13 Intervalos de confianza

Transcripción

1 13 Itervalos de cofiaza EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Ejercicio resuelto.. El eso de los huevos de ua graja sigue ua ley ormal de media descoocida y desviació tíica 1,3 gramos. Para estimar la media oblacioal se ha tomado ua muestra de dos doceas de huevos que ha dado u eso total de 1615, gramos. Halla u itervalo de cofiaza, al 96 %, ara la media oblacioal. Dado que la variable X: eso e gramos de huevos de la graja tiee ua distribució N µ, σ N µ ; 1,3, la media muestral de las dos doceas de huevos, tambié sigue ua distribució ormal co: 1,3 X ~ N µ ; σx N µ ; σx 0, Si dos doceas de huevos ha esado 1615, gramos, la media de la muestra es x 1615, 67,3 g. 4 0,0. De las tablas de la N0,1, se obtiee que: Como 1 0,96, resulta P Z < z0,0 1 0,0 0,98 z0,0,055 De maera que el itervalo de cofiaza al 96 % ara la media oblacioal μ, e gramos, es: 1,3 1,3 IC0,97 ; 67,3 +,055 µ 67,3, ,784; 67,816 Los recios e euros de u roducto se distribuye segú ua ormal de desviació tíica 15. Se ha tomado ua muestra de los recios de dicho roducto e 9 comercios elegidos al azar e u barrio de ua ciudad, y se ha ecotrado los siguietes recios: 195, 08, 38, 1, 199, 06, 5, 01, 15 Determia el itervalo de cofiaza, al 90 %, ara el recio medio de este roducto. La variable aleatoria X: recio, e euros, del roducto tiee ua distribució N µ, σ 15. La muestra aleatoria del recio del roducto e 9 tiedas tiee ua media muestral de: x Como 1 0,90, resulta ,05. De las tablas de la N0,1, se obtiee que: P Z < z0,05 1 0,05 0,95 z0,05 1,645 De maera que el itervalo de cofiaza al 90% ara el recio medio del roducto µ es: IC0,90 µ 11 1,645 ; , Uidad 13 Itervalos de cofiaza 0,78; 19,3

2 4. Se suoe que el úmero de telesectadores e milloes de u rograma semaal de televisió se aroxima a ua distribució ormal de desviació tíica 0,5 milloes. Si ua muestra aleatoria de 10 semaas roorcioa ua media muestral de 6,54 milloes de telesectadores, calcula u itervalo al 95 % de cofiaza ara la media semaal de telesectadores de ese rograma. La variable aleatoria X: úmero, e milloes, de telesectadores del rograma tiee ua distribució: N µ ; σ 0,5 La muestra aleatoria de 10 semaas tiee ua media muestral x 6,54 milloes de telesectadores. Como 1 0,95, resulta 0,05. De las tablas de la N0,1, se obtiee que: P Z < z0,05 1 0,05 0,975 z0,05 1,96 De maera que el itervalo de cofiaza al 95% ara la media semaal µ, e milloes, es: 0,5 0,5 IC0,95 ; 6,54 + 1,96 µ 6,54 1, ,3; 6,85 El tiemo de esera ara ser atedido e u cierto establecimieto se uede aroximar or ua variable aleatoria co distribució ormal de media μ descoocida y desviació tíica igual a 3 miutos. Se toma ua muestra aleatoria simle de tamaño 11. a Determia u itervalo de cofiaza co u ivel del 95 % ara μ, si la media de la muestra es igual a 7 miutos. b Calcula la robabilidad de que el valor absoluto de la diferecia etre la media de la muestra y μ sea mayor que 0,5 miutos. La variable aleatoria X: tiemo de esera, e miutos tiee ua distribució N µ, σ 3. a La muestra aleatoria de tamaño 11 roorcioa ua media muestral x 7 miutos. Como 1 0,95, resulta 0,05. De las tablas de la N0,1, se obtiee que: z0,05 P Z < z0,05 1 0,05 0,975 1,96 De maera que el itervalo de cofiaza al 95% ara la media semaal µ, e miutos, es: 3 3 IC0,95 µ 7 1,96 ; 7 + 1, ,5;7,5 b La distribució de la media muestral es tambié ormal: 9 X ~N µ X, σx N µ, 11 Para calcular la robabilidad de que X µ > 0,5, se calcula la robabilidad de que sea meor que 0,5 miutos, y desués la del suceso cotrario. Por lo que, desarrollado y tiificado a la Z ~N 0,1 : 0,5 0,5 P X µ < 0,5 P 0,5 < X µ < 0,5 P <Z< Φ 0,17 1 0, , Y, or último: P X µ > 0,5 1 P X µ < 0,5 1 0,135 0,865 Itervalos de cofiaza Uidad 13 65

3 6. 7. Ejercicio resuelto. E ua oblació se desea coocer la roorció de ersoas de estatura suerior a 190 cm. Para ello se elige ua muestra aleatoria de 600 ersoas, de las que 60 mide más de 190 cm. Para la roorció de ersoas que mide más de 190 cm e esta oblació: a Determia u estimador utual. b Calcula u itervalo de cofiaza al 99 %. c Halla el ivel de cofiaza ara el itervalo 0,076 ; 0,14 Sea X: úmero de ersoas, de las 600, que mide más de 190 cm. La variable X tiee distribució biomial B 600,, siedo la robabilidad de que ua ersoa elegida al azar, e esa oblació, mida más de 190 cm. a U estimador utual ara la roorció, es la roorció muestral: 60 0,1 600 se uede aroximar or la de ua distribució ormal, dado que el b La distribució de la roorció muestral tamaño de la muestra es suficietemete grade: ~N µ ; σ e la estimació de la variaza y teiedo e cueta que: Aroximado or 0,99 0,005 z z0,005,575 1 / Se tiee que u itervalo de cofiaza al 99% ara la roorció oblacioal, de ersoas que mide más de 190 cm, viee dado or: 0,11 0,1 0,11 0,1 0,1,575 IC0,99 ;0,1 +, ,0685; 0,131 5 c Teemos que: 1 1 +z z IC1 ; 0,076; 0,14 0,11 0,1 0,11 0,1 0,1 z IC1 ;0,1 + z ,076; 0,14 Desejado z de cualquiera de estas dos ecuacioes: 0,1 z 0,11 0,1 0,11 0,1 0,076 ; 0,1 + z 0, ,975 1, co lo fialmete Se obtiee que z 1, ,96, or lo que P Z < z 0, Como 0,05 etoces , ,95 Así ues, el ivel de cofiaza será del 95 %. 66 Uidad 13 Itervalos de cofiaza

