Walter Orlando Gonzales Caicedo MATEMÁTICA. Gonzales Caicedo Walter Orlando.

Transcripción

1 MATEMÁTICA Gonzales Caicedo Walter Orlando 1

2 INTRODUCCIÓN El resente modulo está elaborado ara el desarrollo del curso de Matemática. Su finalidad es servir como rimera referencia a los estudiantes ue se rearan ara la vida rofesional y ue en el rimer ciclo de las diferentes carreras rofesionales llevan el curso de Matemática Básica. En la temática se han abordado los temas, como son: Lógica roosicional, relaciones y funciones. A lo largo de la historia ha sido una reocuación de los matemáticos, o de los encargados de llevar registros y cuentas, resolver situaciones ue imlican conocer una o más incógnitas. Existen referencias a métodos de resolución desde los años 00 a.c en la China, sin embargo, la teoría tal como la conocemos actualmente ha surgido muy osteriormente consolidándose en los siglos XVIII, XIX y XX. Eseramos este material se enriuezca ermanentemente con el aorte de los estudiantes y docentes.

3 LÓGICA PROPOSICIONAL LÓGICA PROPOSICIONAL DEFINICIONES BÁSICAS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL 1.1 Enunciados y Valor de Verdad La lógica es la rama del conocimiento ue trata los modelos de razonamiento, mediante reglas y técnicas, con el fin de determinar si un argumento dado es válido. El tema ue nos ocua es el de la lógica usada en matemáticas. Auí trabajamos con elementos básicos llamados Proosiciones Enunciado: Es toda exresión lingüística, ue constituye una frase u oración Proosición: Enunciado ue uede ser falso o verdadero ero no ambas a la vez. La roosición es un elemento fundamental de la lógica matemática. La verdad o falsedad de una roosición es lo ue se llama su valor de verdad. Ejemlos: Son roosiciones lógicas: a) Las fórmulas científicas ya demostradas. Así como: (a b) a ab b ; a, b R b) Las leyes o hiótesis científicas acetadas. Así como: Todo cuero ejerce una fuerza de atracción sobre otro c) Los enunciados cerrados o definidos. Así como: + + = 180 ; si, y = s internos de un mismo triángulo. x + y = 50; si x = 10, y = 30 No son roosiciones lógicas: a) Las creencias, mitos o leyendas. Así como: Dios es un ser misericordioso Manco Cáac y Mama Ocllo fueron enviados or el sol b) Las metáforas o refranes. Así como: El Perú es un mendigo sentado en un banco de oro Has el bien, sin mirar a uién c) Las suersticiones. Así como: Hoy día me irá muy mal or ser Martes 13 Pase or debajo de una escalera Clases de Proosiciones Proosiciones Simles o Atómicas o no Estructurales: Carecen de conector lógico, y ueden ser: A. Predicativas: Cuando se le atribuye alguna cualidad al sujeto (utiliza el verbo SER en cualuiera de sus tiemos). Ejemlos: Chiclayo es una rovincia calurosa. Freud tenía inclinación or la matemática. B. Relacionales: Cuando se comara un sujeto con otro mediante una relación ue uede ser de orden, tiemo, esacio, arentesco, acción, etc. 3

4 Ejemlos: La selección eruana de futbol jugó un artido intenso con su similar de Brasil. Relación de acción. Vallejo con Mariátegui fueron contemoráneos. Relación de tiemo Proosiciones Comuestas o Moleculares (Coligativas): Se caracterizan rincialmente orue oseen conectores lógicos. Ejemlos: Lima está al sur de Chiclayo o al norte de Ica. Los restos del Señor de Sián fueron descubiertos or el arueólogo Marco Valor de Verdad: A la verdad (V) o a la falsedad (F) de una roosición se le llama valor de verdad y se denota or: V () = V; V () = F Ejemlos: : ( x R) (x + 1 = 0); se tiene ue: V () = F : Cero es un número real ; se tiene ue: V () = V ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN 1. Indica si las siguientes exresiones, son enunciados, roosiciones simles o roosiciones comuestas. 1. La guerra y la az.. 17 x = x x > y 9 4. Chimbote está entre Trujillo y Casma. 5. El hombre es un ser racional. 6. Cualuier canario es ovíaro. 7. Steffany estudia en Universidad Señor de Sián. 8. Francisco Bolognesi murió en Arica. 9. Celeste trabaja en Lambayeue. 10. Juan Carlos es italiano.. Indica si las siguientes exresiones son roosiciones comuestas. Exliue. Por ué? 1. La tierra es el laneta azul sin embargo el sol es un astro ue tiene luz roia.. Los dragones tenían resiración branuial. 3. Si en el laneta Marte hay atmósfera, entonces la lluvia es oscura. 4. La crisis mundial es un fenómeno económico sin embargo es controlable si todos los aíses desarrollados aoyan a los de economías débiles. 5. Blanca Nieve amo a sus siete enanos. 3. Indica el valor de verdad de las siguientes roosiciones 1. Ama a tu rójimo como a ti mismo.. Extensa selva cálida. 3. Existe al menos un habitante en la luna. 4

5 = No es cierto ue el Amazonas es un río. ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN 1. Indica si las siguientes exresiones, son enunciados, roosiciones simles o roosiciones comuestas. 1. Hay retiles ue son carnívoros.. Muchos deortistas son eruanos y bolivianos. 3. La inflación eruana en el 009 será menor a 4%. 4. Es robable ue la suma de dos números sea menor a Es osible ue la selección clasifiue al mundial Mancora es una laya norteña ue tiene bastante acogida or los turistas nacionales. 7. El oro es un metal sólido cuyo símbolo según la tabla eriódica es Ag. 8. El asaje urbano cuesta 1,0 soles a esar ue la gasolina ha bajado su recio. 9. Alejandro Toledo fue el residente del Perú. 10. Cristóbal Colón descubrió el continente Americano y fue de nacionalidad italiana.. Indica si las siguientes exresiones son roosiciones comuestas. Exliue. Por ué? 1. Chocano fue un oeta esañol sin embargo vivió en Cajamarca.. El bosue de Pómac es uno de los más imortantes de Piura sin embargo Huaca Rajada es reconocido a nivel internacional. 3. El número 16 es divisible or 4 si y solo si tiene raíz cuadrada. 4. Chiclayo es una ciudad calurosa y acogedora. 5. Ana y Bruno estudian música en el Conservatorio. 3. Indica el valor de verdad de las siguientes roosiciones 1. Ningún Dilomático es extremista.. El oro es maleable sin embargo el acero es inoxidable. 3. Ama a tu rójimo como a ti mismo. 4. No es cierto ue el Amazonas es un río. 5. El creador de la Relatividad fue americano. SIMBOLIZACIÓN Y VALORACIÓN DE PROPOSICIONES.1. Notación Proosicional Según los datos históricos, Aristóteles introdujo las letras como:,, r, etc., con la finalidad de reresentar a cada roosición declarativa. Las variables roosicionales sólo ueden asumir los valores de verdad (V) o falsedad (F). Así tenemos: Para dos roosiciones:, se tiene la siguiente tabla de verdad: 5

6 .... V V 1 1 V F ó 1 0 F V 0 1 F F Conectivos Lógicos Se denominan conectivos lógicos a auellas alabras o términos funcionales ue ligan, juntan, unen o enlazan las roosiciones simles formando roosiciones comuestas. Los oeradores o conectores básicos son: CONECTIVO SÍMBOLO NOMBRE DE LA PROPOSICIÓN No ~ Negación Y ^ Conjunción o Disyuntiva inclusiva o... o... Disyuntiva exclusiva Si entonces... si y sólo si Condicional Bicondicional..1. Negación (~): Es un conectivo singular. Se denomina roosición negativa auella ue cambia el valor de la roosición original. Se denota or: ~, -, y se lee: no. Existen dos tios de negadores: La negación, uede traducirse como: Ejemlos: No es cierto ue... Nadie ue sea... Jamás... Es falso ue... No es el caso ue... Es inconcebible ue... Nunca... No es verdad ue Es imosible ue... No ocurre ue... Es absurdo ue Es erróneo ue... Es mentira ue... No acaece ue... De ningún modo No es el caso ue Es inadmisible ue Es incierto ue Es refutable ue Es falaz ue En modo alguno : La luna es de ueso. ~ : La luna no es de ueso. Su tabla de verdad es como sigue: ~ V F F V... Conjunción: Dadas las roosiciones,. La conjunción es el resultado de unir estas roosiciones con el conectivo lógico y. Se denota con el símbolo:,, se escribe, y se lee: y. La roosición conjuntiva es 6

7 verdadera. Cuando las dos roosiciones son verdaderas. En nuestro lenguaje odemos emlear: Pero Aún cuando No obstante Sin embargo Al igual ue Aunue Además Tanto. como. Más aún A la vez Siemre ambos. con.. También Incluso No sólo.sino también. Es comatible con Así como A esar de Así mismo Del mismo modo.con. los dos a la vez De la misma forma ue Ejemlo: Consideremos las siguientes roosiciones: : La camioneta enciende cuando tiene gasolina en el tanue : Tiene corriente la batería De tal manera ue la reresentación del enunciado anterior usando simbología lógica ueda indicado or: : La camioneta enciende cuando tiene gasolina en el tanue y tiene corriente la batería Su tabla de verdad es como sigue: V V V V F F F V F F F F..3. Disyunción: Es una roosición comuesta formada or y or relacionadas or el conectivo lógico o. Según el sentido del conectivo o, se uede interretar de dos maneras: inclusiva o exclusiva Disyunción Inclusiva o Débil: Se denota or, + y se lee: o. La disyunción inclusiva es falsa sólo en el caso ue ambas roorciones sean falsas. Se conoce como la suma lógica. Otras formas de conexión ue nos indican una disyunción inclusiva son: A menos ue Exceto ue Salvo ue A no ser ue Y bien o también O sino O en todo caso O también O incluso O bien Al menos uno de los dos. o. Alternativamente Ejemlo: Consideremos: : La Universidad Señor de Sián es rivada 7

