EXTREMADURA Ídice Juio de 8 64 Septiembre de 7 69 Juio de 7 74 Euciados de las pruebas y criterios extraídos de la págia web de la Uiversidad de Extremadura: http://www.uex.es Criterios geerales de correcció: Utilizar correctamete el leguaje matricial y aplicar correctamete las operacioes co matrices. Trascribir problemas expresados e leguaje habitual a leguaje algebraico y utilizar técicas algebraicas (matrices, sistemas de ecuacioes lieales y programació lieal bidimesioal) para la resolució de dichos problemas. Aalizar e iterpretar las propiedades locales y globales de fucioes que describe situacioes reales e el campo de las Ciecias Sociales. Resolver problemas de optimizació asociados a situacioes reales e el campo de las Ciecias Sociales utilizado el cálculo de derivadas. Calcular e iterpretar probabilidades de sucesos aleatorios utilizado técicas geerales. Utilizar técicas de muestreo estadístico para la selecció de muestras represetativas. Iferir coclusioes e poblacioes a partir de la iformació sumiistrada por muestras coveietemete seleccioadas. Co carácter geeral se valorará: La exposició del razoamieto utilizado. La justificació de las respuestas. La iterpretació de los coceptos y resultados básicos. 63
Euciado de la prueba (Juio de 8) Elegir ua opció etre las dos que se propoe a cotiuació. Calificació máxima de la prueba: putos. Problema : de a 3,5 putos; problema : de a 3 putos; problema 3: de a 3,5 putos. PROBLEMA Ua hamburguesería ecesita diariamete u míimo de 8 kilogramos de care de cerdo y kilogramos de care de terera. Hay dos mataderos A y B que puede sumiistrarle la care requerida pero ha de ser e lotes. El lote del matadero A cotiee 6 kilogramos de care de cerdo y kilogramos de care de terera siedo su coste 5 y el lote del matadero B cotiee 4 kilogramos de care de cerdo y 3 kilogramos de care de terera siedo su coste 35. Determiar, justificado la respuesta: a) El úmero de lotes que debe de adquirir la hamburguesería e cada matadero co objeto de garatizar sus ecesidades diarias co el míimo coste. b) El valor de dicho coste diario míimo. PROBLEMA El úmero de visitates que acude a ua exposició fotográfica durate las dos semaas de duració de la misma, ha variado segú la fució: N(t) = t 3 + 4t 7t + 57 t 4 dode t represeta el día. Se pide, justificado la respuesta: a) Cuátos visitates hubo el día de la iauguració? Y el día de la clausura? b) Qué día tuvo lugar la asistecia máxima de visitates? Qué día tuvo lugar la asistecia míima de visitates? c) Cuáles fuero los valores máximo y míimo de visitates? E ua població se ha determiado que de cada aficioados al fútbol, 5 so aboados del equipo A, 45 so aboados del equipo B y el resto so aboados del equipo C. Sabiedo que el 3 % de los aboados de A, el 4 % de los aboados de B, y el 5 % de los aboados de C, tiee meos de 3 años, determiar la probabilidad de que seleccioado al azar a u aficioado al fútbol e esa població sea meor de 3 años. Justificar la respuesta.
