ESPECIALIDADES: CIENCIAS DE LA COMUNICACIÓN, TURISMO, HOTELERÍA Y PSICOLOGÍA

Transcripción

1 ESPECIALIDADES: CIENCIAS DE LA COMUNICACIÓN, TURISMO, HOTELERÍA Y PSICOLOGÍA ASIGNATURA: MATEMÁTICA DOCENTES: UNIDAD I: SISTEMA DE NÚMEROS REALES 1.- Introducción: Eplorando los saberes previos: Una agencia de turismo realiza una encuesta entre personas para ver las preferencias en materia de viajes a Cuzco, Iquitos, y Trujillo; 400 personas desean viajar por lo menos al Cuzco, por lo menos a Trujillo, 100 por lo menos a Iquitos, a Trujillo e Iquitos, 800 al Cuzco y a Iquitos, a Trujillo y el Cuzco y 500 están dispuestos a realizar tres ecursiones, se pregunta: a) Cuántos indicaron que no realizan ningún viaje? b) Cuántos no mostraron interés por el viaje a Iquitos? c) Cuántos desean hacer dos ecursiones siempre que ninguna sea el Cuzco? d) Cuántos están dispuestos a realizar dos viajes diferentes? e) Cuántos viajarán al Cuzco si y sólo si no lo harían a Iquitos ni a Trujillo? Solución: En esta sección haremos una revisión breve sobre la teoría de conjuntos para luego estudiar los conjunto numéricos, en particular estudiar los números reales. La noción del objeto matemático conjunto es fundamental en matemática, sin embargo es una noción que no está definida. Es una noción básica o primitiva desarrollada recién a finales del

2 siglo XIX por el matemático George Cantor. La teoría desarrollada por este matemático ha tenido una enorme influencia en el avance de las matemáticas durante el siglo XX, pues ha dado origen al estudio sistemático de otros objetos matemáticos como por ejemplo: par ordenado, producto cartesiano, números reales, relación, función, etc. El estudio de las matemáticas es de trascendental importancia en la vida profesional de cada estudiante, pues resultan ser las ideas más útiles para modelar e interpretar el mundo real. Conjunto: Es una colección de objetos bien definidos, y estos objetos se denominan elementos del conjunto. Si A es un conjunto, la notación a Asignifica que a es un elemento que pertenece a A, y b A quiere decir que b no es un elemento de A. Por ejemplo, A es el conjunto de todos los enteros positivos menores que 7, se puede escribir de una manera más técnica o matemática, como: A / es un entero y 0 7 o también nombrando a cada uno de sus elementos, así: A 1,,3,4,5,6. De esta manera se puede afirmar que: 6 A, pero 7 A. El orden en el cual se enumeran los elementos del conjunto es irrelevante, y los elementos se consideran una sola vez. Definir un conjunto es describir de una manera precisa, sin ambigüedades, cuales son los elementos de dicho conjunto, es decir, diremos que un conjunto está bien definido, si podemos conocer todos los elementos del conjunto. Eisten dos maneras de determinar un conjunto dado: por etensión y comprensión. Por etensión: Cuando se nombran uno a uno, a cada uno de sus elementos. Por comprensión: Cuando eiste una propiedad que caracteriza a cada uno de sus elementos. Conjuntos Finitos e Infinitos: Un conjunto es finito si consta de un determinado número de elementos distintos. En caso contrario, el conjunto es infinito. El conjunto Universal (U ) es un conjunto de referencia del cual se toman otros conjuntos. Si A y B son conjuntos, entonces la unión A B es el conjunto que consta de todos los elementos que están en A o en B o en ambos. La intersección de A y de B es el conjunto A B que consiste en todos los elementos que están tanto en A como en B. En otras palabras, A B es la parte que es común a A y a B. El conjunto vacío, denotado por es el conjunto que no tiene elementos. La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A, pero no a B. Si A y B son conjuntos de U, tales que A B, se define el complemento de A con respecto a B, a la diferencia B A. En particular, si B U, el complemento de A con respecto a U, se define como el conjunto de elementos que no pertenecen a A. La diferencia simétrica de los conjuntos A y B se define por los elementos que pertenecen a A o, a B, pero no a ambos.

