COMPETENCIA IMPERFECTA

Transcripción

1 Notas sobre COMPETENCIA IMPERFECTA Iñak Agurre Departamento de Fundamentos del Análss Económco I Unversdad del País Vasco

2 ÍNDICE Tema. Teoría de Juegos No Cooperatvos Introduccón... Nocones fundamentales... Juegos en forma etensva.... Juegos en forma normal.. Conceptos de solucón de uegos no cooperatvos.... Crtero de domnacón.... Crtero de nduccón retroactva...3. Equlbro de Nash...4. Problemas y refnamentos del equlbro de Nash..3. Juegos repetdos..3.. Horzonte temporal fnto..3.. Horzonte temporal nfnto..4. Conclusones. Tema. El olgopolo Introduccón.. El modelo de Cournot.... Duopolo.... Olgopolo (n empresas)...3. Análss de benestar.

3 .. El modelo de Bertrand.... Producto homogéneo.... Producto heterogéneo..3. Lderazgo en la eleccón de la cantdad. Modelo de Stackelberg..4. Colusón y establdad de los acuerdos..4.. Colusón a corto plazo..4.. Establdad de los acuerdos. Horzonte temporal fnto e nfnto. Tema 3. El monopolo Introduccón 3.. La mamzacón de benefcos de un monopolsta. 3.. Demanda lneal y demanda de elastcdad constante Estátca comparatva Benestar y produccón La dscrmnacón de precos La dscrmnacón de precos de prmer grado La dscrmnacón de precos de segundo grado La dscrmnacón de precos de tercer grado.

4 Tema. Teoría de Juegos No Cooperatvos Introduccón La Teoría de los Juegos no Cooperatvos estuda y modela stuacones de conflcto entre agentes económcos; es decr, estuda stuacones en las que los benefcos (ganancas, utldad o pagos) de cada agente económco dependen no sólo de sus propos actos sno tambén de los actos de los demás agentes. Supondremos ugadores raconales y, por tanto, cada uno de ellos tratará de mamzar su funcón de benefcos (utldad o pagos) dadas sus coneturas o creencas sobre cómo van a actuar los otros ugadores. El resultado del uego dependerá de las accones de todos los ugadores. Una característca fundamental de los uegos no cooperatvos es que no se pueden establecer contratos entre los ugadores que se hagan cumplr por terceros. Es decr, no este una nsttucón eterna (p.e. trbunales de ustca) que sea capaz de hacer cumplr los acuerdos. En este conteto, la cooperacón entre los ugadores sólo surgrá como equlbro o propuesta de solucón s está en el meor nterés de los ugadores actuar así. Para cada uego trataremos de proponer una solucón que sea una predccón razonable del comportamento raconal de los ugadores (OBJETIVO). Nos nteresa la Tª de los Juegos no Cooperatvos porque es de gran utldad para modelar y comprender los problemas económcos multpersonales caracterzados por nterdependenca estratégca. Como eemplo consderemos la competenca entre las empresas de una ndustra. La competenca perfecta y el monopolo puro (en el sentdo de no estar amenazado por la entrada) son casos muy especales y poco realstas. Lo frecuente es encontrarse en la realdad ndustras en las que esten pocas empresas (o esten muchas pero un número pequeño de ellas produce un porcentae muy elevado de la produccón total). Cuando hay pocas empresas, 3

5 la competenca entre ellas estará medatzada por consderacones estratégcas: cada empresa toma sus decsones (preco, produccón, publcdad..) tenendo en cuenta o coneturando el comportamento de las demás. Por tanto, la competenca en un olgopolo, claramente la podemos ver como un uego no cooperatvo donde las empresas son los ugadores. Así, muchas de las predccones o propuestas de solucón que provenen de la Teoría de los Juegos nos serán de gran utldad para entender el comportamento de los agentes económcos bao nteraccón estratégca En la seccón, defnremos las prncpales nocones de la Teoría de los uegos. Veremos que esten dos formas de representar un uego: la forma etensva y la forma normal o estratégca. En la seccón 3, analzaremos los prncpales conceptos de solucón y los problemas que éstos presentan. Estudaremos el equlbro de Nash y los refnamentos. La seccón 4 estuda los uegos repetdos y, por últmo, en la seccón 5 se presentan algunas conclusones... Nocones fundamentales Esten dos formas de representar un uego: la forma etensva y la forma normal o estratégca. Vamos a comenzar analzando los prncpales elementos de un uego en forma etensva.... Juegos en forma etensva (dnámcos o secuencales) Un uego en forma etensva especfca: ) Los ugadores. ) El orden del uego. 3) Las eleccones factbles para un ugador cuando le toca el turno (en cada nodo de decsón). 4) La nformacón que tene cada ugador en cada uno de sus turnos de uego (nodos). 4

6 5) Los pagos para cada ugador como una funcón de los movmentos selecconados. 6) Dstrbucones de probabldad para movmentos de la naturaleza. Un uego en forma etensva se suele descrbr a través de un árbol de decsón. Un árbol de decsón está consttudo por ramas y nodos. Hay dos tpos de nodos: nodos de decsón y nodos termnales. Hay que señalar en cada nodo el agente que tene que tomar la decsón. Cuando alcanzamos un nodo de decsón, el agente de ese nodo tene su turno y elge en qué dreccón r. Cuando se alcanza un nodo termnal se producen pagos: un vector de pagos en cada nodo termnal que nos dce lo que gana cada ugador. EJEMPLO : Juego de entrada Consderemos una ndustra en la que hay una empresa establecda, A, y un entrante potencal, E. En la prmera etapa del uego el entrante potencal decde s entrar o no en la ndustra. S decde no entrar el uego termna y se producen pagos (A obtene el benefco de monopolo) y s decde entrar entonces le toca el turno a la empresa establecda, A, que tene que decdr s acomodarse a la entrada de E (repartrse el mercado) o comenzar una guerra de precos mutuamente perudcal. En forma etensva el uego quedaría representado de la sguente forma: β E α NE E (0, 0) Ac. α A G.P. (4, 4) β (-, -) β 5

7 Jugadores: E y A. Accones: E (entrar), NE (no entrar), Ac. (acomodar), G.P. (guerra de precos). Nodos de decsón: α. Nodos termnales: β. (, y): vector de pagos. : pago para el ugador E; y: pago para el ugador A. En cada nodo termnal se tenen que especfcar los pagos de cada uno de los ugadores (ncluso aunque alguno de ellos no haya llegado físcamente a ugar). Supuestos: () Todos los ugadores tenen la msma percepcón de cómo es el uego. () Informacón completa: cada ugador conoce las característcas de los demás ugadores: preferencas y espacos de estrategas. () Memora perfecta: cada agente recuerda todo lo que ha ugado. Defncón : Conunto de nformacón Es la nformacón de la que dspone cada ugador en cada nodo de decsón que le corresponde. I D L (.,.) A M (.,.) I B R (.,.) D S (.,.) Juego Juego L M L M (.,.) (.,.) (.,.) (.,.) 6

