Mecánica de Sistemas y Fenómenos Ondulatorios. Primer Parcial, 24 setiembre de Problema 1 (15 puntos)

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1 nstituto de Física - Facultad de ngeniería 009 Mecánica de Sistemas y Fenómenos Ondulatorios mportante: Primer Parcial, 4 setiembre de 009 El estudiante deberá hacer un esfuerzo para comunicar claramente su razonamiento. Las respuestas correctas que no incluyan una denición, un esquema o una explicación, serán consideradas como incompletas. Del mismo modo, deje por escrito sus comentarios en relación a la interpretación física de los resultados matemáticos que obtiene. PONER EL NOMBRE EN TODAS LAS HOJAS. Se recuerda que la prueba es individual. Problema 1 (15 puntos) Un disco de masa M y Radio R puede girar enroscado en una barra horizontal. La rosca es tal, que cuando el disco gira un ángulo θ (relativo a la barra), su centro de masa avanza una distancia igual a L θ donde L es una contante dada. Un resorte de constante elástica k y longitud natural nula, conecta al disco con la pared; dicho resorte se conecta al disco por medio de una guía, de modo que el resorte permanece siempre en la misma posición paralela a la barra y sin girar. En torno al disco se enrolla una cuerda de la que pende una masa m. Sobre el sistema actúa un par viscoso b θ, proporcional a la velocidad angular relativa a la barra. La barra es forzada a girar con un ángulo α(t) dado. Se puede suponer: La cuerda que sostiene la masa m permanece siempre vertical. El movimiento de la masa es tal, que la cuerda se mantiene tensa en todo momento. La barra es de radio depreciable comparado con el radio del disco. (a) (b) (c) (d) Conocido α(t), hallar la ecuación de movimiento del sistema (ecuación en la coordenada θ). Suponiendo que se impone una oscilación para la barra, α(t) = A cos (ωt), indicar como será el movimiento θ(t) del sistema en régimen. Calcular la frecuencia de resonancia en amplitud, y gracar la amplitud de las oscilaciones en función de la frecuencia ω impuesta. Señale claramente las características más importantes de la gráca. Calcular la potencia media disipada por el par viscoso. 1

2 nstituto de Física - Facultad de ngeniería 009 Problema (15 puntos) Un aro de masa M y radio R puede girar en su propio plano alrededor de uno de sus puntos (punto O). Una cuenta de masa m se encuentra sujeta al aro y puede moverse por él (sin rozamiento). (a) (b) Determinar el lagrangeano del sistema. Suponiendo que solo pueden haber oscilaciones de pequeña amplitud, determine las ecuaciones de movimiento del sistema. (c) Calcule las frecuencias normales en el caso M = m. (d) (e) ndique condiciones iniciales del sistema para que oscile con una única frecuencia. i) Si la posición de la cuenta está relacionada con la parte real de la solución compleja, ¾cómo se relaciona la velocidad con la parte imaginaria? ii) Calcular las leyes horarias del aro y la cuenta si ambos parten de la posición de equilibrio siendo la velocidad inicial de la cuenta v 0 y la velocidad inicial del aro nula. Figura 1: Pregunta 1 (5 puntos) Se considera una barra de masa m y de longitud L, articulada en el punto O jo. Un disco de radio R se apoya en el piso y se mantiene en el plano vertical del dibujo. Sobre el disco actúa una fuerza de magnitud constante F. La barra se apoya en el disco, formando con el piso un ángulo θ. Determine el valor de la fuerza F para que la posición de equilibrio del sistema se de para θ = π/3. Pregunta (5 puntos) Una partícula de masa m se encuentra connada a moverse sobre la supercie de un paraboloide de revolución, como se muestra en la gura. Dicho paraboloide está determinado por la ecuación z = α(x + y ). La partícula se encuentra además bajo la acción del peso, que actúa como se muestra en la gura. denticar las magnitudes físicas que se conservan a lo largo del movimiento de la partícula.

3 nstituto de Física - Facultad de ngeniería 009 Problema 1 Solución Considerando x, θ, α y z como se muestra en la Figura, y observando los vínculos existentes, obtenemos: x = L θ (1) z = (θ + α)r () ω disco = α + θ (3) Figura : (a) Utilizando como coordenada generalizada θ, podemos escribir el lagrangeano del sistema, como: L = M [ ] L θ + 1 MR [ ( α + θ) ] + m [ ( α + θ) R + θ L ] [ ] 1 k(θl) + (θ + α)rmg L = 1 θ [M ) (L + R [ 1 k(θl) + (θ + α)rmg ] + m(l + R ) ] ( + α [R θ m + M )] + 1 ( [R α m + M )] Aplicando las ecuaciones de Lagrange, teniendo en cuenta que Q NC θ = b θ y deniendo ( ) = M L + R + m(l + R ) obtenemos la ecuación de movimiento entorno a la posición de equilibrio: ( θ + R m + M ) α + kl θ = b θ (4) θ + b θ + kl θ = R ( ) m + M α (5) (b) La ecuación de movimiento, corresponde a la de un oscilador forzado, con fricción; es decir, es de la forma: ( ) θ + ζω 0 θ + ω 0 θ = R m + M ω0 = kl α Donde (6) ζω 0 = b La solución θ(t) en régimen, es de la forma θ(t) = Re[εe jωt ] donde ε es una constante compleja. Sustituyendo en la ecuación 6 obtenemos: ( ) ε = AR m + M ω (ω0 ω ) + jζω 0 ω ( θ(t) = AR m + M ) ω ( ( )) ζω0 ω cos ωt Arctg (ω 0 ω ) + (ζω 0 ω) ω0 ω 3

