I Operaciones combinadas con números enteros (Z). 1. Suma, resta, producto y cociente. 2. Potenciación y Radicación.

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1 CPU MATEMÁTICA Práctica OPERACIONES EN R ECUACIONES E INECUACIONES I Operaciones combinadas con números enteros (Z) Suma, resta, producto cociente a) ( ) ( 7 ) 6 b) ( ) ( ) (7 ) 9 0 c) { [9 (6 )] 7 [ ( 7 ) ]} d) ( ) : 8 ( )( 9 ) ( 7 ) : ( ) Potenciación Radicación 0 a) b) ( ) 0 : c) ( ) ( ) ( ) : ( 8) 6 d) ( ) ( )( ) ( ) : ( ) [( ) ] e) : : f) ( ) : ( ) ( ) ( ) g) [ 6 : ( ) ] ( ) ( ) ( ) II Operaciones con números racionales (Q) Adición, Sustracción, Producto Cociente a) : b) : c) f) Potenciación Radicación d) 0 : ( ) g) e) Cuadernillo de Trabajos Prácticos

2 a) b) : c) 9 : d) e) 6 7 f) g) 9 h) III Números Irracionales 0 8 Operar, si es necesario racionalizar, dejarlo epresado con la menor cantidad de términos posible (no aproimar) a) b) c) 9 6 d) e) g) f) h) 6 Los números a 7 7 b son números enteros, sin usar calculadora averiguar cuáles son Auda: elevarlos al cuadrado observar que pasa IV Ecuaciones e inecuaciones en el conjunto de los números reales (R) 7 Resolver las siguientes ecuaciones Cuadernillo de Trabajos Prácticos

3 a) b) d) 8 : e) 6 6 c) 0 f) g) h) 7 i) j) m) ( )( ) 0 n) 0 o) 9 k) 9 l) 0 ñ) 0 p) q) 8 Proponer una ecuación que describa la situación planteada resolverla a) Los dos quintos de un número más unidades da por resultado la mitad del dicho número Cuál es el número? b) El perímetro de un rectángulo cua base es el triple de la altura es de 7cm Calcular el área del rectángulo c) El área de un rectángulo cua base es el doble de la altura, es de cm Calcular su perímetro d) El perímetro de un triángulo isósceles es 0cm los lados distintos miden ( + 8)cm ( )cm respectivamente Cuáles son los posibles valores de los lados? Recordar: En un triángulo isósceles dos de sus lados tienen la misma medida e) Juan gastó / de sus ahorros en libros con el resto compró ropa por $80 A cuánto ascendían los ahorros de Juan? 9 Representar en la recta numérica los conjuntos A,,6 B escribir como un intervalo o como unión de intervalos a cada uno de los siguientes conjuntos: i A B ii A B iii A B iv B A 0 Ídem 9 para:, a) A, B b) A 0, B, c) A 0, B, d) A,, B 0,7 Resolver las siguientes inecuaciones epresar las soluciones como un intervalo o unión de intervalos a) 8 b) c) ( ) ( ) d) 0 e) 9 0 f) ( )( ) 0 g) 0 h) 0 i) Cuadernillo de Trabajos Prácticos

4 Dados A R / B R / 0, representar en la recta escribir como un intervalo o como unión de intervalos a cada uno de los siguientes conjuntos: i A ii B iii Ídem para: A B a) A R / R / b) A R / 0 R / c) R / iv A B B 0 B 0 B A R / v A B a) Hallar todos los b) Hallar todos los b R a R de manera que = satisfaga b de manera que = no satisfaga a Resolver las siguientes ecuaciones a) 0 : ( ) b) 6 c) 0 : e) d) g) h) 0 ( ) f) 8 i) 0 j) 0 k) 6 0 l) m) ( ) 0 6 Representar en el plano (R ) a) los puntos: P=(;); Q=(-;); R=(;-); S=(7/;7/);T=(;-); U=(;0); V=(0;-/) b) todos los puntos que tienen: i) abscisa ii) ordenada iii) abscisa ordenada iv) abscisa maor o igual a ½ v) abscisa menor que ordenada maor o igual que 0 vi) abscisa ordenada iguales b) Los siguientes conjuntos: i) A={(;)ϵR /=} ii) B={(;)ϵR /=-} iii) C={(;)ϵR / ;=-} iv) D={(;)ϵR /-< } v) E={(;)ϵR /=;>} Cuadernillo de Trabajos Prácticos

