Funciones y cálculo infinitesimal: Integración Matematicas Funciones y cálculo infinitesimal: Integración

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1 Funciones y cálculo infinitesimal: Integración Matematicas Funciones y cálculo infinitesimal: Integración Imagen en Wikimedia Commons de Dcoetzee bajo dominio público

2 1. Primitivas. Cálculo de primitivas inmediatas Históricamente, la noción de integral es anterior a la de derivada. Esta surge al intentar calcular el área de ciertas figuras. Arquímedes fue el primero que da una cierta aproximación de como calcular el área que se encuentra bajo una cierta curva mediante su método de exhaución, método que consistía, básicamente, en inscribir y circunscribir poligonales en la curva o recinto en cuestión. Estas eran cada vez más cercanas y calculaba las áreas de estas poligonales como aproximación de la superficie inicial. Para acercarnos a la idea que expone este método te proponemos el siguiente applets de Geogebra. El cálculo integral toma un gran impulso con Newton y Leibniz en el siglo XVIII. Estos matemáticos geniales son considerados los padres del cálculo integral. A pesar de este gran impulso que recibe el cálculo integral no se resuelve totalmente el problema hasta un siglo más tarde con Cauchy y Riemann.

3 A través de la siguiente imagen puedes acceder a una simulación (de matematicafpu bajo CC) en la que ver cómo se utiliza el método de exhaución y cómo se puede aproximar por defecto y por exceso el área delimitada por una función, el eje de abscisas y dos ordenadas a y b. Actividad La función F(x) es primitiva de una función f(x) si se cumple que F'(x)=f(x). Teniendo en cuenta esta definición de integral, cualquier función de la forma F(x)+C es también primitiva de f(x). Al conjunto de todas las primitivas de f(x) se le llama integral indefinida de f(x) y se representa: Ejemplo Una rápida lectura de la definición anterior nos lleva a pensar que integrar una función es el proceso inverso de derivar. Al integrar una función obtenemos una nueva F(x)a la que llamaremos primitiva de la anterios y a la que,al derivarla, obtenemos la función de partida. Veamos esto con un ejemplo: Sabemos que (x 3 )'=3x 2, así pues: donde C es una constante cualquiera. Establezcamos varias reglas básicas para integrar funciones:

4 donde k simboliza a cualquier número real. Es decir, que para calcular la integral de la suma o la resta de varias funciones basta con calcular las integrales independientes y sumar sus resultados. Para integrar un número por una función simplemente integraramos la función dada y el resultadolo multiplicamos por el número en cuestión. Vamos a observar unas integrales inmediatas de funciones simples: Funciones potenciales: Funciones trigonométricas: Funciones inversas de las trigonométricas: Funciones exponenciales: Imagen en deviantart de cintianightmare bajo CC Funciones logarítmicas:

5 Pregunta de Elección Múltiple Calcula las siguientes integrales: Opción correcta Solución 1. (Retroalimentación) 2. (Retroalimentación) 3. Opción correcta (Retroalimentación) Opción correcta Solución 1. Opción correcta (Retroalimentación) 2. (Retroalimentación) 3. (Retroalimentación) En la primera hoja de este documento (de José Luis Alejandre Marco y Ana Isabel Allueva Pinilla bajo CC) puedes encontrar actividades resueltas para practicar estos conceptos.

6 2. Calculo de primitivas inmediatas de funciones compuestas En ocasiones, es necesario integrar funciones compuestas de dos funciones elementales. Para determinar estas integrales, disponemos de una serie de reglas para facilitar nuestra labor. Las integrales inmediatas para funciones compuestas son análogas a las anteriores como vemos a continuación: Imagen en Flicker de Shermeee bajo CC Actividad Funciones potenciales Importante Funciones trigonométricas:

7 Funciones inversas de las trigonométricas Importante Funciones exponenciales Importante Funciones logarítmicas Veamos algún ejemplo: Hay que darse cuenta de que la función que está en el numerador es la derivada de la que está en el denominador entonces atendiendo a la fórmula: Por lo que quedaría:

