MODELO DE OPTIMIZACIÓN MULTIPERÍODO DISYUNTIVO PARA EL PLANEAMIENTO DE LA PRODUCCIÓN DE CAMPOS DE PETRÓLEO

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1 MODELO DE OPTIMIZACIÓN MULTIPERÍODO DISYUNTIVO PARA EL PLANEAMIENTO DE LA PRODUCCIÓN DE CAMPOS DE PETRÓLEO A. C. Dukwen, M. S. Mren, D. Bri y A. Bandni Planta Pilt de Ingeniería Químia (Universidad Nainal del Sur - CONICET) Camin La Carrindanga, km Bahía Blana- Argentina adukwen@plapiqui.edu.ar Resumen. Este trabaj presenta un mdel de ptimizaión multiperíd para el planeamient de la prduión de un amp de petróle nveninal n tplgía de pzs nida. El prpósit de este mdel es determinar la peraión de ada pz del reservri en el hriznte de planeamient que permita satisfaer una demanda nida n el bjetiv de minimizar el st ttal de prduión. En la frmulaión se inrpra diretamente el mprtamient n lineal de la presión del pz n el tiemp. Además, debid a las flutuaines en las demandas de rud, el mdel nsidera que el hriznte de tiemp se divide en períds n neesariamente de igual lngitud, ls que a su vez se dividen en subperíds dnde el pz puede perar permaneer errad. El tiemp de ada sub-períd es una variable del mdel pr l que puede tmar diferentes valres en ada períd de tiemp y para ada pz. El mdel prpuest se frmula empleand prgramaión disyuntiva generalizada (PDG) y se refrmula m un prblema de prgramaión n lineal mixtentera (MINLP) empleand la relajaión big-m. Para ilustrar su mprtamient, se presentan ds ass de estudi que se resuelven en el sistema de mdelad GAMS. A quien debe dirigirse tda la rrespndenia. Tel: ; Fax: abandni@plapiqui.edu.ar 1

2 Palabras lave: Planeamient de la prduión, Optimizaión multiperíd, Prduión de petróle nveninal, PDG. 1. Intrduión La ptimizaión multiperíd en la industria químia y petrquímia ha reibid nsiderable atenión en ls últims tiemps. Este tip de prblemas invluran plantas de press dnde ls sts y demandas varían períd a períd debid al mprtamient del merad ambis estainales. El petróle es un reurs esas del que la siedad mderna depende masivamente. Este heh fuerza a la industria petrlera a ptimizar su prduión en ada períd de manera que su prvisión sea más efiiente, segura y enómia. Un amp de petróle nveninal está frmad pr un varis reservris dnde la extraión se realiza mediante una serie de pzs. Cada pz puede prduir durante varias déadas, pr l ual resulta imprtante nsiderar futuras ndiines para el planeamient de la prduión. Est puede ser inrprad dividiend el hriznte perativ en un númer de períds de tiemp, permitiend deisines de planeamient en ada un de ells (van den Heever y Grssman, 2000b). Durante la peraión, se debe abrir y errar el pz de manera periódia debid a las flutuaines de presión en la ba del mism, la ual presenta un mprtamient n lineal n respet al tiemp. La mbinaión de variables disretas/ntinuas, junt n el mprtamient n lineal de ls reservris, requiere un mdel de prgramaión mixt-entera n lineal (MINLP). Tradiinalmente, ls mdels MINLP se han evitad debid a las difiultades asiadas n las n linealidades. Sin embarg, trabajar diretamente n las mismas redue la pérdida de preisión y mejra la alidad de la sluión (van den Heever y Grssman, 2000b). En la bibligrafía se ha presentad varias frmulaines, prinipalmente para amps de petróle ffshre. Van den Heever y Grssman (2000b) prpusiern un enfque simultáne para la planifiaión de amps de petróle ffshre tratand las n linealidades de frma direta y reslviend el prblema en un tiemp mputainal raznable. En dih mdel, se asume que las ndiines de peraión se mantienen nstantes a través del hriznte de planifiaión. En tr trabaj, ests autres (van den Heever y Grssman, 2000a) intrdujern reglas enómias mplejas, m 2