5 vi) F={(;)ϵR /- ;-< } Respuestas a) b) 6 c) 0 d) 7 a) b) c) d) 8 e) 0 f) 0 g) 7 a) / b) c) / d) /0 e) 0/ f) 7/ g) -/ a) 8/ b) /8 c) / d) 7/8 e) 9/ f) /8 g) / h) /6 a) 6 7 a) a S b) c) b b) S S c) d) S 7 d) e) f) g) S e) S S R f) S 6;6 h) 0 g) S ; 7 h) S ; i) j) S ; k) l) S ; m) S ; n) S ; ; ñ) S 0; o) S p) S 7 q) 8 a) El número es 0 b) Una posible ecuación es 7 El área es cm ( 9 ) c) Una posible ecuación es El perímetro es cm ( ) d) El problema no tiene solución Una posibilidad es que 8 0, en este caso por lo tanto dos lados congruentes miden 0cm el desigual 0 cm: ABSURDO! La otra posibilidad sería que 8 0, siendo, un lado mide cm los otros dos miden cm, TRATÁ DE DIBUJARLO (Recordá que en cualquier triángulo siempre la suma de las medidas de dos de sus lados es maor que la medida del otro lado menor que su diferencia) e) Una posible ecuación es 80 Juan tenía $0 ahorrados A B, A B,6 A B, B A,6 9 i ii iii iv 0 a) i B, b) B c) B A ii A B, iii A B,, S iv B A A B 0, B A, A ii A B 0, iii iv A ii A B 0, iii A B 0, iv B A, d) A B 0,, ii A B,7 iii A B,0 iv B A,, 7 a) S 7, b) S 6, c) S, d) S,, S g), f),, i A,, ii B, a) i A ii S h), 0, S i) S, iii A B, iv A B R B 9, iii B A B, 9, e) S, v A B, A iv v A B, Cuadernillo de Trabajos Prácticos

6 A B,, ii B, iii B 0, a, b) i A,, ii B, iii A B, iv A B,, v c) i A 0, a) b, a) h) 6 a) S 6 S b) b) S i) 0 c) S d) S j) ; 0 A iv A B, S 0 e) S 6 S k) S l) v f) S ; g) S ; 0 m) S 6; A B, S Q P R S V T U b) i ii iii iv v vi c) i ii iii Cuadernillo de Trabajos Prácticos 6 - -

7 iv v vi MATEMÁTICA CPU Práctica Funciones Funciones lineales cuadráticas FUNCIONES Damiana, al irse del parque olvidó de subir a su perro Vicente en la parte trasera de su camioneta Los gráficos hacen referencia al movimiento de la camioneta de Vicente, que corre para alcanzarla a) Cuál es el gráfico que representa el recorrido de Vicente? b) A qué distancia estaba Damiana de Vicente cuando éste comenzó a correr? c) Vicente, alcanza a subir a la camioneta? distancia al parque (m) En caso afirmativo, cuánto tiempo cuántos metros aproimadamente corrió? d) Inventar un gráfico en el que Vicente se vaa cansando no logre llegar a la camioneta En la serie Viaje al fondo del mar aparece como una estrella el Sea-View, un súper submarino nuclear que en su interior lleva otro submarino mu pequeño llamado Aerosub Éste utiliza como base al submarino estrella además de transitar bajo el agua, es capaz de volar Durante una misión de investigación, la tripulación del Sea-View siguió los desplazamientos del pequeño submarino El gráfico que aparece a continuación muestra la altura h (en metros sobre el nivel tiempo(seg) Cuadernillo de Trabajos Prácticos 7

