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Transcripción

1 Resuelve ecuaciones Para tu diversión Imagina que vas con unos amigos a visitar un parque de diversiones recién inaugurado. En este parque están las montañas rusas más emocionantes del país. El desafío a la gravedad es tan extremo que se te puede revolver el estómago con facilidad. Vas a pasar un día súper emocionante y te vas a distraer un rato de la escuela y los estudios aunque Espera un momento! Para que saques buen provecho de tu dinero, necesitas traer tus conocimientos sobre ecuaciones. Imagina cuánto te vas a divertir en el viaje e imagina que te vas a divertir mientras resuelves ecuaciones. Piensa al respecto Una vendedora te ofrece una gorra de béisbol por $2.75 ó 3 gorras por $8. Cuál precio te conviene más?

2 Carta a la familia Estimados alumno(a) y familiares: El siguiente capítulo trata acerca de la solución de ecuaciones. Repasaremos los dos métodos de resolver ecuaciones que aprendimos en capítulos anteriores: el método de conjetura, verifica y mejora y el método de vuelta atrás. Luego, aprenderemos a usar un método más eficaz: realizaremos los mismos cambios en ambos lados de la ecuación, un método que posiblemente les es mucho más familiar. El siguiente es un ejemplo del tipo de problemas que vamos a resolver. Problema: Madeline y Neil coleccionan autógrafos de jugadores de baloncesto. Madeline tiene 9 autógrafos más que Neil y entre los dos tienen un total de 31 autógrafos. Cuántos autógrafos tiene cada quién? Sea a el número de autógrafos que tiene Neil. Luego, escribe una ecuación que represente que el total de autógrafos que tienen entre los dos es 31: a a 9 31 ó 2a Vocabulario Aprenderemos un par de términos nuevos en este capítulo. conjetura modelo Qué pueden hacer en el hogar? Traten junto con su hijo(a) de buscar ejemplos del uso de ecuaciones en el trabajo o en los lugares que visitan. Pudieron resolver alguno de los ejemplos? impactmath.com/family_letter 383

3 Repasa dos métodos para resolver ecuaciones Ya conoces por lo menos dos métodos para resolver ecuaciones: vuelta atrás y conjetura, verifica y mejora. El método de vuelta atrás, método que usaste en el Capítulo 1, te puede servir para resolver muchas ecuaciones. Por ejemplo, considera esta ecuación. 5b Para calcular la solución, primero haz un flujograma de la expresión 5b 3 3. El flujograma muestra los pasos para calcular el valor de la expresión, el valor de salida, para todo valor de entrada b. 5 3 b 5b 5b 3 Entrada Para resolver 5b 3 3 6, necesitas determinar el valor de entrada que produce el valor de salida 6. Haz otro flujograma, pero esta vez escribe 6 como valor de salida y deja en blanco los otros óvalos. Entrada b 3 3 Salida 6 Salida Datos de interés Los flujogramas se usan en muchas profesiones. Los constructores los usan para describir los pasos a seguir en la construcción de una casa; los ingenieros para hacer diagramas de cómo una pieza pasa a través del proceso de manufactura y los electricistas para mostrar cómo fluye la corriente en un circuito. Ahora usa el método de vuelta atrás, paso a paso a partir del valor de salida, para calcular el valor de entrada. Primero pregúntate, Qué número al ser dividido entre 3 es igual a 6? Escribe el número en el óvalo a la izquierda del 6. & Piensa comenta Continúa usando el método de vuelta atrás, de derecha a izquierda, para encontrar los valores de cada óvalo en el flujograma. El número en el óvalo del extremo izquierdo es la solución a la ecuación. Cuál es la solución? Reemplaza la respuesta en la ecuación para verificar si es correcta. El método de conjetura, verifica y mejora sirve para resolver cualquier ecuación, incluso ecuaciones que son difíciles de resolver usando el método de vuelta atrás. Cuando se usa este método, primero se conjetura cuál podría ser la solución y luego se verifica la conjetura al reemplazarla en la ecuación. Si la conjetura es incorrecta, se hace otra conjetura. Después de revisar los resultados obtenidos en cada sustitución, se puede mejorar la conjetura y acercarse cada vez más a la solución. 384 CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones

4 & Piensa comenta Considera la ecuación 3b 5 b 17. Supón que tu primera conjetura es 1. Al reemplazar la b con 1 se obtiene 8 en el lado izquierdo de la ecuación y 18 en el lado derecho. Escribe estos resultados en una tabla. Conjetura 3b 5 b Prueba 4 como segunda conjetura. Reemplaza la b con 4 en ambos lados de la ecuación y anota tus respuestas en una copia de la tabla. Cuando la conjetura fue 1, la diferencia entre ambos lados de la ecuación fue 10. La diferencia entre los valores obtenidos es mayor o menor cuando se reemplaza 4 en ambos lados de la ecuación? Si 4 no es la solución, continúa ajustando tu conjetura hasta que ambos lados de la ecuación tengan el mismo valor. Cuál es la solución? Explica. Investigación 1 Elige un método para resolver El método de vuelta atrás es a veces más fácil o más eficaz que el método de conjetura, verifica y mejora. Ahora vas a practicar ambos métodos para resolver ecuaciones. Cuando resuelvas cada problema, piensa en cuál método puede ser más fácil para resolverlo. Sección de problemas A Usa el método de vuelta atrás para resolver cada ecuación. Verifica la solución reemplazándola en la ecuación original. 1. 3f (2g 12) a n Usa el método de conjetura, verifica y mejora para resolver cada ecuación. 5. u 4 4u q 2 4q 7 7. m(m 6) 91 (Existen dos soluciones. Trata de encontrar ambas.) LECCIÓN 6.1 Repasa dos métodos para resolver ecuaciones 385

5 Comenta con tu compañero(a) qué método de solución: vuelta atrás o conjetura, verifica y mejora es más fácil o más eficaz en cada ecuación. Luego resuelve la ecuación. 8. 5k n 2 5n B 2(B 1) j Examina las ecuaciones en los problemas 8 al 11. Alguna de ellas es difícil de resolver usando el método de vuelta atrás? De ser así, explica por qué. Resuelve cada ecuación usando el método de tu preferencia. Verifica tus soluciones (5g 1) d 1 3 6d s x 3 3x 4 El álgebra es una herramienta poderosa que sirve para resolver problemas reales e importantes. Las situaciones siguientes son en general de más fácil solución que un problema verdadero, pero te ayudarán a desarrollar las destrezas algebraicas que necesitarás para resolver problemas verdaderos. Sección de problemas B 1. Kim tiene $20 y ahorra $6 por semana. Noah tiene $150 y gasta $4 por semana. a. Cuánto dinero tendrá Kim en n semanas a partir de hoy? b. Cuánto dinero tendrá Noah en n semanas a partir de hoy? c. Escribe una ecuación que represente a Kim y Noah con una misma cantidad de dinero después de n semanas. d. Despeja n en la ecuación. Qué significa la solución en esta situación? e. Cómo puedes verificar tu solución? CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones

6 Recuerda La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es igual a La familia de Inez está comprando un nuevo sistema estereofónico en Sharon s Sound Shop. El vendedor les ofrece dos opciones de plan de pagos. Plan A: Hacer un pago inicial de $100 y luego pagar $35 al mes, durante 24 meses. Plan B: No hacer ningún pago inicial y pagar $40 al mes, durante 24 meses. a. Qué plan es el más caro? Explica. b. Escribe una expresión para cada plan que describa la cantidad que la familia de Inez habrá pagado después de n meses. c. Después de cuántos meses habrán pagado la misma cantidad de dinero con ambos planes? En los problemas 3 al 7 escribe la ecuación que describa cada situación. Resuelve la ecuación usando el método que prefieras. Verifica tu solución unidades más que un número dado es igual que triplicar 1 unidad más que dicho número. Cuál es el número? 4. Un ángulo de un triángulo mide f grados. Uno de los otros ángulos es dos veces más grande y el tercer ángulo es tres veces más grande. Calcula las medidas de los tres ángulos. 5. Un terreno rectangular es tres veces más largo que ancho. El muro que rodea el perímetro del terreno mide 800 metros de largo. Cuánto mide el terreno de ancho? 6. Un edificio de apartamentos tiene una antena de televisión en el techo. La punta de la antena está a 66 metros de altura sobre el suelo. El edificio mide 10 veces la altura de la antena. Cuánto mide la antena de altura? 7. En una clase de 25 alumnos hay 7 niñas más que niños. Cuántos niños hay en la clase? Comparte & resume 1. Escribe una ecuación que no se pueda resolver fácilmente usando el método de vuelta atrás. Explica por qué sería difícil usar este método. 2. En conjunto, Rachel y Zach tienen $14. Si Rachel tuviera $1 más, tendría dos veces la cantidad de dinero que tiene Zach. a. Escribe y resuelve una ecuación que permita calcular cuánto dinero tienen tanto Rachel como Zach. b. Explica cómo escribiste la ecuación y cómo decidiste qué método usar para resolverla. LECCIÓN 6.1 Repasa dos métodos para resolver ecuaciones 387

7 Investigación de laboratorio MATERIALES computadora con software de hoja de cálculos (1 por grupo) Aplica el método de conjetura, verifica y mejora con una hoja de cálculos El método de conjetura, verifica y mejora es un buen método para resolver ecuaciones simples, pero puede ser muy tedioso para resolver ecuaciones más complicadas. El proceso puede ser mucho más rápido y divertido si tienes una computadora que haga los cálculos mientras haces el razonamiento. Sonia decidió usar una hoja de cálculos para resolver la siguiente ecuación con el método de conjetura, verifica y mejora: 3n 5 5n Programa la hoja de cálculos Sonia entró primero los títulos y las fórmulas, en las dos filas superiores de las primeras cuatro columnas de la hoja de cálculos. A B C D 1 Variable de prueba Lado izquierdo Lado derecho n (3n 5)/2 (5n 3)/3 Diferencia 2 =(3*A2+5)/2 =(5*A2+3)/3 =B2-C2 3 Luego, Sonia entró a la hoja de cálculos conjeturas para el valor de n y verificó los cambios producidos en los resultados, para mejorar la elección de la siguiente conjetura. Cuando la conjetura sea correcta, ambos lados de la ecuación tendrán el mismo valor. 1. La fórmula en la celda D2 calcula la diferencia entre los valores de las celdas B2 y C2. Cómo crees que Sonia va a usar esta diferencia para decidir su siguiente conjetura? Debido a que Sonia sospechaba que algunos de los resultados podrían no ser números enteros, formateó los números en las celdas B2, C2 y D2 para que mostraran tres decimales. La primera conjetura que Sonia entró como solución fue 0 en la celda A2. Estos fueron sus resultados. A B C D Variable de prueba Lado izquierdo Lado derecho 1 Diferencia n (3n 5)/2 (5n 3)/ CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones

8 Después, entró 1 en la celda A2 como su segunda conjetura. A B C D Variable de prueba Lado izquierdo Lado derecho 1 Diferencia n (3n 5)/2 (5n 3)/ Recuerda Las respuestas pueden ser positivas o negativas, y pueden ser números enteros o incluir decimales. Pruébalo 2. Prepara en tu computadora una hoja de cálculos como la que Sonia preparó. Entra las dos primeras conjeturas de Sonia para asegurar que la hoja de cálculos funciona correctamente. 3. Usa la hoja de cálculos para resolver la ecuación de Sonia. Cómo vas a saber si ya encontraste la solución? 4. Usa la hoja de cálculos para resolver las siguientes ecuaciones. Tendrás que cambiar las fórmulas en las celdas B2 y C2 para cada ecuación. Presta atención a las estrategias que sigues para mejorar tus conjeturas. Más tarde se te preguntará sobre ellas! a. 4S 70 18S b. 4n 1 3n Qué estrategias seguiste para mejorar tus conjeturas? Pruébalo otra vez Teresa, una amiga de Sonia, resolvió la ecuación creando una hoja de cálculos que era capaz de probar una serie de 20 conjeturas a la vez. Primero programó una hoja de cálculos como la de Sonia. Luego usó el comando fill down de la hoja de cálculos, para copiar las fórmulas en las celdas B2, C2 y D2 en las filas 3 a 21 de las Columnas B, C y D. Para realizar la serie de conjeturas, Teresa modificó la Columna A. Primero entró 0 en la celda A2 y la fórmula A2 1 en la celda A3. Luego copió esta fórmula en las celdas A4 a A21. El programa creó una columna de números consecutivos que aumentaban 1 unidad, desde 0 en la celda A2 hasta 19 en la celda A21. A B C D 1 Variable de prueba Lado izquierdo Lado derecho n (3n 5)/2 (5n 3)/3 Diferencia 2 0 =(3*A2+5)/2 =(5*A2+3)/3 =B2-C2 3 =A2+1 =(3*A3+5)/2 =(5*A3+3)/3 =B3-C3 4 =A3+1 =(3*A4+5)/2 =(5*A4+3)/3 =B4-C4 5 =A4+1 =(3*A5+5)/2 =(5*A5+3)/3 =B5-C5 6. Prueba este método en tu hoja de cálculos. Cómo sabrá Teresa qué valor de n es la respuesta correcta? En qué celda está la solución en la hoja de cálculos de Teresa? LECCIÓN 6.1 Repasa dos métodos para resolver ecuaciones 389

