Universidad Nacional de La Rioja Sede Universitaria Chepes Departamento de Ciencias Aplicadas ESTADISTICA APLICADA

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1 Universidad Nacional de La Rioja Sede Universitaria Chepes Departamento de Ciencias Aplicadas ESTADISTICA APLICADA

2 UNIDAD Nº 1: Medidas de posición Introducción: Esta unidad trata sobre la presentación de datos. En particular, se mostrará cómo grandes series de datos numéricos pueden organizarse y presentarse de manera más eficaz en forma de tablas y diagramas con el fin de intensificar el análisis e interpretación de datos, aspectos clave del proceso de toma de decisiones. Para motivar nuestro análisis sobre la presentación tabular y de diagrama de los datos numéricos, las observaciones en nuestra serie de datos son de dos tipos, de orden de tiempo o independientes. Las observaciones de orden de tiempo pueden controlarse sobre una gráfica digipunto, mientras que las observaciones independientes pueden presentarse en forma tabular como una distribución de frecuencia o en forma gráfica como un histograma, polígono u ojiva. 1.1 Frecuencias: Con el fin de introducir las ideas relevantes, daremos un ejemplo para desarrollar los contenidos de la presente unidad. Tomando como base la encuesta realiza por la Dirección de Recursos Agropecuarios sobre la existencia de ganado caprino en la provincia de La Rioja, a 40 establecimientos de cría de ganado se muestran los resultados en la tabla 1.1. Es necesario tener en cuenta que cuando se recolecta una serie de datos como ésta generalmente se hace en forma sin procesar, es decir, las observaciones numéricas no se disponen en ningún orden o secuencia particular. Como se observa en la tabla 1.1, al crecer el número de observaciones, se hace más difícil centrarse en las principales características de un conjunto de datos y se necesitan métodos para posibilitar organizar las observaciones de tal manera que entendamos mejor la información que transmite la serie de datos. Tabla 1.1 Datos sin procesar en existencia de ganado caprino

3 Usando los datos sin procesar de la existencia de ganado caprino de la provincia, la Dirección de recursos desea construir las tablas y diagramas apropiados que amplíen el informe que está preparando para el gobierno de la provincia. Al crecer el número de observaciones se hace necesario condensar aún más los datos en tablas de resumen apropiadas. Así pues, tal vez se desea acomodar los datos en agrupamientos de clase (por ejemplo, categorías, cantidad o años) de acuerdo con divisiones establecidas convenientemente del alcance de la observaciones. Tal acomodo de los datos en forma tabular se denomina una Distribución de frecuencia. Una distribución de frecuencia es una tabla de resumen en la que los datos se disponen en agrupamientos o categorías convenientemente establecidas de clases ordenadas numéricamente. Cuando las observaciones se agrupan o condensan en tablas de distribución de frecuencia, el proceso de análisis e interpretación de los datos se hace mucho más manejable y significativo. En esta forma resumida las características más importantes de los datos se aproximan muy fácilmente, compensando así el hecho, que cuando los datos se agrupan de ese modo, la información inicial referente a las observaciones individuales que antes se disponía se pierde a través del proceso de agrupamiento o condensación. Al construir la tabla de frecuencia de distribución, debe ponerse atención a: A). Seleccionar el número apropiado de agrupamientos de clase para la tabla. B). Obtener un intervalo o ancho de clase de cada agrupamiento de clase. C). Establecer los límites de cada agrupamiento de clase para evitar los traslapes. A) Selección del número de clases El número de agrupamientos de clase por utilizar depende principalmente del número de observaciones en los datos. Esto es, un número mayor de observaciones requiere un número mayor de grupos de clase. En general, sin embargo, la distribución 2

