Soluciones de la Tarea 2 Análisis Numérico I

Transcripción

1 Soluciones de la Tarea 2 Análisis Numérico I Dr. Miguel Angel Uh Zapata Ejercicio 2.1 Programar en Matlab: Una función que dado los valores a y b del intervalo [a, b], dibuje ambas gráficas de las funciones seno y coseno usando 100 puntos equidistantes. Esta gráfica debe de incluír etiquetas (labels), los límites de la gráfica deben ser exactamente los del intervalo dado y añadir un título. Llamar a esta función Dibujar. Un guión para probar la función anterior. Usar los intervalos [0, 1], [0, 2π] y [ 10, 10]. Este guión automáticamente debe desplegar las tres gráficas. Llamar a este guión Prueba_Dibujar. Función: Dibujar.m function Dibujar(a,b) end x = linspace(a,b,100); y1 = sin(x); y2 = cos(x); plot(x,y1,'r',x,y2,'k') legend('seno','coseno') title('funciones seno y coseno') axis([a,b,-1.2,1.2]) grid on Guion: Prueba_Dibujar.m figure(1) Digujar(0,1) figure(2) Dibujar(0,2*pi) figure(3) Dibujar(-10,10) 1

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3 Ejercicio 2.2 Realizar las siguientes conversiones entre el sistema binario y decimal. Convertir el número infinito binario x = ( ) 2 en su equivalente decimal. Encontrar el número binario correspondiente al número entero (19) 10 en el sistema decimal. Para convertir el número binario en su equivalente decimal debemos expresar este número en una serie de la forma: ( ) 2 = lo que es equivalente a ( ) 2 = Podemos observar que esta serie tiene la forma de una serie geométrica infinita: 1 + r + r 2 + r 3 + = 1 1 r Pero nuestra serie empieza con 1 2 en vez de 1. Esto se puede arreglar facilmente factorizando el valor 1 2 en todos los términos: ( ( 2 ( ) ) ) Finalmente tomando r = 1 4 obtenemos: ( ) 2 = 1 ( ) = 2 3 = ( ) 10 4 Para encontrar el número binario correspondiente al número entero (19) 10 en el sistema decimal simplemente consideramos todos residuos de dividir el entero entre 2: Resultado Residuo 19/ / / / /2 0 1 Por lo tanto (19) 10 = (10001) 2 3

4 Ejercicio 2.3 Explicar porqué el formato IEEE de precisión doble puede únicamente guardar aproximadamente hasta 16 dígitos decimales de un número. Una de las formas de conocer que tan preciso se puede guardar un número en formato punto flotante es mediante el epsilon de la máquina. Este no es más que la diferencia entre 1 y el siguiente número que puede ser guardado en este formato. En otras palabras, el número más pequeño de la máquina. En el caso de precisión doble en los estándares IEEE este número es = De manera que cualquier dígito más allá del dígito 16 no seria contemplado al momento de guardar el número. 4

5 Ejercicio 2.4 La integral I = 2 0 1/(x3 2x 5)dx puede ser aproximada mediante el comando >> Q = quadl(@(x) 1./(x.ˆ3-2*x-5),0,2) El resultado es >> Aquí el valor de la tolerancia en error absoluto es siempre Un argumento opcional puede ser usado para especificar una tolerancia de como >> Q = quadl(@(x) 1./(x.ˆ3-2*x-5),0,2,1e-20) Esta modificación despliega exactamente el mismo resultado. Podemos suponer que el resultado es más preciso, pero sólo hay cuatro dígitos en la pantalla. Porqué es esto?. Es el valor una tolerancia en error absoluto significativo para este problema? (tu respuesta debe ser escrita en términos de la aritmética IEEE). Realiza el mismo cálculo pero ahora con una tolerancia de 1e-25. El problema desplegará una advertencia que debe ser reportada. Esta advertencia en Matlab identifica correctamente cual es el problema al usar esta tolerancia? Si hay diferencia entre calcular usando una tolerancia de 10 6 y El problema es que no lo podemos observar con el formato actualmente usado. Si usamos format long e por ejemplo: >> format long e >> Q = quadl(@(x) 1./(x.\^{}3-2*x-5),0,2) Q = e-001 >> Q = quadl(@(x) 1./(x.\^{}3-2*x-5),0,2,1e-20) Q = e-001 >> format Ahora veamos si pedir una tolerancia es significativa en el problema. Consideremos la aproximación del error relativo de nuestra aproximación E R Error absoluto = = Entonces estamos pidiendo una tolerancia mucho menor que el epsilon de la máquina ( ) lo cual no es posible. Finalmente si consideramos una tolerancia obtenemos >> Q = quadl(@(x) 1./(x.\^{}3-2*x-5),0,2,1e-25) Warning: Maximum function count exceeded; singularity... likely. En este caso el código piensa que el integrante es singular. Esta advertencia no está relacionada con el hecho de pedir una tolerancia imposible. 5

6 Ejercicio 2.5 El siguiente programa x = 10; disp([ x =,num2str(x)]) h=x/9; suma = 0; for m=1:9 suma = suma + h; end disp([ suma =,num2str(suma)]) if x==suma disp( x es igual a la suma ) else disp( x no es igual a la suma ) end produce la siguiente salida x = 10 suma = 10 x no es igual a la suma Nosotros esperaríamos que suma sea igual a x, pero la comparación dice que no son iguales. Explicar porqué. Dado que la computadora guarda un número finito de dígitos, entonces x/9 no es calculada de manera exacta. Adicionalmente la suma de estos número acumula más errores. Si escribimos el valor final de suma podriamos ver que el cual claramente no es igual a 1. suma =