Cuadernillo de apuntes Teoría de la computación. Magaly González Mota

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1 Cuadernillo de apuntes Teoría de la computación Magaly González Mota 30 de junio de 2010

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3 Índice general 1. INTRODUCCION Autómatas computabilidad y complejidad Representaciones estructurales Autómatas y la complejidad Nociones Matemáticas Conjuntos Funciones y relaciones Inducción matemática Cadenas y lenguajes Lenguajes regulares Autómatas finitos Autómatas finitos deterministicos AFD Autómatas finitos no deterministicos AFND Expresiones regulares Lenguajes Regulares Lenguajes libres de contexto Gramáticas libres de contexto Árboles de derivación Formas normales de Comsky Forma normal de Greibach Ambigüedad Autómatas de Pila Lenguajes no regulales Máquinas de Turing Definición de una Máquina de Turing

4 4 ÍNDICE GENERAL 4.2. Construcción modular de una MT El lenguaje de una Máquina de Turing Variantes de una Máquina de Turing Máquina de Turing con varias cintas Máquinas con pilas multiples Máquinas contadoras Decibilidad Lenguajes Decidibles El problema de Halting Decibilidad de teorías lógicas Reducibilidad Problemas insolubles para la teoría de lenguajes Un problema simple insoluble Algoritmo de Kruskal Funciones computables

5 Capítulo 1 INTRODUCCION Objetivo de la Unidad Situar la importancia del estudio de los autómatas dentro del proceso de desarrollo de software, y algunas aplicaciones. Presentar las nociones básicas de matemáticas necesarias para comenzar a estudiar la materia Autómatas computabilidad y complejidad Se conoce como teoría de autómatas el estudio de las máquinas o dispositivos abstractos con capacidad de computación. En la decada de 1930 el matemático ingles Alan Mathison Turing estudió una máquina con el objetivo de determinar con presición cuál era la frontera entre lo que podia o no podía hacer una máquina computadora. En las decadas de 1940 y 1950 se estudiarón otro tipo de máquinas sencillas conocidas con el nombre de autómatas finitos, los cuales inicialmente pretendian modelar las funciones cerebrales. A finales de la decada de 1950 el lingüista estadounidense Noam Chomsky comenzó el estudio de las gramáticas formales, las cuales no son máquinas, pero son componentes de software importantes por su relación con los autómatas abstractos. En 1969 el matemático estadounidense Stephen Arthur Cook separo los problemas que se pueden resolver de manera eficiente en una computadora de aquellos que en la practica necesitarian tanto tiempo que no tendría utilidad emplear una computadora, salvo en casos particulares, a los cuales llamo problemas 5

6 6 CAPÍTULO 1. INTRODUCCION NP-dificiles. Algunos de los conceptos de autómatas y gramáticas se emplean en el diseño y construcción de aplicaciones de software, o decidir sin un problemas es factible de ser resuelto mediante el uso de un algoritmo computable. Entre las razones por las cuales es conveniente estudiar la teoria de autómatas, están: 1. El diseño y verificación del comportamiento de circuitos digitales (software) 2. El analizador léxico de un compilador (la parte del compilador que descompone el texto inicial en unidades lógicas tales como identificadores, palabras reservadas y signos de puntuación). 3. Software para encontrar apariciones de ciertas palabras, frases u otros patrones en textos grandes dentro de paginas web. 4. Software para comprobar la corrección de cualquier tipo de sistemas que tengan un número finito de estados diferentes, como los protocolos de comunicación o los protocolos para el intercambio seguro de información. Existen muchos sistemas o componenetes de los cuales se puede decir en todo momento que estan en cierto estado entre un número finito de ellos. El objetivo de un estado es recordar la parte significativa de la historia de un sistema. Dado que solo disponemos de un número finito de estados, normalmente no es posible recordar la historia completa, por lo cual el sistema deberá ser diseñado de tal forma que recuerde las cosas que son importantes y omita las que no lo son. Ejemplo 1 Un interruptor de encendido y apagado, el cual es capaz de recordar si está en el estado de encendiddo o apagado, y permite que el usuario pulse el boton consiguiendo efectos diferentes que dependen de cual era el estado del interruptor. Algunas veces, un estado recuerda cosas más complejas. Por ejemplo el autómata finito cuyo trabajo sea reconocer la palabra reservada while, para lo cual necesitará 6 estados, cada uno de los cuales representa una posición dentro de la palabra, desde la palabra vacía (estado inicial), y donde cada uno

7 1.2. NOCIONES MATEMÁTICAS 7 produce una transición desde el prefijo existente hasta la siguiente letra de la palabra (cada estado está etiquetado con el prefijo de la palabra while que ya se analizo), el estado denominado while, es alcanzado cuando el autómata ha deletreado la palabra while, y el estado while es el único aceptado por el automata Representaciones estructurales Existen otros dos tipos de notaciones que desempeñan un papel importante en el estudio de los autómatas y sus aplicaciones 1. Las gramáticas que se emplean para el desarrollo de software destinado a procesar datos con estructura recursiva, por ejemplo el analizador sintáctico que se ocupa de las caracteristicas recursivas de los lenguajes de programación, como las expresiones aritméticas, condicionales etc. 2. Las expresiones regulares que nos indican la estructura de los datos, principalmente cadenas de texto Autómatas y la complejidad Los autómatas nos sirven para resolver dos pregntas muy importantes en la computación que son: Qué puede hacer una computadora? Qué puede hacer una computadora eficientemente? El como nos permite determinar la respuesta a éstas preguntas será parte del estudio de nuestro curso y se abordara principalmente en la unidad 5 y Nociones Matemáticas Conjuntos Para el estudio de los autómatas es necesario recordar algunos de los conceptos vistos en Matemáticas para computadora, debido a que muchas de las definiciones relacionados con los autómatas estan dados en terminos de

8 8 CAPÍTULO 1. INTRODUCCION conjuntos, a continuación se presenta un breve recordatorio. Definición 1 Conjunto es una colección de objetos que puede ser finito o infinito. Totalidad de los elementos o cosas poseedores de una propiedad común, que los distingue de otros. En el caso de ser finito y si el conjunto no es muy extenso se puede representar mediante todos sus elementos. A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} Si es finito o tiene muchos elementos se representa de la siguiente forma B = {x\x es un número entero positivo} Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente: La colección de elementos debe estar bien definida. Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez. El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia. Notación 1 A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C,... y a los elementos con letras minúsculas a, b, c,... Tipos de conjuntos Conjunto vacío o nulo: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por o { }, por ejemplo: A = { x = 0\x R } El conjunto A, es un conjunto vacío por que no hay ningún número real que satisfaga x = 0. Una propiedad imortante del conjunto vacío es que está contenido en cualquier conjunto. Conjunto universal: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, y se representa por U o Ω.

