EL MODELO DE PÓLYA CENTRADO EN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA INTERPRETACIÓN Y MANEJO DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Transcripción

1 EL MODELO DE PÓLYA CENTRADO EN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA INTERPRETACIÓN Y MANEJO DE LA INTEGRAL DEFINIDA Un estudio realizado con estudiantes de Ingeniería del Grupo 07 de segundo semestre del año 2006 de la Universidad de la Salle. Maribel Cortés Méndez y Nubia Galindo Patiño UNIVERSIDAD DE LA SALLE PROGRAMA DE MAESTRÍA EN DOCENCIA BOGOTA D.C. 2007

2 EL MODELO DE PÓLYA CENTRADO EN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA INTERPRETACIÓN Y MANEJO DE LA INTEGRAL DEFINIDA Un estudio realizado con estudiantes de ingeniería del grupo 07 del segundo ciclo del año 2006 de la Universidad de la Salle. Maribel Cortés Méndez y Nubia Galindo Patiño UNIVERSIDAD DE LA SALLE PROGRAMA DE MAESTRÍA EN DOCENCIA BOGOTA D.C. 2007

3 EL MODELO DE PÓLYA CENTRADO EN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA INTERPRETACIÓN Y MANEJO DE LA INTEGRAL DEFINIDA Un estudio realizado con estudiantes de ingeniería del grupo 07 del segundo ciclo del año 2006 de la Universidad de la Salle. Maribel Cortés Méndez y Nubia Galindo Patiño Trabajo de grado para optar el título de Maestría en Docencia Director: Paulo Emilio Oviedo UNIVERSIDAD DE LA SALLE PROGRAMA DE MAESTRÍA EN DOCENCIA BOGOTA D.C. 2007

4 DIRECTOR JURADO JURADO JURADO Bogotá, D. C. Enero de 2007

5 A NUESTRAS FAMILIAS

6 AGRADECIMIENTOS Las autoras expresamos nuestros más sinceros agradecimientos a: Doctor Paulo Emilio Oviedo, Director de la Investigación, por sus acertadas orientaciones, guía y acompañamiento durante todo el desarrollo de este trabajo. Doctor Fernando Vásquez, Director de la Maestría en Docencia de la Universidad De La Salle, por su valioso apoyo y oportuna colaboración.

7 CONTENIDO RESUMEN 9 INTRODUCCIÓN.10 JUSTIFICACIÓN PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA OBJETIVOS MARCO TEORICO Qué es la resolución de Problemas? Del Ejercicio al Problema Rasgos que caracterizan a los buenos Problemas Ejercicio La Resolución de Problemas en la Educación Matemática Una aproximación al concepto Problema Factores que intervienen en el proceso de Resolución de Problemas Matemáticos La Enseñanza de la Matemática desde una concepción basada en la Resolución de Problemas METODOLOGIA Enfocque de Investigación : Cualitativa Diseño: Investigación - Acción Características de la Investigación Acción.44

8 4.2.2 Proceso Instrumentos de Recogida de datos Proceso llevado a cabo para el desarrollo del trabajo CONCLUSIONES BIBLIOGRAFIA ANEXOS..66

9 RESUMEN En los cursos de matemáticas se ha venido encontrando un desfase entre el manejo algorítmico y el conceptual aplicado a la solución de problemas de situaciones reales, por tal motivo, se hace necesario diseñar estrategias didácticas que permitan cerrar esta brecha y así mejorar el desempeño del estudiante y futuro profesional. Bajo esta perspectiva, con el modelo de Polya centrado en la resolución de problemas, el enfoque de la metodología cualitativa, el diseño de la metodología investigación acción y con el apoyo del profesor, se busca desarrollar en el aula de clase, una actividad que mejore la interpretación y manejo de la Integral Definida, mediante la aplicación del Modelo de Polya centrado en la resolución de problemas de la vida real.

10 INTRODUCCIÓN En el documento del Ministerio de Educación Nacional, en la serie de los lineamientos curriculares en matemáticas, se afirma que: La actividad de resolver problemas ha sido considerada como un elemento importante en el desarrollo de las matemáticas y en el estudio del conocimiento matemático y en diferentes propuestas curriculares recientes se considera que la resolución de problemas debe ser eje central del currículo de matemáticas, es decir, un objetivo primario de la enseñanza y parte integral de la actividad matemática; Pero esto no significa que se constituya en un tópico aparte del currículo sino que se deberá permearlo en su totalidad y proveer un contexto en el cual los conceptos y herramientas sean aprendidos. En la medida en que los estudiantes van resolviendo problemas van ganando confianza en el uso de las matemáticas, van desarrollando una mente inquisitiva y perseverante, van aumentando su capacidad de comunicarse matemáticamente y su capacidad para utilizar procesos de pensamiento de más alto nivel. Analizando los anteriores planteamientos, surge la idea de llevar a cabo un estudio sobre resolución de problemas de contexto real con estudiantes de segundo semestre de ingeniería, grupo 07 de la Universidad de la Salle, que en el segundo ciclo del año 2006 pertenecían al espacio académico de Cálculo Integral, con el fin de motivar y despertar su interés para enfrentar situaciones problémicas, mediante la aplicación del Modelo de Polya centrado en la Resolución de Problemas, como estrategia didáctica en la modelación y solución de problemas que involucran el concepto de integral definida.

