Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología).

Transcripción

1 Máster de Formación del Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas Trabajo Fin de Máster Ámbito Matemáticas Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología). Laura López Jiménez UNIVERSIDAD PÚBLICA DE NAVARRA NAFARROAKO UNIBERTSITATE PUBLIKOA

2

3 Laura López Jiménez Índice Introducción general 5 Parte I: Las derivadas y su aplicación en el currículo vigente y en los libros de texto 7 Capítulo1. Las Derivadas y su aplicación en el currículo vigente Contenidos en Educación primaria Contenidos en ESO Contenidos en Bachillerato 14 Capítulo 2. Criterios de evaluación de las derivadas y su aplicación en el currículo vigente Criterios de evaluación en Educación Primaria Criterios de evaluación en ESO Criterios de evaluación en Bachillerato 23 Capítulo 3. Ejercicios, problemas y cuestiones tipo sobre las derivadas y su aplicación en libros de texto Ejercicios, problemas y cuestiones tipo en 3º ESO Ejercicios, problemas y cuestiones tipo en 4º ESO Ejercicios, problemas y cuestiones tipo en 1º Bachiller Ejercicios, problemas y cuestiones tipo en 2º Bachiller 44 Capítulo 4. Resultados Ausencias y presencias en el currículo y en los libros de texto Coherencia de los libros de texto en relación con el currículo. 58 Parte II: Análisis de un proceso de estudio sobre las derivadas y su aplicación en 1º de bachiller 61 Capítulo 5. Las derivadas y la aplicación de derivadas en el libro de texto de referencia Objetos matemáticos involucrados Análisis global de la unidad didáctica Otros aspectos relevantes. 75 Capítulo 6. Dificultades y errores previsibles en el aprendizaje de la unidad didáctica Dificultades Errores y su posible origen. 78 Capítulo 7. El proceso de estudio Distribución del tiempo de la clase Actividades adicionales planificadas La tarea: actividad autónoma del alumno prevista. 85 Capítulo 8. Experimentación Método 87 3

4 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) 8.2. Muestra y diseño de la experimentación El cuestionario Cuestiones y comportamientos esperados Resultados Discusión de los resultados. 93 Síntesis, conclusiones y cuestiones abiertas. 95 Síntesis 95 Conclusiones 95 Cuestiones abiertas 96 Referencias 97 Anexos 99 A. Unidad didáctica del libro de texto 101 B. Material didáctico adicional 147 C. Material didáctico. Repaso 157 D. Prueba Corta. EVALUACIÓN 173 E. Índice 4º ESO 175 4

5 Laura López Jiménez Introducción general Este Trabajo Fin de Máster (TFM) tiene como objetivo estudiar la aplicación de las derivadas por los estudiantes de primero de bachiller, especialidad ciencias y tecnología, en el horario nocturno. El trabajo se estructura en dos partes. En la primera parte se realiza un estudio longitudinal del currículo y en los libros de texto en el tercer ciclo de Primaria, en ESO y en Bachillerato con relación al tema indicado. En la segunda parte se propone un proceso de estudio sobre la aplicación de las derivadas por los estudiantes que se ha puesto en marcha en un aula de primero de bachiller, especialidad ciencias y tecnología, en el horario nocturno en el marco del Prácticum II del Máster. Los resultados extraídos de esta experimentación se fundamentan en un cuestionario construido ad hoc, teniendo en cuenta asimismo las restricciones institucionales. El trabajo concluye con una síntesis, unas conclusiones y unas cuestiones abiertas. 5

6

7 Laura López Jiménez Parte I: Las derivadas y su aplicación en el currículo vigente y en los libros de texto 7

8

9 Laura López Jiménez En esta primera parte del Trabajo Fin de Máster analiza cómo se aborda el tratamiento de las derivadas y su aplicación en el currículo y en los libros de texto en el tercer ciclo de Primaria, en ESO y, en Bachillerato. El análisis se divide en cuatro capítulos. En el primer y segundo capítulo se muestran en forma de tabla los contenidos y criterios de evaluación del currículo vigente que hacen referencia a las derivadas y su aplicación en cada uno de los grados. En el tercero se presentan ejemplos de las actividades (ejercicios, problemas, cuestiones y situaciones) tipo propuestas en un libro de texto de 1º de bachiller, así como en dos cursos anteriores y el único posterior. Las conclusiones que se extraen del análisis comparativo de los contenidos de ambas fuentes (currículo y libro de texto) se exponen en el cuarto capítulo. El objetivo aquí es valorar la coherencia de los manuales con relación al currículo vigente y resaltar las presencias o ausencias de conocimientos matemáticos relativos al tema objeto de análisis. 9

10

11 Laura López Jiménez Capítulo1 Las Derivadas y su aplicación en el currículo vigente En este primer capítulo se va a analizar el contenido de mínimos que hay en el currículo oficial, para la educación Primaria, Secundaria y Bachillerato, para el tema de derivadas. Estos contenidos de mínimos aparecen recogidos en los Boletines Oficiales del Estado, encontrándose en B.O.E. número 293 (Real Decreto 1513/2006), en el B.O.E. número 5 (Real Decreto 1631/2006) y en el B.O.E. número 266 (Real Decreto 1467/2007). Dichos contenidos han sido agrupados en tres grupos: Educación Primaria, Secundaria y Bachiller Contenidos en Educación primaria Tabla 1 Primaria Descriptor Primer ciclo Segundo ciclo Tercer ciclo Derivadas Tasa de variación Bloque 3. Geometría. La --- situación en el espacio, distancias y giros. Uso de Pendiente de una recta vocabulario geométrico para describir itinerarios: líneas abiertas y cerradas: rectas y curvas. Interpretación y descripción verbal de croquis de itinerarios y elaboración de los mismos. Bloque 3. Geometría. La situación en el espacio, distancias, ángulos y giros. Las líneas como recorrido: rectas y curvas, intersección de rectas y rectas paralelas. Límites Análisis de funciones y gráficas Uso de tecnologías Bloque 3. Geometría. -Sistema de coordenadas cartesianas. Descripción de posiciones y movimientos por medio de coordenadas, distancias, ángulos, giros... - La representación elemental del espacio, escalas y gráficas sencillas. Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo como en la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas. 11

