MTMÁTIS Material N M-14 UNI: GOMTÍ ONGUNI TIÁNGULOS Y LMNTOS SUNIOS ONGUNI TIÁNGULOS INIIÓN os triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean de igual medida. Q Q Q Q Q JMLOS 1. n la figura adjunta LMN HIJ, entonces los ángulos correspondientes a los MNL y NML, respectivamente, son N I ) JIH y IJH ) IJH y JIH ) IHJ y JIH ) IJH y IHJ ) HIJ y HJI L M J H 2. Los triángulos y de la figura adjunta, son escalenos y rectángulos en y en, respectivamente. Si, entonces cuál de las opciones siguientes es verdadera? ) ) ) = ) = )
3. n la figura adjunta, si Q, entonces cuál es el valor de x? ) 4 ) 7 ) 12 ) 15 ) alta información 7 10 15 Q x + 3 4. n la figura adjunta se cumple que el Q con = 3x + 2 y Q = 5x 8, entonces cuál es el valor de la medida del trazo Q? ) 5 ) 10 ) 15 ) 17 ) 18 Q 5. n la figura adjunta, sean los triángulos ST y XWZ, isósceles y congruentes en ese orden, cuyas bases son S y XW, respectivamente, cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) TS ZXW II) ST ZXW T S X III) ST WZX ) Solo I ) Solo II ) Solo III ) Solo I y II ) Solo II y III W Z 2
OSTULOS ONGUNI TIÁNGULOS L: os triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado. c c LL: os triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales. b c b c LLL: os triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales. b c a b a c LL>: os triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales. b b c c b < c JMLOS 1. Las siguientes figuras están formadas por dos triángulos equiláteros. n cuál(es) de ellas se puede asegurar que los triángulos son congruentes? I) II) III) ) Solo en I ) Solo en II ) Solo en III ) Solo en I y II ) Solo en II y III 3
2. Qué pareja(s) de triángulo(s) es (son) congruente(s)? I) II) 15 III) 5 7 30º 10º 150º 115º 12 30º 5 ) Solo II ) Solo I y II ) Solo I y III ) Solo II y III ) I, II y III 7 30º 20º 150º 15 65º 12 150º 3. n la figura adjunta,,, T y Q,, S son colineales, para que el triángulo Q sea congruente con el triángulo ST en ese orden, debe cumplirse que ) Q ST ) = S y Q = ST ) Q = T y = S ) Q TS ) Q = ST Q T S 4. n la figura adjunta, se tiene que S = QS = S, Q = Q y SQ = 2 QS, entonces el x mide ) 144º ) 108º ) 90º ) 72º ) 36º x S Q 4
LMNTOS SUNIOS L TIÁNGULO LTU: s el segmento perpendicular que va desde un vértice a la línea que contiene al lado opuesto. ectángulo Obtusángulo cutángulo H = H H = OTONTO (punto de intersección de las alturas) H = OTONTO coincide con el vértice recto del = H H H = OTONTO está fuera del obtusángulo JMLOS 1. n el triángulo ST de la figura adjunta, TH es altura, = 100º y β = 140º. uál es la medida del ángulo x? ) 20º ) 30º ) 50º ) 60º ) 70º T x β S H 2. l triángulo de la figura adjunta es rectángulo en y es altura. uál es la medida del ángulo x? ) 140º ) 135º ) 125º ) 115º ) 100º 25 x 40 5
ISTIZ: s el trazo que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes. H K I = INNTO (punto de intersección de las bisectrices) I G OSVIÓN: l incentro equidista de los lados del triángulo, entonces HI KI GI JMLOS 1. l de la figura adjunta es escaleno y es bisectriz del ángulo. uál es la medida del ángulo? ) 10º ) 20º ) 50º ) 60º ) 110º 70º 60º 2. Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus bisectrices, entonces se forman dos triángulos ) isósceles congruentes. ) acutángulos congruentes. ) isósceles acutángulos congruentes. ) escalenos rectángulos congruentes. ) isósceles rectángulos congruentes. 3. l triángulo de la figura adjunta es rectángulo en, y son bisectrices de los ángulos y respectivamente, entonces el ángulo x mide ) 144º ) 154º ) 116º ) 64º ) 36º x 128 6