11 Se eligió, dentro de los métodos de investigación cualitativa, la investigaciónacción, por considerarlo como una alternativa metodológica que permite la producción de resultados como efecto de la interacción continua entre procesos de reflexión, observación, diseño, puesta en escena, análisis y teorización de los eventos educativos, la que permite optimizar los procesos de enseñanza aprendizaje; con base en este planteamiento, se tuvo en cuenta un ciclo del enfoque planteado por Carr y Kemmis, en sus cuatro aspectos: planeación, acción, observación y reflexión, los cuales al final del estudio se contrastaron con los que se desarrollan en el Método Magistral, bajo la perspectiva de que la solución de problemas es una interacción con situaciones problémicas con fines pedagógicos, se pudo establecer que en su estructura objetiva, la resolución de problemas da lugar a establecer relaciones entre los conocimientos en uso y los conocimientos con los que el problema es resuelto, además, permite desarrollar habilidad para comunicarse matemáticamente, argumentar los procesos realizados y mejora la interpretación y manejo de la integral definida 11

12 JUSTIFICACIÓN La educación matemática debería proveer a los estudiantes de una concepción de la matemática, de un sentido de la disciplina (su alcance, su poder, sus usos y su historia) y de una aproximación al hacer matemático, en el nivel adecuado a sus posibilidades, desde esta perspectiva, la enseñanza debería ser encarada como una comprensión conceptual más que como un mero desarrollo mecánico de habilidades que desarrolle en los estudiantes la habilidad de aplicar los contenidos que han aprendido con flexibilidad y criterio. Debería también proveer, la oportunidad de explicar un amplio rango de problemas y situaciones problemáticas, que vayan desde los ejercicios hasta los problemas abiertos y situaciones de exploración, ayudando a desarrollar un punto de vista matemático (Shoenfeld,1992) caracterizado por la habilidad de analizar y comprender, de percibir estructuras y relaciones estructurales, de expresarse oralmente y por escrito con argumentos claros y coherentes, es decir, debería preparar a los estudiantes para convertirse, lo más posible, en aprendices independientes, intérpretes y usuarios de la matemática Las investigaciones que han reconocido la resolución de problemas como una actividad muy importante para aprender matemáticas, proponen considerar en el currículo escolar de matemáticas aspectos como los siguientes: Formulación de problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas. Desarrollo y aplicación de diversas estrategias para resolver problemas. Verificación e interpretación de resultados a la luz del problema original. 12

13 Generalización de soluciones y estrategias para nuevas situaciones de problemas. Adquisición de confianza en el uso significativo de las matemáticas (NCTM, 1989: 71). Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas; no hay un conjunto de procedimientos o métodos que aplicándolos lleven necesariamente a la resolución del problema (aún en el caso de que tenga solución). Pero de ahí no hay que sacar en consecuencia, una apreciación ampliamente difundida en la sociedad: la única manera de resolver un problema es por ideas luminosas, que se tienen o no se tienen. Es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas que otras de su misma edad y formación parecida, que suelen ser las que aplican (generalmente de una manera inconsciente) toda una serie de métodos y mecanismos que suelen resultar especialmente indicados para abordar los problemas, son los procesos heurísticos (operaciones mentales) que se manifiestan típicamente útiles para resolver problemas. El conocimiento y la práctica de los mismos es justamente el objeto de la resolución de problemas y hace que sea una facultad entrenable y que se puede mejorar con la práctica, pero para ello hay que conocer los procesos y aplicarlos de una forma planificada, con método. Un estudiante cuyos estudios incluyan cierto grado de matemáticas tiene también una particular oportunidad, la cual se pierde, claro está, si ve a las matemáticas como la materia de la que tiene que presentar un examen final y de la cual no volverá a ocuparse una vez pasado éste. La oportunidad puede perderse incluso si el estudiante tiene un talento natural por las matemáticas, ya que él, como cualquier otro, debe descubrir sus capacidades y aficiones. Habiendo gustado el placer de las matemáticas, no las olvidará fácilmente, presentándose entonces 13

14 una buena oportunidad para que las matemáticas adquieran un sentido para él, ya sean como pasatiempo o como herramienta de profesión. No todos los alumnos llegan a comprender los contenidos matemáticos fijados en los curriculums oficiales de la enseñanza obligatoria: unos no pueden y a otros no les interesa en lo más mínimo, pero a todos les será necesario un cierto dominio en la comprensión de órdenes escritas y una cierta fluidez en la utilización de conceptos básicos tan necesarios para su futura ocupación laboral como para su vida. El estudiante dedica muy poco tiempo a la resolución de un problema. La dificultad no conlleva significativamente más tiempo de dedicación a resolverlo. En parte ello es consecuencia de la falta de hábitos en esforzarse por conseguir las propias metas. Es obvio que no disfrutan ante los retos intelectuales sino que, no están dispuestos a malgastar el tiempo pensando, sería conveniente intentar romper este círculo vicioso y hacerles disfrutar de los resultados a través del esfuerzo y dedicación y que mejor escenario que el aula de clase. Una parte importante de los errores en la resolución de problemas son las dificultades de comprensión lectora. La tendencia de operar todos los datos presentados, venga o no a cuento, certifica esta falta de comprensión global. El aprovechamiento de la actividad mental como elemento dinamizador de la práctica docente ha de tomar cuerpo a medida que el sistema educativo se generaliza y da paso a otras formas de organización del aula, en esta orientación, la construcción de conocimientos no se plantea como un cuestionamiento de la ideas de los alumnos, sino como resultado de las investigaciones realizadas para resolver problemas, lo cual constituye una forma de trabajo en el aula que favorece la expresión verbal y/o escrita de sus propias ideas y su confrontación con las de los otros, se pretende así, crear un ambiente que favorezca simultáneamente la acción Profesor Estudiante mediante la resolución de 14

15 problemas. Pero, esto por supuesto, exige por parte del profesor una cuidadosa planificación de los problemas a desarrollar según los contenidos programados y de la programación de la clase en cuanto se refiere al tiempo destinado en el aula para que los alumnos piensen, argumenten y refuten; esto conlleva a diseñar espacios académicos en el área de matemáticas, que permitan tomar como eje principal el Modelo de Pólya centrado en la resolución de problemas de la vida real para el desarrollo de sus contenidos. Con el fin de que los estudiantes de segundo semestre del grupo 07 de ingeniería de la Universidad de la Salle, además de desarrollar competencias, mejoren la interpretación y manejo de la integral definida, se hace necesario cambiar el Método Habitual de la enseñanza del cálculo integral y específicamente de la integral definida por el Modelo de Polya centrado en la resolución de problemas de la vida real, como estrategia didáctica que favorezca el desarrollo de la interpretación, la escritura, la argumentación y proposición, es decir, que propicie el desarrollo integral del estudiante, como lo establece la Misión de la Universidad de La Salle y lo convierte así, en un profesional competente en el mundo actual. 15