4 de frecuencia debe tener al menos cinco agrupamientos de clase, pero no más de 15. Si no hay suficientes agrupamientos de clase o si hay demasiados, se obtendrá poca información. Como ejemplo, una distribución de frecuencia que sólo tiene un agrupamiento de clase que abarca todo el alcance de las existencias de ganado caprino de la siguiente manera: Cantidad de cabezas Nº de establecimientos Total 40 Sin embargo, de esta tabla de resumen no se obtiene información adicional que no se conociera ya al examinar los datos sin procesar. Una tabla con demasiada concentración de datos no es significativa. Lo mismo sería cierto en el otro extremo, si una tabla tuviera demasiados agrupamientos de clase, habría una subconcentración de datos, y se sabría muy poco. B) Obtención de los intervalos de clase Al desarrollar la tabla de distribución de frecuencia es deseable que el ancho de cada agrupamiento de clase sea igual. Para determinar el ancho de cada clase, el alcance de los datos se divide entre el número de agrupamientos de clase deseado: Rango Ancho de intervalo: (1.1) Número de agrupamientos deseados Puesto que sólo hay 40 observaciones en nuestros datos de ganado caprino, se decide que siete agrupamientos de clase serán suficientes. El alcance se calcula tomando el dato más chico y el más grande como = 1303 cabezas de ganado y usando la ecuación (1.1), el ancho del intervalo de clase se aproxima mediante 3

5 Ancho de intervalo = 1303 / 7 = 186 cabezas de ganado Por conveniencia y facilidad de lectura, el intervalo seleccionado o ancho de cada agrupamiento de clase se redondea a 200 cabezas de ganado caprino. C) Establecimiento de los límites de las clases Para construir la tabla de distribución de frecuencia, es necesario establecer claramente límites de clase definidos para cada agrupamiento de clase de manera que, las observaciones, se registren apropiadamente. Debe evitarse el traslape de clases. Puesto que el ancho de cada intervalo de clase para los datos del ganado se estableció en 200 cabezas, los límites de los diversos agrupamientos de clase deben establecerse de manera que incluyan todo el alcance de observaciones. Siempre que sea posible, estos límites deben elegirse para que faciliten la lectura e interpretación de los datos. De esta forma, el primer intervalo de clase se establece desde 200 hasta abajo de 400, el segundo de 400 a abajo de 600, etc. Los datos sin procesar (tabla 1.1) se registran entonces en cada clase según se muestra: N cabezas Registros Frecuencia 200 pero menor que 400 ///// ///// /// pero menor que 600 ///// pero menor que 800 ///// / pero menor que 1000 ///// pero menor que 1200 /// pero menor que 1400 ///// pero menor que 1600 /// 3 Total 40 Estableciendo los límites de cada clase de esta manera, las 40 observaciones se han registrado en siete clases, cada una con un ancho de intervalo de 200 cabezas de ganado sin traslape. De esta "hoja de trabajo" la distribución de frecuencia absoluta se presenta en la tabla 1.2 en la página siguiente. 4

6 La principal ventaja de usar una de estas tablas de resumen es que las principales características de los datos se hacen evidentes inmediatamente para el lector. Por ejemplo, de la tabla 1.2 vemos que el alcance aproximado de los 40 establecimientos va de 200 a 1600 cabezas de ganado, en la provincia de La Rioja, en la mayoría de los establecimientos, tendiendo a agruparse entre 200 y 400 cabezas de ganado caprino. Tabla 1.2 Distribución de frecuencia absoluta con intervalos, de número de cabezas de ganado en 40 establecimientos de La Rioja. N cabezas Frecuencia 200 pero menor que pero menor que pero menor que pero menor que pero menor que pero menor que pero menor que Total 40 Fuente: Los datos fueron tomados de la tabla 1.1 Tipos de Distribución de frecuencia: Distribución de frecuencia absoluta. Distribución de frecuencia relativa. Distribución de frecuencia absoluta acumulada. Distribución de frecuencia relativa acumulada Frecuencia Absoluta: Se puede definir como la cantidad de veces que se repite un valor de la variable ( n 1 ). 5