4 nstituto de Física - Facultad de ngeniería 009 (c) De la parte anterior, conocemos la amplitud de oscilación en función de la frecuencia. ( ) ε(ω) = AR m + M ω (7) (ω 0 ω ) + (ζω 0 ω) Dividiendo numerador y denominador por ω, se puede observar que el máximo se da donde se minimiza ( ) ω ( ) f(ε) = 0 ω 1 ζω0 + ω Buscamos entonces soluciones a f (ω) = 0: f (ω) = ( ) ω 0 ω 1 + ζ = 0 ω res = ω 0 1 ζ que ζ < 1 0, 7 ωres kl = ( ) que b < kl 1 b kl Cabe señalar las siguientes propiedades: El fenómeno de resonancia existe si el amortiguamiento es débil. La frecuencia de resonancia tiende a ω 0 si el par viscoso tiende a cero. La amplitud en la resonancia, tiende a cuando se elimina la viscosidad. Figura 3: Amplitud en función de ω (d) La potencia media disipada por el par viscoso se puede calcular como a : P b = bω P b = 1 T T 0 ( AR m + M b θ dt = bω ε ) ω (ω0 ω ) + (ζω 0 ω) a recordar que 1 T cos (ωt)dt = 1 T 0 4

5 nstituto de Física - Facultad de ngeniería 009 Problema Eligiendo coordenadas absolutas (θ, ϕ), como se indica en la Figura 4, la velocidad del centro del anillo es v C = R θê θ y la velocidad de la masa m es v m = R θê θ + R ϕê ϕ. Por lo tanto la energía cinética del sistema, teniendo en cuanta que ê θ. ê ϕ = cos(ϕ θ): Figura 4: (a) T = MR θ + MR θ + mr ( θ + ϕ + θ ϕ cos(ϕ θ)) (8) La energía potencial gravitatoria es U = MgR cos(θ) mgr(cos(θ) + cos(ϕ)) (9) Por lo tanto el Lagrangeano del sistema es: L = MR θ + mr ( θ + ϕ + θ ϕ cos(ϕ θ)) + MgR cos(θ) + mgr(cos(ϕ) + cos(θ)) (10) Las ecuaciones de movimiento son: (M + m)r θ + mr ( ϕ cos(ϕ θ) ϕ sin(ϕ θ)) + (m + M)gR sin(θ) = 0 (11) mr ϕ + mr ( θ cos(ϕ θ) + θ sin(ϕ θ)) + mgr sin(ϕ) = 0 (1) (b) En torno al punto jo (θ = 0, ϕ = 0), estudiamos las pequeñas oscilaciones del sistema. Se linealizan las ecuaciones de movimiento en torno a ese punto: (M + m)r θ + mr ϕ + (m + M)gRθ = 0 (13) mr ( ϕ + θ) + mgrϕ = 0 (14) (c) Para determinar los modos normales probamos soluciones complejas para determinar las diferentes frecuencias normales, recordando que la parte real determina las leyes horarias de las coordenadas. Supongamos que ϕ(t) = Ae iωt y θ(t) = Be iωt. Sustituyendo m = M, y dividiendo por mr ambas ecuaciones se obtiene: 3Bω + Aω Bω o = 0 (15) Aω + Bω Aω o = 0 (16) donde se denió ω o = g R. Para obtener soluciones no triviales, se impone la condición sobre el determinante del sistema que debe ser nulo. Por lo tanto: (ω o ω )(ω o 3ω ) ω 4 = 0 = ω 4 5ω ω o + ω 4 o = 0 (17) Por lo tanto, las frecuencias normales son ω 1 = ω o y ω = ω o. 5