3 Inclusión: Se dice que un conjunto A está incluido en otro conjunto B, cuando todos los elementos de A pertenecen también a B. Se denota por A B. En particular: Un conjunto A es propio de B sí A B y A B. Igualdad de Conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos en común, es decir; A B. Cardinalidad: Si un conjunto A tiene una cantidad finita de elementos, diremos que es un conjunto finito y llamaremos cardinal de A al número de elementos de A. El cardinal del conjunto vacío es 0, y si el conjunto tiene una cantidad no finita de elementos diremos que es un conjunto infinito y que su cardinal es infinito. Nota: Si A es finito entonces Card ( A) n( A). El conjunto de Partes o conjunto Potencia: El conjunto de partes de un conjunto A es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Lo denotamos PA. ( ) Por ejemplo: Si A 1,,3 entonces PA ( ), 1,, 3, 1,, 1,3,,3, 1,,3 na y que: ( ) 3 En general, si n( A) n P( A) 8 C C C C Se observa k k k k k k k, entonces: np( A) C0 C1 C... Cr... Ck, donde: k C r representa el número de subconjuntos de A, con r elementos. Conjuntos Numéricos: Los distintos tipos de números se inventaron para cumplir con necesidades específicas: Por ejemplo, los números naturales se necesitan para contar, los números negativos para describir deudas temperaturas por abajo de cero grados, los números racionales para conceptos como medio litro de leche, y los números irracionales para medir ciertas distancias como la diagonal de un cuadrado. El Conjunto de los Números Naturales: 0,1,,3,4,5,6,... El Conjunto de los Números Enteros:..., 3,, 1,0,1,,3,... m El Conjunto de los Números Racionales: / m, n n 0 n El Conjunto de los Números Irracionales: Está formado por los números decimales infinitos no periódicos.

4 I...,,..., - 5,..., -,...,,..., 3,..., e,...,,... ' 3 3 Donde: = 3, e =, El conjunto de los Números Reales: I, I 1,..., -,..., - 5,..., -e,..., -1,..., 0,...,,...,1,...,,..., 7,..., 4e,..., El conjunto de los Números Complejos: a bi / a, b, i 1.- Sistema de los Números Reales A continuación haremos un estudio básico sobre los números reales, ecuaciones y el plano coordenado. Es útil hacer este estudio para ver cómo estas ideas trabajan juntas para resolver problemas y modelar, o describir, situaciones del mundo cotidiano. Por ejemplo, Suponga que le pagan 40 soles por hora en su trabajo. Nos interesa saber cuánto dinero gana en un mes. Para describir su salario usamos los números reales. Usamos los números reales todos los días, por ejemplo, para describir cuál es nuestra estatura, cuánto dinero tenemos, que tanto frío o calor hace, etc. En álgebra, epresamos las propiedades de los números reales mediante letras que representan números. Una propiedad importante es la propiedad distributiva, que es una operación combinada: a( b c) ac bc

5 Considerando que le pagan 40 soles por hora de trabajo y desea calcular su salario cuando trabaja 6 horas en un día y 5 horas en el siguiente. El salario de los dos días se puede determinar de dos maneras distintas: 40(6+5) o bien 40(6)+40(5), ambos procedimientos dan la misma respuesta. Es decir, 40(6+5)=440=40(6)+40(5). Este cálculo es una aplicación directa de la propiedad distributiva y es aquí donde tiene sentido el estudio de los números reales. También podemos modelar el salario para cualquier número de horas mediante una fórmula. Si usted trabaja horas, entonces su salario es y soles, donde y se encuentra mediante la fórmula algebraica: y 40 Entonces, si trabaja 10 horas, el salario será: y 40(10) 400 soles. Una Ecuación es un enunciado escrito en el lenguaje del álgebra que epresa un hecho con respecto a una cantidad desconocida. Por ejemplo, Cuántas horas necesitaría trabajar para obtener 180 soles? Para resolver esta pregunta es necesario resolver la ecuación: Aplicamos las reglas del álgebra para encontrar, así: horas. 40 El plano coordenado permite trazar una gráfica de una ecuación de dos variables. Por ejemplo, al graficar la ecuación y 40 podemos ver cómo se incrementa el salario al aumentar las horas de trabajo.