12 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) 1.2. Contenidos en ESO Tabla 2 Descriptor Derivadas E.S.O. Primer ciclo 1º E.S.O. 2º E.S.O. Bloque 3. Álgebra. -Empleo de letras para simbolizar números inicialmente desconocidos y números sin concretar. Traducción de expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico y viceversa. Obtención de valores numéricos en fórmulas sencillas. Valoración de la precisión y simplicidad del lenguaje algebraico para representar y comunicar diferentes situaciones de la vida cotidiana. Tasa de variación Pendiente de una recta Límites Análisis de funciones y gráficas Bloque 5. Funciones y gráficas. -Coordenadas cartesianas. Representación de puntos en un sistema de ejes coordenados. Identificación de puntos a partir de sus coordenadas. - Interpretación puntual y global de informaciones presentadas en una tabla o representadas en una gráfica. - Detección de errores en las gráficas que pueden afectar a su interpretación. Uso de tecnologías Bloque 3. Álgebra. -El lenguaje algebraico para generalizar propiedades y simbolizar relaciones. Obtención de fórmulas y términos generales basada en la observación de pautas y regularidades. -Obtención del valor numérico de una expresión algebraicas. -Significado de las ecuaciones y de las soluciones de la ecuación. -Resolución de ecuaciones de primer grado. Transformación de ecuaciones en otras equivalentes. Interpretación de la solución. -Utilización de las ecuaciones para la resolución de problemas. Bloque 5. Funciones y gráficas. -Descripción local y global de fenómenos presentados de forma gráfica. - Aportaciones del estudio gráfico al análisis de una situación: crecimiento y decrecimiento. Continuidad y discontinuidad. Cortes con los ejes. Máximos y mínimos relativos. - Representación gráfica de una situación que viene dada a partir de una tabla de valores, de un enunciado o de una expresión algebraica sencilla. - Interpretación de las gráficas como relación entre dos magnitudes. Observación y experimentación en casos prácticos. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenadores, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el aprendizaje. 12

13 Laura López Jiménez Tabla 3a Descriptor Derivadas Tasa de variación Pendiente de una recta E.S.O. Segundo ciclo 3º E.S.O. 4º E.S.O. A 4º E.S.O.- B Bloque 3. Álgebra. -Traducción de situaciones del lenguaje verbal al algebraico. Transformación de expresiones algebraicas. --- Bloque 5. Funciones y gráficas. - La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo. Análisis de distintas formas de crecimiento en tablas, gráficas y enunciados verbales. Bloque 5. Funciones y gráficas. - Utilización de las distintas formas de representar la ecuación de la recta Límites Bloque 5. Funciones y gráficas. Bloque 5. Funciones y gráficas. - Análisis y descripción -Interpretación de un cualitativa de gráficas fenómeno descrito mediante que representan fenómenos un enunciado, del entorno cotidiano y de otras materias. - Análisis de una situación tabla, gráfica o expresión analítica. Análisis de los resultados. a partir del estudio Análisis de funciones de las características y gráficas locales y globales de la gráfica correspondiente: dominio, continuidad, monotonía, extremos y puntos de corte. - Formulación de conjeturas sobre el comportamiento del fenómeno que representa una gráfica y su expresión algebraica. Bloque 5. Funciones y gráficas. - La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo. Análisis de distintas formas de crecimiento en tablas, gráficas y enunciados verbales. Bloque 5. Funciones y gráficas. -Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión analítica. Análisis de los resultados. 13

14 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Tabla 3b Descriptor Uso de tecnologías E.S.O. Segundo ciclo 3º E.S.O. 4º E.S.O. A 4º E.S.O.- B Bloque 5. Funciones y gráficas. -Uso de las tecnologías de la información para el análisis conceptual y reconocimiento de propiedades de funciones y gráficas. Bloque 5. Funciones y gráficas. -Estudio y utilización de otros modelos funcionales no lineales: exponencial y cuadrática. Utilización de tecnologías de la información para su análisis. Bloque 5. Funciones y gráficas. -Reconocimiento de otros modelos funcionales: función cuadrática, de proporcionalidad inversa, exponencial y logarítmica. Aplicaciones a contextos y situaciones reales. Uso de las tecnologías de la información en la representación, simulación y análisis gráfico. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenadores, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el aprendizaje Contenidos en Bachillerato Contenidos en Matemáticas de Bachillerato aplicadas a las Ciencias Tabla 4 Descriptor Derivadas Bachillerato Ciencias 1º 2º Análisis: -Aproximación al concepto de derivada. Extremos relativos en un intervalo. Tasa de variación Geometría. -Ecuaciones de la recta. Pendiente de una recta Límites Análisis: -Aproximación al concepto de límite de una función, tendencia y continuidad. Análisis: -Interpretación geométrica y física del concepto de derivada en un punto. -Función derivada. Cálculo de derivadas. Derivada de la suma, el producto y el cociente de funciones y de la función compuesta. Aplicación de la derivada al estudio de las propiedades locales de una función. Problemas de optimización. Geometría: -Ecuaciones de la recta. Análisis -Concepto de límite de una función. Cálculo de límites. 14

15 Laura López Jiménez Tabla 5 Descriptor Análisis de funciones y gráficas Uso de tecnologías Bachillerato Ciencias 1º 2º Análisis: - Funciones reales de variable real: clasificación y características básicas de las funciones polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto, parte entera, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. - Dominio, recorrido y extremos de una función. - Operaciones y composición de funciones. -Interpretación y análisis de funciones sencillas, expresadas de manera analítica o gráfica, que describan situaciones reales. Análisis: -Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad. Emplear los recursos aportados por las tecnologías actuales para obtener y procesar información, facilitar la comprensión de fenómenos dinámicos, ahorrar tiempo en los cálculos y servir como herramienta en la resolución de problemas. Contenidos en Matemáticas de Bachillerato aplicadas a las Ciencias Sociales Tabla 6a Descriptor Derivadas --- Tasa de variación Pendiente de una recta Límites --- Bachillerato Ciencias Sociales 1º 2º Análisis: -Derivada de una función en un punto. Aproximación al concepto e interpretación geométrica. -Aplicación de las derivadas al estudio de las propiedades locales de funciones habituales y a la resolución de problemas de optimización relacionados con las ciencias sociales y la economía. Análisis: - Aproximación al concepto de límite a partir de la interpretación de la tendencia de una función. Concepto de continuidad. Interpretación de los diferentes tipos de discontinuidad y de las tendencias asintóticas en el tratamiento de la información. 15

16 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Tabla 6b Descriptor Análisis de funciones y gráficas Uso de tecnologías Bachillerato Ciencias Sociales 1º 2º Análisis: -Expresión de una función en forma algebraicas, por medio de tablas o de gráficas. Aspectos globales de una función. Utilización de las funciones como herramienta para la resolución de problemas y la interpretación de fenómenos sociales y económicos. - Identificación de la expresión analítica y gráfica de las funciones polinómicas, exponencial y logarítmica, valor absoluto, parte entera y racionales sencillas a partir de sus características. Las funciones definidas a trozos. - Tasa de variación. Tendencias. Análisis: -Estudio y representación gráfica de una función polinómica o racional sencilla a partir de sus propiedades globales. Emplear los recursos aportados por las tecnologías actuales para obtener y procesar información, facilitar la comprensión de fenómenos dinámicos, ahorrar tiempo en los cálculos y servir como herramienta en la resolución de problemas. 16

