EL CRECIMIENTO ECONÓMICO Hechos estilizados y modelos explicativos

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1 Parte 2 E CRECIMIENTO ECONÓMICO Hechos estilizados modelos explicativos Macroeconomía 2º curso ADE

2 E CRECIMIENTO ECONÓMICO Guía de estudio Emilio Congregado Enero, 2004 i

3 Capítulo a teoría del crecimiento económico Al igual que el estilo Título de capítulo que aparece arriba el estilo Subtítulo de capítulo que está leendo, los estilos predeterminados de Word están al alcance de su mano. E n 992, Chad era el país más pobre del mundo según la base de datos Penn World Table 5.6 ( Concretamente, su PIB per cápita era 45 veces inferior al de los Estados Unidos. Sin embargo, el rango de variación en las traectorias de crecimiento de los distintos países es amplio. Así, durante el período , seis países (Hong ong, Corea del Sur, Malta, Rumanía, Singapur Taiwan) habían experimentado un crecimiento de su PIB per cápita con tasas anuales superiores al 5%. Veinte países en el extremo opuesto, eran más pobres en 992 de lo que lo eran en 960. Es justamente, la explicación de estas diferencias entre países las que intenta explicar la teoría del crecimiento económico. Este capítulo se dedica al análisis de la literatura del crecimiento económico con el objetivo de observar cuáles son las ideas e intuiciones que aporta dicha literatura para comprender el crecimiento las diferencias observadas entre países regiones. a primera parte la dedicaremos a recorrer con datos cálculos sencillos, las experiencias que, en términos de crecimiento, han experimentado diferentes economías grupos de economías, en un intento de encontrar ciertas regularidades empíricas, ciertos hechos estilizados del crecimiento, que posteriormente deberían ser compatibles con las predicciones que se derivan de los diferentes modelos teóricos que intentan explicar el fenómeno. levada a cabo esta tarea, la segunda parte del capítulo se dedica al análisis del modelo más tradicional, el modelo de crecimiento neoclásico 2 (Solow, 956), en adelante modelo de Solow. En este modelo sobre la base de una función de producción agregada que presenta rendimientos a escala constantes, la simple introducción de una Summers, R. A. Heston (99): The Penn World Table Mar 5: An Expanded Set of International Comparisons, , Quarterl Journal of Economics, 99, 2, pp En esta dirección se puede encontrar una version más actualizada de las tablas. 2 Solow, R. (956): A Contribution to the Theor of Economic Growth, Quarterl Journal of Economics, 956, pp

4 le dinámica de acumulación del capital, nos es suficiente para formular el modelo para caracterizar el estado estacionario de la economía. De las proposiciones del modelo, conocido en la literatura como modelo de crecimiento neoclásico, se deriva la importancia del ahorro de la acumulación de capital físico en el proceso de crecimiento económico. El trabajo empírico, derivado del análisis de la contabilidad del crecimiento, esto es, la descomposición del crecimiento de la producción a través de la contribución de la acumulación de factores productivos, puso de manifiesto la existencia de l crecimiento de un residuo no explicado. El candidato natural para explicar este residuo el progreso tecnológico- fue de esta forma incorporado al modelo básico para aumentar su poder predictivo. Sin embargo, el cuestionamiento de los supuestos básicos del modelo de Solow rendimientos decrecientes- o la inclusión de capital humano, serían dos estrategias que tendrían una amplia repercusión en la evolución de este tipo de literatura. A mediados de los ochenta, sobre todo en los 90, el modelo de crecimiento neoclásico es puesto en cuestión, a que: Desde el punto de vista teórico, el modelo de crecimiento neoclásico era incapaz de explicar los determinantes del progreso tecnológico, factor que, en el modelo neoclásico ampliado, se convertía en el factor más importante para entender la evolución de las economías a largo plazo, era considerado como exógeno al mismo. Desde el punto de vista empírico, las proposiciones que se derivan del modelo de crecimiento neoclásico no encajaban con la persistencia de las disparidades de en los niveles tasas de crecimiento de la renta per cápita entre países. Así, a partir de los trabajos de Paul Romer (986) Robert E. ucas, aparece una nueva generación de modelos de crecimiento en los que las variables se endogeneizan se derivan de la conducta del agente representativo, aunque poniendo el énfasis en diferentes variables. El nuevo tipo de trabajo teórico empírico, se vino en llamar teoría del crecimiento endógeno. Modelos de crecimiento Si queremos construir un modelo para entender el proceso de crecimiento, el unto de partida natural es la formulación de una función de producción agregada, esto es una relación funcional, más o menos compleja, entre los factores productivos el output agregado. En general, los aumentos de la producción han de deberse a aumentos en las cantidades de factores o a mejoras en el estado de la tecnología, que permitan producir más con una misma dotación de factores. El segundo elemento clave en un modelo de crecimiento es la formulación de ecuaciones que describan la dinámica evolución del sistema- en nuestro caso, lees que describan el proceso de acumulación de aquellos factores que, por su propia naturaleza sean acumulables. Así, pues en un modelo de crecimiento básico en el que 3

5 tan solo incluamos dos factores, uno acumulable otro que no lo sea, tan solo necesitaremos: una le dinámica de acumulación del factor reproducible. una función de producción agregada, sobre la cual introduciremos todos aquellos supuestos que estimemos necesarios, una le dinámica de acumulación del factor o factores reproducibles. A lo largo del capítulo iremos presentando una serie de modelos en una especie de secuencia histórica en la que los modelos iniciales, en la medida en que no son capaces de explicar satisfactoriamente, los hechos del crecimiento, son sustituidos/mejorados por otros en los que o bien se reformulan modelos a existentes o en los que se incorporan nuevos elementos explicativos, nuevos motores del crecimiento no incorporados hasta entonces. os motores del crecimiento que veremos incorporados a nuestros modelos serán: el capital físico, el capital humano el progreso tecnológico. 4