9 Datos deinterés Las hojas de cálculos pueden ser muy sencillas o extremadamente complejas. Una familia puede usar una hoja de cálculos para planear su presupuesto mensual, mientras que una gran corporación puede usarla para elaborar sus planes financieros. Usa tu hoja de cálculos Por supuesto, no toda ecuación tiene una solución que sea un número entero entre 0 y Trata de resolver la ecuación 8x 3 3 x 3 usando el método de Teresa. Tu primera serie de conjeturas deberá ser el conjunto de números enteros del 0 al 19. a. Observa que las diferencias en la columna D aumentaron conforme aumentaron los valores en la columna A. Estas conjeturas no se aproximan a la solución! Cómo modificarías la estrategia de Teresa para poder aproximarte a la solución? b. Modifica la fórmula en la columna A para que coincida con tu nueva estrategia. Hay algún 0 en la columna D? De no ser así, en dónde parece estar la solución a esta ecuación? c. Refina tus conjeturas si es necesario y resuelve la ecuación. Usa una hoja de cálculos como la de Sonia o la de Teresa para resolver las siguientes ecuaciones. Es posible que algunas soluciones no sean positivas o enteras. Si usas el método de Teresa, quizás necesites probar más de una serie de valores. Presta atención a las estrategias que sigues para mejorar tus conjeturas. Se te preguntará sobre éstas más tarde x 32 3x n 2 n P P Elige uno de los problemas 8 al 11 en la Sección de problemas A y usa una hoja de cálculos para resolver la ecuación. 390 CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones

10 Qué aprendiste? 12. Qué estrategias puedes usar para mejorar tus conjeturas al resolver ecuaciones en una hoja de cálculos? Asegúrate de tomar en cuenta posibles soluciones negativas y decimales, además de enteros positivos. 13. Analiza la siguiente hoja de cálculos. A B C D 1 Variable de prueba Lado izquierdo Lado derecho n 4n 2 7n 12 Diferencia 2 =4*A2+2 =7*A2+12 =B2-C2 3 a. Qué ecuación se quiere resolver con esta hoja de cálculos? b. Qué significan las fórmulas en las celdas B2, C2 y D2? c. Qué resultados obtendrás, si entras 1 en la celda A2? LECCIÓN 6.1 Repasa dos métodos para resolver ecuaciones 391

11 Ejercicios por tu cuenta Practica & aplica Resuelve cada ecuación usando el método de vuelta atrás. 1. 4d (2w 1) x c Resuelve cada ecuación usando el método de conjetura, verifica y mejora. 5. b 5 3b t 3 3t r 8 5r 10 Cuál sería la mejor manera de resolver cada ecuación: el método de vuelta atrás o el método de conjetura, verifica y mejora? Usa el método que creas es mejor para resolver cada ecuación. 8. 6y u 7 5 3u 10. 5t Marcus tiene 20 libros de historietas y le da 3 a su prima Lelia cada semana. Mike tiene 10 libros de historietas y compra 2 nuevos libros cada semana. En tus propias palabras Describe el tipo de ecuaciones que es más fácil resolver con el método de vuelta atrás y el tipo de ecuaciones que es más fácil resolver con el método de conjetura, verifica y mejora. Explica tu razonamiento. a. Cuántos libros de historietas tendrá Marcus después de w semanas? b. Cuántos libros de historietas tendrá Mike después de w semanas? c. Escribe una ecuación que represente la semana w en la que Marcus y Mike tendrán el mismo número de libros de historietas. d. Resuelve la ecuación y calcula cuántas semanas van a transcurrir para que ambos niños tengan el mismo número de libros de historietas. Verifica la solución. 12. Kiran dijo, Once más que mi número es igual que 18 más que el doble de mi número. Cuál es mi número? 13. Una caja contiene 64 silbatos rojos y azules. Hay 16 silbatos azules más que silbatos rojos. Escribe y resuelve una ecuación que permita determinar cuántos silbatos rojos hay. 14. Resuelve esta ecuación con el método de conjetura, verifica y mejora. Existen dos soluciones. Encuentra ambas. m(m 2) CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones impactmath.com/self_check_quiz

12 Conecta & amplía 15. Sinopsis Charles estaba pensando en cómo resolver la ecuación d(d 2) 46: Parece muy sencillo. Necesito dos números que al multiplicarse sean igual a 46. Uno de los números es 2 unidades menor que el otro. Usaré 8 como mi primera conjetura. Dado que 6 es dos unidades menor que 8, entonces Por lo tanto, 8 no es la solución. a. Cuál deberá ser la siguiente conjetura de Charles? b. Usa el método de conjetura, verifica y mejora para calcular una solución para d cuya diferencia con 46 sea 0.1 ó menos. Redondea en centésimas. 16. La admisión a un autocine cuesta $4.00 por vehículo, más $1.50 por persona en el auto. a. Escribe una ecuación que describa esta situación. Usa a para representar el ingreso total por admisión que obtiene el cine, v para el número de vehículos y p para el número de personas. b. Usa la ecuación para calcular cuánto dinero obtendrá el teatro, si 43 autos que transportan un total de 93 personas ven una película. c. Usa la ecuación para calcular el precio de admisión para un auto que lleva 3 personas. d. El precio de admisión para una camioneta fue $16. Usa la ecuación para calcular cuántas personas había en la camioneta. Datos deinterés El primer autocine se inauguró el 3 de junio de 1933, en Camden, New Jersey. La idea fue un éxito y para 1961 había cerca de 6,000 autocines en operación. Pero al volverse el auto parte importante de la vida cotidiana, la emoción de sentarse en un auto para ver una película disminuyó: para el año 2002, había menos de 1,000 autocines en los EE.UU. Fuente: Sinopsis Trata de resolver esta ecuación usando el método de tu preferencia. Qué descubriste? n Jim y Lillian jugaban a Piensa en un número. Jim dijo, Piensa en un número. Triplícalo. Súmale 5. Multiplica el resultado por 10. Lillian dijo que obtuvo 320. a. Qué ecuación podría resolver Jim para calcular el número de Lillian? b. Usa el método de vuelta atrás para resolver la ecuación. LECCIÓN 6.1 Repasa dos métodos para resolver ecuaciones 393