9 1.2. NOCIONES MATEMÁTICAS 9 Relaciones u operaciones entre conjuntos Pertenencia: Si un elemento esta en la descripción de un conjunto, se dice que pertenece al conjunto, y se denota por el símbolo x A Para denotar que un elemento no pertence a un conjunto escribimos x / A Cardinalidad:Es el número de elementos de un conjunto y se denota por A por ejemplo si A es el conjunto de los días de la semana entonces A = 7 Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos es decir, si cada elemento que pertenece a A también pertenece a B y viceversa si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. A = B Subconjunto: Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B, y se denota por el símbolo. A B o B A Subconjunto propio: Se dice que B es un subconjunto propio de A sí todos los elementos de un conjunto B se encuentran incluidos en él A, y se denota por el símbolo. A B o B A Conjunto potencia: La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si un conjunto es finito con n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2 n subconjuntos. Un conjunto es subconjunto de el mismo,y el vacio es subconjunto de cualquier conjunto. A = {0, 1} El total de subconjuntos es: 2 2 = 4 los cuales son: P(A) = {{1, 2}, {1}, {2}, }

10 10 CAPÍTULO 1. INTRODUCCION Unión: Es una operación entre dos conjuntos A y B y está formada por todos los elementos que pertencen a el conjunto A o al conjunto B o ambos y se representa de la siguiente manera: A B = {x\x A o x B} Intersección: Es una operación entre dos conjuntos A y B y está formada por todos los elementos que pertenecen a el conjunto A y también al conjunto B y se representa de la siguiente forma A B = {x\x A y x B} Conjuntos disjuntos: Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que pertenezcan a ambos, y se representa de la siguiente forma: A B = Por ejemplo F = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y G = {a, b, c, d, e, f} son disjuntos. Partición: Cuando un conjunto X es dividido en subconjuntos que no se intersectan entre si y que además al unirlos forman todo el conjunto X, se le denomina partición. Diferencia de dos conjuntos A B: Consta de todos los elementos de A que no están en B y se representa de la siguiente forma: A B = {x\x A y x / B} Complemento: Dado el conjunto universo y un subconjunto A del universo el complemento de A es el conjunto de todos los elementos del universo que no pertenecen a A y se denota por: A c = U A Ejemplo 2 Sea U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} el conjunto universo y A = {0, 2, 4, 6}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {1, 2, 3, 4, 5} y D = {6, 7, 8, 9} subconjuntos de U A C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

11 1.2. NOCIONES MATEMÁTICAS 11 B C = {1, 3, 5} D B = {6, 8, 0} A c = {1, 3, 5, 7, 8, 9} A B = de donde podemos concluir que A y B son disjuntos. Ejemplo 3 Sea A = {a, b, c, d} A = 4 entonces la cardinalidad del conjunto potencia es P(A) = 2 4 = 16 P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c}, {c, d}, {a, b, c}, {a, b, d}, {b, c, d}, {a, c, d}, {a, b, c, d}} Los siguientes son ejemplos de algunas particiones del conjunto A Actividad 1 Realice lo siguiente: P 1 = {{a, b}, {c, d}, } P 2 = {{a, b, }, {c, d}} P 1 = {{a}, {b, d, c}, } 1. Los conjuntos también se pueden representar de manera gráfica mediante los diagramas de Veen, investigar que son y como se representan las diferentes operaciones entre conjuntos por medio de diagramas de Veen. 2. Investigar la biografia de Georg Cantor y mencionar cuales fuerón sus aportaciones a la teoría de conjuntos. 3. Investigar las leyes de D Morgan para conjuntos. 4. Sea U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j } el conjunto universo y A = {a, b, e, i, j}, B = {f, b, c, g, j}, C = {a, c, d, h, j} y D = {h, i, j, c} Calcular

12 12 CAPÍTULO 1. INTRODUCCION a) A B b) B D c) A C d) C B e) A c f) (A B) c g) (A c B) C h) (A B) (C D) i) ((A B) (C D)) c j) (D (B A) c ) (A c B) Funciones y relaciones Definición 2 Una pareja ordenada es un par de números los cuales se pueden encontrar en el plano cartesiano, donde el orden de los terminos que la conforman si es importante y se denota por (a, b) Actividad 2 Investigar como se da la igualdad de las parejas ordenadas, cual es su inverso aditivo y cual es su neutro multiplicativo La razón por la cual son de nuestro interes las aprejas ordenadas es porque nos ayudan a definir una operación entre conjuntos llamada producto cartesiano. Definición 3 El producto cartesiano de dos conjuntos X y Y se define como: X Y = {(x, y)\x X y y Y } Ejemplo 4 Si X = {1, 2, 3}, Y = {a, b} entonces: X Y = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, b), (3, a)} Y X = {(b, 1), (a, 1), (b, 2), (a, 2), (b, 3), (a, 3)} Y Y = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)} X X = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} En este ejemplo se obsreva que X Y Y X

13 1.2. NOCIONES MATEMÁTICAS 13 Actividad 3 Dados C = {a, c, d, h, j}, A = {α, β, γ} y D = {h, i, j, c} hallar 1. C D 2. A C 3. D D 4. Si X Y Z = {(x, y, z)\x X, y Y, z Z} hallar a) C D A b) A D C Teorema 1 Para cualquier par de conjuntos finitos no vacíos A y B A B = A B Una Relación es un conjunto de pares ordenados, donde el primer elemento está relacionado con el segundo elemento del par ordenado, mas formalmente Definición 4 Una Relación (binaria) R de un conjunto X en un conjunto Y es un subconjunto del producto cartesiano X Y. Si (x, y) R, escribimos xry y decimos que x está relacionado con y; además si X = Y entonces decimos que R es una relación binaria sobre X Ejemplo 5 Sean X = {1, 2, 3, 4}, Y = {2, 4, 5} dos conjuntos, definimos la relación R como R = {(x, y) \ x + y sea par} entonces Definición 5 Al conjunto R = {(1, 5), (3, 5), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} {x X\(x, y) R para algun y Y } se le conocee con el nombre de Dominio de la relación (D R ) y al conjunto {y y\(x, y) R para algun x X}