6 El modelo neoclásico básico: el modelo de Solow El modelo básico de Solow (956), está construido alrededor de dos ecuaciones: una función de producción agregada, punto de partida de cualquier modelo de crecimiento, una ecuación que describe el proceso de acumulación del capital, único factor reproducible en esta formulación del modelo. Imaginemos un mundo en el que tan solo existen dos factores un bien homogéneo. a función de producción agregada de una economía se describe como la relación existente entre los factores productivos el stoc de capital () el trabajo ()- la producción agregada de la economía (): F(, ) () Con respecto a la función de producción estableceremos los siguientes supuestos: i) as productividades marginales de ambos factores son positivas decrecientes.es decir, dado el trabajo, el capital tiene rendimientos decrecientes dado el capital, el trabajo tiene rendimientos decrecientes. F PMa > 0 F PMa < 0 F PMa > 0 F PMa < 0 F(, ) F (, ) F F PMa PMa Ilustración 4: Una función de producción con productividades marginales positivas decrecientes respecto a sus argumentos. 5

7 ii) iii) a función de producción es homogénea lineal, es decir, presenta rendimientos constantes a escala: ( λ, λ) λf( ) F, En otros términos, si multiplicamos los factores en una determinada proporción ó escala, λ, la producción aumenta en esa misma proporción rendimientos constantes a escala-. os mercados de factores son competitivos, por lo que cada factor se remunera según su productividad marginal. Recordando la teoría de la demanda de factores productivos, las cantidades de factores demandadas por una empresa, se derivaban del problema de maximización de beneficios. De acuerdo con la función de producción empleada, las variables de elección del problema son las cantidades demandadas de los factores,. Así, suponiendo un precio unitario para el bien o servicio producido por la empresa, el problema de maximización de beneficios, en un contexto competitivo, se puede expresar como: Max F (, ) (, ) r w donde r w, son, respectivamente, las remuneraciones unitarias del capital el trabajo. Aplicando las condiciones necesarias de optimización del problema se tiene que: F r 0 r PMa F w 0 w PMa Expresiones que indican que los factores, en mercados competitivos, se retribuen según su productividad marginal. En términos agregados la retribución total del factor trabajo será el producto del salario por la cantidad del factor w. Por analogía, la retribución total del factor capital, es r. De esta forma la retribución total de los factores será: w + r Como la retribución de los factores coincide con su productividad marginal, la expresión anterior puede reescribirse como: w + r PMa + PMa Si recordamos el teorema de Euler, más concretamente su aplicación a una función de producción homogénea lineal, obteníamos la le de agotamiento del producto, esto es: F(, ) PMa + PMa es decir, con rendimientos a escala constantes mercados de factores competitivos la producción se agota con el pago a los factores. En otros términos, la producción es igual a la renta. 6

8 iv) a productividad marginal del capital por trabajador es nula si sólo sí el capital por trabajador es nulo. Expresemos la función de producción agregada en forma intensiva, esto es, en términos del output capital por trabajador. Si denotamos por al output por trabajador - - por, al capital por trabajador - -, la función de producción en forma intensiva se puede obtener, haciendo uso de la propiedad de homogeneidad lineal de la función de producción agregada. Así, como la función de F λ, λ λf, λ, tomando producción agregada tiene que cumplir que: ( ) ( ) λ, podemos escribir: F, F(, ) F,, de donde: Al haber fijado el valor del segundo argumento de la función de producción, ahora a no tenemos una función de R 2 en R, sino una función de R en R. Por tanto podemos escribir que: f expresión, que, en términos de output capital por trabajador podemos expresar como: f () a relación entre estas dos variables se representa en la siguiente ilustración a través de una curva con pendiente positiva. Cuando aumenta el capital por unidad de trabajo, también lo hace la producción por unidad de trabajo. Pero como consecuencia de los rendimientos decrecientes del capital, los aumentos de, generan incrementos cada vez menores de. Compárese el paso de A a B, frente al paso de B a C. f () f ( 4) f ( 2) B C f () f () A 2 4 7

9 Ilustración 5: a función de producción agregada en forma intensiva 8

10 v) a productividad marginal del capital es positiva decreciente, siendo mu elevada al principio mu pequeña al final. En términos matemáticos: f '( ) > 0 f ''( ) < 0 lim f '( ) 0 lim f '( ) 0 legados a este punto, puede resultar mu útil la realización del problema propuesto número 3, en el que se le pide que sobre la base de una función Cobb-Douglas, compruebe el tipo de rendimientos a escala que presenta, obtenga su forma intensiva calcule las participaciones de ambos factores en la renta nacional. Una vez establecidos los supuestos de partida sobre la función de producción agregada sus argumentos, para formular un modelo de crecimiento Para ilustrar el modelo básico de Solow, tan solo tenemos que formular una le dinámica de acumulación del capital. Para ello, nos basta suponer que la inversión neta, que denotaremos con la variación absoluta del stoc de capital, d, es la inversión bruta menos la depreciación. Si nos encontramos ante una economía cerrada sin sector público, el ahorro bruto ha de ser igual a la inversión bruta. Si suponemos que el ahorro representa una fracción constante s, - 0 < s < - del output total que el capital se deprecia a una tasa constante δ, podemos escribir que: d s δ Si expresamos la le dinámica de acumulación del capital, en términos de output capital por trabajador o unidad de trabajo, nos bastará con dividir toda la expresión entre : d Reordenando términos: s d δ s δ d s δ Si multiplicamos dividimos por, el primer miembro: d d s δ s δ 9

11 d Restando en los dos miembros: d d 4243 d s δ Si suponemos que la tasa de crecimiento de la población ocupada es exógena constante e igual a n, podemos escribir que la tasa de variación del capital por trabajador es igual a una fracción constante, s, del output por trabajador, menos la inversión necesaria por ocupado para mantener constante el output por trabajador ( δ + n) observe que tanto la depreciación como el crecimiento de la fuerza laboral tienden a reducir el capital por ocupado en la economía-. Esta expresión de la le dinámica de acumulación del stoc de capital, en términos per cápita, también es habitual expresarla en términos de variación absoluta del stoc de capital por trabajador d-: d d s ( δ + n) d s ( δ + n) Esta ecuación describe toda la dinámica del modelo de Solow, establece que la variación del stoc de capital por unidad de trabajo es la diferencia entre dos términos. El primero de ellos s- es la inversión efectiva por unidad de trabajo, mientras que el segundo término - ( δ + n) -, es la inversión de sostenimiento por unidad de trabajo, es decir, el volumen de inversión necesario para mantener, en el mismo nivel, es decir para cubrir la depreciación dotar con capital a los nuevos entrantes al mercado de trabajo. Es decir, ha dos razones por las que necesitamos una inversión positiva para que, no disminua: i) porque el capital se deprecia con el uso (término δ ), ii) porque la cantidad de trabajo, crece a la tasa n, de forma que si invertimos tan solo δ, no es suficiente para dotar de capital a las nuevas incorporaciones a la fuerza laboral. Representemos gráficamente la ecuación anterior. En el eje de abscisas vamos a representar el stoc de capital por trabajador, mientras que, en el eje de ordenadas, vamos a representar, la inversión de sostenimiento, el PIB por trabajador la inversión efectiva o bruta por trabajador. Dados n δ, constantes, la inversión de sostenimiento, Is, es una recta con pendiente positiva que pasa por el origen de coordenadas: Observe que: Is ( n + δ ) 0