8 En el uego el ugador tene dferente nformacón en cada uno de sus dos nodos. En A, s le toca ugar sabe que el ugador ha ugado I y en B que ha ugado D. Decmos que estos conuntos de nformacón constan de un únco nodo de decsón. En el uego, el ugador tene la msma nformacón en sus dos nodos de decsón. Es decr, el conunto de nformacón constaría de dos nodos de decsón. Un uego en el que esten conuntos de nformacón de más de un nodo se dce que es un uego de nformacón mperfecta: alguno de los ugadores no observa los movmentos del otro o de los otros ugadores. Abusando del lenguae se suele llamar conunto de nformacón al conunto de nodos en los que un msmo ugador tene que ugar en ausenca de nformacón sobre el nodo concreto en el que se encuentra. El hecho de que todos los ugadores sepan el tpo de uego que están ugando y el supuesto de memora perfecta lmtan las stuacones en las que podemos tener conuntos de nformacón con más de un nodo. (.,.) (.,.) I D (.,.) I (.,.) (.,.) D Juego 3 (.,.) Juego 4 (.,.) (.,.) (.,.) (.,.) El uego 3 está mal representado ya que no sería un uego de nformacón mperfecta. S el ugador conoce el uego, cuando le toque ugar y se enfrente a tres alternatvas 7

9 automátcamente deducrá que se encuentra en el nodo superor. Es decr, el uego en forma etensva debería ser como el del uego 4. Por tanto, s un conunto de nformacón consta de dos o más nodos de decsón, en cada uno de ellos el número de opcones (accones o movmentos) debe ser el msmo. I D C S M R L (.,.) (.,.) b a b a (.,.) (.,.) (.,.) (.,.) I D C S M R L (.,.) (.,.) b a b a (.,.) (.,.) (.,.) (.,.) Juego 5 Juego 6 El supuesto de memora perfecta mpde stuacones como la del uego 5. El ugador cuando le toca ugar en su segundo nodo de decsón recuerda perfectamente lo que hzo en el prmero. La forma etensva debería ser como la del uego 6. Defncón : Subuego Lo que queda por ugar a partr de un nodo de decsón, sempre y cuando lo que quede por ugar no forme parte de un conunto de nformacón de dos o más nodos. Al formar subuegos se mran partes del árbol de decsón que puedan construrse sn romper nngún conunto de nformacón. Un subuego comenza en un conunto de nformacón de un únco nodo de decsón y todos los nodos de decsón de un msmo conunto de nformacón deben pertenecer al msmo subuego. 8

10 EJEMPLO : El dlema del prsonero Dos ndvduos, A y B, son detendos como sospechosos de haber cometdo conuntamente un delto. La polcía les nterroga en habtacones separadas de forma que no hay comuncacón entre ellos. Cada uno tene la posbldad de confesarse culpable (C) o no confesar (NC). S sólo confesa uno éste queda en lbertad y las autordades culpan al otro condenándole a 6 meses. S ambos negan su partcpacón son condenados a mes cada uno y s ambos confesan son condenados a 3 meses cada uno. - Caso smultáneo: cada ndvduo toma su decsón sn saber lo que ha decddo el otro. C (, ) A C NC B NC C (3, 0) (0, 3) DP NC (, ) Hay un conunto de nformacón con dos nodos de decsón. Es un uego de nformacón mperfecta. Sólo hay un subuego que concde con el propo uego. - Caso secuencal: el segundo observa la eleccón tomada por el prmero (y éste lo sabe). C (, ) C B NC (3, 0) A NC B DP C NC (0, 3) (, ) 9

11 El uego DP es un uego de nformacón perfecta y tene tres subuegos. En los uegos de nformacón perfecta hay tantos subuegos como nodos de decsón. Defncón 3: Estratega Una estratega de un ugador es una descrpcón completa de lo que haría en caso de ser llamado a ugar en cada uno de sus nodos de decsón. Hay que especfcarlo ncluso en aquellos nodos que no fueran alcanzables para él dado el comportamento actual del otro o de los otros ugadores. Es un plan de comportamento o plan de conducta (Eemplos: entrenador de baloncesto, demanda del consumdor, oferta de la empresa compettva ). Es una funcón en la que cada ugador asgna una accón a cada nodo que le corresponde. Una estratega de un ugador tene tantas componentes como conuntos de nformacón tenga el ugador. Defncón 4: Accón Es una eleccón (decsón o movmento) en un nodo de decsón Las accones son físcas y las estrategas son coneturales. Defncón 5: Jugada o combnacón de estrategas Es una especfcacón de una estratega para cada uno de los ugadores. El resultado (vector de pagos) de una ugada debe quedar nequívocamente determnado. 0

12 EJEMPLO : Juego de entrada Es un uego de nformacón perfecta y dos subuegos. Cada ugador tene dos estrategas: { NE E} S E =, y S A = { Ac.,G.P. }. Combnacones de estrategas: (NE, Ac.), (NE, G.P.), (E, Ac.) y (E, G.P.). EJEMPLO : Dlema del prsonero DP: Es un uego de nformacón mperfecta y tene un subuego. Cada ugador tene dos estrategas: S A = { C, NC} y S B = { C, NC}. Combnacones de estrategas: (C, C), (C, NC), (NC, C) y (NC, NC). DP: Es un uego de nformacón perfecta y tene tres subuegos. El ugador A tene dos estrategas S A = { C, NC} pero el ugador B tene cuatro S B = { CC,CNC, NCC, NCNC}. Combnacones de estrategas: (C, CC), (C, CNC), (C, NCC), (C, NCNC), (NC, CC), (NC,CNC), (NC, NCC) y (NC, NCNC). EJEMPLO 3 D (0, 0) I R S (4, 4) s r (, -) (8, 0) El ugador tene en su prmer nodo de decsón dos posbles accones, D e I, y en el segundo nodo tambén dos accones: s y r. S = { Ds, Dr, Is, Ir} y S = { R, S}.

13 ... Juegos en forma normal o estratégca (smultáneos o estátcos) Un uego en forma normal se descrbe por: ) Los ugadores. ) El conunto (o espaco) de estrategas de cada ugador. 3) Una funcón de pagos que asgna a cada combnacón de estrategas un vector de pagos. El elemento clave de esta forma de representar un uego es la descrpcón de los pagos del uego en funcón de las estrategas de los ugadores, sn eplctar las accones que se van tomando a lo largo del uego. La representacón gráfca, para dos ugadores, es una matrz (bnara) de pagos que tene como entradas las posbles estrategas de los dos ugadores. EJEMPLO : Juego de entrada E NE E (0, 0) Ac. A G.P. (4, 4) (-, -) E NE E A Ac. G.P. (0, 0) (0, 0) (4, 4) (-, -) EJEMPLO : Dlema del prsonero C (, ) C B NC A C NC B NC C (3, 0) (0, 3) A C NC (, ) (3, 0) (0, 3) (, ) NC (, )