8 : La Universidad Señor de Sián es estatal De tal manera ue la reresentación del enunciado anterior usando simbología lógica ueda indicado or: : La Universidad Señor de Sián es rivada o en todo caso la Universidad Señor de Sián es estatal Su tabla de verdad es como sigue: V V V V F V F V V F F F..3.. Disyunción Exclusiva o Fuerte: Se denota or:, V,,, y se lee: o ero no ambos. La disyunción exclusiva es verdadera sólo cuando una de las roosiciones es verdadera. Alguna formas de conectivos a emlear son: O... o no euivale a... O bien... o bien... No es cierto ue...euivale a... No es euivalente... con... O solo... o solo......a menos ue solamente......salvo ue únicamente......exceto ue sólo......o bien necesariamente......o exclusivamente......no es idéntico a......no es lo mismo ue... Salvo ue... o... Ejemlo: Consideremos: : viajo a Esaña : viajo a Brasil De tal manera ue la reresentación del enunciado anterior usando simbología lógica ueda indicado or: : O viajo a Esaña o viajo a Brasil Por lo tanto su tabla de verdad es: V V V F F V F F F V V F..4. Condicional: Proosición comuesta ue resulta de la combinación de dos roosiciones simles, a través del conectivo: Si..., entonces... y su símbolo es :,. La notación, se lee Si, entonces ; roosición se llama antecedente o hiótesis y la roosición se llama consecuente o 8

9 conclusión. La manera de exresar la condicional en el orden antecedenteconsecuente ( Imlicación directa), son las siguientes: Si, entonces Siemre ue entonces es suficiente ara imlica Ya ue bien se ve ue En cuanto or tanto or tanto or consiguiente or ende or conclusión Dado ue or eso Porue or eso Puede también exresarse en el orden consecuente-antecedente ( Imlicación inversa), son: si es imlicada ara de modo ue siemre ue cada vez ue uesto ue es necesario ara en vista ue orue Sólo si, Sólo cuando, Solamente orue, dado ue ya ue cada vez ue a condición de ue dado ue se concluye de suone ue sigue de Únicamente si, Ejemlo: consideremos: : Llueva : Mejorarán las cosechas De tal manera ue la reresentación del enunciado anterior usando simbología lógica ueda indicado or: : Siemre ue llueva entonces mejoraran las cosechas : Mejoraran las cosechas siemre ue llueva Su tabla de verdad ueda de la siguiente manera: V V V V F F F V V F F V..5. Bicondicional: Cuando dos roosiciones están unidas or el conectivo lógico... si y sólo si..., cuyo símbolo es:,,. La roosición comuesta se denota or:,, y se lee: si y sólo si. La roosición bicondicional solamente es verdadera si tanto como son falsas o bien ambas verdaderas. 9

10 También se suele emlear exresiones como: siemre y cuando es euivalente a es lo mismo ue cuando y sólo cuando Si y sólo si, siemre ue y sólo cuando es idéntico a Es suficiente ara ue suficiente sea Es condición necesaria y suficiente ara or lo cual y según lo cual cada vez ue y sólo si si de la forma imlica y está imlicado or Siemre ue y siemre ue Ejemlo: Consideremos: : Los cueros chocan : Existe una fuerza ue los atrae De tal manera ue la reresentación del enunciado anterior usando simbología lógica ueda indicado or: : Los cueros chocan orue y solo orue existe una fuerza ue los atrae. Su tabla de verdad ueda de la siguiente manera:.3. Valoración de las Proosiciones Hasta el momento hemos conocido la simbolización de las roosiciones tanto atómicas como las roosiciones moleculares. Para determinar los valores de verdad a las segundas, es necesario tener en cuenta las tablas de verdad de las roosiciones atómicas ya ue, sólo ellas ueden recibir directamente los valores de verdad. Considere los siguientes ejemlos: a) Si los resultados se dirigen a la imresora, entonces el número N es ar o la salida va a la antalla. Tenemos las roosiciones: V V V V F F F V F F F V : Los resultados se dirigen a la imresora : El número N es ar r: La salida va a la antalla Se simboliza: ( r) Luego: como se uede observar se tiene 3 roosiciones simles, es decir ue ara este caso se tiene: 3 = 8 asignaciones osibles ara los valores de verdad en total. 10

11 La tabla de verdad ara el esuema molecular, esta dado or: Walter Orlando Gonzales Caicedo r ( r) V V V V V V V V F V V V V F V V V V V F F V F F F V V F V V F V F F V V F F V F V V F F F F V F (1) (3) () Se observa ue en la columna (1) se tienen los valores de la roosición, en la columna () los valores de la disyunción inclusiva y en la columna (3) el resultado del esuema molecular inicial b) Siemre ue salga el sol entonces iremos a la laya, sin embargo sale el sol. Por tanto iremos a la laya. Tenemos las roosiciones: : Sale el sol : Iremos a la laya Se simboliza: ( ) La tabla de verdad ara el esuema molecular, esta dado or: ( ) V V V V V V V V F F F V V F F V V F F V V F F V F F V F c) La crisis mundial afecta a los aíses de bajos recursos económicos ero los analistas en economía buscan soluciones, a esar de ue la crisis mundial no afecta a los aíses de bajos recursos. Tenemos las roosiciones: : La crisis mundial afecta a los aíses de bajos recursos económicos : Los analistas en economía buscan soluciones : La crisis mundial no afecta a los aíses de bajos recursos económicos Se simboliza: ( ) La tabla de verdad ara el esuema molecular, esta dado or: 11

12 ( ) V V V F F V F F F F F V F F V F F F F V Como odemos areciar las roosiciones, las exresamos en forma simbólica; a su vez ue odemos encontrar sus valores de verdad. Con el fin de diferenciar los valores resultados de las exresiones, se definen los siguientes concetos:.4.1. Tautología: Una exresión es tautológica, cuando los valores de su conectivo rincial resultan ser verdaderos, ara todas las asignaciones osibles de la tabla de verdad. Ver ejemlo (b)..4.. Contradicción: La exresión resulta ser una contradicción, cuando los valores de su conectivo rincial resultan ser falsos, ara todas las asignaciones osibles de la tabla de verdad. Ver ejemlo (c) Contingencia: Auella exresión, ue en su conectivo rincial resulten valores verdaderos y falsos a la vez, ara todas las osibles asignaciones de la tabla de verdad. Ver ejemlo (a). ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN 1. Determinar el valor de verdad de las siguientes roosiciones: 1. Los restos del Señor de Sián fueron descubiertos en 1989 sin embargo su museo de sitio fue inaugurado en febrero del y Q 3. Miguel Grau nació en Piura, no obstante es chileno. 4. 3/7 es un número ar o imar. 5. Cajamarca es una ciudad minera or excelencia de modo ue invertir en minería es la mejor oción. 6. O estudias o trabajas. 7. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiemo ara ello y no tengo ue ir a trabajar. 8. La roducción de mango es buena, me hare millonario. Si me hago millonario, dormiré lácidamente. 9. La suma de dos números imares es igual a otro número imar no es lo mismo decir ue la suma de dos números ares es otro número imar. 10. Perú así como Ecuador son aíses demócratas.. Escribe en forma simbólica, identificando cada una de las roosiciones atómicas ue aarezca en las afirmaciones siguientes: 1. Si Anabel esta en el cine, entonces Rauel debe estar en el cine también.. El asaltante se escaó en un carro rojo o azul. 3. Los resultados del análisis médico no son buenos. 1

13 4. Estarás a tiemo sólo si te da risa. 5. Él vendrá si tiene tiemo. 6. Si ella estaba allí, entonces debió haberlo oído. 7. Es un día agradable si está soleado, ero sólo si no hace calor. 8. María es alta, ero Jaime es eueño y ágil. 9. Si x es mayor ue y, y es mayor ue z, entonces x es mayor ue z. 10. Si no ago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y Si ago la luz, entonces me uedaré sin dinero o ediré restado. Y Si me uedo sin dinero y ido restado, entonces no odré agar la deuda, si solo si soy desorganizado. 3. Formaliza cada una de las siguientes roosiciones, luego construye su tabla de verdad. 1. Estudiar y trabajar es condición suficiente ara ser resonsable y admirado or auellos ue nos saben valorar.. Ellos son actores, a menos ue cantores. Si Paola canta, Liz baila y Marcelo recita. 3. La comutadora es comatible con la imresora así como con el rograma; entonces, el recio de venta es cómodo o financiable. 4. O bien el SIDA afecta a las defensas del cuero o bien afecta al corazón; ero no es el caso ue afecte al corazón del mismo modo al sistema nervioso. 5. Sólo si los gusanos son invertebrados, las arañas también lo son; a no ser ue, los eces son vertebrados al igual ue los batracios. 6. Es falso ue sea indiscilinado y ocioso, orue estudio en la Universidad, ero soy ocioso; en consecuencia nunca seré rofesional. 7. Es suficiente ue sea necesaria la matemática ara la física, ara ue el avance científico no uede estancado. 8. Es falso ue si se administra teniendo en cuenta los rinciios directrices un negocio entonces este tiene muchas osibilidades de crecer en el futuro. 9. Si un hombre es honrado, no tiene roblemas ersonales. Este hombre no tiene roblemas. En consecuencia, es honrado ero no tiene dinero y esto lo hace odre. 10. Es falso ue si Vallejo es oeta, entonces Arguedas lo es también. 11. Sin exceción se da ue, la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 es euivalente a la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero regular. 1. El abogado no es justo ni cometente, a condición de ue es falso ue no haya consultado con los eritos sobre la cotización del inmueble embargado. 13. Cuando la roducción de una emresa aumenta, en consecuencia aumenta la roductividad y en algunos casos la demanda. 14. Es inobjetable ue, una condición suficiente ara ue los aíses euroeos tengan baja inflación or lo tanto estabilidad económica, es ue sus gobiernos tienen rogramas estratégicos de crecimiento así como modelos económicos. 15. Subirán los intereses bancarios orue subirá la cotización del dólar, en vista de ue, subirá la cotización del dólar solo si el gobierno no uede controlar la inflación. 4. Construye la tabla de verdad ara cada una de los siguientes esuemas moleculares, y determina si es: tautología, contradicción o contingencia. 13