Curso 7-8 JUNIO PROBLEMA Cosidérese el sistema de ecuacioes: ax x x + + + y ay ay + + + 3z = z = 3z = a) Discutir sus posibles solucioes segú los valores del parámetro a. b) Resolver el sistema para a =. Justificar la respuesta. Distrito uiversitario de Extremadura PROBLEMA U caal privado de televisió ha comprobado que durate los 75 miutos que duró la retrasmisió de u partido de teis, el ídice de audiecia fue variado segú la fució: I(t) = At + Bt + C t 75 Sabiedo que al iicio de la retrasmisió el ídice de audiecia era de 6 putos y que a los 3 miutos se alcazó el ídice de audiecia míimo co 3 putos: a) Determiar las costates A, B y C. Justificar la respuesta. b) Represetar la fució. E u periódico de difusió acioal se ha publicado e el año 7 u total de.5 ofertas de trabajo para liceciados. E ua muestra de u % de ellas se ha cotabilizado 5 ofertas de trabajo para liceciados e Matemáticas. Determiar, justificado la respuesta: a) La estimació putual que podríamos dar para el porcetaje de ofertas de trabajo para liceciados e Matemáticas publicadas e dicho periódico e 7. b) El error máximo que cometeríamos co dicha estimació co u ivel de cofiaza del 95 %. a,,,,3,4,5,6,,,,3,4,645,8,36,84,576,598,54,5,84,36,555,7,994,86,7,54,,974,789,54,476,75,954,77,96,44,5,935,755,88,45,6,95,739 ` t t +` 65
Resolució de la prueba (Juio de 8) PROBLEMA a) Sea x e y el úmero de lotes que debe adquirirse e los mataderos A y B, respectivamete. La fució que hay que miimizar es: f (x, y) = 5x + 35y Las restriccioes so: 6x + 4y 8 x + 3y x y Y A B x + 3y = C X 6x + 4y = 8 Los vértices de la regió factible so: A(, 45), B(6, 36) y C(6, ) Al sustituir las coordeadas de estos putos e la fució objetivo resulta: f (, 45) =.575 f (6, 36) =.4 f (6, ) =.5 Luego debe adquirirse 6 lotes del matadero A y 36 lotes del matadero B. b) El coste míimo asciede a.4. PROBLEMA a) E el día de la iauguració: N() = + 4 7 + 57 = 476 Y e el día de la clausura: N(4) =.744 + 4.74.638 + 57 = 89 b) N' () t = 3t + 48t 7 N'' () t = 6t + 48 = + = t 3 3t 48t 7 t = 3 N''( 3) = 3 > E t = 3 hayumíimo. N''( 3) = 3 < E t = 3 hayumáximo. La asistecia míima se produjo e el tercer día y la máxima e el decimotercero. c) El mayor úmero de visitates fue: N(3) =.97 + 4.56.5 + 57 = 98 persoas Y el meor úmero de visitates fue: N(3) = 7 + 6 35 + 57 = 48 persoas Sea el suceso M = «Teer meos de 3 años». P(M / A) =,3 P(M / B) =,4 P(M / C) =,5 P(A) =,5 P(B) =,45 P(C) =,3 Por el teorema de la probabilidad total resulta: P(M) = P(A) P(M / A) + P(B) P(M / B) + P(C) P(M / C) =,5,3 +,45,4 +,3,5 =,45
Curso 7-8 JUNIO PROBLEMA a 3 a) Sea M = a 3 a la matriz de los coeficietes y M* = a la matriz ampliada a 3 a 3 del sistema. M = a Si a ± Rago (M) = Rago (M*) = 3 =. o de icógitas El sistema es compatible determiado. Si a = M = 3 3 = Rago ( M) = = Rago ( M*) = 3 3 Rago (M) Rago (M*) El sistema es icompatible. Distrito uiversitario de Extremadura Si a = M = 3 3 =5 Rago ( M) = = Rago ( M *) = 3 3 Rago (M) Rago (M*) El sistema es icompatible. b) Si a = : y + 3z = x + z = x + 3z = y + 3z = x = 5 x + z = y = 6 z = z = PROBLEMA a) Si al iicio de la retrasmisió el ídice de audiecia era de 6 putos: I() = 6 C = 6 Si a los 3 miutos se alcazó el ídice de audiecia míimo: I'(3) = I'(t) = At + B 6A + B = B = 6A Sabiedo que a los 3 miutos el ídice de audiecia era de 3 putos: I(3) = 3 9A 6A 3 + 6 = 3 9A = 3 A = B = 3 5 La expresió de la fució es: I( t) = t t + 6 3 5 b) Y la represetació de la fució es: Y I(t) X 67
Resolució de la prueba (Juio de 8) a) Si la muestra está formada por u % del total quiere decir que la compoe 5 ofertas. Por tato, el estimador putual para el porcetaje de ofertas de trabajo para liceciados e Matemáticas es: 5 p = = 5, b) Si =, 95 =, 5 =, 5 El valor correspodiete a,975 de probabilidad es: z = 96, Así, el error máximo que se comete es: E = 96,, 8, 5 = 5, Criterios específicos de correcció: PROBLEMA : Hasta 3,5 putos. PROBLEMA : Hasta 3 putos. : Hasta 3,5 putos. PROBLEMA : Hasta 3,5 putos. PROBLEMA : Hasta 3 putos. : Hasta 3,5 putos.