14 C (, ) CC CNC B NCC NCNC C B NC (3, 0) C (, ) (, ) (3, 0) (3, 0) A NC B NC C (0, 3) (, ) A NC (0, 3) (, ) (0, 3) (, ) EJEMPLO 3 R S D (0, 0) Ds (0, 0) (0, 0) I R S (4, 4) s r (, -) (8, 0) Dr Is (0, 0) (0, 0) (4, 4) (, -) Ir (4, 4) (8, 0) Relacón entre uegos en forma normal y uegos en forma etensva a) Para todo uego en forma etensva tenemos de forma nequívoca un uego en forma normal que le corresponde. Esto es debdo a que el uego en forma normal se descrbe en funcón de las estrategas de los ugadores. b) (Problema) Juegos dferentes en forma etensva pueden tener la msma forma normal. (Eemplo: dlema del prsonero, DP, cambando el orden del uego). 3

15 .. Conceptos (crteros) de solucón de uegos no cooperatvos El obetvo es ntentar predecr cómo se van a comportar los ugadores cuando se enfrentan a un determnado uego. NOTA: Una propuesta de solucón no es un vector de pagos sno una combnacón de estrategas, una para cada ugador, que conducrá a un vector de pagos. Nos nteresa predecr comportamentos, no ganancas. Notacón : Jugador representatvo, =,, n S : conunto o espaco de estrategas del ugador. s S : estratega del ugador. s S : estratega o combnacón de estrategas del otro ugador (o los otros ugadores). Π (s,s ) : benefco o gananca del agente correspondente a la combnacón de estrategas s (s,s,...,s n ) (s,s ).... Crtero de domnacón Defncón 6: Estratega domnante Una estratega es estrctamente domnante para un ugador s lleva a unos resultados estrctamente meores (mayores ganancas) que el resto de sus estrategas ante cualquer combnacón de estrategas de los demás ugadores. D D D S Π ( s, s ) > Π ( s, s ), s S, s s ; s S, entonces s es una estratega (estrctamente) domnante del ugador. 4

16 EJEMPLO : Dlema del prsonero En el uego DP confesar, C, es una estratega domnante para cada ugador. Independentemente de lo que haga el otro ugador lo meor que puede hacer cada uno es confesar. La presenca de estrategas domnantes conduce a una solucón del uego. Cada ugador utlzará su estratega domnante. La propuesta de solucón para el uego DP será la combnacón de estrategas (C, C). Defncón 7: Domnacón (estrcta) Decmos que una estratega domna estrctamente a otra para un ugador cuando conduce a meores resultados cualesquera que sean las estrategas segudas por los demás ugadores. S Π ( s d, s ) > Π ( s dd, s ), s S, entonces s d domna estrctamente a s dd. Defncón 7 : Estratega (estrctamente) domnada Decmos que una estratega está estrctamente domnada para un ugador s este otra estratega que conduce a meores resultados cualesquera que sean las estrategas segudas por los demás ugadores. dd d d dd s está estrctamente domnada s s tal que Π ( s, s ) > Π ( s, s ), s S. El crtero de domnacón consste en la elmnacón teratva de estrategas estrctamente domnadas. 5

17 EJEMPLO 4 t t t 3 s (4, 3) (, 7) (0, 4) s (5, 5) (5, -) (-4, -) En este uego no esten estrategas domnantes. Sn embargo, la presenca de estrategas domnadas nos va a permtr predecr un resultado. Vamos a aplcar el crtero de domnacón. Como la estratega t 3 es una estratega estrctamente domnada por t el ugador puede coneturar (predecr) que el ugador nunca utlzará esa estratega. Dada esta conetura, que supone raconaldad del ugador, para el ugador s es meor que s. La estratega s sólo sería utlzada ante la posbldad de que el ugador uegue t 3. Como el ugador pensa que el ugador es raconal asgnará una probabldad nula a que el ugador uegue t 3. En ese caso, el ugador debería ugar s y s el ugador es raconal lo meor que podría hacer es ugar t. La utlzacón del crtero de domnacón sucesva o repetda (elmnando las estrategas domnadas y computando los uegos reducdos) permte resolver el uego. EJEMPLO 5 t t s (0, 0) (5, ) s (0, ) (, 0) En este uego no esten estrategas domnantes n estrategas domnadas (estrctamente). 6

18 Defncón 8: Domnacón débl Una estratega domna déblmente a otra para un ugador s lleva a resultados por lo menos tan buenos como la segunda cualesquera que sean las estrategas segudas por los demás ugadores, y estrctamente meores que la segunda para alguna combnacón de estrategas de los demás. db ddb db S Π ( s, s ) Π ( s, s ), s S y s tal que Π (s, ddb s ) > Π (s, s ), entonces s db domna déblmente a s ddb. Defncón 8 : Estratega déblmente domnada Una estratega está déblmente domnada para un ugador s este otra estratega que lleva a resultados por lo menos tan buenos como la prmera cualesquera que sean las estrategas segudas por los demás ugadores, y estrctamente meores que la prmera para alguna combnacón de estrategas de los demás. ddb s es una estratega déblmente domnada s este otra estratega db s tal que db ddb db ddb Π ( s, s ) Π ( s, s ), s S y s tal que Π ( s, s ) > Π ( s, s ). En el Eemplo 5, s domna déblmente a s. El ugador podría coneturar que el ugador ugará s y ante esta conetura lo meor que podría hacer sería ugar t. Sguendo el crtero de domnacón débl nuestra propuesta de solucón sería (s,t ). Sn embargo, la aplcacón sucesva del crtero de domnacón débl puede llevar a resultados problemátcos como ocurre en el Eemplo 6, o a no proponer nnguna solucón como ocurre 7

19 en el Eemplo 7 (al no estr n estrategas domnantes, n domnadas, n déblmente domnadas). EJEMPLO 6 t t t 3 s (0, 0) (5, ) (4, -00) s (0, 00) (5, 0) (0, -00) EJEMPLO 7 t t t 3 s (4, 0) (3, 0) (, 3) s (0, 0) (, 0) (0, 3) 8

20 ... Crtero de nduccón retroactva Vamos a utlzar el crtero de domnacón para analzar la forma etensva. Consderemos el Eemplo. EJEMPLO : Juego de entrada E NE E (0, 0) Ac. A G.P. (4, 4) (-, -) E NE E A Ac. G.P. (0, 0) (0, 0) (4, 4) (-, -) En el uego en forma normal, el ugador A tene una estratega déblmente domnada: G.P.. El ugador E podría coneturar esto y ugar E. Sn embargo, el ugador E tambén podría haber elegdo NE para asegurarse el pago ante la posbldad de que A ugara G.P.. En el uego en forma etensva, la solucón es más natural. Se aplca la nduccón haca atrás o nduccón retroactva. El ugador E como uega prmero puede coneturar, correctamente, que s uega E seguro que el ugador A elegrá Ac.. El ugador E al ugar antes que A puede antcpar el comportamento de A. En la forma etensva tenemos más nformacón ya que cuando A uega conoce el movmento de E. El crtero de nduccón retroactva consste en aplcar el crtero de domnacón sucesva de forma retroactva comenzando desde el últmo(s) subuego(s). En el Eemplo, en forma etensva, el crtero de nduccón retroactva propone como solucón (E, Ac.). 9