16 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En el aprendizaje de las matemáticas, la utilización de la resolución de problemas tiene gran incidencia debido a que las características y propósito del problema propuesto generan en los estudiantes procesos de argumentación que facilitan la construcción de conocimientos matemáticos y para los estudiantes se vuelve más interesante y dinámico éste proceso que el desarrollado en forma tradicional, en el que el profesor desarrolla todo el tema en forma magistral, resuelve ejemplos y luego propone ejercicios, dejando de lado la aplicación del tema a la solución de problemas de la vida real y sin dar la oportunidad al estudiante para que haciendo uso de sus preconceptos y de los nuevos conceptos, genere y resuelva situaciones problémicas. Los resultados de diversos estudios realizados y el desarrollado en la actividad de clase en la universidad han permitido determinar las dificultades de los estudiantes al resolver problemas; Entre ellas se pueden mencionar las siguientes: Poco dominio de procedimientos heurísticos, generales y específicos, para resolver problemas. Bajo nivel de análisis o análisis superficial de la situación problemática planteada en el enunciado del problema. Dificultad para planificar el proceso de resolución del problema: representación mental del enunciado del problema, aislamiento de la información relevante, organización de la información, planificación de Estrategias de resolución, aplicación de procedimientos adecuados, verificación de la solución, revisión y supervisión de todo el proceso de resolución. 16

17 Ausencia de conocimiento metacognoscitivo, lo cual le impide tener conciencia de los procesos y estrategias que utiliza para la resolución del problema y corregirlos en caso de ser necesario. Tendencia a operar directamente sobre los datos explicitados en el enunciado del problema. Dificultad para encontrar los datos intermedios, no explícitos en el enunciado del problema. Tendencia a mantenerse dentro de lo que exige el problema, sin ir más allá de su planteamiento. Bajos niveles afectivos y motivacionales hacia la matemática y hacia la resolución de problemas. Desconocimiento acerca de los tipos de conocimiento involucrados en la resolución de un problema. Estos hallazgos han constituido el centro de la preocupación por parte de todos los involucrados en la enseñanza de la matemática y se ha concluido que ellos son la causa, en primer lugar, del fracaso consistente y generalizado por parte de los estudiantes en la adquisición de las habilidades matemáticas requeridas en los diferentes niveles del sistema educativo; en segundo lugar, de la dificultad evidente para realizar todas aquellas actividades que impliquen procesos de naturaleza matemática y/o algebraica; en tercer lugar, del desconocimiento de la importancia de la matemática para la vida cotidiana y otras disciplinas; y finalmente, del desconocimiento de que la matemática no sólo constituye un área específica del conocimiento sino que está vinculada con la estructura de pensamiento de los individuos. El área de la resolución de problemas, específicamente en el campo de la matemática, ha sido objeto de interés por las diferentes corrientes del pensamiento que han dominado la teoría y la práctica educativa. Durante muchos años, el enfoque asociacionista enfatizó los principios generales del aprendizaje, particularmente la ley del efecto y la ley del ejercicio. Tanto la ejercitación como la 17

18 práctica han tenido un papel fundamental en la historia de la enseñanza de la matemática, especialmente, en la aritmética. En un momento fue el medio principal de instrucción, sin embargo, hoy en día, ambas forman parte del currículo de matemática, aunque acompañadas de experiencias concretas y explicaciones de los principios matemáticos subyacentes. Desde el punto de vista del enfoque cognoscitivo, sin embargo, se ha enfatizado el papel del razonamiento que permite al sujeto que resuelve el problema, comprenderlo, diseñar un plan, llevarlo a cabo y supervisarlo (Mayer, 1992). Este enfoque, según Schoenfeld (1985), representa un cambio de énfasis en la enseñanza de la matemática ya que en vez de preguntar cuáles procedimientos debe dominar el aprendiz?, la pregunta debe ser: qué significa pensar matemáticamente?. En vez de enfatizarse el producto de la resolución del problema (obtener un resultado correcto), este enfoque sugiere enfatizar el proceso de resolución (qué sucede en la mente del estudiante Cuando resuelve un problema), en este sentido la pregunta de investigación es: La utilización del modelo de Polya centrado en la resolución de problemas mejora la interpretación y el manejo de la integral definida en estudiantes de segundo semestre de ingeniería? 18

19 2. OBJETIVOS Utilizar el modelo de Polya de resolución de problemas como estrategia didáctica para mejorar la interpretación de la integral definida Evaluar los resultados de la aplicación del modelo mediante la resolución de problemas de la vida real 19

20 3. MARCO TEORICO Al dilucidar la problemática y adentrarnos en los procesos de resolución de problemas matemáticos resulta de utilidad revisar la contribución que hace Polya, sus aportes apuntan al establecimiento de principios que favorecen la resolución de problemas matemáticos como una forma del arte de descubrir e inventar en matemáticas, igualmente Schoenfeld propone una secuencia de acciones que, puede establecer una relación holística entre el problema, su resolución y las estrategias que puede emplear el sujeto para comprenderlo. Desde esta perspectiva los procesos propuestos por Schoenfeld pueden llegar a relacionarse con las heurísticas ya planteadas por Polya- más frecuentes en la resolución de Problemas: reconocer, describir la información, utilizar representaciones de diverso orden, preguntarse y lanzar conjeturas y comprobar posibles soluciones confrontándolas con los datos del problema. 3.1 QUE ES LA RESOLUCION DE PROBLEMAS? El término RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ha sido usado con diversos significados, que van desde trabajar con ejercicios rutinarios hasta hacer matemática profesionalmente. En los últimos años, se ha estudiado ampliamente la resolución de Problemas como fuente de aprendizaje de las Matemáticas y desarrollador de competencias, donde las características de la población estudiantil actual han 20