12 dis d ( n + δ ) > 0 Dada la función de producción en términos per cápita f()-, la inversión efectiva o curva de ahorro bruto, se situará por debajo de la función de producción, a que s, es un parámetro con recorrido entre 0. s sf ( ) con 0 s sf ( ) Is f ( ) s consumo Is ( n + δ ) f () sf () Ilustración 6: Diagrama de Solow: Determinación del stoc de capital por unidad de trabajo cuando la inversión efectiva es igual a la inversión de sostenimiento Cuando la inversión efectiva, es igual a la inversión de sostenimiento, el stoc de capital por trabajador es constante. Matemáticamente: ( n + ) 0 Si s δ d Esto ocurre, para aquel nivel de capital por trabajador para el que la línea de inversión efectiva se intersecta con la línea de inversión de sostenimiento, es decir cuando. ( n + ) 0 sf ( ) δ d Este es el nivel de stoc de capital por trabajador correspondiente al estado estacionario de la economía. A este nivel de capital por trabajador, le corresponde, sustituendo en la función de producción, un nivel de output por trabajador correspondiente al estado estacionario: f ( ). Observe que, el consumo por trabajador en el estado estacionario se determina por la diferencia entre la producción per cápita - - la inversión por trabajador en el estado estacionario, s.

13 Qué ocurre, en cambio, cuando la inversión efectiva es superior a la inversión de sostenimiento? Volviendo a la ecuación que nos da la evolución del stoc de capital por trabajador, se tiene que: s > ( n + δ ) d > 0. Observe que esto ocurre para niveles de inferiores a los del estado estacionario <. En la ilustración 7, el punto 0, cumple esta condición: ( n + ) 0 sf ( ) > δ 0 d 0 > Análogamente, si la inversión efectiva es menor a la de sostenimiento, el s < n + δ d < capital por trabajador disminue: ( ) 0 Esta situación se producirá para niveles de inferiores a los del estado estacionario >. En la ilustración 7, el punto, cumple esta condición: sf ) < n + δ d ( ) 0 ( < sf ( ) Is f ( ) Is ( n + δ ) f () d < 0 sf () d > 0 0 Ilustración 8: Convergencia en el modelo de Solow Una vez analizado el estado estacionario, detengámonos a analizar a qué tasas crecen el resto de variables en el modelo de Solow. Recordemos que en el estado estacionario el capital por trabajador no varía, por lo que su tasa de crecimiento es cero. Por tanto: d d 0 0 s ( δ + n) s ( n + δ ) De igual forma, si es constante, también ha de serlo: f ( ) d f '( ) d. Como d 0 d 0 2

14 Precisiones consideraciones adicionales Algunas precisiones consideraciones adicionales: d.- Que d 0, no implica que d 0, ni que 0. d d d d Como recordará n. Por tanto, d 0 d n d n Es decir, en el estado estacionario el stoc de capital no tiene porqué ser constante. 2.- Haciendo un razonamiento análogo al anterior, la tasa de crecimiento del PIB no tiene porqué ser nula. Crecerá a una tasa igual al crecimiento poblacional. d d d d n 3.- Si utilizamos una función Cobb-Douglas del tipo en términos de output por trabajador queda como: α α α α α α α Utilizando esta función, para hallar los valores del stoc de capital del output por unidad de trabajo, tendríamos: d 0 0 d α s ( δ + n) s ( n + δ ) s α, la función ( n + δ ) s n + δ ustituendo en la función de producción, el output por trabajador correspondiente al estado estacionario, sería: S α ( ) α s n + δ α α Observe la importancia de estos dos últimos resultados:. os países que tienen más altas tasas de ahorro, tendrán más capital por trabajador más output por trabajador, a que la tasa de ahorro determina el nivel de producción el capital por trabajador a largo plazo. 3

15 s δ n + α α s δ n + α 2. os países que tienen maores tasas de crecimiento poblacional, por el contrario, tenderán a ser más pobres según el modelo de Solow. Estática comparativa en el modelo básico de Solow Veamos que ocurre al equilibrio del modelo, en respuesta a cambios en los parámetros, n, δ s. Se trata pues, de averiguar cuales son los efectos de un shoc sobre una economía que comienza en el estado estacionario. Un aumento en la tasa de crecimiento poblacional Supongamos que una economía ha alcanzado su estado estacionario, pero que debido, por ejemplo, a la inmigración ve como la tasa de crecimiento poblacional se eleva desde n 0 a n. Como puede comprobar tan solo habrá cambiado la inversión de 0 sostenimiento, que ha pasado de ser Is n + δ ), en el momento inicial, a Is n + δ ). Matemáticamente: ( ( 0 Inicialmente, en el estado estacionario s ( n0 + δ ) d 0. Tras el aumento exógeno de la tasa de crecimiento poblacional, tendremos que: ( n + ) < 0 s < δ d. Para recobrar el equilibrio, el capital por trabajador ha de reducirse con él la producción por trabajador. Así, en el nuevo estado estacionario: s ( n + δ ) d 0 donde < ; <. Es decir, tras un aumento de la tasa de crecimiento poblacional, la inversión por trabajador a no es suficiente para mantener constante la ratio capital-trabajo, por lo que esta comienza a descender hasta el punto en el que se alcanza un nuevo estado estacionario,. En este nuevo punto el capital por trabajador es más pequeño, por lo que la economía se ha hecho más pobre. Gráficamente, el aumento en n, hace que la inversión de sostenimiento gire a la izquierda, recuerde que la pendiente de esta recta depende positivamente de n, de forma que la nueva intersección entre la ecuación de ahorro la inversión de sostenimiento se produce para un nivel de capital por trabajador inferior al inicial. Observe igualmente, que como consecuencia, se habrá reducido el output el consumo por trabajador, correspondientes a este nuevo estado estacionario. 4

