VARIABLE COMPLEJA. 1 Definición, propiedades y reglas de cálculo

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1 VARIABLE COMPLEJA LOS NÚMEROS COMPLEJOS 1 Definición, propiedades y reglas de cálculo Generalmente se introducen los diferentesconjuntosdenúmeros argumentando que en cada uno de estos conjuntos se puede resolver determinada ecuación algebraica. Así porejemplo,laecuación x 2=0tienesolución en los números naturales N,mientrasquelaecuación x + 2 = 0yanotienesolución en este conjunto N ;pararesolverlahayqueintroducirlosnúmeros enteros Z. Más aún, la ecuación 2x 1=0sólo puede resolverse introduciendo los números racionales Q. Hasta aquísetienequen Z Q. Sin embargo, la ecuación no lineal x 2 2=0notienesolución en los números racionales; su solución pertenece al conjunto de los números reales R, dehecho,alconjuntodelos números irracionales I = R\Q. Aún así, la ecuación x 2 +2 = 0 no tiene solución en R. Entoncesseintroducenlosnúmeros imaginarios, definiendo un nuevo número i como solución de x 2 = 1, y más generalmente se define ir como solución de x 2 = r 2. Equivalentemente, para r R, x = i r se considera la solución de x 2 +r =0. Finalmenteunnúmero complejo es definido como la suma de un número real y un número imaginario. La introducción de los números complejos es de gran ayuda en el Análisis, como veremos, incluso en el Análisis de funciones reales. Definición 1 El conjunto de los números complejos C es definido como C = {z = a + ib a, b R,i 2 = 1} Notación 2 Para un número complejo z = a + ib, a se llama la parte real de z la cual se denota por Re(z), mientrasqueb se llama la parte imaginaria de z la cual se denota por Im(z). La estructura algebraica de los números complejos esta basada en la definición de una suma y de un producto entre estos. Esta definición aprovecha operaciones entre números reales. Definición 3 Sean z 1 = a 1 + ib 1,z 2 = a 2 + ib 2 C,entoncessedefine la suma: z 1 + z 2 =(a 1 + ib 1 )+(a 2 + ib 2 )=(a 1 + a 2 )+i(b 1 + b 2 ); el producto: z 2 z 1 =(a 1 a 2 b 1 b 2 )+i(a 1 b 2 + b 1 a 2 ). Proposición 4 El conjunto de los números complejos conjuntamente con las operaciones recién definidas, (C, +, ), forma un campo. En particular: (C, +) es un grupo (aditivo) abeliano cuyo neutro es el cero z =0=0+i0. (C\{0}, ) es un grupo (multiplicativo) abeliano cuyo neutro es el uno z =1= 1+i0. 1

2 Para cada z 0(z = a + ib 0significa: a 0o b 0)existeelinverso multiplicativo z 1 dado por ( ) a z 1 = a 2 + b 2, b a 2 + b 2. Ejercicio 5 Demuestra con todo detalle la última proposición. Claro que el conjunto de los números reales R está contenidoeneldelos números complejos, puesto que para x Rvale que x = x + i 0=(x, 0) C. Observamos que el producto en C cuando es aplicado a dos números reales v, w coincide con el producto estándar en R, puestoquev = v + i0,w = w + i0, y entonces v w =(vw 0) + i (0 + 0) = vw. Si interpretamos cada número complejo como un punto en el plano Euclidiano R 2,tomandosuparterealysuparteimaginariacomosusdoscoordenadas, se hace evidente que la suma entre números complejos corresponde a la suma entre vectores de R 2 por coordenadas: Lema 6 El grupo aditivo de los número complejos (C, +) es isomorfo al grupo (R 2, +), dondelasumaentrevectoresder 2 se efectua por coordenadas, es decir, para z 1 =(a 1,b 1 ),z 2 =(a 2,b 2 ) R 2, z 1 + z 2 =(a 1 + b 1,a 2 + b 2 ). Dem. 7 Es obvio que el mapeo f : C R 2 dado para cualquier z = a + ib C por f(z) =f(a + ib) =(a, b) es un isomorfismo de (C, +) sobre (R 2, +). Como resultado, se justifica interpretar cada número complejo como vector del plano Euclidiano, y la suma entre números complejos corresponde a la suma entre vectores del plano y puede ser interpretada geometricamente como traslación entre vectores. Tales vectores pueden ser representados también por sus coordenadas polares, lo cual proporciona una representación alternativa de cada número complejo: Para (a, b) R 2 oequivalentementez = a + ib C,podemosescribira = r cos(θ), b = r sin(θ) oseaz = r(cos(θ)+i sin(θ)), donde θ es el ángulo entre el vector z yelejex, yr es la distancia entre el punto z yelorígen del sistema de coordenadas, vea figura 1. Se sigue que r = a 2 + b 2 y θ =arctan(b/a). Notación 8 Al número r se le llama el módulo de z ytambién es denotado por z. Elángulo θ es llamado el argumento de z yesdenotadoporarg(z). Un número complejo queda determinado por r = z y arg(z), hasta múltiplos de 2π, esdecir,arg(z) =θ +2πk, k =0, ±1,. Ejercicio 9 Encuentre los modulos y argumentos de los siguientes números complejos : 1, 1+i, 5+3i, 1 i, 5+3i, 5 3i, 5 3i. En coordenadas polares, la suma y el producto entre números complejos se ven como sigue: 2

3 Figure 1: Un número complejo en sus representaciones estándar y polar z = a + ib = r[cos(θ)+i sin(θ)]. Corolario 10 z 1 z 2 = z 1 z 2, arg(z 1 z 2 )=arg(z 1 )+arg(z 2 ). Dem. 11 z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos (θ 1 )+i sin (θ 1 ))(cos (θ 2 )+i sin (θ 2 )) = r 1 r 2 [cos (θ 1 + θ 2 )+ i sin (θ 1 + θ 2 )] Ejercicio 12 Usando la representación polar de un número complejo, calcula una fórmula para su raiz n-ésima, para n natural, n 2. Cada número complejo tiene un acompañante natural a él llamado el complejo conjugado, que se define como sigue: Definición 13 Sea z C.Elcomplejo conjugado de z = a + ib se define por z = a ib. Corolario 14 Se tiene z z = z 2. Ejercicio 15 Verifica las siguienes propiedades de los números complejos. Sean v, w C. 1) v + w = v + w, v w = v w; 2) v w = v w, ( ) v w = v w siempre cuando w 0; 3) v v = v 2 ; 3