7 En el ejemplo dado en la tabla 1.2, las frecuencias son absolutas con intervalos. También se pueden sacar frecuencias absolutas de números sin intervalos, por ejemplo, si se toman las edades de los ingresantes a la Universidad de Buenos Aires en la carrera de Ingeniería Agropecuaria, el caso se ejemplifica en la tabla 1.3 siguiente: Tabla 1.3 Distribución de edades de los ingresantes En este ejemplo no sería necesario determinar la Selección del número de clases, la Obtención de los intervalos de clase y el Establecimiento de los límites de las clases debido a que no existe una gran diferencia entre el dato más chico al más grande, por lo que se puede plantear una distribución de frecuencia por edad, la cual estaría representado por la tabla 1.4 siguiente: Tabla 1.4 Distribución de frecuencia absoluta Edades Frecuencia Total 50 6

8 1.1.2 Frecuencia Relativa: Se define como la proporción que en el total de observaciones representa cada valor de la variable ( h i = n 1 / n ). También se puede decir que la distribución de frecuencia es una tabla de resumen en la que los datos originales se condensan o agrupan para facilitar el análisis de datos. Sin embargo, para ampliar el análisis, casi siempre es deseable formar la distribución de frecuencia relativa o la distribución de porcentaje, dependiendo de si preferimos proporciones o porcentajes. Estas dos distribuciones equivalentes se muestran en las tablas 1.5 y 1.6, respectivamente. Tabla 1.5 Distribución de frecuencia relativa de número de cabezas de ganado caprino en los 40 establecimientos. N cabezas de Proporción ganado de establecimientos Total 1 Fuente: Los datos fueron tomados de la tabla 1.2 de página 4. 7

9 Tabla 1.6 Distribución de porcentaje de número de cabezas de ganado caprino. N cabezas de Porcentaje ganado de establecimientos , Total 1 La distribución de frecuencia relativa descrita en la tabla 1.5 se forma dividiendo las frecuencias de cada clase de distribución de frecuencia (tabla 1.2) entre el número total de observaciones. Entonces puede formarse una distribución de porcentaje (tabla 1.6) multiplicando cada frecuencia relativa o proporción entre Por lo tanto, de la tabla 1.5 resulta claro que la proporción de ganado caprino en distintos establecimientos de la provincia que tienen entre 600 y 800 cabezas es.150, mientras que en la tabla 1.6 se ve que 15% de los establecimientos tiene esa cantidad de cabezas del total. Generalmente es más significativo trabajar con una base de 1 para proporciones o de para porcentajes que usar las frecuencias mismas. De hecho, el uso de la distribución de frecuencia relativa o de la distribución de porcentaje se vuelve esencial siempre que una serie de datos se compara con otras series de dato, especialmente si difiere el número de observaciones en cada serie de datos. Como ejemplo, supongamos que un psicólogo industrial deseaba comparar ausentismo diario entre los empleados de oficina de dos tiendas departamentales. Si, en un día dado, seis empleados de 50 de la tienda A se ausentan y tres empleados de 10 de la tienda B se ausentan, qué conclusiones podemos sacar? Es inapropiado decir que ocurrió más ausentismo en la tienda A. Aunque hemos observado que en la tienda A hubo el doble de ausencias que en la tienda B, también había cinco veces 8