Euciado de la prueba (Septiembre de 7) Elegir ua opció etre las dos que se propoe a cotiuació. Calificació máxima de la prueba: putos. Problema : de a 3,5 putos; problema : de a 3 putos; problema 3: de a 3,5 putos. PROBLEMA Ua tieda de artículos de piel ecesita para su próxima campaña u míimo de 8 bolsos, pares de zapatos y 9 cazadoras. Se abastece de los artículos e dos talleres: A y B. El taller A produce diariamete 4 bolsos, pares de zapatos y cazadoras co u coste diario de 36. La producció diaria del taller B es de bolsos, pares de zapatos y 6 cazadoras siedo su coste de 4 cada día. Determiar, justificado la respuesta: a) El úmero de días que debe trabajar cada taller para abastecer a la tieda co el míimo coste. b) El valor de dicho coste míimo. Distrito uiversitario de Extremadura PROBLEMA El ídice de popularidad de cierto goberate era de,5 putos cuado iició su madato. A los 5 días alcazó el máximo ídice de popularidad co 7, putos. Sabiedo que durate los primeros días de su madato dicho ídice fue cambiado de acuerdo co la expresió: I(t) = At + Bt + C t Se pide: a) Determiar las costates A, B y C. Justificar la respuesta. b) Represetar la fució obteida. Ua empresa se dedica a la fabricació de calefactores. Cada calefactor, ates de ser eviado al mercado para su veta, ha de superar tres cotroles de calidad: Cl, C y C3 e ese orde. Si o supera alguo de ellos es rechazado. Por la experiecia acumulada, se sabe que u 95 % de los calefactores supera Cl, que e C se rechaza u calefactor co probabilidad, y que 9 de cada calefactores supera C3. Determiar, justificado la respuesta, la probabilidad de que u calefactor elegido al azar e la producció de esa empresa sea rechazado. 69
Euciado de la prueba (Septiembre de 7) PROBLEMA Discutir segú los valores de m el sistema de ecuacioes: Justificar la respuesta. mx y z = 3 x + y + z = x 3y z = PROBLEMA Se ha determiado que el coste total (e euros) que le supoe a cierta empresa la producció de uidades de determiado artículo varía segú la fució: C() = 3 + 7.48 Determiar, justificado la respuesta: a) La fució que defie el coste por uidad producida. b) El úmero de uidades que debe producirse para hacer míimo el coste por uidad. c) El valor de dicho coste míimo por uidad. E ua població de. coductores se seleccioó ua muestra aleatoria de. A los coductores seleccioados se les pregutó si llevaba e sus vehículos cadeas para utilizar e caso de que hubiese ieve e las carreteras. A partir de la iformació recogida se obtuvo el siguiete itervalo de cofiaza al 95 % para la proporció de coductores de esa població que llevaba e sus vehículos cadeas para la ieve: (,7;,8). Determiar, justificado la respuesta: a) La estimació putual que daríamos para la proporció de coductores de esa població que lleva e su vehículo cadeas para la ieve. b) El error máximo que estaríamos cometiedo, co ua cofiaza del 95 %, co dicha estimació putual. a,,,,3,4,5,6,,,,3,4,5,6,7,8,9 `,645,8,36,84,674,54,385,53,6,576,598,54,5,84,659,5,37,4,3,36,555,7,994,86,643,496,358,8,,7,54,,974,789,68,48,345,5,88,54,476,75,954,77,63,468,33,,75,96,44,5,935,755,598,454,39,89,63,88,45,6,95,739,583,44,35,76,5 ` t t +`