4 2 Norma, métrica y abiertos en el plano de los números complejos Cuando interpretamos a un número complejo z = a + ib como punto o vector z =(a, b) der 2,esevidenteque z = a 2 + b 2 describe la longitud de este vector (es decir, su norma Euclideana en R 2 ), o equivalentemente su distancia Euclideana al punto cero. Más generalmente, para dos números complejos z 1 = a 1 + ib 1 y z 2 = a 2 + ib 2, z 1 z 2 = (a 1 a 2 ) 2 +(b 1 b 2 ) 2 describe la distancia Euclideana entre los dos vectores z 1 =(a 1,b 1 )yz 2 =(a 2,b 2 ), o equivalentemente la longitud del vector (z 1 z 2 ), o equivalentemente la longitud del segmento de línea recta que une los puntos z 1 y z 2. Los conceptos de norma ymétrica son estudiados con detalle en los primeros tres capítulos de la parte Análisis de este libro. Acontinuación definimos algunos conceptos que necesitaremos más adelante. Definición 16 Sea z C. La bola abierta centrada en z yconradioɛ (ɛ R, ɛ>0) esdefinidacomoelconjuntob ɛ (z) ={z C: z z <ɛ}.una bola abierta alrededor de z es una bola abierta centrada en z con algún radio positivo. Un subconjunto A de C se llama abierto si para todo z A existe una bola abierta alrededor de z la cual está contenidaena. Un subconjunto abierto de C también es llamado una región. UnsubconjuntoabiertodeC que contiene a un punto z es llamado una vecindad abierta de este punto z. Debido a que se usa la norma y metrica Euclideanas de R 2 sobre C, elespacio normado, métrico y topológico C es completamente equivalente al espacio Euclideano R 2,peroestosespaciosloestudiaremos en capítulos más adelante. Sin embargo, cabe notar que el producto definido sobre C causa que las estructuras algebraicas de C yder 2 son esencialmente diferentes: en C podemos dividir pero en R 2 no. Ejercicio 17 Verifica las siguienes propiedades de los números complejos. Sean v, w C. 1) v 0, v =0 v =0; 2) vw = v w, v w = v w para w 0; 3) v + w v + w. 3 Sucesiones de números complejos Las definiciones de los conceptos de una sucesión de números complejos y de su convergencia son análogas a los conceptos correspondientes para números reales, y más generalmente, reflejan los números complejos como elementos de un particular espacio métrico (vea Capítulo Convergencia en espacios métricos ). Para más claridad, veamos estas definiciones aquí brevemente: 4

5 Definición 18 Una sucesión de números complejos (o sucesión en C) es un mapeo f de los números naturales en C, f : N C,esdecir,f(n) =z n C, para todo n N. Se usan las notaciones comunmente conocidas (z n ) n 1 = (z n ) n N =(z n ) n=1 =(z n), otambién (z n ) n 0 =(z n ) n N {0}. Definición 19 Una sucesión de números complejos (z n ) n 1 se llama convergente en C si existe z Cyparatodoɛ>0 (ɛ R)existeunnúmero natural n ɛ tal que z n z <ɛpara todo número natural n n ɛ. En este caso z es llamado el límite de la sucesión, yseescribe n z n = z o z n z. Cuando no existe z X tal que (z n ) n 1 converge a z, sedicequelasucesión diverge oesunasucesión divergente. La equivalencia topológica entre el plano complejo C y el plano real Euclidiano R 2 (en ambos consideramos la norma/métrica Euclidiana) tiene la siguiente importante consecuencia: Cualquier sucesión en C puede ser vista como sucesión en R 2. Además, una sucesión en C converge si y sólo si las sucesiones correspondientes a la parte real ( primera coordenada ) y a la parte imaginaria ( segunda coordenada ) ambas convergen. Esta propiedad muestra que la convergencia en C es completamente determinada por la convergencia de sucesiones de números reales. Escribamos eso a continuación formalmente: Lema 20 Una sucesión (z n ) n N =(z n ) n=1 con z n = x n + iy n, x n,y n R para todo n N,convergesiysólo si las sucesiones (x n ) n N y (y n ) n N ambas convergen, cada una en R. Entoncesvaleque z n = z = x + iy si y sólo si x n = x y y n = y. n n n Ejemplo 21 Consideremos la sucesión de números complejos dada por ( (z n )= 1+ n) 1 n ( ) 2 + i, n N. n Aprovechando conocimiento sobre sucesiones de números reales, tenemos que ( 1+ n) 1 n 2 = e (número de Euler), lo cual implica n n z n = e + i 0=e. n Ejemplo 22 La sucesión de números complejos dada por ( ) 1 (z n )= n 2 + i( 1) n, n N n =0, no converge, es decir, es divergente, aunque la sucesión correspondiente a la parte real converge a 0. Sinembargo, lasucesión correspondiente a la parte imaginaria, y n =( 1) n es divergente. 5

6 Las reglas que ayudan a calcular límites de sucesiones de números complejos son análogas a reglas para sucesiones de números reales. A continuación reportamos solo las más importantes. Lema 23 Si (v n ) n N y (w n ) n N son sucesiones convergentes en C tales que n v n = v, w n = w, n entonces también son convergentes las sucesiones generadas como suma, diferencia, producto y cociente (con restricciones) de ambas, o mediante la norma olaoperación del complejo conjugado, y las siguientes reglas de cálculo son validas: (v n + w n )=v + w n (v n w n )=v w n (v n w n )=v w n n ( vn w n ) = v w,siw n 0 n, w 0 n v n = v n v n = v Además, se consideran sucesiones en C tendiendo al infinito o propiamente divergentes, con ayuda de las sucesiones correspondientes de números reales de las normas: Definición 24 Una sucesión de números complejos (z n ) n 1 se llama tendiendo al infinito o propiamente divergente en C, y se escribe z n =, siempre cuando z n =. n n 4 Series de números complejos Dada una sucesión de números complejos (z n ) n 0, se forma una serie como límite de una suma parcial, análogamente como para series de números reales: z n = n k=0 n z k. Debido a que el problema de la convergencia de una serie se reduce al problema de la convergencia de una sucesión, tenemos de nuevo caracterizaciones de la convergencia basadas en las partes real e imaginaria de la serie: 6

7 Lema 25 Sea z n una serie con z n = x n + iy n, x n,y n Rpara todo n 0. Entonces z n es convergente si y sólo si x n y y n ambas son convergentes. Además vale entonces que ( ) z n = x n + i y n. Un criterio muy importante para poder determinar la convergencia de una serie, es el siguiente: Lema 26 (Criterio de Cauchy) Una serie de números complejos z n converge si y sólo si para cualquier ɛ Rcon ɛ>0, existen natural tal que m>n n siempre implica que m <ɛ. k=n+1 z k Corolario 27 (Criterio necesario de convergencia de series) Si una serie de números complejos z n converge entonces la sucesión (z n ) n 0 converge a cero. Ejercicio 28 Demuestra el último corolario, aplicando el criterio de Cauchy. Ejercicio 29 Aplicando el criterio de Cauchy, demuestren (por contradicción) que la serie armónica 1 n es divergente. Nótese que este ejemplo también muestra que el criterio necesario de convergencia citado arriba no es suficiente. Análogamente como para series de números reales, se considera la convergencia absoluta: Definición 30 La serie mente convergente si z n de números complejos se llama absoluta z n es convergente en R. La convergencia absoluta de una serie implica su convergencia, pero la implicación contraria no es verdad. Por ejemplo, la serie ( 1) n converge, pero ( 1) n n n = 1 es divergente. n La suma y la multiplicación entre series son definidas como sigue: v n + w n = ( ) ( ) v n w n = (v n + w n ) ( n ) ( n ) v k w n k = v n k w k k=0 k=0 7