3 tarifas e impuests, a la funión bjetiv del mdel prpuest para el diseñ y planeamient MINLP de un amp de petróle ffshre, inrementand en más de un rden de magnitud el esfuerz mputainal requerid. Pr tra parte, Haugland y Hallefjrd (1998) desarrllarn mdels mixt-enters lineales (MILP) para el diseñ y peraión en amps de petróle ntinental, mientras que Ortíz-Gómez y l. (2002) presentarn un mdel multiperíd MINLP para el planeamient de la prduión a rt plaz, nsiderand períds de tiemp de lngitud unifrme. Si bien en el trabaj se espeifia la psibilidad de que ada períd de tiemp se divida en un númer diferente de sub-períds, debid a la frmulaión del prblema est n es psible, bteniéndse igual númer de sub-períds para tds ls pzs y períds de tiemp. En este trabaj se realiza una nueva frmulaión multiperíd n lineal empleand prgramaión disyuntiva generalizada (PDG) para abrdar el prblema del planeamient de la prduión de un amp de petróle nveninal. El mdel permite ptimizar las variables de peraión del pres en ada períd de tiemp para ubrir la demanda de petróle en ada períd, n el bjetiv de minimizar el st de prduión ttal en el hriznte de planeamient. El hriznte de planeamient se divide en un númer determinad de períds de tiemp, n neesariamente de igual lngitud, dnde se ne la demanda de prduión. La peraión del pz urre en sub-períds, que pueden ser diferentes para ada períd de tiemp y para ada pz, atads entre una presión máxima, rrespndiente a la presión del reservri, y una presión mínima perativa pr debaj de la ual n resulta fatible la extraión de petróle. Para llevar a ab est se intrduj una nueva variable binaria en la prgramaión disyuntiva. Las deisines disretas en el mdel permiten determinar la existenia de subperíds dnde, a su vez, se tman deisines sbre errar el pz mantenerl abiert perand a un fluj nstante de prduión. Además, las deisines ntinuas del planeamient nsisten en determinar la lngitud de tiemp de ada sub-períd en el que ls pzs prduen permaneen errads y ls perfiles de prduión y presión en ada períd del hriznte de tiemp. 2. Desripión del prblema En este trabaj se nsidera el planeamient de la prduión de petróle de un númer NW de pzs perteneientes a un reservri a l larg de un hriznte de 3

4 tiemp de lngitud H dividid en NP períds de lngitud T n neesariamente iguales. Cada períd, a su vez, se puede dividir en un númer de sub-períds perteneientes al njunt K. Para ada pz i, se asume un audal máxim de prduión q up i el ual se mantiene nstante durante la peraión. La demanda de prduión de petróle es nida en ada períd de tiemp pudiend tmar valres diferentes debid a ambis estainales. Un análisis de ls pzs realizad pr Hrne (1998) revela que la presión en la ba de ls misms, a audal nstante, está dada pr la siguiente expresión: = P in 141.2q B Bμ kh 1 2 ln kt Φμ t r B (1) Dnde B, μ, k, h, Φ, t y r B sn prpiedades gelógias araterístias de ada pz, determinadas experimentalmente. P in es la presión en la ba de pz al mienz de la peraión (se asume igual a la presión del reservri al valr de presión al final del sub-períd anterir) y es la presión final en la ba de pz lueg de una peraión durante un tiemp t. En este trabaj se nsideran nidas las prpiedades gelógias del pz, pr l tant la E. (1) puede refrmularse m: = P in 1 q t ln t + 2 (2) Dnde 1 y 2 sn nstantes que resultan de la mbinaión de las prpiedades gelógias. La E. (2) es válida uand el pz está abiert. Si el pz se enuentra errad, la presión se determina mediante la E. (3). = P in + 1 re ln t + 2 re (3) re re Dnde 1 y 2 sn nstantes que resultan de la mbinaión de las prpiedades gelógias. Pr tra parte, a fin de reslver el mdel se han realizad las siguientes nsideraines: (i) ls pzs del reservri prduen independientemente uns de trs; (ii) la tplgía de ls pzs es nida; (iii) la presión del reservri se mantiene nstante en el hriznte de tiemp espeifiad; (iv) se asume un 4