4 8. U fabricate de automóviles ha realizado u estudio de mercado e u determiado muiciio y ha ecotrado que de ua muestra aleatoria de 500 turismos, 80 de ellos tiee motor diésel. Co u ivel de cofiaza del 94 %, determia el itervalo de cofiaza ara la roorció de turismos que tiee motor diésel e este muiciio. Sea X: úmero de turismos, de los 500, co motor diesel. La variable X tiee distribució biomial B 500,, siedo la robabilidad de que u turismo elegido al azar, e ese muiciio, tega motor diesel. U estimador utual ara la roorció, es la roorció muestral: 80 0, se uede aroximar or la de ua distribució ormal, dado que el La distribució de la roorció muestral tamaño de la muestra es suficietemete grade: ~N µ ; σ ,16 e la estimació de la variaza, y teiedo e cueta que: Aroximado or 1 0,94 0,03 z z 1,88 0,03 Se tiee que u itervalo de cofiaza al 94 % ara la roorció oblacioal, de turismos co motor diésel, viee dado or: 0,16 1 0,16 0,16 1 0,16 0,16 1,88 IC0,94 ; 0,16 + 1, ,19 ; 0, y 10. Ejercicios resueltos. 11. E u estudio sobre gorrioes se sabe que la distacia que recorre volado e ua asada, e busca de alimeto, sigue ua distribució ormal tato e los machos como e las hembras. Las desviacioes tíicas oblacioales so de 80 y 75 m resectivamete. Co el fi de estimar la diferecia de medias de distacias recorridas, se toma ua muestra de 40 machos y 35 hembras y se determia las medias muestrales que so, resectivamete, 30 y 140 m. Halla u itervalo de cofiaza al 95 % ara la diferecia de medias oblacioales. Se cosidera las variables aleatorias: X: distacia, e metros, que recorre el macho de gorrió e ua asada. X ~N µ X, σ X 80. Y: distacia, e metros, que recorre la hembra de gorrió e ua asada. Y ~N µy, σy 75. Se toma muestras aleatorias de 40 machos y de m 35 hembras. Las distribucioes de las medias muestrales so, resectivamete, las siguietes distribucioes ormales: X ~ ; N µx, σx Y ~ N µy, σy De modo que, la distribució de la diferecia etre la media muestral de los machos y la media muestral de las hembras, es ua distribució ormal, co la media y la variaza que se idica a cotiuació: 75 X Y ~ N µ X Y, σx Y + N µ X µy ;30,714 N µ X µy, σx + σmy N µ X µy, Las muestras seleccioadas roorcioa los estimadores de las medias oblacioales: x 30 m ; y 140 m Por tato, teiedo e cueta que 1 0,95 0,05 z z0,05 1,96, u itervalo de cofiaza al 95 %, ara la diferecia etre la media oblacioal de los machos y la de las hembras, es: IC0,95 µ X µy ,96 30,714 ; ,96 30,714 54,9;15,1 Itervalos de cofiaza Uidad 13 67

5 9. El coteido medio e azúcar de ua muestra aleatoria de 50 evases de ua bebida refrescate de la marca A es 48 g, co ua cuasidesviació tíica de 7, g, e tato que el coteido medio e ua muestra de 40 evases del mismo tamaño de la marca B es de 30 g, co ua cuasidesviació tíica de 4,6 g. Obté u itervalo de cofiaza al 97 % ara la diferecia de coteido medio e azúcar de las marcas A y B. A este ivel de cofiaza, uede decirse que los evases de la marca B tiee mayor coteido e azúcar que la marca A? Se cosidera las variables aleatorias: N µ X, σ X. X: coteido, e gramos, de azúcar e la bebida marca A. X ~ N µy, σy. Y: coteido, e gramos, de azúcar e la bebida marca B. Y ~ Se toma muestras aleatorias de 50 evases de la marca A y de m 40 evases de la marca B. Como los tamaños muestrales so suficietemete grades, las variazas oblacioales uede estimarse or las cuasivariazas muestrales. Además, la distribució de la diferecia de la media muestral del coteido e azúcar de la marca A meos la media muestral del coteido e azúcar de la marca B uede aroximarse or ua distribució ormal co la media y variaza que se idica: 4,6 X Y ~ N µ X Y, σx Y + N µ X µy, 7, Las muestras seleccioadas roorcioa los estimadores de las medias oblacioales: x 48 ; g y 30m Por tato, teiedo e cueta que 1 z z0,015 0,97 0,015,17, u itervalo de cofiaza al 97 %, ara la diferecia etre la media oblacioal de la marca A y la de la marca B es: 7, 4,6 7, 4,6 IC0,97 µ X µy + ; , ,17 74,65 ; 69, Dado que el itervalo de cofiaza ara la diferecia etre la media de A y la media de B, tiee los extremos egativos, y, or tato, o cotiee al cero, uede decirse que el coteido medio de azúcar de los evases de la marca B es sigificativamete más alto que el de la marca A. 13 a 15. Ejercicios resueltos. 68 Uidad 13 Itervalos de cofiaza

6 16. Para estimar la roorció de balaces cotables icorrectos de u baco, se seleccioa aleatoriamete 00 balaces, y se ecuetra que 19 de ellos so icorrectos. a Obté u itervalo de cofiaza, al 95 %, ara la roorció de balaces icorrectos. b Calcula el tamaño muestral ara que el error al estimar la roorció o sea suerior a 0,0 al 99 % de cofiaza. La variable aleatoria X: úmero de balaces icorrectos del baco, de los 00 elegidos, tiee ua distribució biomial B 00,, co la robabilidad, de que u balace elegido al azar sea icorrecto, descoocida. Dado que el tamaño de la muestra, 00, es suficietemete grade, la distribució de la roorció muestral de balaces icorrectos se uede aroximar or ua distribució ormal: ~N µ, σ 1 00 a Aroximado or 19 0,095, e la estimació de la variaza, y teiedo e cueta que 00 1 z z0,05 0,95 0,05 1,96, se tiee que u itervalo de cofiaza al 95 %, ara la roorció oblacioal, viee dado or: 0, ,095 0, ,095 0,095 1,96 IC0,95 ; 0, , ,054 4; 0,135 6 b El error cometido al estimar la roorció mediate u itervalo de cofiaza es: 1 E z 0,095 y el error debe ser meor o igual que 0,0, z0,005,575. Además 0,005 or lo que se tiee que: Como 1 0,99 z 1 0,0,575 0, , ,17 0,0 Por tato, el tamaño de la muestra debería ser, al meos, de 146 balaces, ara asegurar las codicioes exigidas. Itervalos de cofiaza Uidad 13 69

7 17. E 169 oblacioes distitas e el territorio acioal, se ha ecuestado a agetes imobiliarios sobre el recio de la vivieda, resultado que el recio medio or metro cuadrado es de 1764, co ua desviació tíica de 58. a Estima el recio medio oblacioal co u 97 % de cofiaza. b De qué tamaño tedría que ser la muestra ara hacer dicha estimació co u error meor de 30, co ua cofiaza del 97 %? La distribució de la variable X: recio, e euros, del metro cuadrado de vivieda tiee media µ y desviació tíica σ, ambas descoocidas. Para estimar ambos arámetros se seleccioa ua muestra de 169 viviedas. Al ser la muestra suficietemete grade, la distribució de la media muestral se uede aroximar or la de ua distribució ormal, co media µ y σ variaza, e la que σ se uede aroximar or la desviació tíica de la muestra. Es decir: 58 X ~N µ, σx a Como 1 0,97 0,015 z0,015,17, u itervalo de cofiaza al 97% ara la media oblacioal µ es, or tato: IC0,97,1764 +,17 µ 1764, ,93 ; 1807,07 b Si z0,015,17 y la desviació tíica σ se uede estimar or 58 euros, ara que el error E cometido e la estimació de la media oblacioal sea iferior a 30 euros, se debe cumlir que: Error < 30 E z σ < 30,17 58,17 58 < 30 > 348,7 30 Por tato, la muestra debería teer u tamaño de, al meos, 349 viviedas ara que se satisfaga las codicioes rouestas. 18. La direcció de u cetro educativo, está iteresada e coocer la oiió de los estudiates de todos los cursos a artir de rimero de ESO, sobre determiados servicios que resta el cetro. Diseña ua ficha técica que sirva ara la realizació tal ecuesta. La ficha técica debe cotar, al meos, co los siguietes aartados: 1. Objetivos de la ivestigació: coocer la oiió de los estudiates a artir de 1.º de ESO sobre alguos servicios que resta el cetro.. Descrició del uiverso o oblació objeto del estudio: todos los estudiates matriculados e el cetro, de 1.º ESO e adelate. 3. Método de selecció de la muestra: estratificada, or ejemlo, or curso 1.º ESO,.º ESO, etc. y detro de cada estrato ua muestra aleatoria roorcioal al tamaño del estrato. Tamaño muestral: e total se ecuestará a 300 alumos. 4. El ivel de cofiaza será del 95 % y se admite u error de ± 5,7 % bajo suuesto de máxima idetermiació. 5. Descrició de cómo se ha llevado a cabo el trabajo de camo: mediate la realizació de u cuestioario aóimo que los estudiates lleva a su casa y devuelve e sobre cerrado si idetificar. 6. Período de recogida de la iformació: del 5 al 10 de juio del resete curso. 7. Orgaismos, emresas o ersoas resosables del iforme: deartameto de Orietació. 70 Uidad 13 Itervalos de cofiaza