21 motivado a planificar e investigar las diversas formas de conceptualizar y manejar los procesos matemáticos por medios más prácticos y aplicados a situaciones de la vida real. Cómo resultado a ésta inquietud, se han desarrollado estudios, los cuales seguidamente se comentaran a grandes rasgos, en torno a la resolución de problemas y por supuesto se han trazado políticas educativas cuyo interés final ha sido el mejoramiento del nivel académico en los estudiantes. La estrategia de resolución de problemas implica crear un contexto donde los datos guarden cierta coherencia, lo cual la hace más significativa que la aplicación mecánica de un algoritmo. En forma sencilla podría decirse que la resolución de problemas consiste en hallar una respuesta adecuada a las exigencias planteadas, pero realmente la solución de un problema no debe verse como un logro final, sino como todo un complejo proceso de búsqueda, encuentros, avances y retrocesos en el trabajo mental, debe implicar un análisis de la situación ante la cual se halla, en la elaboración de hipótesis y la formulación de conjeturas; en el descubrimiento y selección de posibilidades, en la puesta en práctica de métodos de solución, entre otros. Las situaciones problemáticas son corrientes en la vida de las personas, los estudiantes se ven enfrentados frecuentemente a resolver problemas, pero qué es un problema? (Polya, en su libro Mathematical Discovery - capitulo 5), afirma que un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata. Otra definición, parecida a la de Polya es la de Krulik y Rudnik: Un problema es una situación, cuantitativa o de otra clase, a la que se enfrenta un individuo o un grupo, que requiere solución y para la cual no se vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma (Krulik y Rudnik, 1980). De ambas definiciones se infiere que un problema debe satisfacer los tres requisitos siguientes: 21

22 1. Aceptación. El individuo o grupo, debe aceptar el problema, debe existir un compromiso formal, que puede ser debido a motivaciones tanto externas como internas. 2. Bloqueo. Los intentos iniciales no dan fruto, las técnicas habituales de abordar el problema no funcionan 3. Exploración. El compromiso personal o del grupo llevan a la exploración de nuevos métodos para atacar el problema. R. Borasi (1986), en uno de sus primeros intentos en clarificar la noción de problema originada por su interés en mejorar la enseñanza de la resolución de problemas, utiliza los siguientes elementos estructurales para una tipología de problemas: 1. El contexto del problema, la situación en la cual se enmarca el problema mismo. 2. La formulación del problema, definición explícita de la tarea a realizar. 3. El conjunto de soluciones que pueden considerarse como aceptables para el problema. 4. El método de aproximación que podría usarse para alcanzar la solución. Tales elementos estructurales pueden dar origen a la siguiente clasificación: TIPO CONTEXTO FORMULACION SOLUCIONES METODO Ejercicio Inexistente Única y explicita Única y exacta Combinación de algoritmos conocidos Problema de texto Explícito en el texto Única y explícita Única y exacta Combinación de algoritmos conocidos Puzzle Explícito en el texto Única y explícita Única y exacta Elaboración de un nuevo 22

23 algoritmo. Acto de ingenio Prueba de una En el texto y sólo Única y explícita Por lo general Exploración del conjetura de forma parcial única, pero no contexto, necesariamente reformulación, elaboración de nuevos algoritmos Problemas de Sólo de forma Parcialmente dada. Muchas posibles, Exploración del la vida real parcial en el texto Algunas alternativas de forma contexto, posibles aproximada reformulación, creación de un modelo Situación Sólo parcial en el Implícita, se sugieren Varias. Puede Exploración del problemática texto varias, problemática darse una explícita contexto, reformulación, plantear el problema Situación Sólo parcial en el Inexistente, ni Creación del Formulación del texto siquiera implícita problema problema A partir de tal estudio, Borasi considera que, para ser un buen resolutor de problemas, un alumno debería intentar resolver no sólo muchos problemas, sino una gran variedad de los mismos, además, tan importante como resolver problemas es acostumbrarse a plantear problemas a partir de situaciones que requieren una formulación precisa de los mismos. Sin embargo, estas concepciones al igual que el término resolución de problemas varían ampliamente. Thompson (1992) señala que existe una visión de la matemática como una disciplina caracterizada por resultados precisos y procedimientos infalibles cuyos elementos básicos son las operaciones aritméticas, los procedimientos algebraicos los términos geométricos y los 23

24 teoremas; a saber matemática es equivalente a ser hábil en desarrollar procedimientos e identificar los conceptos básicos de la disciplina. La concepción de enseñanza de la matemática que se desprende de esta visión conduce a una educación que pone el énfasis en la manipulación de símbolos cuyo significado raramente es comprendido, Hersh (1988) afirma que La concepción sobre la matemática afecta la propia concepción sobre cómo debe ser enseñada. La manera de enseñar es un indicador sobre lo que uno cree que es esencial en ella el punto entonces no es cuál es la mejor manera de enseñar? Sino, de qué se trata la matemática? Una visión alternativa acerca del significado y la naturaleza de la matemática consiste en considerarla como una construcción social que incluye conjeturas, pruebas y refutaciones, cuyos resultados deben ser juzgados en relación al ambiente social y cultural. La idea que subyace a esta visión es que saber matemática es hacer matemática. Lo que caracteriza a la matemática es precisamente su hacer, sus procesos creativos y generativos. La idea de la enseñanza de la matemática que surge de esta concepción es que los estudiantes deben comprometerse en actividades con sentido, originadas a partir de situaciones problemáticas, estas situaciones requieren de un pensamiento creativo, que permita conjeturar y aplicar información, descubrir, inventar y comunicar ideas, así como probar esas ideas a través de la reflexión crítica y la argumentación. Esta visión de la educación matemática esta en agudo contraste con la de Thompson, en la cual el conocimiento y manejo de conceptos y procedimientos es el objetivo ultimo de la instrucción. El énfasis en la resolución de problemas como método integral para la enseñanza de la matemática, se apoya en la concepción que Ernest (1988) sintetiza así: hay una visión de la matemática (conducida por la resolución de problemas) como un campo de la creación y la invención humana en continua expansión, en el cual los patrones son generados y luego convertidos en conocimiento. Así, la matemática 24