5 mprtamient n lineal de la presión en ba de pz tal m l desriben las Es. (2) y (3); (v) la funión bjetiv se alula en términs de efiientes de sts que varían períd a períd debid a ambis estainales; (vi) si el pz se enuentra abiert, el audal máxim de petróle se mantiene nstante en ada sub-períd. Las prinipales restriines del prblema invluran evitar que la presión de ba de pz deaiga pr debaj de un valr mínim perativ P lw y que se satisfaga la demanda de prduión de petróle en ada períd. Las deisines de planeamient a l larg del hriznte de tiemp determinan el audal de petróle en ada períd j para ada pz i, el númer de sub-perids n ij en el que ada pz i pera ierra en el períd j, el perfil de presines de ada pz y la lngitud de tiemp de ada sub-períd. 3. Frmulaión del mdel Ls njunts, índies, variables, parámetrs y euaines se definen a ntinuaión. Cnjunts e índies P njunt de períds de tiemp (1 NP) K njunt de sub-períds de tiemp (1 NK) W njunt de pzs (1 NW) i, j, k índies rrespndientes al pz, períd de tiemp y sub-períd, i ϵ W, j ϵ P, y k ϵ K Variables ntinuas t tiemp de peraión del pz i, períd j y sub períd k t t max in P f P tiemp de errad en el pz i, períd j y sub períd k tiemp máxim de apertura para el pz i, períd j y sub períd k presión iniial en la ba del pz i, períd j y sub períd k presión final en la ba del pz i, períd j y sub períd k Q prduión de petróle en el pz i, períd j y sub períd k QT ij prduión ttal de petróle en el pz i, períd j tp tiemp de pres del pz i, períd j y sub períd k n ij númer de sub-períds del pz i, períd j 5

6 Variables binarias y 1 si el pz i está prduiend en el períd j y sub-períd k, 0 l ntrari w 1 si el k-ésim sub-períd existe en el períd de peraión j del pz i, 0 l ntrari z 1 si el pz i está errad y la presión de ba de pz supera el máxim valr permitid en un sub períd k, 0 l ntrari v 1 si el pz i está errad y la presión de ba de pz n va más allá del máxim valr permitid en un sub-períd k, 0 l ntrari x 1 si existen un ttal de k sub-períds en el períd j, 0 l ntrari Parámetrs C 1 i, C 2i prduiend parámetrs para el álul de la aída de presión del pz i uand está C re 1, C re i 2 parámetrs para el álul del inrement de presión del pz i uand i está errad D j P up demanda de rud en el períd j presión máxima de peraión del pz (presión del reservri) P lw presión mínima de peraión del pz BM big-m (límite superir adeuad para el residual de las restriines invluradas en las disyunines) Frmulaión empleand prgramaión disyuntiva generalizada La funión bjetiv del mdel es: min CPT = + ) i j(γ ij QT ij + k CP CPF ij (4) Sujet a: QT ij = k Q i, j (5) i QT ij D j j (6) in P +1 f = P i, j, k < NK (7) 6