8 Ejemplo 31 Recordemos que la función exponencial de variable real x tiene la siguiente representación mediante una serie: e x = Si consideramos la misma serie pero ahora con una variable z compleja, podemos observar que z n n! = z n = e z. n! La función e z tiene una variable real, y sirve como acotación del valor de la serie para cada z. Enconsecuencia,laserieesabsolutamenteconvergenteypor lo tanto convergente. Eso significa que la función f(z) =e z = es definida para todo z C. Aplicandoladefinición del producto de series obtenemos ( ) ( x n ) ( y n n ) x n k y n = n! n! (n k)! k! k=0 ( n ) 1 n! = n! k!(n k)! xn k y k = k=0 x n n! z n n! lo cual contiene la fórmula del Binomio de Newton! 1 n! (x + y)n, es decir e x e y = e x+y. FUNCIONES DE VARIABLE COM- PLEJA 5 Continuidad y límites de funciones en el plano complejo En esta sección vamos a estudiar el comportamiento de funciones en el plano complejo, es decir, funciones definidas para números complejos y con valores complejos. Aunque hay muchas analogías al caso de las funciones reales, las diferencias substanciales entre funciones complejas y reales serán lo interesante yloutilizadomás tarde para simplificar cálculos complicados con funciones reales. Definamos primero una función compleja. 8

9 Definición 32 Una función compleja (también llamada función en el plano complejo) es un mapeo f : C Ctal que para z =(a + ib) C,elresultado de la aplicación de f tiene la forma f(a, b) =u(a, b)+iv(a, b), dondeu y v son funciones de R 2 en R. Muchas propiedades fundamentales de funciones reales (funciones de variables reales y con valores reales) se pueden extender al caso de las funciones complejas. Iniciemos con la definición de continuidad. Definición 33 Sea f : C C. La función compleja f se llama continua en z C,siparatodaɛ>0, conɛ R,existeδ>0, δ R,talque z z <δ implica que f(z) f(z ) <ɛ. Para A C, f se llama continua en A si f es continua en cada punto de A. Observemos que cuando interpretamos al número z como punto de R 2, z z es la distancia Euclideana entre los puntos z y z.intuitivamente,f es continua en z si para cualquier número complejo z suficientemente cerca de z, f(z )está arbitrariamente cerca de f(z). Figure 2: La función f(z) =x +2iy asocia a cada punto x + iy del plano complejo, el punto x +2iy. Ejemplo 34 La función f : C Cdada por f(z) =x+2iy la cual se representa graficamente en la figura 2, es continua en el punto cero (0, 0). Para ver eso, supongamos un ɛ >0 arbitrario. Necesitamos encontrar un δ tal que z <δ implique x +2iy <ɛ,esdecir,talque x 2 + y 2 <δimplique x 2 +4y 2 <ɛ. Pero eso es ciertamente verdad si escogemos por ejemplo δ = 1 2 ɛ,puestoque x2 +4y 2 = 4 x y2 =2 x y2 < 2 x 2 + y 2 < 2 ɛ 2,veafigura3. 9

10 Figure 3: En el plano complejo de la izquierda se muestra la región determinada por (x 2 + y 2 ) 1/2 <δ,mientrasqueenelplanodeladerechasemuestrala región determinada por (x 2 +4y 2 ) 1/2 <δ. Obsérvese que la región dada por (x 2 + y 2 ) 1/2 <ɛ<2δ contiene a la región dada por (x 2 +4y 2 ) 1/2 <δ. Ejercicio 35 Determinar si las siguientes funciones complejas son continuas en C, oensucaso, determinardónde no son continuas, usando la definición de contuidad: 1) f(z) =z 2 2) f(z) =x + i 2 y 3) f(z) = z x 2 +y 2 4) f(z) =z + z 5) f(z) = z 6) f(z) =z z 7) f(z) =z 2z 2 8) f(z) =(z +2) 2 La definición de límite en un punto para funciones complejas es también análoga a la definición de límite para funciones reales: Definición 36 Sean f : C C,yz 1,z 2 C. El límite de f cuando z tiende a z 1 es el número z 2,siparatodoɛ>0 existe δ > 0 con ɛ, δ Rtal que z z 1 <δ implica f(z) z 2 <ɛ.estehechosedenotapor f(z) =z 2. z z 1 La relación entre límite y continuidad está dada por la siguiente proposición, en analogía al caso de funciones reales: 10

11 Proposición 37 La función f : C Ces continua en z 1 C,conf(z 1 )=z 2 C si y sólo si z z1 f(z) =z 2. Dem. 38 Demostramos la suficiencia: Para ver que f es continua en z 1,sea ɛ >0, ɛ Rarbitrario. La suposión del límite implica entonces inmediatamente que existe δ>0, δ Rtal que z z 1 <δsiempre implica f(z) z 2 <ɛ. Si tomamos en particular un punto arbitrario z cerca de z 1,esdecir,talque z z 1 <δ,entoncesobtenemos f(z ) z 2 <ɛ. Pero tenemos f(z 1 )=z 2, así que, en realidad obtuvimos que f(z ) f(z 1 ) < ɛ, lo cual completa la demostración de la continuidad de f en z 1. Ejercicio 39 Demostrar la necesidad en la última proposición (es decir, que la continuidad de f en z 1 conjunto con f(z 1 )=z 2 implica que f tiene en z 1 el límite z 2 ). Ejercicio 40 Utilizando la proposición anterior, verificar si las funciones del ejercicio 35 son continuas y determinar los límites de las funciones en los puntos donde no son continuas. Muchas propiedades (y sus demostraciones) de los límites de funciones complejas son completamente análogas a las de funciones reales; por eso no incluiremos todas las demostraciones. Teorema 41 (Reglas de cálculo de límites para funciones complejas) Sean f(z) y F (z) funciones complejas cuyos límites para z teniendo al mismo punto z 0 existen y están dados por f(z) =w 0, z z 0 F (z) =W 0. Entonces z z 0 1) 2) 3) 4) Si f(z) =u(x, y)+iv(x, y) entonces z z 0 f(z) = z z 0 [f(z)+f (z)] = w 0 + W 0, [f(z)f (z)] = w 0 W 0, z z 0 f(z) z z 0 F (z) = w 0, si W 0 0. W 0 u(x, y)+i ( v(x, y)) x x 0,y y 0 x x 0,y y 0 11

12 Dem. 42 Supongamos que F (z) =U(x, y)+iv (x, y) y f(z) =u(x, y)+iv(x, y). Demostremos el insiso 3). Se tiene que f(z) z z 0 F (z) u + iv = z z 0 U + iv (u + iv)(u iv ) = z z 0 U 2 + V ( 2 uu = x x 0,y y 0 U 2 + V 2 + ( vu +i x x 0,y y 0 U 2 + V 2 ( u0 U 0 = U0 2 + V v ) 0V 0 U0 2 + V 0 2 ( v0 U 0 +i U0 2 + V 0 2 u ) 0V 0 U0 2 + V 0 2 vv ) U 2 + V 2 uv U 2 + V 2 donde en la última identidad hemos usados las correspondientes propiedades para funciones reales. Entonces, reagrupando de nuevo se obtiene que f(z) z z 0 F (z) = u 0 + iv 0 U 0 + iv 0 Ejercicio 43 Demostrar las otras propiedades del teorema usando propiedades análogos de límites de funciones reales. En base de la propiedad 4) podemos utilizar los teoremas y métodos comúnes para funciones reales para obtener límites de funciones complejas. Esta estratégia usaremos constantemente en adelante. ) 6 La derivada en el plano complejo y funciones holomorfas La definiciónde la derivada parauna función de unavariablecomplejaesanáloga aladeladerivadadeunafunción de una variable real. Ya hemos mencionado antes que una función compleja f : C Cpuede ser vista también como una función f : R 2 R 2 de dos variables reales. Definición 44 Sea f : C Cdefinida en una vecindad abierta de z C. La derivada de f en z se define como f (z) = df dz = z 0 f(z + z) f(z). z La función f se llama (complejo) derivable en z si este límite existe. 12