8 Por tanto básicamente lo que hay que buscar con este tipo de integrales es la función y su derivada, o "algo parecido", y aplicar alguna de las fórmulas anteriores. Veamos que queremos decir con lo de "algo parecido" a la derivada. En esta función aparece una función como 3x+1 y algo parecido a su derivada x, para integrar actuamos de la siguiente forma: Lo que hacemos es transformar la x en la derivada de la función y como para transformarla tenemos que multiplicar, dividimos por el mismo número. La fracción numérica resultante la extraemos de la raíz por una de las propiedades anteriores con lo que queda la integral anterior. Reflexión Calcula la siguiente integral: En primer lugar tenemos que identificarla con alguna de las integrales inmediatas expuestas anteriormente, claramente la relacionamos con la de la exponencial del número "e". La expresión que multiplica a la exponencial no es exactamente la derivada del exponente, pero si es una expresión muy parecida. Veamos como se calcula: Determina la opción correcta Determina la opción correcta:

9 Opción correcta Solución 1. (Retroalimentación) 2. Opción correcta (Retroalimentación) 3. (Retroalimentación) 4. (Retroalimentación) Sugerencia Opción correcta Solución 1. (Retroalimentación) 2. (Retroalimentación) 3. Opción correcta (Retroalimentación) 4. (Retroalimentación)

10 Caso de estudio Aquí tienes un listado de actividades (de oregueras bajo CC). Y aquí las soluciones.

11 3. Integral definida. Calculo de integrales sencillas Actividad Regla de Barrow Si f es una función continua en un intervalo [a, b] y F(x) es una primitiva de f(x), es decir, F'(x)=f(x). Entonces se cumple que: Es decir para calcular una integral definida entre dos extremos, lo primero que tenemos que hacer es calcular la integral indefinida, después calcular los valores que toma la primitiva en cada extremo y, por último, calcular la resta de ambos. Veamos a continuación un ejemplo: Calculamos la integral indefinida o primitiva Imagen en Flickr de LaMenta3 bajo licenciacc Calculamos el valor de la primitiva en los dos extremos Aplicando la regla de Barrow Importante

12 Veamos ahora algunas propiedades importantes de las integrales definidas teniendo en cuenta que f(x) es una función continua en [a, b]: Reflexión Determina las siguientes integrales: a. Calculamos: Una primitiva Su valor en los extremos Aplicamos la regla de Barrow

13 b. Calculamos: Una primitiva El valor en los extremos Aplicamos la regla de Barrow Pregunta de Elección Múltiple Determina el valor de las siguientes integrales: Opción correcta Solución 1. (Retroalimentación) 2. (Retroalimentación) 3. Opción correcta (Retroalimentación)

14 e 2 +e Opción correcta Solución 1. Opción correcta (Retroalimentación) 2. (Retroalimentación) 3. (Retroalimentación) Volvemos ahora a nuestro problema inicial y cómo calcular el área contenida entre una función y el eje de abscisas. El paso previo para constestar a esa pregunta, es la definición de integral definida.

15 4. Cálculo de áreas de recintos sencillos mediante la integral definida Por último veamos como calcular áreas encerradas en recintos sencillos: Si nos encontramos con un recinto como el de la figura en el que la hay una única función f(x) positiva en todo el intervalo de integración [a, b] para calcular el área del recinto coloreado basta con calcular la integral definida de la función f(x) entre los extremos a y b, es decir basta con calcular: Si queremos calcular el recinto que encierra esta segunda gráfica, tenemos que tener en cuenta que la medida de una superficie siempre es positiva, y que en las propiedades de las integrales definidas teníamos que cuando una función es negativa en un intervalo la integral definida en ese intervalo de dicha función es negativa, por lo que si queremos calcular el área del recinto coloreado tendremos que cambiar el signo de la función en el recinto que se encuentra por debajo del eje de abcisas, es decir: Por último, si queremos calcular el área encerrada entre dos funciones como aparecen el dibujo adjunto habría que calcular el área que encierra la función superior y restarle el área que encierra la función inferior en el intervalo de integración que deseemos, o lo que es lo mismo: Reflexión