21 Resultado: S el uego es de nformacón perfecta y sn empates, el crtero de nduccón retroactva nos llevará a una únca propuesta de solucón. Problemas () Posbldad de empates. () Informacón mperfecta. Estenca de conuntos de nformacón con más de un nodo. () El éto de la nduccón haca atrás resde en que todas las coneturas sobre la raconaldad de los agentes se verfquen eactamente con ndependenca de lo largo que sea el camno haca atrás. (Requere raconaldad lmtada) EJEMPLO 8 D (0, 0) (6, ) R I s (5, 0) S r (5, ) La nduccón retroactva no nos lleva a nnguna propuesta de solucón ya que en el últmo subuego el ugador está ndferente entre s y r. En el subuego anteror el ugador no tendría una accón domnada (ya que no sería capaz de predecr el comportamento del ugador). EJEMPLO 9 D (0, 0) s (, ) I S R r s (, 0) (0, ) r (-, 3) 0

22 No podemos aplcar el crtero de nduccón retroactva. EJEMPLO 0: El cempés de Rosenthal (98) D D D D D D D D (00, 00) B B B B B B B B (, ) (0, 3) (, ) (, 4) (98, 98) (97, 00) (99, 99) (98, 0) En el resultado de nduccón retroactva los pagos son (, ). Es posble otra raconaldad?..3. Equlbro de Nash El ugador, =,, n, vene caracterzado por: () Su espaco estratégco: S. () Una funcón de benefcos o funcón de ganancas, Π (s,s ) donde s S y s S. Cada ugador tratará de mamzar su funcón de benefcos (utldad o ganancas) elgendo una estratega apropada con conocmento de los espacos estratégcos y las funcones de benefcos de los otros ugadores aunque sn conocer la estratega concreta utlzada por los rvales. Por tanto, cada ugador debe coneturar la estratega utlzada por los rvales. Defncón 9: Equlbro de Nash Una combnacón de estrategas s * (s *,...,s n * ) consttuye un equlbro de Nash s el resultado para cada uno de los ugadores es meor o gual que el resultado que obtendrían, permanecendo constante la ugada de los demás, ugando otra estratega. Es decr, s * (s *,...,s * * n ) es un equlbro de Nash s: Π (s, * s ) * Π (s, s ) s S,, =,...,n.

23 En una stuacón de equlbro se tenen que cumplr dos condcones: () Las coneturas de los ugadores sobre cómo van a ugar los rvales deben ser correctas. () Nngún ugador tene ncentvos a cambar su estratega dadas las estrategas de los demás ugadores. Éste es un elemento de raconaldad ndvdual: dado lo que hacen los demás hacerlo lo meor posble. O lo que es lo msmo, nngún ugador aumenta sus benefcos (utldad o pagos) medante una desvacón unlateral. Ser equlbro de Nash es una condcón necesara o requsto mínmo para que cualquer propuesta de solucón de un uego sea una predccón razonable del comportamento raconal de los ugadores. Sn embargo, como ya veremos no es una condcón sufcente. Es decr, no basta con que una combnacón de estrategas sea equlbro de Nash para que sea nuestra predccón de la solucón de un uego. Defncón 0: Equlbro de Nash Una combnacón de estrategas s * (s *,...,s n * ) consttuye un equlbro de Nash s la estratega de cada ugador es la meor respuesta (o al menos una de ellas) ante las estrategas segudas por los otros ugadores. Es decr, s * (s *,...,s n * ) es un equlbro de Nash s: * * s MR (s ), =,...,n donde MR (s * ) = s S : Π (s,s * ) Π (s,s * { ), s S,s s }. Una forma senclla de calcular los equlbros de Nash consste en construr los conuntos de meores respuestas de cada ugador ante las estrategas (o combnacones de estrategas) del

24 otro (o los otros ugadores) y buscar aquellas combnacones de estrategas que sean mutuamente meores respuestas. EJEMPLO h s s MR MR a (5, 3) (5, ) (0, 5) a h b b (9, ) (, 8) (5, 6) b h c c (3, 0) (0, ) (0, 5) c h a La combnacón de estrategas (b, h) consttuye el únco equlbro de Nash del uego. EJEMPLO 7 t t t 3 s (4, 0) (3, 0) (, 3) s (0, 0) (, 0) (0, 3) Nótese que para este uego el crtero de domnacón no nos proponía nnguna solucón. Sn embargo, la combnacón de estrategas (s,t ) consttuye el únco equlbro de Nash del uego. 3

25 .3. Problemas y refnamentos del equlbro de Nash.3.. Posbldad de nefcenca Es habtual encontrar uegos en los que el equlbro de Nash no es óptmo de Pareto (efcente). EJEMPLO : Dlema del prsonero C (, ) C B NC A C NC B NC C NC (3, 0) (0, 3) (, ) A C NC (, ) (3, 0) (0, 3) (, ) (C, C) es un equlbro de Nash en estrategas domnantes. Sn embargo, encontramos otra combnacón de estrategas (NC, NC) en la que ambos ugadores obtenen mayores ganancas..3.. Inestenca de equlbro de Nash EJEMPLO t t s (, 0) (0, ) s (0, ) (, 0) 4

26 En este uego no este equlbro de Nash en estrategas puras. Sn embargo, permtendo la utlzacón de estrategas mtas (dstrbucones de probabldad sobre el espaco de estrategas puras de un ugador) se obtene el resultado de que sempre este equlbro de Nash en estrategas mtas (uegos fntos) Multplcdad de equlbros de Nash Vamos a dstngur dos tpos de uegos Sn posbldad de refnamento o seleccón EJEMPLO 3: La batalla de los seos Una parea de novos tene que elegr entre r al cne o al teatro. El novo prefere el cne al teatro, pero prefere r al teatro acompañado que r solo al cne. Smlarmente (pero al contraro) para la nova. El uego en forma normal es: C Na T No C T (3, ) (, ) (, ) (, 3) En este uego hay dos equlbros de Nash: (C, C) y (T, T). Este un problema de coordnacón pura. 5

27 Con posbldad de refnamento o seleccón a) Crtero de efcenca Elegr el equlbro de Nash que proporcone mayores pagos a los ugadores. No es en general un buen crtero de seleccón. b) Crtero de domnacón débl El crtero consste en elmnar aquellos equlbros de Nash basados en estrategas déblmente domnadas. Aunque como concepto de solucón no es bueno, nos permte selecconar entre los equlbros de Nash. EJEMPLO 4 D I D I (, ) (0, 0) (0, 0) (0, 0) Equlbros de Nash: (D, D) y (I, I). Jugar I es una estratega déblmente domnada para cada ugador. Jugando D cada ugador se garantza un pago por lo menos tan alto como ugando I. Tenderíamos a rechazar (I, I) por estar basado en estrategas déblmente domnadas. Por tanto, proponemos como solucón la combnacón de estrategas (D, D). 6