8 del mar) a la que se encuentra el Aerosub en función del tiempo t (en horas) Donde cero hora del de mao de 96 h(t) (metros) 00 t 0 representa la t (horas) a) Qué día a qué hora partió el Aerosub del Sea-View? b) A qué profundidad se encontraba? c) A qué altura se encontraba entre las 9 0 horas del de mao? d) Desde qué hora día hasta qué hora día duró la misión? e) Entre qué valores varió la altura del Aerosub? f) Cuándo estuvo sobre el nivel del mar? g) En qué momentos estuvo al nivel del mar? h) En qué intervalos de tiempo estuvo ascendiendo? i) Cuánto tiempo pasaron los tripulantes estudiando un banco de coral que se encuentra a 0 metros de profundidad? Entre que horas sucedió? j) Las respuestas a las preguntas d), e), f), g) h), qué representan de la función h? (Por ejemplo: imagen, dominio, conjunto de positividad, etc) Eplicitar cada uno de ellos Cuáles de los siguientes gráficos corresponden a una función? a) b) c) d) e) f) Cuadernillo de Trabajos Prácticos 8

9 El gráfico representa una función f : R R Observando el gráfico determinar f, f, f, f 0 f FUNCIÓN LINEAL En cada caso, hallar la función lineal f que cumpla lo pedido, hacer el gráfico correspondiente encontrar la pendiente de la recta determinada por el gráfico de f a) f ( 0) f ( ) b) f f c) f ( ) 7 f ( ) 7 d) ( ) 0 f el punto, 6 Sea la recta r de ecuación a) Hallar tres puntos de r b),7 r?, r? c) Encontrar k para que:, k k pertenece al gráfico de f i r ii, r iii k, k r d) Hallar los puntos de corte de la recta r con los ejes coordenados 7 Calcular la pendiente la ordenada al origen de las siguientes rectas a) b) c) d) e) 8 En cada caso, dar la ecuación de la recta que verifica lo pedido a) Pasa por los puntos (,) (-,) b) Pasa por el (,/) es paralela a = + c) Es perpendicular a pasa por el (-,-) d) Es horizontal pasa por (,-) e) Es vertical pasa por el punto (,-) f) Es perpendicular a la recta pasa por el punto (,8) Cuadernillo de Trabajos Prácticos 9

10 9 Probar analíticamente que el triángulo cuos vértices son A = (,), B = (0,) C = (,) es rectángulo en B, hallar gráfica analíticamente la ecuación de la recta que contiene a la altura del triángulo ABC que pasa por A (Recordar: Una altura de un triángulo es el segmento perpendicular a la recta que contiene a un lado, que pasa por el vértice opuesto) 0 Dados los puntos A,, B, C, Hallar la ecuación de la recta representada en cada gráfico a) b) c) 7 d) e) f) - -7/ Hallar k para que los puntos, 0,, k, estén alineados Hallar analítica gráficamente la intersección entre los siguientes pares de rectas r : r : r : a) b) c) r : r: 9 r: d) r : r : e) r : r : 7 f) r : r : 6 Proponer un sistema que describa la situación planteada resolverlo a) Las entradas para un espectáculo se vendieron a $0 la platea $7, los palcos Calcular cuántas entradas de cada tipo se vendieron si asistieron 800 personas los ingresos fueron de $76 b) El perímetro de un triángulo isósceles es 8,6cm Si el lado desigual se aumenta en cm, el triángulo obtenido es equilátero Cuál es la longitud de cada lado del triángulo isósceles? c) La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 9 Si se permuta el orden de los dígitos se obtiene el número aumentado en unidades Cuál es el número? En cada caso, hallar las coordenadas del punto P a) b) r r r r P r r r r Cuadernillo de Trabajos Prácticos 0 P