17 Laura López Jiménez Capítulo 2 Criterios de evaluación de las derivadas y su aplicación en el currículo vigente En este segundo capítulo se recopilan los criterios de evaluación que existen para el tema de derivadas en los Reales Decretos anteriormente analizados Criterios de evaluación en Educación Primaria Tabla 7a Primaria Descriptor Primer ciclo Segundo ciclo Tercer ciclo Derivadas Tasa de variación Reconocer en el entorno Obtener información --- inmediato objetos y puntual y describir una espacios con formas representación espacial rectangulares, triangulares, (croquis de un itinerario, circulares, cúbicas y plano de una pista ) esféricas. Este criterio tomando como referencia pretende valorar la capacidad objetos familiares y utili- de reconocer en el zarlas nociones básicas de entorno las formas geométricas movimientos geométricos, planas o espa- para describir y compren- ciales más elementales. der situaciones de la vida Es importante valorar la cotidiana y para valorar capacidad de recibir y expresiones artísticas. emitir informaciones de Pendiente de una recta modo oral o escrito sobre los espacios familiares, utilizando con propiedad los términos propios del ciclo. Este criterio pretende evaluar capacidades de orientación y presentación espacial, teniendo en cuenta tanto el lenguaje utilizado como la representación en el plano de objetos y contextos cercanos, valorando la utilización de propiedades geométricas (alineamiento, paralelismo, perpendicularidad ) como elementos de referencia para describir situaciones espaciales. Asimismo, se pretende apreciar la adecuada utilización de los movimientos en el plano tanto para emitir y recibir informaciones sobre situaciones cotidianas, como para identificar y reproducir manifestaciones artísticas que incluyan simetrías y traslaciones. Límites

18 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Tabla 7b Descriptor Primaria Primer ciclo Segundo ciclo Tercer ciclo 6. Interpretar una representación espacial (croquis de un itinerario, plano de casas y maquetas) realizada a partir de un sistema de referencia y de objetos o situaciones familiares. Análisis de funciones Este criterio pretende y gráficas evaluar el desarrollo de capacidades espaciales en relación con puntos de referencia, distancias, desplazamientos y, en ciertos casos, ejes de coordenadas, mediante representaciones de espacios familiares. Uso de tecnologías Criterios de evaluación en ESO Tabla 8a Derivadas Descriptor E.S.O. Primer ciclo 1º E.S.O. 2º E.S.O. 3. Identificar y describir regularidades, pautas y relaciones en conjuntos de números, utilizar letras para simbolizar distintas cantidades y obtener expresiones algebraicas como síntesis en secuencias numéricas, así como el valor numérico de fórmulas sencillas. Este criterio pretende comprobar la capacidad para percibir en un conjunto numérico aquello que es común, la secuencia lógica con que se ha construido, un criterio que permita ordenar sus elementos y, cuando sea posible, expresar algebraicamente la regularidad percibida. Se pretende, asimismo, valorar el uso del signo igual como asignador y el manejo de la letra en sus diferentes acepciones. Forma parte de este criterio también la obtención del valor numérico en fórmulas simples de una sola letra. 3. Utilizar el lenguaje algebraico para simbolizar, generalizar e incorporar el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado como una herramienta más con la que abordar y resolver problemas. Se pretende comprobar la capacidad de utilizar el lenguaje algebraico para generalizar propiedades sencillas y simbolizar relaciones, así como plantear ecuaciones de primer grado para resolverlas por métodos algebraicos y también por métodos de ensayo y error. Se pretende evaluar, también, la capacidad para poner en práctica estrategias personales como alternativa al álgebra a la hora de plantear y resolver los problemas. Asimismo, se ha de procurar valorar la coherencia de los resultados. 18

19 Laura López Jiménez Tabla 8b E.S.O. Descriptor Primer ciclo 1º E.S.O. 2º E.S.O. Tasa de variación Pendiente de una recta Límites Análisis de funciones y de gráficas 6. Organizar e interpretar informaciones diversas mediante tablas y gráficas, e identificar relaciones de dependencia en situaciones cotidianas. Este criterio pretende valorar la capacidad de identificar las variables que intervienen en una situación cotidiana, la relación de dependencia entre ellas y visualizarla gráficamente. Se trata de evaluar, además, el uso de las tablas como instrumento para recoger información y transferirla a unos ejes coordenados, así como la capacidad para interpretar de forma cualitativa la información presentada en forma de tablas y gráficas. 5. Interpretar relaciones funcionales sencillas dadas en forma de tabla, gráfica, a través de una expresión algebraica o mediante un enunciado, obtener valores a partir de ellas y extraer conclusiones acerca del fenómeno estudiado. Este criterio pretende valorar el manejo de los mecanismos que relacionan los distintos tipos de presentación de la información, en especial el paso de la gráfica correspondiente a una relación de proporcionalidad a cualquiera de los otros tres: verbal, numérico o algebraico. Se trata de evaluar también la capacidad de analizar una gráfica y relacionar el resultado de ese análisis con el significado de las variables representadas. Representación e interpretación gráfica 6. Organizar e interpretar informaciones diversas mediante tablas y gráficas, e identificar relaciones de dependencia en situaciones cotidianas. Este criterio pretende valorar la capacidad de identificar las variables que intervienen en una situación cotidiana, la relación de dependencia entre ellas y visualizarla gráficamente. Se trata de evaluar, además, el uso de las tablas como instrumento para recoger información y transferirla a unos ejes coordenados, así como la capacidad para interpretar de forma cualitativa la información presentada en forma de tablas y gráficas. 5. Interpretar relaciones funcionales sencillas dadas en forma de tabla, gráfica, a través de una expresión algebraica o mediante un enunciado, obtener valores a partir de ellas y extraer conclusiones acerca del fenómeno estudiado. Este criterio pretende valorar el manejo de los mecanismos que relacionan los distintos tipos de presentación de la información, en especial el paso de la gráfica correspondiente a una relación de proporcionalidad a cualquiera de los otros tres: verbal, numérico o algebraico. Se trata de evaluar también la capacidad de analizar una gráfica y relacionar el resultado de ese análisis con el significado de las variables representadas. Uso de tecnologías

20 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Tabla 9a Descriptor Derivadas E.S.O. Segundo ciclo 3º E.S.O. 4º E.S.O. A 4º E.S.O.- B 2. Expresar mediante el lenguaje algebraico una propiedad o relación dada mediante un enunciado y observar regularidades en secuencias numéricas obtenidas de situaciones reales mediante la obtención de la ley de formación y la fórmula correspondiente, en casos sencillos. A través de este criterio, se pretende comprobar la capacidad de extraer la información relevante de un fenómeno para transformarla en una expresión algebraica. En lo referente al tratamiento de pautas numéricas, se valora si se está capacitado para analizar regularidades y obtener expresiones simbólicas, incluyendo formas iterativas y recursivas. 20