8 6. La Cosejería de Turismo de ua Comuidad Autóoma está iteresada e coocer la oiió de los turistas mayores de 18 años que visita ua ciudad de esta Comuidad. Diseña ua ficha técica que recoja las características ecesarias que debe teer ese estudio estadístico. La ficha técica debe coteer, al meos, los siguietes aartados: 1. Objetivos de la ivestigació: coocer la oiió de los turistas que visita la ciudad acerca de los servicios y la iformació que resta la Oficia de Turismo.. Descrició del uiverso o oblació objeto del estudio: todos los visitates de la ciudad e u año determiado, mayores de 18 años que busca iformació e las oficias de turismo. 3. Método de selecció de la muestra: muestra aleatoria or cuotas de edad y sexo y estratificada mesualmete e fució del úmero de visitates eserados. Tamaño muestral: muestra de tamaño 1500 ersoas. 4. El ivel de cofiaza será del 90 % y el error co el que se reseta los resultados de ±,1 % bajo suuesto de máxima idetermiació. 5. Descrició de cómo se ha llevado a cabo el trabajo de camo: mediate ecuestas que se etrega a los visitates elegidos y que estos deosita, de forma aóima, e buzoes habilitados al efecto. 6. Período de recogida de la iformació: todo el año e curso. 7. Orgaismos, emresas o ersoas resosables del iforme: emresa cotratada or la Cosejería de turismo mediate cocurso úblico. 0 a 7. Ejercicios resueltos. Itervalos de cofiaza Uidad 13 71

9 EJERCICIOS Itervalo de cofiaza ara la media oblacioal 8. Se ha obteido ua muestra de diez valores de ua variable co distribució ormal de media descoocida y variaza σ 3. Los valores observados so:,1;,5; 1,6;,4;,8;,0; 1,9; 1,;,9; 3,. Costruye u itervalo de cofiaza ara la media co ivel de cofiaza del: a 90 % b 95 % c 99 % La variable aleatoria X tiee ua distribució N µ, σ 3. La muestra aleatoria tiee ua media muestral de: x,1 +,5 + 1,6 +,4 +,8 +,0 + 1,9 + 1, +,9 + 3,,6 10 a De 1 0,90, resulta que 0,05 ; y de las tablas de la N0,1, se obtiee que: P Z < z0,05 1 0,05 0,95 z0,05 1,645 Por lo que el itervalo de cofiaza al 90% ara la media µ es: 3 3 IC0,90 ;,6 + 1,645 µ,6 1, b De 1 0,95, resulta que 1,36 ; 3,16 0,05 ; y de las tablas de la N0,1, se obtiee que: P Z < z0,05 1 0,05 0,975 z0,05 1,96 Por lo que el itervalo de cofiaza al 95% ara la media µ es: 3 3 IC0,90 ;,6 + 1,96 µ,6 1, c De 1 0,99, resulta que 1,19; 3,33 0,005 ; y de las tablas de la N0,1, se obtiee que: P Z < z0, ,005 0,995 z0,005,575 Por lo que el itervalo de cofiaza al 99% ara la media µ es: 3 3 IC0,90 ;,6 +,575 µ,6, Uidad 13 Itervalos de cofiaza 0,85; 3,67 µ

10 9. La catidad de refresco que se sirve e cada vaso a la etrada de uos cies está ormalmete distribuida co ua desviació tíica de 15 ml. Se ha medido las catidades e los vasos de los 5 asistetes de ua determiada sesió que comraro u refresco y se ha obteido u romedio de 00,8 ml. Fijado u ivel de cofiaza del 90 %, calcula el itervalo de cofiaza ara la media de la catidad de refresco que se sirve e cada vaso. Detalla los asos realizados ara obteer los resultados. Se cosidera la variable aleatoria X: catidad de refresco que se sirve e cada vaso, e ml. La distribució de la variable X es ormal, de media descoocida: X ~N µ, σ 15 Ua muestra aleatoria de tamaño 5, roorcioa ua media muestral x 00,8 ml. Si el ivel de cofiaza es del 90 % etoces: 1 0,9 0,05 z0,05 1,645 De maera que el itervalo de cofiaza corresodiete ara el coteido medio de refresco, µ, que se sirve e cada vaso es: IC0,9 ; 00,8 + 1,645 µ 00,8 1, ,865 ; 05, La edad a la que obtiee el ermiso de coducir los habitates de ua determiada oblació es ua variable aleatoria que se uede aroximar or ua distribució ormal de media descoocida y desviació tíica de 4 años. Para estimar la media se elige aleatoriamete ua muestra de 100 habitates de dicha oblació. a Cuál es la variaza de la distribució muestral? b Si la media muestral es 4 años, halla u itervalo de cofiaza al 90 % ara la media oblacioal. La variable aleatoria X: edad, e años, a la que obtiee el ermiso de coducir tiee ua distribució ormal: X ~ N µ, σ 4 a La media muestral tiee, tambié, ua distribució ormal X ~ N µ X, σx cuya variaza vale: σx σ 16 0, b Como el ivel de cofiaza es del 90 %: 1 0,9 0,05 z0,05 1,645 Por lo que, u itervalo de cofiaza al 90 %, ara la media de edad oblacioal a la que se obtiee el ermiso de coducir, es: IC0,9 µ 4 1,645 0,16; 4 + 1,645 0,16 3,34; 4, Se desea estimar la resió arterial sistólica de las ersoas mayores de edad tras la realizació de u determiado ejercicio físico. La resió arterial sistólica media de ua muestra aleatoria de 50 ersoas fue de 190 mmhg, co ua desviació tíica estimada de 6 mmhg. Calcula u itervalo de cofiaza al 90 % ara la resió sistólica media. Sea X: resió arterial sistólica, e mmhg, ara ersoas mayores de edad, tras la realizació de u ejercicio físico. Sea μ la media de X y σ su desviació tíica. Para estimar ambos arámetros, se elige ua muestra aleatoria de 50 ersoas que roorcioa ua media y ua desviació tíica muestrales de: x 190 mmhg ; σ 6 mmhg Como el tamaño de la muestra es suficietemete grade, la distribució de media muestral uede aroximarse or ua distribució ormal, y como el ivel de cofiaza es del 90 % teemos que: 1 0,9 0,05 z0,05 1,645 U itervalo de cofiaza al 90 %, ara la resió sistólica media oblacioal μ, es: 6 6 IC0,9 µ 190 1,645 ; , ,95 ; 196,05 Itervalos de cofiaza Uidad 13 73