13 Ejemplo 45 Para la función compleja constante, f : C C, f(z) =c para todo z C,seobtieneparaz C arbitrario que f (z) = df dz = f(z + z) f(z) c c = z 0 z z 0 z = 0=0. z 0 En consecuencia, la función constante es complejo derivable en todo C. Ejemplo 46 Sea n un número natural arbitrario y consideremos la función compleja f : C Cdada por f(z) =z n. Esta función también es complejo derivable en todo C, ysuderivadaparacualquierz C es f f(z + z) f(z) (z + z) n z n (z) = = z 0 z z 0 z ((z + z) z) [(z + z) n 1 +(z + z) n 2 z + +(z + z)z n 2 + z n 1 ] = z 0 z = (z + z 0 z)n 1 +(z + z) n 2 z + +(z + z)z n 2 + z n 1 = n z n 1 Ejemplo 47 Para la función compleja f(z) =2x+2iy, laderivadaenelpunto cero z =0=0+0i está dadapor df f( z) f(0) 2x +2iy dz = = z=0 z 0 z x 0,y 0 x + iy =2 donde hemos escrito z = x + iy, asíqueellímite y por tanto la derivada es 2. Del ejemplo anterior es claro que la función compleja f(z) puedeservista como función f : R 2 R 2 de dos variables reales: f(x, y) =(2x, 2y), la cual también es derivable. Para determinar el límite correspondiente para z = x+iy tendiendo a 0 C,oequivalentemente,para(x, y) tendiendoa(0, 0) R 2, es importante que el resultado no dependa de la trayectoria en el plano R 2 = C sobre la cual el vector (x, y) seacercaalvector(0, 0). Trayectorias particulares muy comunmente usadas en el plano se basan en movimientos horizontales y verticales, vea figura 4. Eso corresponde a considerar primero la tendencia x 0ydespués la tendencia y 0, o en el orden contrario. El límite para (x, y) (0, 0) sólo puede existir si el límite para x 0yluegoy 0existe ycoincideconellímite para y 0yluegox 0; también se dice que los límites para cada variable conmutan. Veamos otro ejemplo. Ejemplo 48 La derivada de la función compleja f(z) =x +2iy en el punto z =0=0+0i está dadapor df f( z) f(0) x +2iy dz = = z=0 z 0 z x 0,y 0 x + iy = x 2 +2y 2 + ixy x 0,y 0 x 2 + y 2 pero aquí los límites de las dos variables no conmutan. Si consideramos primero la tendencia x 0 yluegoy 0, veanlafigura4,obtenemos 13

14 Figure 4: Dos trayectorias de acercamiento de x + iy al punto 0. df dz =2 z=0 Sin embargo, si consideramos primero el límite para y 0 yluegoparax 0, obtenemos df dz =1 z=0 Estos dos resultados distintos implican, aprovechando conocimientos de límites para funciones de dos variables reales, que f como función de dos variables reales NO es derivable en el punto z =0 R 2. Pero el argumento de haber encontrado dos trayectorias de acercamiento z 0 que proporcionan distintos resultados para z 0 z f( z) f(0) implica de igual manera que f NO es complejo derivable en el punto z =0. Ejercicio 49 Usando la definición, encontrar la derivada, cuando existe, de las funciones complejas del ejercicio 35. En su caso, decir en cuáles puntos la función no es complejo derivable. Para derivadas de funciones complejas valen propiedades y reglas de cálculo análogas al caso de funciones reales. A continuación se reportan las más importantes reglas: 14

15 Proposición 50 Sean f,g : C Cfunciones ambas derivables en el punto z. Entonces f + g, f g, f g son derivables en z, yvalenlassiguientesreglasde cálculo: (f + g) (z) =f (z)+g (z), (f g) (z) =f (z) g (z); (f g) (z) =f (z)g(z)+f(z)g (z). ) (z) = f (z)g(z) f(z)g (z) (g(z)) 2. ( Si además g(z) 0,entonces f g es derivable en z y f g Si h : C Ces una función derivable en el punto f(z) entonces la concatenación g f es derivable en z y (g f) (z) =g (f(z)) (regla de la cadena). Ejercicio 51 Demostrar la proposición anterior. Como vimos en las reglas de cálculo arriba, las fórmulas de derivación para funciones complejas son las mismas que las usadas para funciones de (dos) variables reales, siempre cuando sabemos que la derivada existe. El problema es averiguar cuándo una función compleja es derivable. Una forma sencilla de determinar si una función compleja es derivable o no, se basa en las condiciones de Cauchy-Riemann las cuales son reportadas a continuación. El siguiente teorema también establece la relación entre la derivabilidad de una función compleja y la diferenciabilidad de la correspondiente función de dos variables reales. Teorema 52 (Condiciones de Cauchy-Riemann) Sea f : C Cuna función definida en una región (subconjunto abierto) de C la cual contiene al punto z = x + iy. Además, supongamos que f(z) =u(x, y)+iu(x, y), donde u, v son funciones de dos variables reales continuas y con derivadas continuas (se dice que u, v son de clase C 1 ). Entonces f es complejo derivable en z si y sólo si u (x, y) = v x y (x, y) y u y v (x, y) = (x, y). x Nótese que las condiciones del teorema sobre la existencia y continuidad de las derivadas de las funciones u, v significan que la función f considerada como función de dosvariablesreales, es diferenciable. La función u es llamada la parte real de la función f, v es la parte imaginaria de f. Enlosiguientevamosa escribir también de manera abreviada u x por ejemplo u y, v x, v y. en lugar de u x Dem. 53. ) Supongamos que f es derivable en z. Entoncesellímite f (z) = df dz = f(z + z) f(z) z 0 z (x, y), y similarmente existe y es único. Según teoremás del límite para funciones de dos variables reales, este límite entonces no depende de la trayectoria por la cual se realiza 15