Resolució de la prueba (Septiembre de 7) PROBLEMA a) Es u problema de programació lieal. Nos ayudamos co la siguiete tabla: Taller A Taller B Míimo Bolsos 4 8 Zapatos Cazadoras 6 9 Coste 36 4 Sea x = «Número de días que trabaja el taller A» e y = «Número de días que trabaja el taller B». Teemos que resolver el siguiete sistema, y su solució es la regió factible. 4x + y 8 x + y 4 x + y 6x + y 6 y = 4 x x + 6y 9 x + 3y 45 y = 6 6x x y x y y = 45 x 3 Los vértices de la regió factible so: A(7,94;,35), B(5, ) y C(5, 3). Evaluado estos vértices e la fució coste se tiee: f( 7, 94;, 35) = 7. 8 f( 5, ) = 9. 4 f ( 5, 3) = 3.8 El taller A debe trabajar 8 días, y el taller B debe trabajar 3 días, puesto que el míimo úmero de días debe ser u úmero atural. Y A y = 6 6x C B 45 x y = 3 y = 4 x X Distrito uiversitario de Extremadura b) El coste míimo es: f (8, 3) = 36 8 + 3 4 =.88 + 5.6 = 8.8 PROBLEMA a) Si t = I() = C =,5; si t = 5 I(5) = A 5 + B 5 + C = 7, El máximo ídice de popularidad lo alcaza a los 5 días. Como I' () t = At + B I' ( 5) = A 5 + B = Resolvemos el sistema: C = 5, A+ B+ C = 5.. 5 5 7, A+ 5 B = 4, 7 5A 5B 4 7 A+ B = A+ B =. + =,. 5A =47, 5. A+ 5 B = A =, 88; B =, 88 y C = 5, b) La represetació gráfica de la fució es: I(t) =,88t +,88t +,5 Y I(t),5 5 X 7
Resolució de la prueba (Septiembre de 7) Sea los sucesos A = «Calefactor admitido» y R = «Calefactor rechazado». Costruimos u diagrama de árbol: C,95,98,9 C A A C3 A Mercado,5,, R R R P(R) = P[R e C (A e C R e C) (A e C A e C R e C3)] = =,5 +,95, +,95,98, =,6 PROBLEMA m M = 3 m 3 M* = 3 M =m + 3 ( + 3m) = m+ 3 = m =3 Si m 3 Rago (M) = Rago (M*) = 3 El sistema es compatible determiado. Si m = 3 Rago (M) = y Rago (M*) = 3 (tiee u meor de orde 3 o ulo) El sistema es icompatible. PROBLEMA C( ) a) Llamamos F( ) = a la fució que defie el coste por uidad producida. La fució es:. 48 F( ) = + 7 + b) Calculamos el valor de para el que F() es míimo:. 48 3 3 F'( ) = 4 = 4 =. 48 = 5 = 8 Debe producirse 8 uidades para hacer míimo el coste por uidad. c) El valor de dicho coste míimo para 8 uidades es:. 48 F( 8) = 8 + 7 + = 654 8
Curso 6-7 SEPTIEMBRE a) El itervalo de cofiaza al 95 % para la proporció es: (,7;,8) = (,,8;, +,8) La estimació putual que daríamos para la proporció de coductores es de p =,. b) El error máximo viee dado por E = z =, 95 = 5, y z = 96, E = 96,, 8, p( p). = 96,, 8 =, 54 Distrito uiversitario de Extremadura,5,95,5,975 El error máximo que estaríamos cometiedo co dicha estimació putual es de,54. z Criterios específicos de correcció: PROBLEMA : Hasta 3,5 putos. PROBLEMA : Hasta 3 putos. : Hasta 3,5 putos. PROBLEMA : Hasta 3,5 putos. PROBLEMA : Hasta 3 putos. : Hasta 3,5 putos. 73