11 3. El cosumo bimestral de eergía eléctrica de ua oblació de 100 ersoas se distribuye ormalmete co ua media de 59 kwh y ua desviació tíica de 6 kwh. Calcula el itervalo de cofiaza ara la media co u ivel de cofiaza del 97 %. Detalla los asos realizados ara obteer los resultados. La variable aleatoria X: cosumo bimestral de eergía eléctrica, e kwh. La distribució de la variable X es ormal, de media y variaza descoocidas. Ua muestra aleatoria de 100 ersoas, roorcioa ua media muestral x 59 kwh y ua desviació tíica de σ 6 kwh. A u ivel de cofiaza del 97 % se tiee que: 1 0,97 0,015 z0,015,17 De maera que el itervalo de cofiaza al 97 %, ara la media µ, del cosumo de eergía eléctrica, es: 6 6 IC0,97 µ ; 59 +,7 59, ,698; 60, Para ua muestra de 49 isos de dos habitacioes de ua gra ciudad, el alquiler medio resultó igual a 45. Tomado ua desviació tíica igual a 50, costruir u itervalo de cofiaza, del 97 %, ara la media del alquiler de los isos de dos habitacioes de esa gra ciudad. La variable aleatoria X: recio del alquiler, e euros, de isos de habitacioes. Se descooce la media µ de la distribució de X, ero se sabe que su desviació tíica es σ 50 euros. Ua muestra aleatoria de 49 isos roorcioa ua media muestral x 45. Como la muestra es suficietemete grade, la distribució de la media muestral uede aroximarse or ua distribució ormal. Es decir: 50 X ~N µ X µ, σx 49 Teiedo e cueta que a u ivel de cofiaza del 97% resulta que: 1 0,97 0,015 z0,015,17 U itervalo de cofiaza al 97%, ara la media del alquiler de isos de dos habitacioes, es: IC0,97 µ 45,17 ; 45, ,5 ; 440,5 Itervalo de cofiaza ara la roorció 34. E ua muestra de 450 jóvees, 110 dice que sus lecturas favoritas so cómics. Para u ivel del 90 %, obté u itervalo de cofiaza ara la roorció de jóvees que tiee los comics como sus lecturas favoritas. La variable X: la lectura favorita del jove es el cómic es ua variable de Beroulli de arámetro, robabilidad de que la lectura favorita de u jove elegido al azar sea el cómic. Si se seleccioa ua muestra de tamaño 450, la distribució de la roorció muestral se uede aroximar or la de ua ormal: ~N µ, σ E este caso, ua estimació utual ara es 0, ara estimar la variaza, y teiedo e cueta que: Sustituyedo or 1 1,645 0,90 0,05 z 0,05 U itervalo de cofiaza al 90 % ara la roorció es: 0, ,44 4 0, ,44 4 0,444 1,645 IC0,90 ; 0, , Uidad 13 Itervalos de cofiaza 0,111; 0,777

12 35. Para estimar la roorció de ersoas co sobreeso e ua oblació se ha tomado ua muestra aleatoria simle de tamaño 100 ersoas, de las cuales 1 tiee sobreeso. Calcula el itervalo de cofiaza al 96 % ara la roorció de ersoas co sobreeso e la oblació. Si de la oblació se elige ua ersoa al azar, la variable X: la ersoa tiee sobreeso es ua variable de Beroulli de arámetro, robabilidad de que ua ersoa elegida al azar tega sobreeso. Si se seleccioa ua muestra de tamaño 100, la distribució de la roorció muestral se uede aroximar or la de ua ormal: ~N µ, σ E este caso, ua estimació utual ara es 1 0, ara estimar la variaza, y teiedo e cueta que: Sustituyedo or 1,055 0,96 0,0 z 0,0 U itervalo de cofiaza al 96 % ara la roorció es: 0,11 0,1 0,11 0,1 0,1,055 IC0,96 ; 0,1 +, ,163; 0, Ua comañía aérea tiee cotratada ua emresa ara la recueració de los equiajes erdidos de sus asajeros. Para comrobar la eficiecia de la emresa, la comañía desea saber la roorció de equiajes recuerados. Para ello realiza ua ecuesta a 1 asajeros que erdiero el equiaje. De ellos, 103 lo recueraro. a Cuál es la estimació de la roorció de equiajes recuerados? b Obté el itervalo de cofiaza al 99 % ara la roorció de equiajes recuerados. Si de la oblació asajeros que erdiero el equiaje se elige ua ersoa al azar, la variable X: la ersoa recueró el equiaje es ua variable de Beroulli de arámetro, que es la robabilidad de que ua ersoa de esa oblació elegida al azar haya recuerado el equiaje. a E este caso, si de la muestra de tamaño 1 asajeros que erdiero el equiaje, 103 lo recueraro, ua estimació utual ara es: 103 0, b se uede Si se seleccioa ua muestra de tamaño 1, la distribució de la roorció muestral aroximar or la de ua distribució ormal: ~N µ, σ 1 1 ara estimar la variaza, y teiedo e cueta que: Sustituyedo or 1 0,99 0,005 z0,005,575 U itervalo de cofiaza al 99 % ara la roorció es: 0, ,8443 0, ,8443 0,8443,575 IC0,99 ; 0,8443 +, ,7598; 0,988 Itervalos de cofiaza Uidad 13 75

13 37. Ua ecuesta reguta a los idividuos de ua oblació or la modificació de la ordeaza muicial. Se etrevistó a 500 ersoas de las que 955 se decataro or mateer la ordeaza muicial como está. a Cuál es la estimació utual del orcetaje de idividuos que se iclia or seguir mateiedo la ordeaza actual del muiciio? b Obté u itervalo de cofiaza al 95 % ara el orcetaje de oblació que refiere mateer como está la ordeaza muicial. Si de la oblació se elige ua ersoa al azar, la variable X: la ersoa se decata or mateer la ordeaza muicial como está es ua variable de Beroulli de arámetro, robabilidad de que ua ersoa de esa oblació elegida al azar oie que la ordeaza muicial siga como está. a E este caso, si de la muestra de la estimació de es: 500 ersoas, 955 oia que la ordeaza muicial siga como está, b Si se seleccioa ua muestra de tamaño aroximar or la de ua distribució ormal: 955 0, , la distribució de la roorció muestral se uede ~N µ, σ ara estimar la variaza, y teiedo e cueta que: Sustituyedo or 1 0,95 0,05 z0,05 1,96 U itervalo de cofiaza al 95 % ara la roorció es: 0,381 0,38 0,381 0,38 0,38 1,96 IC0,95 ; 0,38 + 1, Uidad 13 Itervalos de cofiaza 0,363; 0,401