21 Laura López Jiménez Tabla 9b Descriptor Tasa de variación E.S.O. Segundo ciclo 3º E.S.O. 4º E.S.O. A 4º E.S.O.- B Aplicar porcentajes y tasas a la resolución de problemas cotidianos y financieros, valorando la oportunidad de utilizar la hoja de cálculo en función de la cantidad y complejidad de los números. Este criterio va dirigido a comprobar la capacidad para aplicar porcentajes, tasas, aumentos y disminuciones porcentuales a problemas vinculados a situaciones financieras habituales y a valorar la capacidad de utilizar las tecnologías de la información para realizar los cálculos, cuando sea preciso. 4. Identificar relaciones cuantitativas en una situación y determinar el tipo de función que puede representarlas, y aproximar e interpretar la tasa de variación media a partir de una gráfica, de datos numéricos o mediante el estudio de los coeficientes de la expresión algebraica. Este criterio pretende evaluar la capacidad de discernir a qué tipo de modelo de entre los estudiados, lineal, cuadrático, de proporcionalidad inversa, exponencial o logarítmica, responde un fenómeno determinado y de extraer conclusiones razonables de la situación asociada al mismo, utilizando para su análisis, cuando sea preciso, las tecnologías de la información. Además, a la vista del comportamiento de una gráfica o de los valores numéricos de una tabla, se valorará la capacidad de extraer conclusiones sobre el fenómeno estudiado. Para ello será preciso la aproximación e interpretación de la tasa de variación media a partir de los datos gráficos, numéricos o valores concretos alcanzados por la expresión algebraica. Pendiente de una recta Límites

22 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Tabla 9c Descriptor Análisis de funciones y de gráficas E.S.O. Segundo ciclo 3º E.S.O. 4º E.S.O. A 4º E.S.O.- B 5. Utilizar modelos lineales para estudiar diferentes situaciones reales expresadas mediante un enunciado, una tabla, una gráfica o una expresión algebraica. Este criterio valora la capacidad de analizar fenómenos físicos, sociales o provenientes de la vida cotidiana que pueden ser expresados mediante una función lineal, construir la tabla de valores, dibujar la gráfica utilizando las escalas adecuadas en los ejes y obtener la expresión algebraica de la relación. Se pretende evaluar también la capacidad para aplicar los medios técnicos al análisis de los aspectos más relevantes de una gráfica y extraer, de ese modo, la información que permita profundizar en el conocimiento del fenómeno estudiado. 4. Utilizar instrumentos, fórmulas y técnicas apropiadas para obtener medidas directas e indirectas en situaciones reales. Se pretende comprobar el desarrollo de estrategias para calcular magnitudes desconocidas a partir de otras conocidas, utilizar los instrumentos de medida disponibles, aplicar las fórmulas apropiadas y desarrollar las técnicas y destrezas adecuadas para realizar la medición propuesta. 5. Identificar relaciones cuantitativas en una situación y determinar el tipo de función que puede representarlas. Este criterio pretende evaluar la capacidad de discernir a qué tipo de modelo de entre los estudiados, lineal, cuadrático o exponencial, responde un fenómeno determinado y de extraer conclusiones razonables de la situación asociada al mismo, utilizando para su análisis, cuando sea preciso, las tecnologías de la información. 6. Analizar tablas y gráficas que representen relaciones funcionales asociadas a situaciones reales para obtener información sobre su comportamiento. A la vista del comportamiento de una gráfica o de los valores numéricos de una tabla, se valorará la capacidad de extraer conclusiones sobre el fenómeno estudiado. Para ello será preciso la aproximación e interpretación de las tasas de variación a partir de los datos gráficos o numéricos. Uso de tecnologías

23 Laura López Jiménez 2.3. Criterios de evaluación en Bachillerato Bachillerato aplicado a las ciencias Tabla 10a Descriptor Derivadas --- Tasa de variación Pendiente de una recta Límites --- Bachillerato Ciencias 1º 2º 5. Aplicar el concepto y el cálculo de límites y derivadas al estudio de fenómenos naturales y tecnológicos y a la resolución de problemas de optimización. Este criterio pretende evaluar la capacidad para interpretar y aplicar a situaciones del mundo natural, geométrico y tecnológico, la información suministrada por el estudio de las funciones. En concreto, se pretende comprobar la capacidad de extraer conclusiones detalladas y precisas sobre su comportamiento local o global, traducir los resultados del análisis al contexto del fenómeno, estático o dinámico, y encontrar valores que optimicen algún criterio establecido. 6. Aplicar el cálculo de integrales en la medida de áreas de regiones planas limitadas por rectas y curvas sencillas que sean fácilmente representables. Este criterio pretende evaluar la capacidad para medir el área de una región plana mediante el cálculo integral, utilizando técnicas de integración inmediata, integración por partes y cambios de variables sencillos. 5. Aplicar el concepto y el cálculo de límites y derivadas al estudio de fenómenos naturales y tecnológicos y a la resolución de problemas de optimización. Este criterio pretende evaluar la capacidad para interpretar y aplicar a situaciones del mundo natural, geométrico y tecnológico, la información suministrada por el estudio de las funciones. En concreto, se pretende comprobar la capacidad de extraer conclusiones detalladas y precisas sobre su comportamiento local o global, traducir los resultados del análisis al contexto del fenómeno, estático o dinámico, y encontrar valores que optimicen algún criterio establecido. 23

24 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Tabla 11b Descriptor Análisis de funciones y de gráficas Bachillerato Ciencias 1º 2º 2. Identificar las funciones habituales dadas a través de enunciados, tablas o gráficas, y aplicar sus características al estudio de fenómenos naturales y tecnológicos. Este criterio pretende evaluar la capacidad para interpretar y aplicar a situaciones del mundo natural, geométrico y tecnológico, la información suministrada por el estudio de las funciones. Particularmente, se pretende comprobar la capacidad de traducir los resultados del análisis al contexto del fenómeno, estático o dinámico, y extraer conclusiones sobre su comportamiento local o global. 5. Utilizar los conceptos, propiedades y procedimientos adecuados para encontrar e interpretar características destacadas de funciones expresadas analítica y gráficamente. Se pretende comprobar con este criterio la capacidad de utilizar adecuadamente la terminología y los conceptos básicos del análisis para estudiar las características generales de las funciones y aplicarlas a la construcción de la gráfica de una función concreta. En especial, la capacidad para identificar regularidades, tendencias y tasas de variación, locales y globales, en el comportamiento de la función, reconocer las características propias de la familia y las particulares de la función, y estimar los cambios gráficos que se producen al modificar una constante en la expresión algebraica. 3. Transcribir problemas reales a un lenguaje gráfico o algebraico, utilizar conceptos, propiedades y técnicas matemáticas específicas en cada caso para resolverlos y dar una interpretación de las soluciones obtenidas ajustada al contexto. Este criterio pretende evaluar la capacidad de representar un problema en lenguaje algebraico o gráfico y resolverlo aplicando procedimientos adecuados e interpretar críticamente la solución obtenida. Se trata de evaluar la capacidad para elegir y emplear las herramientas adquiridas en álgebra, geometría y análisis, y combinarlas adecuadamente. 4. Utilizar los conceptos, propiedades y procedimientos adecuados para encontrar e interpretar características destacadas de funciones expresadas algebraicamente en forma explícita. Se pretende comprobar con este criterio que los alumnos son capaces de utilizar los conceptos básicos del análisis y que han adquirido el conocimiento de la terminología adecuada y los aplican adecuadamente al estudio de una función concreta. Uso de tecnologías