16 f ( ) sf ( ) Is s s consumo inicial consumo nuevo Is ( n + δ ) 0 Is n + δ ) ( 0 f () sf () Ilustración 9: Un aumento en la tasa de crecimiento poblacional. Un aumento en la tasa de ahorro (inversión) Analicemos ahora el efecto de una economía que ha alcanzado el valor del estado estacionario de la producción por trabajador, en la que, gracias a una modificación en la conducta de los consumidores se ha producido un aumento permanente de la tasa de inversión, de forma que la tasa de ahorro pasa de s 0 a s. Ahora, a diferencia del ejercicio de estática comparativa anterior, la inversión de sostenimiento permanece inalterada mientras que la curva de ahorro se desplaza hacia arriba. Dada la ecuación que caracteriza el estado estacionario inicial, ( n + ) 0 s δ. 0 d Al aumentar la tasa de ahorro, el ahorro bruto por trabajador es maor que la inversión de sostenimiento, por lo para recobrar la igualdad, debe crecer el stoc de capital por trabajador, por consiguiente el output por trabajador. El nuevo estado estacionario es ahora. s δ ( n + ) 0 > d > En el nuevo estado estacionario: ( n + ) 0 s δ d donde > ; >. Es decir, tras un aumento de la tasa de ahorro, la inversión por trabajador supera la necesaria para mantener constante la ratio capital-trabajo. En el nuevo estado estacionario el capital por trabajador es más grande, por lo que la economía se ha hecho más rica. Gráficamente, el aumento en s, hace que la curva de ahorro se desplace hacia arriba, de forma que la nueva intersección entre la ecuación de ahorro la inversión de sostenimiento se produce para un nivel de capital por trabajador superior al inicial. 5

17 Observe igualmente, que como consecuencia, habrán aumentado el output el consumo por trabajador, correspondientes a este nuevo estado estacionario. sf ( ) Is f ( ) s s 0 consumo nuevo consumo inicial Is ( n + δ ) f () s f ( ) s f ( ) 0 Ilustración 0: Un aumento sostenido en la tasa de ahorro. Para el análisis de la dinámica de transición del modelo de las implicaciones de política económica del mismo, volvamos a representar el ejercicio de estática comparativa anterior, pero utilizando esta vez la ecuación que caracteriza el estado estacionario en términos de tasas de crecimiento de las variables. Es decir, representemos el estado estacionario inicial, el correspondiente a la tasa de ahorro s0, en un plano en el que el eje de abscisas es la tasa de crecimiento del stoc de capital per cápita en vez de utilizar, como hemos hecho hasta ahora, el nivel de la variable. Matemáticamente, recordemos que el estado estacionario se derivaba de igualar a 0, el valor de d. Ahora lo que hacemos es relativizar la expresión de d, con respecto al stoc de capital, e igualar a 0, el valor de d : d s ( δ + n) 0 s d s ( δ + n) s s( δ + n) ( δ + n) d Imaginemos que queremos representar la ecuación s ( δ + n) en el plano d. a inversión de sostenimiento es ahora una recta paralela al eje de abscisas, mientras que no parece claro a primera vista, cómo representar s. Sin embargo, si utilizamos una Coob-Douglas tradicional, podemos tener una idea de la forma de esta 6

18 α α expresión. Así, si, la función en forma intensiva queda como: α α α α. Por tanto, con esta especificación funcional, s α α α es igual a s s. Por tanto, como α, es un número entre 0, s, será una función decreciente con respecto al stoc de capital. Representando gráficamente: s s n + δ α s 0 s n + δ n + δ s s > n + δ d > 0 ( n + δ ) s f ( ) s f ( ) 0 Ilustración : Dinámica de transición del efecto del aumento en la tasa de ahorro Representemos la evolución temporal de los niveles del PIB stoc de capital por trabajador. de la tasa de crecimiento del PIB por trabajador. Como puede observarse las traectorias temporales de, presentan un efecto de nivel. Es decir, como consecuencia del cambio en la tasa de ahorro, no tiene efectos de crecimiento a largo plazo sino cambios de nivel. Es decir, un cambio en la política puede elevar permanentemente la producción el capital por trabajador. Si observamos la senda temporal de la tasa de crecimiento del PIB por trabajador observamos que el aumento de la tasa de ahorro genera que la inversión sea superior a la de sostenimiento generándose una acumulación de capital positiva. a tasa de crecimiento del output por trabajador aumenta transitoriamente, descendiendo paulatinamente en el tiempo, hasta que, una vez alcanzado el nuevo estados estacionario se acerca a la tasa de crecimiento de la población, n. 7

19 correspond iente a s efecto de nivel correspond iente a s 0 t 0 t Ilustración 2: Senda temporal del stoc de capital per cápita ante un aumento en la tasa de ahorro correspond iente a s efecto de nivel correspond iente a s 0 t 0 t Ilustración 3: Senda temporal del PIB por unidad de trabajo ante un aumento en la tasa de ahorro 8

20 d n d t 0 t Ilustración 4: Senda temporal de la tasa de crecimiento del PIB por unidad de trabajo, ante un aumento en la tasa de ahorro 9