14 Itervalo de cofiaza ara la diferecia de medias 38. *Se suoe que el gasto or ersoa e las rebajas de eero sigue ua distribució ormal. E la ciudad A, es N µ A, σ A 50. Para estimar el gasto medio or ersoa, e la ciudad A, 40 y e la ciudad B N µ B, σb se ha seleccioado ua muestra aleatoria de 100 ersoas y se ha obteido u gasto medio de 5. Y ara estimar el gasto medio or ersoa e B, se eligió ua muestra de 150 ersoas cuya gasto medio ascedió a 350. a Costruye u itervalo de cofiaza al 95% ara la diferecia del gasto medio or ersoa e ambas ciudades A y B, e las rebajas de eero. b Se uede afirmar, co u ivel de sigificació del 5 %, que el gasto medio or ersoa e B es mayor que e A? a Las distribucioes de las medias muestrales e las ciudades A y B so, resectivamete: 40 X A ~ ; N µa, σa X B ~ N µ B, σb Y la distribució de la diferecia de las medias muestrales es tambié ua distribució ormal: X A X B ~N µ X A X B µ A µ B ; σx A X B + 3, Dado que 1 0,95 0,05 z0,05 1,96, u itervalo de cofiaza al 95 % ara la diferecia del gasto medio e A meos el gasto medio e B es: IC0,95 µ A µ B ,96 3,67; ,96 3,67 136,0 ; 113,80 b Puesto que el itervalo de cofiaza calculado e el aartado aterior o cotiee al cero, ya que ambos extremos so egativos, uede decirse que el gasto medio e B es sigificativamete mayor que el gasto medio e A al 95 % de cofiaza 5 % de sigificació. 39. Las utuacioes e las ruebas de acceso e Matemáticas Alicadas a las Ciecias Sociales sigue ua ley ormal de media descoocida. E la uiversidad A la desviació tíica es 1,8 utos, mietras que e la uiversidad B la desviació tíica es de, utos. E ua muestra de 36 alumos de la uiversidad A se ha obteido ua utuació media de 5,5 utos y e ua muestra de 48 de la uiversidad B, la utuació media ha sido de 7, utos. a Calcula u itervalo de cofiaza del 90 % ara la diferecia de las utuacioes medias e Matemáticas Alicadas a las Ciecias Sociales, de las uiversidades A y B. b Se uede afirmar que las utuacioes medias so mejores e la uiversidad B que e la A, al 90 % de cofiaza? a Las distribucioes de las medias muestrales e las uiversidades A y B so, resectivamete: 1,8, X A ~ ; N µ X A µ A, σx A X B ~ N µ X µ B, σx B La distribució de la diferecia de las medias muestrales es tambié ua distribució ormal: 1,8, X A X B ~N µ X A X B µ A µ B ; σx A X B + 0, Como 1 0,90 0,05 z 1,645, u itervalo de cofiaza al 90 %, ara la diferecia de la 0,05 utuació media e MACS, e la uiversidad A, meos la utuació media e la uiversidad B, es: IC0,95 µ A µ B 5,5 7, 1,645 0,1908 ; 5,5 7, + 1,645 0,1908,4; 0,98 b Dado que el itervalo de cofiaza calculado e el aartado aterior o cotiee al cero, ya que ambos extremos so egativos, se uede afirmar que la utuació media e la uiversidad B es sigificativamete mayor que e la uiversidad A, al 90 % de cofiaza 10 % de sigificació. Itervalos de cofiaza Uidad 13 77

15 Error de la estimació y tamaño muestral 40. El tiemo de esera ara ser atedido e la caja de u establecimieto sigue ua distribució ormal de desviació tíica 5 miutos. a Calcula el tamaño míimo de la muestra ara estimar, co u ivel de cofiaza del 95 %, el tiemo medio de esera co u error que o sea suerior a medio miuto. b Cuál es dicho tamaño míimo ara u ivel de cofiaza del 99 %? La variable aleatoria X: tiemo de esera, e miutos, e la caja del establecimieto tiee distribució ormal, co la media µ descoocida y desviació tíica 5 miutos, es decir: X ~N µ, σ 5. a Si el ivel cofiaza requerido es del 95 %, se tiee que: 1 0,95 0,05 z0,05 1,96. Y como el error E ara estimar el tiemo medio de esera debe ser meor que 0,5 mi; etoces: z E σ 5 1,96 5 < 0,5 > 384,16 0,5 < 0,5 1,96 Es decir, co las codicioes requeridas, se requiere u tamaño muestral de, al meos, 385 clietes ara estimar el tiemo medio de esera e la caja. b Si el ivel de cofiaza se eleva al 99 %, etoces: 1 0,99 0,005 z0,005,575. Y como el error E ara estimar el tiemo medio de esera debe ser meor que 0,5 mi; etoces: z E σ 5,575 5 < 0,5 > 663,1 0,5 < 0,5,575 Es decir, co las codicioes requeridas, se requiere u tamaño muestral de, al meos, 664 clietes ara estimar el tiemo medio de esera e la caja. 41. Se suoe que el úmero de horas semaales dedicadas al estudio or los estudiates de ua uiversidad sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació tíica 6 horas. Para estimar la media de horas semaales de estudio se quiere utilizar ua muestra de tamaño. Calcula el valor míimo de ara que, co u ivel de cofiaza del 99 %, el error e la estimació sea meor de 1 hora. La variable X: tiemo semaal, e horas, dedicado al estudio tiee distribució ormal N µ, σ 6 ; co µ descoocida. Se seleccioa ua muestra de tamaño. Si el ivel de cofiaza es del 99 %, etoces: 1 0,99 0,005 z0,005,575 De maera que, ara que el error de la estimació E sea meor que 1 hora, se debe cumlir que: E z σ < 1,575 6 < 1 >, ,7 Es decir, debe tomarse ua muestra de al meos 39 estudiates ara estimar la media µ co la recisió deseada. 78 Uidad 13 Itervalos de cofiaza

16 4. Se suoe que el recio de u kilo de atatas e ua cierta regió se uede aroximar or ua variable aleatoria co distribució ormal de desviació tíica igual a 10 cétimos de euro. Ua muestra aleatoria simle de tamaño 56 roorcioa u recio medio del kilo de atatas igual a 19 cétimos de euro. a Determia u itervalo de cofiaza del 95 % ara el recio medio de u kilo de atatas e la regió. b Se desea aumetar el ivel de cofiaza al 99 % si aumetar el error de la estimació Cuál debe ser el tamaño muestral míimo que ha de observarse? La variable aleatoria X: recio, e cétimos de euro, del kilo de atatas, tiee distribució ormal, co la media µ descoocida y desviació tíica 10 cétimos de euro. Es decir: X ~N µ, σ 10 a Ua muestra aleatoria de 56 kilos, roorcioa ua media muestral de x 19 cétimos/kilo. Si el ivel de cofiaza exigido es del 95%, etoces: 1 0,95 0,05 z0,05 1,96 De maera que u itervalo de cofiaza al 95 %, ara el recio medio de u kilo de atatas, es: IC0,95 µ 19 1, ; , ,775; 0,5 cétimos b Si se aumeta el ivel cofiaza al 99 %, se tiee que: 1 0,99 0,005 z0,005,575 ; y como el error σ 10 de estimació del aartado aterior es E z 1,96 1,5 ; Si se desea u ivel de cofiaza al % co el error aterior E, el tamaño muestral míimo que debe observarse es: E,575 10, ,5 441,86 1,5 Es decir, co la ueva codició del 99 % de cofiaza, se requiere ua muestra aleatoria de al meos 44 kilos de atatas ara estimar el recio medio del kilo de atatas e la regió, co las codicioes rouestas. Itervalos de cofiaza Uidad 13 79