25 Laura López Jiménez Bachillerato aplicado a las Ciencias Sociales Tabla 11 Derivadas Descriptor Bachillerato Ciencias Sociales 1º 2º 2. Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y resolverlos utilizando técnicas algebraicas determinadas: matrices, ecuaciones y programación lineal bidimensional, interpretando críticamente el significado de las soluciones obtenidas. Este criterio está dirigido a comprobar la capacidad de utilizar con eficacia el lenguaje algebraico tanto para plantear un problema como para resolverlo, aplicando las técnicas adecuadas. No se trata de valorar la destreza a la hora de resolver de forma mecánica ejercicios de aplicación inmediata, sino de medir la competencia para seleccionar las estrategias y herramientas algebraicas; así como la capacidad de interpretar críticamente el significado de las soluciones obtenidas. 4. Utilizar el cálculo de derivadas como herramienta para obtener conclusiones acerca del comportamiento de una función y resolver problemas de optimización extraídos de situaciones reales de carácter económico o social. Este criterio no pretende medir la habilidad de los alumnos en complejos cálculos de funciones derivadas, sino valorar su capacidad para utilizar la información que proporciona su cálculo y su destreza a la hora de emplear los recursos a su alcance para determinar relaciones y restricciones en forma algebraica, detectar valores extremos, resolver problemas de optimización y extraer conclusiones de fenómenos relacionados con las ciencias sociales. Tasa de variación Pendiente de una recta Límites

26 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Tabla 12 Descriptor Análisis de funciones y de gráficas Bachillerato Ciencias Sociales 1º 2º 2. Transcribir a lenguaje algebraico o gráfico una situación relativa a las ciencias sociales y utilizar técnicas matemáticas apropiadas para resolver problemas reales, dando una interpretación de las soluciones obtenidas. Este criterio pretende evaluar la capacidad para traducir algebraica o gráficamente una situación y llegar a su resolución haciendo una interpretación contextualizada de los resultados obtenidos, más allá de la resolución mecánica de ejercicios que sólo necesiten la aplicación inmediata de una fórmula, un algoritmo o un procedimiento determinado. 4. Relacionar las gráficas de las familias de funciones con situaciones que se ajusten a ellas; reconocer en los fenómenos económicos y sociales las funciones más frecuentes e interpretar situaciones presentadas mediante relaciones funcionales expresadas en forma de tablas numéricas, gráficas o expresiones algebraicas. Se trata de evaluar la destreza para realizar estudios del comportamiento global de las funciones a las que se refiere el criterio: polinómicas; exponenciales y logarítmicas; valor absoluto; parte entera y racionales sencillas, sin necesidad de profundizar en el estudio de propiedades locales desde un punto de vista analítico. La interpretación, cualitativa y cuantitativa, a la que se refiere el enunciado exige apreciar la importancia de la selección de ejes, unidades, dominio y escalas. 5. Utilizar las tablas y gráficas como instrumento para el estudio de situaciones empíricas relacionadas con fenómenos sociales y analizar funciones que no se ajusten a ninguna fórmula algebraica, propiciando la utilización de métodos numéricos para la obtención de valores no conocidos. Este criterio está relacionado con el manejo de datos numéricos y en general de relaciones no expresadas en forma algebraica. Se dirige a comprobar la capacidad para ajustar a una función conocida los datos extraídos de experimentos concretos y obtener información suplementaria mediante técnicas numéricas. 3. Analizar e interpretar fenómenos habituales en las ciencias sociales susceptibles de ser descritos mediante una función, a partir del estudio cualitativo y cuantitativo de sus propiedades más características. Este criterio pretende evaluar la capacidad para traducir al lenguaje de las funciones determinados aspectos de las ciencias sociales y para extraer, de esta interpretación matemática, información que permita analizar con criterios de objetividad el fenómeno estudiado y posibilitar un análisis crítico a partir del estudio de las propiedades globales y locales de la función. Uso de tecnologías

27 Laura López Jiménez Capítulo 3 Ejercicios, problemas y cuestiones tipo sobre las derivadas y su aplicación en libros de texto. En este apartado se ha procedido a analizar los libros de textos de los niveles de ESO 3º y 4º, y de Bachiller 1º y 2º que se emplean en el centro en el que he realizado las prácticas docentes. Se han identificado los problemas, ejercicios y cuestiones tipo, que aparecen en cada uno de ellos Ejercicios, problemas y cuestiones tipo en 3º ESO. El libro que emplean en el centro en este nivel de 3º ESO, es el de la editorial Santillana. Proyecto la Casa del Saber. Esta editorial trata el tema sobre funciones, en el tema número 11-funciones y en el tema número 12-funciones lineales y afines. En el tema número 11 se tratan los siguientes aspectos: Concepto de función. Variable independiente, variable dependiente. Formas de definir una función (enunciado, expresión algebraica, tabla de valores, gráfica). Características de una función: discontinuidad (gráficas discretas, escalonadas), continuidad, dominio y recorrido, puntos de corte con los ejes, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, periodicidad, simetrías. Existen distintos ejercicios tipo en este tema, a continuación mostramos los más interesantes: 27

28 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) CURSO 3º ESO. Tema 11. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Sirve para que el alumno aprenda a distinguir entre qué es una función y que no es una función. Ejemplo: Ejercicio 1 página 212. Ilustración 1 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Con el que se pretende que el alumno conozca distintas formas de expresar una función y que aprenda a obtener los valores que toman las variables dependientes a partir de valores de variables independientes. Se podría completar solicitando una tabla y una representación gráfica. En este enunciado falta una contextualización del problema. Ejemplo: Ejercicio 6 página 213. Ilustración 2 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En este ejercicio se pide al alumno que dibuje una gráfica que exprese la ga- estar incluido nancia en función del número de muebles vendidos, en el enunciado debería una petición de razonamiento sobre cómo serían las variables, discretas o escalonadas. Ejemplo: Ejercicio12 página 215. Ilustración 3 28

29 Lauraa López Jiménez CURSO 3º ESO. Tema 11. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Este ejercicio permite que el alumno recuerde cuales son los números naturasu continuidad. les, enteros y reales. Falta solicitar razonamiento sobre tipos de gráficas y Ejemplo: Ejercicio 16 página 216. Ilustración 4 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Este ejercicio permite repasar lo visto al comienzo de la unidad, por lo que se está produciendo una conexión entre los distintos aspectos vistos durante la misma y a la vez se solicitan nociones nuevas como son el dominio y el recorrido. Se podría completar solicitando su representación gráfica. Ejemplo: Ejercicio 20 página 217. Ilustración 5 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Con este ejercicio se pretende varias cosas, una que el alumno practique los puntos de corte de una función con los ejes cartesianos y otra que el alumno se familiarice con el siguiente tema que son las funciones lineales y afines. Ejemplo: Ejercicio 26 página 218. Ilustración 6 29