14 1. ( ) ( ) ( ) ( ). ( r) ( r) ( ) r 3. ) ( r) ( r ) r 4. ( ) ( ) 5. (r s) 6. ( ) ( ) 7. ( ) ( ) 8. ~[~( ) ~ ] 9. [( ) ~ ] (~ ) 10. [( ) ( ~ )] (~ ~) 5. A continuación se resenta una serie de ejercicios en la cual se esecifica lo siguiente: 1. Si es una roosición falsa, determinar el valor de verdad de: ( r) r ( ) ( ). Si ( s) (r s) ( s) es Falsa. Determine los valores de verdad de: a) b) r s c) r s d) ( ) r 3. Si ( ( s )) (r ) es verdadera. Determine los valores de verdad de: a) (r ) ( s) b) r s c) r 4. Se define la siguiente oeración * =, hallar la diferencia entre el número de V y el número de F de la matriz rincial de: [ ( * r) (r * )] 5. Determinar el valor de verdad de la roosición molecular [( ) ] (r ) sabiendo ue es verdadera, y r falsas. Hallar su valor de verdad. 6. Si la roosición ( ) ( r s) es falsa, deduzca el valor de verdad de los esuemas moleculares: a) ( ) b) ( ) [( ) ] c) ( r ) [( r) s] 7. Si y r son dos roosiciones cualesuiera y : es número imar, y [(r ) (r )] es verdadera entonces el valor de verdad de los siguientes esuemas moleculares es: a) r ( ) b) [r ( )] ( ) ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN 1. Determinar el valor de verdad de las siguientes roosiciones: 14

15 1. Dado ue la luna es un satélite or lo cual gira alrededor de la tierra.. Perú y Ecuador se ondrán de acuerdo salvo ue intervenga EE.UU. 3. Las aves oseen ico exceto ue también alas, ero no ocurre ue sean animales acuáticos. 4. Eres cameón o subcameón. 5. Este año viajaré al extranjero salvo ue sólo viaje a Lima. 6. A menos ue solamente seas Ingeniero, serás matemático. 7. Un numero es ositivo si y sólo si es mayor ue cero 8. Barack Obama es el rimer residente de raza negra de los Estados Unidos es suficiente ara ue sea admirado or todo el mundo. 9. El 18 de abril celebraremos el aniversario de Chiclayo o la caída del muro de Berlín.. Escribe en forma simbólica, identificando cada una de las roosiciones atómicas ue aarezca en las afirmaciones siguientes: 1. Esta fiesta es muy divertida y la música es muy buena, or lo cual y según lo cual todos la asaron de maravilla.. No es cierto ue no me guste bailar. 3. Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción, más aún si la música es merengue a no ser ue no baile. 4. Alberto es feliz si y sólo si es rico. 5. Si la liebre está alerta y es ráida, ni el zorro ni el lince odrán atraarla. 6. Si no estoy euivocado, ella conducía un carro rojo, y había un hombre sentado a su lado. 7. Podemos o bien tratar de obtener la arobación del réstamo y comrar la casa o bien eserar a ver si llegamos a un mejor acuerdo. 8. Si no te vas, llamaré a la olicía. 9. Dos niños tienen los mismos si y sólo si tienen la misma madre y el mismo adre. 3. Construye la tabla de verdad ara cada una de los siguientes esuemas moleculares, y determina si es: tautología, contradicción o contingencia. 1. [~( ) ~r] (~ ) ~r s. [ ( r)] ~ ( ) (r s) 3. [~( ) ~r] ( ~) (r ~s) 4. ( r) (~ s) 5. [ (r ~)] ( ~s) 6. ~(~ ~) 7. ~(~ ~) 8. [~ (~ r)] ( r) ( r) 9. [( ) r] ( ) r 10. ( ) (~ )] ( ~) (~ ~) 15

16 EQUIVALENCIAS E IMPLICACIONES NOTABLES Ejemlos: a) Consideremos las roosiciones atómicas: Tenemos: : El trabajo de lógico matemática está bien escrito : El trabajo de lógico matemática está bien documentado El trabajo de lógico matemática está bien escrito y bien documentado. Su esuema molecular es: ( ) El trabajo de lógico matemática está bien documentado y bien escrito. Su esuema molecular es: ( ) Los dos esuemas moleculares anteriores son lógicamente euivalentes, es decir: ( ) ( ) Los dos esuemas moleculares anteriores son lógicamente euivalentes, es decir: ( ) ( ) Demostrar los resultados obtenidos en las tablas de verdad. Qué uedes afirmar de esas comaraciones? Se odría decir ue son iguales?, o De ué otra manera uedes exresarlas? De lo hallado y observado en las tablas de verdad, afirmamos: 3.1. Definición de Euivalencia Lógica Decimos ue dos exresiones lógicas son euivalentes si y sólo si tienen siemre los mismos valores de verdad. Es decir, A es lógicamente euivalente a B, si la comuesta A B es una tautología. La euivalencia, la simbolizamos or o también or Ejemlos: a) Demostrar si los siguientes esuemas moleculares son euivalentes, es decir: Tenemos: V V V V V V F F V F 16

17 F V V V V F F V V V Por tanto se observa ue los dos esuemas son euivalentes, es decir: b) Demostrar si los siguientes esuemas moleculares son euivalentes, es decir: ( ) Tenemos: ( ) V V F V F V V F F V F V F V F V F V F F V V V F Por tanto se observa ue los dos esuemas son euivalentes, es decir: ( ) Mediante éstas tablas de verdad, comrobamos ue en la euivalencia de esuemas moleculares roosicionales, odemos emlear la Bicondicional tautológica. Para mayor comodidad utilizaremos el símbolo: 3.. Leyes de la Euivalencia Lógica Estas leyes tienen como conectivo rincial una bicondicional lo cual nos indica ue los enunciados enlazados son lógicamente euivalentes. Las leyes de euivalencia más conocidas son: Ley de la Doble Negación: 3... Ley de Idemotencia de la Conjunción y la Disyunción: Leyes Conmutativas: Leyes Asociativas: ( ) r ( r) ( ) r ( r) 17

18 ( ) r ( r) Walter Orlando Gonzales Caicedo Leyes Distributivas: ( r) ( ) ( r) ( r) ( ) ( r) ( r) ( ) ( r) ( r) ( ) ( r) Leyes de Identidad: V F F F V V Leyes de D`Morgan: ( ) ( ) ( ) ( ) Leyes de la Absorción: ( ) ( ) ( ) ( ) Leyes del Condicional: ( ) Leyes del Bicondicional: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Leyes de Contraosición: Leyes de Exortación: ( ) r ( r) 18

19 Ley del Tercio Excluido: V Ley de la Contradicción: Reducción al Absurdo: F ( ) F 3.3. Observación: Estas leyes ueden ser emleadas ara verificar la euivalencia entre esuemas moleculares o también ara simlificar un esuema molecular relativamente comlejo a uno más eueño o reducido. Y ara simlificar es necesario transformar los conectivos a disyunción o conjunción, ya ue se hace más fácil trabajar. Ejemlos: a) Simlificar: ( ) ( )] Tenemos: ( ) ( )] Condicional ( ) ( )] Morgan { ( ) Doble negación ( ) Absorción ( ) Conmutativa Absorción Luego: ( ) ( )] b) Simlificar el esuema: ( ) ( ) Tenemos: ( ) ( )] ( ) Bicondicional y condicional ( ) ( )] ( ) Morgan ( ) ( )] ( ) Morgan ( ) ( )] ( ) Doble negación ( ) ( ) ( ) Conmutativa ( ) Absorción Por lo tanto: ( ) ( ) ( ) 3.4. Imlicaciones Notables Determina las conclusiones correctas de las roosiciones siguientes: a) Como Barack Obama tiene descendencia Keniana es evidente ue es afroamericano. Barack Obama tiene descendencia Keniana. Por lo tanto: 19

20 b) Salvo ue no diga la verdad, soy honesto. Más si fuese el caso ue dejé de ser honesto. Concluiríamos:. c) Si Gilberto es cantante, es autor. Al ser autor es obvio ue siemre está feliz. En consecuencia:.. d) La UNPRG brinda sus servicios de formación académica a no ser ue se considera una de las mejor del norte del aís. La UNPRG aertura una nueva carrera si se considera una de las mejor del norte del aís. La UNPRG no aertura una nueva carrera. En conclusión: e) Si Dios existe, no es cierto ue el mal exista. Pero existe el mal en el mundo. Luego: Analicemos el ejemlo (e), es decir: Si Dios existe, no es cierto ue el mal exista en el mundo. Pero existe el mal en el mundo. Luego: Dios no existe Simbolizando las roosiciones atómicas: : Dios existe : Existe el mal en el mundo : No es cierto ue el mal exista en el mundo : Dios no existe Tenemos: El esuema molecular, sin la conclusión, está dado or: ( ) Y, tomando en cuenta la conclusión el esuema uedará de la siguiente manera: ( ) ] Entonces afirmamos, ue ésta condicional es una imlicación. Al determinar sus valores de verdad encontramos ue la imlicación resulta ser una tautología. Es decir: ( ) ] V V F F V F V F V F V F F V V V V V F F V F V V En consecuencia: El símbolo significa imlicación. Dada una estructura lógica, de la cual se obtiene una conclusión lógica; se dice ue la condicional es una imlicación siemre ue sea una tautología. La imlicación lógica se uede exresar de dos formas: horizontal y vertical. 0

21 Forma Horizontal: Cuando la conjunción de remisas ue imlican la conclusión se escribe en forma horizontal en forma exlícita usando los conectivos lógicos:. Se tiene: m Forma Vertical:Es también la forma clásica. En este caso no se escriben en forma exlícita los conectivos lógicos ;. La conjunción de las remisas se escriben verticalmente una desués de otra y al término de la última remisas se dibuja una raya horizontal y luego y a continuación la conclusión. Se escribe: 1... m Realmente el camino ue se debe seguir ara llevar a cabo una demostración formal usando el método directo. Significa ue sí se sabe ue 1 es verdadera, es verdadera,... y m también es verdadera, entonces se sabe ue es verdadera. Donde las m son llamadas hiótesis o remisas, y es llamada conclusión. Demostrar el teorema, es demostrar ue la imlicación es una tautología. Note ue no estamos tratando de demostrar ue (la conclusión) es verdadera, sino solamente ue es verdadera si todas las m son verdaderas. Toda demostración debe comenzar con las hiótesis, seguidas de las tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión. Para robar la validez e invalidez de los argumentos se hace atreves de las tablas de verdad o emleando en método abreviado ue consiste en suoner la conjunción de remisas verdaderas y la conclusión falsa. Ejemlo: Probar si el siguiente argumento es válido: ~ ( ) Demostración: Tenemos: V Es decir: es falso, V() = F ~ ~ ( ) F ( ) = V, entonces: ~ es verdadera y ( ) es verdadera or definición de la conjunción. Si ~ es verdadera, entonces es falsa or la ley de la negación, V() = F Como: ( ) = V V() = F y V() = F al reemlazar estor valores en ( ) = V se llega a una contradicción y or esta razón se dice ue el argumento es válido. 1