17 Sítesis 43. E u determiado muiciio, los igresos mesuales de sus habitates sigue ua distribució ormal de media µ y desviació tíica 00. Se seleccioó al azar ua muestra de 100 ersoas cuya media de igresos mesuales resultó de a Para u ivel de cofiaza del 95 %, calcula u itervalo de cofiaza ara el igreso medio mesual e ese muiciio. b Si se toma u ivel de sigificació de 0,01, calcula el tamaño muestral míimo ecesario ara estimar el igreso medio mesual co u error meor de 30. c Cuál tedría que ser el tamaño muestral ara que, mateiedo el ivel de cofiaza del aartado aterior, el error se redujese a la mitad? Sea la variable aleatoria X: igresos mesuales, e euros, de los habitates del muiciio. La distribució de X es ormal, co la media µ descoocida: X ~N µ, σ 00 a Ua muestra aleatoria de cofiaza es del 95 %: 100 ersoas, roorcioa ua media muestral de x Si el ivel de 1 0,95 0,05 z0,05 1,96 De maera que u itervalo de cofiaza al 95% ara el igreso mesual medio e ese muiciio es: ; ,96 IC0,95 µ , ,8; 1099, b Si el ivel de sigificació es del 1 % ivel de cofiaza 99 %, etoces: 1 0,99 0,005 z0,005,575 El error E ara estimar el igreso mesual medio debe ser meor que 30, or lo que: E,575 00, < 30 > 94,7 30 Es decir, se requiere u tamaño muestral de, al meos, 95 ersoas ara estimar el igreso mesual medio co las codicioes rouestas. c Para que el error E se reduzca, al meos, a la mitad, es decir a E z σ ; el tamaño muestral debe cumlir: 30 00,575 00, ,8 15 Por tato, el tamaño muestral tedría que ser de, al meos, 1179 ersoas, ara que el error se reduzca a la mitad. 80 Uidad 13 Itervalos de cofiaza

18 44. La estatura de los alumos de u colegio es ua variable aleatoria que tiee ua distribució ormal de desviació tíica 5 cm. Se ha elegido ua muestra de 100 alumos de ese colegio comrobádose que la estatura media es de 170 cm. Calcula: a El itervalo de cofiaza ara la estatura media co u ivel de cofiaza del 99 %. b El error máximo de estimació que se ha cometido e el itervalo aterior. c El tamaño muestral míimo ecesario ara coseguir, co u ivel de cofiaza del 95 %, u error máximo de 8 cm e la estimació de la estatura media. La variable aleatoria X: estatura, e cm, de los alumos del colegio tiee distribució ormal, co la media µ descoocida y desviació tíica 5 cm. Es decir, X ~N µ, σ 5 a Ua muestra aleatoria de 100 alumos, roorcioa ua media muestral de x 170 cm. Si el ivel de cofiaza exigido es del 99 %, etoces: 1 0,99 0,005 z0,005,575 De maera que u itervalo de cofiaza al 99% ara la estatura media de los alumos del colegio es: IC0,99 µ 170,575 b ;170, ,6; 176,4 El error máximo de estimació E que se comete co u ivel de cofiaza del 99 % es: σ 5 E z,575 6, c Si el ivel cofiaza es del 95 %, se tiee que : 1 0,95 0,05 z0,05 1,96 Como el error E ara estimar la estatura media debe ser meor que 8 cm, etoces: E 1,96 5 1,96 5 <8 > 37,5 8 Es decir, se requiere u tamaño muestral de, al meos, 38 alumos ara estimar la estatura media de los alumos del colegio co las codicioes establecidas. Itervalos de cofiaza Uidad 13 81

19 45. El tiemo de reovació de u teléfoo móvil, exresado e años, se uede aroximar mediate ua distribució ormal co desviació tíica 0,4 años. a Se toma ua muestra aleatoria simle de 400 usuarios y se obtiee ua media muestral igual a 1,75 años. Determia u itervalo de cofiaza al 95 % ara el tiemo medio de reovació de u teléfoo móvil. b Determia el tamaño muestral míimo ecesario ara que el valor absoluto de la diferecia etre la media muestral y la media oblacioal sea meor o igual a 0,0 años co u ivel de cofiaza del 90 %. La variable aleatoria X: tiemo, e años, de reovació de u teléfoo móvil tiee distribució ormal, co la media µ descoocida y desviació tíica 0,4 años. Es decir: X ~N µ;σ 0,4 a Ua muestra aleatoria de 400 usuarios, roorcioa ua media muestral de x 1,75 años. Si el ivel de cofiaza exigido es del 95 %, se cumle que: 1 0,95 0,05 z0,05 1,96 De maera que u itervalo de cofiaza al 95%, ara el tiemo medio de reovació de u teléfoo móvil, es: 0,4 0,4 IC0,95 µ 1,75 1,96 ; 1,75 + 1, b 1,7108; 1,789 años Si el ivel de cofiaza es del 90 %, se tiee que : 1 0,90 0,05 z0,05 1,645 Como el error E ara estimar el tiemo medio de reovació debe ser meor o igual que 0,0 años, etoces: E 1,645 0,4 1,645 0,4 0,0 108,41 0,0 Es decir, co las codicioes establecidas, se requiere u tamaño muestral de, al meos, 1083 usuarios ara estimar el tiemo medio de reovació de u teléfoo móvil. 46. E ua ecuesta realizada e ua oblació, se ha obteido que 3700 de 4000 jóvees ecuestados tiee reroductor de música e formato MP3. Determia, justificado la resuesta: a La estimació utual que odríamos dar ara el orcetaje de jóvees que osee reroductor de música e formato MP3. b El error máximo que cometeríamos co dicha estimació, co ua cofiaza del 90 %. a La variable X: Número de jóvees, de los 4000, que osee u MP3 tiee distribució biomial B 4000,, dode es la roorció descoocida de jóvees de la oblació que osee u MP3. Ua estimació utual ara es la roorció muestral, que e este caso es: , Es decir, se estima que el 9,5 % de los jóvees osee u MP3. b Como el tamaño muestral es suficietemete grade, la distribució de la roorció muestral se uede aroximar or ua distribució ormal, co lo que, si la cofiaza es del 90 %, se tiee que: 1 0,90 0,05 z0,05 1,645 Y, or tato, el error máximo E que se cometería es: 0,951 0,95 E 1,645 0, Uidad 13 Itervalos de cofiaza

20 47. La duració e kilómetros de los eumáticos de ua cierta marca se uede aroximar or ua variable aleatoria co distribució ormal de media µ descoocida y desviació tíica igual a 3000 kilómetros. a Se toma ua muestra aleatoria simle de 100 eumáticos y se obtiee ua media muestral de kilómetros. Determíese u itervalo de cofiaza co u ivel del 90 % ara µ. b Calcúlese el tamaño míimo que debe teer la muestra ara que el valor absoluto de la diferecia etre la media de la muestra y µ sea meor o igual a 1000 kilómetros co robabilidad mayor o igual que 0,95. La variable aleatoria X: duració, e kilómetros, de los eumáticos tiee distribució ormal, co la media µ descoocida y desviació tíica 3000 km. Es decir: X ~N µ, σ 3000 a Ua muestra aleatoria de 100 eumáticos, roorcioa ua media muestral de x km. Si el ivel de cofiaza exigido es del 90 %, etoces: 0,90 0,05 z 1 1,645 0,05 De maera que u itervalo de cofiaza al 90 % ara la duració media µ de los eumáticos es: ; ,645 IC0,90 µ , ,5; ,5 km b Si el ivel cofiaza debe ser del 95 %, se tiee que : 1 0,95 0,05 z0,05 1,96 El tamaño muestral míimo que debe teer la muestra ara que el error E o suere los 1000 km es: E 1, , , Es decir, se requiere ua muestra aleatoria de, al meos, 35 eumáticos ara estimar la duració media de los eumáticos de la marca, co las codicioes rouestas. 48. La atigüedad de los avioes comerciales sigue ua distribució ormal co ua desviació tíica de 8,8 años. Se seleccioa ua muestra de 40 avioes y la media de la atigüedad es de 13,41 años. a Obté u itervalo de cofiaza del 90 % ara la atigüedad media. b Cuál debería ser el tamaño míimo de la muestra ara obteer u itervalo de cofiaza al 95 % co la misma amlitud que el aterior? La variable X: atigüedad, e años, de los avioes comerciales tiee distribució ormal N µ ; σ 8,8, co µ descoocida. Ua muestra aleatoria de 40 avioes, roorcioa ua media muestral de atigüedad de x 13,41 años. a Si el ivel de cofiaza exigido es del 90 %, etoces: 0,90 0,05 z 1 1,645 0,05 De maera que u itervalo de cofiaza al 90 %, ara la atigüedad media µ de los avioes comerciales, es: 8,8 8,8 IC0,90 ; 13,41 + 1,645 µ 13,41 1, ,56; 15,564 b Si ara seleccioar ua muestra de tamaño, el ivel de cofiaza es del 95 %, es decir: 1 0,95 0,05 z0,05 1,96 El error E que se ermite es el mismo del itervalo aterior, es decir la mitad de la logitud del itervalo: Etoces, debe ser: 8,8 E 1,645, ,8 1,96 8,8, ,79,153 6 Es decir, debe tomarse ua muestra de al meos 57 avioes comerciales ara estimar la atigüedad media µ co las codicioes rouestas. E 1,96 Itervalos de cofiaza Uidad 13 83

