PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2017-2 764-1/7 Universidad Nacional Abierta Probabilidad y Estadística I (Cód. 764) Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 126 Fecha: 21/04/2 018 MODELO DE RESPUESTAS Objetivos del 1 al 9 OBJ 1 PTA 1 A continuación aparecen las edades de 50 bailarines que respondieron a un llamado para realiar una audición para una comedia musical: 21 19 22 19 18 20 23 19 19 20 19 20 21 22 21 20 22 20 21 20 21 19 21 21 19 19 20 19 19 18 20 20 19 21 21 22 19 19 21 19 18 21 19 18 22 21 24 20 24 17 Calcule: media, mediana, moda, variana y desviación típica. NOTA: Para lograr el objetivo debe responder correctamente todos los incisos. Para que nos sea más sencillo calcular la media, mediana, moda, variana y desviación típica ordenemos los datos en forma ascendente, es decir, de menor a mayor: 17 19 19 19 20 20 21 21 21 22 18 19 19 19 20 20 21 21 21 22 18 19 19 19 20 20 21 21 22 23 18 19 19 19 20 20 21 21 22 24 18 19 19 19 20 20 21 21 22 24 Medidas de tendencia central: Media: 1 1007 X = x i = = 20,1400 50 50 50 i 1 Mediana: Med = 20 (Como hay un número para de observaciones, la mediana es la media aritmética de los datos que en este caso, ocupan las posiciones 25 y 26). Moda: M o = 19 (Es el valor del dato o datos que tiene(n) mayor frecuencia). Medidas de dispersión: 1 2 1 2 112,02 S = x - X = x - 20,14 = 2,2861 49 49 49 50 50 Variana: ˆ 2 i i i 1 i 1
PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2017-2 764-2/7 Desviación típica o estándar: S ˆ 1,5120 (Es la raí cuadrada de ˆ 2 S ). En resumen: DATOS NO AGRUPADOS Medidas de tendencia Central Medidas de Dispersión Media Mediana Moda Variana Desviación típica 20,14 20 19 2,2861 1,5120 OBJ 2 PTA 2 Se contrata a una empresa de ingenieros para que determine si ciertas vías fluviales en Virginia, Estados Unidos, son seguras para la pesca. Se toman muestras de tres ríos. a) Liste los elementos del espacio muestral Ω y utilice las letras P para seguro para la pesca y N para inseguro para la pesca. b) Liste los elementos de Ω que correspondan al evento E de que al menos dos de los ríos son seguros para la pesca. c) Defina un evento que tiene como elementos a los puntos PPP,NPP,PPN,NPN. NOTA: Para lograr el objetivo debe responder correctamente todas las partes. a) Ω = PPP,PPN,PNP,NPP,NNP,NPN,PNN,NNN. b) E = PPP,PPN,PNP,NPP. c) S: el segundo rio es seguro para la pesca. OBJ 3 PTA 3 Suponga que queremos formar comisiones de cuatro miembros de un grupo de 4 hombres R, S, T, U y 5 mujeres V, W, X, Y, Z. Si además se especifica que R y S no pueden estar en la misma comisión a menos que la comisión esté conformada por lo menos por una mujer, cuál es el número de comisiones que se puede formar? Debemos considerar varios casos: Según que no estén ni R ni S. Esté R y no S. Esté S y no R. Estén R y S. En el primer caso, puesto que no están ni R ni S, la comisión la podemos formar con las 7 personas restantes (no restricción de sexo), lo cual se puede hacer de 7 4 maneras.
PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2017-2 764-3/7 En el segundo caso, es decir, estando R en la comisión y no S, la misma la podemos formar escogiendo las otras 3 personas de las 7 restantes, esto viene dado por el combinatorio 7. El tercer caso, es análogo al segundo, lo único que 3 hay que hacer, es invertir el papel de R y S, por lo tanto, la solución es la misma. El cuarto y último caso, es en el que como se mencionó antes están tanto R como S, por lo que por condición del problema debe haber al menos una mujer, es decir, o 1 mujer o 2, por lo tanto, la solución para este caso es 2 5 5 1 1 2. Por lo tanto, el número total de maneras de formar comisiones de 4 miembros de un grupo de 4 hombres y 5 mujeres, que cumplan con las condiciones dadas, es en virtud del PS: 7 7 25 5 + 2 + + 4 3 1 1 2. OBJ 4 PTA 4 Cierto tipo de motor eléctrico falla por obstrucción de los cojines, por combustión del embobinado o por desgaste de las escobillas. Supóngase que la probabilidad de la obstrucción es el doble de la combustión, la cual es cuatro veces más probable que el desgaste de las escobillas. Cuál es la probabilidad de que el fallo sea por combustión del embobinado? Consideremos los eventos: O = Falla por obstrucción de los cojines. C = Falla por combustión del embobinado. D = Falla por desgaste de las escobillas. Sabemos que: P(O) + P(C) + P(D) = 1 y también sabemos por hipótesis que: P(O) = 2P(C) y P(C) = 4P(D), y puesto que estamos interesados en saber cuánto vale P(C), tenemos por simple sustitución: 2PC + PC + P C =1 PC = 2 4 5.
PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2017-2 764-4/7 OBJ 5 PTA 5 Suponga que una prueba para detectar la presencia del virus del HIV tiene 99% de confiabilidad, y que una de cada die mil personas en el grupo de su edad es HIV positivo. La prueba tiene un 5% de falso positivo, esto es, algunas veces indica la presencia del virus en pacientes que están libres del mismo. Suponga que la prueba fue aplicada a una persona y el resultado fue positivo. Cuál es la probabilidad de que la persona tenga el virus dado que el resultado de la prueba es positivo? Consideremos los eventos: H = El paciente tiene el virus. T + = El resultado de la prueba es positivo. Queremos calcular: P(H T + ), sabiendo que: P(T + H) = 0,99, P(T + H c ) = 0,05, P(H) = 0,0001 y P(H c ) = 0,9999. Por lo tanto, en virtud del teorema de Bayes, tenemos: + + + + P(H I T ) P(H I T ) P(H)(T IH) P( H T )= = = + + + c + c + P(T ) P(T I H) + P(T I H ) P(H)(T IH) + P(H )(T IH) (0,0001)(0,99) = (0,0001)(0,99) (0,9999)(0,05) 0,000099 0,000099 = = 0,000099 + 0,049995 0,050099 =0,001976 =0,1976% OBJ 6 PTA 6 Suponga que la v.a. X toma todos los valores en el conjunto = 1, 2, 3,.... Demuestre que: k = 0 E(X) = P(X > k). Por definición de esperana tenemos que: E(X) = kp(x = k) = P(X = k) k = 0 k = 0 n = 1 k. k = P(X = k) = P(X k) = P(X k) n = 1k = n n = 1 n = 0
PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2017-2 764-5/7 La segunda igualdad, se obtiene en virtud de hecho de que: k = k n = 1 1, mientras que la tercera es simplemente un cambio en el orden de sumación, este es el análogo discreto al cambio en el orden de integración cuando calculamos una integral doble que resulta más sencillo en un orden que en otro. OBJ 7 PTA 7 Un investigador encuentra que dos v.a. s. de interés, tienen función de distribución conjunta dada por: 10 - x P(x, y) = 5 5 - x 1 x = 0,1,...,5,. x y 2 y = 0,1,..., 5 - x Calcule las distribuciones marginales para x e y. Recuerde que: n n n k a + b = a b k 0k n - k La función de distribución marginal de X es por definición. 10 - x 10 - x 5 - x 5 - x 55 - x 1 5 1 5 - x f X(x) = P(X = x) = = y = 0 x y 2 x 2 y = 0 y 10 - x 10 - x 5 - x- y 5 - x 5 - x 5 1 5 - x y 5 1 = 1.1 =.2 x 2 y = 0 y x 2 5 51 =, para x = 0,1,...,5 x 2 Y la función de distribución marginal de Y es: 5 55 - x 5 1 55 - y 1 f Y(y) = P(Y = y) = = x = 0 x y 2 x = 0 y x 2 5 5 5 1 5 - y x 5 1 5 - y x = 2 = 2.1 y 2 x = 0 x y 2 x = 0 x 51 5 - y = 3, para y = 0,1,...,5 - x y 2. 10 - x 10 - x 10 10 10 5 - x- y Comentario: En este caso tenemos que: 5 5 - x 5 5 - y =, verifíquelo! x y y x
PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2017-2 764-6/7 OBJ 8 PTA 8 Sean X e Y variables aleatorias independientes B(n, p) y B(m, p), respectivamente. Demuestre que Z = X + Y, sigue siendo una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros (n + m) y p, es decir, la suma de variables aleatorias independientes binomiales, sigue siendo una variable aleatoria binomial. Recuerde que: Tenemos que: n m n + m =. k - k k 0 P(Z = ) = P(X + Y = ) = PX = k, Y = - k = PX = kpy = - k k = 0 k = 0 k m = p 1- p p 1- p k = 0k - k = p 1- p - k n+ m - k n - k m - k = 0 n m k - k n+ m - k n + m = p 1- p n + m n+ m - k = p 1- p, para = 0,1,...,n + m OBJ 9 PTA 9 Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional, con función de distribución de probabilidad conjunta dada por: 1 p XY (x i, y j ) = 3 0,1, 1, 0, 2,1. 0 otro caso Calcule la covariana de X e Y. Por definición de covariana tenemos: Cov(X, Y) = E[(X EX)(Y EY)] = E[(X μ X )(Y μ Y )] = E(XY) EXEY, por lo tanto debemos calcular E(XY), EX y EY. EX = 2 ip(x = i) = 0P(X = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) = 0. 3 1 + 1. 3 1 + 2. 3 1 = 1 i = 0 EY = 1 j = 0 jp(y = j) = 0P(Y = 0) + 1P(Y = 1) = 0. 1 3 + 1. 2 3 = 2 3 - k
PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2017-2 764-7/7 2 1 E(XY) = i. jp (i, j) = 0.1. 3 1 + 1.0. 3 1 + 2.1. 3 1 = 3 2. i = 0 j = 0 XY Sustituyendo los valores calculados para EX, EY y E(XY) en la definición de covariana, obtenemos: Cov(X, Y) = 2 3-2 3 = 0 Puesto que la covariana de X e Y es cero, concluimos que dichas variables son no correlacionadas. Nota: Recuerde que: P(X = i) y P(Y = j) con i = 0, 1, 2 y j = 0, 1, son las funciones de probabilidad marginal para las variables aleatorias X e Y respectivamente. FlN DEL MODELO.