Mecánica II Tema 1 Movimiento rectiĺıneo

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1 Mecánica II Tema Movimiento rectiĺıneo Manuel Ruiz Delgado 8 de febrero de Mecánica I y II Referencias Movimiento rectiĺıneo Modelos Problema básico Casos de integración Caso F(t) Fuerzas dependientes de la velocidad Caso F(ẋ): Reducción a cuadraturas Caso F(ẋ): Análisis cualitativo Caso F(ẋ): Caída libre Caso F(ẋ): Comparación aire/vacío Caso F(): fuerzas conservativas Caso F(): Reducción a cuadraturas Caso F(): análisis cualitativo Oscilador armónico amortiguado forzado Transitoria: oscilador libre Transitoria: oscilador libre amortiguado Transitoria: Decremento logarítmico Respuesta estacionaria: oscilador forzado Factor de amplificación de la estacionaria Fase de la estacionaria Fase en el movimiento armónico Resonancia

2 Mecánica I y II Mecánica de Partículas y Sólidos Rígidos Leyes de Newton Mec I Mec II Geometría de Masas Ecs. Generales de la Dinámica P.T.V. Fuerzas, Trabajo, Potencial, Ligaduras Casos Cinemática Sólido Punto Estática Vibraciones Percusiones Magnitudes Cinéticas Punto Sólido Conceptos auiliares Ec. Lagrange M. Orbital D. Actitud Núcleo Manuel Ruiz - Mecánica II / 4 Referencias Manuel Prieto Alberca, Curso de Mecánica Racional: Dinámica, ADI, Madrid, 99. Antonio Rañada, Dinámica Clásica, Alianza Editorial, Madrid, 99. H. Schaub y J. Junkins, Analytical Mechanics of Space Systems, AIAA, Reston, Virginia,. L. Meirovitch, Introduction to Dynamics and Control, John Wiley & Sons, Nueva York, 985. L. Meirovitch, Methods of Analytical Dynamics, McGraw-Hill, Nueva York, 97. H. Goldstein, Mecánica Clásica, Reverté, Barcelona, 988. E. Desloge, Classical Mechanics, John Wiley & Sons, Nueva York, 98 Manuel Ruiz - Mecánica II / 4

3 Movimiento rectiĺıneo Modelos - Problema básico Casos reducibles a cuadraturas Caso F(t) Caso F(ẋ): Sistemas disipativos Análisis cualitativo Caso F(): Sistemas conservativos Análisis cualitativo Diagrama de Potencial Mapa de fases Caso completamente integrable Oscilador armónico Libre / Amortiguado Resonancia Manuel Ruiz - Mecánica II 4 / 4 Modelos Partícula, partícula material, masa puntual o, simplemente, punto: punto geométrico dotado de masa, sobre el que actúan fuerzas diversas. La orientación (actitud, Q ) no influye en el movimiento del centro de masas Ec. de la cantidad de movimiento Planetas, sistemas planetarios, etc. Sólido rígido: conjunto de puntos cuyas distancias permanecen constantes. La actitud influye en el movimiento Ec. CM + Ec. Momento Cinético Aviones, misiles en vuelo atmosférico Manuel Ruiz - Mecánica II 5 / 4

4 Problema básico Para simplificar, tomamos O en la dirección del movimiento rectiĺıneo: r = (,, ) F (,ẋ,t) = mẍ F y (,ẋ,t)+n y = = (t,,ẋ ) F z (,ẋ,t)+n z = N y = N y (t,,ẋ ) r() = (,,) N z = N z (t,,ẋ ) ṙ() = (ẋ,,) F N z z y En general, salvo los casos más simples, la integración de la Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) se tiene que hacer numéricamente. N y Manuel Ruiz - Mecánica II 6 / 4 Casos de integración En algunos casos particulares, el problema se puede reducir a cuadraturas ( f(u)du): F(t) F(ẋ): fuerzas giroscópicas o disipativas F(): fuerzas conservativas Si las fuerzas son proporcionales a o ẋ, queda una ecuación lineal de coeficientes constantes, que se integra completamente: oscilador armónico Manuel Ruiz - Mecánica II 7 / 4 4