7 t max t i, j, k (8) max ln t = in p lw pi C 1 i q i up C 2i i, j, k (9) n ij = k w i, j (10) w y tp = t Q = q i up tp = P in C 1 i q up i CP ln t = δ ij tp in P + C 2 i z = P i up y tp = t Q = 0 = α ij tp CP P in + C re 1 ln t i + C re up 2 P i i v = P in + C re 1 i re ln t + C 2 i in P (11) k in P ij +11 x f = P n ij = k k κ=1 j < NP j tp ijκ = T j j CPF k ij = κ CP j i (12) P in i11 = P up i (13) t, t, t max, tp, n ij, P in,, Q, QT ij 0 (14) 3.2. Refrmulaión big-m Las disyunines (10) y (11) se refrmulan utilizand el métd big-m. w w +1 i, j, k < NK (15) tp t tp t BM 1 1 y i, j, k (16) + BM 1 1 y i, j, k (17) Q q i up tp BM 2 1 y i, j, k (18) Q q i up tp + BM 2 1 y i, j, k (19) P in C 1 i q up i ln t + C 2 i BM 3 1 y i, j, k (20) P in C 1 i q up i ln t + C 2 i + BM 3 1 y i, j, k (21) CP CP δ ij tp BM 4 1 y i, j, k (22) δ ij tp + BM 4 1 y i, j, k (23) P in + BM 3 1 y i, j, k (24) tp t BM 1 y i, j, k (25) 7

8 tp t + BM 1 y i, j, k (26) Q BM 5 y i, j, k (27) Q BM 5 y i, j, k (28) CP CP α ij tp BM 6 y i, j, k (29) α ij tp + BM 6 y i, j, k (30) P up i BM 3 1 z i, j, k (31) P up i + BM 3 1 z i, j, k (32) P up i P in + C re 1 i ln t re + C 2 i + BM 7 1 z i, j, k (33) P in + C re 1 i ln t re + C 2 i BM 7 1 v i, j, k (34) P in + C re 1 i ln t re + C 2 i + BM 7 1 v i, j, k (35) P in BM 3 1 v i, j, k (36) k x = 1 i, j (37) in P ij +11 in P ij +11 BM 3 1 x i, j < NP, k (38) + BM 3 1 x i, j < NP, k (39) n ij k BM 8 1 x i, j, k (40) n ij k + BM 8 1 x i, j, k (41) z + v = 1 y i, j, k (42) CPF k ij κ CP + BM 6 1 x i, j, k (43) CPF k ij κ CP BM 6 1 x i, j, k (44) La funión bjetiv del mdel E.(4), nsiste en minimizar el st de prduión ttal, dnde se asume que hay una variable de st asiada al audal de prduión de petróle (γ ij ) y sts asiads a ada pz dependiend si pera (δ ij ) ierra (α ij ) en ada períd j. El audal ttal de petróle QT ij prduid en ada períd y para ada pz se alula mediante la E. (5). La E. (6) establee que se debe satisfaer la demanda en ada períd de tiemp. La ntinuidad de presines entre sub-períds se determina en la E. (7). El tiemp de peraión de ada pz debe ser menr que el tiemp que permite que la presión deaiga pr debaj del valr mínim (E. (8)). Dih tiemp máxim se define en la E. (9). La E. (10) permite alular el númer de subperíds en ada períd de tiemp. La disyunión (11) representa el mprtamient 8