22 También odemos hacerlo mediante la tabla de verdad y verificando ue su resultado es una tautología, lo dejamos como tarea al alumno Leyes de Imlicación Son auellas roosiciones comuestas donde un antecedente imlica tautológicamente a un consecuente. Leyes de las imlicaciones lógicas más comunes son: Ley modus Ponendo Ponens: Se resenta de las formas siguientes: o también: ( ) Si se afirma el antecedente de una remisa condicional se concluye en la afirmación del consecuente. Ejemlo: Si en verano hay concurrencia a las layas, entonces hay euio de salvavidas. En verano hay concurrencia a las layas. Luego: Hay euio de salvavidas Ley Modus Tollendo Tollens: Se reresenta or: o también: ( ) ~ ~ ~ ~ Si se niega el consecuente de una remisa condicional, se concluye en la negación del antecedente. Ejemlo: Tú eres un excelente administrador si trabajas como gerente en el Banco Continental. Tú no eres un excelente administrador. Por lo tanto: No es cierto ue trabajes como gerente en el Banco Continental Ley del Silogismo Disyuntivo: Se reresenta or: o también: ( ) ~ ~ Si se niega uno de los miembros de una remisa disyuntiva, se concluye en la formación de la otra remisa. Ejemlo: La USS se encuentra ubicada en el norte del Perú o en todo caso al sur de Chile. La USS no se encuentra al sur de Chile.Por lo tanto: La USS se encuentra ubicada en el norte del Perú Ley del Silogismo Hiotético: Se reresenta or: o también: ( ) ( r) r r

23 r Si es verdadero y r es verdadera, entonces r es verdadero. Esta ley indica ue el condicional es transitivo. Ejemlo: La crisis financiera mundial está afectando las economías de los aíses industrializados es suficiente ara ue haya desidos de ersonal en las grandes emresas roductoras de artefactos eléctricos. Estados Unidos tendrá una economía estable si hay desidos de ersonal en las grandes emresas roductoras de artefactos eléctricos. Por consiguiente: Estados Unidos tendrá una economía estable en vista ue La crisis financiera mundial está afectando las economías de los aíses industrializados Ley de la Conjunción: Se reresenta or: o también: : Ejemlo: La UCV está en el deartamento de La Libertad. La USS está en el deartamento de Lambayeue. Por lo tanto: La UCV está en el deartamento de La Libertad sin embargo La USS está en el deartamento de Lambayeue Ley de la Adición: Se reresenta or: o también: Ejemlo: Hago mucho deorte. Por consiguiente: Hago mucho deorte o estoy cansado Ley de la Simlificación: Se reresenta or: o también: De una remisa conjuntiva se uede concluir en cualuiera de sus comonentes. Ejemlo: La Tierra es lana, ero la Luna no es verde. Por lo tanto: La Tierra es lana Ley del Dilema Constructivo: Se reresenta or: o también: ( ) (r s) ( r) s r s r s 3

24 Si en la conjunción de dos condicionales afirmamos los dos antecedentes disyuntivamente, se uede concluir en la afirmación disyuntiva de los consecuentes. Ejemlo: Si Paola estudia entonces ingresará a la USS. Si Paola trabaja entonces ganará dinero suficiente ara ser feliz. Pero, Paola estudia o trabaja. Luego: Paola ingresará a la USS o ganará dinero suficiente ara ser feliz Ley del Dilema Destructivo: Se reresenta or: o también: ( ) (r s) (~ ~s) ~ ~r r s ~ ~s ~ ~r Si en la conjunción de dos condicionales negamos los dos consecuentes disyuntivamente, se uede concluir en la negación disyuntiva de los antecedentes. Ejemlo: Si Paola estudia entonces ingresará a la USS. Si Paola trabaja entonces ganará dinero suficiente ara ser feliz. Pero, Paola no ingresará a la USS o no ganará dinero suficiente ara ser feliz. Luego: Paola no estudia o no trabaja Ley del Absurdo: Se reresenta or: ( ~) o también: ( ~) ~ ~ ~ ( ~) o también: ~ ( ~) Ejemlo: Si Carlos de Esaña es el rey, entonces es el ue gobierna ero sin embargo no gobierna. Luego: Carlos de Esaña no es el rey. ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN 1. Demostrar ue en cada uno de los casos siguientes si los esuemas moleculares son euivalentes: 1. P: ~( ) ( ~r) es euivalente a: A: [ ( ~ r)] ~ B: ( ~) ~( r) C: ( ~) [( ~ r) ~]. A: ~( ~) ( ), B: [(~ ~) ~ ] ~[( ) ], C: ~( ~) ( ) y D: ~( ) [( ) ~] 4

25 3. [(~ ) (~ r)] ( r) 4. ~( ) (~ ) 5. ~ [( ) r] [~( r) ~( r)] 6. ~ [ ~( ) (~)] ( ). Simlificar cada una de las siguientes Proosiciones: 1. ( ) (~ ). ( ) 3. ( ) ( ) 4. ~( ) ~( ~) 5. ~( ) (~ ) 6. ~( ) (r s) s 7. (~ ) (~s r) ~ 8. ( ~ r) (~ r) 9. [(~ ~) (~ ~)] ~ ( ) 10. ~ {[(~ ~ ) ( (~ ))] ~ ( )} 3. Determina la conclusión de las afirmaciones 1. Si digo siemre la verdad, los demás confían en mí. Y si los demás confían en mí, me siento seguro e indeendiente. Cuando me siento seguro e indeendiente, soy caaz de afrontar cualuier roblema. Como yo digo siemre la verdad. Luego:. El crimen se cometió de noche en la más absoluta oscuridad o el rincial sosechoso es ciego. Pero, el rincial sosechoso no es ciego o miente al declarar ue no vio nada. Pero, no miente o el detector de mentiras "Zoilotz" está estroeado. El caso es ue el citado detector es infalible (no uede estar estroeado jamás).or lo tanto: 3. No es verdad ue estudies y trabajas. Si uieres conseguir dinero entonces trabajas. Luego: 4. Demostrar cada uno de los argumentos anteriores si son válidos o no. 5

26 5. Demostrar la validez o invalidez de los siguientes argumentos emleando tablas de verdad y el método abreviado. 1. [( ) ]. [( ) ( r) ] r 3. Ahorro el sueldo cada mes o lo gasto ara vivir. Si lo ahorro, no uedo vivir. Pero si uiero vivir no uedo ahorrar. Por tanto no es osible vivir y ahorrar. 4. Las cosas son buenas en la medida en ue son aetecibles y son aetecibles en la medida en ue son erfectas. Por donde se ve ue el grado de bondad deende del grado de erfección. 5. Cuando dos cosas ueden conocerse la una or la otra y la una uede ser causa de la otra, es ue tienen algo en común. Pero no existe en la naturaleza dos cosas ue tengan algo en común, or tanto no ueden conocerse la una or la otra y así la una no uede ser causa de la otra. 6. Elabora una roosición molecular or cada una de las leyes de euivalencia y de imlicación. 7. Prueba las reglas de inferencia y las identidades en Lógica Proosicional, mostrando en cada aso la regla o identidad imlicada y las remisas utilizadas ara los siguientes casos. 1. Si Julián le aostó a Alfonso, entonces se gastó el dinero. Si Julián se gastó el dinero entonces su esosa no comra joyas y su esosa ide divorcio. Si su esosa no comra joyas, entonces los niños no comen o la esosa está enojada. Julián le aostó a Alfonso y los niños comen or lo tanto su esosa está enojada.. Si el gruo no toca Rock and Roll, o las bebidas no llegan a tiemo, entonces el baile se cancela y Patty está enojada. Si el baile se cancela entonces hay ue regresar el dinero de las entradas. No se regresó el dinero de las entradas. Por lo tanto, el gruo toca Rock and Roll. ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN 1. Demostrar ue en cada uno de los casos siguientes si los esuemas moleculares son euivalentes: 1. ~[(~) ] ( ). ~{( ) [ (~ )]} ( ~) 3. ~ [~( ) ~] ( ) 4. ~(~ ) ( ) 5. ~{( ) [ (~ )]} ( ~) 6

27 6. La formula {(E W) [(~E W) (W U)]} ( ~W E) euivale a : M : ~(E ~ E), R: D ~D, S: E W, O: ~E W. Simlificar cada una de las siguientes Proosiciones: 1. ~{~[~(~ ) ~ ] [~( ~ )]}. {[(~ ~ ) ] [( ) (~ ~ ) ]} ~ 3. [~(~ ~ ) ~( )] [ (~ r)] 4. [ ( )] [r (~r ) ] 5. ( ) ( ) 6. ( r) ( ) ( r) 7. ( ~) 8. ( ) 9. [( ) (r s)] [( r) ( s)] 10. ( ~ ) (~ ) (~ ~) 3. Determina la conclusión de las afirmaciones 1. Me llevas a casa o no voy a la fiesta. Si no llueve entonces voy a la fiesta. En consecuencia:... Todos los ue no se resentan al examen de lógico matemática, tendrán ue resentar una justificación. Aldo no se resenta al examen de lógico matemática. Por lo tanto: 3. Ningún ánade baila vals. Ningún oficial declina nunca una invitación a bailar el vals. Todas mis aves de corral son ánades. Por lo tanto:.. 4. Lancelot ama a la reina Ginebra. Lancelot no ama a ninguno de sus amigos. El rey Arturo es amigo de Lancelot. Los amigos de Lancelot odian a auellos a uienes Lancelot ama. Por lo tanto: 5. Si el reloj esta adelantado, entonces Rosario llego antes de las diez y vio artir al carro de Carlos. Si Carlos dice la verdad, entonces Rosario no vio artir el carro 7