14 14 CAPÍTULO 1. INTRODUCCION se le conoce con el nombre de Rango o imagen de la relación (Im R ) Para el ejemplo anterior tenemos que: D R = {1, 2, 3, 4} Im R = {2, 4, 5} Propiedades de las relaciones Definición 6 Una relación binaria sobre X tiene las siguientes propiedades: Una relación R sobre un conjunto X es reflexiva si (x, x) R para cada x X Una relación R sobre un conjunto X es irreflexiva si (x, x) / R para cada x X Una relación R sobre un conjunto X es simétrica si para todo x, y X y si (x, y) R, entonces (y, x) R Una relación R sobre un conjunto X es antisimétrica si para todo x, y X, si (x, y) R y si x y, entonces (y, x) / R Una relación R sobre un conjunto X es transitiva si para toda x, y, z X, si (x, y) y (y, z) R, entonces (x, z) R Una relación R sobre un conjunto X es un orden parcial si R es reflexiva, transitiva y antisimétrica Una relación R sobre un conjunto X es una relación de equivalencia si R es reflexiva, transitiva y simétrica Sea R una relación de X en Y. La inversa de R que se denota por R 1, es la relación de Y a X definida como: R 1 = {(y, x)\(x, y) R} Sea R 1 una relación de X a Y y R 2 una relación de Y a Z, la composición de R 1 y R 2 que se denota por R 2 R 1 es una relación de X a Z definida como R 2 R 1 = {(x, z)\(x, y) R 1 y (y, z) R 2 para alguna y Y }

15 1.2. NOCIONES MATEMÁTICAS 15 No hay que olvidar que las relaciones son conjuntos, por lo cual se pueden aplicarles las operaciones entre conjuntos. Ejemplo 6 Consideremos la siguiente relación sobre X = {1, 2, 3, 4, 5} R = {(x, y)\x + y es par} R = {(1, 1), (1, 3) (1, 5), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (5, 1), (5, 3), (5, 5)} De la relación se tiene lo siguiente D R = {1, 2, 3, 4, 5} Im R = {1, 2, 3, 4, 5} Además: la relación es reflexiva pues las parejas (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) pertenecen a la relación. La relación es simetrica pues (1, 3) R y también (3, 1) R (1, 5) R y también (5, 1) R (3, 1) R y también (1, 3) R (3, 5) R y también (5, 3) R (5, 1) R y también (1, 5) R (2, 4) R y también (4, 2) R (4, 2) R y también (2, 4) R. La relación es transitiva pues (1, 1) R y (1, 3) R (x = 1, y = 1 y z = 3) entonces (1, 3) R (1, 1) R y (1, 5) R (x = 1, y = 1 y z = 5) entonces (1, 5) R (1, 3) R y (3, 1) R (x = 1, y = 3 y z = 1) entonces (1, 1) R (1, 3) R y (3, 3) R (x = 1, y = 3 y z = 3) entonces (1, 3) R (1, 3) R y (3, 5) R (x = 1, y = 3 y z = 5) entonces (1, 5) R (1, 5) R y (5, 3) R (x = 1, y = 5 y z = 3) entonces (1, 3) R (1, 5) R y (5, 5) R (x = 1, y = 5 y z = 5) entonces (1, 5) R (1, 5) R y (5, 1) R (x = 1, y = 5 y z = 1) entonces (1, 1) R (2, 4) R y (4, 2) R (x = 2, y = 4 y z = 2) entonces (2, 2) R (2, 4) R y (4, 4) R (x = 2, y = 4 y z = 4) entonces (2, 4) R (2, 2) R y (2, 2) R (x = 2, y = 2 y z = 2) entonces (2, 2) R

16 16 CAPÍTULO 1. INTRODUCCION (2, 2) R y (2, 4) R (x = 2, y = 2 y z = 4) entonces (2, 4) R (3, 1) R y (1, 3) R (x = 3, y = 1 y z = 3) entonces (3, 3) R (3, 1) R y (1, 5) R (x = 3, y = 1 y z = 5) entonces (3, 5) R (3, 1) R y (1, 1) R (x = 3, y = 1 y z = 1) entonces (3, 1) R (3, 3) R y (3, 3) R (x = 3, y = 3 y z = 3) entonces (3, 3) R (3, 3) R y (3, 1) R (x = 3, y = 3 y z = 1) entonces (3, 1) R (3, 3) R y (3, 5) R (x = 3, y = 3 y z = 5) entonces (3, 5) R (3, 5) R y (5, 1) R (x = 3, y = 5 y z = 1) entonces (3, 1) R (3, 5) R y (5, 3) R (x = 3, y = 5 y z = 3) entonces (3, 3) R (3, 5) R y (5, 5) R (x = 3, y = 5 y z = 5) entonces (3, 5) R (4, 2) R y (2, 2) R (x = 4, y = 2 y z = 2) entonces (4, 2) R (4, 4) R y (4, 2) R (x = 4, y = 4 y z = 2) entonces (4, 2) R (4, 2) R y (2, 4) R (x = 4, y = 2 y z = 4) entonces (4, 4) R (4, 4) R y (4, 4) R (x = 2, y = 4 y z = 4) entonces (4, 4) R (5, 1) R y (1, 3) R (x = 5, y = 1 y z = 3) entonces (5, 3) R (5, 1) R y (1, 1) R (x = 5, y = 1 y z = 1) entonces (5, 1) R (5, 1) R y (1, 5) R (x = 5, y = 1 y z = 5) entonces (5, 5) R (5, 3) R y (3, 1) R (x = 5, y = 3 y z = 1) entonces (5, 1) R (5, 3) R y (3, 5) R (x = 5, y = 3 y z = 5) entonces (5, 5) R (5, 3) R y (3, 3) R (x = 5, y = 3 y z = 3) entonces (5, 3) R (5, 5) R y (5, 1) R (x = 5, y = 5 y z = 1) entonces (5, 1) R (5, 5) R y (5, 3) R (x = 5, y = 5 y z = 3) entonces (5, 3) R (5, 5) R y (5, 5) R (x = 5, y = 5 y z = 5) entonces (5, 5) R Como nuestra relación es simétrica entonces no puede ser antisimétrica, es importante observar que si la relación no es simetrica no necesariamente sera antisimetrica. en otros casos tampoco es necesario probar si todos los elementos de la relación cumplen con encontrar uno que no cumpla ser transitivo, reflexivo, simétrico o antisimétrico (dependiendo de que estemos buscando) la relación ya no tendra la propiedad buscada. Por último y como conclusión de nuestro ejemplo la relación por ser transitiva, reflexiva y simetrica es una relacvión de equivalencia. Actividad 4 en los siguientes ejercicios determine: los elementos de la relación, la inversa de la relación, el dominio e imagen de la relación, si es reflexiva, simétrica, antisimétrica, transitiva, relación de equivalencia o es una relación de orden parcial.