11 6 En cada caso, dibujar los gráficos de las funciones lineales f g Representar sobre el eje R / f g escribirlo como un intervalo el conjunto a) f g b) f g 7 Martina se va de vacaciones con unos amigos desean alquilar un auto por 0 días Disponen de dos opciones: A: 0 pesos por día B: 60 pesos por día más un recargo de, pesos por km recorrido a) Si llamamos A B, respectivamente, a las funciones de gasto respecto a los km recorridos al cabo de los 0 días, hallar sus epresiones realizar un gráfico que represente cada opción b) Cuántos km deberían recorrer para que el gasto fuera el mismo con cualquiera de las opciones? c) Cuál opción les convendrá elegir si piensan recorre alrededor de 00km? 8 Una escultura de un cierto artista plástico, comprada ho cuesta $00 se sabe que aumenta su valor linealmente con el tiempo, de modo tal que, después de 0 años valdrá $600 Otra escultura del mismo artista, ho se vende a $000 se estima que dentro de años valdrá $600 a) Escribir la fórmula del valor V para cada una de las esculturas en función del tiempo ( ) b) Determinar cuál de las dos esculturas aumenta su valor más rápidamente c) En qué momento el valor de las piezas será el mismo cuál será dicho valor? 9 a) Dar una ecuación de una recta que pase por el punto (-,) que no se interseque con la recta de ecuación + = b) Hallar las ecuaciones de dos rectas perpendiculares que se intersequen en el punto (,) c) Encontrar la ecuación de la recta paralela a la recta r: =, que pasa por el punto de intersección de las rectas = / + e = / 9 FUNCIÓN CUADRÁTICA 0 En cada caso graficar la función cuadrática f, especificando coordenadas del vértice, eje de simetría concavidad de la parábola que representa hallar imagen, ceros, conjuntos de positividad negatividad e intervalos de crecimiento decrecimiento de f a) f b) f c) f 8 d) f e) f 6 f) f Teniendo en cuenta lo hecho en el ejercicio 0, Resolver las inecuaciones: i 0 ii 8 0 a) Calcular los puntos de intersección de los gráficos de las siguientes funciones graficar i f g f g ii iii f g iv f g V t V t Cuadernillo de Trabajos Prácticos

12 v f 8 g vi b) Observando el gráfico en cada caso, hallar el conjunto R / f g f g c) Para el caso i encontrar la ecuación de una recta, paralela al gráfico de g que no corte a la parábola a) Hallar las coordenadas del punto A, sabiendo que la parábola es el gráfico de f 8 el punto V es el vértice de la parábola b) Hallar los valores de para los cuales el gráfico de la parábola está por encima del de la recta A V Al producir un cantidad (en miles de toneladas) de cierto producto agropecuario se llegó a la conclusión que, de acuerdo al lugar donde viven los diferentes gastos que tienen, dos productores reciben ganancias mensuales (en miles de pesos) determinadas por las siguientes funciones: G 7 8 G 6 a) Graficar ambas funciones decidir cuántas toneladas deben producir ambos productores para obtener la misma ganancia b) Si los dos producen aproimadamente la misma cantidad de toneladas mensuales, para qué cantidades tiene más ganancia el primer productor? Más ejercicios Dada la parábola a a) Hallar el valor de a si se sabe que el eje de simetría es la recta b) Para el valor hallado en a) graficar la parábola indicando concavidad, vértice puntos de intersección con los ejes A R / c) Hallar 6 Teniendo en cuenta el dibujo sabiendo que el gráfico de f es una recta paralela a la recta de ecuación 8, a) hallar la función lineal f el conjunto de f g los tal que b) Determinar la función cuadrática g g f 7 Sea la parábola b a) Hallar R b para que la parábola pase por el punto, 0 b) Para el valor de b hallado en a), determinar la ecuación de la recta que pasa por el vértice de la parábola es perpendicular a la recta Cuadernillo de Trabajos Prácticos

13 a b 8 Los sistemas S : b a b S :, con a b positivos, están representados en b alguno de los gráficos siguientes Cuál corresponde a cada uno? 6 Respuestas a) El segmento de recta b) 0m c) Sí, recorrió apro 7m en seg d) a) 7h del de mao b) 0m bajo el nivel del mar c) 00m bajo el nivel del mar d) Desde las 7h del de mao hasta las del de mao e) Entre 0m por debajo del nivel del mar hasta 00m por encima del nivel del mar f) Entre las h del de mao hasta las la del de mao entre las las 9 del de mao g) A las h del de mao a la, 9 del de mao h) Entre las 7 las 9, entre las las del de mao entre las las 6 del de mao i) horas, entre las las de las de mao 7, 0,00,,, 9 j) d) Dominio de f e) Imagen de f f) Ceros de f g) Positividad de f,, 9 h) Intervalos de crecimiento estricto de f: 7,,,, 6 a) No b) Sí c) No d) Sí e) Sí f) No f, f 0, f, f 0, f a) f, pendiente: m b) f, pendiente: m c) f 7, pendiente: m 0 d) 6 a) Por ejemplo, 0,,,, b),7 r, r d) Punto de corte con el eje :, 0, punto de corte con el eje : 0 f, pendiente: m c) i k ii k iii k, 7 a) pendiente: m, ord al origen: b b) pendiente: m, ord al origen: b c) pendiente: m, ord al origen: b 0 d) pendiente: m, ord al origen: b e) pendiente: m 0, ord al origen: b 7 8 a) b) c) d) e) f) 9 La recta que pasa por A B tiene pendiente m la recta que pasa por B C tiene pendiente AB distancia al parque (m) tiempo(seg) Cuadernillo de Trabajos Prácticos