25 es un proceso de conjeturas y acercamientos al conocimiento. La matemática no es un producto terminado, porque sus resultados permanecen abiertos a revisión 3.2 DEL EJERCICIO AL PROBLEMA En los problemas, aunque no es sencillo y quizás parezca superfluo, para entenderlos es necesario delimitarlos, así sea a grandes rasgos, pero, qué es lo que entendemos por problema? La palabra "problema" se usa en contextos diferentes y con diversos matices, trataremos de clarificar a qué nos referimos: Aunque las definiciones de los diccionarios generales no aportan mucha claridad, nos acerca más al sentido de qué es un problema, la expresión "problema de letra" que los alumnos emplean con frecuencia y son aquellos que hacen referencia a contextos ajenos a las matemáticas propiamente dichas, es decir, los que llevan dentro una cierta "historia" que se pueden contar, los que abren las ventanas del aula y hacen un puente (aunque sea frágil) entre las matemáticas y la vida real, los que consideramos como la matemática aplicada y funcional. Pero no es el único aspecto a destacar, hay que caracterizar los "problemas" por oposición a los ejercicios (algo bien conocido por los alumnos porque constituye el núcleo fundamental de su quehacer matemático). En los ejercicios se puede decidir con rapidez si se saben resolver o no los problemas; se trata de aplicar un algoritmo, que pueden conocer o ignorar y una vez localizado, se aplica y basta. Justamente, la proliferación de ejercicios en clase de matemáticas ha desarrollado y arraigado en los alumnos un síndrome generalizado, en el cual el alumno se mecaniza y se centra en la resolución de ejercicios más no de problemas ó si desarrollan algún problema lo realizan en base al contexto que manejan común a ellos como son los problemas de áreas y volúmenes en el caso de las ingenierías; en cuanto se les plantea una tarea a realizar, tras una somera reflexión, contestan: "lo sé" o "no lo sé", según hayan 25

26 localizado o no el algoritmo apropiado y ahí se acaban, por lo general, sus reflexiones. En los problemas no es evidente el camino a seguir; incluso puede haber varios y desde luego no está codificado ni enseñado previamente; hay que apelar a conocimientos dispersos, y no siempre de matemáticas; hay que relacionar saberes procedentes de campos diferentes, hay que poner a punto relaciones nuevas. Por tanto, un "problema" sería una pregunta a la que no es posible contestar por aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad, sino que para resolverla es preciso poner en juego conocimientos diversos, matemáticos o no, y buscar relaciones nuevas entre ellos. Pero además tiene que ser una cuestión que nos interese, que nos provoque las ganas de resolverla, una tarea a la que estemos dispuestos a dedicarle tiempo y esfuerzos. Como consecuencia de todo ello, una vez resuelta nos proporciona una sensación considerable de placer; e incluso, sin haber acabado el proceso, sin haber logrado la solución, también en el proceso de búsqueda, en los avances que vamos realizando, encontraremos una componente placentera. Aunque los rasgos fundamentales de lo que entendemos por problema están descritos en el párrafo anterior, todavía creemos conveniente añadir algunos comentarios adicionales sobre los mismos: 1. Los algoritmos que se suelen explicar en clase, o que aparecen en los libros de texto, resuelven grupos enteros de problemas, lo que pasa es que si no situamos previamente los problemas a los que responden, estamos dando la respuesta antes de que exista la pregunta y en ese contexto no es difícil de adivinar el poco interés con que se recibe la misma. 2. Las situaciones existen en la realidad, los problemas los alumbramos nosotros y pasan a ese estatus cuando los asumimos como un reto 26

27 personal y decidimos en consecuencia dedicarle tiempo y esfuerzos a procurar resolverlos. 3. La resolución de un problema añade algo a lo que ya conocíamos; nos proporciona relaciones nuevas entre lo que ya sabíamos o nos aporta otros puntos de vista de situaciones ya conocidas. Suponen el aporte de la chispa de la creatividad, aquella que aparece de cuando en cuando, y que logra, por utilizar la expresión de Koestler (1983), que dos y dos son cinco. 4. Esta resolución consiste en un conjunto de actividades mentales y conductuales, a la vez que implica también factores de naturaleza cognoscitiva, afectiva y motivacional; por ejemplo, si en un problema dado debemos transformar mentalmente metros en centímetros, esta actividad sería de tipo cognoscitiva, si se nos pregunta cuán seguros estamos de que nuestra solución al problema sea correcta, tal actividad sería de tipo afectiva, mientras que resolver el problema, con papel y lápiz, siguiendo un algoritmo hasta alcanzar su solución, podría servir para ilustrar una actividad de tipo conductual. A pesar de que estos tres tipos de factores están involucrados en la actividad de resolución de problemas, la investigación realizada en el área ha centrado su atención, básicamente, en los factores cognoscitivos involucrados en la resolución. Es interesante resaltar una vez más, la fuerte componente de compromiso personal en los problemas, y la importancia que tiene la manera en que se nos presenten para que los asumamos como tales; todo esto es de particular interés en la enseñanza, porque de cómo se plantea la cuestión, el contexto en que se sitúe y de la "tecnología" expositiva utilizada, depende en un porcentaje muy importante, el que un problema pase a ser considerado como tal por nuestros alumnos. 27