9 de la presión en la ba de pz, así m también ls áluls de audales y sts, tant si el pz está prduiend m si está errad. La disyunión (12) permite determinar el númer de sub-períds para ada pz y períd de tiemp. Finalmente la E. (13) establee que la presión iniial para ada pz debe ser la presión del reservri. En resumen, el mdel MINLinal nsiste en minimizar el st ttal de prduión, representad pr la E. (4), sujet a las restriines (5)-(10), (13)-(44) y las tas neesarias para dihas restriines. Se desarrllan ds ejempls de mplejidad variable a fin de ilustrar el mdel presentad anterirmente, ls uales se reslviern mediante el sistema de mdelad GAMS. 4. Ejempls Ls ejempls fuern implementads y resuelts en el sftware GAMS El reslvedr merial emplead para ls prblemas MINLP es BARON Cas de estudi 1. Se ptimiza un reservri mpuest pr ds pzs dnde el hriznte de planeamient se divide en tres períds de tiemp de 30 días de lngitud ada un y la psibilidad de que ada pz pere permaneza errad en hasta uatr sub-períds de lngitud variable en ada un de ells. La demanda pr ada períd de tiemp es de 19600, 5000 y 8000 barriles. La Tabla 1 prvee ls valres de las nstantes que araterizan ls pzs, ls uales fuern elegids arbitrariamente, n el fin de tener ds pzs n araterístias diferentes. La Tabla 2 presenta ls efiientes de sts utilizads que fuern extraíds del trabaj de Ortíz-Gómez y l. (2002). La presión máxima que el pz puede alanzar uand está errad es la presión del reservri, 6009 psia, mientras que la presión mínima de peraión es de 5750 psia. Ls resultads de la rrida n el mdel se presentan en las Figs. 1 y 2, dnde se muestran las presines en la ba de pz a l larg del hriznte de tiemp para ls pzs i 1 e i 2, respetivamente. Cm se expus anterirmente, en este as de estudi el pz puede perar errar en hasta uatr sub-períds pr ada períd de tiemp, sin embarg, en ambs pzs en el períd 3 existen sól 3 sub-períds. El pz i 1 abre el primer sub-perid, lueg ierra para reuperar la máxima presión y vuelve a abrir en el 9

10 últim sub-perid, mientras que el pz i 2 ls últims 2 sub-perids permaneen errads. Para el audal espeifiad de 900 bbls/día, el pz i 1 uenta n un tiemp máxim de apertura, t max, de aprximadamente 7 días dad que en ese tiemp alanza la presión mínima perativa pr debaj de la ual la peraión n resulta fatible. Al llegar a ese valr mínim de presión, 5750 psia, el pz ierra a fin de reuperar presión y pder abrir nuevamente. El mdel permite que un pz abra pr un tiemp menr que el t max y lueg ierre para reuperar presión. En el as del pz i 2 el tiemp máxim de apertura es de aprximadamente 10 días, prduiend 5000 barriles en dih laps de tiemp. Finalmente, la Fig. 3 muestra ls audales de petróle prduids para ambs pzs en ada perid. El valr de la funión bjetiv en la sluión enntrada, es de $146520/añ. El as de estudi se reslvió en una mputadra Intel Cre TM i GHz n 4 GB RAM bteniéndse la sluión en un tiemp de 446 CPU segunds. Este resultad es una sluión fatible, n es la sluión óptima glbal puest que la diferenia de integralidad es del 10%. Tabla 1. Cnstantes de ls pzs para el as de estudi 1 Pz C 1 i C 2i C re re C 1i 2 i q i up bbls día i i *bbls: barriles, pr sus siglas en inglés (blue barrels). Pz Tabla 2. Dats de sts para el as de estudi 1 γ $ δ $ bbls día α $ día Períd 1 Períd 2 Períd 1 Períd 2 Períd 1 Períd 2 i i

11 Presión [psia] Presión [psia] VIII CAIQ2015 y 3 JASP Perfil de presión del pz i T1 T2 T tiemp[días] Fig. 1. Perfil de presión a l larg del hriznte de tiemp para el pz i Perfil de presión del pz i T1 T2 T tiemp[días] Fig. 2. Perfil de presión a l larg del hriznte de tiemp para el pz i 2. 11

