UNIDAD IV FUNCIÓN LINEAL

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1 UNIDAD IV FUNCIÓN LINEAL RESUMEN FUNCIÓN LINEAL Definición: Una función f, que va del conjunto A en un conjunto B es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x en A uno y sólo uno de los elementos y = f(x ) en B. A está formado por todos los valores x para los cuales la regla de correspondencia f tiene sentido y se le llama DOMINIO DE LA FUNCIÓN. Al conjunto formado por todas las imágenes y = f(x), se le llama RANGO DE LA FUNCIÓN. Nota: Usualmente a x se le llama variable independiente, mientras que y se denomina variable dependiente. Definición: Se dice que una variable y es directamente proporcional a la variable x si la razón de dos valores correspondiente cualesquiera y x es constante, es decir si y x = k De forma equivalente, y es directamente proporcional a la variable x si y = kx el coeficiente k se llama constante de proporcionalidad y nos mide el aumento o la disminución de la variable dependiente por cada unidad de la variable independiente. La gráfica de y = kx es una recta que pasa por el origen del plano coordenado. 1. Si k > 0 la función y = k x es creciente. 2. Si k < 0 la función y = k x es decreciente. 3. Si k = 0 la función y = 0 es constante. Su gráfica es el eje X (abscisas). Nota: La constante de proporcionalidad k se interpreta como la pendiente m de la recta. 31 de 74

2 Definición: Una función lineal en la variable x, es una expresión del tipo o de manera equivalente f(x) = mx + b, y = mx + b, donde m, b son constantes. Su gráfica es una recta, donde m es la pendiente de la recta y b determina el punto de intersección de la recta con el eje Y (ordenadas). 1. Si m > 0 la función y = m x + b es creciente (figura I). 2. Si m < 0 la función y = m x + b es decreciente (figura II). 3. Si m = 0 la función y = b es constante. Su gráfica es paralela al eje X (figura III). (Figura I) (Figura II) (Figura III) 32 de 74

3 EJERCICIOS SOBRE FUNCIÓN LINEAL I. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN LINEAL, TABULACIÓN Y FORMA COMÚN. A. Cuáles de las siguientes ecuaciones determinan una función lineal? Justifica tu respuesta. 1. y = x y = x 3. y = x y = (x 1 3 )2 5. y = 1 x y = 6 4x 8 7. y = 2 3x 1 8. y = 2 x+3 9. y = 2x x 4y = 8 B. Usando ocho valores de x, obtén los correspondientes valores de y, construye una tabla y grafica en un plano coordenado cada una de las siguientes funciones lineales. 11. y = x y = x y = 4x y = 1 3 x y = 4x y = 1 2 x y = 1 5 x y = 1 3 x y = 3x y = 1 3 x 1 2 C. Cambiar las siguientes ecuaciones de dos variables a funciones lineales y graficar las funciones x 5y + 3 = x + 4y + 1 = x+y 2 = x y 5 = x 1 3 y = x y y + 4 = 3(x 1) 29. 2x + 3y = 4x + y (x 2y) + 1 = x + 2 (y + 4) x + y = 2 3 x y x+3y 4 = x+1 x y de 74

4 II. DETERMINACIÓN DE LA FUNCIÓN LINEAL DADOS ALGUNOS DATOS A. Obtén el modelo matemático de la función lineal que corresponde a cada una de las gráficas siguientes de 74

5 B. Para las parejas de datos (coordenadas) presentados: a. Obtén el valor de la pendiente m b. Obtén el valor de la ordenada en el origen b c. Construye la ecuación de la Función Lineal correspondiente de 74

6 C. Considerando que los datos presentados son componentes de puntos colineales: 44. a. Obtén el valor de las ordenadas y. b. Obtén el valor de la ordenada en el origen b. c. Construye la ecuación de la Función Lineal correspondiente D. Considerando que los datos presentados son componentes de puntos colineales: a. Obtén el valor de las abscisas x. b. Obtén el valor de la ordenada en el origen b. c. Construye la ecuación de la Función Lineal correspondiente de 74

7 III. PARÁMETROS DE LA FUNCIÓN LINEAL A. Llena la siguiente tabla y grafica cada una de las funciones lineales. Valor de m Valor de b Coordenada (0, b) Creciente o Decreciente Gráfica 51. y = 3x y = y = 2 7 x y = x y = 7x B. Variación de parámetros en la función lineal. Graficar en el mismo plano cartesiano los siguientes grupos de funciones lineales. 56. y = mx 5; con m = 6, 4, 2, 1, 0, 1, 2, 4, y = x + b; con m = 6, 4, 2, 1, 0, 1, 2, 4, IV. ECUACIONES A PARTIR DE GRÁFICAS A. Asocia a cada línea de la gráfica con su ecuación correspondiente (escribe la ecuación sobre la recta que corresponda) y establece para cada una cual es el valor de su pendiente. 58. y + 2 = x y = x 3y = y = 2 x m = m = m = m = 37 de 74