13 Repaso mixto M O 2x 2 R 1 D x 6 A x N x 4 x 2 Calcula cada suma Reduce cada expresión. a. x 2 x 2 b. (x 2 ) 3 c. x 3 x 2 2 d. 2 x 2 x 1 e. 2x 2 x 2 f. (x x g. Encuentra la expresión reducida que corresponde a cada respuesta de la tabla que se muestra a la izquierda y escribe la letra correspondiente sobre la línea siguiente. Qué palabra formaste? 2 ) 3 2 a b c d e f 24. Considera el siguiente patrón de cuadrados. Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4 a. Determina a partir de la figura cuántos cuadrados se eliminan entre etapa y etapa. b. Cuántos cuadrados se eliminan al pasar de la etapa s a la etapa s 1? c. Cuántos cuadrados contiene cada una de las etapas que se muestran? d. Cuántos cuadrados se necesitan para la etapa 5? Cuántos para la etapa 7? e. Qué etapa contiene 100 cuadrados? f. Escribe una expresión que permita calcular el número de cuadrados en la etapa s. 394 CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones

14 Un modelo para resolver ecuaciones En esta lección y en la siguiente, aprenderás un método para resolver ecuaciones que es más eficaz que el método de conjetura, verifica y mejora, y que también se puede usar cuando el método de vuelta atrás no funciona. V O C A B U L A R I O modelo Primero aprenderás a usar un modelo que te ayudará a pensar en cómo resolver ecuaciones. La palabra modelo tiene varios significados. Un modelo puede ser algo que se parece a otra cosa. Por ejemplo, es probable que hayas visto o construido modelos de autos o aviones a escala que son idénticos a los vehículos reales y cuyas piezas son proporcionales a las piezas reales. En matemáticas, un modelo es algo que tiene algunas de las características principales de algo más. En el Capítulo 1, usaste bolsas y bloques como modelo de expresiones algebraicas. Del mismo modo que colocas un número cualquiera de bloques dentro de una bolsa, puedes reemplazar la variable de una expresión con cualquier número. En el Capítulo 2, usaste bloques como modelos de personas de diferentes tamaños. Aunque los bloques modelos no parecen una persona, la relación entre el volumen y el área de superficie de los modelos fue similar a la de los humanos. Los modelos matemáticos y científicos permiten comprender ideas complejas al simplificarlas o facilitar su visualización. En esta lección, vamos a usar otra vez bolsas y bloques como modelos de expresiones algebraicas. El añadir una balanza al modelo permitirá modelar ecuaciones algebraicas y encontrar formas más eficaces de resolverlas. Explora Cada bolsa de esta balanza contiene un mismo número de bloques. El peso de las bolsas es casi insignificante en comparación con el peso de los bloques. Cuántos bloques hay en cada bolsa? Explica cómo calculaste la respuesta. Verifica para asegurar que tu respuesta sea la solución al acertijo. LECCIÓN 6.2 Un modelo para resolver ecuaciones 395

15 Investigación 1 Haz y resuelve acertijos de balanza Ahora es tu turno para dibujar acertijos de balanza y resolverlos con tus compañeros. Las reglas para la creación de acertijos de balanza son las siguientes. En todo acertijo, todas las bolsas deben contener el mismo número de bloques. Ambos lados de la balanza deberán tener el mismo número total de bloques, con diferentes combinaciones de número de bolsas y bloques individuales en cada lado. Sección de problemas A 1. Dibuja tu propio acertijo usando un máximo de 10 bloques en cada lado de la balanza, incluyendo los bloques en el interior de las bolsas. Intercambia acertijos con tu compañero y resuelve el acertijo de tu compañero. 2. Ahora dibuja un acertijo más difícil. Usa un total de 12 ó más bloques en cada lado. Intercambia acertijos con tu compañero y resuelve el acertijo de tu compañero. Cuando resuelvas los acertijos de balanza de la Sección de problemas B, trata de pensar en más de una estrategia para resolver cada uno de ellos. Sección de problemas B 1. Zoe y Luis retaron a sus compañeros a que resolvieran el siguiente acertijo de balanza. a. Cuántos bloques hay en cada bolsa? Verifica tu solución. b. Qué estrategia usaste para resolver cada acertijo? 396 CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones

16 Los compañeros de Zoe y Luis crearon acertijos similares. Resuelve cada acertijo calculando cuántos bloques contiene cada bolsa. 2. el acertijo de Tanya y Craig 3. el acertijo de Margaret y Ana 4. el acertijo de Imran y Zach 5. el acertijo de Lisa y Trent Comparte & resume Elige uno de los acertijos de balanza de la Sección de problemas B. Explica el método de solución que seguiste de modo que alguien en otra clase lo pueda entender. Asegúrate de justificar tu razonamiento. LECCIÓN 6.2 Un modelo para resolver ecuaciones 397

17 Investigación 2 Mantén las cosas balanceadas Es probable que hasta este momento hayas visto y usado una variedad de estrategias para resolver problemas de balanzas. En esta investigación te concentrarás en resolver acertijos manteniendo las cosas balanceadas. Pronto verás cómo la manera de pensar implicada en esta estrategia te va a servir para resolver ecuaciones. E J E M P L O Malik resolvió el problema 5 en la Sección de problemas B de la manera siguiente. Estoy tratando de mantener balanceados mentalmente los platillos. Si quito lo mismo de cada lado, lo que quede en los platillos seguirá balanceado. Puedo eliminar una bolsa de cada lado y obtengo lo siguiente. Después podría quitar 2 bolsas más y un bloque de cada lado Lo que queda debe ser igual. Por lo tanto, cada bolsa contiene 5 bloques. Verifícalo: 3 bolsas y 6 bloques es igual a = 21 bloques. En el otro: 4 bolsas y 1 bloque es igual a = 21 bloques. Funciona! Malik mantuvo el balance al retirar el mismo número de bolsas o bloques de cada lado, hasta que se quedó con 1 bolsa a la derecha y 5 bloques a la izquierda. Sección de problemas C Mantén las cosas balanceadas para resolver cada acertijo. Anota en cada paso lo que haces, así como lo que queda en cada lado de la balanza. Dibuja cada paso si así lo prefieres. Asegúrate de verificar las soluciones CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones

18 En el Capítulo 1, escribiste expresiones algebraicas que describían situaciones relacionadas con bolsas y bloques. De igual manera, puedes escribir ecuaciones algebraicas que describan los acertijos de balanza. E J E M P L O Kate creó el siguiente acertijo de balanza. En este lado, Kate puso 2 bolsas de bloques y 5 bloques individuales. Si n representa el número de bloques en cada bolsa, entonces el número de bloques en dos bolsas y cinco bloques es 2n 5. En este lado, Kate puso 3 bolsas de bloques y 2 bloques individuales. El número de bloques en tres bolsas y dos bloques es 3n 2. 2n + 5 3n + 2 Dado que ambos lados están balanceados, el número de bloques a la izquierda, 2n 5, es igual el número de bloques a la derecha, 3n 2. Esto se puede expresar con la siguiente ecuación. 2n 5 3n 2 Cuando calcules el número de bloques en cada bolsa, habrás calculado el valor de n. Sección de problemas D 1. Examina la balanza de Kate. a. Calcula el número de bloques en cada bolsa. b. Verifica que tu respuesta sea la solución de la ecuación 2n 5 3n 2. LECCIÓN 6.2 Un modelo para resolver ecuaciones 399

19 2. Nguyen creó el siguiente acertijo de balanza. a. Sea b el número de bloques en cada bolsa. Escribe una ecuación que describa el acertijo de balanza de Nguyen. b. Usa el dibujo para calcular el valor de b. c. Verifica que tu respuesta a la parte b sea la solución de la ecuación. & Piensa comenta Shamariah creó el siguiente acertijo de balanza. Escribe una ecuación que represente el acertijo de Shamariah. Cuántos bloques contiene cada bolsa? Verifica que tu respuesta sea la solución de la ecuación. Joel le dijo a Shamariah que su acertijo no se podría hacer con bloques de verdad porque cada bolsa tendría que incluir medio bloque. Shamariah le contestó que ella había pensado en un método ligeramente diferente: usar bloques de barro para que fuera fácil dividirlos. De este modo, podría crear acertijos de balanza que incluyeran fracciones de bloque. 400 CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones

20 Sección de problemas E En los siguientes acertijos las bolsas pueden contener fracciones de bloque. 1. Helena creó el siguiente acertijo. H a. Escribe una ecuación que describa el acertijo de Helena. b. Cuántos bloques contiene cada bolsa? Explica cómo calculaste la solución. c. Verifica que tu respuesta a la parte b sea la solución de la ecuación. 2. Toby creó el siguiente acertijo. T a. Escribe una ecuación que describa el acertijo de Toby. b. Cuántos bloques contiene cada bolsa? Explica cómo calculaste la solución. c. Verifica que tu respuesta a la parte b sea la solución de la ecuación. Comparte & resume 1. Crea un acertijo de balanza para el cual la solución no sea un número entero de bloques. Intercambia acertijos con tu compañero y resuelve el acertijo de tu compañero. 2. Escribe una ecuación que describa tu acertijo. Explica por qué la ecuación describe el acertijo. 3. Verifica que la solución al acertijo sea también la solución de la ecuación. LECCIÓN 6.2 Un modelo para resolver ecuaciones 401

21 Investigación 3 Resuelve problemas con acertijos de balanza Ya has visto que la solución a un acertijo de balanza es igual a la solución de la ecuación que representa al acertijo. Ahora resolverás ecuaciones creando y resolviendo acertijos de balanza. En algunos casos, las soluciones no serán números enteros. Sección de problemas F 1. Considera la ecuación 3n 8 5n 2. a. Dibuja un acertijo de balanza que represente la ecuación. Explica cómo sabes que el acertijo representa la ecuación. b. Usa tu acertijo para resolver la ecuación. Verifica tu respuesta reemplazándola en la ecuación. 2. Considera la ecuación 4t t. a. Dibuja un acertijo de balanza que represente la ecuación. Explica cómo sabes que el acertijo representa la ecuación. b. Usa tu acertijo para resolver la ecuación. Verifica tu respuesta reemplazándola en la ecuación. Trata de resolver las siguientes ecuaciones. Esta vez en lugar de dibujar el acertijo de balanza, trata sólo de imaginarlo. Verifica cada solución reemplazándola en la ecuación. 3. 2h 3 h t t 402 CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones

22 Cuando un problema se puede representar con una ecuación, a veces es posible también dibujar o imaginar un acertijo de balanza para calcular su solución. Sección de problemas G 1. Jenny estaba llenando botellas con un tanque de agua. Después de que llenó dos botellas, sobraban 7 litros de agua en el tanque. Después de que llenó cuatro botellas, sobraban 2 litros de agua en el tanque. a. Sea v la cantidad de agua contenida en cada botella. Escribe una ecuación que permita calcular el valor de v. b. Resuelve la ecuación imaginando un acertijo de balanza. Verifica tu respuesta. 2. Maya dijo, Estoy pensando en un número. Si lo multiplico por 6 y le sumo 5, obtengo el mismo resultado que si lo multiplico por 3 y le sumo 17. a. Usa M para representar el número de Maya. Escribe una ecuación que permita calcular el valor de M. b. Resuelve la ecuación imaginando un acertijo de balanza. Verifica tu solución. Comparte & resume Explica cómo puedes usar un acertijo de balanza para resolver una ecuación. Tu explicación deberá ser lo suficientemente clara como para que alguien en otra clase pueda entenderla. LECCIÓN 6.2 Un modelo para resolver ecuaciones 403

23 Ejercicios por tu cuenta Practica & aplica Los alumnos en la clase de la Srta. Ávila crearon varios acertijos de balanza. En los ejercicios 1 al 4, indica cuántos bloques contiene cada bolsa. 1. acertijo de Chondra y Toshiro 2. acertijo de Alberto y Elena Recuerda En un acertijo de balanza cada bolsa contiene un mismo número de bloques. 3. acertijo de Benita y Ayana 4. acertijo de Molly y Jona 5. Crea tres acertijos de balanza que tengan un total de 11 bloques en cada lado. Escribe una ecuación para cada acertijo y resuélvela. 6. Raphael y Gary crearon el siguiente acertijo de balanza. Cuántos bloques contiene cada bolsa? Anota cada uno de los pasos que seguiste para resolver el acertijo. 7. Considera el siguiente acertijo de balanza. a. Escribe una ecuación que describa el acertijo. Sea n el número de bloques en cada bolsa. b. Usa el dibujo para calcular el valor de n. c. Verifica que tu respuesta a la parte b sea la solución a la ecuación. 404 CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones impactmath.com/self_check_quiz