5 Caso F(t) Cuando la fuerza es una función conocida del tiempo un motor, por ejemplo la ecuación se puede integrar en dos fases: F(t) = mẍ = m dẋ dt t ẋ(t) = ẋ + t F(τ) m dτ (t) = +ẋ (t t )+ t t ( τ ) F(t) t m dt dτ Manuel Ruiz - Mecánica II 8 / 4 Fuerzas dependientes de la velocidad Giroscópicas: su trabajo es siempre nulo a. a la velocidad: Coriolis, Lorenz, [sustentación] b. No influyen directamente en el movimiento rectiĺıneo; sí en el rozamiento, o en ligaduras unilaterales (despegue) Disipativas: su trabajo es siempre negativo: disipan o consumen la energía mecánica del sistema. Sentido opuesto a la velocidad: F(v) = (a +a v +a v +...) v v = f( v ) v v En casos simples, se puede integrar completamente: rozamiento de Coulomb y viscoso, resistencia aerodinámica. a Sentido usual en Mecánica Clásica. En Ingeniería Aeronáutica, en cambio, fuerzas giroscópicas son las de inercia debidas a piezas rotatorias. b Esta es a la velocidad relativa al aire, que puede no coincidir con la del cuerpo. Manuel Ruiz - Mecánica II 9 / 4 5

6 Caso F(ẋ): Reducción a cuadraturas f(v) polinómica, se integra completamente (hasta términos). En general, se puede reducir a cuadraturas en v: mẍ = m dv v dt = ±f(v) t t mdv = ± v f(v) d = vdt = ±v mdv f(v) = ± v mvdv v f(v) t = t(v) = (v) Ecuaciones horarias en forma impĺıcita El signo ± será el contrario del de v Singularidad en v = : analizar convergencia y movimiento posterior. Manuel Ruiz - Mecánica II / 4 Caso F(ẋ): Análisis cualitativo f(v) Se puede analizar el movimiento vertical de una partícula pesada directamente sobre la ecuación diferencia. Basta que f(v) cumpla: f(v) mg v v L f() < mg, para que la partícula caiga al soltarla; v L / f(v L ) = mg, velocidad ĺımite a la que se equilibran peso y resistencia; que f(v) sea monótona creciente, al menos en la zona en que trabajamos. Manuel Ruiz - Mecánica II / 4 6

7 Caso F(ẋ): Análisis cualitativo O Se lanza la partícula verticalmente hacia abajo O positivo hacia abajo Ecuaciones del movimiento: m v = mg f(v) = f(v L ) f(v) t t = v v mdv f(v L ) f(v) f(v) mg v Manuel Ruiz - Mecánica II / 4 Caso F(ẋ): Análisis cualitativo Hay cuatro casos: v < v L v = v L v > v L v < v v L v v t f(v) v mg v v m v = f(v L ) f(v) f(v) v v v v L v Manuel Ruiz - Mecánica II / 4 7

8 Caso F(ẋ): Caída libre m g f(v) En el vacío todos los cuerpos caen con la misma aceleración, g Enelaire,losmáspesadoscaenconmásaceleración y mayor v L : m g v v L v L Masas distintas m > m Igual forma y acabado: f(v) igual v L > v L, pues m g = f(v L ) > m g = f(v L ). Otro modo de verlo: adimensionalizar f(v) con mg mayor aceleración (a igual v) mayor v L f(v) m g f(v) m g Manuel Ruiz - Mecánica II 4 / 4 v L v L Caso F(ẋ): Comparación aire/vacío Comparamos las cuadraturas: aire: f(v) vacío: H r = v mvdv mg+ f(v) < H v = v mvdv mg + T r = v mdv mg+ f(v) < T v = v mdv mg + En las cuadraturas para el vacío, el denominador es menor, el integrando mayor, y por tanto las integrales son mayores. En vacío se llega más alto y se tarda más tiempo a : H r < H v T r < T v a Con el sentido positivo hacia abajo, las alturas serían negativas Manuel Ruiz - Mecánica II 5 / 4 8

9 Caso F(): fuerzas conservativas F = F()i deriva de un potencial V() = F()d F = V() = dv() d i La ecuación del movimiento se puede integrar una vez, para dar la integral de la energía: mẍ = F() ; mẍẋ = F()ẋ mẋ = F()d }{{} }{{} T V +E T +V = E Se conserva la energía mecánica: Sistema conservativo Error fatal: calcular el potencial de una fuerza disipativa Manuel Ruiz - Mecánica II 6 / 4 Caso F(): Reducción a cuadraturas Integral primera: conservación de la energía mẋ = E V() ẋ = ± (E V()) m Cuadratura: d dt = ± m [E V ()] t t = m ±d [E V ()] Se obtienen ẋ = ẋ(,,ẋ ) y t t = t(,,ẋ ), ecuaciones horarias en forma impĺıcita. El signo ± se determina con las condiciones iniciales Manuel Ruiz - Mecánica II 7 / 4 9

10 Caso F(): análisis cualitativo V() La integral de la energía T(ẋ)+V() = E permite realizar un análisis cualitativo del movimiento, sin necesidad de integrarlo completamente. Dos métodos equivalentes: Diagrama de energía potencial: representar V(); cada valor de E es una recta horizontal Mapa de fases: Cada valor de E es una curva del plano [,ẋ]. ẋ O Manuel Ruiz - Mecánica II 8 / 4 Caso F(): análisis cualitativo mẋ +V() = E ẋ = ± m [E V()] V() ẋ T ẋ V O Diagrama de Energía Potencial Mapa de fases Manuel Ruiz - Mecánica II 9 / 4

