de todas los artículos defectuosas fabricados or tu comañía. Ecuetre el máximo error de estimació ε tal que se ueda teer u 95% de cofiaa e que dista meos de ε que de. 0 x / 400 0.05 IC 0.5 (0.95 / ) 0.05 =.96 0.050.95 0.05.96 400.96 400 0.050.95 0.035 Si =0.05 se usa ara estimar, odemos teer u 95% de cofiaa e que dista meos del 0.035 de. E otras alabras, si =0.05 se usa ara estimar, el error máximo de estimació será aroximadamete 0.035 co u ivel de cofiaa del 95%. 0.05 0.035 0.0865 0.0735
Ejemlo E u estudio de 300 accidetes automovilísticos e cierta ciudad de la Reública Mexicaa reorta que 60 tuviero cosecuecias fatales. Co base e esta muestra, costruya u itervalo del 90% de cofiaa ara aroximar la roorció de todos los accidetes automovilísticos que e esa ciudad tiee cosecuecias fatales.
Solució Datos Fórmula x=60 =300 IC=90% q E u estudio de 300 accidetes automovilísticos e cierta ciudad de la Reública Mexicaa reorta que 60 tuviero cosecuecias fatales. Co base e esta muestra, costruya u itervalo del 90% de cofiaa ara aroximar la roorció de todos los accidetes automovilísticos que e esa ciudad tiee cosecuecias fatales. IC 60 x / 300 0. 0.5 (0.90 / ) =.645 0.05 0.0.8 0..645 300 0. 0.03798 0.38 0.6 0.6 0.38
Si se tiee dos oblacioes co medias μ y μ y variaas σ y σ resectivamete, u estimador utual de la diferecia etre μ y μ está dado or la estadística x -x. ara obteer ua estimació utual de μ -μ, se seleccioa dos muestras aleatorias ideedietes, de cada oblació, de tamaño y, se calcula la diferecia x -x, de las medias muestrales. Recordemos que la distribució muestral de diferecia de medias está dada or: x x Que al desejar teemos lo siguiete:
x x E el caso e que se descooca las variaas de la oblació y los tamaños de muestra sea mayores a 30 se odrá utiliar la variaa de la muestra como ua estimació utual. Ejemlo Se lleva a cabo u exerimeto e que se comara dos tios de motores, A y B. Se mide el redimieto e millas or galó de gasolia. Se realia 50 exerimetos co el motor tio A y 75 co el motor tio B. La gasolia que se utilia y las demás codicioes se matiee costates. El redimieto romedio de gasolia ara el motor A es de 36 millas or galó y el romedio ara el motor B es 4 millas or galó. Ecuetre u itervalo de cofiaa de 96% sobre la diferecia romedio real ara los motores A y B. Suoga que las desviacioes estádar oblacioales so 6 y 8 ara los motores A y B resectivamete.
Solució Datos x =36 x =4 =50 =75 IC=96 % σ =6 σ =8 Fórmula x x Se lleva a cabo u exerimeto e que se comara dos tios de motores, A y B. Se mide el redimieto e millas or galó de gasolia. Se realia 50 exerimetos co el motor tio A y 75 co el motor tio B. La gasolia que se utilia y las demás codicioes se matiee costates. El redimieto romedio de gasolia ara el motor A es de 36 millas or galó y el romedio ara el motor B es 4 millas or galó. Ecuetre u itervalo de cofiaa de 96% sobre la diferecia romedio real ara los motores A y B. Suoga que las desviacioes estádar oblacioales so 6 y 8 ara los motores A y B resectivamete. IC 0.5 (0.96 / ) x -x =36-4= 36 50 64 75 0.0.5733 =.055.543.055.543.057 9.44-4.57