6 Geométricamente, la solución de la ecuación significa la intersección de las graficas de y 40 y y 180. En esta sección, mostraremos cómo trabajan juntos los números reales, ecuaciones y plano coordenado en la solución de problemas de la vida cotidiana. Definición Aiomática del Sistema de los Números Reales: El sistema de los números reales, es el conjunto, provisto de una relación de Igualdad, de dos operaciones: Adición y Multiplicación, y de una relación de orden: mayor que, y que satisface los siguientes aiomas: AXIOMAS DE LA IGUALDAD I ) Ley Refleiva: a ; a a 1 I ) Ley Simétrica: a, b ; si a b b a I ) Ley Transitiva: a, b, c ; a b b c a c 3 AXIOMAS DE LA ADICIÓN A 1) Ley de Clausura o cerradura: La suma de dos números reales es otro número real; En forma simbólica: Si a y b ; ab. A ) Ley Conmutativa: a, b ; a b b a A ) Ley Asociativa: a, b, c ; ( a b) c a ( b c) 3 A ) Eistencia y unicidad del Elemento Neutro Aditivo:!0, a : a 0 a 4 A ) Eistencia y Unicidad del Elemento Inverso Aditivo: a,!( a) : a ( a) 0 5 AXIOMAS DE LA MULTIPLICACIÓN M 1 ) Ley de Clausura o cerradura: El producto de dos números reales es otro número real En forma simbólica: Si a y b ; ab. M ) Ley Conmutativa: a, b ; ab ba M ) Ley Asociativa: a, b, c ; ( ab) c a( bc) 3 M ) Eistencia y unicidad del Elemento Neutro Multiplicativo:!1, a : a.1 a 4

7 M 5 ) Eistencia y Unicidad del Elemento Inverso Multiplicativo: 1 1 a 0, a,! a : aa 1, donde Leyes Distributivas: Operaciones Combinadas a 1 1 a D ) Distributividad por la Izquierda: a, b, c : a( b c) ab ac 1 D ) Distributividad por la Derecha: a, b, c :( b c) a ba ca Diferencia de dos Números Reales: La diferencia de dos números reales a y b es igual a la suma de a con el opuesto de b, es decir: a, b ; a b a ( b) La División de dos Números Reales: La división de a entre b es igual al producto de a a 1 por el inverso de b, es decir: ab,, con b 0 ; ab. b Potencia de Eponente Entero: Si a es un número real diferente de cero y m es un número natural, definimos: a a 0 m 1 a. a... a mveces m1 m a a. a Además: a m 1 m ( a ) y 0 0 no está definido. AXIOMAS DE ORDEN: O 1 ) Ley de Tricotomía: Para dos números reales a y b, uno y sólo uno de los siguientes enunciados es verdadero: a b, " a es menor que b" a b, " a es igual a b" a b " a es mayor que b" O ) Ley Transitiva: Si a b y b c, entonces a c O 3 ) Leyes de Monotonía: a) Si a b c : a c b c b) Si: a b y c 0 ac bc c) Si: a b y c 0 ac bc

8 O 4 ) Eiste un conjunto, tal que, llamado conjunto de los números reales positivos, el cuál satisface las siguientes propiedades: a) Si a y b, entonces ab y ab b) Para cada a 0 : a ó a, pero no ambos. c) 0 El AXIOMA DEL SUPREMO: Si S es un conjunto no vacío de elementos de tiene un supremo en. superiormente acotado, entonces S Este último aioma nos garantiza que los números reales incluyen a los números racionales y se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos de una recta y los números reales. LA RECTA NUMÉRICA REAL: La recta real, geométricamente, se traza del siguiente modo, dibujar una recta horizontal: Elegir una unidad de medida y dividir la recta en tantas veces como se pueda, luego poner el cero en el centro y a la derecha colocar sucesivamente los números enteros positivos: 1,, 3, 4, 5, 6, y a la izquierda colocar los opuestos: -1, -, -3, -4, -5, -6,, etc. Cada punto de la recta representa, intuitivamente, un número real. Como los números reales son ordenados, establecemos una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta y los números reales. Es decir, a cada número real le corresponde un único punto de la recta, y a cada punto de la recta le corresponde un único número real, así:

9 / I Los otros números reales se ubican fácilmente entre los números enteros. Por ejemplo, para ubicar el número real, se traza un segmento vertical de longitud 1, por el punto 1; luego se traza el segmento OA como la hipotenusa de un triángulo rectángulo de longitud, y se gira el segmento OA, generando un círculo de radio, que corta a la recta justo en el punto, obteniendo así la ubicación eacta de la. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES:

10

11 RADICALES

12 INTERVALOS:

13 EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

14 FACTORIZACIÓN: ECUACIONES: Una ecuación es un enunciado en el que se establece que las epresiones matemáticas son iguales. Los valores de la incógnita que hacen que la ecuación sea verdadera se llaman soluciones o raíces de la ecuación, y el proceso para determinar las soluciones se llama resolución de una ecuación. Dos ecuaciones con eactamente las mismas soluciones se llaman ecuaciones equivalentes.

15 ECUACIÓN MATEMÁTICA Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. CLASIFICACIÓN Con respecto a los coeficientes de las incógnitas. Con respecto a su forma Ecuaciones Numéricas Ecuaciones Literales Ecuaciones racionales Ecuaciones irracionales E.R. Enteras E.R. Fraccionarias Con respecto al número de incógnitas Pueden ser de una, dos, tres o más incógnitas. Con respecto al grado Con respecto a sus soluciones Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado o enésimo grado. La ecuación puede ser Compatibles Determinadas Indeterminadas Incompatibles Ejemplo Ecuación Términos 8, 1,4 y 4,15 y 56 Raíces 9 1 8, 7 Conjunto solución cs 9 cs 8, 7

16 Ecuación: a b 0 Valores de: a y b Solución Tipo de ecuación a a a a b b b b a 0 b 0 a 0 b 0 a 0 b 0 a 0 b 0 b a b Ecuación Compatible determinada. Ecuación Compatible determinada. Ecuación Compatible indeterminada. Ecuación Incompatible o absurda. EJEMPLO Para resolver la ecuación de primer grado con 3 7 una variable, seguimos los siguientes pasos: Resolver: Si la ecuación contiene fracciones, simplificar mcm 10 multiplicando ambos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores Eliminar los símbolos de agrupación Simplificar la epresión algebraica, reduciendo los términos que sean semejantes, para luego obtener una ecuación de la forma: a b Encontrar el valor de la variable 5.-Verificar en la ecuación original 6.-Escribir el conjunto solución cs.

17 ECUACIONES CUADRÁTICAS: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma a b c 0 donde ab, y c son números reales con a 0. METODOS DE SOLUCIÓN Propiedad del Producto Nulo: AB 0 si y sólo si A 0 o bien, B 0 La Formula Cuadrática: Las raíces de la ecuación cuadrática donde a 0, son: a b c 0, 1 b b 4ac a b b 4ac a DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO El Discriminante de la ecuación cuadrática general 0, a 0 es: a b c Es DISCRIMINANTE b 4ac > 0 0 < 0 b 4ac Analisis de la solución Las raices son reales y diferentes. Las raices son reales e iguales No tienen raices reales(las raices son complejas y conjugadas) Raíces o conjunto solución cs, a a b CS a b b 4 ac b b 4 ac CS Resolución de una ecuación cuadrática simple: Las raíces de: c, c 0 son c y c

18 Deducción de la Fórmula: Formar un trinomio cuadrado perfecto (Completando cuadrados) en la ecuación: 1. Si a 0, multiplicar por 1 a. Asociar los términos que contienen a: y a b c a 0, 0 b c 0 a a b c... a a 3. Elegir el coeficiente de b a 4. Dividir entre 5. Elevar al cuadrado b a b a b b ( ) a 4a 6. Sumar b 4a en ambos miembros de () b b b c a 4a 4a a 7. Formar el cuadrado perfecto en el primer miembro y operar el segundo. 8. Etraer la raíz cuadrada en ambos miembros b b 4ac ( ) a 4a b b 4ac a 4a 9. Despejar la variable b b 4ac a 4a 10. Simplificando se obtiene las raíces: b b 4ac a Geométricamente las raíces de una ecuación cuadrática a b c 0, con a 0, son las intersecciones de la gráfica de la parábola con el Eje X.

