BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA. Inteligencia Artificial

Transcripción

1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ELECTRÓNICA Licenciatura en Ciencias de Electrónica Ingeniería en Mecatrónica Inteligencia Artificial Académico: MC. Luis Eduardo Espinosa Maya Primavera 2012

2 Organización Temática Introducción. Matemáticas de conjuntos difusos. Relaciones difusas y reglas difusas. Sistemas difusos: Unidades de Procesamiento. Sistemas difusos: E/S. Diseño de Sistemas Difusos. Aplicaciones de Control difuso I. Aplicaciones de Control difuso II. Desarrollo de Aplicaciones. Introducción a las redes neuronales.

3 Producto cartesiano Producto Cartesiano Sea V y W dos conjuntos clásicos en dentro de un universo U. El producto cartesiano entre V y W, denotado VxW, es el conjunto clásico de todos los pares ordenados (v,w). VxW = {(v,w) v V, w W }

4 Producto Cartesiano Notemos que si el numero de elementos de V y W son diferentes. V x W W x V En general si tenemos n-conjuntos V n el producto cartesiano se define como V 1 x x V n = {(v 1,v 2,..,v n ) v 1 V 1,, v n V n }

5 Relación Clásica Una relación entre n-conjuntos clásicos es un subconjunto de producto cartesiano de los mismos conjuntos. La relación entre los conjunto se denota por una Q Q(V 1,,V n ) V 1 x x V n Se puede aplicar uniones e intersecciones a una relación?

6 Sean V y W Ejemplos V = {1,2,3} y W = {2,3,4} V x W = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)} Q se define como todas las combinaciones tal que el primer elemento es mayor o igual al segundo. Q(V,W) = {(2,2),(3,2),(3,3)}

7 Ejemplo La relación anterior también se puede representar mediante una Matriz de Relación Q V W El elemento de la matriz representa la pertenencia.

8 PREGUNTAS?

9 Sean V y W Actividad V = {1,2,3} y W = {1,2,3,4} Q se define como todas las combinaciones tal que el segundo elemento es el cuadrado del primero. Q(V,W) =

10 Sean V y W Actividad V = {1,2,3} y W = {a,e,i,o,u} Q se define como todas las combinaciones tal que el segundo elemento esta incluido en la palabra que denota al primero. Q(V,W) =

11 Relación Difusa Retomando la anterior matriz de relación, el siguiente ejemplo de que tan lejos esta una Cd de otra. Que tan lejos D Boston A HK SF HK 1 0 Tokyo

12 Ejemplo Imagen de un mapa para comprensión del ejemplo. Imágenes:

13 Relación Difusa Del ejemplo anterior se ve que fácilmente podemos ampliar el concepto de relación clásica a una relación difusa.

14 Relación Difusa La relación difusa es un conjunto difuso definido dentro del espacio construido por el producto cartesiano de los mismos conjuntos. Q en V 1 x x V n Q={((v 1,,v n ), µ Q (v 1,,v n )) (v 1,,v n ) V 1 x x V n }

15 Ejemplo Sean x R, y R, definimos las relaciones difusa AE = x es aproximadamente igual a y µ AE (x,y) = e -(x-y)2 MG = x es mas grande que y µ MG (x,y) = 1 / (1+e -(x-y) ) La relación se define en la pertenencia.

16 Ejemplo Gráfica de AE

17 PREGUNTAS? Imagen:

18 Actividad Tratemos definir una matriz de relación para el ejemplo de Aproximadamente Igual. AE X Y 1 3 5

19 Actividad Tratemos definir una matriz de relación para el ejemplo de y mas grande que x. MG X Y 1 3 5

20 Operaciones entre Relaciones Siendo que el resultado de una relación difusa es un conjunto difuso, se pueden aplicar operaciones normales de conjuntos. Se requiere: Ambas relaciones a operar partan sobre los mismos conjuntos. Una relación esta definida dentro del espacio creado por el producto cartesiano de los conjuntos.