28 c) Crtero de nduccón retroactva y equlbro perfecto en subuegos EJEMPLO 5 D (, ) s s MR MR I R S (, ) r s (-, -) (0, 3) Dr Ds Ir R, S R, S R R S Ir, Is Dr, Ds Is S En este uego hay tres equlbros de Nash: (Dr, S), (Ds, S) y (Ir, R). Comencemos mrando a la solucón efcente: (Ir, R). Este equlbro de Nash presenta un problema: en su segundo nodo de decsón el ugador, aunque no es alcanzable, está antcpando (amenazando) que ugaría r. Amenazando con r trata de consegur que el ugador uegue R y así obtener más pago. Pero este equlbro está basado en una amenaza no creíble: aunque, dada la estratega del ugador, el segundo nodo de decsón del ugador no es alcanzable, s lo fuera el ugador nunca elegría r ya que es una accón domnada (amenaza no creíble) por s en el últmo subuego. El refnamento que vamos a utlzar consste en la elmnacón de aquellos equlbros basados en amenazas no creíbles (es decr, accones domnadas dentro de los subuegos). De la utlzacón conunta de la nocón de equlbro de Nash y del crtero de nduccón retroactva surge la nocón de: Defncón : Equlbro perfecto en subuegos Una ugada o combnacón de estrategas s * (s *,...,s n * ), que sea equlbro de Nash, consttuye un equlbro perfecto en subuegos s las partes relevantes de las estrategas de 7

29 equlbro de cada uno de los ugadores son tambén de equlbro para cada uno de los subuegos. En el Eemplo 5 (Dr, S) y (Ir, R) no son equlbros perfectos en subuegos. El equlbro perfecto en subuegos se obtene por nduccón retroactva. Comenzamos por el últmo subuego. En este subuego r es una accón domnada; por tanto, no puede formar parte de la estratega del ugador en un equlbro perfecto en subuegos, de modo que la elmnamos y computamos el uego reducdo D I (, ) R S (, ) r s (-, -) (0, 3) En la segunda etapa de la nduccón retroactva nos famos en el anteror subuego, el correspondente al ugador. En este subuego R es una accón domnada para el ugador. Dado que el ugador antcpa que el ugador no va a ugar r ugar R es una accón domnada o amenaza no creíble. Por tanto, la elmnamos y computamos el uego reducdo D (, ) I R S (, ) s r (-, -) (0, 3) En su prmer nodo de decsón el ugador tene como accón domnada (en el uego reducdo) I, y por tanto ugará D. Luego el equlbro perfecto en subuegos es (Ds, S). 8

30 Podemos nterpretar la lógca de la nduccón retroactva de la sguente forma. Cuando el ugador tene que elegr debería coneturar que s uega S el ugador seguro que ugará s. El ugador es capaz de predecr el comportamento raconal del ugador ya que este últmo observa la accón elegda por él. S el ugador es gualmente raconal debería antcpar el comportamento del ugador y ugar D. EJEMPLO 6 L (, ) M (, ) A N (0, 0) r (, ) B P O s r (, 0) (0, ) s (-, 3) En este uego hay múltples equlbros de Nash y no podemos aplcar la nduccón retroactva al tener un subuego de nformacón mperfecta. Lo que hacemos es resolver el subuego nferor del ugador como s fuera un uego en s msmo. En este subuego hay un equlbro de Nash que es O, r. En el subuego superor la únca amenaza creíble del ugador es L. Por tanto, el ugador tene que elegr entre A y B antcpando que s elge A el ugador elegrá L y que s elge B, el ugador y el ugarán O, r. Por tanto, el equlbro perfecto en subuegos es (Br, LO). Hay que notar que las partes relevantes de las estrategas de equlbro son tambén de equlbro en cada uno de los subuegos. 9

31 .3. Juegos repetdos EJEMPLO : Dlema del prsonero C (, ) C B NC A C NC B NC C NC (3, 0) (0, 3) (, ) A C NC (, ) (3, 0) (0, 3) (, ) Cuando el uego se uega una vez (C, C) es un equlbro de Nash en estrategas domnantes y la cooperacón o colusón entre los ugadores no se puede sostener como equlbro. Aunque los ugadores obtendrían mayores pagos en la combnacón de estrategas (NC, NC) ambos tendrían ncentvos a desvarse utlzando su estratega domnante. En esta seccón vamos a estudar las posbldades de cooperacón entre los ugadores cuando el uego se repte..3.. Horzonte temporal fnto Supongamos que el uego (el dlema del prsonero) se repte un número fnto de veces: T (conocdo por ambos ugadores). Conocemos que s T = el únco equlbro de Nash del uego es (C, C). Lo prmero que hay que notar es que s el uego se repte durante T perodos, una estratega de un ugador en el uego repetdo debe ndcar lo que haría este ugador en cada etapa del uego contngente con la hstora pasada. Vamos a utlzar un argumento de nduccón retroactva para mostrar que en el únco equlbro perfecto en subuegos de este uego repetdo cada ugador (ndependentemente de 30

32 la hstora pasada) elegrá confesar en cada etapa del uego. Consderemos T, t =,,.., T, teracones del dlema del prsonero. Comencemos mrando al perodo T: en esta últma etapa del uego todo lo anteror (la hstora pasada del uego) resulta rrelevante (ya que no este futuro) y sólo queda por ugar una vez el dlema del prsonero. Por tanto, como cada ugador tene como estratega domnante (cuando el uego se uega sólo una vez) confesar, en el últmo perodo cada ugador decdrá confesar. La únca razón para ugar no confesar en una etapa del uego sería para ntentar meorar en el futuro ya que esta accón podría ser nterpretada como un sgno de buena voluntad por el otro ugador consguendo su cooperacón. Pero en la últma etapa del uego ya no hay futuro y por tanto (C, C) es nevtable. Consderemos ahora el perodo T-. Dado que los ugadores antcpan que en el últmo perodo no van a cooperar, lo meor que pueden hacer en el perodo T- es segur su estratega domnante a corto plazo, es decr, confesar. La únca razón para ugar no confesar en esta etapa del uego sería para ntentar meorar en el futuro, pero en el perodo T los ugadores elegrán (C, C). El msmo argumento se aplcaría a los perodos T-, T-3,.hasta el perodo. Por tanto, el equlbro perfecto en subuegos del dlema del prsonero repetdo un número fnto de veces T, consste smplemente en T repetcones del equlbro de Nash a corto plazo. Por tanto, s el uego se reptera un número fnto (y conocdo) de veces, en el únco equlbro perfecto en subuegos cada ugador elegría su estratega domnante a corto plazo en cada ronda del uego. Luego la cooperacón entre los ugadores no se puede sostener como equlbro cuando el horzonte temporal es fnto. 3

33 .3.. Horzonte temporal nfnto Hay dos formas de nterpretar un horzonte temporal nfnto: () Interpretacón lteral: el uego se repte nfntos perodos. En este conteto, cuando un ugador compara una estratega con otra debería comparar el valor presente descontado de las respectvas ganancas. Sea δ el factor de descuento, 0 < δ <. S r es el tpo de nterés, δ = + r. () Interpretacón nformaconal: no se conoce la duracón del uego. En cada etapa del uego este una probabldad 0 < δ < de que el uego contnúe. En este marco, cada ugador debería comparar el pago esperado (que tambén se podría descontar) de las dferentes estrategas. En este conteto, una estratega de un ugador especfcará su comportamento en cada t perodo t como una funcón de la hstora pasada del uego. Represente H t = {s τ,s τ } τ =, donde s τ {C, NC}, la hstora pasada del uego. En prmer lugar nótese que hay un equlbro perfecto en subuegos del uego nfntamente repetdo en el que cada ugador uega C (su estratega domnante a corto plazo) en cada perodo. Cada ugador tendría como estratega confesar en cada perodo con ndependenca de la hstora pasada del uego. Vamos a ver s además del anteror equlbro, hay algún equlbro perfecto en subuegos en el que los ugadores cooperen. Consderemos la sguente combnacón de estrategas a largo plazo. s c {s t (H t )} t= 3