28 3.3 RASGOS QUE CARACTERIZAN A LOS BUENOS PROBLEMAS Cuando se quiere plantear un problema, hay que considerar qué tan bueno es para conseguir el objetivo propuesto, a continuación reseñamos y comentamos los rasgos más importantes que caracterizan a los buenos problemas (Grupo Cero, 1984): 1. No son cuestiones con trampas ni acertijos: Es importante hacer esta distinción en la enseñanza porque los alumnos, cuando se les plantean problemas, tienden a pensar que si no hay (o al menos ellos no lo recuerdan directamente) un algoritmo para abordarlos ni se les ocurre ningún procedimiento, seguro que lo que sucede es que tiene que haber algún tipo de truco o de "magia". La práctica sistemática de la solución de problemas hace que esa percepción habitual vaya cambiando. 2. Pueden o no tener aplicaciones, pero el interés es por ellos mismos: Así como hay problemas cuya importancia proviene de que tienen un campo de aplicaciones (y sin descartar que los problemas las tengan), también los hay en que el interés es por el propio proceso para su desarrollo; pero a pesar de ello, los buenos problemas suelen llevar a desarrollar procesos que, más tarde, se pueden aplicar a muchos otros campos. 3. Representan un desafío a las cualidades deseables en un matemático. Parece obvio para todo el mundo que existen unas cualidades que distinguen a las personas que resuelven problemas con facilidad, aunque si se tienen que señalar cuáles son, es bien difícil hacerlo y se tiende a pensar que coinciden en líneas generales con las cualidades propias de los matemáticos. 4. Una vez resueltos llama la atención proponerlos a otras personas para que ellas intenten resolverlos: Pasa como con los chistes que nos gustan, que los contamos enseguida a otros, y así se van formando cadenas que explican su rápida difusión. Lo mismo sucede con los buenos problemas. 28

29 5. Parecen a primera vista algo abordable: Inicialmente, puede pasar que alguna solución parcial sea sencilla o incluso inmediata. Desde un punto de vista psicológico, sólo nos planteamos aquello que somos capaces (o al menos eso creemos) de resolver. Por eso, si un problema sólo lo es para nosotros cuando lo aceptamos como tal, difícil es que nos "embarquemos" en una aventura que nos parezca superior a nuestras fuerzas. 6. Proporcionan al resolverlos un tipo de placer difícil de explicar pero agradable de experimentar: La componente de placer es fundamental en todo desafío intelectual, si se quiere que sea asumido con gusto y de manera duradera; Incluso, en la enseñanza, la incorporación de esos factores a la práctica diaria pueden inducir la inclinación de los estudios futuros y no hay que olvidar que las matemáticas son de las materias que no dejan indiferente, se las quiere o se las odia (como aparece en 7. múltiples estudios). Por ello más vale que introduzcamos refuerzos positivos para hacer que aumenten los que las aprecian. 3.4 EJERCICIO Considerando que el problema matemático es una actividad propia de la disciplina, frente a la cual el individuo debe actuar e ir en busca de formas que le permitan abordarlo para encontrar las posibles soluciones. La palabra Problema, en sentido relativo, se considera como una tarea que presenta dificultades intelectuales ante la cual el sujeto busca diversas formas de solución. Por lo tanto, una actividad para la cual previamente se cuente con un esquema de solución o un algoritmo para ser aplicado, no puede considerarse como un problema sino como un ejercicio. 29

30 3.5 LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA. A partir de lo anterior existe un acuerdo general en aceptar la idea de que el objetivo primario de la educación matemática debería ser que los alumnos aprendan matemática a partir de la resolución de problemas, sin embargo, dadas las múltiples interpretaciones del término, este objetivo difícilmente es claro. Cabe aclarar que también ha existido cierta polémica sobre la diferencia que hay entre un ejercicio y un autentico problema, lo que para algunos es un problema por falta de conocimientos específicos sobre el dominio de métodos algoritmos de solución, para los que sí los tienen es un ejercicio, pero la diferencia básica entre el concepto problema y ejercicio se centra en que una cosa es aplicar un algoritmo de forma más o menos mecánica, evitando las dificultades que introduce la aplicación de reglas cada vez más complejas, y otra, resolver un problema, dar una explicación coherente a un conjunto de datos relacionados dentro del contexto. La respuesta suele ser única, pero la estrategia resolutoria esta determinada por factores madurativos o de otro tipo. La estrategia de resolución de problemas es mucho más rica que la aplicación mecánica de un algoritmo, pues implica crear un contexto donde los datos guarden una cierta coherencia. Desde este análisis se han de establecer jerarquías: ver qué datos son prioritarios, rechazar los elementos distorsionadotes, escoger las operaciones que los relacionan, estimar el rango de la respuesta, etc. 3.6 UNA APROXIMACIÓN AL CONCEPTO PROBLEMA Según Stanic y Kilpatrick (1988) Los problemas han ocupado un lugar central en el currículum matemático escolar desde la antigüedad, pero la resolución de problemas, no, sólo recientemente los que enseñan matemática han aceptado la idea de que el desarrollo de la habilidad para resolver problemas merece una 30

31 atención especial. El término RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS se ha convertido en un slogan que acompañó diferentes concepciones sobre qué es la educación, qué es la escuela, qué es la matemática y por qué debemos enseñar matemática en general y resolución de problemas en particular. Según este autor, la utilización de los términos problema y resolución de problemas ha tenido múltiples y a veces contradictorios significados a través de los años, como se describe a continuación: Primer significado: resolver problemas como contexto Desde esta concepción los problemas son utilizados como vehículos al servicio de otros objetivos curriculares, jugando cinco roles principales: Como una justificación para enseñar matemática: al menos algunos problemas relacionados con experiencias de la vida cotidiana son incluidos en la enseñanza para mostrar el valor de la matemática Para proveer especial motivación a ciertos temas: Los problemas son frecuentemente usados para introducir temas, con el convencimiento implícito o explícito de que favorecerán el aprendizaje de un determinado contenido Como actividad recreativa: muestran que la matemática puede ser divertida y que hay usos entretenidos para los conocimientos matemáticos. Como medio para desarrollar nuevas habilidades: se cree que, cuidadosamente secuenciados, los problemas pueden proporcionar a los estudiantes, nuevas habilidades y proveer el contexto para discusiones relacionadas con algún tema. Como práctica: la mayoría de las tareas matemáticas en la escuela caen en esta categoría, se muestra una técnica a los estudiantes y luego se presentan problemas de práctica hasta que se ha dominado la técnica. 31