10 más empleados que en la tienda B. Por lo tanto, en estos tipos de comparaciones, debemos formular nuestras conclusiones a partir de los cocientes relativos de ausentismo, no de los conteos reales. Así pues, puede establecerse que el cociente de ausentismo es dos veces y media mayor en la tienda B (30.0%) que en la tienda A (12.0%). Ahora suponga, al desarrollar su informe para el Gobierno de la provincia de La Rioja, el analista investigador deseaba comparar las cantidades de cabezas de ganado caprino, con las de 40 establecimientos de la provincia de Córdoba. La tabla 1.7 muestra información sobre las cantidades de cabezas de ganado caprino en la provincia por cada uno de los 40 establecimientos encuestados de Córdoba. Para comparar las cantidades de los 40 establecimientos de La Rioja con los de los establecimientos de Córdoba, se desarrolla una distribución de porcentaje para este último grupo. Esta nueva tabla se comparará entonces con la tabla 1.6. Tabla 1.7 Datos sin procesar referentes a cantidades de cabezas de ganado caprino de la provincia de Córdoba La tabla 1.8 describe tanto la distribución de frecuencia como la distribución de porcentaje de las colegiaturas cobradas a residentes fuera de la provincia por las 45 escuelas de Córdoba. Esta tabla se ha construido en lugar de las dos tablas separadas para ahorrar espacio. Observe que los agrupamientos de clase seleccionados en la tabla 1.8 concuerdan, donde es posible, con aquellos seleccionados en la tabla 1.2 para las escuelas de Buenos Aires. Los límites de las clases deberían concordar o ser múltiplos entre sí con el fin de facilitar las comparaciones. 9

11 Tabla 1.8 Distribución de frecuencia y distribución de porcentaje de las colegiaturas para residentes fuera de la provincia en 45 escuelas de Córdoba. Cantidades Número de Porcentaje de de cabezas establecimientos cabezas Total Fuente: Los datos fueron tomados de la tabla 1.8. Usando las distribuciones de porcentaje de las tablas 1.6 y 1.8, ahora resulta significativo comparar la cantidad de las dos provincias en términos de las cabezas de ganado que poseen los 40 establecimientos. De las dos tablas resulta evidente que las cantidades generalmente son menores en La Rioja que en Córdoba. Por ejemplo, en La Rioja las cantidades por lo general se agrupan entre 200 y 400 cabezas de caprinos (es decir, de los establecimientos), mientras que en Córdoba las cantidades por lo general se agrupan entre 600 y 800 cabezas de caprinos (es decir, 35% de los establecimientos). Distribución de frecuencia absoluta acumulada y relativa acumulada Otros métodos útiles de representación de datos que facilitan el análisis y la interpretación son las tablas de distribución de frecuencia acumulativa. Esta puede desarrollarse a partir de la tabla de distribución de frecuencia absoluta, de la tabla de distribución de frecuencia relativa. Tomando como fuente la tabla 1.2 y 1.5 se pueden obtener las siguiente tabla de frecuencias: 10

12 Tabla 1.9 Frecuencias Absoluta, Relativa y porcentual acumuladas Colegiatura (en $00) Abs. Acumulada Rel. Acumulada % Acumulad 200 pero menor que pero menor que pero menor que pero menor que pero menor que pero menor que pero menor que La forma en que se calcula la frecuencia absoluta acumulada esta dado por la fórmula F j = n 1 + n n j, es decir, que la frecuencia absoluta acumulada se obtiene de la suma de cada una de las frecuencias absolutas; mientras que la frecuencia relativa acumulada esta dado por la fórmula Fr j = n 1 + n n j,, es decir, la suma de cada una de las frecuencias relativas Cuadros y Gráficos A menudo se dice que "una imagen vale más que mil palabras". De hecho, los estadísticos han empleado las técnicas gráficas para describir de manera más vívida series de datos. En particular, los histogramas, diagrama de barras, los polígonos y el diagrama de ojiva se usan para describir los datos numéricos que han sido agrupados en distribuciones de frecuencia, de frecuencia relativa o de porcentaje. Diagrama de Barras Son una serie de líneas o palos verticales u horizontales que se desplazan hasta los límites de cada dato cuantitativo. 11

13 Al graficar un diagrama de barras la variable independiente o aleatoria se depliega a lo largo del eje horizontal; el eje vertical representa el número, proporción o porcentaje de observaciones por dato; dependiendo de si el diagrama particular es, respectivamente, un diagrama de barras de frecuencia absoluta, relativa o de porcentaje. Tomando como base la tabla 1.4 se obtiene la siguiente gráfica: Frecuencia Edades Histogramas Los histogramas son diagramas de barras verticales en los que se construyen barras rectangulares en los límites de cada clase. Al graficar histogramas, la variable aleatoria o fenómeno de interés se despliega a lo largo del eje horizontal; el eje vertical representa el número, proporción o 12