21 CUESTIONES 49. Para estimar la roorció de ua característica X de ua oblació mediate u itervalo de cofiaza de ivel 1001 %, cuál es el error máximo a riori que se uede cometer? El error máximo a riori que se uede cometer, es el error de estimació or itervalos de cofiaza y coicide co la mitad de la logitud del itervalo de cofiaza ara la roorció : x ± z 1 1 Por tato, dicho error es E z. 50. U estimador T1 es u 75 % más eficiete que otro estimador T. Si la variaza de T1 es 6,5, Cuál es la variaza del estimador T? El tamaño muestral es el mismo e ambos casos. U estimador T1 es u más eficiete que otro T si su variaza es meor, es decir, si: σ1 < σ, siedo: Estimador T1 T Variaza σ1 6,5 σ σ1 0,75. σ Como el estimador T1 es u 75 % más eficiete el estimador T eso quiere decir que la variaza de T1 es el 75 % σ1 6,5 de la variaza de T, es decir: σ1 0,75 σ, or tato σ 8,33. 0,75 0,75 Se defie, además, la eficiecia relativa etre los estimadores T1 y T como la razó 51. Para ua muestra aleatoria se cosidera la variaza y la cuasivariaza muestral como estimadores de la variaza de la oblació. Cuál es la relació etre ambos estimadores? xi x xi x, y la cuasivariaza muestral como: s x i 1. 1 Se defie la variaza muestral como: σ x i 1 La relació etre ambos estimadores es la siguiete σ x 1 sx sx s σx x 1 σx 1 La ricial diferecia etre ambos es que la variaza, de ua muestra aleatoria, es u estimador sesgado de la variaza oblacioal, mietras que la cuasivariaza, de esa misma muestra, es u estimador isesgado, es decir, su media coicide co la de la variaza, or lo que, cuado se descooce la variaza, se utiliza, referetemete, la cuasivariaza muestral como estimador. 84 Uidad 13 Itervalos de cofiaza

22 PROBLEMAS 5. El tiemo de esera e la cola de u suermercado sigue ua distribució ormal co media 180 segudos y desviació tíica 50 segudos. a Se toma ua muestra de 64 clietes. Calcula la robabilidad de que la media de la muestra suere los 190 segudos. b Calcula el itervalo de cofiaza al 95 % ara la esera media, si la media muestral de los 64 clietes es de 190 segudos de esera. c Calcula el tamaño míimo que debe teer las muestras de maera que el itervalo de cofiaza, al 90 %, ara la esera media tega logitud segudos semiamlitud 11 segudos Se cosidera la variable aleatoria X: tiemo de esera, e segudos, e la cola de u suermercado. La σ 50. distribució de X es N µ 180, a La media muestral de ua muestra de 64 clietes tiee la siguiete distribució ormal: ; X ~ N µ σ 39,065 X X 64 Co lo que la robabilidad de que la media muestral suere los 190 segudos es: P X > 190 P Z > 39,065 b P Z > 1,6 1 Φ 1,6 1 0,945 0,0548 Si la media de la muestra es de x 190 segudos, y el ivel de cofiaza es del 95%, co lo que: 1 0,95 0,05 z0,05 1,96 U itervalo de cofiaza al 95 % ara el tiemo de esera medio e ese suermercado es: µ 190 1,96 IC0,95 ; , c 177,75 ; 0,5 miutos Si la cofiaza es del 90 %: 1 0,90 0,005 z0,005 1,645 De maera que el tamaño de la muestra ara que el error al estimar el tiemo de esera medio sea iferior a 11 segudos debe verificar: 50 > 1,645 55,91 11 Es decir, debe seleccioarse ua muestra de al meos 56 clietes ara cumlir las codicioes rouestas. Itervalos de cofiaza Uidad 13 85

23 53. Las tesioes de rutura de los cables fabricados or ua emresa sigue ua distribució ormal N µ, σ 10. A artir de ua muestra de 70 cables se ha obteido ua tesió media de rutura de 100 kilos. Halla u itervalo de cofiaza al 95 % ara la tesió media de rutura. Qué tamaño deberá teer la muestra ara obteer u itervalo de cofiaza al 99 % co ua amlitud igual a la del aterior? La variable X: tesió de rutura, e kilos, de los cables tiee distribució ormal N µ, σ 10, co µ descoocida. Ua muestra aleatoria de 70 cables, roorcioa ua media muestral ara la tesió de rutura de x 100 kilos. Si el ivel de cofiaza exigido es del 95 %: 1 0,95 0,05 z0,05 1,96 De maera que u itervalo de cofiaza al 95 % ara la tesió de rutura media µ de los cables es: ; ,96 IC0,95 µ 100 1, ,888 ; 18,11 Si ara seleccioar ua muestra de tamaño, el ivel de cofiaza que se exige es del 99 %: 1 0,99 0,005 z0,005,575 El error E que se ermite es el mismo del itervalo de cofiaza aterior, es decir la mitad de la logitud del itervalo: 10 E 1,96 8,11 70 Por tato, debe cumlir:,575 10, ,11 10,8 8,11 Es decir, debe tomarse ua muestra de, al meos, 11 cables ara estimar la resistecia media µ a la rutura co las codicioes rouestas. 86 Uidad 13 Itervalos de cofiaza

24 54. La valoració de las istitucioes or arte de los ciudadaos se mide e uas uidades ficticias que se uede deomiar como u. Se sabe que, e el caso de los esañoles, dicha valoració sigue ua distribució ormal co desviació tíica 5 u. a Se elige ua muestra de 100 esañoles, dado ua media de 180 u. Calcula u itervalo de cofiaza ara la media oblacioal de la valoració de las istitucioes, co ua cofiaza del 90 %. b Si coocemos que la media oblacioal es 18 u, calcula la robabilidad de que ua muestra de tamaño 100 tega media iferior a 180 u. Se cosidera la variable aleatoria X: valoració, e uidades u, de las istitucioes or arte de los ciudadaos. La variable X tiee ua distribució ormal: X ~N µ, σ 5 a Ua muestra de 100, ciudadaos esañoles, roorcioa ua media muestral x 180 u. Si el ivel de cofiaza del itervalo es del 90 %, etoces: 1 1,645 0,90 0,05 z 0,05 De modo que el itervalo de cofiaza ara la valoració media oblacioal µ es: IC0,90 µ 180 1, ; , ,89; 184,11 σ 5 ; co lo que la media muestral de ua muestra de tamaño b E este caso, X ~ N µ 18, 100, tiee ua distribució ormal: 5 18, σ X ~ N µ X X 100 Por lo que, la robabilidad de que la media muestral sea iferior a 180 u, es: P X < 180 P Z < P Z < 0,8 1 Φ 0,8 1 0,7881 0, Itervalos de cofiaza Uidad 13 87