6 nstituto de Física - Facultad de ngeniería 009 (d) La relacionan entre las distintas amplitudes en los dos modos se determina a partir de las ecuaciones de movimiento. Para la frecuencia ω 1 tenemos que Aωo + Bωo Aωo = 0, por lo que B = A. Por lo tanto, si inicialmente el sistema está en reposo y (θ(0) = φ o,ϕ(0) = φ o ), el sistema oscilará en el modo con frecuencia ω 1. Para la otra frecuencia ω, se tiene que Aω o + Bω o Aωo = 0, de forma que A = B. Nuevamente si el sistema parte del reposo, con condiciones iniciales en posición ( θ(0) = φ o,ϕ(0) = φ o ), el sistema oscilar únicamente con frecuencia ω. (e) i) Supongamos que θ(t) = Ae iωt = A e i(ωt+δ), de forma que tomando parte real θ(t) = Re[ θ(t)] = A cos(ωt + δ). La velocidad es θ(t) = A ω sin(ωt + δ). Recordando que m[ θ(t)] = A sin(ωt + δ), es claro que θ(t) = ωm[ θ(t)] ii) ncorporando las fases y las relaciones entre las amplitudes encontradas en la parte (d) se obtiene que la solución general es de la forma: θ(t) = A cos(ω t + δ ) + B cos(ω 1 t + δ 1 ) (18) ϕ(t) = A cos(ω t + δ ) B cos(ω 1 t + δ 1 ) (19) Las condiciones iniciales son (θ(0), ϕ(0), θ(0), ϕ(0)) = (0, 0, 0, ϕ o ), donde ϕ o = vo R. por lo tanto el sistema de ecuaciones se reduce a: A cos(δ ) + B cos(δ 1 ) = 0 (0) A cos(δ ) B cos(δ 1 ) = 0 (1) Aω sin(δ ) + Bω 1 sin(δ 1 ) = 0 () Aω sin(δ ) + Bω 1 sin(δ 1 ) = ϕ o (3) Restando la primera y segunda ecuación se obtiene que B cos(δ 1 ) = 0. Sustituyendo en cualquiera de las dos también se obtiene que A cos(δ ) = 0. Sumando la tercera y la cuarta ecuación se obtiene que 3Bω 1 sin(δ 1 ) = ϕ o, por lo tanto Aω sin(δ ) = Bω 1 sin δ 1. Resumiendo, las condiciones iniciales determinan las siguientes ecuaciones: B cos(δ 1 ) = 0 (4) A cos(δ ) = 0 (5) 3Bω 1 sin(δ 1 ) = ϕ o (6) Aω sin(δ ) = Bω 1 sin δ 1 (7) Para encontrar soluciones compatibles, se obtien de la primera y segunda δ 1 = δ = π. De la tercera y cuarta ecuación se determina que A = ϕo 3ω y B = ϕo 3ω. Recordando que 1 cos(φ + π ) = sin(φ), las leyes horarias son: θ(t) = ϕ o 3 ϕ(t) = ϕ o 3 ( 1 sin(ω t) 1 ) sin(ω 1 t) ω ω 1 ( 1 sin(ω t) + ) sin(ω 1 t) ω ω 1 (8) (9) Pregunta 1 Las únicas fuerzas activas que realizan un trabajo virtual son el peso de la barra y la fuerza F. El desplazamiento virtual del centro de la barra G es δ r G = L δθê θ. El desplazamiento del centro del disco C es δ r C = δx i. El vínculo de apoyo de la barra sobre el disco determina la relación entre las coordenadas x y θ. La recta que une el centro del disco y la articulación es la bisectriz del ángulo θ. 6

7 nstituto de Física - Facultad de ngeniería 009 Por lo tanto, tan(θ/) = R R x, despejando x, x = tan(θ/) ; de esta forma, Operando obtenemos que, El desplazamiento virtual del centro del disco es: δx = x θ δθ x θ = R sin (θ/) δx = R sin (θ/) δθ Utilizando el principio de los trabajos virtuales se obtiene que: δw T = 0 = mgĵ δ r G + ( F )î δ r C Utilizando las relaciones anteriores se obtiene:. δw T = 0 = mg L cos(θ)δθ + F R sin (θ/) δθ Por lo tanto, para un desplazamiento arbitrario de θ se obtiene: Evaluando en θ = π/3: F = Lmg cos(θ)sin (θ/) R F = Lmg 8R Pregunta Dada la geometría del problema, es conveniente utilizar coordenadas cilíndricas para describir el movimiento de la partícula. Utilizando la convención usual, la posición de la partícula puede escribirse como: r = rê r + zˆk (30) En estos términos, el vínculo que impone el hecho de que la partícula deba moverse sobre la supercie del paraboloide queda: z = αr (31) Se obtiene entonces la velocidad de la partícula en términos de las coordenadas θ y r: r = ṙê r + r θê θ + αrṙˆk (3) 7

8 nstituto de Física - Facultad de ngeniería 009 Debido a que la única fuerza que trabaja es el peso, el sistema es conservativo por lo que la energía mecánica se conserva a lo largo de las trayectorias: El lagrangeano del sistema queda: E = m [ṙ + r θ + α 4r ṙ ] + mgαr = constante (33) L = m [ṙ + r θ + α 4r ṙ ] mgαr (34) Vemos que el lagrangeano no depende de θ, entonces, aplicando las ecuaciones de Lagrange: L θ = mr θ = constante (35) que coincide con la componente según z del momento angular de la partícula con respecto al origen. 8