21 a contabilidad del crecimiento 3 Una forma natural de abordar el problema de los determinantes del crecimiento es diferenciando la función de producción, esto es, descomponiendo la variación de la producción en la suma de sus fuentes de variación. Consideremos una función de producción agregada en la que hemos incorporado, respecto a la utilizada en la sección anterior, el stoc de conocimientos técnicos A, de forma multiplicativa, de tal manera que si A aumenta, sin variar los argumentos de la función de producción, la producción se incrementa. a función de producción agregada con la que trabajaremos será ahora: A F(, ) Recuerde que una variación absoluta de una variable X, que denotamos por dx es igual al valor de la variable en el momento final menos el valor de la variable en el momento inicial dx, x F x I medida que viene expresada en las mismas unidades que la variable. Si queremos obtener una variación relativa adimensional- podemos expresar la variación absoluta de la variable respecto al va-lor inicial de la misma dx x x F x x I I Si diferenciamos la expresión anterior, tendremos que la variación de la producción d- se deberá, en parte a la variación del conocimiento técnico da-; en parte a la variación del stoc de capital d-, en parte, a la variación del número de trabajadores d-: d ( da) F(, ) + ( df ) F A F ( da) F(, ) + d + d A Si quisiéramos obtener la expresión de la tasa de crecimiento del PIB, tan solo nos bastaría con dividir los dos miembros de la ecuación entre. De esta forma, la expresión anterior quedaría como: d Como AF(, ) de manera que: ( da) F(, ), se tiene que: d d F F + d + d A ( da) F( /, ) F F A + d + d AF( /, ) AF(, ) da A F F + A d + A d AF (, ) Si computamos los productos marginales de ambos factores se tiene que: 3 a descomposición que realizamos en este apartado, procede del artículo de Solow (957) Technical Change and the Aggregate Production Function 20

22 PMa PMa ( AF(, ) ) ( AF(, ) ) F A F A Por tanto, la expresión anterior queda como: d da A + ( PMa d + PMad) Si queremos tener la expresión en términos de la tasa de variación de : d da + PMa A Por lo que agrupando términos tenemos: d da + PMa A d d + + PMad PMa d Si consideramos que los factores se retribuen según su productividad marginal podríamos sustituir los productos marginales de capital trabajo por r w, respectivamente, por lo que tendríamos: d da A + r d w d + Como sabemos que la renta total se distribue entre los factores trabajo capital: r + w Si dividimos los dos miembros entre, se tiene que: por lo que r α w α r w + { { α α representan, respectivamente, la participación relativa de las rentas de capital de las rentas salariales en la renta nacional. De esta forma, podemos dar una expresión operativa para nuestros fines, a la tasa de crecimiento del PIB, reescribiéndola como: d da d d + α + ( α ) A 2

23 en la que, la tasa de variación del PIB depende de la tasa de progreso tecnológico llamada habitualmente en la literatura, crecimiento de la productividad total de los factores-, de la tasa de crecimiento del stoc de capital de la tasa de crecimiento de la fuerza laboral. Note que la ecuación anterior, sin incorporar progreso técnico queda como: d d d α + ( α ) Debe observar que, con o sin progreso técnico incorporado, la ecuación de la contabilidad del crecimiento constitue un buen punto de partida para el análisis empírico, de los determinantes del crecimiento, en tanto en cuanto, es fácil de contrastar si los datos verifican o refutan el valor de los parámetros, que deberían coincidir con la retribución relativa de los factores en la renta nacional, dato fácilmente capturable a partir de la Contabilidad Nacional. En efecto, los primeros trabajos empíricos tomaron justamente esta dirección. Intentar contrastar, haciendo uso de datos agregados sobre producción, capital trabajo, la participación de los factores en el crecimiento económico. os trabajos empíricos en la tradición de la contabilidad del crecimiento: a productividad total de los factores (PTF) o residuo de Solow. Sobre la base de la expresión anterior, Solow (957) 4 ideó una forma de estimar el progreso tecnológico, de forma residual, basándose en el supuesto de que cada factor se retribue según su producto marginal. Así, las primeras contrastaciones empíricas en la teoría del crecimiento económico se centraron en medir las fuentes del crecimiento sobre la base de la expresión: d d d α + ( α ) que en términos por trabajador podemos expresar como: d d d d d d α α Se trataba pues de comprobar que la tasa de crecimiento del output por trabajador era igual a la tasa de crecimiento del stoc de capital por trabajador, multiplicado por la participación de las rentas de capital en la renta nacional. 4 Solow, R. (957): Technical Change and the Aggregate Production Function, Review of Economics and Statistics, 957, pp

24 Sin embargo, al medir las fuentes del crecimiento en Estados Unidos, Solow, Schmooler (952), endric (956), Abramovitz (956), Denison (962), o Jorgenson, encontraron que el output por trabajador había crecido muchísimo más de lo que se podía explicar a través de la acumulación de capital físico. Existía pues una parte del crecimiento del, que no podía ser explicado por la tasa de acumulación del capital. Este componente no explicado del crecimiento, es lo que se vino a llamar residuo de Solow. Evidentemente, el aumento de la producción solo puede deberse a un aumento en la cantidad de factores productivos o a un aumento en la calidad de los mismos. Sin embargo, los resultados apuntaban a que había otras formas de acumulación que podían jugar un papel importante en el crecimiento. Un candidato natural era el conocimiento técnico. a descomposición de Solow (957), apunta en esta dirección al incorporar implícitamente, el conocimiento técnico A, en la función da de producción. Con esta forma de proceder, el valor de, llamado a veces, tasa de A crecimiento de la productividad de los factores (PTF), debería capturar la parte del crecimiento que no era explicable a través de la acumulación del capital. d da d { ( ) { { A + α participación { + 23 α tasadecrecimiento dela producción tasade progreso técnico delcapitalen larentanacional tasadecrecimiento del stoc decapital participación deltrabajoen larentanacional o en términos de output por trabajador (unidad de trabajo) como: d da d + α A d { asadecrecimiento deltrabajo da Piense que es la única magnitud no observable en la expresión, pero que A podemos obtener por diferencia, como el residuo no explicado por la acumulación del da d d capital por trabajador: α A Esto es lo que hace Solow (957), con datos correspondientes a Estados Unidos para da el período , quien estima un valor de,5756%, lo que implicaba una A contribución del 87,5% al crecimiento total del output por trabajador. Un sencillo ejercicio Con los datos manejados por Solow (957), que se le facilitan, compruebe que la contribución del factor residual al crecimiento del output por hora trabajada representaba un 87,53% del total. Datos: Tasa media anual del capital por hora trabajada en el sector no agrícola: 0,68%. 23