19 1 Raíces b b 4ac a b b 4ac a Si a 0 la parábola se abre hacia arriba: Si a 0 la parábola se abre hacia abajo: Si b 4ac 0, las raíces son reales y diferentes. Entonces la parábola corta al Eje X en 1 y a 0 y 0 a 0 y 0 Si b 4ac 0, las raíces son reales e iguales. Entonces la parábola corta al Eje X en 1 a 0 y 0 a 0 y 0 Si b 4ac 0, las raíces no son reales. Entonces la parábola no corta al Eje X. a 0 y 0 a 0 y 0 Ejemplos: Resolver las ecuaciones cuadráticas, y luego haga un análisis de sus raíces, así como construya la gráfica.

20 Ecuación Discriminante b 4ac Análisis de las Raíces Gráfica 31 0 a 0 b 3 c 1 ( 3) 4()( 1) Las raíces son reales y diferentes a 9 0 b 6 c 1 ( 6) 4(9)(1) (9) Tiene sólo una raíz real 1 0 a 1 0 b 1 c 1 (1) 4(1)(1) No tiene raíces reales a 1 0 b c 1 8 () 4( 1)(1) Las raíces son reales y diferentes.

21 DESIGUALDADES:

22 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS Y TRES reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. VARIABLES: Es la La solución de un sistema de ecuaciones es un conjunto de valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del sistema. MÉTODO DE IGUALACIÓN: Consiste en despejar la misma incógnita en cada una de las ecuaciones del sistema e igualar las epresiones que resultan. Esto equivale a encontrar los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones.

23

24 NOTA: Algunas de estas notas de clase han sido tomadas del teto PRE CÁLCULO, quinta edición, de James Stewart. Matemáticas para el cálculo.

25 PRÁCTICA: PROBLEMAS APLICATIVOS 1. Indique cuáles de los siguientes conjuntos son finitos o infinitos a) El conjunto de las letras de nuestro alfabeto. b) El conjunto de todas las personas que habitan en la tierra. c) El conjunto de todos los números enteros positivos. d) El conjunto de los múltiplos de 3.. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos: a) A 1,1, 3, 5, 7 b) B 3, 8,15, 4, 35, 48, Determinar por etensión los siguientes conjuntos: a) A / es un dia de la semana b) B / es una letra de la palabra " Matematica " c) C / es una cifra del numero d) D / En un concesionario de una empresa, 68 obreros se sirven desayuno, 40 se sirven el almuerzo y 16 obreros se servirán desayuno y almuerzo. Cuántos obreros sólo se servirán desayuno? 5. De 50 alumnos del Programa Ciencias de la Comunicación se sabe que: 33 estudian el curso Matemática, y 13 estudian Matemática y Comunicación simultáneamente. Determinar: a) Cuántos estudian el curso Comunicación? b) Cuántos estudian solo Matemática? c) Cuántos estudian solo uno de los cursos? 6. De un grupo de empleados de una sección que van de paseo, 3 llevan comida, 37 bebidas y golosinas. De ellos 11 llevan comida y bebidas, 10 bebidas y golosinas, 9 comida y golosinas, 5 las tres cosas. Cuántos llevaron solamente comida, bebidas y golosinas? 7. Determine los subconjuntos de los conjuntos dados, que son: a) Números naturales b) Números enteros c) Números racionales d) Números Irracionales X 0; 10; ; 0.538; 7; 1.3; ; Y ; ; ; 11; 11; ; 16; 3.14; Efectúe las operaciones indicadas:

26 a) b) c) d) 1 g) (6 ) e) (3 )(1 ) f) h) 3 9. Diga de cada desigualdad, si es verdadero o falso: a) 6 10 e) b) f) c) 3 g) d) 1.1 1,1 h) Escriba cada enunciado en términos de desigualdades: a) es positiva. b) t es menor que 4. c) a es mayor que o igual a ( ) d) es menor que 1 3 y es mayor que 5 e) La distancia desde p hasta 3 es cuándo mucho 5. f) z es mayor que 1. g) b es cuánto más 8. h) w es positiva y es menor o igual a 17. i) y está por lo menos a dos unidades desde. 11. Ubicar en la recta numérica real, los siguientes números reales:, 3, 5, 7, 8, 3 y 3, con sus respectivos opuestos en la recta numérica real. 1. Escribe en notación científica la cantidad indicada en cada inciso: a) Un año Luz, es la distancia que la Luz recorre en un año, es de casi km. b) Una gota de agua contiene más de 33 trillones de moléculas. c) La distancia de la Tierra al Sol es de casi 150 millones de kilómetros. d) La masa de una molécula de oígeno es de casi: g. e) La masa de la Tierra es de casi: La velocidad de la luz es de casi km/s. Determinar cuánto tarda un rayo de luz en llegar a la Tierra desde el Sol.

27 14. Complete las tablas. Qué sucede con el tamaño de la fracción 1 cuando se incrementa? Y cuando disminuye? Sean a, b y c números reales con a 0, b 0 y c 0. Determine el signo de cada epresión: 3 5 a) a f) ( b a) k) b b) b g) c) bc h) 10 b l) abc 3 ab c m) ab d) a b i) ab ac n) a bc e) c a j) ac bc ñ) ( b a) 16. En Noviembre del 004, la población de Estados Unidos era de deuda nacional era de dólares. Cuánto debe cada persona? , y la Se tiene un millón ( 10 ) de dólares en una valija y usted gasta mil ( 10 ) dólares cada día, cuántos años tardaría en gastarse todo el dinero? Si gasta lo mismo, 9 cuántos años tardaría en vaciar la valija llena con mil millones ( 10 ) de dólares? 18. Un fabricante de ropa determina que el costo de producción de camisas es: dólares. a) Eplique la razón de que el costo promedio por camisa esté dado por la epresión racional: A b) Complete la tabla siguiente con el cálculo del costo promedio por camisa para los valores dados de. Costo Promedio

28 19. Resolver las ecuaciones lineales: a) b) 5y 6y 81 7y 10 65y c) ( 3) 8 ( 5 9) d) 9 (5 1) 8 (7 5) 9 0 e) 75 f) (51) g) h) El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces el número de días que ha trabajado Enrique. Si Pedro hubiera trabajado 15 días menos y Enrique 1 días más, ambos habrían trabajado igual número de días. Cuántos días trabajó cada uno? 1. Antonio tiene nuevos soles en dos bolsas. Si de la bolsa que tiene más dinero saca 00 nuevos soles y los pone en la otra bolsa, ambas tendrían igual cantidad de dinero. Cuánto tiene cada bolsa?. Un fabricante de pequeños instrumentos encuentra que la Ganancia P (en dólares) generada por la producción de hornos de microondas por semana está 1 dada por la fórmula P (300 ) siempre que 0 00 Cuántos hornos 10 se tienen que fabricar en una semana para generar una ganancia de 150 dólares? 3. Una Ejecutiva de una compañía de ingeniería tiene un salario mensual más un bono para la Navidad de dólares. Si gana un total de dólares al año, Cuál es su salario mensual? 4. Un grupo de amigos decide comprar una casa para ir de vacaciones de dólares, para lo que compartirán los gastos en partes iguales. Si pueden encontrar una persona más que se les una, cada uno contribuirá con dólares Cuántas personas forman el grupo? 5. Carla y Juan comparten una ruta de entrega de periódicos. Carla tarda 70 minutos en entregar todos los periódicos, y Juan se tarda 80 minutos. Cuánto se tardan los dos cuando trabajan en forma conjunta? 6. Resolver las siguientes ecuaciones: a) b) 6 0 d) 6 0 e) c) f) Una gasolinera vende gasolina regular a.0 dólares cada galón y gasolina Premium a 3.00 dólares el galón. Al final de un día de trabajo se vendieron 80