32 Sin embargo, en cualquiera de estas cinco formas, los problemas son usados como medios para algunas de las metas señaladas arriba., es decir, la resolución de problemas no es vista como una meta en sí misma, sino como un facilitador del logro de otros objetivos y tiene una interpretación mínima: resolver las tareas que han sido propuestas. Segundo significado: resolver problemas como habilidad. La mayoría de los desarrollos curriculares que ha habido bajo el término resolución de problemas a partir de la década de los 80 son de este tipo. La resolución de problemas es frecuentemente vista como una de tantas habilidades a ser enseñadas, esto es, resolver problemas no rutinarios es caracterizado como una habilidad a nivel superior, a ser adquirida luego de haber resuelto problemas rutinarios (habilidad que a su vez, es adquirida a partir del aprendizaje de conceptos y habilidades matemáticas básicas). Es importante señalar que, aún cuando en esta segunda interpretación del término los problemas son vistos como una habilidad en sí misma, las concepciones pedagógicas y epistemológicas que subyacen son precisamente las mismas que las señaladas en la interpretación anterior: las técnicas de resolución de problemas son enseñadas como un contenido, con problemas de práctica relacionados, para que las técnicas puedan ser dominadas Tercer significado: resolver problemas es hacer matemática Hay un punto de vista particularmente matemático acerca del rol que los problemas juegan en la vida de aquellos que hacen matemática, consiste en creer que el trabajo de los matemáticos es resolver problemas y que la matemática realmente consiste en problemas y soluciones. El matemático más conocido que sostiene esta idea de la actividad matemática es Polya con su trabajo a través del libro How to solve it (1954), en el cual introduce 32

33 el término heurística para describir el arte de la resolución de problemas, concepto que desarrolla luego en Matemática y razonamiento plausible (1957) y Mathematical Discovery (1981). La conceptualización de Polya sobre la matemática como una actividad se evidencia en la siguiente cita: para un matemático, que es activo en la investigación, la matemática puede aparecer algunas veces como un juego de imaginación: hay que imaginar un teorema matemático antes que probarlo; hay que imaginar la idea de la prueba antes de ponerla en práctica. Los aspectos matemáticos son primero imaginados y luego probados, y casi todos los pasajes de este libro están destinados a mostrar que éste es el procedimiento normal. Si el aprendizaje de la matemática tiene algo que ver con el descubrimiento en matemática, a los estudiantes se les debe brindar alguna oportunidad de resolver problemas en los que primero imaginen y luego prueben alguna cuestión matemática adecuada a su nivel (Polya 1954). Para Polya, la pedagogía y la epistemología de la matemática están estrechamente relacionadas y considera que los estudiantes tienen que adquirir el sentido de la matemática como una actividad, es decir, sus experiencias con la matemática deben ser consistentes con la forma en que la matemática es hecha. 3.7 FACTORES QUE INTERVIENEN EN EL PROCESO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS. Hasta el momento no hay ningún marco explicativo completo sobre cómo se interrelacionan los variados aspectos del pensamiento matemático, en este contexto, parece haber un acuerdo general sobre la importancia de estos cinco aspectos (Schoenfeld, 1992). 33

34 1. El conocimiento de base (los recursos matemáticos) Para entender el comportamiento individual de un sujeto puesto ante una situación matemática (ya sea de interpretación o de resolución de problemas), se necesita saber cuáles son las herramientas matemáticas que tiene a su disposición. Qué información relevante para la situación matemática o problema tiene a mano? Cómo accede a esa información y cómo la utiliza? En el análisis de rendimiento en situaciones de resolución de problemas, los aspectos centrales a investigar generalmente se relacionan con lo que el individuo sabe y cómo usa ese conocimiento, cuáles son las opciones que tiene a su disposición y por qué utiliza o descarta alguna de ellas. Desde el punto de vista del observador, entonces, el punto principal es tratar de delinear el conocimiento de base de los sujetos que se enfrentan a la situación de resolución de problemas. Es importante señalar que en estos contextos, el conocimiento de base pueda contener información incorrecta. Las personas arrastran sus concepciones previas o sus limitaciones conceptuales a la resolución de problemas y esas son las herramientas con las que cuentan. Los aspectos del conocimiento relevantes para el rendimiento en resolución de problemas incluyen: el conocimiento intuitivo e informal sobre el dominio del problema, los hechos, las definiciones y los procedimientos algorítmicos, los procedimientos rutinarios, las competencias relevantes y el conocimiento acerca de las reglas del lenguaje en ese dominio (Shoenfeld, 1985). En resumen, los hallazgos en la investigación señalan la importancia y la influencia del conocimiento de base (también llamado recursos) en la resolución de problemas matemáticos. Estos esquemas de conocimiento son el vocabulario y las bases para el rendimiento en situaciones rutinarias y no rutinarias de resolución. 34