17 1.2. NOCIONES MATEMÁTICAS 17 Sea X = {1, 2, 3, 4, 5} 1. R = {(x, y)\ 3 divide a x y} 2. R = {(x, y)\ ; x + y 6} 3. R = {(x, y)\ x y < 3} 4. R = {(x, y)\ x 2 y} 5. R = {(x, y)\ x divide a 2y} Funciones Definición 7 Una función de X a Y es una relación que posee las siguientes propiedades El dominio de f es X Si (x, y) y (x, y ) f, entonces y = y Actividad 5 1. Buscar 5 ejemplos de relaciones binarias que son funciones y 5 ejemplos de relaciones binarias que no lo sean y explicar cual de las dos condiciones de la definición no se cumplen y porque. 2. Investigar que es una función inyectiva (o uno a uno), suprayectiva (o sobre) y biyectiva. La razón por la cual no nos adentramos mucho mas en el estudio de las funciones es porque las hemos empleado en los cursos de matemáticas que se imparten a lo largo del tronco común en el tecnológico Inducción matemática En computación, a veces es necesario que los programas se prueben de manera formal, y sin perder de vista su objetivo. La materia de teoría de la computación se caracteriza por ser una materia con un enfoque conceptual, donde todos los resultados que se presentan se fundamentan en demostraciones formales, empleando principalmente el método inductivo, esto debido

18 18 CAPÍTULO 1. INTRODUCCION a que tanto las cadenas como los autómatas son elementos de conjuntos finitos. Existen varios métodos para realizar demostraciones en matemáticas entre los cuales destacan: Demostraciones deductivas: Las cuales consisten en una secuencia de afirmaciones o proposiciones, cuya validez nos conduce a una conclusión, a partir de las proposiciones iniciales llamadas hipótesis o postulados. Las hipótesis se suponen falsas o verdaderas al inicio de la demostración y con la ayuda de proposiciones, postulados o deducciones anteriores se verifica la veracidad de la mismas. La hipótesis estan formadas por varias afirmaciones independientes que se relacionan entre si mediante un operador lógico.(los teoremas demostrados mediante este método normalmente tienen la forma si H entonces C y se dice que C se deduce de H ) Demostración de equivalencias entre conjuntos. En ocaciones se debe probar que dos o más conjuntos son iguales o representan lo mismo, para este tipo de demostraciones se deberan pobrar las siguientes proposiciones A B y B A, y una vez que se demostrarón podermos concluir la igualdad. Demostración por contradicción: Está es similar a el método deductivo, solo que en lugar de probar si H entonces C, probamos si no C entonces H, que es su proposición contradictoria (no confundirla con la inversa de la proposici ón). Demostración por reducción al absurdo: Está demostración comienza suponiendo que son ciertas tanto la hipótesis H como la negación de la conclusión C y la demostración se completa probando algo que se sabe falso y que se deriva de la proposición H y no C (la cual implica falsedad). Contraejemplos: En programación (sobre todo para estructuras recursivas) no siempre es posible demostrar todos los casoso que se nos presenten, sin embargo con probar que uno o más casos no se cumplen podemos demostrar que una afirmación es falsa. Por ejemplo la afirmación de que todos los números primos son impares es falsa pues el número 2 es par y es un número primo.

19 1.3. CADENAS Y LENGUAJES 19 Otra forma de demostración importante para nuestra materia es la demostración por inducción; este método ayuda principalmente cuando tenemos definiciones recursivas árboles, expresiones regulares, cadenas etc. Primero que nada es necesario explicar que este método se emplea para proposiciones que ocurren una, dos, tres,..., n veces y que tiene un patron que se repite en cada una de las veces a dicha proposición la denotamos mediante S(n), donde n nos dira en que número de repetición nos encontramos. El procedimiento que se emplea en este método es el siguiente: Supongase que se tiene una proposición S(n) para cada entero positivo n, la cual es verdadera o falsa, necesitamos probar dos cosas: 1. Base: debemos probar que la proposición es cierta (o falsa) para n = 0 y n = 1, o para los valores a partir de los cuales se marque que esta es verdadera ( en el caso de que existen afirmaciones que no son ciertas para números pequeños), en terminos matemáticos S(i) es cierta cuando i = 0 o i = 1 2. Paso de inducción: en este paso suponemos que para algun valor n arbitrario la proposición S(n) es cierta, y posteriormente procedemos a probar que esta proposición también se cumple para su consecutivo S(n + 1) Por ejemplo las filas de fichas de dominó cuando caen: hemos demostrado que la primera ficha cae (primer paso), y que si cae una ficha también debe caer la siguiente (si es cierta para n, debe serlo para n+1, segundo paso). La idea de la inducción es muy clara: si un número cumple algo, y si cuando un número lo cumple el siguiente tiene que cumplirlo, entonces todos los números lo cumplen. Actividad 6 Investigar 5 ejemplos en los que se empleen demostraciones por el método inductivo 1.3. Cadenas y lenguajes Si nosotros observamos las siguientes líneas podemos observar algunas cosas en común: Programas escritos en lenguajes de alto nivel.

20 20 CAPÍTULO 1. INTRODUCCION Palabras o frases en español. Los números usados por una calculadora Lo primero que podemos observar es que cada una de ellas está compuesta por una secuencia de símbolos que pertenecen a algún conjunto finito; para el caso de la segunda línea el conjunto {a, b, c,..., x, y, z} junto con todos los símbolos de puntuación correspondientes, de manera análoga para la tercera línea, donde el conjunto son los dígitos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. Los programas escritos en lenguajes de alto nivel también están compuestos por un conjunto finito de palabras reservadas, identificadores y símbolos especiales (como fin de archivo, abrir archivo, retorno de carro etc.) En general cada una de ellas está formada por una secuencia de elementos de un conjunto finito no vacío llamado alfabeto que denotaremos por Σ; a los elementos de dicho alfabeto los llamaremos letras y los denotaremos por σ, además supondremos que las letras se escriben con un solo carácter. Ejemplo 7 Entre los alfabetos más comunes en computación se encuentran Σ = {0, 1} el alfabeto binario. El conjunto de todos los caracteres ASCII, o el conjunto de todos los caracteres ASCII imprimibles. Definición 8 Sea Σ un alfabeto, una palabra o cadena sobre el alfabeto es una secuencia finita de símbolos del alfabeto Σ. En caso de que no se tenga ningun caracter la cadena será llamada cadena vacía y la denotaremos mediante la letra λ. Ejemplo , , 1, 00, son cadenas del alfabeto binario Entre las cadenas es posible hacer operaciones, a continuación describimos algunas de ellas: Sea Σ un alfabeto, se define la concatenación de palabras como una operación: : Σ Σ Σ para todo ω, ϕ Σ : ω ϕ = (ω 1, ω 2,..., ω n ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n )