16 el acercamiento al punto z ( z 0). Tomemos dos trayectorias diferentes: 1) y 0 yluego x 0, ylatrayectoria2) x 0 yluego y 0. Para la trayectoria 1) df dz = y 0 u(x, y + y) u(x, y) i y Para la trayectoria 2) se tiene df dz = u(x + x, y) u(x, y) x 0 x + i + i v(x, y + y) v(x, y) i y v(x + x, y) v(x, y) x = i u y + v y = u x + i v x Eso implica las condiciones de Cauchy-Riemann. ) Supongamos que se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann. Debido a que u, v son continuas y con derivadas continuas (de clase C 1 ), podemos escribir por el teorema del valor medio que u = u(x + x, y + y) u(x, y) = u u x + x y y + ɛ 1 x + ɛ 2 y donde ɛ 1 y ɛ 2 tienden a cero cuando x y y tienden a cero. Lo mismo para v. Entonces f = f(z + z) f(z) = u + i v = u u x + x y y + ɛ 1 x + ɛ 2 y +i( v v x + x y y + ɛ 3 x + ɛ 4 y) Debido a que las condiciones de Cauchy-Riemann se cumplen, tenemos f = u v x x x y + ɛ 1 x + ɛ 2 y +i( v u x + x x y + ɛ 3 x + ɛ 4 y) = u v ( x + i y)+i x x ( x + i y)+ xδ 1 + yδ 2 donde δ 1 y δ 2 son combinaciones lineales de las ɛ s. Entonces se cumple que f z = u x + i v x + x z δ 1 + y z δ 2 Ahora bien, x z y y z, porlotanto x/ z 1 y y/ z 1. Asíque f f (z) := z 0 z = u x + i v ( ) u x = i y + i v y ya que los últimos términos tienden a cero, cuando z 0. Por lo tanto la derivada de f(z) existe. 16

17 Funciones complejas que son derivables en toda una región (un conjunto abierto de C), son de especial interés e importancia. Definición 54 Una función f : C Cdefinida en una región (un subconjunto abierto de C) se llama holomorfa si es derivable en toda esta región. Veremos más tarde que cualquier función holomorfa puede ser representada como una serie de potencias. Funciones con esta última propiedad se llaman analíticas. Es uno de los hechos importantes que distinguen las funciones complejas de las funciones reales: para funciones complejas la propiedad de ser holomorfa, coincide con la propiedad de ser analítica. Ya conocimos varios ejemplos de funciones complejas que son derivables en todo C, estassonfuncionesholomorfas.veamosalgunosotrosejemplos. Ejemplo 55 Para la función compleja f(z) = z 2 = z z = x 2 + y 2,tenemos que u(x, y) =x 2 +y 2, v(x, y) =0las condiciones de Cauchy-Riemann son como sigue: y u x =2x; u y =2y; v y =0 v x =0 Estas condiciones solamente se cumplen para z =0=0+0i. Eso implica que z 2 no es holomorfa, puesto que sólo es derivable en z =0. Ejemplo 56 Por otro lado, para la función f(z) =z 2 =(x + iy) 2 = x 2 y 2 + 2ixy se tiene que u = x 2 y 2 y v =2xy, asíque u x =2x, v y =2x, u y = 2y, v x =2y Eso significa que las condiciones de Cauchy-Riemann se cumplen siempre para esta función, por lo que z 2 es una función compleja holomorfa (en todo el plano C). Acontinuación veremos un ejemplo de una función compleja que no es complejo derivable pero es deferenciable cuando es considerada como función de dos variables reales. Ejemplo 57 Trataremos de calcular la derivada de la función que asigna a cada número complejo su complejo conjugado, f(z) = z, enunpuntoz C arbitrario. f (z) = f(z + z) f(z) z + z z z = = z 0 z z 0 z z 0 z. 17

18 Ahora, z es un número complejo. Analicemos dos casos particulares: Si z es puramente real, es decir, z = x + i 0, entonces z 0 significa x 0 ytenemosque z z 0 z = x x 0 x =1=1. x 0 En cambio, si z es puramente imaginario, es decir, z =0+i y, entonces z 0 significa y 0 ytenemosque z z 0 z = iy y 0 iy no existe, puesto que el compor- z Con eso es claro que el límite z 0 z tamiento de la función z = ( 1) = 1. y 0 z no es el mismo siempre para la tendencia z 0. En consecuencia, f no es complejo derivable para cualquier punto z C. Otro argumento más corto para este hecho es que las condiciones de Cauchy no se cumplen, puesto que tenemos u(x, y) =x, v(x, y) = y, asíque u x (x, y) = 1, v (x, y) = 1 y u v (x, y) = (x, y) =0 y x Sin embargo, la (misma) función f pero ahora considerada como de dos variables reales, f : R 2 R 2, f(x, y) =(x, y), esdiferenciableentodor 2. Ejercicio 58 Verificar que la función f : R 2 R 2 dada por f(x, y) =(x, y), es diferenciable en todo R 2. Ejercicio 59 Usando las condiciones de Cauchy-Riemann, verificar cuáles de las funciones complejas del ejercicio 35 son holomorfas y en cuál región, y en cuáles puntos no son derivables. En la siguente proposición reportamos algunas propiedades relacionadas a operaciones entre funciones, las cuales ayudan tanto en la determinación de la derivabilidad como también en el cálculo de la derivada. Recordemos que para funciones reales f,g : R R, se definen nuevas funciones reales mediante operaciones entre funciones por puntos, por ejemplo (f + g)(x) =f(x) +g(x), (kf)(x) =k f(x). Es importante notar que del lado derecho tenemos siempre una operación entre números reales. Por eso, propiedades algebraicas de las operaciones entre (y con) funciones se basan en propiedades algebraicas de las operaciones correspondientes entre números reales. En particular, el conjunto de las funciones reales forman un espacio vectorial con la suma entre funciones y el producto de una función con un número escalar k R. 18

19 Para funciones complejas f,g : C C, las operaciones por puntos se definen de manera muy similar: ( f g (f + g)(z) =f(z)+g(z), (f g)(z) =f(z) g(z), )(z) =f(z), definido para z C, tal que g(z) 0, g(z) (kf)(z) =k f(z), donde del lado derecho tenemos siempre una operaciónentre números complejos. Se obtienen las siguientes propiedades como consecuencia de propiedades de la derivada para funciones de dos variables reales. Proposición 60 Sean f,g : C Cfunciones complejas holomorfas en una región A C.Entonces 1) f g es holomorfa en A. 2) f + g es holomorfa en A. 3) f g es holomorfa en toda región A 1 A para la cual vale que g(z) 0para todo z A 1. 4) Si f es holomorfa en una región A C y g es una función definida en f(a) yholomorfaenestaregión f(a), entonceslaconcatenación g f es holomorfa en A. Demostraremos solamente una parte para dar un ejemplo de la argumentación: Dem. 61 Vamos a demostrar 3). Sean f y g holomorfas y g(z) 0para todo z que pertenece a una región A 1 A. Entonces d f dz g = 1 ( f d g g dz g + d ) dz f Puesto que f y g son holomorfas y g 0sobre la región A 1,tantolasderivadas de f y g existen en A 1 como también las funciones f y g están definidas y continuas en A 1,yademás la función 1/g es continua en A 1. Por lo tanto la derivada de f/g existe y es continua en A 1,implicandoquef/g es holomorfa en A 1. Ejercicio 62 Demostrar el resto de la última proposición. Ejercicio 63 Utilizando la última proposición, confirme cuáles de las siguiente funciones complejas son holomorfas y en cuál región. 1) f(z) =z 2 2) f(z) =x + i 2 y 3) f(z) = z x 2 +y 2 4) f(z) = 1 z+2 z 5) f(z) = 1 z 6) f(z) = 1 z z 7) f(z) = 1 z 2z 2 8) f(z) = 1 z+2 19