Transversal de gravedad: s el trazo que une el vértice con el punto medio del lado opuesto. G es centro de gravedad (punto de intersección de estas) G es rectángulo en y es transversal de gravedad, entonces: = = G G G 2 = = = G G G 1 JMLOS 1. n el triángulo de la figura adjunta, es transversal de gravedad y. La medida del ángulo es ) 40º ) 70º ) 80º ) 90º ) no se puede calcular. 70º 2. n la figura adjunta, en el triángulo, rectángulo en, el trazo es transversal de gravedad. Si = 50º, entonces el ángulo mide ) 20º ) 25º ) 30º ) 40º ) 5º 3. n la figura adjunta y son transversales de gravedad del. Si = 18 cm y = 15 cm, entonces G + G = ) 22 cm ) 17 cm ) 16 cm ) 24 cm ) 11 cm G 7
SIMTL: s la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del triángulo. O = IUNNTO (punto de intersección de las simetrales) O OSVIÓN: l circuncentro equidista de los vértices del triángulo: O O O JMLOS 1. n el MN de la figura adjunta, Q es simetral del trazo MN, si MQ NQ, la medida del x es ) 15º ) 70º ) 40º ) 50º ) 90º 40º M 2. n el MNO de la figura adjunta, y son simetrales, el ángulo OMN mide 40º y el ángulo MNO mide 80º, entonces el ángulo mide Q x N ) 140º ) 130º ) 120º ) 110º ) 100º M O N 3. n la figura adjunta, el punto O es el circuncentro del. Si O = 20º y O = 70º, entonces la medida del x es ) 10º ) 15º ) 18º ) 20º ) 25º 8 20 x 70 O
MIN: s el segmento que une los puntos medios de cada lado del triángulo. OSVIONS // y = 2 // y = 2 // y = 2 JMLOS 1. n el triángulo de la figura adjunta, MN, NO y MO son medianas, entonces la suma de las medidas de los ángulos MON y ONM es ) 140º ) 135º ) 130º ) 125º ) 120º M 75º 50º O N 2. Si el triángulo de la figura adjunta es rectángulo en y MN es mediana. uánto mide el ángulo NM? ) 40º ) 100º ) 120º ) 130º ) 140º M N 40 3. n la figura adjunta el trazo es mediana del y β = 60º, entonces el valor del ángulo x es ) 150º ) 130º ) 100º ) 90º ) 70º 9 150º x
LGUNOS TOMS NTS UN TIÁNGULO ISÓSLS Y/O QUILÁTO n todo triángulo isósceles no equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes al lado distinto. = h c = t c = b = s c = n todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a cualquier lado. demás, coinciden los puntos singulares. 30 30 G 30 30 30 30 JMLOS 1. n un triángulo isósceles, de base, se traza la altura h c correspondiente al vértice. Si 2h c =, entonces se forman dos triángulos ) equilátero congruentes. ) escalenos rectángulos congruentes. ) isósceles rectángulos congruentes. ) acutángulos congruentes. ) escalenos no congruentes. 2. n el triángulo equilátero de la figura adjunta, es el punto medio del trazo y es bisectriz del ángulo. uánto vale el suplemento de (x + y)? ) 150º ) 120º ) 90º ) 60º ) 30º x y 10
3. n el de la figura adjunta, es transversal gravedad y. ntonces, la medida del ángulo es ) 110º ) 100º ) 90º ) 80º ) 60º 4. es bisectriz del y el triángulo es isósceles de base. uál es la medida del de la figura adjunta? ) 45º ) 60º ) 65,5º ) 75,5º ) 90º 3 5 5. l de la figura adjunta es isósceles de base. Si se trazan las alturas y, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) ) Solo I ) Solo II ) Solo III ) Solo I y II ) Solo I y III 11
JIIOS 1. os triángulos isósceles que tienen bases de igual longitud, son siempre congruentes si ) la altura de los 2 triángulos mide lo mismo. ) sus ángulos basales son agudos. ) el ortocentro de cada uno, queda en el interior del triángulo. ) sus bases son de menor medida que sus lados congruentes. ) los ángulos basales de ambos triángulos miden lo mismo. 2. n el triángulo de la figura adjunta, es bisectriz del. Si = 70º y = 50º, entonces cuánto mide el ángulo x? ) 30º ) 50º ) 60º ) 70º ) 100º x 3. uál(es) de los siguientes par(es) de triángulo(s) es (son) siempre congruente(s)? 3 I) II) III) 5 6 5 4 5 53 10 37 10 60 60 60 8 8 8 ) Solo I ) Solo II ) Solo I y II ) Solo II y III ) I, II y III 4. Si en un triángulo, isósceles y rectángulo en, se traza, entonces cuál de las siguientes afirmaciones es LS? ) ) ) ) ) 12