11 Caso F(): análisis cualitativo V() c Diagrama de energía potencial E 4 E d a E b E 4 Manuel Ruiz - Mecánica II / 4 Caso F(): análisis cualitativo a) Punto de parada y retroceso Singularidad en el corte: E mẋ V() t t = m ±d [E V ()] 4 Convergencia de la integral: lím 4 Corte: α = / llega en t finito E V() ( 4 ) α = K / α < ẋ ẋ Manuel Ruiz - Mecánica II / 4

12 Caso F(): análisis cualitativo F = V () V() b) Mínimo en E < V( ) movimiento (ẋ I) E = V( ) Sólo equilibrio en E > V( ) Oscilaciones entre dos puntos de parada/retroceso V() mínimo en punto de equilibrio estable. Al perturbarlo (E ) oscilaciones acotadas, tan pequeñas como se quiera: pozo de potencial. Diagrama de fases: curvas cerradas alrededor de (,): centro, o punto eĺıptico. ẋ E osc E equ 4 Manuel Ruiz - Mecánica II / 4 Caso F(): análisis cualitativo c: Máimo en E > V( ), T >, pasa sin pararse E = V( ) según condiciones iniciales: Equilibrio inestable en : perturbación movimiento no acotado Movimiento asintótico: si V() es anaĺıtica, α =, t = E < V( ) No llega Mapa de fases: punto de silla o hiperbólico. Separatrices: movimiento asintótico con E = V( ). ẋ V() Manuel Ruiz - Mecánica II / 4

13 Caso F(): análisis cualitativo d: Rama infinita - Similar al máimo, con ẋ V() ẋ V() Manuel Ruiz - Mecánica II 4 / 4 Oscilador armónico amortiguado forzado Partícula de masa m unida al origen por un muelle de constante k y longitud natural nula, y un amortiguador viscoso de constante c. Sobre la partícula actúa una fuerza F = F sinωti. mẍ = k cẋ+f sinωt c ẍ+ζω n ẋ+ωn = F m sinωt m F Frecuencia de forzamiento: ω Frecuencia natural: ω n = k/m Factor de amortiguación: ζ = c mω n Solución homogénea h Respuesta Transitoria Solución particular p Respuesta Estacionaria k = h + p Manuel Ruiz - Mecánica II 5 / 4

14 Transitoria: oscilador libre ) r +ζω n r +ωn = r i = ω n ( ζ ± ζ Amortiguamiento supercrítico, ζ > Dos raíces reales negativas: h = Ae r t +Be r t ; con r,r < Am. Crítico, ζ = (c cr = km) Una raíz doble real negativa h = (A+Bt) e ωnt La que muere más rápido. Frontera movimiento oscilatorio / no oscilatorio. Manuel Ruiz - Mecánica II 6 / 4 Transitoria: oscilador libre Amortiguamiento subcrítico, ζ < raíces complejas conjugadas Movimiento oscilatorio no periódico, eponencialmente amortiguado ω n ζ : pseudofrecuencia t ( ) h = e ζωnt Ae iωn ζ t +Be iωn ζ t = [ ( ) = e ζωnt C cos ω n ζ t ( )] +D sin ω n ζ t = e ζωnt [ E cos = ( ω n ζ t+ψ Manuel Ruiz - Mecánica II 7 / 4 )] 4

15 Transitoria: oscilador libre amortiguado V() ζ =, ζ, ẋ ζ = punto de equilibrio estable ζ = centro Manuel Ruiz - Mecánica II 8 / 4 ζ > eq. asintóticamente estable ζ > nodo estable ζ = nodo de una tangente est. ζ < foco estable Transitoria: Decremento logarítmico En el caso subcrítico, se puede determinar eperimentalmente el factor de amortiguamiento midiendo dos amplitudes separadas un pseudoperiodo. Pueden medirse en cualquier punto, aunque es más fácil medir dos máimos sucesivos. Sea t = π ω n ζ el pseudoperiodo: = e ζωnt E cos(...) = e ζωn(t+ t) E cos( +π) e δ = πζ = e ζ ζ = } δ 4π +δ t El logaritmo del cociente de amplitudes, δ, se llama decremento logarítmico. Manuel Ruiz - Mecánica II 9 / 4 5