25 Tasa de crecimiento anual del output por trabajador:,8%. Participación de la rentas de capital en la renta nacional: 33% Solución: Se nos indica que: d d 0,68%,8% α 0,33 Como da A d d α da d da A α A 0,68 0,33 0, 8753 d d d,8 Interpretación del residuo El resultado anterior, por propia construcción, generó de inmediato controversia. El hecho de que la participación del progreso técnico en el crecimiento fuera tan elevada, podía venir provocado porque el término, en realidad, se transforma en un cajón de sastre de factores omitidos de mediciones imperfectas del capital del trabajo. En este sentido, se pronuncia Abramovitz, al indicar que el elevado tamaño del residuo de Solow tan solo es una medida de nuestra ignorancia sobre las causas del crecimiento económico, lo que implicaba directamente la necesidad de buscar nuevas interpretaciones. Sin embargo, el residuo generó reacciones en otras direcciones. Rendimientos crecientes Así, Hics (960), considera que la contribución del capital estimada por la contabilidad del crecimiento es demasiado pequeña como para ser creíble. Por ello, conjetura acerca de si el tamaño del residuo podría estar provocado por el supuesto de partida de la contabilidad del crecimiento acerca de los rendimientos constantes en la función de producción. Capital Humano Por su parte, Schultz (96) se cuestiona la propia validez de los datos empleados e introduce un nuevo elemento en el problema al señalar que la calidad del trabajo ha aumentado gracias a la inversión en educación sanidad que, la importancia aparente de A, puede deberse sobre todo a la omisión del capital humano. Modelos de I+D 24

26 Pese a todo, parece que el consenso más extendido apunta a qué el residuo, sobre todo, era atribuible al cambio técnico. Todas estas consideraciones han tenido, como veremos más adelante, un papel importante en la propia evolución de la teoría del crecimiento, a que el punto de partida en la investigación posterior al trabajo de Solow ha sido la hipótesis de que el crecimiento de la productividad no explicado habría de deberse a la acumulación de factores omitidos. os dos candidatos obvios el aumento en la calidad del factor trabajo generado por la inversión en capital humano la acumulación de conocimientos como resultado de la investigación la experiencia- se incorporarán paulatinamente al paradigma neoclásico, conteniendo el germen de lo años más tarde se daría en llamar teoría del crecimiento endógeno. 25

27 El modelo de Solow ampliado (I): la tecnología Presentemos ahora, el modelo de Solow, haciendo una simple modificación en la función de producción agregada, que inclue ahora implícitamente el conocimiento técnico, A. Concretamente, incluiremos la tecnología, incluendo como argumento de la función de producción el trabajo efectivo o trabajo medido en unidades de eficiencia 5, el producto de A, de tal forma que este nuevo factor aumenta, cuando aumenta la cantidad utilizada de factor trabajo aumento de - o cuando ha progreso tecnológico es decir, cuando crece A-. En nuestra presentación formularemos una función de producción en la que la tecnología entra à la Harrod, de forma que una unidad de trabajo es más efectiva cuando el nivel de la tecnología es más alto. Para presentar esta versión del modelo de Solow ampliado con progreso técnico, tan solo tendremos que obtener el estado estacionario a partir de la nueva función de producción ampliada, utilizada como estrategia para incorporar el progreso tecnológico. Supondremos, al igual que antes, que la función de producción agregada F, A presenta rendimientos constantes a escala: ( ) F ( λ, λa) λf(, A) λ Aprovechando esta propiedad de la función de producción podemos expresarla de forma intensiva, sin más que tomar un lambda igual a la inversa de A. F A A A A A (, A) F, F, f ( ) donde A A unidad de trabajo efectivo. son, respectivamente, la producción el capital por Tomados como dados los valores iniciales del capital, trabajo del conocimiento técnico (0), (0) A(0)- se supone que el factor trabajo el progreso técnico crecen a tasas constantes, respectivas n g. Un supuesto importante en esta formulación del modelo de Solow ampliado, es que el da/ dt progreso tecnológico, es exógeno, haciendo la suposición de que éste crece a A una tasa constante. Es decir, suponemos que la le que gobierna la evolución de la gt tecnología en el tiempo, viene dada por: A( t) A0e, donde g es un parámetro constante. 5 Ha tres posibilidades de introducir la tecnología en la función de producción: i) una tecnología aumentadora del capital o neutral à la Solow -F(A, )-; introducirla como un parámetro que multiplica a la función de producción AF(,), que se conoce como tecnología neutral de Hics, o iii) introduciendo la tecnología como aumentadora de trabajo neutral à la Harrod- F(, A). 26

28 Es fácil comprobar dicha evolución. Si diferenciamos la expresión anterior se tiene: da ( ) A ge dt gt da t A0 ge dt 0 gt Si denotamos por A & da, a la derivada, podemos reescribir la expresión anterior dt gt como: & A ge A 0 Como según nuestro supuesto de partida A& A& gt A0 e g g 23 A A gt A A0e, se tiene que: Convendremos desde ahora, que este supuesto no es realista, veremos como el intento de relajar este supuesto, es uno de los principales logros de la Nueva Teoría del Crecimiento. Como en el anterior modelo, la producción se destina al consumo al ahorro (inversión), siendo éste último una fracción constante del output, s. Además el capital existente se deprecia con el uso a una tasa δ. Así, la le dinámica de acumulación del capital es, al igual que antes: & s δ Analicemos ahora como evoluciona en el tiempo el capital por unidad de trabajo efectivo. Dividiendo entre A, se tiene: & A s A & δ s δ A A Si multiplicamos dividimos por, el primer miembro: & A & s δ s δ Restando da dt en los dos miembros: A da & dt 4243 A & s δ da dt A Como: 27