20 7 Funciones armónicas Una conclusión inmediata de las condiciones de Cauchy-Riemann es el hecho que las dos funciones reales que forman la función compleja, cumplen la ecuación de Laplace en el plano, en la región donde la función compleja es holomorfa. A funciones que cumplen la ecuación de Laplace se les llama funciones armónicas. Acontinuación vamos a deducir eso. Sea f(z) = u+iv una función compleja holomorfa en alguna vecindadabierta de z C. Entonces la derivada f (z) existeylasfuncionesu, v cumplen las condiciones de Cauchy: u x = v y, u y = v x. Si las funciones (reales) u y v tienen derivadas continuas y a su vez diferenciables, se debe cumplir que 2 v x y = 2 v y x. (1) Usando las condiciones de Cauchy-Riemann en la identidad (1), se obtiene 2 v x y = 2 u x 2, 2 v x y = 2 u y 2. Si sumamos la primera identidad con la negativa de la segunda, obtenemos 2 u x u y 2 =0, la cual precisamente es la ecuación de Laplace para la función u. Aunafunción u con esta propiedad se le llama función armónica. Formalmente tenemos lo siguiente: Definición 64 Toda función u(x, y) : R 2 R que cumple la ecuación de Laplace dada por 2 u x u y 2 =0, se llama función armónica. Notación 65 La ecuación de Laplace también se denota por 2 u =0,esdecir, 2 u = 2 u x u y 2 =0. En consecuencia, para toda función compleja f = u+iv, lafunción u resulta ser armónica. Análogamente se sigue que la función v resulta ser armónica, puesto que es fácil deducir que también En resumen, se tiene el siguiente lema. 2 v x v y 2 =0. 20

21 Lema 66 Para toda función compleja f : C C, f(z) =f(x+iy) =u(x, y)+ iv(x, y), u, v : R 2 R,sif es holomorfa en una región A Centonces las funciones reales u y v son funciones armónicas para (x, y) A R 2. Ejercicio 67 Determinar cuáles de las funciones de los ejercicios 35 y 63 son armónicas. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 8 La integral de línea en el plano complejo La integración para una función compleja se efectua a través de una curva, también llamada trayectoria o camino. Una curva simplemente es un mapeo continuo definido en un intervalo cerrado y con valores en el plano complejo: Definición 68 Cualquier mapeo continuo :[a, b] C,con[a, b] un intervalo cerrado en R, esllamadounacurva en el plano complejo C. Talmapeocontinuo también es llamado un mapeo de clase C 0. Entonces el conjunto ([a, b]) = {(z) :z [a, b]} C se llama la gráfica de la curva. Nótese que el mapeo equivalentemente es un mapeo continuo de [a, b] enr 2 ; la grafica de la curva es también un subconjunto de R 2.Lafigura5muestrala grafica de una curva. En cualquier punto t 0 (a, b) (intervaloabierto),sepuedeconsiderarla derivada de (como función de [a, b] enr 2 ): (t 0 )= t t 0 (t) (t 0 ) t t 0. Cuando la función :[a, b] C se escribe por sus partes real a imaginaria, (t) =φ(t)+iψ(t), entonces (t 0 )=φ (t 0 )+iψ (t 0 ). Definición 69 Una curva :[a, b] C se llama cerrada si (a) =(b). La longitud de una curva :[a, b] C se define por la siguiente integral, siempre cuando esta integral existe: L() = b a (t) dt. La idea intuitiva de la integral de línea de una función compleja f alolargo de una curva de longitud finita es parecida a la idea de la integral de Riemann de una función real sobre un intervalo [a, b]. Recordemos que paracalcular 21

22 Figure 5: Una curva en el plano complejo es un mapeo continuo que va de los números reales al plano complejo. una aproximación de la integral de Riemann, el intervalo [a, b] espartidoen subintervalos. Para cada subintervalo, se calcula el producto de su longitud con el valor de la función en algún punto seleccionado dentro del subintervalo, dando como resultado el área de un rectangulo. Luego se suman todas las áreas de rectángulos. De manera similar, una aproximación de la integral de línea de una función compleja f alolargodeunacurva :[a, b] C de longitud finita se determina como sigue: 1. Se seleccionan finitamente muchos puntos z 0 (punto inicial), z 1,,z k, z k+1 (punto final) sobre la (gráfica de la) curva, y se considera la concatenación de los segmentos de línea recta z 0 z 1, z 1 z 2, z k z k+1.esdecir,lacurvaesaproximada por un arco poligonal o en caso de una curva cerrada, por un polígono. 2. Para cada segmento z i 1 z i,sulongitudesmultiplicadaconelvalordef en algún punto intermedio que se encuentra sobre la (gráfica de la) curva entre los puntos z i 1 y z i. 3. Se suman todos los productos calculados en el paso anterior. La integral se define como el límite de una sucesión de aproximaciones calculadas, la cual se obtiene cuando la partición de la curva en segmentos es cada vez más fina, es decir, cuando las longitudes de los segmentos tienden a cero. Informalmente, cuando la curva inicia en el punto z 0 yterminaenz k+1 y w 1, z 1, w 2, z 2,, w k, z k, w k+1 son puntos sobre la curva donde z 1,,z k definen una partición de la curva y w 1,, w k, w k+1 son puntos intermedios, entonces 22

23 la integral de f alolargodelacurvaesdadacomo f(z)dz = max z i z i 1 0 k+1 f(w i )(z i z i 1 ). i=1 La siguiente definición formaliza estas ideas (vea figura 6): Definición 70 Sea :[a, b] C una curva en C que tiene longitud finita. Una aproximación de la integral de línea de f sobre la curva, calculadaen base de una partición particular P del intervalo [a, b], P={t 1,t 2,,t k } con números reales a<t 1 <t 2 < <t k <b, se calcula como k+1 f(w i )(z i z i 1 ), i=1 donde para cada t i P, z i = (t i ),además z 0 = (a), z k+1 = (b), ypara cada i =1, 2,,k+1, w i ([a, b]) es un punto (intermedio) arbitrariamente seleccionado tal que t i 1 < 1 (w i ) <t i. La integral de línea de la función compleja f(z) alolargodelacurva se define en base de cualquier sucesión (P n ) n N de particiones del intervalo [a, b] (cada P n tiene k n puntos): P n = {t n 1,tn 2,,tn k n}, a < tn 1 <tn 2 < <tn k <b, n z n i = (t n i ), para i =1,,k n, z n 0 = (a), z n (k n +1) = (b), w n i ([a, b]) (i =1,,k n +1)tal que t n i 1 < 1 (w n i ) <t n i. Bajo la (importante) suposición que la sucesión (P n ) n N (aún siendo arbitraria) satisface que ( max{ z n n i zi 1 n : i =1, 2,,kn +1} ) =0, se define la integral de línea de la función compleja f(z) alolargode la curva como k n +1 f(z)dz = f(w n n i )(zn i zn i 1 ), i=1 siempre cuando este límite existe y no depende de la selección ni de los puntos t n 1,,tn k n ni de los puntos intermedios wn 1,,wn k n