24 8. Considera la ecuación 3p 10 5p 3. a. Dibuja un acertijo de balanza que represente la ecuación. Explica cómo sabes que el acertijo describe la ecuación. b. Usa el dibujo para resolver la ecuación. Verifica tu respuesta reemplazándola en la ecuación. Conecta & amplía 9. Nicky dijo, La suma de un número más 21 es igual a multiplicar 4 veces ese número. Cuál es el número? a. Representa el número de Nicky con N y escribe una ecuación que permita calcular el valor de N. b. Resuelve la ecuación imaginando un acertijo de balanza. Verifica tu solución. 10. Cada una de las siguientes balanzas contiene diferentes conjuntos de bloques, jacks y canicas. Cada canica tiene una masa de 10 gramos. a. Calcula la masa de cada jack y la masa de cada bloque. Describe los pasos que seguiste. b. La siguiente balanza contiene bloques, canicas y jacks al igual que la parte a, pero además contiene algunos palillos de dientes. Calcula la masa de cada palillo de dientes. LECCIÓN 6.2 Un modelo para resolver ecuaciones 405

25 11. Sareeta y su hermano Khalid llenaron bolsas con dulces para regalarlas durante el cumpleaños de Sareeta. Cada quien tomó una misma cantidad de dulces y, luego, cada quien por su parte empezó a llenar bolsas con un mismo número de dulces. Sareeta llenó cinco bolsas y le sobró un dulce. Khalid llenó cuatro bolsas y le sobraron siete dulces (los cuales decidió comerse). a. Sea n el número de dulces en una bolsa. Escribe una expresión que describa el modo en que Sareeta repartió sus dulces. b. Escribe una expresión que describa las cuatro bolsas de Khalid y los siete dulces que le sobraron. c. Debido a que Sareeta y Khalid empezaron con un mismo número de dulces, es posible balancear la distribución de los dulces. Dibuja un acertijo de balanza que represente esta situación. d. Escribe una ecuación que represente tu acertijo de balanza. e. Usa el acertijo de balanza para calcular cuántos dulces hay en cada bolsa. f. Demuestra que tu respuesta a la parte e es la solución a la ecuación. En tus propias palabras Susan dijo, Cuando pienso en resolver una ecuación usando un acertijo de balanza, pienso en hacer los mismos cambios en ambos lados. A qué crees que se refiere? 12. Lee la historia acerca de Sareeta y Khalid en el ejercicio 11. a. Inventa una historia similar que se pueda representar con la ecuación 3n 2 2n 9. b. Dibuja un acertijo de balanza para la ecuación y calcula el valor de n. c. Demuestra que tu respuesta a la parte b es la solución a la ecuación. 13. Considera la ecuación 2v 50 7v 30. a. Describe una situación que coincida con esta ecuación. b. Calcula el valor de v. Verifica tu respuesta. c. Explica qué significa la solución en términos de la situación descrita en la parte a. 406 CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones

26 14. Estudia el patrón de figuras. Figura 0 Figura 1 Figura 2 Figura 3 a. Cuántos cuadrados habrá en la figura 4? Cuántos en la figura 5? b. Escribe una expresión que represente el número de cuadrados en la figura n. c. Cuántos cuadrados habrá en la figura 20? d. Escribe una ecuación que te permita calcular cuál figura tendrá 25 cuadrados. Resuelve la ecuación. Repaso mixto 15. Reto Sergei y Hilary estaban recortando serpentinas de una longitud determinada para una fiesta. Sergei tomó una tira de papel crepé y dijo que la tira alcanzaría para cortar una serpentina y le sobrarían 3 pies. Hilary dijo que si la tira de papel fuera 1 pie más larga, serviría para cortar exactamente dos serpentinas. a. Calcula cuánto miden las serpentinas que están cortando Sergei y Hilary. Muestra cómo calculaste tu respuesta. b. Calcula la longitud de la tira de papel crepé que tomó Sergei. Calcula cada producto Calcula cada cociente Escribe cada número usando notación científica , ,500,000 LECCIÓN 6.2 Un modelo para resolver ecuaciones 407

27 25. Dibuja un árbol de factores para determinar todos lo factores primos de Despeja a en la ecuación 7a 5 2a 15. Grafica cada relación lineal. Coloca g en el eje vertical. 27. g 3 2 a g 1 4 a g a Estadística La tabla muestra la distribución aproximada de los tipos de sangre en la población de EE.UU. Positivo y negativo indican si la sangre de una persona posee o no un componente particular llamado factor Rh. Tipos de sangre en EE.UU. Tipo de sangree Porcentaje O positivo 38 O negativo 7 A positivo 34 A negativo 6 B positivo 9 B negativo 2 AB positivo 3 AB negativo 1 Datos deinterés El factor Rh es una proteína presente en los glóbulos rojos de la sangre de cerca del 85% de las personas. Se conoce como Rh porque fue identificado por primera vez en la sangre de los monos rhesus. a. Qué porcentaje de personas en los Estados Unidos tienen sangre tipo Rh negativo? b. La población proyectada de los EE.UU. para el año 2050 es de 391,000,000 personas. Si la distribución de los tipos de sangre no cambia mucho, cuántas personas tendrán sangre tipo AB negativo en el año 2050? c. Hacia el año 2050, cuál será la diferencia entre el número de personas con Rh positivo y el número de personas con Rh negativo? d. Supón que el porcentaje de personas con sangre tipo B negativo se duplicará para el año Cuántas personas tendrían este tipo de sangre en el año 2050? 408 CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones

28 Piensa en símbolos Kate resolvió la ecuación 2k 11 4k 3 imaginando un acertijo de balanza. Mostraré 2k + 11 = 4k + 3 como si fueran bolsas y bloques en una balanza. Un lado de la balanza tiene 11 bloques y 2 bolsas. El otro lado tiene 4 bolsas y 3 bloques. Puedo quitar 2 bolsas de cada lado y la escala seguiría balanceada. Elimino 2 bolsas de k de ambos lados y me quedan 11 = 2k + 3. Si quitara 3 bloques de cada lado, qué me quedaría? Vamos a ver me quedaría 8 = 2k. Ahora puedo ver que en las dos bolsas restantes debe haber un total de 8 bloques, por lo tanto, cada bolsa deberá contener 4 bloques: 4 = k! Kate resumió su solución en símbolos. k k k k k = = = 2 4 = después de eliminar 2 bolsas de cada lado después de eliminar 3 bloques de cada lado después de eliminar la mitad de lo que quedaba Ł en cada lado Explora Piensa acerca de cómo resolverías la ecuación 14 3a 7a 2, usando un acertijo de balanza. En cada paso de tu solución, usa una ecuación que exprese lo que queda en la balanza. Luego resume la solución en símbolos, al igual que Kate. Si así lo prefieres, después de cada paso dibuja lo que sobra en la balanza. LECCIÓN 6.3 Piensa en símbolos 409