.00.0.0.03.04.05.06.07.08.09-4.0 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000-3.9 0.00005 0.00005 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00003 0.00003-3.8 0.00007 0.00007 0.00007 0.00006 0.00006 0.00006 0.00006 0.00005 0.00005 0.00005-3.7 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00009 0.00009 0.00008 0.00008 0.00008 0.00008-3.6 0.0006 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0003 0.0003 0.000 0.000 0.000-3.5 0.0003 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0009 0.0009 0.0008 0.0007 0.0007-3.4 0.00034 0.0003 0.0003 0.00030 0.0009 0.0008 0.0007 0.0006 0.0005 0.0004-3.3 0.00048 0.00047 0.00045 0.00043 0.0004 0.00040 0.00039 0.00038 0.00036 0.00035-3. 0.00069 0.00066 0.00064 0.0006 0.00060 0.00058 0.00056 0.00054 0.0005 0.00050-3. 0.00097 0.00094 0.00090 0.00087 0.00084 0.0008 0.00079 0.00076 0.00074 0.0007-3.0 0.0035 0.003 0.006 0.00 0.008 0.004 0.00 0.0007 0.0003 0.0000 -.9 0.0087 0.008 0.0075 0.0069 0.0064 0.0059 0.0054 0.0049 0.0044 0.0039 -.8 0.0056 0.0048 0.0040 0.0033 0.006 0.009 0.00 0.0005 0.0099 0.0093 -.7 0.00347 0.00336 0.0036 0.0037 0.00307 0.0098 0.0089 0.0080 0.007 0.0064 -.6 0.00466 0.00453 0.00440 0.0047 0.0045 0.0040 0.0039 0.00379 0.00368 0.00357 -.5 0.006 0.00604 0.00587 0.00570 0.00554 0.00539 0.0053 0.00508 0.00494 0.00480 -.4 0.0080 0.00798 0.00776 0.00755 0.00734 0.0074 0.00695 0.00676 0.00657 0.00639 -.3 0.007 0.0044 0.007 0.00990 0.00964 0.00939 0.0094 0.00889 0.00866 0.0084 -. 0.0390 0.0355 0.03 0.087 0.055 0.0 0.09 0.060 0.030 0.00 -. 0.0786 0.0743 0.0700 0.0659 0.068 0.0578 0.0539 0.0500 0.0463 0.046 -.0 0.075 0.0 0.069 0.08 0.0067 0.008 0.0970 0.093 0.0876 0.083 -.9 0.087 0.0807 0.0743 0.0680 0.069 0.0559 0.0500 0.044 0.0385 0.0330 -.8 0.03593 0.0355 0.03438 0.0336 0.0388 0.036 0.0344 0.03074 0.03005 0.0938 -.7 0.04456 0.04363 0.047 0.048 0.04093 0.04006 0.0390 0.03836 0.03754 0.03673 -.6 0.05480 0.05370 0.056 0.0555 0.05050 0.04947 0.04846 0.04746 0.04648 0.0455 -.5 0.0668 0.0655 0.0645 0.0630 0.0678 0.06057 0.05938 0.058 0.05705 0.0559 -.4 0.08076 0.0797 0.07780 0.07636 0.07493 0.07353 0.074 0.07078 0.06944 0.068 -.3 0.09680 0.0950 0.0934 0.0976 0.090 0.0885 0.0869 0.08534 0.08379 0.086 -. 0.507 0.34 0.3 0.0935 0.0749 0.0565 0.0383 0.004 0.007 0.0985 -. 0.3566 0.3350 0.336 0.94 0.74 0.507 0.30 0.00 0.900 0.70 -.0 0.5865 0.565 0.5386 0.550 0.497 0.4686 0.4457 0.43 0.4007 0.3786-0.9 0.8406 0.84 0.7878 0.768 0.736 0.705 0.6853 0.660 0.6354 0.609-0.8 0.85 0.0897 0.06 0.037 0.0045 0.9766 0.9489 0.95 0.8943 0.8673-0.7 0.496 0.3885 0.3576 0.369 0.965 0.663 0.363 0.065 0.769 0.476-0.6 0.745 0.7093 0.6763 0.6434 0.608 0.5784 0.546 0.543 0.485 0.4509-0.5 0.30853 0.3050 0.3053 0.9805 0.9460 0.96 0.8774 0.8434 0.8095 0.7759-0.4 0.34457 0.34090 0.3374 0.33359 0.3997 0.3635 0.376 0.397 0.356 0.306-0.3 0.3809 0.3788 0.37448 0.37070 0.3669 0.3637 0.3594 0.35569 0.3597 0.3486-0. 0.4074 0.4683 0.493 0.40904 0.4056 0.409 0.39743 0.39358 0.38974 0.38590-0. 0.4607 0.4560 0.454 0.4488 0.44433 0.44038 0.43644 0.4350 0.4857 0.4465-0.0 0.50000 0.4960 0.490 0.48803 0.48404 0.48006 0.47607 0.4709 0.468 0.4644