16 Respuesta estacionaria: oscilador forzado EDO: ẍ+ζω n ẋ+ωn = F m sinωt Ensayamos soluciones de la forma, p = C sinωt+c cosωt = A sin(ωt φ) C = Acosφ; C = Asinφ Se sustituye en la EDO: ( C ω ζω n C ω +ω ) n C sinωt + + ( C ω +ζω n C ω +ωnc ) cosωt = F/m sinωt Igualando términos: Manuel Ruiz - Mecánica II / 4 Respuesta estacionaria: oscilador forzado ( {}}{ ) C ω ζω n C ω +ω n C F/m sinωt + ( + C ω +ζω n C ω +ω nc }{{} C ω +ζ ω n C ω +ωnc = C = ζωω n ω ωn C }{{} F ( ωn C = ω) /m C ω ζω n C ω +ω n C = F [4ζ m ω ωn +(ω n ω ) ] F ζωω n /m C = [4ζ ω ωn +(ω n ω ) ] ) cosωt = Manuel Ruiz - Mecánica II / 4 6

17 Respuesta estacionaria: oscilador forzado Es más útil epresar la solución mediante la fase φ y la amplitud A: p = A sin(ωt φ) A = C +C = ω n F/m ( 4ζ ω ω n + ω ω n ) = F/k ( 4ζ ω ω n + ω ω n ) tanφ = C C = ζ ω ω n ω ω n Desplazamiento estático Factor de amplificación (magnification factor) F/k µ = 4ζ ω ωn + ( ω ω n ) Manuel Ruiz - Mecánica II / 4 Respuesta estacionaria: oscilador forzado Con lo que la solución completa es: Homogénea: Transitoria {}}{ Ae rt +Be r t (r i < ) (t) = (A+Bt) e ωnt ( ) + Ae ζωnt cos ω n ζ t+ψ + 4ζ ω ω n + F/k ( ω ω n ) sin ωt tan ζ ω ω n ω ω n } {{ } Particular: Estacionaria Manuel Ruiz - Mecánica II / 4 7

18 Factor de amplificación de la estacionaria 4 d) ζ = µ,5,, a),4,5,75,5 6 5 c) ζ = b) ω/ω n Manuel Ruiz - Mecánica II 4 / 4 Fase de la estacionaria π ζ =, b) φ,,,5,75,5 π d) c) 6 ζ = a) ω/ω n Manuel Ruiz - Mecánica II 5 / 4 8

19 Fase en el movimiento armónico Posición = A sin(ω t) ϕ Velocidad ẋ = Aω cos(ωt) = Aω sin(ωt+π/) ϕ+ π Aceleración ẍ = Aω sin(ωt) = Aω sin(ωt+π) ϕ+π v a r Manuel Ruiz - Mecánica II 6 / 4 Respuesta estacionaria: oscilador forzado a) Muelle dominante: ω ω n ω n = k/m >>, o k >> m. ++k F sin(ωt) φ F(t) Respuesta del muelle muy rápida frente a la ecitación sucesión de estados de equilibrio Desplazamiento en fase con la ecitación: fase nula. Acelerómetros: F π φ π 4 µ a) ζ = ω/ω n ζ = ζ = a) ω/ω n Manuel Ruiz - Mecánica II 7 / 4 9

20 Respuesta estacionaria: oscilador forzado 4 µ ζ = b) Inercia dominante: ω ω n ω n = k/m <<, o m >> k mẍ++ F sin(ωt) φ π ẍ F(t) Respuesta del muelle muy lenta frente a la ecitación Aceleración forzamiento: fase π. Sismógrafos: ẍ F π φ π b) ω/ω n b) ζ = ζ = ω/ω n Manuel Ruiz - Mecánica II 8 / 4 Respuesta estacionaria: oscilador forzado 4 µ ζ = c) Disipación dominante: ζ El término dominante es el de la velocidad +cẋ+ F sin(ωt) φ π/ ẋ F(t) π c) ω/ω n ζ = Sólo hay movimiento cuando hay ecitación Velocidad forzamiento: fase π/. φ π c) ζ = ω/ω n Manuel Ruiz - Mecánica II 9 / 4

21 Respuesta estacionaria: oscilador forzado 4 µ d) ζ = d) Resonancia: ω ω n ζ = ; ω = ω n ; A ζ > ; ω ω n ; A Ecitación en fase con la velocidad Trabajo eterno positivo φ µ π φ π ζ = d) ω/ω n ζ = Manuel Ruiz - Mecánica II 4 / 4 ω/ω n Resonancia Para ζ =, en la resonancia, la amplitud se hace : absurdo. Con ζ = y ω = ω n, la solución no es válida F/k ω ω n = Acos(ω n t+ψ)+ ω /ωn sinω t ω = ω n = Acos(ω n t+ψ) F t ω n m cosω n t F en fase con el movimiento: W >, E Si no hay ζ que disipe esa energía, Manuel Ruiz - Mecánica II 4 / 4