29 da da + Ad da dt da dt + d A dt & A& A& s δ s δ g n A A Si queremos la expresión en términos de la variación absoluta del capital por unidad de trabajo efectivo, se tiene: & s δ g n s ( n + δ + g) es decir, la variación del capital por trabajador es igual a una fracción constante, s, del output por trabajador, menos la inversión necesaria por ocupado para mantener constante el output por unidad de trabajo efectivo( n + δ + g). Esta ecuación describe toda la dinámica de esta nueva versión del modelo de Solow, establece que la variación del stoc de capital por unidad de trabajo es la diferencia entre dos términos. El primero de ellos s- es la inversión efectiva por unidad de trabajo, mientras que el segundo término - ( n + δ + g) -, es la inversión de sostenimiento por unidad de trabajo efectivo, es decir, el volumen de inversión necesario para mantener, en el mismo nivel. Es decir, ha dos razones por las que necesitamos una inversión positiva para que, no disminua: i) porque el capital se deprecia con el uso (término δ ), ii) porque la cantidad de trabajo efectivo, crece a la tasa n+g, de forma que si invertimos tan solo δ, no es suficiente para mantener constante el stoc de capital por unidad de trabajo efectivo. a dinámica de la ecuación de acumulación del capital es exactamente la misma que la del modelo de Solow sin progreso técnico. a economía converge hacia un equilibrio a largo plazo en el que el stoc por unidad de eficiencia del trabajo adopta un valor constante,. Representemos gráficamente la ecuación anterior. En el eje de abscisas vamos a representar el stoc de capital por unidad de trabajo efectivo, mientras que, en el eje de ordenadas, vamos a representar, la inversión de sostenimiento, el PIB por unidad de trabajo efectivo la inversión efectiva o bruta por unidad de trabajo efectivo. Dados n, δ g, constantes, la inversión de sostenimiento, Is, vuelve a ser una recta con pendiente positiva que pasa por el origen de coordenadas: Observe que: Is ( n + δ + g) 28

30 dis d ( n + δ + g) > 0 Dada la función de producción en términos per cápita f()-, la inversión efectiva o curva de ahorro bruto, se situará por debajo de la función de producción, a que s, es un parámetro con recorrido entre 0. s sf ( ) con 0 s sf ( ) Is f ( ) s consumo Is ( n + δ + g) f () sf () n + δ + g A Ilustración 5: Diagrama de Solow, en el modelo ampliado. a determinación del stoc de capital por unidad de trabajo efectivo Cuando la inversión efectiva, es igual a la inversión de sostenimiento, el stoc de capital por unidad de eficiencia es constante. Matemáticamente: Si sf ( ( n + δ + g) & 0 ) legados a este punto, quizá merezca la pena especificar una función de producción para analizar de qué variables depende el stoc de capital por unidad eficiente de trabajo, correspondiente al estado estacionario. Consideremos una función de producción agregada del tipo: (A) α α a función en forma intensiva se puede obtener dividiendo los dos miembros por el trabajo en términos de unidades de eficiencia: A ( A) ( A) ( A) α α α α ( A) α α A A α 29

31 30 Dado que el output por unidad de trabajo eficiente es A la expresión anterior queda como: α α A A, donde es el stoc de capital por unidad de eficiencia de trabajo. Como recordamos: ) ( ) ( n g s n g s δ δ α & & En el estados estacionario 0 &, por lo que el stoc por unidad de eficiencia de trabajo toma un valor constante: α α α δ δ δ ) ( ) ( 0 n g s n g s n g s En este equilibrio, la renta por unidad de eficiencia del trabajo es constante e igual a: α α α δ + + ) ( ); ( n g s f f Si quisiéramos calcular el valor de la renta per cápita q en el estado estacionario, tendríamos: { α α α α δ δ n g s A n g s A q Si queremos calcular la traectoria temporal de la renta per cápita nos basta con tomar logaritmos. Así: Si ( ) ( ) α α (0) ) ( ) ( e A t A t q gt esto implica que, tomando logaritmos naturales, ( ) gt A A t q + + log (0) log ) ( log α Si representamos en escala logarítmica, la traectoria temporal de la producción per cápita con progreso tecnológico exógeno queda como:

32 log q( t) log q ( t) log A(0) + α + gt log A(0) + α pendiente g t Ilustración 6: Traectoria de la renta per cápita en el modelo con progreso técnico Obsérvese que aunque en el estado estacionario de este modelo, la renta por unidad de trabajo eficiente es constante, la renta por trabajador, no es constante sino que aumenta con el progreso tecnológico. a senda temporal del logaritmo del producto por trabajador en un equilibrio a largo plazo es una línea recta con pendiente positiva. Su pendiente, es la tasa de progreso técnico, es decir, la tasa de crecimiento de la producción por unidad de trabajo medido en términos de eficiencia, g, su altura depende del nivel inicial de eficiencia loga(0), del valor estacionario de la ratio capital trabajo, medida en unidades de eficiencia,. a senda de crecimiento equilibrado Observe que inicialmente, en la traectoria de la economía analizada, la economía crece inicialmente a una tasa superior a la tasa de progreso técnico observe las pendientes- pero esta tasa desciende gradualmente hasta aproximarse a la senda de crecimiento equilibrado. En el modelo que acabamos de analizar la tasa de crecimiento de la renta a largo plazo viene determinada por el ritmo de progreso técnico, independientemente del resto de parámetros del sistema. Por tanto, si bien las políticas económicas pueden incidir en el nivel de renta a largo plazo, sus efectos sobre la tasa de crecimiento tan solo serán transitorios. Es decir, tan solo el progreso técnico puede afectar a la pendiente de la senda de crecimiento equilibrado, mientras que el resto de variables afectan a la ordenada en el origen el nivel- de la misma. Un aumento de la tasa de ahorro Para ilustrar de forma más detallada la anterior afirmación analicemos un análisis de estática comparativa idéntico a uno de los casos analizados en el modelo sin progreso técnico. Supongamos que se produce un aumento en la tasa de inversión. Sobre la base de la ecuación de la tasa de crecimiento del capital por trabajador medido en 3