14 porcentaje de observaciones por intervalo de clase; dependiendo de si el histograma particular es, respectivamente, un histograma de frecuencia absoluta, un histograma de frecuencia relativa o un histograma de porcentaje. Tomando como base la tabla 1.4 la gráfica se muestra a continuación: frecuencia Histograma Edades Teniendo en cuanta la tabla 1.2 la gráfica es la siguiente: Histograma Frecuencia Cabezas Polígonos Al igual que con los histogramas, al graficar polígonos el fenómeno de interés se despliega a lo largo del eje horizontal y el eje vertical representa el número, proporción o porcentaje de observaciones por intervalo de clase. 13

15 El polígono de porcentaje se forma permitiendo que el punto medio de cada clase represente los datos de esa clase y luego conectando la sucesión de puntos medios con sus respectivos porcentajes de clase. Debido a que los puntos medios consecutivos son conectados por una serie de líneas rectas, el polígono algunas veces está dentado en apariencia. Sin embargo, al tratar con una serie de datos muy grande, si tuviéramos que crear los límites de las clases en su distribución de frecuencia más juntos (incrementando así el número de clases en esa distribución), las líneas dentadas del polígono se "suavizarían". Tomando en cuanta la tabla 1.6 ganado caprino de La Rioja en porcentaje se obtiene la siguiente gráfica: Polígono Porcentaje Cabezas Polígono de porcentaje acumulativo Para construir un polígono de porcentaje acumulativo (también conocido como ojiva), observamos que el fenómeno de interés, la cantidad de cabezas de ganado caprino nuevamente se grafica en el eje horizontal, mientras que los porcentajes acumulativos se grafican en el eje vertical. En cada límite inferior, graficamos el valor de porcentaje (acumulativo) correspondiente del listado de la distribución de porcentaje acumulativo. Entonces conectamos estos puntos con una serie de segmentos de líneas rectas. 14

16 La figura a continuación ilustra el polígono de porcentaje acumulativo de las cabezas de ganado caprino de la Provincia de La Rioja. La principal ventaja de la ojiva sobre otros diagramas es la facilidad con que podemos interpolar entre los puntos graficados. Tomando los datos de la tabla 1.9 se desprende la siguiente gráfica: Ojiva Porcentaje Cabezas Mediciones de la tendencia central La mayor parte de las series de datos muestran una clara tendencia a agruparse alrededor de un cierto punto central. Así pues, dada cualquier serie de datos particular, por lo general es posible seleccionar algún valor o promedio típico para describir toda la serie de datos. Este valor descriptivo típico es una medición de tendencia central o de ubicación. Cuatro tipos de promedios a menudo usados como mediciones de tendencia central son la media aritmética, la mediana, la moda y el eje medio. 1.2 La media aritmética La media aritmética (también llamada la media) es el promedio o medición de tendencia central de uso más común. Se calcula sumando todas las observaciones, de 15

17 una serie de datos y luego dividiendo el total entre el número de elementos involucrados. Por lo tanto, para una muestra que contiene una serie de n observaciones X 1, X 2,..., X n, la media aritmética (dada por el símbolo X, denominado "X barra") puede escribirse como : _ X 1 + X X n X = n Para simplificar la notación y por comodidad se usa convencionalmente el término n X i i=1 ( que significa la sumatoria de todos los valores X i ) siempre que deseemos sumar una serie de observaciones. Esto es n X i = X 1 + X X n i=1 Usando esta notación de sumatoria, la media aritmética de la muestra puede expresarse de manera más simple como: _ X = n X i i=1 n donde _ X = media aritmética de la muestra n = tamaño de la muestra Xi = iésima observación de la variable aleatoria X n X i = sumatoria de todos los valores X de la muestra 16

