OPCIÓN A 1. Hallar los valores del parámetro a para que el sistema de ecuaciones soluciones [1,5 puntos]. Resolverlo en cada uno de esos casos [1 punto]. z 0 a y z 0 (a 1)y az 0 admita infinitas El sistema homogéneo tiene infinitas soluciones cuando la matriz de los coeficientes tenga rango 3 y para ello: 1 0 1 a 1 1 0 a a a 1 a 1 0 a a 0 a a 1 0 a 0, a 1 1 a 1 a Para a 0 : como 1 0 0 1 e y. Considerando z como un parámetro: Para a 1: como 1 0 1 1 Considerando z como un parámetro: 1 0 las dos primeras ecuaciones son independientes respecto a las incógnitas y luego las soluciones son:, y, z 1 0 las dos primeras ecuaciones son independientes respecto a e y. y, y 0, z. Comprobar que todas las funciones f() = 3 5 + 10 3 + a + b tienen un único punto de infleión [1 punto]. Hallar a y b para que la tangente a la gráfica de dicha función en el punto de infleión sea la recta y = + [1,5 puntos]. f '() 15 30 a f ''() 60 60 0 60 1 0 0 (posible pto. de infleión) 4 3 y como f '''() 180 60 f '''(0) 60 0 f () tiene un solo punto de infleión en 0 : 0, b La pendiente de la recta tangente es: f '(0) a y su ecuación: y b a 0 y a b e identificándola con la recta dada: a 1, b 3. Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f() = y f() = [,5 puntos] La primera función está definida así: segundo y del primer cuadrantes. f () si 0 si 0 y su gráfica está formada por las bisectrices del 1
La gráfica de la segunda función es una parábola. Obtengamos el vértice: f '() 0 0 y como f ''() 0 Además pasa por los puntos, y,. El vértice (mínimo relativo) es el punto 0,. Tenemos: Como el recinto es simétrico respecto al eje de ordenadas, obtengamos el área del recinto entre 0 y :! 3 8 4 8 10 S d 4 0 6 0 3 3 3 3 0 Por tanto, el área de todo el recinto es: 0 S u 3 4. Lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por los puntos (,) y (6,0) [1,5 puntos]. Entre todas éstas escribir la ecuación de la que tiene radio mínimo [1 punto]. Sea C, y el centro de dichas circunferencias: Como pasa por el punto, : X Y y r. y r 4 4 4 4y y r y 4 4y 8 r (*) Como pasa por el punto 6, 0 : 6 0 y r 36 1 y r y 1 36 r (*) Igualando las epresiones (*): y 4 4y 8 y 1 36 8 4y 8 0 y 7 0 que es una recta. El centro de las circunferencias es C, 7 y el radio es la distancia de C al punto 6, 0 : r 6 7 1 36 4 8 49 5 40 85 Veamos cuándo el radio es mínimo: 10 40 5 0 r ' 0 4 5 40 85 5 40 85 5 5 40 85 5 0 5 40 85 5 40 85 10 40 r '' r '' (4) 0 el radio es mínimo para 4. El centro es C 4, 1 y el radio r 80 160 85 5 y, por tanto, la circunferencia: 4 y 1 5 8 16 y y 1 5 y 8 y 1 0
OPCIÓN B 1. Dadas las matrices A 3 0 1 B, encontrar todas las matrices X tales que X A = X [1 1 0 punto] y todas las matrices Y tales que Y A = B [1,5 puntos]. a b Sea X c d. a b a a b a b a b a b a 3b a b a 3b b b b X A X c d 3 c d c d c 3d c d c d c c d c 3d d d d Por tanto: b b X d d Y A B Y B A 1 Calculemos 1 A : A 6 4 3 t Adj A 3 t t 3 1 1 A A Adj A A 3 3 A 1 1 Por tanto: Y 0 1 3 1 1 1 1 0 3 1 1 1 1 B A. Dada la función f () se pide: ( 1) a) Asíntotas de la curva y = f() [0,5 puntos] b) Etremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento [1,5 puntos] c) Dibujar la gráfica [0,5 puntos] a) Asíntotas verticales: 1 pues Asíntotas horizontales u oblicuas: 1 1. Además: 1 1 y 1 1 1 1 1 1 1 f () 1 y 1 es una asíntota horizontal de la 1 función 3
Además: 1 0 1 y 1 0. Se tiene entonces: 1 y = 1 b) 4 1 1 1 1 f '() 3 1 1 1 0 0 4 3 1 3 1 1 13 4 1 f ''() f ''(0) 0 6 6 4 1 1 1 tiene un mínimo relativo: 0, 0 Intervalos de crecimiento y decrecimiento: f '() cambia de signo en 0 y en 1: = 1 (punto crítico) En 0 la función f < 0 f > 0 f < 0 0 1 Luego la función es decreciente en, 0 U 1, y creciente en 0,1 c) 3. Hallar los puntos de la curva y = 1 más próimos al punto de coordenadas (4, 0) [ puntos]. Cómo se llama dicha curva?, dibujarla [0,5 puntos] y 1 y 1 luego los puntos de la curva son, 1 4, 0 es:. La distancia al punto d 4 1 0 8 16 1 8 15. Veamos cuándo es mínima esta distancia: 4 8 4 d ' 0 8 15 8 15 y como 4 8 15 4 8 15 8 15 4 8 d '' d '' () 0 Para la distancia es
mínima. Por tanto, los puntos buscados son:, 3 y, 3 La curva es una hipérbola: a 1, b 1 c a b, 0. Las asíntotas son las rectas: y e y. luego los focos son los puntos, 0 y 1 4. Hallar el punto (o puntos) P de la recta de ecuaciones paramétricas y que con los puntos A (1,1,1) y z 1 B (3,1, 1 ) forman un triángulo isósceles de lados iguales AP y BP [1,5 puntos]. Hallar también el área de dichos triángulos [1 punto]. Sea P 1,,1. d A, P d B, P 11 1 1 1 1 3 1 1 1 4 4 1 4 4 4 1 4 4 4 8 0 P 1,, 1 P (1,!,! 1) b d A, B 3 1 11 11 8 Coordenadas del punto medio de AB: M,1, 0 h d P, M 1 1 0 1 11 luego: A (1, 1, 1) M B (3, 1,! 1) y por tanto: 1 S 11 u 5