12 barriles [bbls] VIII CAIQ2015 y 3 JASP Prduión de petróle T1 T2 T3 Períd de tiemp [días] i1 i2 Fig. 3. Prduión de petróle para ls pzs i 1 e i 2, en ada interval de tiemp Cas de estudi 2. A fin de demstrar la versatilidad del mdel se nsidera un reservri de h pzs, en un hriznte de planeamient de 30 días el ual se puede dividir en uatr sub-períds. Las Tablas 3 y 4 prveen ls valres de las nstantes que araterizan ls pzs, elegids arbitrariamente y ls efiientes de sts utilizads, tmads del trabaj de Ortíz-Gómez y l. (2002). Las Figs. 4 y 5 muestran la presión en la ba de pz a l larg del hriznte de tiemp para ls pzs i 3 e i 7 respetivamente. En este as la sluión enntrada establee la apertura de ls pzs i 1, i 3, i 5 e i 7 y el ierre de ls pzs i 2, i 4, i 6 e i 8 ya que n ls uatr primers se lgra satisfaer la demanda sliitada de barriles, debid a que el st de prduión ttal al perar n ls primers es menr. El valr de la funión bjetiv en la sluión enntrada, es de $55982,133/añ, bteniéndse en un tiemp de ómput de 368 CPU segunds. Este resultad es una sluión fatible, n es la sluión óptima glbal puest que la diferenia de integralidad es del 10%. 12

13 Tabla 3. Cnstantes de ls pzs para el as de estudi 2. Pz C 1 i C 2i C re re C 1i 2 i i i i i i i i i q i up bbls día Pz Tabla 4. Dats de sts para el as de estudi 2 γ $ δ $ α $ bbls día día Períd 1 Períd 1 Períd 1 i i i i i i i i

14 Presión [psia] Presión [psia] VIII CAIQ2015 y 3 JASP Perfil de presión del pz i T tiemp[días] Fig. 4. Perfil de presión a l larg del hriznte de tiemp para el pz i Perfil de presión del pz i T tiemp[días] Fig. 5. Perfil de presión a l larg del hriznte de tiemp para el pz i 7. 14

15 barriles [bbls] VIII CAIQ2015 y 3 JASP Prduión de petróle T1 Períd de tiemp [días] i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 Fig. 6. Prduión de petróle para ls pzs i 1, i 3, i 5 e i 7, en ada interval de tiemp 5. Cnlusines En este trabaj se ha presentad un mdel de ptimizaión multiperíd para el planeamient de la prduión de un amp de petróle nveninal. Debid a las variaines de demanda de rud, el hriznte de planeamient se divide en períds de tiemp, ls que a su vez se dividen en sub-períds dnde se determina si el pz pera permanee errad. Se nsideró un mprtamient n lineal de la presión del reservri n el tiemp, l que sumad a las deisines disretas invluradas en la frmulaión, resulta en un mdel MINLP. El mdel prpuest se frmula empleand prgramaión disyuntiva generalizada (PDG) y se refrmula mediante la relajaión big- M. Se presentan ds ejempls senills de 2 y 8 pzs respetivamente, para mstrar el funinamient del mdel. Si bien ests resultads permiten vislumbrar que el enfque de mdelad prpuest es ptenialmente útil para abrdar el prblema de planeamient perativ en un amp de petróle, resta muh trabaj pr realizar para adaptar esta metdlgía a una situaión real que implique alguns ients de pzs en un dad amp. Se están realizand ntats n una empresa n intereses en esta temátia, para pder dispner de una desripión e infrmaión realistas que permita explrar la apliabilidad real de este enfque. 15

16 6. Referenias Haugland D., Hallefjrd A. (1988). Mdels fr petrleum field explitatin. Eurpean Jurnal f Operatinal Researh. 37, Hrne R. (1998). Mdern well test analysis (2nd ed.). Petrway In. Pal Alt, CA, USA. Van den Heever S., Grssmann I., (2000a). Integrating mplex enmi bjetives with the design and planning f ffshre ilfield infrastrutures. Cmputers & Chemial Engineering. 24, Van den Heever S., Grssmann I., (2000b). An iterative aggregatin/disaggregatin apprah fr the slutin f a mixed-integer nnlinear ilfield infrastruture planning mdel. Cmputers & Chemial Engineering. 39, Ortíz-Gómez A., V. Ri-Ramírez, S. Hernández-Castr (2002). Mixed-integer multiperid mdel fr the planning f ilfield prdutin. Cmputers & Chemial Engineering. 26,