30 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Ilustración 7 CURSO 3º ESO. Tema 11. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En este ejercicio se facilitan los datos a través de una tabla y se pide al alumno que represente los datos en una gráfica y posteriormente realice un análisiss de su crecimien- to y decrecimiento. Es un ejercicio contextualizado. Ejemplo: Ejercicio 28 página 219. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Con esta representación gráfica, se pretende que el alumno aplique lo que se ha explicado en la teoría, es decir que determine los máximos y los mínimos de la función. Se podría completar solicitando los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función Ejemplo: Ejercicio 32 página 220. Ilustración 8 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En este ejercicio se solicita al alumno que analice las simetrías de las funcio- nes. Se podría completar con la petición de su representación gráfica. Ejemplo: Ejercicio 37 página 221. Ilustración 9 En el tema número 12 se tratan los siguientes aspectos: Función lineal. Función afín. Ecuaciones y gráficas. 30

31 Lauraa López Jiménez Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Rectas secantes y paralelas. Existen distintos ejercicios santes: tipo en este tema, a continuación mostramoss los más intere- CURSO 3º ESO. Tema 12. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En este ejercicio se pretenden que representen funciones lineales a partir de una tabla de valores, se podría completar pidiendo que determinen pendiente y crecimiento y decrecimiento. Ejemplo: Ejercicio 3 página 230. Ilustración 10 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Este ejercicio pretende enlazar con el punto de rectas secantes y paralelas. Podría completarse son la solicitud de determinar pendiente y ordenada en el origen. Ejemplo: Ejercicio 6 página 231. Ilustración 11 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Con este ejercicio se podría aprovechar para solicitar los puntos de corte con los ejes y de esta forma hacer referencia al tema anterior. Ejemplo: Ejercicio 9 página 232. Ilustración 12 31

32 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) CURSO 3º ESO. Tema 12. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Con este ejercicio se pretende que el alumno ensaye lo visto en la teoría que es la obtención de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Ejemplo: Ejercicio 12 página 233. Ilustración 13 Ilustración 14 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En este ejercicio se solicita la posición relativa de las rectas, podría completar- se con la obtención del punto de corte de las mismas cuando este exista. Ejemplo: Ejercicio 16 página 234. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Con este ejercicio el alumno puede practicar la representación de distintas rectas paralelas al eje de abscisas, se podría completar añadiendo rectas paralelas al eje x y solicitando su punto de corte. Ejemplo: Ejercicio 20 página 235. Ilustración 15 32

33 Lauraa López Jiménez 3.2. Ejercicios, problemas y cuestiones tipo en 4º ESO. Los libros que emplean en el centro en este nivel de 4º ESO son, para la opción A, Opción A Matemáticas 4º ESO, editorial Santillana. Proyecto la Casa del Saber y para la opción B, Opción B Matemáticas 4º ESO, editorial Santillana. Proyecto la Casa del Saber. Esta editorial en la opción de 4º A trata la ecuación punto-pendiente y explícita, en el tema número 9 vectores y rectas y las funciones en el tema número 10 funciones, y en la opción de 4ºB en los temas 8 vectores y rectas y 9 funciones. Siendo el contey punto pendiente nido de ambas opciones el mismo. CURSO 4º ESO. Tema 9 (opción A) Tema 8 (opción B) Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se pide al alumno que determine las ecuaciones, explícita de la recta que pasa por un punto y conocido su vector director. Se podría completar con una petición al alumno para que especifique una vez halladas las ecuaciones qué es la pen- diente y qué es la ordenadaa en el origen Ejemplo: Ejercicio 25 página En el tema número 10, se ven de nuevo los conceptos de 3º Existen distintos ejercicios santes: Ilustración 16 Concepto de función. Tablas y gráficas. Dominio y recorridoo de una función. Funciones definidas a trozos. Propiedades de las funciones, (puntos de corte con los ejes, continuidad, creci- miento y decrecimiento, simetrías y periodicidad. tipo en este tema, a continuación mostramoss los más intere- 33

34 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) CURSO 4º ESO. Tema 10 (opción A) Tema 9 (opción B) Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Este ejercicio sirve para que el alumno comprenda las distintas formas que puede tener una función. Ejemplo: Ejercicio 1 página 176. Ilustración 17 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En este ejercicio se solicita una representación gráfica de unos datos que vienen recogidos en una tabla de un ejercicio. Ejemplo: Ejercicio 4 página 177. Ilustración 18 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Aquí se muestra un ejemplo de lo que se realiza durante estee capítulo, primero se solicita en el primer ejercicio que a partir de una gráfica se determine su dominio y recorrido y en el segundo se pide calcular a partir de la expresión algebraica de la función el dominio y recorrido de la misma. Ejemplo: Ejercicio 7 y 8 página 178. Ilustración 19 34

35 Lauraa López Jiménez CURSO 4º ESO. Tema 10 (opción A) Tema 9 (opción B) Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: De nuevo se repite la misma mecánica, primero se pide representar funciones definidas a trozos y luego se solicita obtener la expresión algebraica de una gráfica de una función definida a trozos Ejemplo: Ejercicio 10 y 111 página 179. Ilustración 20 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: De nuevo dan una representación gráfica para estudiar la continuidad y luego de una expresión algebraica solicitan lo mismo Ejemplo: Ejercicio 13 y 14 página 180 Ilustración 21 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En este ejercicio han añadido una noción anterior como es la continuidad, con el crecimiento y máximos y mínimos de la función. Se podría haber completado con la peti- ción de los puntos de corte con los ejes. Ejemplo: Ejercicio 17 página 181. Ilustración 22 35

36 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) CURSO 4º ESO. Tema 10 (opción A) Tema 9 (opción B) Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En este ejercicio se pide la comprobación algebraica de la existencia de algún tipo de simetría. Ejemplo: Ejercicio 20 página 183. Ilustración 23 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En este ejercicio se pide al alumno que determine si la función representada gráficamente es periódica y en caso afirmativo que calcule el período. Ejemplo: Ejercicio 22 página 183. Ilustración Ejercicios, problemas y cuestiones tipo en 1º Bachiller Ciencias El libro de texto analizado es el que se emplea en el centro en este nivel es: Bachillerato. Matemáticas 1. Ciencias y Tecnología de la Editorial Bruño. El tema de las derivadas está desarrollado en la unidad 10, páginas y el tema aplicación de las derivadas está desarrollado en la unidad 11, páginas En el tema 10 de las derivadas se ven los siguientes aspectos: Tasa de variación media. Derivada de la función en un punto. Interpretación geométrica de la derivada. Continuidad. Derivabilidad. Función derivada. 36

37 Laura López Jiménez Tabla de derivadas. Regla de la cadena. Aplicación de las reglas de derivación. Derivadas sucesivas. Máximos y mínimos relativos y monotonía. Conceptos de, puntos de inflexión, curvatura y puntos críticos o singulares. Los ejercicios tipo de este tema se pueden agrupar de la siguiente manera: CURSO 1º Bachiller especialidad Ciencias y Tecnología. Tema 10. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En él se solicita al alumno el cálculo de la tasa de variación media de distintas funciones en cada intervalo dado. Ejemplo: Ejercicio 1 de la página 251. Ilustración 25 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En él se pide aplicar de la definición de derivada para el cálculo de la derivada de la función en un determinado punto, y obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal en ese mismo punto, representar la función y de las rectas Ejemplo: Ejercicio 4 de la página 251. Ilustración 26 37