21 1.3. CADENAS Y LENGUAJES 21 En la palabra resultante, a la palabra ω la llamaremos prefijo y a la palabra ϕ, la llamaremos sufijo Si ω = hola y ϕ = peluza entonces ω ϕ = holapeluza aqui el prefijo es hola mientras que el sufijo es peluza, y de este mismo ejemplo podemos observar que ϕ ω = peluzahola de donde podemos concluir que la concatenación de cadenas no es conmutativa ϕ ω ϕ ω a menos que una de las palabras sea la palabra vacía λ ω = ω λ = ω En ocaciones es útil clasificar las cadenas por su longitud, es decir el número de caracteres que conforman la cadena, por ejemplo la cadena for(i = 1; i <= 40; i + +) tiene 18 caracteres, de manera más formal: Definición 9 Sea Σ un alfabeto y ω = (ω 1, ω 2,..., ω n ) una palabra sobre Σ. La longitud de una palabra de Σ es una función: : Σ N definida así: ω = n Derivado de la definición tenemos lo siguiente 1. La longitud de la cadena vacía es cero λ = 0 2. La longitud de la concatenación de dos cadenas es la suma de las longitudes de cada cadena,si ϕ, ω Σ: ω ϕ = ω + ϕ A continuación se muestra un ejemplo de como se usa el método inductivo en la teoria de autómatas, para desmostrar la última afirmación Demostración:

22 22 CAPÍTULO 1. INTRODUCCION Procederemos por inducción sobre ϕ Base: Si ϕ = λ entonces ω ϕ = ω λ = ω + 0 = ω + λ = ω + ϕ Hipótesis de inducción: Supongamos que para cualquier palabra α, α n se tiene que: ω α = ω + α Ahora sea ψ = α β una palabra de longitud n + 1 con α Σ y β Σ ϕ ψ = ϕ α β = ϕ α + 1 = ϕ + n + 1 = ϕ + α β = ϕ + ψ Actividad 7 Investigar las propiedades de asociatividad e identico entre concatenación de cadenas Definición 10 Si Σ es un alfabeto podemos expresar el conjunto de todas las cadenas del alfabeto empleando la siguiente notación Σ k que es el conjunto de todas las cadenas de longitud k, tales que todos los símbolos que las conforman pertenecen a el alfabeto Σ Ejemplo 9 si Σ = {0, 1} entonces: Σ 0 = λ Σ 1 = {0, 1} Σ 2 = {00, 01, 10, 11} Σ 3 = {000, 001, 010, 011, 100, , 111} y así sucesivamente. Es importante hacer enfásis en el hecho de que Σ y Σ 1 no son lo mismo, el primero representa el conjunto formado por los símbolos 0 y 1 y del segundo sus miembros son las cadenas 0 y 1, cada una de las cuales tiene longitud uno. Definición 11 Al conjunto de todas las cadenas tomadas de un alfabeto lo llamaremos lenguaje. El lenguaje compuesto por todas las palabras sobre el alfabeto, se le conoce como diccionario y se denota por Σ, donde: Σ = Σ 0 Σ 1 Σ 2 Σ 3...

23 1.3. CADENAS Y LENGUAJES 23 En el caso de que el diccionario no incluya la cadena vacía se escribira como Σ + y tenemos que Σ = Σ + {λ} Algunos ejemplos de lenguajes son: El conjunto de los números binarios que representan un número primo El lenguaje de programación C el conjunto de todas las cadenas con igual cantidad de ceros y unos. Una aplicación de los lenguajes es un analizador léxico de un compilador de algun lenguaje de programación particular, en el cual se proporciona una cadena ASCII y deseamos saber si dicha cadena pertenece o no al conjunto de todos los programas validos para el lenguaje de programación.

24 24 CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

25 Capítulo 2 Lenguajes regulares Objetivo de la unidad: Conocer el concepto de expresón regular, su representación mediante autómatas finitos y sus aplicaciones en procesos de computo y el entorno donde se desenvuelve el alumno 2.1. Autómatas finitos Para iniciar esta unidad se presentará un ejemplo práctico, tomado del libro Introducción a la teoría de autómatas, lenguajes y computación, de John E.Hopcroft Ejemplo 10 Los protocolos que ayudan a manejar el dinero electrónico (son archivos que se utilizan para pagar compras en Internet y que el vendedor recibe con la garantía de que el dinero es real) La parte de asegurar el dinero le corresponde al banco el cual debera encriptar sus archivos para garantizar que la falsificación no sea un problema, además de mantener una base de datos con todo el dinero valido que ha emitido, para asegurar que el dinero que va a dar a la tienda sea real (es decir que en la cuenta del cliente existan fondos), este proceso de compra, venta e intercambio de dinero puede ser modelado mediante autómatas finitos Otro ejemplo de un proceso que podemos modelar empleando autómatas finitos es el siguiente Ejemplo 11 Las máquinas expendedoras de refrescos, dulces o café requieren 25

26 26 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES que se introduzca cierto importe para poder despachar algún producto, primero requieren de selecciónar el producto posteriormente se necesita insertar la cantidad de dinero necesario dependendiendo de la selección realizada, la maquina debera contabilizarlo para guardar en un estado la cantidad de dinero que fue introducido y en caso de que sea necesario dar cambio y que éste sea devuelto correctamente, en este caso la entrada de nuestro autómata es no tener dinero acumulado ni opción seleccionada, después se siguen una secuencia de movimientos que nos llevan a obtener nuestro producto finaluna vez que se ha completado la cantidad que cuesta el producto (este ejemplo se analizará con más detalle en el transcurso del cápitulo) En muchas otras máquinas se emplean los autómatas, así que necesitamos estudiar?qué es? y todas sus características. Actividad 8 Investigue dos ejemplos donde sea posible modelar un comportamiento mediante autómatas Autómatas finitos deterministicos AFD Para comenzar mencionares que el autómata finito deterministico es aquel que siempre está en un sólo estado después de leer cualquier secuencia de entradas; la palabra determinista nos dice que para cada entrada existe un único estado al que el autómata puede llegar partiendo del estado actual; comencemos dando la definición formal Definición 12 Un Autómata Finito Determinístico (AFD) es una quintupla: M = (Q, Σ, q 0, f, F ), donde Q Es un conjunto finito no vacío (los elementos de Q son llamados estados) Σ es un conjunto de símbolos de entrada al que llamaremos alfabeto. q I Q, es un estado al que llamaremos estado inicial. f Es una función Q Σ Q que se llama función de transición; ésta recibe como argumentos un estado y una entrada y devuelve un estado. q F Q es un conjunto de estados a los cuales llamaremos estados finales o de aceptación.