21 Ejemplo Sean las relaciones AE y MG. µ AE (x,y) = e -(x-y)2 µ MG (x,y) = 1 / (1+e -(x-y) ) Su producto algebraico es t ap (AE,MG) = e -(x-y)2 / (1+e -(x-y) )

22 PREGUNTAS?

23 Actividad Obtener la unión (max) de las siguiente matriz. AE MG 1 X 2 3 Y AE X Y MG X Y

24 Operaciones entre Relaciones Algunas de las operaciones que podemos realizar entre relaciones difusas: Norma C Norma S Norma T Proyección Extensión Cilíndrica Composición

25 Proyección Sea Q una relación difusa Q definida en V 1 x x V n Sea {i 1,,i k } una sub-secuencia de {1,2,,n} Sea {j 1,,j n-k } una sub-secuencia de {1,2,,n} que es complemento de la secuencia i. La proyección de Q en V i 1 x x V ik es una relación difusa Q P en V i 1 x x V ik definida por: µ Q P (v i1,,v ik ) = max v j1 Vj1,, v jn-k Vjn-k µ Q (v 1,,v n )

26 Ejemplo Retomando el ejemplo de las distancias Que tan lejos A Boston HK SF D HK 1 0 Tokyo QD = {(SF,0.9),(HK,1),(Tokyo,0.95)} QA = {(Boston,1),(HK,0.9)}

27 Ejemplo Retomando el ejemplo de Aproximadamente igual AE X Y Proyección total = 1

28 PREGUNTAS? Imagen:

29 Actividad Realizar las proyecciones sobre X e Y del ejemplo de Mas grande. MG X Y Q X = {(1, ),(2, ),(3, )} Q Y = {(1, ),(3, ),(5, )}

30 Extensión Cilíndrica Sea Q P una relación difusa Definida en V i1 x x V ik Sea {i 1,,i k } una sub-secuencia de {1,2,,n} La Extensión Cilíndrica de Q P en V 1 x x V n es una relación difusa Q PE en V 1 x x V n definida: µ Q PE (v 1,,v n ) = µ Q P (v i1,,v ik )

31 Ejemplo Retomando el ejemplo de las distancias, sus proyecciones Q D = {(SF,0.9),(HK,1),(Tokyo,0.95)} Q A = {(Boston,1),(HK,0.9)} La extensión cilíndrica de cada una es Q DE = {(SF,Boston,0.9), (SF,HK,0.9 (HK,Boston,1), (HK,HK,1) (Tokyo,Boston,0.95), (Tokyo,HK,0.95)}

32 Ejemplo Q A = {(Boston,1),(HK,0.9)} Continuación Q AE = {(SF,Boston,1), (HK,Boston,1), (Tokyo,Boston,1), (SF,HK,0.9), (HK,HK,0.9), (Tokyo,HK,0.9)}

33 PREGUNTAS?

34 Actividad Realizar las extensiones cilíndricas de las proyecciones hechas en la actividad anterior. Q XE = Q YE =

35 Composición Una composición clásica Sean Q1(V,W) y Q2(W,L), dos relaciones que comparten el conjunto W. La composición de Q1 y Q2 se escribe Q1 o Q2, se define en relación a V x L, talque (x,z) Q1 o Q2, si y solo si, existe al menos un y W, de tal forma (x,y) Q1 y (y,z) Q2.

36 Composición Si empleamos la representación de los conjuntos con pertenencia, tenemos el siguiente Lema: Q1 o Q2 es una composición de Q1(V,W) y Q2(W,L), si y solo si, µ Q1oQ2 (x,z) = max y W t[µ Q1 (x,y),µ Q2 (y,z)] Donde t indica cualquier norma-t.

37 Composición Difusa Retomando el Lema anterior una composición difusa se define como: Sea A un conjunto difuso en V y Q una relación difusa definida en V x W. Entonces la composición difusa de A en R resulta en un conjunto difuso B definido en W, tal que: B = A o R = proj(t[ce(a),r] en W Donde proj denota proyección y ce extensión cilíndrica.

38 Composición Difusa La composición tiene dos formas comunes de desarrollarse: Composición max-min µ B (y) = max x min(µ A (x),µ R (x,y)) µ Q1oQ2 (x,z) = max y W min(µ Q1 (x,y),µ Q2 (y,z)) Composición max-producto µ B (y) = max x (µ A (x) * µ R (x,y)) µ Q1oQ2 (x,z) = max y W (µ Q1 (x,y) * µ Q2 (y,z))

39 Ejemplo Retomando el ejemplo de las distancias Que tan lejos A Boston HK SF D HK 1 0 Tokyo DA= {(SF, Boston, 0.3), (SF, HK, 0.9), (HK, Boston, 1), (HK, HK,0) (Tokyo, Boston, 0.95), (Tokyo, HK, 0.1)}