18 i=1 Para la muestra de nuestro ejemplo tomamos las encuestas de la cantidad de ganado caprino de 6 establecimientos de la provincia de La Rioja: X 1 = 678 X 2 = 1199 X 3 = 408 X 4 = 233 X 5 = 224 X 6 = 960 La media aritmética para esta muestra se calcula como _ X = n X i i=1 = = 617 cabezas de ganado n 6 Aquí observamos que la media se calcula como 617cabezas de ganado caprino, cuando ningún establecimiento en particular de la muestra tenía realmente esa cantidad. Además, para esta serie de datos tres observaciones son menores que la media y tres son mayores. La media actúa como punto de equilibrio de tal forma que las observaciones menores compensan aquellas que son mayores. Observe que el cálculo de la media se basa en todas las observaciones (X 1, X 2,..., X n ) de la serie de datos. Ninguna otra medición de tendencia central comúnmente usada posee esta característica. Puesto que su cálculo se basa en cada observación, la media aritmética se ve afectada en gran medida por cualquier valor extremo. En estos casos, la media aritmética presenta una representación distorsionada de lo que los datos están transmitiendo; así pues, la media no sería el mejor promedio a usarse para describir o resumir esta serie de datos. La media de la población está dad por el símbolo µ x, la letra minúscula griega mu subíndice x, es decir: 17

19 N Σ X 1 i=1 µ = N donde: N: tamaño de población X: iésimo valor de la variable aleatoria x N Σ X: sumatoria de todos los valores X de la población i=1 1.3 Mediana La mediana es el valor medio de una secuencia ordenada de datos. Si no hay empates, la mitad de las observaciones serán menores y la otra mitad serán mayores, la mediana no se ve afectada, por ninguna observación extrema de una serie de datos. Por tanto, siempre que esté presente una observación extrema es apropiado usar la mediana en vez de la media para describir una serie de datos. Para calcular la mediana de una serie de datos recolectados en su forma sin procesar, primero debemos poner los datos en una clasificación ordenada. Después usar la fórmula del punto de posicionamiento n para encontrar el lugar de la clasificación ordenada que corresponde al valor de la mediana. Se sigue una de las dos reglas: 18

20 Regla 1: Si el tamaño de la muestra es un número impar, la mediana se representa mediante el valor numérico correspondiente al punto de posicionamiento, la observación ordenada es {n + 1)/2. Regla 2: Si el tamaño de la muestra es un número par, entonces el punto de posicionamiento cae entre las dos observaciones medias de la clasificación ordenada. La mediana es el promedio de los valores numéricos correspondientes a estas dos observaciones medias, Muestra de tamaño uniforme: Para la muestra de nuestro ejemplo de las cantidades de ganado caprino en 6 establecimientos, los datos sin procesar fueron La clasificación ordenada se vuelve: Mediana = 543 Para estos datos, el punto de posicionamiento es (n + 1)/2= ( 6 + 1)/2 = 3.5. Por consiguiente, la mediana se obtiene promediando la tercera y cuarta observación ordenada: / 2 = 543 cabezas de ganado Como puede verse en la clasificación ordenada, la mediana no se ve por observaciones extremas. Sin importar si la cantidad mayor es 1278 cabezas, 1578 o 1145cabezas, la mediana sigue siendo 543 cabezas. Muestra de tamaño no uniforme: Si la muestra hubiera tenido un número impar, la mediana estaría representada simplemente por el Valor numérico dado a la observación (n + 1)/2 de la clasificación ordenada. Por tanto, clasificación ordenada de n = 5 encuestas de establecimientos, la mediana es valor de la tercera observación ordenada, [es decir, (5 + 1)/2]= 3=