27 2.1. AUTÓMATAS FINITOS 27 Un autómata puede ser representado mediante un grafo dirigido (digrafo) el cual se conoce como diagrama de transiciones, donde los vértices del mismo corresponden a los estados del autómata, en el caso del estado inicial éste tendrá una flecha que apunta hacia él, y los estados finales se representarán mediante un círculo con línea doble; si existe una transición del estado q al p sobre la entrada a entonces existe un arco con etiqueta a que va del estado q al estado p en el diagrama de transición. El autómata acepta una cadena ω si la secuencia de transiciones correspondientes a los símbolos de ω conducen del estado inicial a un estado final. Ejemplo 12 Sea Q = {q 0, q 1, q 2, q 3 } el conjunto de estados, q I = {q 0 } el estado inicial, q F = {q 0 } el conjunto de estados finales, Σ = {0, 1} el alfabeto de entrada y la función f q 0 q 1 q 2 q 3 q q q q El digrafo asociado al automata anterior es: Figura 2.1: Grafo asociado a un autómata la función de transición también se puede escribir de la siguiente forma f(q 0, 1) q 1 f(q 0, 0) q 2 f(q 1, 1) q 0 f(q 1, 0) q 3 f(q 2, 1) q 3 f(q 2, 0) q 0 f(q 3, 1) q 2 o mediante la siguiente f(q 3, 0) q 2

28 28 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES Definición 13 Sea M = (Q, Σ, q 0, f, F ) un AFD definimos la iteración de f sobre Σ así: f : Q Σ Q q Q : f (q, λ) := q q Q, σ Σ y ϕ Σ : f (q, σϕ) := f (f (q, σ), ϕ) Algo que es importante en la teoría de autómatas, es como decide si acepta o no una secuencia de símbolos de entrada (cadena). El lenguaje de un AFD es el conjunto de todas las cadenas que acepta el autómata, formalmente: Definición 14 Sea M = (Q, Σ, q 0, f, F ) un AFD, el lenguaje de M se define como: L(M) := {w Σ f (q 0, w) F } Observación 1 Sean L(A) y L(B) dos lenguajes sobre el alfabeto Σ, entonces L(A) = L(B) si y sólo si L(A) L(B) y L(B) L(A). Observación 2 Sean L(A) y L(B) dos lenguajes sobre el alfabeto Σ, entonces (L(A) L(B)) R = L(B) R L(A) R. Definición 15 Dos autómatas finitos se dicen equivalentes si reconocen el mismo lenguaje, es decir: Dados M p = (Q, Σ, p 0, f, F ), M q = (Q, Σ, q 0, f, F ) AFD M P M q L(M p ) = L(M q ) Autómatas finitos no deterministicos AFND Ahora, si se modifica el modelo del autómata finito, para permitirle ninguna, una o más transiciones de un estado sobre el mismo símbolo de entrada, al nuevo modelo lo conoceremos como autómata finito no determinístico. Definición 16 Un Autómata Finito No Determinístico (AFND) es una quintupla M = (Q, Σ, I, R, F ), donde

29 2.1. AUTÓMATAS FINITOS 29 Q es un conjunto de estados Σ es un alfabeto. I Q es un conjunto de estados a los cuales llamaremos estados iniciales. R es una relación sobre Q Σ Q que se llama relación de transición. F Q es un conjunto de estados a los cuales llamaremos estados finales. Observación 3 Si I se reduce a un solo estado y R es tal que sus elementos pueden escribirse mediante una función entonces el autómata será determinístico. Definición 17 Sea M un AFND y sea ω Σ un camino que empieza en q 0, inducido por ω = σ 1 σ 2,, σ n en un autómata es una n + 1-ada de estados (q 0, q 1,, q n ) tales que k [1, 2,, n], (q k 1, σ k, q k ) R. También diremos que el camino empieza en q 0 e induce λ es (q 0 ). Definición 18 Una palabra ω se dice reconocida por un AFND M, si ω induce un camino que empieza en un estado inicial y termina en algún estado final. Definición 19 El lenguaje del AFND M, es el conjunto de todas las palabras en Σ que son reconocidas por M L(M) = {ω Σ ω induce un camino (q 0,, q n ) tal que q 0 I y q n F } Observación 4 Dado un AFND M = (Q, Σ, I, R, F ) entonces existe un AFD M tal que L(M) = L(M ). Ejemplo 13 Sea M = ({q 0, q 1 }, {0, 1}, δ, q 0, {q 1 }) un AFND en el que : δ (q 0, 0) = {q 0, q 1 } δ (q 0, 1) = {q 1 } δ (q 1, 0) = δ (q 1, 1) = {q 0, q 1 }

30 30 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES Podemos construir un AFD M = (Q, {0, 1}, δ, [q 0 ], F ) que acepte a L (M) de la siguiente forma: Q esta dado por todos los subconjuntos de {q 0, q 1 }, a los cuales denotaremos así: [q 0 ], [q 1 ], [q 0, q 1 ], como δ (q 0, o) = {q o, q 1 } tenemos: δ ([q 0 ], 0) = [q 0, q 1 ] de la misma forma: δ ([q 0 ], 1) = [q 1 ] δ ([q 1 ], 0) = δ ([q 1 ], 1) = [q 0, q 1 ] δ (, 0) = δ (, 1) = Por lo tanto el conjunto de estados finales es {[q 1 ], [q 0, q 1 ]} 2.2. Expresiones regulares Las expresiones regulares son importantes porque también pueden ser consideradas como un lenguaje de programación, que nos permite realizar acciones importante como las de busqueda de elementos en los compiladores (errores como la falta de signos de puntuación o palabras reservadas mal escritas). Las expresiones regulares estan directamente relacionadas con los autómatas finitos deterministicos y no deterministicos, y en muchas ocaciones son empleadas para describir componentes de software debido a que son más faciles de entender que los autómatas finitos. Otras caracteristicas importantes de las expresiones regulares es que estas nos permiten definir a los lenguajes descritos por las distintas familias de autómatas, los lenguajes regulares, con la ventaja de que las expresiones regulares ofrecen una forma declarativa de expresar las cadenas que pretendemos aceptar, lo que permite que se utilicen como lenguaje de entrada en muchos sistemas de proceso de cadenas. Definición 20 Las Expresiones regulares sobre un alfabeto, se definen así : 1. es una expresión regular.