40 Ejemplo Supongamos una nueva relación de distancias Que tan cerca W NYC Beijing Boston A HK AW={(Boston, NYC, 0.95), (Boston, Beijing, 0.1) (HK, NYC, 0.1), (HK, Beijing, 0.9)}

41 Ejemplo Definiendo la composición max-min de DA y AW Primer termino µ DAoAW (SF,NYC) = max[ min(µ DA (SF,Boston), µ AW (Boston,NYC)),min(µ DA (SF,HK), µ AW (HK,NYC)) ] µ DAoAW (SF,NYC) = max(min(0.3,0.95),min(0.9,0.1)) µ DAoAW (SF,NYC) = max(0.3,0.1) = 0.3

42 Ejemplo Continuando la composición max-min de DA y AW Segundo termino µ DAoAW (SF,Beijing) = max[ min(µ DA (SF,Boston), µ AW (Boston,Beijing)),min(µ DA (SF,HK), µ AW (HK,Beijing)) ] µ DAoAW (SF,Beijing) =max(min(0.3,0.1),min(0.9,0.9)) µ DAoAW (SF,Beijing) = max(0.1,0.9) = 0.9

43 Actividad Continuar determinando los términos µ DAoAW (HK,NYC) = max[ min(µ DA (HK,Boston), µ AW (Boston,NYC)),min(µ DA (HK,HK), µ AW (HK,NYC))] µ DAoAW (HK,Beijing) = max[ min(µ DA (HK,Boston), µ AW (Boston,Beijing)),min(µ DA (HK,HK), µ AW (HK,Beijing))]

44 Actividad Continuar determinando los términos µ DAoAW (Tokyo,NYC) = max[min(µ DA (Tokyo,Boston), µ AW (Boston,NYC)),min(µ DA (Tokyo,HK), µ AW (HK,NYC))] µ DAoAW (Tokyo,Beijing) = max[ min(µ DA (Tokyo,Boston),µ AW (Boston,Beijing)), min(µ DA (Tokyo,HK), µ AW (HK,Beijing))]

45 Actividad Al final la composición queda de la siguiente forma: DAoAW={ (SF, NYC, ), (SF, Beijing, ) (HK, NYC, ), (HK, Beijing, ) (Tokyo, NYC, ), (Tokyo, Beijing, )}

46 Forma alterna También es posible realizar la composición max producto, empleando el algoritmo de multiplicación de matrices, cambiando la suma por la operación max. Además, si deseamos realizar max-min, se cambia la operación de multiplicación por min.

47 Ejemplo Consideremos el ejemplo anterior Que tan lejos D A Boston HK SF HK 1 0 Tokyo Que tan cerca A NYC W Beijing Boston HK µ DAoAW (SF,NYC) = max(0.3*0.95,0.9*0.1) µ DAoAW (SF,NYC) = max(0.285,0.09) = 0.285

48 Ejemplo Continuando SF HK NYC Max(0.3*0.95,0.9*0.1) Max(1*0.95,0*0.1) 0.95 Tokyo Max(0.95*0.95,0.1*0.1) Beijing Max(0.3*0.1,0.9*0.9) 0.81 Max(1*0.1,0*0.9) 0.1 Max(0.95*0.1,0.1*0.9) 0.095

49 Actividad Repetir el ejemplo con la composición max-prod SF NYC Beijing HK Tokyo

50 PREGUNTAS? Imagen:

51 Actividad Desarrollar los problemas en NING sobre relaciones, extensiones cilíndricas y composiciones difusa. Tiempo:

52 Principio de Extensión Principio que nos permite combinar conjuntos clásicos y difusos mediante operaciones. Sea f:u V un función que va de un conjunto clásico U a uno difuso V. A pertenece a U y B a V, tenemos B=f(A) µ B (y) = µ A [f -1 (y)], y V

53 Principio de Extensión Si f no es punto a punto se resuelve: µ B (y) = max x f -1(y) µ A (x), y V

54 FIN 1ra Parte Continuamos con Reglas Difusas Variables Lingüísticas. Reglas SI ENTONCES difusas.

55 Referencias An Introduction to FUZZY CONTROL D Driankov. A Course in Fuzzy system and control Li-Xin Wang.

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