21 Mediana Empates en los datos: Al calcular la mediana, ignoramos el hecho de que pueden haber valores empatados en los datos. Suponga, por ejemplo, que la siguiente serie de datos representa la superficie plantada con olivares en distintas zonas de la provincia de La Rioja en hectáreas: La clasificación ordenada se vuelve Mediana Para esta muestra de tamaño impar, el punto de posicionamiento de la mediana es la (n + 1)/2 = 4a observación ordenada. Así, la mediana es 465 hectáreas plantadas con olivares, el valor medio de la secuencia ordenada, aun cuando la tercera observación sea también 456 hectáreas. Para resumir, el cálculo del valor de la mediana se ve afectado por el número de observaciones, no por la magnitud de cualquier extremo, cualquier observación seleccionada aleatoriamente tiene la misma probabilidad de exceder la mediana como de ser excedida por ésta. 20

22 1.4 La moda Algunas veces, al resumir o describir una serie de datos, la moda se usa como una medición de tendencia central. La moda es el valor de una serie de datos que aparece con más frecuencia. Se obtiene fácilmente de una clasificación ordenada. A diferencia de la media aritmética, la moda no se ve afectada por la ocurrencia de cualesquier valores extremos. Sin embargo, la moda no se usa para propósitos más que descriptivos porque es más variable de muestra a muestra que otras mediciones de tendencia central.. Usando la clasificación ordenada de las cantidades de ganado caprino en 6 establecimientos, los datos sin procesar fueron : vemos que no hay moda. Ninguna de las colegiaturas fue la más típica. Observe que hay una diferencia entre ninguna moda y una moda de 0, como se ilustra en la siguiente clasificación ordenada de temperaturas de mediodía ( C) en Rio Gallegos durante la primera semana de diciembre Moda = 0. Además, una serie de datos puede tener más de una moda, como se ilustra en la siguiente clasificación ordenada de temperaturas de mediodía ( C) en Necochea durante la primera semana de enero: En Necochea vemos que hubo dos modas, 28 y 31. Estos datos se describen como bimodales. 1.5 Cuartiles, deciles y percentiles 21

23 Además de las mediciones de tendencia central, existen también algunas mediciones útiles de ubicación no central que se emplean particularmente al resumir o describir las propiedades de grandes series de datos numéricos. La medición de este tipo más ampliamente usadas son los cuartiles. Mientras que la mediana es un valor que divide la clasificación ordenada a la mitad (50 % de las observaciones son menores y 50% de las observaciones son mayores), los cuartiles son mediciones descriptivas que dividen los datos ordenados en cuatro cuartos. El primer cuartil, Q 1, es un valor tal que 25.0% de las observaciones son menores y 75.0% de las observaciones son mayores. El segundo cuartil, Q 2, es la mediana, 50.0% de las observaciones son menores y 50.0% de las observaciones son mayores. El tercer cuartil, Q 3, es un valor tal que 75.0% de las observaciones son menores y 25.0% son mayores. Para aproximar los cuartiles, se usan las siguientes fórmulas de punto de posicionamiento: Q 1 = valor correspondiente a n + 1 observación clasificada 4 Q 2 = mediana, el valor correspondiente a 2 ( n + 1 ) = n + 1 observación clasificada 4 2 Q 3 = valor correspondiente a 3 ( n + 1 ) observación clasificada Las siguientes reglas se usan para obtener los valores de cuartiles: 4 1) Si el punto de posicionamiento resultante es un entero, se elige la observación numérica particular correspondiente a ese punto de posicionamiento para el cuartil. 2) Si el punto de posicionamiento resultante está a la mitad del camino entre dos enteros, se selecciona el promedio de sus valores correspondientes, 22

24 3) Si el punto de posicionamiento resultante no es ni un entero ni un valor a la mitad del camino; entre dos enteros, se usa una regla simple para aproximar el cuartil particular que consiste en redondear al punto de posicionamiento entero más cercano y seleccionar el valor numérico de la observación correspondiente. También se pueden obtener las mediciones llamadas deciles y percentiles, donde las primeras dividen a conjunto de datos en diez partes iguales y las segundas dividen al conjunto de datos en cien partes iguales. En resumen los cuantiles pueden ser: Cuartiles : dividido en 4 partes Deciles: dividido en 10 partes Percentiles: dividido en 100 partes 23