(Fundamentos Matemáticos de la Biotecnología) Departamento de Matemáticas Universidad de Murcia
Contenidos La integral indefinida Propiedades básicas de la integral indefinida Métodos de integración: por cambio de variable Métodos de integración: por partes Métodos de integración: funciones racionales Métodos de integración: funciones trigonométricas Área de una región Longitud de una curva Volumen y área de un sólido de revolución Integración de funciones de dos variables El teorema de Fubini Integrales dobles sobre dominios del plano
La integral indefinida La integral indefinida La integración es el proceso inverso de la derivación y consiste en determinar una función a partir de su derivada. Primitiva de una función Una primitiva de una función f (x) es otra función F (x) tal que F (x) = f (x). Dos primitivas de una función sólo difieren en una constante C: Si F (x) = f (x) = ( F (x) + C ) = f (x). Notación Cualquier primitiva de una función f (x) se representa por lee integral indefinida de f (x). f (x) dx, y se
La integral indefinida Propiedades básicas de la integral indefinida Propiedades básicas e integrales inmediatas c dx = cx + C, siendo c una constante. c f (x) dx = c f (x) dx. [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx. Pero [f (x)g(x)] dx f (x) dx g(x) dx! x n dx = x n+1 n + 1 + C. 1 dx = ln x + C. x e x dx = e x + C...
La integral indefinida Métodos de integración: por cambio de variable Integración por cambio de variable Si F es una primitiva de f entonces f ( g(x) ) g (x)dx = F ( g(x) ) + C. Estrategia de resolución Escoger una sustitución u = g(x) adecuada. Hallar du = g (x)dx. Reescribir la integral en términos de u. Calcular la integral en términos de u. Deshacer el cambio de variable u = g(x).
La integral indefinida Métodos de integración: por partes Integración por partes Si u y v son funciones de x, entonces u dv = uv v du. Estrategia de resolución Elegir dv para que se ajuste a una fórmula de integración conocida. El resto del integrando será u. O bien, elegir u para que su derivada sea una función más simple. El resto de integrando será dv.
La integral indefinida Métodos de integración: funciones racionales Integración de funciones racionales Para resolver la integral de una función racional (cociente de dos polinomios) R(x) = P(x) Q(x), debe ser gr(p) < gr(q). Si gr(p) gr(q), dividimos los polinomios y escribimos P(x) S(x) = C(x) + Q(x) Q(x), donde gr(s) < gr(q). Luego P(x) Q(x) dx = C(x)dx }{{} Inmediata + S(x) Q(x) dx. }{{} La podemos resolver
La integral indefinida Métodos de integración: funciones racionales Integración de funciones racionales 1 Factorizar el denominador: Se hallan las raíces de Q(x), reales o complejas. 2 Descomponer en fracciones simples. Por cada factor (ax + b) k, la descomposición debe incluir A 1 ax + b + A 2 (ax + b) 2 + + A k (ax + b) k. Raíces reales simples, raíces reales múltiples, raíces complejas simples... 3 Integración. La integral de la función racional es la suma de las integrales de todas sumas anteriores.
La integral indefinida Métodos de integración: funciones trigonométricas Integración de funciones trigonométricas Se trata de calcular la integral de una integral que sólo involucra senos y cosenos. Se resuelven por cambio de variable. Algunos casos particulares: Si cos x está elevado a una potencia impar, se hace t = sen x. sen 2 x cos x dx = 1 3 sen3 x. Si sen x está elevado a una potencia impar, se hace t = cos x. sen 3 x cos 2 x dx = 1 15 (3 cos5 x 5 cos 3 x). Si ambos cos x y sen x están elevados a una potencia par, se hace t = tg x. sen 2 x cos 2 x dx = x 8 1 32 sen(4x). En general, todas pueden resolverse con el cambio t = tg(x/2).
Supongamos que queremos calcular el área de la región delimitada por la gráfica de una función f (x), el eje X y las rectas x = a y x = b. Área = b a f (x) dx
Si F (x) es una primitiva de f (x), la integral definida de f en [a, b] es F (b) F (a), se escribe b a f (x) dx = F (b) F (a), y mide el área de la región delimitada por la gráfica de f, el eje X, y las rectas x = a y x = b. b a a a f (x) dx = f (x) dx = 0. a b f (x) dx.
Área de una región Cálculo de áreas de regiones 1 Podemos calcular el área encerrada por una curva en un cierto intervalo. El área encerrada por la gráfica de la función y = x 2, entre x = 0 y x = 2 es 8/3.
Área de una región Cálculo de áreas de regiones 1 Podemos calcular el área encerrada por una curva en un cierto intervalo. 2 Pero también podemos calcular el área encerrada por dos curvas: para ello hay que calcular sus puntos de corte y saber cuál está por encima. El área encerrada por las curvas y = (x 1) 2 e y = x + 1 es 9/2.
Área de una región Cálculo de áreas de regiones 1 Podemos calcular el área encerrada por una curva en un cierto intervalo. 2 Pero también podemos calcular el área encerrada por dos curvas: para ello hay que calcular sus puntos de corte y saber cuál está por encima. 3 Pero cuidado!, pues la curva podría cortar al eje X. En tal caso, el área de la región que queda por debajo es negativa!. El área encerrada por la curva y = sen(2x) entre x = 0 y x = π es 2.
Longitud de una curva Aplicación de la integral al cálculo de longitudes... también permite calcular longitudes: la longitud de la curva dada por la gráfica de una función y = f (x) entre los valores x = a y x = b es b L b a(f ) = 1 + f (x) 2 dx. a
Volumen y área de un sólido de revolución...y de volúmenes y áreas de sólidos de revolución Si rotamos la curva alrededor del eje Y : V = π d c g(y) 2 dy, d A = 2π g(y) 1 + g (y) 2 dy. c
Volumen y área de un sólido de revolución...y de volúmenes y áreas de sólidos de revolución Si rotamos la curva alrededor del eje X : V = π A = 2π b a b a f (x) 2 dx, f (x) 1 + f (x) 2 dx.
Integración de funciones de dos variables El teorema de Fubini Integrales dobles sobre rectángulos Sea f (x, y) una función continua definida en el rectángulo R = { (x, y) R 2 : a x b, c y d }. Integral doble Se define la integral doble de la función f (x, y) sobre el rectángulo R como ( d ) b f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy. R c a Un resultado fundamental: EL teorema de Fubini ( d ) b ( b ) d f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx. R c a a c
Integración de funciones de dos variables Integrales dobles sobre dominios del plano Integrales sobre dominios limitados por curvas Calculamos la integral de una función F (x, y) en un recinto D, que está limitado por dos curvas f (x) y g(x): Para cada x (a, b) consideramos los correspondientes puntos de las curvas ( x, g(x) ) y ( x, f (x) ). Entonces, si f está por encima de g: F (x, y) dx dy = b D a g(x) ( ) f (x) F (x, y) dy dx.