Euciado de la prueba (Juio de 7) Elegir ua opció etre las dos que se propoe a cotiuació. Calificació máxima de la prueba: putos. Problema : de a 3,5 putos; problema : de a 3 putos; problema 3: de a 3,5 putos. PROBLEMA Ua empresa fabricate de automóviles produce dos modelos A y B e dos fábricas e Cáceres y e Badajoz. La fábrica de Cáceres produce diariamete 6 modelos del tipo A y 4 del tipo B co u coste de 3. diarios y la fábrica de Badajoz produce diariamete 4 modelos del tipo A y 4 del tipo B co u coste de 4. diarios. Sabiedo que la fábrica de Cáceres o puede fucioar más de 5 días y que para abastecer el mercado del automóvil se ha de poer a la veta al meos 36 modelos del tipo A y 3 modelos del tipo B determiar, justificado la respuesta: a) El úmero de días que debe de fucioar cada fábrica co objeto de que el coste total sea míimo. b) El valor de dicho coste míimo. PROBLEMA E los estudios de mercado previos a su implatació e ua zoa, ua fraquicia de tiedas de moda ha estimado que sus beeficios semaales (e miles de euros) depede del úmero de tiedas que tiee e fucioamieto de acuerdo co la expresió: B() = 8 3 + 6 96 siedo el úmero de tiedas e fucioamieto. Determiar, justificado la respuesta: a) El úmero de tiedas que debe de teer e fucioamieto dicha fraquicia para maximizar sus beeficios semaales. b) El valor de dichos beeficios máximos semaales. c) La expresió que os idica los beeficios semaales por cada tieda que dicha fraquicia tiee e fucioamieto. Se sabe que 3. de los. estudiates matriculados e cierta uiversidad hace uso del comedor uiversitario y acude a sus clases e trasporte público. A partir de la iformació proporcioada por ua amplia muestra de estudiates uiversitarios, se ha estimado que uo de cada cuatro uiversitarios que utiliza el trasporte público para acudir a sus clases hace tambié uso del comedor uiversitario. Determiar, justificado la respuesta, la probabilidad de que seleccioado al azar u estudiate e esta uiversidad resulte ser de los que utiliza el trasporte público para acudir a sus clases.
Curso 6-7 JUNIO PROBLEMA Determiar la matriz X que verifica la ecuació A X B = A X dode: Justificar la respuesta. PROBLEMA A = B= 3 Ua feria gaadera permaece abierta al público desde las hasta las horas. Se ha comprobado que el úmero de visitates diaos queda determiado, como fució de la hora del día, a través de la expresió: N(t) = (A t) + B t Sabiedo que a las 7 horas se alcaza el úmero máximo de.5 visitates, se pide: a) Determiar las costates A y B. Justificar la respuesta. b) Represetar la fució obteida. Distrito uiversitario de Extremadura A ua muestra aleatoria de 3 estudiates de Bachillerato de ua determiada provicia se les pregutó si utilizaba habitualmete la bicicleta para acudir a su istituto. Sabiedo que se obtuvo 9 respuestas afirmativas, determiar justificado la respuesta: a) El itervalo de cofiaza al 95 % para el porcetaje de estudiates de Bachillerato de esa provicia que utiliza habitualmete la bicicleta para acudir a su istituto. b) El error máximo que cometeríamos, co ua cofiaza del 95 %, si estimamos que dicho porcetaje es del 3 %. a,,,,3,4,5,6 ` t t +`,,,,3,4,5,6,7,8,9 `,645,8,36,84,674,54,385,53,6,576,598,54,5,84,659,5,37,4,3,36,555,7,994,86,643,496,358,8,,7,54,,974,789,68,48,345,5,88,54,476,75,954,77,63,468,33,,75,96,44,5,935,755,598,454,39,89,63,88,45,6,95,739,583,44,35,76,5 75