28 de Carlos. Carlos dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del crimen. El reloj estaba adelantado: or lo tanto: 4. Demostrar cada uno de los argumentos anteriores si son válidos o no. 5. Demostrar la validez o invalidez de los siguientes argumentos emleando tablas de verdad y el método abreviado 1. [( ) ( r) r]. [( ) (r ) ( s)] (r s) 3. {(s r) [r ( ) ] ( )} s 4. {( r) (s r)] ( t s)} 5. Si es día festivo, entonces salimos al camo. No salimos al camo, luego no es día festivo. 6. Si no hace frío, sube la temeratura y aumenta la venta de ventiladores. Es cierto ue hace calor, or tanto sube la temeratura y aumenta la venta de ventiladores. 6. Elabora una roosición molecular or cada una de las leyes de euivalencia y de imlicación. 7. Prueba las reglas de inferencia y las identidades en Lógica Proosicional, mostrando en cada aso la regla o identidad imlicada y las remisas utilizadas ara el siguiente caso: Angelina Dolores está agobiada or roblemas amorosos. No se aclara. Si ama a Fierre, no ama a don Alfonso Pacheco, ero si no ama a don Alfonso Pacheco, ama a Robert. Si ama a Robert, deja de amar a Vicentico, ero si no ama a Vicentico, entonces ama al lechero de la esuina Francois. Angelina, or favor, la increamos, es ue no estás segura de tus sentimientos? Una cosa es cierta nos resonde-segura de ue amo a Pierre. Podrías ayudarla aclarando sus ideas? CUANTIFICADORES Y CIRCUITOS LÓGICOS A diferencia de las roosiciones ue hemos manejado hasta ahora, el enunciado x 3 no es Verdadero ni Falso. Cuando la variable x se reemlaza or ciertos valores de x, or ejemlo, la roosición resulta Falsa. Este es un ejemlo de un enunciado abierto, el cual viene a ser una roosición sólo cuando las variables son remlazadas or los nombres articulares de los objetos. Si un enunciado abierto se llama P y las variables x 1, x,, x n ; escribimos P(x 1, x,, x n ) y en el caso de una sola variable escribimos P(x). 8

29 El enunciado x 1 =x +x 3, es un enunciado abierto con 3 variables. Si denotamos el enunciado or P(x 1, x, x 3 ), entonces P(7,3,4) es Verdadero, ya ue 7=3+4, ero P(1,,3) es Falso, ya ue Definición La colección de objetos ue al reemlazarlos en lugar de las variables en un enunciado abierto lo convierten en una roosición verdadera se llama el conjunto de verdad del enunciado. Antes de determinar el conjunto de verdad es necesario saber cuáles objetos están disonibles ara ser tomados en cuenta. Es decir, debemos haber esecificado un universo de discurso. Denotemos or U = D el conjunto universo, es decir el dominio de la función roosicional. Ejemlo: Sea Q(x) en enunciado x = 4. Si tomamos el conjunto de los números reales como el universo del discurso, el conjunto de verdad será y -. Q(x) = {,-} en R. Si el universo del discurso fuera el conjunto de los naturales, entonces el conjunto de verdad sería. Q(x) = {} en N. Recordemos ue un enunciado abierto P(x) no es una roosición, ero P(a) es una roosición ara cualuier a en el universo del discurso. Otra forma de construir una roosición a artir de P(x) es modificándola mediante un cuantificador. 4.. Cuantificador Universal Dado un enunciado abierto P(x) con variable x, el enunciado: x D : P(x). Se lee: Para Todo x en el dominio se cumle P de x. Y es verdadero recisamente cuando el conjunto de verdad ara P(x) es el universo comleto. El Símbolo se llama el Cuantificador Universal Cuantificador Existencial El enunciado: x D / P(x). Se lee Existe x en el dominio, tal ue P de x. Y es verdadero recisamente cuando el conjunto de verdad ara P(x) no es vacío. El símbolo se llama el Cuantificador Existencial. Ejemlos: Consideremos las siguientes exresiones: a) Todo hombre es mortal. Puede traducirse resectivamente como: Para todo x, si x es hombre entonces x es mortal. En forma simbólica tenemos: x D : P(x); donde P(x): x es mortal. b) Algunos hombres son sabios. Puede traducirse resectivamente como: Existe un x, tal ue x es hombre y x es sabio. En forma simbólica tenemos: x D / P(x); donde P(x): x es hombre y x es sabio Ejemlo: Suonga ue el universo es el conjunto de los R, entonces: a) x, x 3 es Verdadero, ero x, x 3 es Falso. b) x, x > 0 es Verdadero, ero 9

30 x, x > 0 es Falso. c) x, x = -1 es Falso, ero x, x+ > x es Verdadero. d) x, x 3 = x es falso, ero x, x 3 = x es verdadero Negación de Proosiciones ue Contienen Cuantificadores La negación del cuantificador universal es el existencial y la negación del cuantificador existencial es el universal. Es decir: [ x D : P(x) = x D / P(x) [ x D / P(x) = x D : P(x) Ejemlos: a) Halle una negación ara: cada número real ositivo tiene un inverso multilicativo. Sea el universo, el conjunto de todos los R, el enunciado uede reresentarse or: x R : x > 0 y R / xy = 1 Si: x=, y=1/ xy=1 x=3, y=1/3 xy=1 x=1/5, y=5 xy=1 Y así sucesivamente. b) Entonces la negación de x R: x > 0 y R / xy = 1, es: [ x R : x > 0 y R / xy = 1] = ( x R) / [: x > 0 y R / xy = 1] = x R / [ (x > 0) y R / xy = 1] = x R / x > 0 [ ( y R): (xy = 1)] = x R / x > 0 y R : xy 1 Esto último se lee: Existe un número ositivo x ara el cual no hay inverso Circuitos Conmutadores: Un circuito conmutador es un circuito eléctrico ue contiene interrutores ara el aso o interrución de la corriente. Para el diseño de estos circuitos designemos or y dos interrutores eléctricos ue dejan asar corriente y or ~ y ~ los ue no dejan asar corriente estos se ueden conectar or un alambre en serie o en aralelo. Gráficamente tenemos:

31 Figura (1) Figura () En la figura (1) se tiene un circuito en serie y se reresenta or: En la figura () se tiene un circuito en aralelo y se reresenta or: Observación: Su evaluación en tablas de verdad es: V Donde: 1 = verdadero (V) 0 = falso (F) Ejemlo: Describe simbólicamente el siguiente circuito: ~ ~r Observemos ue el circuito esta en serie y en aralelo, tenemos: ~ y están en aralelo es decir: ~, (~ ) y están en serie, es decir: (~ ) r y están en aralelo es decir: r v ~r, (r ) y ~ están en serie, es decir: ~r (r ) ~ Luego: la reresentación de todo el circuito es: [ (~ ) ] v [~r (r ) ~] r ~ 4.6. Simlificación de Circuitos Para la simlificación de circuitos se debe tener en consideración las leyes de euivalencia. Ejemlo: Del ejemlo anterior se tiene ue el circuito ueda simlificado de la siguiente manera: [ (~ ) ] v [~r (r ) ~] {[ (~ )] } {[~r (r )] ~} ( ) v [(~r ) ~] ( ) [ (~r ~)] [ (~r ~)] ( ~r) Luego: se obtiene el circuito: ~r 31

32 Ejemlo: Simlificar el siguiente circuito Tenemos: {[ ( ) ] [ ( ) ]} ( ) { ( ) [( ) ]} { ( ) ( )} [( ) ] [( ) ] [( ) ] ( ) [F ] ( ) F ( ) Luego: se obtiene el circuito: ~ ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN 1. Simbolizar los siguientes enunciados: 1. Todo es erecedero.. Hay marcianos. 3. Alguien no es erfecto. 4. No hay cosas sólidas. 5. Si todo es rojo, hay algo rojo. 6. Nada se mueve. 7. No todo es erecedero. 8. Todos los nevados son colombianos. 9. Hay cetáceos ue son eces. 10. Algunos números negativos no son enteros.. Negar los enunciados de la arte Exresar en el lenguaje corriente los enunciados simbolizados ue se resentan a continuación: Sean: A(x) : x es un animal, H(x) : x es un hombre, M (x) : x es un mamífero V( x) : x es un vertebrado 1. x / A(x) V( x). [ x / H(x) M (x)] 3. [ x : A(x) M (x)] 4. x / A(x) M (x) 5. x : H(x) M (x) 3

33 4. Negar los enunciados de la arte Diseñe los circuitos conmutadores corresondientes a: 1. ~ [ ~ ( v r)]. ( ) v [ ^ ( ) v (~ ~) 3. ( Δ ) Δ (r Δ s) 4. ( v ) [(~ v ) ( )] 5. ( Δ ) ( Δ ) 6. Simlificar y hallar el euivalente a los circuitos dados: Walter Orlando Gonzales Caicedo 1. r 3. s ~ ~ s ~ r s r ~. r r ~r ~ ~ ~r ~ ~ 7. El costo de cada llave de instalación del siguiente circuito es S/15. En cuánto se reducirá el costo de la instalación si se reemlaza dicho circuito or el más simle osible? ~ ~ ~ 8. Halle el resultado (tabla de verdad) de conectar en aralelo los siguientes circuitos: r ~r ~ ~. ~ ~ ~ 33

34 ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN 1. Simbolizar los siguientes enunciados: 1. Nada es erecedero.. Existe un número real ue no es ositivo y no es negativo. 3. Existe un aralelogramo ue es euilátero y euiángulo. 4. Todo número real elevado al cuadrado es no negativo. 5. Existe un número real; ue sumado con cualuier número real, da or resultado este último. 6. Hay cisnes negros. 7. Existen animales carnívoros. 8. Hay números erfectos. 9. Existen ciudades de clima frío.. Negar los enunciados de la arte Simbolizar y negar los siguientes ejercicios 1. Existe un elemento x erteneciente al conjunto de números reales tal ue (la barra inclinada / se lee como "tal ue" o "ara el cual se cumle ue") su cuadrado es.. Existe un elemento x erteneciente al conjunto de los números reales tal ue x es ositivo. Con este ejemlo ueremos dejar claro ue el cuantificador existencial no dice ni obliga a ue el elemento en cuestión sea único - ueden ser muchos como es el caso. 3. Existen elementos x e y ertenecientes al conjunto de los reales tales ue su roducto es Existe un único elemento x erteneciente al conjunto de los números reales tal ue multilicado or dos se obtiene seis. 5. No existe un elemento x erteneciente al conjunto de los números racionales tal ue su cuadrado sea (y efectivamente, ya ue no es racional) 4. Diseñe los circuitos conmutadores corresondientes a: 1. {[(r v ) ] v ~r}. [( ) ( r) ] r 3. [( ) ( r) r] 5. Simlificar y hallar el euivalente a los circuitos dados: 1. ~ ~ ~ ~ ~ 34