29 galones de gasolina y se recibieron un total de 680 dólares. Cuántos galones de cada tipo de gasolina se vendieron? 8. Una mujer invierte un total de dólares en dos cuentas, una da 5% y la otra 8% de interés simple por año. Su interés anual es dólares. Cuánto invirtió a cada tasa? 9. En un zoológico hay aves y bestias. Si el zoológico contiene 60 cabezas y 00 patas, Cuántas aves y cuántas bestias viven en él? 30. Una tienda de helados vende solo helados con soda y malteadas. Se pone 1 onza de jarabe y 4 onzas de helado en un helado con soda y 1 onza de jarabe y 3 onzas de helado en una malteada. Si la tienda usa 4 galones de helado y 5 cuartos de jarabe en un día. Cuántos helados con soda y cuántas malteadas vende? Sugerencia: 1 cuarto = 3 onzas, 1 galón = 18 onzas. 31. Resolver los siguientes sistemas: 3 y 9 11y 14 5y 15 a) c) f) 5 8y y y 10 6y y 36 b) d) 73y y 146 5y 8 3 (9 y) 5y ( 9y) c) e) 7 8y 5 4 (3y 7) 5y trajes y 3 sombreros cuestan nuevos soles, y 8 trajes y 9 sombreros nuevos soles. Hallar el precio de un traje y de un sombrero. 33. Pedro le dice a Juan si me das S/. 15 tendré 5 veces lo que tú tendrías y Juan le dice a Pedro: si tú me das S/. 0 tendré 3 veces lo que tu tendrías. Cuánto tiene cada uno? 34. Resolver los siguientes sistemas: a) b) y z 11 y 3z 13 y z 7 6 3y z 1 9 y 4z y 3z 1 7 3y 4z 35 c) 3 y 5z 38 y 6z 7 d) 3 y z 1 8y z 80 y z Pagué $. 58 por cierto número de sacos de azúcar y de frijoles. Por cada saco de azúcar pagué $5 y por cada saco de frijoles $6. Si el número de sacos de frijoles es el triple del número de sacos de azúcar más 5, cuántos sacos de azúcar y cuantos de frijoles compré? 36. Un cartel tiene una superficie impresa de 100 por 140 cm y una franja de ancho 1 uniforme alrededor de los cuatro lados. El perímetro del cartel es de 1 veces el perímetro del área impresa. Cuál es el ancho de la franja en blanco y cuáles son las dimensiones del cartel?

30 37. Un actor de Cine, decidido a no revelar su edad, le dijo el siguiente acertijo a un periodista de espectáculos: Hace siete años, yo tenía once veces la edad de mi hija, Ahora tengo cuatro veces la edad de ella. Cuántos años tenía el actor? 38. Determinar el costo mínimo C (en dólares) dado que: C 5( C 5) 39. Determinar la ganancia máima P (en dólares) dado que: 6( P 500) 4( P 400) 40. Resolver: a) b) c) d) e) ( 9)( 3)( 7)( 5) La publicidad indica que cierto auto rinde 0 millas por galón en la ciudad y 7 millas por galón en la carretera y que la capacidad del tanque de gasolina es de 18.1 galones. Entre qué distancia podrá recorrer el auto con el tanque lleno? 4. La compañía de publicidad EL ECO, determina que el costo de publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $ 1.0. El ingreso recibido de los distribuidores es de $ 1.10 por revista. El ingreso por publicidad es de 10% del ingreso recibido de los distribuidos por todos los ejemplares vendidos por arriba de Cuál es el número mínimo de revistas que deben ser vendidas de modo que la compañía obtenga utilidades? 43. Un científico tiene una data sobre la temperatura T( en º C ) durante un periodo de 4 horas. Si t denota el tiempo en horas y t 0 corresponde a las 0.00 horas, encontrar un polinomio de cuarto grado que satisfaga la información de la siguiente data: t (horas) T( en º C )