38 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) CURSO 1º Bachiller especialidad Ciencias y Tecnología. Tema 10. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En este ejercicio que se solicita un análisis de la derivabilidad en un determinado punto de las funciones representadas. Ejemplo: Ejercicio 6 de la página 253. Ilustración 27 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se pide calcular el valor de la derivada de la función en determinados puntos. Este ejercicio se podría completar solicitando primero la función derivada, su representación junto con la función primera y pidiendo que se compruebe los valores que toman las abscisas dadas. Ejemplo: Ejercicio 8 de la página 253. Ilustración 28 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se pide cálculo de la función derivada aplicando las reglas de derivación a distintas funciones. Ejemplo: Ejercicio 11 de la página 255. Ilustración 29 38

39 Laura López Jiménez CURSO 1º Bachiller especialidad Ciencias y Tecnología. Tema 10. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se pide calcular los máximos y mínimos relativos y determinar la monotonía de distintos tipos de funciones. Ejemplo: Ejercicio 23 de la página 257. Ilustración 30 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se solicita calcular los puntos de inflexión y determinación de la curvatura de distintos tipos de funciones. Ejemplo: Ejercicio 31 de la página 259. Ilustración 31 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se pide calcular los puntos críticos de distintas funciones. Ejemplo: Ejercicio 38 de la página 259. Ilustración 32 En el tema 11 de aplicaciones de las derivadas se ven los siguientes aspectos: Representación de funciones polinómicas. Representación de funciones racionales. Problemas con condiciones. Aplicaciones de las derivadas a otras áreas. Problemas de optimización. Los ejercicios tipo se pueden agrupar de la siguiente manera: 39

40 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) CURSO 1º Bachiller especialidad Ciencias y Tecnología. Tema 11. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se pide representación de una función siguiendo el formulario que se explica en el apartado de teoría. Ejemplo: Ejercicio 1 de la página 273. Ilustración 33 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se solicita representación de una función polinómica conocidos varios datos como por ejemplo, las coordenadas del máximo relativo y mínimo relativo, y el comportamiento de la función cuando x tiende a +/- infinito. Ejemplo: Ejercicio 5 de la página 273. Ilustración 34 40

41 Laura López Jiménez CURSO 1º Bachiller especialidad Ciencias y Tecnología. Tema 11. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se pide el cálculo de los coeficientes que definen una función de tal forma que tenga un punto crítico (mínimo, máximo o punto de inflexión) en tal punto Ejemplo: Ejercicio 10 de la página 277. Ilustración 35 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En el que se pide conocida la gráfica de la función derivada de una función, realización del estudio de la monotonía, cálculo de la pendiente de la recta tangente para una determinada abscisa, razonamiento de si tiene un máximo o mínimo relativo y cálculo de su abscisa, y realización de una aproximación gráfica de la función. Ejemplo: Ejercicio 11 de la página 277. Ilustración 36 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se pide al alumno cálculo de la variación de una magnitud (variable dependiente) respecto a otra (variable independiente) así cómo realizar derivadas sucesiva. Se podría completar con la representación de la función, así como con el cálculo de los puntos críticos y su análisis e interpretación. Ejemplo: Ejercicio 14 de la página 279. Ilustración 37 41

42 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) CURSO 1º Bachiller especialidad Ciencias y Tecnología. Tema 11. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Estos dos ejercicios son problemas de optimización. El ejercicio 18 se corresponde a una relación entre números y el 19 es un problema geométrico. Para ambos hay que seguir el procedimiento de actuación descrito en la teoría. Ejemplo: Ejercicio 18 y 19 de la pátina 281. Ilustración 38 Ciencias Sociales El libro de texto analizado es el que se emplea en el centro en este nivel es: Bachillerato. Matemáticas 1. Ciencias de la naturaleza y de la salud-tecnología de la Editorial Axis. El tema de Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones está desarrollado en la unidad 7, páginas En el tema 7 se ven los siguientes aspectos (resaltado en negrita aspectos nuevos respecto a curso anterior): Crecimiento de una función en un intervalo. Crecimiento de una función en un punto. Derivada. Función derivada de otra. Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones. Utilidad de la función derivada. Representación de funciones polinómicas. Representación de funciones racionales. En este tema de las derivadas los ejercicios tipo se pueden agrupar de la siguiente manera: 42

43 Lauraa López Jiménez CURSO 1º Bachiller especialidad Ciencias Sociales. Tema 7. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En él se solicita al alumno el cálculo de la tasa de variación media en distintos intervalos Ejemplo: Ejercicio 1 de la página 176 Ilustración 39 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En este ejercicio se solicita al alumno que calcule la función derivada y parti- Ejemplo: Ejercicio 2 de la página cularice para una serie de puntos. Además se le pide interpretación de los resultados 180 Ilustración 40 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En este ejercicio se solicita al alumno que aplique las reglas de derivación Ejemplo: Ejercicios 1 al 5 de la página 181 Ilustración 41 43

44 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Ilustración 42 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En este ejercicio se solicita la representación de funciones. Ejemplo: Ejercicio 1 de la página 186 Ilustración Ejercicios, problemas y cuestiones tipo en 2º Bachiller Ciencias CURSO 1º Bachiller especialidad Ciencias Sociales Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En estos ejercicios se pide al alumno que calcule las ecuaciones de las rectas tangentes, sus pendientes, en determinados puntos y que estudie su crecimiento y decreci- miento así como las abscisas de los posibles máximos y mínimos. Ejemplo: Ejercicio 1 de la página 183 El libro de texto analizado es el que se emplea en el centro en este nivel es: Bachillerato. Matemáticas 2. Ciencias de la naturaleza y de la salud-tecnología de la Editorial Axis. El tema de las derivadas está desarrollado en la unidad 10, páginas y el tema aplicación de las derivadas está desarrollado en la unidad 11, páginas En el tema 10 de derivadas se ven los siguientes aspectos (resaltado en negrita as- pectos nuevos respecto a curso anterior): Tasa de variación media. Derivada de la función en un punto. Función derivada. Interpretación geométrica de la derivada. Derivadas laterales. Continuidad. Derivabilidad. Función diferencial en un punto. 44

45 Lauraa López Jiménez Reglas de derivación. Derivadas sucesivas. Uso de los logaritmos en la derivación. Derivadas de funciones implícitas. Estudio de la derivabilidad. Demostración de las reglas de derivación. Teoremas fundamentales del cálculo diferencial : teorema de Fermat, teo- rema de Rolle, teorema de Lagrange o del valor medio, regla de L Hopital. En este tema de las derivadas los ejercicios tipo se pueden agruparr de la siguiente manera: CURSO 2º Bachiller especialidad Ciencias y Tecnología. Tema 10 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: En el que se solicita al alumno que realice la representación de una función y haba el estudio de su derivabilidad. Ejemplo: Ejercicio 4 de la página 210. Ilustración 44 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se pide al alumno que calcule las derivadas de las funciones dadas, aplicando las reglas de derivación Ejemplo: Ejercicio 1 de la página 218. Ilustración 45 45