31 2.2. EXPRESIONES REGULARES {λ} es una expresión regular y se escribe: λ 3. σ Σ : σ es expresión regular y se escribe: σ. Ahora, si α y β son expresiones regulares, entonces también lo serán: 4. α β que escribiremos: α + β 5. α β 6. α Sólo las expresiones que se obtienen por composición finita de las reglas anteriores son expresiones regulares. Proposión 1 Sea α una expresión regular. Entonces α R también es una expresión regular Demostración: Se procederá por inducción sobre la construcción de expresiones regulares 1. R = 2. λ R = {λ} R = { λ R} = {λ} = λ 3. Sea σ Σ entonces por la definición de inversa) σ R = (σλ) R = λ R σ = λσ = σ por lo tanto σ R = {σ} R = {σ R } = {σ} = σ (1), (2) y (3) son expresiones regulares. 4. Supongamos que α, β, son expresiones regulares y que α R, β R también lo son, entonces (α + β) R = {ω R ω α + β} = {ω R ω α} {ω R ω β} = α R β R por lo tanto (α + β) R es expresión regular.

32 32 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES 5. Si ϕ, ψ son palabras queremos probar que ψ R ϕ R = (ϕψ) R Base: si ϕ = λ (ϕψ) R = (λψ) R = ψ R = ψ R λ = ψ R λ R = ψ R ϕ R Hipótesis de inducción: Sea α Σ con α = n, n 1 entonces (ϕψ) R = {β R β ϕψ} = {β R β = a b, a ϕ, b ψ} = ψ R ϕ R Ahora para α, σ Σ por la hipótesis de inducción que es una expresión regular. 6. (α ) R = ( α R) base (α 0 ) R = λ n = λ = ( α R) 0 ((ασ) ψ) R = (σ (αψ)) R = (αψ) R σ (αψ) R σ = ψ R α R σ = ψ R (σα) R hipótesis de inducción (α ) R = ( α R) Para n + 1 ( α n+1 ) R = (α n α) R = α R (α n ) R = α R ( α R) n = ( α R ) n+1 ahora ( ) R (α ) R = α n = (α n ) R ( = ) α R n = (α n ) que es una expresión regular. n=0 n=0 n=0 Por lo tanto, la inversión de una expresión regular es una expresión regular.

33 2.2. EXPRESIONES REGULARES 33 Probablemente la definición anterior nos haga pensar que las expresiones regualres no son tan comprensibles, pero quiza el siguiente ejemplo permita que se pueda cambiar de opinión Ejemplo denota el lenguaje de todas las cadenas que comienzan con cero y estan seguidas por cualquier cantidad de unos o comienzan con uno y estan seguidas de cualquier cantidad de ceros. Cerradura de Kleene La Cerradura o clausura o estrella de Kleene de un lenguaje se denota por L y representa el conjunto de las cadenas que se pueden formar tomando cualquier número de cadenas de L, por ejemplo si L = {0, 11}, L consta de aquellas cadenas de ceros y unos en las que los unos se encuentran en pares, como 001, 11110; sin embargo cadenas como 101 y no estan dentro de la cerradura. Ejemplo 15 Si L = {a, bb} entonces L 0 = {λ} L 1 = {a, bb} L 2 = {aa, abb, bba, bbbb} L 3 = {aaa, aabb, abba, abbbb, bbbbbb, bbbba bbaabb, bbaa} observe que aqui a corresponde a un caracter y bb corresponde a otro caracter. Para calcular L debemos calcular L i para todo i y hacer la unión de estos lenguajes. Construcción de expresiones regulares Se mostrará un ejemplo de como se construyen las expresiones regulares utilizando la definición de las mismas

34 34 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES Ejemplo 16 Sea E el conjunto formado por todas las cadenas que tienen cero o más repeticiones de la cadena 01 alternados. Primero se desarrolla una expresión regular para el lenguaje formado por la cadena única 01, posteriormente con ayuda del operador, podermos obtener una expresión para todas las cadenas de la forma Lo primero que se debe contemplar es que por la definición de expresión regular 0 y 1 son expresiones regulares, y representan los lenguajes {0} y {1}, por el inciso 5 de la definición la concatenación de expresiones regulares es una expresión regular, por lo cual 01 es una expresión regular que generael lenguaje {01}. Para obtener todas las cadenas que constan de ceros y unos usamos 6 de la definición y obtenemos la expresión regular (01). Sin embargo el lenguaje asociado a (01) sólo reconoce cadenas que empiecen con cero y terminan en uno, pero que pasa con las cadenas que comienzan en uno y terminen con cero o con uno, para contemplar todas las posiblilidades será necesario construir tres expresiones regulares más y la expresión regular completa será (10) 0(10) 1(01) (01) + (10) + 0(10) + 1(01) aqui el operador + nos ayuda a unir los cuatro lenguajes formados por cada una de las expresiones regulares. Es importante denotar que los operadores en las expresiones regulares y en las expresiones regulares conservan cierta precedencia dada de la siguiente forma El operador tiene la mayor precedencia, se aplica sólo a la secuencia más pequeña de símbolos a su izquierda que constituyen una expresión regular bien formada. El siguiente en precedencia es el operador concatenación; una vez aplicados todos los aplicamos la concatenación. Por último se aplican los operadores de unión.