25 55. La altura de los edificios de ua ciudad sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació tíica 0 m. a Calcula el tamaño míimo que ha de teer ua muestra aleatoria de dichos edificios ara que el error cometido al estimar la altura media sea iferior a m, co u ivel de cofiaza del 97 %. b Halla el itervalo de cofiaza al 95 % ara la media de la altura de los edificios si ua muestra aleatoria del tamaño calculado e el aartado aterior, roorcioó ua media muestral de 5,5 metros. Sea la variable aleatoria X: altura, e metros, de los edificios de la ciudad. La distribució de X es ormal de media descoocida µ y desviació tíica σ 0 m. a Si el ivel de cofiaza es del 97 %, etoces: 1 0,97 0,015 z0,015,17 Y como el error cometido E ara estimar la altura media debe ser meor que, resulta: E,17 0,17 0 < > 470,89 Luego el tamaño míimo de la muestra de edificios debe ser, al meos, de 471, ara estimar la altura media co las codicioes requeridas. b Co ua muestra aleatoria de edificios de la oblació es: 471 edificios, el itervalo de cofiaza al 95 % ara la altura media de los 1 0,95 0,05 z0,05 1, IC0,95 ; 5,5 + 1,96 µ 5,5 1, ,69; 7, Se suoe que el gasto que hace los idividuos de ua determiada oblació e regalos de Navidad se uede aroximar or ua variable aleatoria co distribució ormal de media µ y desviació tíica igual a 45. a Se toma ua muestra aleatoria y se obtiee el itervalo de cofiaza 51,6; 71, ara µ, co u ivel de cofiaza del 95 %. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida. b Se toma ua muestra aleatoria de tamaño 64 ara estimar μ. Calcula el error máximo cometido or esa estimació co u ivel de cofiaza del 90 %. La variable aleatoria X: gasto, e euros, e regalos de Navidad, se uede aroximar or ua distribució ormal N µ, σ 45, co µ descoocida. a Dada ua estimació utual x ara µ,u itervalo de cofiaza al 95 % tiee la forma: σ σ IC1 µ x z, x + z De modo que la media muestral x, es el uto medio del itervalo de cofiaza. Por tato: 51,6 + 71, 61,4 Si la cofiaza es del 95 %, etoces: 1 0,95 0,05 z0,05 1,96 x Igualado, or ejemlo, el extremo suerior del itervalo dado; 71,; al del itervalo de cofiaza geérico al 95 %, se obtiee el tamaño de la muestra: 45 1, ,4 + 1,96 71, 81 9,8 NOTA: el mismo resultado se obtiee si se iguala los extremos iferiores. b Si el tamaño de la muestra es de 64 y el ivel de cofiaza del 90 %, co lo que: 1 0,90 0,05 z 1,645 0,05 El error máximo E que se cometería al estimar µ es: 45 E 1,645 9,53 euros 8 88 Uidad 13 Itervalos de cofiaza

26 57. La roorció de mujeres de ua oblació ortadoras de hemofilia es descoocida. Para estimarla, se elige ua muestra aleatoria de 500 mujeres etre las que se ecotraro 80 ortadoras de la efermedad. a Calcula u itervalo del 95 % de cofiaza ara la roorció de mujeres ortadoras de hemofilia de esa oblació. b Suoiedo que aú o se tomó la muestra y queremos hacer ua estimació cometiedo u error o suerior al %, co 95 % de cofiaza, de qué tamaño debería ser la muestra? Se cosidera la variable X: úmero de mujeres, de las 500, que so ortadoras de hemofilia. La distribució de X es biomial B 500,, co, roorció de mujeres hemofílicas, descoocida. E la muestra aleatoria de 500 mujeres, se ecotró que 80 era ortadoras de la efermedad. Por lo que ua estimació utual de es: 80 0, a Dado que es suficietemete grade, la distribució de la roorció muestral uede aroximarse or la de ua ormal. Para u ivel de cofiaza del 95 % resulta: 1 0,95 0,05 z0,05 1,96 De maera que u itervalo de cofiaza al 95 % ara la roorció de de mujeres hemofílicas e la oblació es: 0,16 1 0,16 0,16 1 0,16 0,16 1,96 IC0,95 ; 0,16 + 1,96 0,179; 0, b Para seleccioar ua muestra de tamaño, bajo suuesto de ormalidad, si el ivel de cofiaza que se exige es del 95 %, se tiee que, uevamete que z0,05 1,96. Etoces, como el error E que se tolera o debe ser mayor de 0,0 es decir, %: 0,16 1 0,16 1,96 0,0 0,16 1 0,16 190,78 0,0 E 1,96 Es decir, debe tomarse ua muestra de, al meos, 191 mujeres ara estimar la roorció de mujeres hemofílicas e la oblació co las codicioes rouestas. Itervalos de cofiaza Uidad 13 89

27 58. Ua muestra de 000 familias es seleccioada aleatoriamete e cierta ciudad. Se comrueba que 300 de ellas disoe de acceso a iteret desde su domicilio. Determia justificado la resuesta: a El itervalo de cofiaza al 99 % ara el orcetaje de familias de esa ciudad que disoe de acceso a iteret desde su domicilio. b El error máximo que se comete, co ua cofiaza del 99 %, si se estima que dicho orcetaje es u 15 %. Se cosidera la variable X: la familia tiee acceso a iteret desde su domicilio, co distribució de robabilidad Ber, siedo la robabilidad de que, e dicha ciudad, ua familia elegida al azar tega acceso a iteret desde su domicilio. E ua muestra aleatoria de 000 familias, 300 de ellas disoe de acceso a iteret desde el domicilio. Por tato ua estimació utual de es: 300 0, a Dado que la muestra es suficietemete grade, la distribució de la roorció muestral uede aroximarse or ua distribució ormal, es decir: 1 0,15 ~N ; σ 0,15 0, Si el itervalo de cofiaza es al 99 %, etoces: 1 0,99 0,005 z0,005,575 De modo que u itervalo de cofiaza al 99 % ara la roorció es: IC0,99 0,15,575 0, ; 0,15 +,575 0, ,194; 0,1706 Es decir, u itervalo de cofiaza al 99 % ara el orcetaje de familias de esa ciudad que tiee acceso a iteret desde su domicilio es 1,94 % ; 17,06 % 0,15; que es el mismo valor que e el aartado aterior, el error máximo E que se cometería, co b Como ua cofiaza del 99 %, es la semilogitud del itervalo calculado e el dicho aartado, es decir: 0, ,006 E,575 Es decir, aroximadamete,06 %. NOTA: E el aartado b, el error máximo E cometido e la estimació or itervalo tambié se uede obteer directamete de la semilogitud del itervalo calculado e el aartado a. Es decir: E 90 Uidad 13 Itervalos de cofiaza 0,1706 0,194 0,006