35 . r ~ r s r ~s ~r ~ ~r ~ ~r ~s 3. r ~ r ~ ~ r 6. Hallar la roosición x más simle de manera ue el circuito lógico siguiente: x Sea euivalente al circuito: 7. Se le ide a un gruo de candidatos someterse a un interrogatorio del tio cierto-falso, con 4 reguntas. Diseñar un circuito tal ue un candidato ueda tocar los botones de auellas reguntas a las ue uiere resonder cierto y ue el circuito indiue el número de resuestas correctas. Sugerencias: Póngase 5 luces, corresondientes a 0, 1,, 3, 4 resuestas correctas, resectivamente. 35

36 RELACIONES Y FUNCIONES PRODUCTO CARTESIANO 4.1. Par Ordenado: Un ar ordenado es un conjunto de dos elementos ordenados de acuerdo a como aarecen. Se reresenta con aréntesis y a los elementos se les denomina comonentes. (a; b) reresenta el ar ordenado cuya rimera comonente es a y b es la segunda comonente. Debes observar ue ara ue dos ares ordenados sean iguales sus comonentes deben serlo. Es decir; (a; b) = (c; d) si y solo si a = c y b = d. Ejemlo: Hallar x e y si (x + 3;9) = (7; y + 4) Si (x + 3; 9) = (7; y + 4) entonces: i) x + 3 = 7 x = 4 ii) 9 = y + 4 y = Producto Cartesiano: El roducto cartesiano de dos conjuntos no vacíos A y B es el conjunto de todos los ares ordenados (a;b) donde a A y b B. El roducto cartesiano de dos conjuntos no vacíos se reresenta como: AxB = a; b / a B, b B. Ejemlo: Sean los conjuntos A = {1; ; 3} y B= {4; 5; 6}. El roducto cartesiano de A y B, es: AxB={(1;4),(1;5),(1;6),(;4),(;5),(;6),(3;4),(3;5),(3;6)} Observe ue: El roducto cartesiano AxB no es igual al roducto cartesiano BxA. BxA = ( 4;1),(4;),(4;3),(5;1),(5;),(5;3),(6;1),(6;),(6;3 ) 4.3. Reresentación Gráfica del Producto Cartesiano AxB. Gráficamente, el roducto cartesiano de dos conjuntos no vacíos se reresenta de diferentes maneras: diagramas de flechas, diagramas de árbol, tablas y gráficos cartesianos. Ejemlo: Si, el conjunto A = {1; ; 3} y B = {4; 5; 6}. El roducto cartesiano AxB es el conjunto: AxB = {(1; 4), (1;5), (1;6), (;4), (;5), (;6), (3;4), (3;5), (3;6)}. Reresentar el roducto cartesiano en las diferentes casos. ACTIVIDADES DE APLICACIÓN Ejemlo 1: Si se cumle ue (3x 5; y + 1) = (7 x; 19 y), determina el valor de la exresión E = x + xy + y. Para ue se cumla la igualdad de ares ordenados las comonentes corresondientes deben ser iguales. Igualando las rimeras comonentes: 3x 5 = 7 x 3x + x = x = 1 x = 3 36

37 Igualando las segundas comonentes: y + 1 = 19 y y + y = y = 18 y = 6 Reemlazando: E = x + xy + y E = 3 + 3(6) + 6 E = E = Resonde con V o F, según sea el caso. ( ) (a;b) = (a;c), siemre ue b = c. ( ) n(axb) n(a).n(b) ( ) AxB = BxA, sólo si A = B. ( ) Ax(B C) = AxB AxC ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN ( ) n (AxB) es el número de elementos ue tiene el roducto cartesiano AxB. ( ) Si, A = {oro, coa, bastos, esada}y B = {1; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}, entonces A x B tiene 48 elementos. ( ) Si, (x y; 3) = (; x 3y); entonces x + y = 4. ( ) Si, A = {1; ; 3} y B = {; 3; 4}, entonces el ar (4; 3) ertenece a AxB. ( ) Si, A = {1; ; 3} y B = {; 3; 4}, entonces AxB = BxA.. Si, A = ;3 y B = 1;5. Determina el roducto cartesiano AxB. 3. Si el roducto cartesiano AxA tiene 16 elementos, cuántos elementos tiene el conjunto A? 4. Si, n(axb) = 1, n(a) + n(b) = 7. Cuántos elementos tiene el conjunto A? RELACIONES 5.1. Idea de Relación: Sean los conjuntos: A= { Eduardo, Daniela, Santiago} y B= { Ad min istración, Derecho, Psico log ía}. Y la regla de corresondencia:...es estudiante de la carrera rofesional... ; Entonces se uede establecer el siguiente esuema: A Eduardo Daniela Santiago Administraci ón Derecho Psicología B Otra forma de escribir el esuema anterior es con ares ordenados: R = {( Eduardo, Ad min istración),( Daniel, Derecho),( Santiago, Psico log ía)} 37

38 5.. Relación Teniendo en cuenta el ejemlo anterior odemos decir ue una Relación es una corresondencia entre un rimer conjunto llamado dominio y un segundo conjunto llamado rango o contra-dominio de modo ue a cada elemento del dominio le corresonde uno o más elementos del contra-dominio. Su definición matemática es: R = {( x, y) AxB / xry} Dominio de una relación: Es el subconjunto de A, formado or todos los rimeros comonentes de los ares ordenados ue ertenecen a la relación. Dom(R) = { x A/ y B;( x, y) R} 5... Rango de una relación: Es el subconjunto de B, formado or todos las segundas comonentes de los ares ordenados ue ertenecen a la relación. Ran(R) = { y B / x A;( x, y) R} En el ejemlo anterior tenemos: Dom(R) = { Eduardo, Daniel, Santiago} = A Ran(R) = { Ad min istración, Derecho, Contabilidad} = B 5.3. Clases de relaciones Relación Reflexiva: Se llama relación reflexiva cuando un elemento está relacionado consigo mismo y se escribe: (a, a) R, a A. Ejemlo: Sean: A= 1;;3;4, R 1, R y R 3 relaciones de A en A, definidas como: R 1 = (1;1),(;),(4;4) no es reflexiva orue (3,3) R 1 R = (1;1),(;),(3;3),(4;4) R 3 = (1;1),(;),(3;3),(4;4),(;3) es una relación reflexiva. es reflexiva Relación simétrica: es simétrica, si ( ab ; ) ordenado ( ba ; ), se cumle ue el ar Ejemlo: Si A= 1;;3;4 y R 1, R y R 3 relaciones de A en A, definidas como: R 1 = (1;3),(3;1) es una relación simétrica. R = (1;),(;1),(3;) no es simétrica orue el (;3) R R 3 = (1;1),(;),(3;3), es reflexiva y simétrica Relación transitiva: es transitiva, si ( a; b) y ( b; c ), se cumle ue el ar ordenado ( ac ; ). Ejemlo: Si A= 1;;3;4 y R 1, R y R 3 relaciones de A en A, definidas como: R 1 = (1;),(;1),(1;1) no es una relación transitiva orue los ares (; 1) y (1; ) R ero (;) R R = (1;),(;1),(1;1),(;) R 3 = (1;1),(;) es una relación transitiva es una relación transitiva 38

39 Relación de euivalencia: es de euivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. Ejemlos: La igualdad de números naturales es de euivalencia La congruencia de triángulos es de euivalencia La relación menor < ara números naturales no es de euiva lencia, no es reflexiva, tamoco simétrica Relación antisimétrica: Una relación es antisimétrica, si (a;b) y (b; a);, se cumle ue a = b. Por ejemlo la relación: es menor ó igual ue es una relación antisimétrica or ué: si, a b y b a; entonces a = b. Ejemlo: Dado el conjunto A = {1, 3, 5, 7} determina cuales de las siguientes relaciones son antisimétricas: R 1 = {(x, y) A / x y < } R = {(x, y) A / x + y < 7} R 1 = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (3, 3), (3, 5), (3, 7), (5, 5), (5, 7), (7, 5), (7, 7)} En R 1 no hay ares con comonentes intercambiadas a exceción de (1, 1), (3, 3) (5, 5) y (7, 7) ue tienen comonentes iguales R 1 es antisimétrica R = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (5, 1)} (1, 3) (3, 1) R ero 1 no es igual a 3 R no es antisimétrica Ejemlo: Dado el conjunto A = {x/ x es un conjunto} determina cuales de las siguientes relaciones son antisimétricas: R 1 = {(x, y) A / x y} R = {(x, y) A / x y = } Si un conjunto C 1 C y C C 1 se cumle ue C 1 = C R 1 es antisimétrica Si C 1 C = significa ue los dos conjuntos son disjuntos y ue or lo tanto son diferentes Si un conjunto C 1 es disjunto con C también C es disjunto con C 1, sin embargo C 1 y C son diferentes R no es antisimétrica Relación de orden: Una relación es de orden, si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. La relación anterior: es menor ó igual ue es relación de orden Relación inversa: La relación inversa cuya notación es: R -1, se determina invirtiendo el orden de las comonentes de las arejas ordenadas de la relación R. 39

40 Matemáticamente, diríamos: Si R = {(x;y) / x A, y B}, R -1 = {(y;x) / (x;y) R}. Con lo ue: Si R BxA ; entonces R -1 BxA Ejemlo: Sean: A= 1;5;7, B= ;3;4, la relación R= {(1;4), (5;), (7;3)}entonces la relación inversa de R, denotada or R -1 = (4;1),(;5),(3;7) 5.5. Gráficas de una relación de R en R La gráfica de una ecuación en R es el conjunto de todos los untos en R cuyas coordenadas son números ue satisfacen la ecuación. Ejemlo: Sea la relación en R definida or x + y = 5. Trazar la gráfica, determinar el dominio y el rango de esta relación real. 1 Intercetamos la recta con cada eje coordenado: a) Si x = 0 (0) + y = 5, y = 5 Existe intersección con el unto (0; 5) b) Si y = 0 x + 0 = 5, x =,5. Existe intersección en el unto (,5; 0) Trazamos la gráfica: Eje Y Eje X Determinamos el Dominio y Rango: Dom ( ) = Todo el eje X = R Ran ( ) = Todo el eje Y = R 5.6. RELACIONES DEFINIDAS EN R LA RECTA: Son relaciones donde se da una corresondencia de rimer grado entre las variables x y y, tienen la forma: R = {(x, y) / ax + by + c = 0 a, b, c a, b no son nulos a la vez} Ejemlo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de la relación: R = {(x, y) / x 5 = 0} x 5 = 0 x = 5, lo cual indica ue ara cualuier valor de y el valor de x siemre es 5, así los untos (5, 1), (5, ), (5, 9) ertenecen a R Construyendo la gráfica, teniendo en cuenta ue dos untos determinan una recta, se obtiene una recta aralela al eje y, ue intersecta al eje de abscisas en x = 5: 40