35 2.3. LENGUAJES REGULARES Lenguajes Regulares Los Lenguajes regulares son elementos de la teoría de la computación que estan directamente vinculados con las expresiones regulares y los autómatas finitos deterministicos. Aunque las expresiones regulares describen los lenguajes de manera diferente a como lo hacen los autómatas finitos, ambas notaciones representan exactamente el mismo conjunto de lenguajes (lenguajes regulares), además también se vio que es posible construir autómatas finitos deterministicos asociados a autómatas finitos no deterministicos, con lo cual los lenguajes regulares también se encongraran vinculados con ésta clase de autómatas. Todo lenguaje definido mediante un autómata finito deterministico, también puede definirse mediante una expresión regular. Todo lenguaje definido por una expresión regular también puede definirse mediante un autómata finito deterministico. Definición 21 Un conjunto A Σ se dice regular si existe un AFD M tal que L(M) = A Observación 5 Sea M un autómata finito, entonces existe una expresión regular r para la cual L(r) = L(M) Observación 6 Un lenguaje es regular si y sólo si es aceptado por un autómata finito Es importante recordar que los lenguajes son conjuntos, con lo cual se les pueden aplicar las operaciones asociadas a los conjuntos y describir mediante las mismas algunas propiedades que nos ayuden a construirlos y entenderlos de manera mas sencilla; a continuación mencionamos algunas de las propiedades de los lenguajes regulares 1. La unión de dos lenguajes regulares es regular. 2. La intersección de dos lenguajes regulares es regular. 3. El complemento de un lenguaje regular es regular. 4. La diferencia de dos lenguajes regulares es regular. 5. La reflexión de un lenguaje regular es regular.

36 36 CAPÍTULO 2. LENGUAJES REGULARES 6. La cerradura de Kleen de un lenguaje regular es regular. 7. La concatenación de dos lenguajes regulares es regular.

37 Capítulo 3 Lenguajes libres de contexto Objetivo de la unidad: Conocer el concepto de lenguaje independiente del contexto, cuales son las caracteristicas que posee y sus aplicaciones Las Gramáticas independientes del contexto o libres de contexto juegan un papel muy importante en la tecnologia de las computadoras desde la decada de 1960, ya que optimizaron e hicieron más barata la tarea de implementar el analizador sintáctico de los compiladores; posteriormente nos permitieron describir formatos de documentos mediante la definición del tipo de documentos en la red Gramáticas libres de contexto El lenguaje es el medio de comunicación entre los seres humanos a través de signos orales y escritos que poseen un significado. Para que exista el lenguaje se requieren ciertos factores como la sintaxis, que da estructura al lenguaje y la semántica, que le da significado al lenguaje. Además de manera conjunta con los lenguajes tenemos la gramática que estudia los elementos de un lenguaje y sus combinaciones. Así como es importante podernos comunicar con otras personas, actualmente también es importante podernos comunicar con las computadoras; es decir establecer un lenguaje y una gramática para facilitar el uso de las mismas. Introduciremos de manera natural el concepto de gramática mediante una analogía con el lenguaje español y su gramática. 37

38 38 CAPÍTULO 3. LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTO Ejemplo 17 Suponga que tenemos la siguiente frase: La gata gris duerme en la cama diariamente Observamos que la frase se divide en dos partes esenciales sujeto y predicado; el sujeto a su vez se divide en artículo, sustantivo y adjetivo; y el predicado se divide en verbo, preposición, artículo y advervio. Nosotros podemos decir que existe una variable llamada < frase > que genera 2 variables < sujeto > y < predicado > es decir: < frase > < sujeto >< predicado > (sustituimos la palabra produce por la flecha) a su vez las variables < sujeto > < articulo >< sustantivo >< adjetivo > < predicado > < verbo >< preposicion >< articulo >< advervio > por último las variables < articulo > la el < sustantivo > gata cama < adjetivo > gris < verbo > duerme < preposicion > en < advervio > diariamente a las variables la, el, gata, cama, gris, duerme, en, diariamente las llamamos símbolos terminales, mientras que a las variables escritas entre < > las conocemos como símbolos no terminales; el proceso que sustituye unas variables por otras se le conoce como producción y a la variables < frase > se le conoce como símbolo inicial. De manera formal tenemos Definición 22 Una Gramática es una cuadrupla G = (N, T, P, S) donde N es un alfabeto a cuyos símbolos llamamos no terminales. T es un alfabeto a cuyos símbolos llamamos terminales.

39 3.1. GRAMÁTICAS LIBRES DE CONTEXTO 39 P es un subconjunto finito de (N \T ) N N y a los elementos (u, v)de P los conocemos como producciones de G. S es el símbolo inicial. En el párrafo previo a la definición se describe cuales son los conjuntos N, y T así como cual es el elemento S y las producciones correspondientes al ejemplo (2). Notación 2 A los símbolos no terminales se les representa mediante letras mayúsculas, mientras que los símbolos terminales serán representados mediante letras minúsculas. Definición 23 Para ω, ω N escribimos ω = ω si existen x, y N y una producción u v en P tal que y ω = xuy ω = xvy Decimos que ω deriva ω Escribimos ω = z si ω = z o existen ω 1, ω 2,, ω n con n 2 en N tales que ω = ω 1, z = ω n y ω i = ω i+1 sin pérdida de generalidad a esta transformación la llamaremos derivación en G y decimos que ω deriva a z. Definición 24 El lenguaje L(G) generado por G es el conjunto de palabras en T, que puede ser derivado a partir de S { } L(G) = ω T S = ω Ahora, regresando al ejemplo anterior observamos que las producciones pueden generar frases como la siguiente El cama gris duerme en la gata diariamente La cual no es semánticamente aceptable, pues carece de significado, pero es aceptada por la sintaxis de la gramática; debido a este comportamiento será necesario hacer modificaciones para que el lenguaje sólo reconozca oraciones que posean significado (es decir analizar el contexto de la oración).

40 40 CAPÍTULO 3. LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTO Definición 25 Una gramática es regular si cada producción P es de la forma o de la forma α xβ con (x T, α, β N \ T ) α y con (α N \ T, y T ) Decimos que una gramática G es independiente del contexto si todas las producciones son de la forma α z con z (T N) Ejemplo 18 Sea G = (N, T, P, S) donde T = {a, b} N \ T = {S, B} y P consiste de las producciones S asb λ entonces L(G) = {a n b n n 1} que es un lenguaje independiente del contexto. Ejemplo 19 Sea G = (N, T, P, S) con T = {a, b}, N \ T = {S} y P tenga las producciones S asa bsb a b λ Tenemos que L(G) = { ω T ω = ω R} que es el lenguaje de los palíndromos, en el alfabeto T. Definición 26 Sea G una gramática independiente del contexto, una producción A α en la gramática se llama regla de G. El símbolo no terminal A es la parte izquierda de la regla, y la cadena α es la parte derecha de la regla. En una producción de la forma A xβ, la letra x N T se llama manipuladora de la producción. Una producción de la forma A B con A y B símbolos no terminales, se llama producción no generativa. Si G permite la derivación A = Aϕ entonces la letra no terminal A se dice recursiva izquierda. Si G permite la derivación A = ϕa entonces A se dice recursiva derecha. Si G permite la derivación A = A en uno o más pasos entonces se dice que A es un no terminal cíclico.