14 m BC Entonces mab mbc Por lo tanto las rectas que contienen a los lados AB BC son perpendiculares Luego, el triángulo es rectángulo en B 0 a) b) c) 7 d) e) f) 7 k a) Las rectas se intersecan en el punto b) Las rectas se intersecan en el punto c) Las rectas se intersecan en el punto d) Las rectas se intersecan en el punto a),, e) El sistema que resolviste es incompatible La solución es el conjunto vacío Las rectas no se cortan, son paralelas f) El sistema que resolviste es compatible indeterminado pues tiene infinitas soluciones En este caso las dos ecuaciones corresponden a la misma recta b) c) , 76 8, Se vendieron 0 plateas 0 palcos Los lados iguales miden 7,cm el otro,cm El número es 7 8 a) P,, r :, r : 7 6 a), b), 7 a) A 00 B 600, b) 0,0,,6 P, r :, r : b) 00km c) La opción A 8 a) V t 0t 00, V t 60t 000 b) La primera escultura c) Dentro de 0 años su valor será $600 9 a) b) Por ejemplo, las rectas e c) V 0,, eje de simetría: 0 Im f,, 0 a) vértice:, concavidad positiva (cóncava), 0 C,, C,,, C,, crece en 0,, decrece en,0 b) vértice: V 0,, eje de simetría: 0, concavidad negativa (convea), Im f,, 0 C,, C,, C,,, crece en,0, decrece en, c) vértice: V, 8, eje de simetría:, concavidad positiva (cóncava), Im f 8,, 0 C,, C,,, C,, crece en,, decrece en, d) vértice: V,8, eje de simetría:, concavidad negativa (convea), Im f,8, 0 C,, C,, C,,, crece en,, decrece en, e) vértice: V,, eje de simetría:, concavidad negativa (convea), Im f,, 0 C,, C,, C,,, crece en,, decrece en, f) vértice: V,, eje de simetría:, concavidad positiva (cóncava), Im f,, 0 Cuadernillo de Trabajos Prácticos

15 ,,, crece en, decrece en i S,, ii i ii a) Los puntos b) El intervalo 0 C C R C S,, 0, 0, c) Por ejemplo, la recta,0, a) No se cortan b) R - - iii - - a) El punto b), iv a) Los puntos, b) El intervalo,, v vi a) Los puntos b),, 0, 0, a) El punto b),, a) A, b) El intervalo, a) ó 7 toneladas b) Si producen entre 7 toneladas a) a=- b) cóncava hacia arriba (concavidad positiva), V=(;), intersección con eje ceros C 0 ={;-} puntos (;0) (-;0) Intersección con eje : ordenada al origen oo= punto de intersección (0;) c) (0;) 6 a) f()=/ ; (- ;0)U(;+ ) b) g()=-/(-) 7 a) b= b) =-7 8 S corresponde al gráfico S corresponde al gráfico 6 - Cuadernillo de Trabajos Prácticos

16 CPU MATEMATICA Práctica TRIGONOMETRÍA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Calcular los valores eactos de, cos, sen, tg tg α Calcular los valores eactos de los elementos indicados en los siguientes triángulos rectángulos su perímetro su área a) b) c) 60º α º α α 6 8 La distancia entre los edificios A B es de 0m Si el edificio A mide 98m de altura el ángulo de elevación desde el punto más alto del edificio A al punto más alto del edificio B es de º Calcular, aproimadamente, la altura del edificio B º B A 0m Hallar las medidas del lado del ángulo α a) Si además se sabe que la altura desde A es A b) 6 A α B 0º 0 α C Cuadernillo de Trabajos Prácticos 6 º B C