34 donde, s t ( H t NC s todos los elementos de Ht son guales a ( NC, NC) o t = ) = C en caso contraro =,. Nótese que estas estrategas a largo plazo ncorporan amenazas mplíctas de castgo en caso de volacón del acuerdo (mplícto) de cooperacón. La amenaza para que sea creíble debe ser equlbro de Nash. Para ver s en este conteto se puede sostener como equlbro la cooperacón, tenemos que comprobar que los ugadores no tenen ncentvos a desvarse; es decr, que la combnacón de estrategas (s c,s c ) consttuye un equlbro de Nash del uego repetdo. El valor presente descontado de las ganancas futuras del ugador de cooperar vene dado por: π (s c,s c ) = + δ + δ +... = ( + δ + δ +...) = δ Supongamos que el ugador se desvía y lo hace en el prmer perodo del uego. Dado que el otro ugador s sgue su estratega le penalzará durante el resto del uego lo meor que puede hacer s confesa en el prmer perodo es confesar tambén durante el resto del uego. Sus ganancas vendrían dadas por: π (s,s c ) = 3 + δ +δ +... = 3 + δ ( + δ + δ +...) = 3 + δ δ La cooperacón será equlbro de Nash s nnguno de los ugadores tene ncentvos a desvarse; es decr, s π (s c,s c ) π (s, s c ). Es nmedato comprobar que s δ nnguno de los ugadores tene ncentvos a romper el acuerdo de colusón. 33

35 Vamos a comprobar a contnuacón como el equlbro es perfecto en subuegos: es decr, que las amenazas son creíbles. Consderemos un subuego que surge después de que una desvacón se ha producdo. Las estratega de cada ugador ege confesar en todo perodo futuro ndependentemente del comportamento de su rval. Este par de estrategas consttuye un equlbro de un dlema del prsonero nfntamente repetdo ya que cada ugador s no se desvía obtendría un pago de (s la desvacón se ha producdo en el perodo T-) δ T ( + δ + δ +...) = δ T δ mentras que obtendría un pago de 0 cada perodo que se desvase de la estratega cooperatva. El análss anteror srve como eemplo de un prncpo general que ocurre en stuacones de uegos repetdos con horzonte temporal nfnto. En estos uegos es posble sostener como equlbro comportamentos que no son de equlbro en el corto plazo. Esto se produce gracas a la amenaza mplícta de castgo de que en caso de ncumplmento del acuerdo se castga durante el resto del uego. De modo que el aumento de benefcos (dervado de la volacón del acuerdo) a corto plazo no compensa la pérdda de benefcos durante el resto del uego..4. Conclusones Hemos vsto dferentes métodos de resolucón de uegos, aunque nnguno de ellos está eento de problemas. El crtero de domnacón (elmnacón de estrategas domnadas) aunque útl para resolver algunos uegos no srve para otros al no realzar nnguna propuesta de solucón. La versón débl de este crtero (elmnacón de estrategas déblmente domnadas) es de 34

36 gran utldad para selecconar entre los equlbros de Nash especalmente en uegos en forma normal o estratégca. El crtero de nduccón retroactva permte realzar propuestas de solucón en uegos en forma etensva. Tene la mportante propedad de que para uegos de nformacón perfecta y sn empates conduce a una únca propuesta de solucón. Pero la posbldad de empates, la estenca de nformacón mperfecta y la raconaldad lmtada que puede requerr en algunos uegos son los prncpales problemas que presenta. Este crtero de nduccón retroactva resulta de gran utldad para selecconar entre los equlbros de Nash (en uegos en forma etensva). De la utlzacón conunta de este crtero y de la nocón de equlbro de Nash surge el concepto de equlbro perfecto en subuegos. Aunque tambén presenta problemas (nefcenca, nestenca y multplcdad) el equlbro de Nash es el crtero de solucón más general y más amplamente utlzado para resolver uegos. Se consdera que ser equlbro de Nash es una condcón necesara (aunque no sufcente) para que cualquer propuesta de solucón sea una predccón razonable del comportamentos raconal de los ugadores. S para algún uego se propone como solucón una combnacón de estrategas que no consttuye un equlbro de Nash, esta predccón sobre el comportamento de los ugadores se vería desmentda por el propo desarrollo del uego. Al menos un ugador tendría ncentvos a cambar su estratega con respecto a la predcha para él. En conclusón, aunque presenta problemas, este cuasunanmdad sobre que toda propuesta de solucón debe ser como mínmo equlbro de Nash. 35

37 Tema. El olgopolo Introduccón La Tª de los Juegos no Cooperatvos es de gran utldad para modelar problemas económcos con muchos agentes caracterzados por nterdependenca estratégca, en partcular para analzar la competenca entre las empresas de una ndustra. La competenca perfecta y el monopolo puro (en el sentdo de no estar amenazado por la entrada) son estructuras de mercado poco realsta. Lo frecuente son ndustras en las que esten pocas empresas o esten muchas pero un número pequeño de ellas produce un porcentae muy elevado de la produccón total. Con pocas empresas, la competenca estará caracterzada por consderacones estratégcas: cada empresa toma sus decsones (preco, produccón, publcdad, gastos en I+D..) tenendo en cuenta o coneturando el comportamento de las demás. La competenca en un olgopolo, la podemos ver por tanto como un uego no cooperatvo donde las empresas son los ugadores. Así, adoptaremos una perspectva de Teoría de los Juegos para analzar los dferentes modelos de olgopolo. Para cada caso nos preguntaremos cuál es el uego que están ugando las empresas (nformacón, orden de uego, estrategas..) y cuál la nocón de equlbro. Una dferenca mportante entre los uegos del capítulo anteror y los que resolveremos en este capítulo es que aquéllos eran uegos fntos mentras que éstos son uegos nfntos. 36

38 .. El modelo de Cournot... Duopolo () Conteto. () Representacón del uego en forma normal. () Nocón de equlbro. (v) Funcón de meor respuesta. Caracterzacón del equlbro. (v) Eemplo. Representacón gráfca. () Conteto El modelo de duopolo de Cournot tene cuatro característcas báscas: a) Consderamos un mercado en el que hay empresas. b) Producto homogéneo. Es decr, desde el punto de vsta de los consumdores los productos producdos por las dos empresas son susttutvos perfectos. c) Competenca en cantdades. La varable de eleccón de cada empresa es el nvel de produccón. Sean y los nveles de produccón de las empresas y, respectvamente. d) Eleccón smultánea. Las empresas tenen que elegr smultáneamente sus nveles de produccón. Es decr, cada empresa tendrá que elegr su nvel de produccón sn conocmento sobre cuál será la eleccón del rval. Eleccón smultánea no sgnfca necesaramente que las eleccones se realcen en el msmo nstante de tempo. Un conteto equvalente sería uno en el que una empresa elge prmero su nvel de produccón y luego una segunda empresa elge su produccón pero sn observar la decsón adoptada por la prmera. En otros térmnos, eleccón secuencal unto con nformacón mperfecta (el ugador que uega en segundo lugar no observa lo que hace el que uega en prmer lugar) equvaldría a eleccón smultánea. 37