24 Figure 6: Una partición del intervalo [a, b] genera una partición de la curva en secciones. 9 Propiedades de la integral de línea para funciones complejas Para evaluar integrales de funciones de variable compleja, generalmente no es necesario usar la definición. Primero, la integración puede ser reducida a la integración de funciones reales, separando la función compleja en su parte real ysuparteimaginaria,comoestablece el siguiente teorema. Teorema 71 Si f : C C, f(z) =f(x+iy) =u(x, y)+iv(x, y), confunciones reales u, v : R 2 R 2,entonceslaintegraldef alolargodeunacurva está dada por f(z)dz = (u(x, y) iv(x, y)) d(x + iy) = u(x, y)dx v(x, y)dy + i v(x, y)dx + u(x, y)dy donde las integrales del lado derecho son integrales de línea de funciones reales. Dem. 72 Sean f(z) =f(x + iy) =u(x, y) +iv(x, y), conu, v : R 2 R 2,y :[a, b] Cuna curva en C que tiene longitud finita. Tomamos una sucesión (P n ) n N de particiones del intervalo [a, b] como la pide la definición de arriba. Para simplificar la notación, no escribiremos el índice superior n. Entonces P n = {t 1,,t k } con a<t 1 < <t k <b, z i = zi n = (t i ) (i =1,,k), z 0 = (a), z (k+1) = (b), w i ([a, b]) tal que t i 1 < 1 (w i ) < t i (i = 1,,k+1). ( Supongamos que (P n ) n 1 satisface que max z n n i zi 1 n : i =1,,kn +1} ) = 0. 24

25 Tomando en cuenta que para cada j =1,,k+1,setienez j = x j + iy j, por lo tanto z j z j 1 = x j x j 1 + i(y j y j 1 ), ytambién w j = x j + iy j para j =1,,k +1. Entonces, de la definición obtenemos lo siguiente: k n +1 f(z)dz = f(w n n j )(zn j zn j 1 ) j=1 k n +1 = [u(x j,y j)+iv(x j,y j)](x j x j 1 )+i(y j y j 1 ) n j=1 k n +1 = [u(x n j,y j)(x j x j 1 ) v(x j,y j)(y j y j 1 )] + j=1 k n +1 + i [v(x n j,y j )(x j x j 1 )+u(x j,y j )(y j y j 1 )] j=1 Estos últimos límites son las integrales de línea de las funciones correspondientes, así elteoremasecomprueba. En el caso que la curva :[a, b] C (es decir, la función) es por lo menos una vez diferenciable y la derivada es continua, la integral de f alolargode la curva se calcula como lo indica la siguiente proposición que reportamos sin demostración. Proposición 73 Si la función :[a, b] C es de clase C 1 (diferenciable y con derivada continua) y puede ser representada en una forma paramétrica tal que para todo t [t 1,t 2 ], (t) =φ(t) +iψ(t) =x + iy, entoncessetieneque dx = φ dt, dy = ψ dt yseobtieneparalaintegrallasiguientefórmula: b f(z)dz = f((t)) (t)dt = a t2 Esta integral existe si f(z) es continua. t 1 t2 (uφ vψ )dt + i (vφ + uψ )dt. t 1 Corolario 74 Si la función :[a, b] C es de clase C 1 y f : C Ces acotada sobre la curva, es decir, existe una constante M Rtal que para todo punto z ([a, b]) vale que f(z) M, entoncessesigueque f(z) dz M L, recordando que la longitud de la curva es dada por L = b a (t) dt. 25

26 Dem. 75 f(z) dz = f((t)) (t) dz f((t)) (t) dz M (t) dz = M L, La condición a la curva de tener una representación paramétrica de clase C 1, para poder aplicar la última fórmula de cálculo la cual es muy útil, no es muy restrictiva, puesto que muchas curvas la cumplen por lo menos por pedazos. La siguiente proposición es una consecuencia inmediata de la definición de la integral, y establece que la integral puede ser calculada por cada de los pedazos de la curva, y al final simplemente se suman los resultados. Proposición 76 Si una curva :[a, b] C es la concatenación (en el sentido literal) de un número finito de curvas 1,, n,entonces f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz + + f(z)dz 1 2 n Veamos algunos ejemplos para familiarizarnos con las propiedades recién reportadas de la integral de línea de funciones complejas. Ejemplo 77 Vamos a calcular la integral I 1 = 2+i 0 z 2 dz por la trayectoria 0A de la figura 7, que es la linea recta entre los puntos (0, 0) y A =(2+i, 0) dada por la función y =1/2x. Setienequez 2 = x 2 y 2 +2xyi y dz = dx + idy. Entonces I 1 = [(x 2 y 2 )dx xy dy]+i [2xy dx +(x 2 y 2 )dy] Sobre OA, x =2y y dx =2dy, enconsecuencia I 1 = 1 0 [ (4y 2 y 2 )2dy 2y 2 dy ] + i 1 0 [ 8y 2 dy +(4y 2 y 2 )dy ] = i 26

27 Figure 7: Las trayectorias que unen el punto orígen con el punto A. Ejemplo 78 Ahora calculamos la integral de la misma función como en el ejemplo anterior, pero usamos otra trayectoria. Vayamos por la trayectoria dada por los puntos (en este orden) 0,B,A, es decir, por el eje x hasta el punto B =(2, 0) yluegosubiendoporlarectaperpendicularhastaa =(2, 1). A lo largo del segmento 0B, valequez = x, dz = dx. A lo largo de BA, tenemos z =2+iy, dz = idy. Seobtiene es decir I 2 = 2 0 x 2 dx I 2 = I 1 = 1 3 z3 2+i ( i(4 y 2 ) 4y ) dy = i 2= i 0 = 1 3 (2 + i)3 = i. Ejemplo 79 Evaluemos la integral I = z2 dz alolargodelcírculo de radio 1, vea figura 9, es decir a lo largo de la trayectoria r 2 = x 2 +y 2 =1.Paracalcular esta integral, conviene hacer un cambio de variable (hacia coordenadas polares): sean x = r cos (θ), y = r sin (θ), tal que x + iy =cos(θ) +i sin (θ) =e iθ. Entonces z = e iθ yporlotantodz = ie iθ dθ sobre el círculo. Se tiene que I 2 = i 2π 0 e 2iθ e iθ dθ = 1 3 e3iθ 2π 0 =0. 27

28 Figure 8: La trayectoria dada por el círculo de radio 1, x 2 + y 2 =cos(θ) + i sin(θ) =e iθ. Ejemplo 80 Evaluemos ahora la integral 1 I = z dz alolargodelcírculo de radio 1, veafigura9. También hacemos el cambio de variable x =cos(θ), y =sin(θ), paraobtener I 2 = i 2π 0 e iθ e iθ dθ =2πi. Ejercicio 81 Evaluar la integral f(z)dz, dondef(z) son las funciones del ejercicio 63 y es la trayectoria dada por z =1. Las propiedades de las integrales de línea para funciones de variable compleja son semejantes a las propiedades de las integrales de línea de funciones de variable real, como vemos a continuación. Proposición 82 (Propiedades de integrales de línea.) Sea f : C C una función y, β curvas (trayectorias) tales que las siguientes integrales existen. Entonces, se cumple lo siguiente: 28