29 Investigación 1 Escribe soluciones usando símbolos Ya has resuelto ecuaciones dibujando e imaginando acertijos de balanza. Ahora practicarás el uso de símbolos para representar los diferentes pasos en tus soluciones. Sección de problemas A Resuelve cada ecuación dibujando o imaginando un acertijo de balanza. Resume la solución en símbolos, al igual que Kate. 1. 2x 7 5x r 20 10r 5 En la balanza descrita al inicio de esta lección, Kate rotuló la solución para describir cómo cambiaron los lados de la balanza en cada paso. A continuación, se presenta otra vez la solución de Kate, pero esta vez las etiquetas describen las operaciones matemáticas. Estas operaciones muestran cómo cambió la ecuación a cada paso. E J E M P L O 2k 11 4k k 3 después de restar 2k de cada lado 8 2k después de restar 3 de cada lado 4 k después de dividir cada lado entre 2 Sección de problemas B 1. Copia las soluciones en símbolos de ambos problemas de la Sección de problemas A. A un lado de cada paso, explica cómo cambió la ecuación desde el paso anterior. Trata de resolver las siguientes ecuaciones usando solamente símbolos y haciendo las mismas operaciones en ambos lados. Trata de que la ecuación resultante sea más sencilla después de cada paso. A un lado de cada paso de la solución, explica cómo cambió la ecuación desde el paso anterior. Si tienes algún problema, dibuja o imagina un acertijo de balanza. 2. 3y 17 4y x 4 x CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones

30 Comparte & resume Explica por qué el realizar la misma operación matemática en ambos lados de una ecuación es lo mismo que realizar el mismo tipo de cambio en ambos lados de una balanza. Investigación 2 Haz lo mismo en ambos lados Los acertijos de balanza y las ecuaciones se pueden resolver haciendo cambios iguales en ambos lados. En cada paso se reduce el problema hasta que la solución es clara. Sección de problemas C Trata de resolver cada ecuación haciendo la misma operación matemática en ambos lados y sin pensar en un acertijo de balanza. A un lado de cada paso de la solución, explica cómo cambió la ecuación desde el paso anterior. 1. 5x x 4 2. r 12 3r P 20 5P y 3 3y Kenneth creó un acertijo numérico. Estoy pensando en un número. Si los multiplico por 5 y luego le resto 9, obtengo dos veces mi número original. Escribe una ecuación que permita calcular el número que pensó Kenneth. Resuelve la ecuación haciendo las mismas operaciones en ambos lados. A un lado de cada paso de la solución, explica cómo cambió la ecuación desde el paso anterior. Asegúrate de verificar la solución. El acertijo numérico de Kenneth es un ejemplo de cuándo no sería útil pensar en un acertijo de balanza. Esto se debe a que sería muy difícil usar un acertijo de balanza para restar 9 bloques de 5 bolsas. Inténtalo y observa! LECCIÓN 6.3 Piensa en símbolos 411

31 Hacer los mismos cambios en ambos lados es un método que sirve para resolver una gran cantidad de ecuaciones. A partir de ahora, puedes usar este método para resolver cualquier ecuación, independientemente de que la ecuación se pueda modelar o no con un acertijo de balanza. Sección de problemas D Resuelve cada ecuación haciendo los mismos cambios en ambos lados. Si te sirve de ayuda, explica cómo cambia la ecuación en cada paso. Verifica tus soluciones. 1. 2P 7 4P r 2 r 3. 2a y 3 2y x x x Zach, Luis y Shaunda calcularon la solución correcta para esta ecuación: 5r 16 r Zach primero restó 5r en ambos lados. Luis primero sumó 16 en ambos lados. Shaunda primero dividió ambos lados entre 5. a. Resuelve la ecuación comenzando con el primer paso de Zach. b. Resuelve la ecuación comenzando con el primer paso de Luis. c. Resuelve la ecuación comenzando con el primer paso de Shaunda. d. Cuál de los tres métodos parece ser más sencillo? Explica por qué. Comparte & resume 1. Considera la ecuación 2x x 7 2. a. Explica por qué sería difícil resolverla usando un acertijo de balanza. b. Explica por qué se puede resolver haciendo los mismos cambios en ambos lados. 2. Resuelve 2x x 7 2 haciendo los mismos cambios en ambos lados. Explica cómo cambió la ecuación en cada paso. 412 CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones

32 Investigación 3 Resuelve más ecuaciones Ya viste que al hacer los mismos cambios en ambos lados, se pueden resolver ecuaciones que son difíciles de resolver usando los acertijos de balanza. Ahora vas a practicar resolviendo algunas ecuaciones adicionales. Sección de problemas E Datos deinterés Los hámsters promedian de 6 a 8 crías por camada, pero en algunas ocasiones llegan a parir 15 ó más crías. Las crías nacen sin pelo y no abren los ojos durante una o dos semanas. 1. Resuelve la ecuación 5 2x 3x sumando primero la misma cantidad a ambos lados. Verifica tu solución. 2. Resuelve la ecuación 10 4z 2z 2. Verifica tu solución. 3. Resuelve la ecuación 1 2 B B 4 multiplicando primero ambos lados por la misma cantidad. Verifica tu solución. 4. Resuelve la ecuación 3 k 8 k. Resuelve cada ecuación ejecutando los mismos cambios en ambos lados. 5. 4b 2 6b c 1 9 3c 7. 2d 1 14 d 8. 5e e 9. El hámster de Maya tuvo una camada de crías. Después de que Maya regaló a tres de las crías, quedaron 3 4 de la camada. Cuántas crías le quedaron a Maya? LECCIÓN 6.3 Piensa en símbolos 413

33 Cuando se resuelve una ecuación haciendo la misma operación en ambos lados, por lo general se trata de hacer la ecuación más sencilla en cada paso. Qué pasaría si complicaras más la ecuación en cada paso? E J E M P L O Primero escribe la solución. x 7 Multiplica ambos lados por 3. 3x 21 Suma 2x a ambos lados. 5x 21 2x Resta 2 de ambos lados. 5x x Divide ambos lados entre x x En la Sección de problemas F vas a crear problemas de álgebra complicados. Primero vas a comenzar con una ecuación simple y luego realizarás operaciones en ambos lados para hacerla más complicada. Cuando creas que tu ecuación sea suficientemente difícil, reta a un compañero a que la resuelva. Trata de sorprender a tus compañeros! Sección de problemas F 1. Verifica que la solución final del ejemplo sea Explica por qué 7 es la solución de todas las ecuaciones en el ejemplo. 3. Crea tu propia ecuación complicada. Primero, elige un número. Luego, escribe la ecuación x tu número. Después, realiza tres o cuatro veces las mismas operaciones en ambos lados para que la ecuación se complique. Verifica que el número que elegiste sea la solución de tu ecuación final. (Si no lo es, repasa tus pasos y corrige el problema.) 4. Intercambia ecuaciones con tu compañero y resuelve la ecuación de tu compañero. Comparte & resume Explica por qué la solución de una ecuación no cambia, cuando modificas la ecuación haciendo idénticas operaciones en ambos lados de la misma. 414 CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones

34 Ejercicios por tu cuenta Practica & aplica Resuelve cada ecuación imaginando o dibujando un acertijo de balanza. Escribe los pasos de tu solución en símbolos. Verifica las soluciones. 1. 2x 9 6x z 28 12z w 11w v 2v 12 Resuelve cada ecuación usando símbolos. Al lado de cada paso, explica cómo cambió la ecuación desde el paso anterior. Verifica las soluciones. 5. 2a 10 6a b 28 12b 7 Resuelve cada ecuación haciendo las mismas operaciones en ambos lados. Verifica las soluciones c 12c d 7d k 6 4k m n n p r 4 34r s 7 10s Darnell dijo: Si multiplicas el número de perros que tengo por 8 y después restas 10, obtienes el mismo número que si triplicas el número de perros que tengo y sumas 5. a. Escribe una ecuación que permita calcular cuántos perros tiene Darnell. b. Resuelve la ecuación haciendo las mismas operaciones en ambos lados. Verifica la solución. 16. Karl dijo, Si divido la edad de mi perro entre 4 y resto 2, obtengo el mismo resultado que si divido la edad de mi perro entre 8. a. Escribe una ecuación que permita calcular la edad del perro. b. Resuelve la ecuación haciendo las mismas operaciones en ambos lados. Verifica la solución. impactmath.com/self_check_quiz LECCIÓN 6.3 Piensa en símbolos 415

35 17. Considera la ecuación 27q 100 2q. a. Resuelve la ecuación sumando primero 100 a ambos lados. b. Resuelve la ecuación restando primero 2q de ambos lados. c. Resuelve la ecuación restando primero 27q de ambos lados. d. Cuál de las soluciones fue la más sencilla? Resuelve cada ecuación haciendo las mismas operaciones en ambos lados q q c 3c d 7 12 d d 2 3d Kate está preparando un almuerzo para sus tres mejores amigas, pero el único jugo que tiene son las botellas pequeñas que le gustan tanto a su hermana, quien tiene 16 botellas de jugo de manzana. Kate llena un vaso de 10 onzas para cada amiga y uno para ella y le sobran 6 botellas de jugo. Escribe una ecuación que permita calcular cuántas onzas de jugo contiene cada botella. Resuelve la ecuación. Conecta & amplía 23. Escribe tres ecuaciones cuya solución sea Yago trató de resolver esta ecuación usando un acertijo de balanza. 5r r 3r Cuál crees que fue la solución que calculó Yago? 25. Odell trató de resolver la ecuación 6(x 7) 4x 3 y anotó los siguientes pasos: 6(x 7) 4x 3 6x 4x 10 después de restar 7 de ambos lados 2x 10 después de restar 4x de ambos lados x 5 después de dividir ambos lados entre 2 Al verificar la solución, Odell encontró que no estaba correcta. Cuál fue su error? Reto Resuelve cada ecuación haciendo las mismas operaciones en ambos lados. 26. x v x CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones

36 propias En t us palabras Describe dos o más tipos de ecuaciones que sean difíciles de modelar con acertijos de balanza. Crees que estas ecuaciones pueden resolverse fácilmente si se hacen las mismas operaciones en ambos lados de cada ecuación? Explica. 29. Puedes resolver muchas ecuaciones dibujando dos rectas y calculando el punto donde se intersecan. Considera la ecuación 2x 3 1 3x. a. Grafica en una misma gráfica y 2x 3 y y 1 3x. b. Anota las coordenadas del punto donde las rectas se intersecan. c. Ahora resuelve 2x 3 1 3x haciendo las mismas operaciones en ambos lados. d. Compara la coordenadas x del punto de intersección de las ecuaciones y 2x 3 y y 1 3x y la solución de 2x 3 1 3x. Explica por qué tiene sentido. e. Resuelve 3x 4 6 2x trazando dos rectas. Resuelve cada ecuación (x 4) (x 4) 2(x 1) 32. x 8 3x Kate tiene cuatro paquetes de globos y 8 globos individuales. Su hermano le dio 3 paquetes y 20 globos individuales más. Ahora tiene el doble del número de globos que tenía al principio. a. Escribe y resuelve una ecuación que permita calcular cuántos globos hay en cada paquete. b. Cuántos globos tenía Kate al principio? 34. Geometría El volumen de un cilindro se calcula con la fórmula V r 2 h, donde r es el radio y h es la altura. a. Los cilindros A y B tienen el mismo volumen. Escribe una ecuación que permita calcular la altura del cilindro B. Explica cómo escribiste tu ecuación. 6 cm 4 cm 6 cm h A b. Resuelve la ecuación para calcular la altura del cilindro B, al 0.1 cm más cercano. B LECCIÓN 6.3 Piensa en símbolos 417

37 Repaso mixto Evalúa cada expresión Escribe la factorización prima de cada número usando exponentes. Por ejemplo, Copia y completa la tabla. Fracción Decimal Porcentaje 50% 21% Ordena de menor a mayor cada grupo de números , 0.001, 5, 1, , 3 4, 1 4, 3 2, Calcula el área y la circunferencia de un círculo cuyo radio mide 2 cm. 48. Reto Calcula el área de un cuadrado, si uno de sus lados mide s cm y su diagonal mide 1.5 cm. Muestra cómo se puede calcular la respuesta. Recuerda El teorema de Pitágoras indica que si a y b son los catetos de un triángulo rectángulo y c es la hipotenusa, entonces a 2 b 2 c La superficie de los Estados Unidos cubre cerca de acres, incluyendo las masas de agua, y tiene una población aproximada de 281,000,000 personas. a. Expresa la población de los Estados Unidos usando notación científica. b. Expresa el área total de los Estados Unidos usando notación estándar. c. Calcula el número de personas por acre en los Estados Unidos. 50. Probabilidad Gregory puso una ficha azul, una verde y dos rojas en una caja. Luego le pidió a Mai que sacara una ficha sin ver el interior de la caja. a. Cuál es la probabilidad de que Mai saque una ficha roja? b. Supón que Gregory agrega tres fichas azules más a las cuatro fichas originales en la caja. Cuál es ahora la probabilidad de que Mai saque una ficha azul? Cuál la de una ficha roja? 418 CAPÍTULO 6 Resuelve ecuaciones