39 La funcón nversa de demanda es p( ), sendo p ( ) < 0. Como el producto es homogéneo, el preco al que puede vender su produccón cualquera de las empresas dependerá de la produccón agregada: p( ) = p( + ). El coste de produccón de la empresa es C ( ), =,. () Representacón del uego en forma normal ) =,. (Jugadores) ) 0. Como estratega para el ugador nos valdría cualquer cantdad no negatva (cualquer número real no negatvo). De manera equvalente podemos representar las estrategas del ugador como [0, ), =,. 3) La gananca que obtene cada empresa dada la combnacón de estrategas (, ) es: Π (, ) = p( + ) C ( ) Π = + = Π (, ) = p( + ) C( ) (, ) p( ) C ( ),,,,. () Nocón de equlbro. Equlbro Cournot-Nash Es muy sencllo adaptar la defncón de equlbro de Nash que consderamos en el capítulo anteror al nuevo conteto. * s ( s,.., s n ) es un equlbro de Nash s: Π (s, * s ) * Π (s, s ) s S,, =,...,n. * * * En el uego de duopolo de Cournot dremos: 38

40 * * (, ) es un equlbro de Cournot-Nash s Π Π =. * * * (, ) (, ) 0,,,, Resultará más útl la segunda defncón basada en las meores respuestas. s * s * * s n (,.., ) es un equlbro de Nash s: s MR ( s ), =,.., n donde * * MR (s * ) = s S : Π (s,s * ) Π (s,s * { ), s S,s s }.. En el uego de duopolo de Cournot dremos: * * (, ) es un equlbro de Cournot-Nash s = f ( ),, =,,. * * Donde f ( ) es la funcón de meor respuesta de la empresa ante las produccones de la empresa. (v) Funcón de meor respuesta. Caracterzacón del equlbro El procedmento que seguremos para obtener el equlbro de Nash será smlar al que utlzábamos en el capítulo anteror. En prmer lugar, calcularemos la meor respuesta de cada ugador ante las posbles estrategas del rval y posterormente buscaremos una combnacón de estrategas que sean mutuamente una la meor respuesta de la otra. Dada una estratega de la empresa buscaremos aquella estratega que le dé mayores benefcos a la empresa. Es decr, dada la estratega 0 la meor respuesta de la empresa consstrá en elegr una estratega tal que: 39

41 ma Π (, ) p( + ) C ( ) 0 Π = p( + ) + p ( + ) C ( ) = 0 () f ( ) Π = p + + p + C < ( ) ( ) ( ) 0 Tenendo en cuenta la restrccón de no negatvdad, 0, o en térmnos de teoría de uegos que la meor respuesta debe pertenecer al espaco de estrategas del ugador, la funcón de meor respuesta será: f = { f } ( ) ma ( ),0. El equlbro de Cournot-Nash es una combnacón de estrategas (, ) tal que la estratega * * de cada empresa es su meor respuesta ante la estratega del rval. Es decr, { } * * * = f( ) = ma f( ),0 * * * = f ( ) = ma { f ( ),0},, =,,. * * * = f( ) = ma { f( ),0} Vamos a olvdarnos ahora de la restrccón de no negatvdad y vamos a suponer que la funcón de meor respuesta está plenamente caracterzada por la condcón () (solucón nteror). Por defncón la funcón de meor respuesta debe cumplr la condcón de prmer orden: Π ( f ( ), ) = 0 la meor respuesta de la empresa ante 0 es f ( ). En el equlbro de Cournot-Nash se cumple Π * * (, ) = 0 ya que = f ( ), =,. Tenemos * * una forma senclla de comprobar s una combnacón de estrategas es un equlbro de Nash: calcular el benefco margnal de cada empresa correspondente a esa combnacón de estrategas y s alguno es dstnto de cero no se cumplría la condcón de equlbro. 40

42 Π ( ˆ, ˆ ) > 0 f ( ˆ ) ˆ ( ˆ, ˆ > ) no es equlbro de Cournot-Nash. Π ( ˆ, ˆ ) < 0 f ( ˆ ) ˆ ( ˆ, ˆ < ) no es equlbro de Cournot-Nash. (v) Eemplo. Representacón gráfca Vamos a consderar el caso de demanda lneal y coste margnal constante: p( ) = a b y C ( ) = c, =,. Supondremos para smplfcar que el coste margnal es gual para ambas: c = c > 0, =,. ( a > c para que el eemplo tenga sentdo). Comenzamos obtenendo la funcón de meor respuesta para la empresa, =,. ma Π (, ) p( + ) C ( ) [ a b( + )] c [ a c b( + )] 0 Π = p( + ) + p ( + ) C ( ) = a b b c = 0 f ( ) = Π = b < 0 Luego la funcón de meor respuesta quedaría: a c b f ( ) = ma { f ( ),0} = ma,0. b En el equlbro de Cournot-Nash se cumple: * a c b = f ( ) = ma,0 > 0 b ya que * * a> c a c b b Resolvendo el sstema: * * * a c b = f( ) = ma,0 > 0 b ya que a> c * * * = f( ) = f( f( )) * 4

43 a c b a c + b a c b a c + b a c = = = = =. b b b 4b 3b * * a c b * * * b * a c * a c b * a c b 3b ( a c) a c = = = =. b b 6b 3b La produccón total en el equlbro de Cournot-Nash es: * * * ( a c) = + = y el preco de 3b equlbro * * * ( a c) a + c p = p( + ) = a b =. Por últmo los benefcos son: 3b 3 * * * * * * a c a c ( a c) Π = Π (, ) = [ p( + ) c] = = 3 3b 9b * * * * * * a c a c ( a c) Π = Π (, ) = [ p( + ) c] = =. 3 3b 9b Representacón gráfca e f( ) 45º m Equlbro de Cournot-Nash * f( ) * m e 4

44 ... Olgopolo () Representacón del uego en forma normal. () Nocón de equlbro. Funcón de meor respuesta. Equlbro de Cournot-Nash.. () Índce de Lerner. (v) Casos especales. Coste margnal constante. () Representacón del uego en forma normal ) =,,..., n. (Jugadores) ) 0. De manera equvalente, [0, ), =,,.., n. 3) La gananca que obtene cada empresa dada la combnacón de estrategas (, ) es: Π (, ) = p( + ) C ( ), =,,..., n. La forma de representar el uego en forma normal ha varado lgeramente. Dada la combnacón de estrategas (,,..., n ) lo relevante para la empresa, =,,..., n, es la cantdad total producda por el resto de las empresas, =. Por tanto, (, ) no es realmente una combnacón de estrategas y Π (, ) sería el benefco asocado a toda combnacón de estrategas en la que la empresa está producendo y el resto de empresas en agregado producen (sendo rrelevante para la empresa cómo se dstrbuye la produccón entre las n - empresas). () Nocón de equlbro. Funcones de meor respuesta. Equlbro Cournot-Nash En el uego de olgopolo de Cournot dremos que 43