5. n la figura adjunta los puntos, y son colineales,, = 36º y = 20º, cuánto mide el? ) 20º ) 36º ) 64º ) 108º ) 116º 6. l Q de la figura adjunta es isósceles de base Q. Si el Q = 80º, S bisectriz del Q y TQ es altura, entonces el valor de x es ) 160º ) 125º ) 115º ) 90º ) 40º T x S Q 7. n la figura adjunta el, si = 70º y = 10º, entonces el es ) 10º ) 45º ) 55º ) 70º ) 80º 8. l de la figura adjunta es rectángulo en, con el trazo bisectriz del y //, entonces si el ángulo = 110º, el ángulo mide ) 90º ) 70º ) 50º ) 40º ) 20º 110 13
9. n la figura adjunta, si el ángulo = 60º, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) y son ángulos suplementarios. II) = 1 5 III) = 3 ) Solo I ) Solo II ) Solo III ) Solo I y II ) I, II y III 10. n el de la figura adjunta, = 12º y = 132º. Si es bisectriz del y los puntos, y son colineales, entonces cuál de las siguientes opciones es verdadera? ) = ) = ) = ) = ) = 11. n el de la figura adjunta, y son bisectrices de y respectivamente. Si =, entonces en función de es ) 2 ) α ) 2 ) 90º ) ninguna de las anteriores. 14
12. n el triángulo de la figura adjunta, el punto I es el incentro del, si = 25º y I = 80º, entonces la medida del ángulo es ) 20º ) 23º ) 30º ) 37º ) 53º I 13. l de la figura adjunta es rectángulo en y es altura, cuáles de las afirmaciones siguientes nos permiten asegurar que? I) isósceles. II) III) punto medio de. ) Solo I y II ) Solo I y III ) Solo II y III ) I, II y III ) Ninguna de ellas. 14. Según la información de la figura adjunta, cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) 16 10º 16 ) Solo I ) Solo II ) Solo III ) Solo I y III ) Solo II y III 15 140º 30º 140º 15
15. esde el vértice del triángulo de la figura adjunta se han trazado la altura y la bisectriz del. ntonces, el mide ) 25º ) 20º ) 15º ) 10º ) 5º 40 30 16. l Q de la figura adjunta es rectángulo en y es simetral del lado Q. Si Q = 70º, cuál es la medida del? ) 70º ) 50º ) 30º ) 20º ) 10º Q 17. n el de la figura adjunta y el triángulo es isósceles de base. Si = 15º y es bisectriz del, entonces la medida del es ) 20º ) 30º ) 40º ) 50º ) 60º 18. uál de las siguientes afirmaciones es verdadera? ) os triángulos rectángulos que tienen un cateto respectivamente congruente, son congruentes. ) Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa congruente, son congruentes. ) Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos congruentes, son congruentes. ) Si dos triángulos rectángulos tienen dos catetos congruentes, son congruentes. ) Todas las anteriores son correctas. 16
19. n el MN de la figura adjunta, se puede afirmar que ON O, si: (1) punto medio de N. (2) MO equilátero. ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas, (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional M O N 20. n el triángulo Q de la figura adjunta, S es punto medio de Q. Se puede determinar que el Q es isósceles, si: (1) S Q (2) ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional S 55º Q 17
JMLOS SUSTS ágs. jemplos 1 2 3 4 5 1 y 2 3 y 4 5 6 7 8 9 10 y 11 JIIOS SUSTS ÁG. 12 1. 6. 11. 16. 2. 7. 12. 17. 3. 8. 13. 18. 4. 9. 14. 19. 5. 10. 15. 20. M-14 uedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/ 18