35 2. Las estrategias de resolución de problemas (heurísticas) Las discusiones sobre las estrategias (o heurísticas) de resolución de problemas en matemática comienzan con Polya, quien plantea cuatro etapas: PRIMERO: COMPRENDER EL PROBLEMA. Cuál es la incógnita? Cuáles son los datos? Cuáles son las condiciones? Es posible satisfacerlas? son suficientes para determinar la incógnita, o no lo son? Son irrelevantes, o contradictorias? SEGUNDO: DISEÑAR UN PLAN. Se conoce un problema relacionado? Se puede replantear el problema? Se puede convertir en un problema más simple? Se pueden introducir elementos auxiliares? TERCERO: PONERLO EN PRACTICA. Aplicar el plan, controlar cada paso, comprobar que son correctos, probar que son correctos. CUARTO: EXAMINAR LA SOLUCIÓN. Se puede chequear el resultado? El argumento? Podría haberse resuelto de otra manera? Se pueden usar el resultado o el método para otros problemas?. 3. Los aspectos metacognitivos En el curso de una actividad intelectual, como por ejemplo, la resolución de problemas, en algún momento se hace un análisis de la marcha del proceso. Monitorear y controlar el progreso de estas actividades intelectuales son, desde el punto de vista de la psicología cognitiva, los componentes de la metacognición. Hallazgos de investigación en educación matemática señalan que el desarrollo de la autorregulación en temas complejos es difícil y frecuentemente implica modificaciones de conducta (desaprender conductas inapropiadas de control aprendidas antes). Estos cambios pueden ser realizados pero requieren largos períodos de tiempo. 35

36 Los aspectos metacognitivos se relacionan, con la manera en que se seleccionan y despliegan los recursos matemáticos y las heurísticas de que se dispone. 4. Los sistemas de creencias. Las creencias, concebidas como la concepción individual y los sentimientos que modelan las formas en que el individuo conceptualiza y actúa en relación con la matemática, comenzaron a ocupar el centro de la escena en la investigación en educación matemática, a partir de la última década, sobre lo anterior, Lampert (1992) señala: Comúnmente, la matemática es asociada con la certeza; saber matemática y ser capaz de obtener la respuesta correcta rápidamente van juntas. Estos presupuestos culturales, son modelados por la experiencia escolar, en la cual hacer matemática significa seguir las reglas propuestas por el docente; saber matemática significa recordar y aplicar la regla correcta cuando el docente hace una pregunta o propone una tarea; y la verdad matemática es determinada cuando la respuesta es ratificada por el docente. Las creencias sobre cómo hacer matemática y sobre lo que significa saber matemática en la escuela son adquiridas a través de años de mirar, escuchar y practicar Las creencias pueden ser consideradas la zona oscura o de transición entre los aspectos cognitivos y afectivos. Thompson (1992), reseño los estudios que documentan cómo los docentes difieren ampliamente en sus creencias sobre la naturaleza y el sentido de la matemática, así como en su visión sobre cuáles son los objetivos más importantes de los programas escolares de matemática, el rol de los docentes y los estudiantes en las clases de matemática, los materiales de aprendizaje más apropiados, los procedimientos de evaluación, etc. Estas investigaciones también han mostrado que existen relaciones entre las creencias y concepciones de los docentes de matemáticas por una parte y sus visiones sobre el aprendizaje y la enseñanza de la matemática y su propia práctica docente, por otra. 36

37 5. La comunidad de práctica Un gran cuerpo de literatura emergente en los últimos años, considera al aprendizaje matemático como una actividad inherente social (tanto como cognitiva) y como una actividad esencialmente constructiva, en lugar de receptiva. Hacia mediados de los 80, se produce una extensión de la noción de constructivismo desde la esfera puramente cognitiva, donde fue hecha la mayor parte de la investigación, hacia la esfera social. Muchas líneas de investigación cognitiva, se orientan hacia la hipótesis de que desarrollamos hábitos y habilidades de interpretación y construcción de significados, a través de un proceso más concebido como de socialización que como de instrucción. El aprendizaje es culturalmente modelado y definido: Las personas desarrollan su comprensión sobre cualquier actividad a partir de su participación en lo que se ha dado en llamar la comunidad de práctica, dentro de la cual esa actividad es realizada. Las lecciones que los alumnos aprendan acerca de la matemática en el aula son principalmente culturales y se extienden más allá del espectro de los conceptos y procedimientos matemáticos que se enseñan: lo que se piensa que la matemática es, determinará los entornos matemáticos que se crearán y aún la clase de comprensión matemática que se desarrollará. Se observa actualmente una tendencia a realizar investigaciones en educación matemática más centradas en entornos de aprendizaje naturales. 3.8 LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA DESDE UNA CONCEPCIÓN BASADA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Enseñar a partir de la resolución de problemas, tal como lo plantea Polya, se vuelve difícil para los docentes por tres razones diferentes: 37

38 1. Matemáticamente, porque los docentes deben poder percibir las implicaciones de las diferentes aproximaciones que realizan los alumnos, darse cuenta si pueden ser fructíferos o no y qué podrían hacer en lugar de eso. 2. Pedagógicamente, porque el docente debe decidir cuándo intervenir, qué sugerencias ayudarán a los estudiantes, sin impedir que la resolución siga quedando en sus manos, y realizar esto para cada alumno o grupo de alumnos de la clase. 3. Personalmente, porque el docente estará a menudo en la posición (inusual e incómoda para muchos profesores) de no saber trabajar bien sin saber todas las respuestas, requiere experiencia, confianza y autoestima. Por otra parte, distintos autores señalan que existe una urgente necesidad de proveer a los docentes con mayor información acerca de cómo enseñar a través de la resolución de problemas, destacándose tres aspectos principales a profundizar: 1. El rol del docente. 2. Lo que realmente ocurre en las clases centradas en la resolución de problemas 3. La investigación debe centrarse en los grupos y las clases como un todo y no en los individuos aislados. Es importante destacar el legado que dejó Pólya, el cual enriqueció a las matemáticas con un invaluable aporte en la enseñanza de estrategias para resolver problemas, estos son: Diez Mandamientos de Pólya: 1.- Interésese en su materia. 2.- Conozca su materia. 3.- Trate de leer las caras de sus estudiantes; trate de ver sus expectativas y dificultades; póngase usted mismo en el lugar de ellos. 38