45 * * * * * (,,.., n) (, ) es un equlbro de Cournot-Nash s: Π Π =. * * * (, ) (, ) 0,,,,..., n. En térmnos de meores respuestas la defncón es: * * * * * (,,.., n) (, ) es un equlbro de Cournot-Nash s = f ( ),, =,,.., n.. * * Donde f ( ) es la funcón de meor respuesta de la empresa ante todas aquellas combnacones de estrategas de las demás empresas cuya produccón total sea. Vamos a obtener la meor respuesta de la empresa ante todas aquellas combnacones de estrategas de las demás empresas cuya produccón total sea. La meor respuesta de la empresa consstrá en elegr una estratega tal que: ma Π (, ) p( + ) C ( ) 0 Π = p( + ) + p ( + ) C ( ) = 0 () f ( ) Π = p + + p + C < ( ) ( ) ( ) 0 Tenendo en cuenta la restrccón de no negatvdad, 0, o en térmnos de teoría de uegos que la meor respuesta debe pertenecer al espaco de estrategas del ugador, la funcón de meor respuesta será: f = { f } ( ) ma ( ),0. El equlbro de Cournot-Nash es una combnacón de estrategas (,,.., ) (, ) tal * * * * * n que = f ( ),, =,,.., n.. * * 44

46 Vamos a olvdarnos ahora de la restrccón de no negatvdad y vamos a suponer que la funcón de meor respuesta está plenamente caracterzada por la condcón () (solucón nteror). Por defncón la funcón de meor respuesta debe cumplr la condcón de prmer orden: Π ( f ( ), ) = 0 la meor respuesta de la empresa ante 0 es f ( ). En el equlbro de Cournot-Nash se cumple Π * * (, ) = 0 ya que = f ( ), =,,..., n. * * De nuevo podríamos comprobar s una combnacón de estrategas es un equlbro de Nash calculando el benefco margnal de cada empresa correspondente a esa combnacón de estrategas y s alguno es dstnto de cero no se cumplría la condcón de equlbro. Π ( ˆ, ˆ ) > 0 f ( ˆ ) ˆ ( ˆ, ˆ > ) no es equlbro de Cournot-Nash. Π ( ˆ, ˆ ) < 0 f ( ˆ ) ˆ ( ˆ, ˆ < ) no es equlbro de Cournot-Nash. () Índce de Lerner Suponendo que la solucón es nteror vamos a transformar la condcón () hasta obtener el Índce de Lerner de poder de mercado. p p C ( + ) + ( + ) ( ) = 0 p ( ) p( )[ + ] C ( ) = 0 p( ) p ( ) ( )[ + ] C ( ) = 0 p p( ) ε ( ) 45

47 Defnendo la cuota de mercado de la empresa como s = obtenemos: p s ε ( ) C ( )[ ] ( ) = 0 Luego el Índce de Lerner de poder de mercado de la empresa queda p( ) C ( ) s = p( ) ε ( ) Luego el modelo de Cournot se encuentra entre el caso de monopolo ( s = ) y la p C competenca perfecta ( lm = 0). s 0 p (v) Casos especales. Coste margnal constante a) Coste margnal constante: c > 0, =,.., n. En equlbro se tene que cumplr la condcón de prmer orden de cada una de las empresas (solucón nteror): p + + p + c = = n * * * * * ( ) ( ) 0,..,. * Sumando las n condcones de prmer orden: Es decr n * * * np( ) + p ( ) c = 0 = = * n n * * * np( ) + p ( ) = c = 46

48 Luego la produccón agregada de la ndustra en el equlbro de Cournot-Nash depende eclusvamente de la suma de los costes margnales (en una solucón nteror con las n empresas producendo cantdades postvas), no de su dstrbucón entre las empresas. b) Coste margnal constante común: c = c > 0, =,.., n. El índce de Lerner es: s p( ) c = p( ) ε ( ) S tenemos en cuenta que s el producto es homogéneo y el coste margnal es el msmo el equlbro de Cournot-Nash debe ser smétrco entonces: * * s = = = * *, =,.., n. n n S la elastcdad de la demanda fuera constante entonces: p( ) c = p( ) n ε Por tanto, según aumenta el número de empresas el margen preco-coste margnal relatvo (el índce de Lerner) dsmnuye y en el límte cuando n entonces p c...3. Análss de benestar Vamos a realzar el análss de benestar para el caso sencllo en que el coste margnal es constante y común para todas las empresas. p p c n * * * * * ( + ) + ( + ) = 0 =,..,. * Sumando las n condcones de prmer orden: np p nc * * * ( ) + ( ) = 0 47

49 El procedmento que seguremos para comparar el nvel de produccón del equlbro de Cournot-Nash con el nvel de produccón efcente es smlar al que segumos en el capítulo de monopolo. (Repasar la obtencón de la funcón de benestar socal) ma W ( ) ma u( ) C( ) 0 0 W (0) = u (0) C (0) > 0 p(0) > C (0) e W u C W ( ) = ( ) ( ) = 0 ( ) = 0 Condcón de prmer orden. W u C ( ) = ( ) ( ) < 0 Funcón de benestar estrctamente cóncava. e W ( ) = 0 * W ( )? W ( ) < 0 * u ( ) * * * * * W ( ) = u ( ) C ( ) = p ( ) > 0 * p( ) n < 0 Por defncón de produccón de Cournot. e W ( ) = 0 * e * e * W ( ) > 0 W ( ) < W ( ) > W ( ) < 0 dw ( ) W ( ) < 0 < 0 W ( ) d W * W ( ) > 0 e W ( ) = 0 * e 48

50 .. El modelo de Bertrand... Producto homogéneo () Conteto. () Demanda resdual. () Representacón del uego en forma normal. Nocón de equlbro. (v) Paradoa de Bertrand. Caracterzacón del equlbro y uncdad. () Conteto El modelo de Bertrand se caracterza por los sguentes elementos: ) Consderamos una ndustra en la que hay empresas. ) Las empresas venden un producto homogéneo. 3) Competenca en precos. 4) Eleccón smultánea. Cada empresa tene que elegr el preco para su producto sn conocer cuál es la eleccón de la empresa rval. De nuevo eleccón smultánea no sgnfca que la eleccón se realce en el msmo nstante de tempo; lo relevante es que aunque una empresa uegue prmero la que uegue después no observe el comportamento de la prmera. 5) Coste margnal constante y común para las dos empresas: c = c = c > 0. () Demanda resdual Las empresas venden un producto homogéneo y compten en precos. Luego desde el punto de vsta de los consumdores lo únco relevante es la relacón que esta entre los precos de las dos empresas; así los consumdores comprarán el ben a la empresa que venda más barato. Es decr, s una empresa establece un preco nferor al de la otra, la prmera se quedaría con 49