41 Dom(R) = {5} Ran(R) = Ejemlo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de la relación: R = {(x, y) / y + 6 = 0} y + 6 = 0 y = -6, lo cual indica ue ara cualuier valor de x el valor de y siemre es -6, así los untos (1, -6), (, -6), (7, -6), (-4, -6) ertenecen a R Construyendo la gráfica, teniendo en cuenta ue dos untos determinan una recta, se obtiene una recta aralela al eje x, ue intersecta al eje de ordenadas en y = -6: Dom(R) = Ran(R) = {-6} Ejemlo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x 3y 1 = 0} Si x = 0 (0) 3y 1 = 0 y = -4. El ar (0, -4) R Si y = 0 x 3(0) 1 = 0 x = 6. El ar (6, 0) R Construyendo la gráfica de la recta ue asa or los untos (0, -4) y (6, 0) se tiene: 41

42 Dom(R) = y Ran(R) = Ejemlo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / y = 5x + 10} Si x = 0 y = 5(0) + 10 y = 10 El ar (0, 10) R Si y = 0 0 = 5x + 10 x = - El ar (-, 0) R Construyendo la gráfica de la recta ue asa or los untos (0, 10) y (-, 0) se tiene: Dom(R) = y Ran(R) = Cuando la ecuación tiene la forma y = mx + b, m da la endiente, o tangente del ángulo de inclinación, de la recta y b la ordenada del unto de intersección con el eje y. x y Ejemlo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / 1 } y Si x = x 0 Si y = y = 6 El ar (0, 6) R x = 4 El ar (4, 0) R 4

43 Construyendo la gráfica de la recta ue asa or los untos (0, 6) y (4, 0) se tiene: Dom(R) = y Ran(R) = x y Cuando la ecuación tiene la forma 1, se denomina forma simétrica y a b los valores a y b indican la abscisa y ordenada de los untos de intersección de la recta con el eje x y con el eje y resectivamente. LA CIRCUNFERENCIA: relación en la ue los untos en el lano cartesiano son euidistantes de un unto fijo de dicho lano (centro). La distancia del centro a cualuiera de los untos se denomina radio. En forma general una circunferencia corresonde a una relación de la forma: R = {(x, y) / x + y + Dx + Ey + F = 0 D + E > 4F} Ejemlo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x + y 9 = 0} x + y = 3 se dice ue la ecuación de la circunferencia está en su forma canónica, donde su centro es el origen de coordenadas O(0, 0) y su radio mide 3 Construyendo la gráfica de la circunferencia se tiene: 43

44 Dom(R) = [-3, 3] y Ran(R) = [-3, 3] Cuando la ecuación de la circunferencia se exresa como x + y = r está en su forma canónica, su centro está en el origen de coordenadas O(0,0) y su radio mide r. Ejemlo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x + y 4x + 6y + 9 = 0} x + y 4x + 6y + 9 = 0 (x 4x + 4) + (y + 6y + 9) = 4 (x ) + (y + 3) = La ecuación de la circunferencia exresada como (x ) + (y + 3) = está en su forma ordinaria, donde su centro es el unto C(, -3) y su radio mide. Dom(R) = [0, 4] y Ran(R) = [-1, -5] Cuando la ecuación de la circunferencia se exresa como (x h) + (y k) = r está en su forma canónica, su centro está en el unto C(h, k) y su radio mide r. Ejemlo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x + y + 8x y + 1 = 0} 44

45 x + y + 8x y + 1 = 0, la ecuación de la circunferencia exresada en su forma general y su centro es el unto C 8, = C(-4, 1) y su radio mide r = 8 ( ) 4(1) =4 Dom(R) = [-8, 0] y Ran(R) = [-3, 5] Cuando la ecuación de la circunferencia se exresa: x + y + Dx + Ey + F = 0 está en su forma general, su centro es el unto C D, E, su radio mide r = D E 4F, su dominio es Dom(R) = r, r D D y su rango es Ran(R) = E r, E r. LA PARÁBOLA: es una relación donde la regla de corresondencia relaciona una variable lineal y una variable cuadrática y se exresa de cualuiera de las dos siguientes formas: R = {(x, y) / y = ax + bx + c a 0} con eje de simetría vertical. Si a > 0 se abre hacia arriba y si a < 0 se abre hacia abajo. 45

46 R = {(x, y) / x = ay + by + c a 0} con eje de simetría horizontal. Si a > 0 se abre hacia la derecha y si a < 0 se abre hacia la izuierda. Ejemlo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / y = 4x } y = 4x, la ecuación de la arábola está en su forma canónica, donde su vértice es el origen de coordenadas, el eje de simetría es vertical y se abre hacia arriba Dom(R) = y Ran(R) = [0, + > Ejemlo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / y = -x } y = -x, la ecuación de la arábola está en su forma canónica, donde su vértice es el origen de coordenadas, el eje de simetría es vertical y se abre hacia abajo 46

47 Dom(R) = y Ran(R) = <-, 0] Ejemlo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x = 3y } x = 3y, la ecuación de la arábola está en su forma canónica, donde su vértice es el origen de coordenadas, el eje de simetría es horizontal y se abre hacia la derecha. Dom(R) = [0, + > y Ran(R) = Ejemlo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x = -y } x = -y, la ecuación de la arábola está en su forma canónica, donde su vértice es el origen de coordenadas, el eje de simetría es horizontal y se abre hacia la izuierda Dom(R) = <-, 0] y Ran(R) = Ejemlo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / y = x 4x + 6} 47

48 y = x 4x + 6 y = x 4x + 4 y = (x ), la ecuación de la arábola está en su forma ordinaria, donde su vértice es el unto V(, ), el eje de simetría es vertical y se abre hacia la arriba Dom(R) = y Ran(R) = [, + > Ejemlo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x = -y + 4y 10} x = -y + 4y 10 x + 6 = -(y 4y + 4) x + 6 = -(y ), la ecuación de la arábola está en su forma canónica, donde su vértice es el unto V(-6, ), el eje de simetría es horizontal y se abre hacia la izuierda Dom(R) = <-, -6] y Ran(R) = Ejemlo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / y = -3x + 1x - 8} 48

49 y = ax + bx + c, la ecuación de la arábola está en su forma general y la b abscisa del vértice se uede determinar mediante la exresión x =, el a valor de la ordenada se obtiene reemlazando el valor anterior en la ecuación. y = -3x + 1x 8 la abscisa del vértice es x = (1) ( 3) Si x = y = -3() + 1() 8 y = 4 es la ordenada del vértice. La arábola tiene vértice en el unto V(, 4), su eje de simetría es vertical y se abre hacia abajo. = Dom(R) = y Ran(R) = <-, 4] Ejemlo: Construye la gráfica y da el dominio y rango de: R = {(x, y) / x = y + 1y + 15} x = ay + by + c, la ecuación de la arábola está en su forma general y la b ordenada del vértice se uede determinar mediante la exresión y =, el a valor de la abscisa se obtiene reemlazando el valor anterior en la ecuación. x = y + 1y + 15 la ordenada del vértice es y = (1) () = -3 Si y = -3 x = (-3) + 1(-3) + 15 x = -3 es la abscisa del vértice. La arábola tiene vértice en el unto V(-3, -3), su eje de simetría es horizontal y se abre hacia la derecha. 49

50 ( x, y) AxB / y x Walter Orlando Gonzales Caicedo Dom(R) = [-3, + > y Ran(R) = 1. Escribe or comrensión las siguientes relaciones. 1;4 ; ;9 ; 3;16 ; 4;5 (0;1); 1; ; ;5 ; 3;10 ; 5 ; 1; 3 ; 0; 1 ; 1;1 ; ;3. Determina las inversas de las relaciones del ejercicio 1 3. Halla el dominio y rango de las siguientes relaciones reales. 1. 3x 3y 3xy x 9y 36 0 x y 3 3y 6x 1 0 ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN 4. Determina la relación inversa de la siguiente relación real. xy x y 4 5. Dados los conjuntos: A= 3; 4;5;6 y B= 4;6;8 y la relación R= {( x, y) AxB / x y 11} Cuántos ares ordenados satisfacen la relación R? 6. Dados los conjuntos: A= 1;;3;4 y B= 1;4;6;9 y la relación R= Cuántos ares ordenados satisfacen la relación R? 7. Hallar el valor de x e y, ara ue los ares siguientes sean iguales. (x-7y;5) y (0,x-y) 8. Sean A = ;3;8;9 y B = 4;6;7 ; R 1 = ( x, y) BxA/ x y. Hallar Ran (R 1 ) Dom (R ) ( x, y) AxB / x y, R = 9. Sean los conjuntos: A= ; 4;6, B= 1;3;5;7 Hallar las relaciones:r= {( x, y) AxB / x. y 6} ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN 1. Calcula x.y, sabiendo ue: (5 x, y 3) = (3 x 7, 5y 18) a) 1 b) 18 c) 16 d) 15 e) 1 50