8 V. PROBLEMAS VERBALES 62. La ley de Hooke establece la relación lineal entre la deformación S y el perso W que causa el alargamiento. Para un resorte en particular, un peso de 5 libras provoca un alargamiento de 2 pulgadas, mientras que cuando no hay peso el alargamiento del resorte es igual a cero. a. Indica dos pares ordenados que representen la función. b. Determina la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos. c. Explica el significado de la pendiente en este contexto. d. Dibuja una gráfica de la función lineal que construiste. 63. Crees que cada vez que cortas el pasto es necesario cortarlo de nuevo inmediatamente? Da gracias a que no tienes que cortar la grama que crece en África y Asia. Esa planta crece a razón de 6 pulgadas/día. Supón que cortas una planta de grama a una altura de 2 pulgadas. a. Determina la ecuación que representa la altura de la planta h, después de t días. b. Si no la cortas de nuevo, Qué altura alcanzará la planta en una semana? c. c. Se Función puede Lineal mantener (FL) este ritmo de crecimiento indefinidamente? Explica. d. y=mx+b Dibuja una gráfica de la función lineal que construiste. 64. Microbiología. Un cultivo de bacterias se hace crecer en un caldo nutritivo líquido, dentro 1. Microbiología. de un tanque Un aireado cultivo de y bacterias con agitación se hace mediante crecer en una medio propela nutritivo para mantener el medio líquido, homogéneo dentro de (como un tanque se muestra aireado y en con la agitación figura). mediante Se toman una muestras propela para del cultivo cada mantener el medio homogéneo (como se muestra la figura). Se toman dos horas, observándose el siguiente comportamiento. Aire muestras del cultivo cada dos horas, observándose el siguiente comportamiento. Caldo Nutritivo Edad del cultivo (horas) Número de bacterias en 1 mililitro de caldo nutritivo a) Construye la gráfica con los datos que se te proporcionan en la tabla a. Construye la gráfica con los datos que se te proporcionan en la tabla. b) Suponiendo que el crecimiento bacteriano puede continuar infinitamente, b. Suponiendo construye que un modelo crecimiento matemático, bacteriano que permita puede conocer continuar el número de infinitamente, bacterias construye un modelo por mililitro matemático, en cualquier momento que permita a partir conocer del inicio el del número cultivo. Para de bacterias ello calcula por mililitro en la constante de proporción (pendiente de la recta) en la tabla anterior y cualquier auxiliarte momento de ella. a partir del inicio del cultivo. Para ello calcula la constante de proporción c) Si se toma (pendiente una muestra de la del recta) cultivo en a las tabla 13 horas, anterior Que y concentración auxiliarte de ella. bacterias por mililitro se tendrá en ese instante?. c. Si d) se Si toma me interesa una muestra detener del el cultivo cultivo en a las el momento 13 horas, que Que la concentración concentración de de bacterias por mililitro bacterias se por tendrá mililitro en sea ese de instante? 7.5 x 10 3, Que edad tendrá el cultivo en ese instante d. Si me interesa detener el cultivo en el momento que la concentración de bacterias 2. Modelos moleculares. Los alcanos por mililitro sea de 7.5 x 10 3 alifáticos lineales son moléculas orgánicas que se componen solo de carbono, Que e edad hidrógeno. tendrá El carbono el cultivo al en ser ese un átomo instante? tetravalente, acepta 4 enlaces sobre sí. De este modo se tienen las estructuras fundamentales siguientes: 38 de 74

9 65. Pago de un préstamo. Un estudiante universitario recibe un préstamo sin intereses de $8250 de un familiar. El estudiante pagara $125 al mes hasta pagar el préstamo. a. Expresa la cantidad P(en pesos) pendiente de pago en términos del tiempo t (en meses). b. Después de cuantos meses el estudiante deberá $5000? c. Trace, en un plano P vs. t una gráfica que muestre la relación entre P y t para la duración del préstamo. 66. Un invernadero produce flores siguiendo un modelo lineal. Si el primer año se produjeron flores y en el tercer año. a. Calcula el crecimiento anual en la producción de flores. b. Dibuja una gráfica de la función lineal que construiste. 39 de 74