16 Apartado a. Apartado b. Apartado c a. El área que queremos calcular está encerrada por la función f(x)=x 2 +2x, el eje de abcisas y la recta x=4. Dicha área se calcula con la integral: b. Este área la calcularemos de dos formas diferentes: El recinto del que queremos calcular el área consta de dos partes, la primera de ellas se encuentra debajo del eje de abcisas por lo que para calcular el área tenemos que cambiar el signo de la función. Como exponíamos anteriormente, quedando: Este área tambien se podría calcular teniendo en cuenta que la función es simétrica y que el área de la parte de la izquierda es igual que el de la derecha por lo que quedaría:

17 c. Para calcular el área que encierra este último recinto, en pirmer lugar hay que determinar los límites de integración. Este proceso resulta sencillo sin más que igualar ambas funciones y calcular los valores de x: Como podemos apreciar en la figura, la función f(x) está por encima de la función g(x), por lo que el área del recinto quedaría: Pregunta de Elección Múltiple Determina el área de las siguientes regiones: La región limitada por la función y=x 2-4, el eje de abcisas y las rectas x=3 y x=4 6 25/3 7 Opción correcta Solución

18 3. (Retroalimentación) La región limitada por las rectas y=x; y=-x; x=3 9 9/2-9 Opción correcta Solución 1. Opción correcta (Retroalimentación) 2. (Retroalimentación) 3. (Retroalimentación) La región encerrada por la función y=x 2-4 y el eje de abcisas -32/ /3 Opción correcta Solución 1. (Retroalimentación) 2. (Retroalimentación) 3. Opción correcta (Retroalimentación) Aquí tienes un listado de actividades (de M.ª Ángeles Pajuelo bajo CC) con las que puedes practicar el cáclulo de áreas. Son aquellos ejercicios ubicados bajo el apartado denominado "Regla de Barrow" (pág. 2). También puedes encontrar las soluciones al final del documento. En este documento (de elenasanz bajo CC ) también puedes practicar las integrales definidas y los cálculos de áreas.

19 5. Ejercicios resueltos de pruebas de acceso anteriores Para finalizar este tema, vamos a resolver los ejercicios que se han preguntado sobre el mismo en exámenes de la PAU en cursos anteriores. Es recomendable que antes de mirar la solución, los intentes previamente, por si no hubieran salido del todo correctos, aprender del error y coger práctica. Ejemplo o ejercicio resuelto Prueba de Acceso a Grados para Mayores de 25 años - Año 2008 Represente en un mismo gráfico la parábola de ecuación y = x 2 y la recta de ecuación y = 2x y halle el área del recinto limitado por las gráficas. Nota: En este ejercicio se utilizarán conocimientos básicos del cálculo integral.

20 6. Apéndice Imagen en Flickr de osde8info bajo CC.

21 6.1. Para saber más Para saber más En la siguiente web dispones de un integrador, donde tan solo tienes que indicar la función a integrar y pulsando sobre el boton azul Compute Online with Mathematica te mostrará la integral de la función. La aplicación es muy útil para practicar las actividades realcionadas con las integrales. Accede haciendo clic en la imagen

22 6.2. Curiosidades Curiosidad Aquí puedes ver una pequeña introducción a los orígenes del cálculo infinitesimal y la dura batalla que libraron Newton y Leibnitz por la "paternidad" del descubrimiento Pre-conocimiento En este video puedes aprender algo mas sobre la historia del cálculo diferencial. A pesar de estar en inglés, puedes colocar subtítulos y traducirlos con la herramienta de Youtube

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