51 . A ue cuadrante ertenece el ar ordenado (x y, y x), sabiendo ue:(x + y, 0) = (15, 3x y) a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) Está sobre uno de los ejes 3. Cuántos ares ordenados cumlen con la condición (xy, x+y) = (4, 10)? a) 0 b) 1 c) d) 3 e) Dados los conjuntos A, B y C, sabemos ue: n(a x B) = 84, n(b x C) = 98 y n(a) + n(c) = 6. Calcula cuántos elementos más tiene C ue A. a) b) 3 c) 4 d) 6 e) 7 5. En A = {1,, 3, 4, 5} se define R: R = {(1,1), (,), (3,3), (5,1), (,4), (5,4), (5,), (4,3) (3,5)} Si M = {x A / (x, ) R N = {y A / (3, y) R} P = {x A / (x, 5) R} Entonces: (M N) P es: a) {, 5} b) {3, 5} c) {3} d) {5} e) {1,,4,5} 6. Sean los conjuntos:a = {x N/ -1 x < 5}, B = {x Z/ x 4} y las relaciones: R 1 = {(x, y) A x B / x < y} R = {(x, y) A x B/ x + y = 3} Halla el número de elementos de:dom(r 1 ) Ran(R ) a) 0 b) 1 c) d) 3 e) 4 FUNCIONES 6.1. Función: Una función es una regla ue asigna a cada elemento de un conjunto A uno y sólo un elemento de un conjunto B. El conjunto A es el dominio de la función, y el conjunto B es el contra-dominio de la función. Ejemlo 1: Dados los conjuntos: A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {, 4, 6, 8, 9}, determina cuales de las siguientes relaciones son funciones: R 1 = {(x, y) A x B/ x + y es múltilo de 5} R = {(x, y) A x B/ x = y + 1} R 3 = {(x, y) A x B/ y = x } R 4 = {(x, y) A x B/ x y deja resto igual 3} R 1 = {(1, 4), (1, 9), (3, ), (7, 8), (9, 6)} R 1 no es función R = {((3, ), (5, 4), (7, 6), (9, 8)} R si es función R 3 = {(3, 9)} R 3 si es función R 4 = {(3, 4), (3, 6), (3, 8), (3, 9), (5, ), (7, 4), (9, 6)} R 4 no es función Dominio de una Función: Es el conjunto de todas las rimeras comonentes y se denota or: D f o Dom f x A/!y B (x, y) f A D f Rango de una Función: Es el conjunto de todas las segundas comonentes y se denota or Rf o Ran f: R f y B/ x A (x, y) f B Ejemlo: Sea f={(1,),(3,4),(5,6),(7,8)}su dominio y rango es: D f ={1,3,5,7}; R f ={,4,6,8}. 51

52 6.. Gráfica de una función Al igual ue en el caso de las relaciones, una forma sencilla de analizar las funciones es a través de gráficas, ue ermiten visualizar el ue sea una función, el tio de función, los ares ue ertenecen a la función, su dominio y su rango. Se uede utilizar un Diagrama Sagital, utilizando diagramas de Venn-Euler ara los conjuntos de artida y llegada, donde mediante flechas se indican los elementos ue están relacionados; o también un Plano Cartesiano donde en el eje de abscisas o eje X se reresentan los elementos del conjunto de artida y en el eje de ordenadas o eje Y se reresentan los elementos del conjunto de llegada, Ejemlo: Dados los conjuntos: A = {1,, 3, 4, 5} y B = {3, 7, 9, 11, 13} y la función: f = {(x, y) A x B / y = x + 1}. Determina y grafica f. x = 1 y = (1) + 1 = 3; x = y = () + 1 = 5 B; x = 3 y = (3) + 1 = 7; x = 4 y = (4) + 1 = 9; x = 5 y = (5) + 1 = 11. La función f es: f = {(1, 3), (3, 7), (4, 9), (5, 11)} Diagrama Sagital Diagrama Cartesiano Dom(f) = {1, 3, 4, 5} y Ran(f) = {3, 7, 9, 11} 6.3. Tios de Funciones Existen diversos tios de funciones, algunas asocian a cada elemento del rango un único elemento del dominio; en otras existe una reimagen ara cada elemento del conjunto de llegada. Etc. En esta arte sólo abordaremos los tios de funciones más características son son las inyectivas, sobreyectivas y biyectivas Función inyectiva: Si f es una función de A en B, se dice ue f es inyectiva si a elementos diferentes del dominio les corresonde diferentes imágenes en B. Una función f: A B es inyectiva x 1, x Dom(f), x 1 x f(x 1 ) f(x ) Una función f: A B es inyectiva x 1, x Dom(f), f(x 1 ) = f(x ) x 1 = x 5

53 6.3.. Función sobreyectiva: Si f es una función de A en B, se dice ue f es sobreyectiva si el rango de la función es igual al conjunto de llegada B. Una función f: A B es sobreyectiva Ran(f) = B Una función f: A B es sobreyectiva y B, x A/ (x, y) f Función biyectiva: Si f es una función de A en B, se dice ue f es biyectiva si a la vez es inyectiva y sobreyectiva. Para todo elemento del conjunto de llegada existe un único elemento ue ertenece a A del cual es imagen. Una función f: A B es biyectiva f es inyectiva y f es sobreyectiva Una función f: A B es biyectiva y B,!x A/ (x, y) f 53

54 6.4. Funciones Reales Muchas funciones están definidas en el conjunto de los números reales R o en algún subconjunto de R, estas funciones se analizan algebraica y gráficamente ara la determinación de sus roiedades, como dominio, rango y comortamiento Regla Práctica ara Calcular el Dominio Si la función es olinomial el dominio es el conjunto de los números reales (R). Además si la función olinomial es de grado imar, el rango también es R. Ejemlo: i) f(x) = 6x 8 +x 5 + x Dom(f)= R ii) g(x) = x 3 x +x +3 Dom(g) = R y Ran(f) = R Si la función es racional: F(x) = H ( x), el dominio se obtiene como: Dom (f) = R {x/ G(x) = 0} G( x) Ejemlos: i) F(x) = ii) G(x) = iii) H(x) = x x 3 x 9 x 5 16 x x D F = R { } D F = R { 3, -3 } D F = R Observación: x Si la función es irracional: F(x) = G (x) D F = {x R / G( x) 0 } Ejemlos:, el dominio se obtiene como: i) F(x) = 6 x Observe ue: 6 x 0 6 x x 6 Luego: D F =<- ; 6] x 3 ii) G(x) = x 4 Obs. x - 4 >0 x > 4 Luego: D F =<4; + > Nota: No existe una regla esecífica ara el cálculo del rango, sin embargo se recomienda desejar x en función de y ara luego analizar ara ue valores de y la función está definida. Ejemlo: Halle el rango de: 3x 1 F ( x) x i) x - 0 x Luego: D F = R {} 3x 1 ii) Rango: y desejando x en función de y x yx y = 3x 1 yx 3x = y 1 54

55 x(y-3) =y 1 x y y Como: y y 3 Luego: R F = R {3} 6.6. Funciones Eseciales Función Constante: f(x) = c, es decir: f {(x, y) RxR/y c, "c"es constante} Donde D f =R; R f = {c}. Su gráfica es: Y c 1 3 f(x)=c Walter Orlando Gonzales Caicedo 0 X Función Lineal: f {(x, y) RxR/y ax b, a 0}, Donde: D f =R; R f =R. Y X Función Raíz Cuadrada: f(x) x. Donde: D f = R ; R f = 0, Función Valor Absoluto: A la función f le llamaremos función valor absoluto si x, x 0, su regla de corresondencia es: f(x)= x, es decir: x x, x 0. f(x)= x Donde: D f = R ; R f = 0, 55

56 Función Cuadrática: f(x) = ax +bx + c, a 0 Si a>0 se tiene Si a<0, se tiene Donde: v: Vértice V b 4ac b ; a 4a Si a>0: D f = R, R f = [ 4ac b 4a Si a<0: D f = R, R f =<-,, > 4ac b 4a Oeraciones con Funciones Suma de funciones: Sean f y g dos funciones de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se reresenta or f + g, a la función cuya regla de corresondencia es: Resta de funciones: Del mismo modo ue se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones de variable real f y g, como la función cuya regla de corresondencia es: Para ue esto sea osible es necesario ue f y g estén definidas en un mismo intervalo Producto de funciones: Sean f y g dos funciones de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función roducto de f y g a la función cuya regla de corresondencia es: Cociente de funciones: Dadas dos funciones de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función cuya regla de corresondencia es: La función f/g está definida en todos los untos en los ue la función g no se anula Producto de un número or una función: Dado un número real a y una función f, el roducto del número or la función es la función definida or: Comosición de funciones Si se tienen las funciones: f = {(1, 3), (, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7), (6, 8)} y g = {(4, 1), (9,),(7, 4), (10, 6), (1, 8)} entonces ara algunos ares de g la segunda comonente es igual a la rimera comonente de algún ar ordenado de f y odríamos relacionar la rimera comonente del ar de g con la segunda comonente del ar ordenado de f, así: 56

57 g f ar resultante (4, 1) (1, 3) (4, 3) (9, ) (, 4) (9, 4) (7, 4) (4, 6) (7, 6) (10, 6) (6, 8) (10, 8) Walter Orlando Gonzales Caicedo Obteniendo de esta forma una nueva función h = {(4, 3), (9, 4), (7, 6), (10, 8)} la cual se dice ue es la comosición de las funciones f y g, en ese orden, y ue se reresenta (f g). Dadas dos funciones f: C D y g: A B, se denomina f comosición g, y se reresenta f g, a la función de A D, donde a un valor x Dom(g) se le hace corresonder el valor f[g(x)] Ran(f). f g = {(x, y)/ y = f[g(x)], x Dom(g) g(x) Dom(f)} Ejemlo: Dadas las funciones: f = {(, 5), (4, 8), (6, 9), (7, 7), (8, 10)} y g = {(5, 8), (8, 9), (9, ), (10, 4), (11, 13)}. Determina (f o g) y (g o f). Para (f o g) su dominio es subconjunto del Dom(g) y su rango es subconjunto del Ran(f), construyendo el diagrama corresondiente se tiene: Del gráfico uede observarse ue: 57

58 (5, 8) g (8, 10) f (5, 10) f o g (9, ) g (, 5) f (9, 5) f o g (10, 4) g (4, 8) f (10, 8) f o g f o g = {(5, 10), (9, 5), (10, 8)} Para (g o f) su dominio es subconjunto del Dom(f) y su rango es subconjunto del Ran(g), construyendo el diagrama corresondiente se tiene: Del gráfico uede observarse ue: (6, 9) f (9, ) g (6, ) g o f (4, 8) f (8, 9) g (4, 9) g o f (8, 10) f (10, 4) g (8, 4) g o f (, 5) f (5, 8) g (, 8) g o f g o f = {(6, ), (4, 9), (8, 4), (, 8)} Como uede observarse, en general f o g g o f, es decir la comosición de funciones no es conmutativa, y hay ue tener cuidado con el orden en ue se comonen las funciones. Ejemlo: Dadas las funciones en g)(x) y (g o f)(x). : f(x) = x 3 y g(x) = x + 1. Determina (f o La comosición de funciones, cuando éstas vienen dadas or ecuaciones imlica una sustitución de variables, reemlazando una función en otra. (f o g)(x) = f[g(x)] = f(x + 1) = (x + 1) 3 = x + 3 (f o g)(x) = x 1 (g o f)(x) = g[f(x)] = g(x 3) = (x 3) + 1 = 4x 1x (g o f)(x) = 4x 1x Función Inversa 58