Resolució de la prueba (Juio de 7) PROBLEMA Sea x = «Número de días que tiee que fucioar la fábrica de Cáceres» e y = «Número de días que tiee que fucioar la fábrica de Badajoz». a) Las restriccioes y la regió crítica so las siguietes: 6x + 4y 36 4x + 4y 3 x 5 x y Calculamos los vértices de la regió factible: Vértice A: 4 x + 4 y = 3 A( 5, 5) x = 5 Vértice B: 6 x + 4 y = 36 B( 3, 45) 4x + 4y = 3 Vértice C: 6 x + 4 y = 36 C( 9, ) x = Sustituimos los vértices e la fució objetivo: C(x, y) = 3.x + 4.y C(5, 5) =.. C(3, 45) =.4. C(, 9) =.6. El coste míimo se obtiee fucioado 3 días la fábrica de Cáceres y 45 días la fábrica de Badajoz. b) El coste míimo asciede a.4.. PROBLEMA a) Para maximizar los beeficios, derivamos la fució B(x) y la igualamos a cero: B'() = 4 + 96 5 B'() = 4 + 96 = 5 + 4 = = ± 5 6 5 = ± 3 = = 4 Para coocer cuál es el máximo, sustituimos cada valor e la seguda derivada: B'' () =48 + = 7 > E = hay u míimo. B'' ( ) = 48 + B''( 4) =48 4+ = 7 < E = 4hay u máximo. Luego se debe teer 4 tiedas para obteer el beeficio máximo. b) Hay que hallar el valor de B(4): B(4) = 8 4 3 + 6 4 96 4 = 64 Co 4 tiedas fucioado se obtiee u beeficio de 64.. c) La expresió que os idica los beeficios medios semaales es: 3 B ( ) 8 + 6 96 = = 8 + 696
Curso 6-7 JUNIO Defiimos los siguietes sucesos: C = «Hacer uso del comedor uiversitario» T = «Acudir a las clases e trasporte público» Del problema podemos extraer las siguietes probabilidades: 3. 3 PC ( T) = = y P( C / T) =. 4 La probabilidad pedida es: 3 PC ( / T ) = PC ( T ) PC ( T ) PT ( ) = = PT ( ) PC ( / T ) 4 = 3 5 Distrito uiversitario de Extremadura PROBLEMA Primeros despejamos la matriz X de la ecuació: A X B = A X A X A X = B (A A) X = B X = (A A) B Determiamos A y, después, llamamos C a la matriz (A A): A = = 4 C = ( A A) = 4 = Calculamos C = = 4 para luego hallar C. t A C Adj ( ) = = A Así, la matriz X es: X = ( A A) B = 3 = 3 5 3 77
Resolució de la prueba (Juio de 7) PROBLEMA a) Como sabemos que se alcaza el máximo a las 7 horas y que el úmero máximo de visitates es.5, se tiee que N'(7) = y N(7) =.5. N'(7) = 4 (A 7) = A =7 N(7) =.5 (7 7) + B =.5 B =.5 b) La fució es ua parábola co vértice e (7,.5). Y N(t) X a) Los itervalos de cofiaza para la proporció tiee la forma: p z p q p q, p+ z 9 3 Teemos que p = = 3 y q = p = 7 y para u ivel de cofiaza del 95 % el valor de z es igual a,96. Luego el itervalo pedido es: 3, 7, 3, 96, ; 3, + 96, 3 3, 7, 3 = ( 5, ;, 35 ) b) La fórmula del error cometido es E = z 3, 7, E = 96, =, 5 3 p q, que e este caso es: Criterios específicos de correcció: PROBLEMA : Hasta 3,5 putos. PROBLEMA : Hasta 3 putos. : Hasta 3,5 putos. PROBLEMA : Hasta 3,5 putos. PROBLEMA : Hasta 3 putos. : Hasta 3,5 putos.