29 a) f(z)dz = f(z)dz, donde del lado derecho, la curva es recorrida en su sentido contrario. b) kf(z)dz = k f(z)dz para toda k C c) (f(z) +g(z)) dz = f(z)dz + (z)dz Dem. 83 La demostración se basa en las propiedades de integrales de línea de funciones reales. 10 Curvas de Jordan y regiones simplemente conexas Como preparación al teorema de Cauchy sobre integrales en el plano complejo, el cual serádiscutidoenlasiguientesección, conocemos en esta sección brevemente el concepto de una región simplemente conexa. Intuitivamente, una región simplemente conexa es un subconjunto abierto del plano que no tiene agujeros. Para definir eso, necesitamos saber del concepto de una curva de Jordan y del teorema de Jordan en el plano. Recordemos que una curva es una función (tiene una representación paramétrica) :[a, b] C continua. La curva se llama cerrada si (a) = (b). Es común identificar la palabra curva con la gráfica ([a, b]) de la curva. En particular, se dice un punto de la curva cuando se refiere a un punto que pertenece a ([a, b]). Definición 84 Una curva (parametrizada) :[a, b] C cerrada se llama curva de Jordan o curva cerrada simple si (s) (t) para todo s, t [a, b] tales que s t. Intuitivamente, una curva de Jordan no se toca a sí misma. Mencionamos que en la Topología se usan definiciones más generales de curva (por ejemplo según Jordan, Urysohn, Menger), las cuales son aplicables también a curvas para las cuales no se tienen representaciones paramétricas. Estas definiciones reflejan mejor la idea de que una curva es un objeto largo pero sin anchura. Definición 85 Sea G una región en el plano, es decir, un subconjunto abierto del plano complejo y equivalentemente de R 2. G se llama conexa si para cada dos puntos a, b G existe una curva : [a, b] C que inicia en a yterminaenb ycuyagraficaperteneceag. 29

30 G se llama simplemente conexa si para toda curva de Jordan [a, b] G, su interior I() pertenece a G, veafigura9. Una región conexa que no es simplemente conexa, es llamada de conexión múltiple, veafigura10. Cuando dibujamos una curva de Jordan en el Plano Euclidiano, observamos de manera inmediata y obvia lo siguiente: Teorema 86 (Teorema de Jordan). (1) Cada curva de Jordan separa al plano en dos regiones: una acotada llamada el interior de la curva I(), yotranoacotadallamadaelexteriordela curva E(). (2) Ambas regiones son subconjuntos abiertos y conexos del plano. (3) La unión de ambas regiones es disconexa. (4) Para cada punto p de la curva, la unión I() I() {p} es conexa. Para las partes (2)-(4) del teorema, nótese que cada región no contiene a la curva. Entonces para cada dos puntos a I(),b E() tenemosa, b I() E() perocadacaminoparaconectarlosdospuntostienequecruzar alacurva. Encambio,considerandoa, b I() E() {p}, seguramentese puede encontrar un camino desde a hacia b, cruzandolacurvaexactamenteen el punto p. La demostración correcta del teorema de Jordanyposteriormenteladefinición general y topológica de una curva (también en espacios de mayores dimensiones) han sido de los retos difíciles en la historia de las matemáticas. 11 Independencia de la trayectoria - el teorema de Cauchy Una de las propiedades más importantes de las funciones de variable compleja es que bajo ciertas condiciones, la integral de línea de una función entre los puntos a y b no depende de la trayectoria (de la curva, del camino) entre a y b. Ya sabemos que el valor de la integral sobre una trayectoria desde a hacia b es el negativo del valor de la integral sobre la trayectoria inversa (desde b hacia a). En consecuencia, si la integral no depende de la trayectoria, cuando integramos sobre una curva desde a hasta b yluegoseguimosintegrandosobrecualquier (tal vez otra) curva desde b hasta a, laintegraltotalalregresaralpuntoa debe dar el valor cero. En otras palabras, el valor de la integral sobre cualquier curva cerrada debe dar valor cero. Las condiciones para que esta independencia se cumpla, se refieren alafunción compleja f -debeserholomorfa; alacurva, mejordicho,alascurvasalolargodelascualessequiere integrar - deben ser diferenciables con derivadas continuas; 30

31 Figure 9: En la región C 2 toda curva de Jordan contiene sólo puntos de C 2. Igualmente, C 3 es simplemente conexa. Sin embargo, en la región C 1 podemos encontrar curvas de Jordan cuyo interior contienen partes del complemento de C 1 (por ejemplo C 3 ). Por eso C 1 no es simplemente conexa. yalaregión G Cen la cual la integración se lleva acabo - debe ser simplemente conexa. Teorema 87 (Teorema de Cauchy sobre la integral en el plano complejo) Si una función f : C C es holomorfa en una región simplemente conexa G C,entoncesvalelosiguiente: Para cualquier curva :[a, b] C de clase C 1 (diferenciable y con derivada continua) cuya gráfica pertenece a G, laintegral f(z)dz solo depende de los puntos finales (a), (b), peronodependedelatrayectoriamisma. Eso significa: si 1, 2 :[a, b] C son cualesquiera dos curvas de clase C 1 cuyas gráficas pertenecen a G ytalesque 1 (a) = 2 (a), 1 (b) = 2 (b), entonces f(z) dz = f(z) dz. 1 2 Equivalentemente: Para cualquier curva :[a, b] C de clase C 1 (diferenciable y con derivada continua) cuya gráfica pertenece a G y que es cerrada((a) =(b)), se sigue 31

32 Figure 10: C 1 es una región de conexión múltiple. Los puntos dentro de C 2 y C 3 no están en C 1, C 2 y C 3 son agujeros de esta región. que f(z)dz =0. Dem. 88 Es claro que ambas afirmaciones son equivalentes; demostramos la segunda. Aplicando el teorema de Green en el plano (Pdx+ Qdy) = ( Q x P )dx dy y yusandof(z) =u + iv obtenemos (udx vdy) = ( v R x + u )dx dy y y (vdx + udy) = R R ( u x v )dx dy y Debido a que f es holomorfa, ambas integrales tienen el valor cero, por las condiciones de Cauchy-Riemann. La independencia de la integral de la trayectoria no solo es consecuencia de las condiciones del teorema de Cauchy, sino tambiénes necesaria, como establece el siguiente teorema que reportamos sin demostración. 32

33 Teorema 89 (Teorema de Morera) Sea f : C Cuna función continua en una región G C. Si para cualquier curva de clase C 1 cuya grafica pertenece a G, laintegral f(z)dz no depende de la trayectoria, entonces f es holomorfa en G. Equivalentemente: Si para cualquier curva cerrada de clase C 1 cuya grafica pertenece a G, la integral cumple que f(z)dz =0,entoncesf es holomorfa en G. El teorema de Cauchy puede ser aplicado también para calcular una integral sobre una región de conexión múltiple. Entonces se tiene que construir una trayectoria que une todas las curvas de la frontera de dicha región, tomando en cuenta la frontera exterior de la región y todas las fronteras de los agujeros, vea figura 11. Figure 11: La región B es de conexión múltiple y tiene C 2 y C 3 como agujeros. Sin embargo, se puede construir una trayectoria cerrada la cual recorre toda la frontera de B, uniendolafronteraexteriorcontodaslasfronterasdelos agujeros. Teorema 90 Sea f una función compleja holomorfa en una región G de conexión múltiple. Si la frontera de G es formada por un número finito de curvas cerradas de clase C 1,todasindependientesentresí(nosetocan)ycompuestasde 33