17 Respuestas, cos /, sen /, tg / tg / a) 0º b) c) º 0,,, perímetro, área,,, perímetro,, º 78 6º, perímetro, Aproimadamente 7m área área a) 0,9; º 8 b) 7 9,90; 98º 7 8 Cuadernillo de Trabajos Prácticos 7

18 Sean u (,), v (, ) a) Graficar b) Calcular graficar: i v u, v, w t ii u v, iii w (,0) Si, u, v,0 a) u, v w b) w, u v u v t CPU MATEMATICA Práctica VECTORES t 0, u v w, calcular la longitud de los vectores: u w iv v v t u w c) u u En cada caso, determinar todos los valores de k para que: a) u si u,k b) v si v k, c) w si w k, Dibujar un sistema de vectores (que representen fuerzas) determinar analítica gráficamente (método de la poligonal) la resultante la equilibrante del sistema Descomponer un vector en dos direcciones ortogonales entre sí Respuestas b) i v, ii u v 0, iii u v t, 7 8 iv u v w, 8 v 7 v t u w, a) u, v, w 6 b) uv, uw 9 c) u 0, u a) k 8 ó k 8 b) k 9 ó k c) k ó k Cuadernillo de Trabajos Prácticos 8

19 MATEMÁTICA CPU Práctica Problemas de aplicación Cuántos centímetros mide el perímetro de un triángulo equilátero cuo lado mide el doble que el lado de un cuadrado de perímetro 6cm? Santiago está preparando su puesto para la feria de ciencias que se realizará en su escuela Ha decidido poner como fachada un plancha de acrílico rectangular con un cuadrado cortado en el centro para atender a la gente El lado menor mide m el maor el cuádruple de la mitad del otro El perímetro del rectángulo es el doble del perímetro del cuadrado a) Si quiere pegar una cinta alrededor del contorno de la fachada, cuántos metros de cinta necesitará? b) Cuántos m de acrílico utilizará para armar el frente? Cuál es el área de la figura coloreada si su perímetro es 86cm? El contorno de una figura es el conjunto de líneas que la limitan, tanto eterior como interiormente 8 cm 7 cm El perímetro de una figura es la longitud de su contorno cm En la figura ha cuatro cuadrados cuas dimensiones son las que muestra la figura a 7 a 7 a 7 a a) Qué parte del cuadrado grande es la zona sombreada? b) Si el lado del cuadrado es 7cm, i cuántos centímetros cuadrados es el área de la zona sombreada? ii cuántos centímetros es el perímetro de la zona sombreada? La figura está formada por cuadrados superpuestos El área de la parte raada es 8cm Cuál es el la longitud del contorno de la zona blanca? Cuadernillo de Trabajos Prácticos 9

20 6 La figura está formada por dos cuadrados dos triángulos El triángulo gris es equilátero El área de cada cuadrado es 6cm el perímetro del triángulo raado es,9cm Cuál es perímetro de la figura? 7 El área de un cuadrado de lado a es 6cm Cuántos cm es el área de un cuadrado de lado a? 8 En un triángulo uno de sus lados mide 7,cm la altura correspondiente,cm La medida de otro de sus lados es 8cm, cuál es la medida de la altura correspondiente a este lado? 9 La guarda está formada por cuadrados triángulos isósceles El perímetro de cada cuadrado es cm el perímetro de cada triángulo es 0,8cm a) Cuál es el perímetro de la guarda? b) Cuál es el área de la guarda? 0 La figura está formada por dos cuadrados congruentes El perímetro de la figura es cm M es el punto medio de AB Cuál es área de la figura? B M A La figura está formada por un rectángulo cuatro triángulos equiláteros congruentes El perímetro del rectángulo es cm Cuál es el perímetro de la figura? Respuestas cm a) 6m b) m (9 8) cm = 6 cm a) /9 b) i cm ii 6cm 6 6 cm 6 6,9cm 7 6cm 8,cm 9 a) 08,8cm b) 60cm 0 7cm cm Cuadernillo de Trabajos Prácticos 0