33 unidades de eficiencia, el estado estacionario inicial, cuando la tasa de ahorro es s viene dada por: 0 α ( ) ( δ + g ) α s 0 ( δ + g + n) s0 + n Gráficamente, el estado estacionario queda caracterizado por la intersección de la recta sostenimiento de la curva de ahorro por trabajador en términos de unidades de eficiencia. Si aumenta la tasa de ahorro, de forma que s > s0, la curva de ahorro se desplaza a la derecha, por lo que la tasa de crecimiento del capital por trabajador en términos de eficiencia se hace positiva. Así, esta variable crecerá en el tiempo, hasta alcanzar un nuevo estado estacionario en el punto. s s n + δ + g s α d s n > g 0 > + δ + s 0 n + δ + g s n + δ + g ( n + δ + g) s α s 0 α Ilustración 7: Efecto de un aumento en la tasa de inversión Supongamos que el aumento de la tasa de ahorro se ha producido como consecuencia de una política deliberada del gobierno. Evidentemente, el aumento en la tasa de ahorro logra un aumento de la tasa de crecimiento de la renta, a que consigue un aumento de la tasa de crecimiento del capital. Ahora bien este efecto es transitorio, tiende a desvanecerse a medida que nos acercamos al nuevo estado estacionario. Si analizamos el impacto de la política, utilizando el análisis de la traectoria temporal de la renta per cápita, se tendría que el aumento de la tasa de ahorro se traduce en un desplazamiento vertical de la senda de crecimiento equilibrado, a que al aumentar el stoc de capital por unidades de eficiencia correspondiente al nuevo estado estacionario, la renta per cápita correspondiente a este estado también lo será. Sin embargo, no afecta a la pendiente de esta senda. En resumen, una variación de la tasa de ahorro tiene efectos permanentes de nivel, pero no de crecimiento, a que modifica la senda de crecimiento equilibrado de la economía, por ende, el nivel de producción por trabajador en cualquier momento del tiempo, pero sin alterar su tasa de crecimiento en la senda de crecimiento equilibrado. Así pues en el modelo de 32

34 crecimiento de Solow, ampliado con tecnología exógena, sólo las modificaciones de la tasa de progreso tecnológico g, presentan efectos permanentes sobre el crecimiento. log q( t) log q ( t) log A(0) + α + gt log q ( t) log A(0) + α + gt log A(0) + α log A(0) + α pendiente g t Ilustración 8: El cambio en la tasa de ahorro. Traectoria de la renta per cápita en el modelo con progreso técnico. Nota: aunque no aparece explícitamente, s influe en los valores estacionarios de. El consumo el stoc de capital de la regla de oro Acabamos de analizar, qué le ocurre a la producción por trabajador cuando cambia la tasa de ahorro, pero la variable que realmente afecta al bienestar de los ciudadanos es el consumo por trabajador o per cápita. Si denotamos por C, al consumo agregado de C la economía, c es el consumo por unidad de trabajo efectivo. Este consumo, A será la diferencia entre la renta el ahorro, por unidad de trabajo efectivo: c s f ( ) sf ( ) ( s) f ( ) De esta forma, cuando crece la tasa de ahorro, disminue la tasa de consumo, c. Sin embargo, al aumentar el ahorro, el capital por unidad de trabajo efectivo aumentará la producción también lo hará, por lo que c, volverá a crecer de nuevo, hasta el nivel del nuevo estado estacionario c ( s ) f ( ). Para mejorar la claridad expositiva de este epígrafe, utilizaremos los resultados que hemos obtenido. Recuerde que el stoc de capital por trabajador en el estado estacionario utilice por ejemplo el resultado obtenido con la Cobb-Duglas- era: α s δ + g + n, es decir que depende positivamente de la tasa de ahorro negativamente del resto de parámetros del modelo: 33

35 s, n,, g + δ 6 En la senda de crecimiento equilibrado, se tiene que: c f ( ) sf ( ) Recuerde que en el estado estacionario: s n + δ + g, por lo que podemos escribir: c f ( ) sf ( ) f ( ) δ + ( n + g) f ( ) Si derivamos el consumo respecto a la tasa de ahorro, en la senda de crecimiento equilibrado, se tiene que: c s df ( ( s, n, δ, g) ) ( s, n, δ, g) ( s, n, δ, g) df ( s, n, δ, g) s 4 + d s ( n + δ + g) ( ) ( ) d n + δ + g ( s, n, δ, g) Observe que el primer factor de la expresión anterior es positivo, por lo que dependiendo del valor que tome el segundo factor, el efecto de la tasa de ahorro sobre el consumo por unidad de trabajo efectivo puede ser positivo o negativo. Es decir: Un incremento de la tasa de ahorro aumentará (disminuirá) el consumo por unidad de trabajo efectivo en la nueva senda de crecimiento equilibrado si la productividad marginal del capital en la senda inicial de crecimiento df ( ( s, n, δ, g) ) equilibrado,, es maor (menor) que la inversión de d n + δ + g. s sostenimiento por unidad de trabajo efectivo ( ) En la práctica, esta productividad marginal puede ser superior, inferior o igual a la inversión de sostenimiento. El stoc de capital de la regla de oro Intentemos hallar el máximo valor posible del consumo por unidad de trabajo efectivo, cuando la economía se halla en una senda de crecimiento equilibrado. Matemáticamente se trata de 6 Si no recuerda de donde hemos sacado esta expresión, recuerde el valor del stoc de capital en el estado estacionario: δ + s g + n α 34

36 conocer el nivel de capital por unidad de trabajo efectivo,, que maximiza c, cuando la economía se halla en una senda de crecimiento equilibrado. Recordemos que el consumo correspondiente a una senda de crecimiento equilibrado se define como: ( n + g) c f ) sf ( ) f ( ) + ( δ, Por lo que podemos formular nuestro problema como: Max f ( ) ( n + δ + g) a condición de primer orden del problema indica que: ( n + δ + g) f '( ) n + δ g f '( ) + Es decir, el stoc de capital para el cual el consumo será máximo en una tasa de crecimiento equilibrado, será aquél para el cual la pendiente de la función de producción coincida con la pendiente de la inversión de sostenimiento. f ( ) sf ( ) Is Is ( n + δ + g) f () s c sf () n + δ + g oro A Ilustración 9: el stoc de capital de la regla de oro Si calculamos la tasa de ahorro en una senda de crecimiento equilibrado, se tiene que: ( n + δ + g) ( n + δ + g) sf ( ) soro f ( oro Si una economía cuenta con la tasa de ahorro el stoc de capital, correspondientes a la regla de oro, el consumo por unidad de trabajo efectivo se mantendrá perpetuamente, tanto para la generación presente como para las futuras en ese nivel. Es decir, si la generación actual ahorra lo suficiente, puede proporcionar a las ) oro 35