46 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) CURSO 2º Bachiller especialidad Ciencias y Tecnología. Tema 10 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se solicita al alumno el estudio de la derivabilidad de una determinada función. Ejemplo: Ejercicio 6 de la página 218. Ilustración 46 Ilustración 47 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Son aplicación directa de la teoría vista dentro del apartado teoremas funda- mentales del cálculo diferencial. Ejemplo: Ejercicios del 1 al 5 de la página 224. En el tema 11 de aplicaciones de las derivadas se ven los siguientes aspectos: Monotonía, máximos y mínimos. Curvatura y puntos de inflexión. Puntos críticos o singulares. Dominio y continuidad. Periodicidad. Simetrías. Asíntotas. Corte con los ejes y regiones. Gráfica. Recorrido e imagen. Aplicaciones geométricas. Aplicaciones del teorema de Bolzano o de las raíces. Aplicaciones del teorema de Weierstrass. Problemas de máximos y de mínimos. Cálculo de funciones con condiciones. Aplicaciones de otras áreas. 46

47 Lauraa López Jiménez Ilustración 48 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se pide al alumno que represente distintas gráficas. Ejemplo: Ejercicio 1 de la página 248. Ilustración 49 En el tema de aplicaciones de las derivadas los ejercicios tipo se pueden agrupar de la siguiente manera: CURSO 2º Bachiller especialidad Ciencias y Tecnología. Tema 11. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se solicita al alumno hallar los puntos de máximo y mínimo relativo. Se podría completar pidiendo que determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los interva- los de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión Ejemplo: Ejercicio 1 de la página 240. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Son distintoss ejercicios en los que se piden otras aplicaciones de las derivadas, entre ellas la aplicación de los teoremas de Bolzano y Weierstrass. Ejemplo: Ejercicios 1 a 7 de la página 252. Ilustración 50 47

48 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Ciencias Sociales El libro de texto analizado es el que se emplea en el centro en este nivel es: Bachillerato. Matemáticas 2. Matemáticas aplicadas a las Ciencias sociales de la Editorial Anaya. El tema de Derivadas. Técnicas de derivación está desarrollado en la unidad 6, pági- en la unidad 7, nas y el tema de Aplicación de las derivadas está desarrolladoo páginas En el tema 6 de Derivadas. Técnicas de derivación se ven los siguientes aspectos (re- CURSO 2º Bachiller especialidad Ciencias Sociales. Tema 6. saltado en negrita aspectoss nuevos respecto a curso anterior): Derivada de una función en un punto Función derivada. Reglas de derivación. Estudio de derivabilidad de una función definida a trozos En el tema 6 los ejercicios tipo se pueden agrupar de la siguiente manera: Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se solicita al alumno que estudie la derivabilidad. Ejemplo: Ejercicio 1 página 153. Ilustración 51 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se pide cálculo de la derivada funciones concretas. Ejemplo: Ejercicio 1, página 157. Ilustración 52 48

49 Lauraa López Jiménez CURSO 2º Bachiller especialidad Ciencias Sociales. Tema 6. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se pide estudio de la derivabilidad de una función definida a trozos Ejemplo: Ejercicio 1, página 158. Ilustración 53 En el tema 7 de Aplicaciones de las derivadas se ven los siguientes aspectos (resalta- CURSO 2º Bachiller especialidad Ciencias Sociales. Tema 6. do en negrita aspectos nuevos respecto a curso anterior): Recta tangente a una curva en uno de sus puntos. Información extraída de la primera derivada. Información extraída de la segunda derivada. Optimización de funciones. En el tema 6 los ejercicios tipo se pueden agrupar de la siguiente manera: Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se pide cálculo de la recta tangente a una curva en varios puntos. Ejemplo: Ejercicio 1 página 169. Ilustración 54 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Se pide identificar tipo de puntos singulares. Ejemplo: Ejercicio 2 página 171. Ilustración 55 49

50 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) CURSO 2º Bachiller especialidad Ciencias Sociales. Tema 6. Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Estudia curvatura de una función dada. Ejemplo: Ejercicio 1 página 172. Ilustración 56 Actividad tipo: Ejercicio Problema Cuestión Situación Descripción: Ejemplo de ejercicio de optimización Ejemplo: Ejercicio 1 página 175. Ilustración 57 50

51 Laura López Jiménez Capítulo 4 Resultados. A partir de los resultados obtenidos en los capítulos anteriores sobre el contenido, los criterios de evaluación establecidos en el currículo oficial y el contenido de los libros de texto, en este capítulo se va a analizar la coherencia entre estos y aquellos. Asimismo se van a analizar las ausencias y presencias detectadas en ambos. Para este apartado se ha empleado como libro de matemáticas de referencia: Cálculo. De James Stewart, del Grupo Editorial Iberoamérica, S.A de C.V. Se eligió este libro con la aprobación del director de este proyecto, Juan Carlos Ballabriga. Para los análisis de libros de texto escolares se han utilizado los mencionados en los apartados anteriores y referenciados en el anexo Ausencias y presencias en el currículo y en los libros de texto. Los libros empleados en el centro para cada nivel son los siguientes: 3º y 4º ESO (dos opciones), Editorial - Santillana. 1º Bachiller (ciencias), Editorial - Bruño. 2º Bachiller (ciencias), Editorial Axis. 1º y 2º Bachiller (ciencias sociales), Editorial-Anaya. Por lo que no ha sido posible realizar una comparación de contenidos dentro de la misma editorial pero sí una comparación en cuanto a presentación y contenidos entre ellas aunque se tratase de distintos cursos. A continuación realizo una comparación por curso con el contenido del currículo que marca la ley que aparece descrito a través de descriptores en el capítulo 1 de este trabajo fin de máster y el contenido de los libros de los distintos niveles, relacionando los contenidos con las ilustraciones del capítulo 3. 3º ESO. Bloque 3, traducción de situaciones del lenguaje verbal al algebraico. Como ejemplo ver ilustración nº2 del punto 3.1. Bloque 5, análisis y descripción cualitativa de gráficas que representan fenómenos cotidianos. Como ejemplo ver ilustración nº3 del punto 3.1 Bloque 5, análisis de una situación a partir de una gráfica. Como ejemplo ver ilustración nº7 del punto 3.1 Bloque 5, utilización de las distintas formas de representar la ecuación de la recta, Como ejemplo ver ilustración nº13 del punto 3.1, aunque sólo se ve un tipo de ecuación que es la de la recta que pasa por dos puntos. 51

52 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Bloque 5, formulación de conjeturas sobre el comportamiento del fenómeno que representa una gráfica y su expresión algebraica. No he encontrado ejemplos para este contenido. Uso de TICs, no queda contemplado en este libro. 4º ESO opciones A y B Es en este curso donde se cumple el contenido del bloque 5 que quedaba pendiente de 3º, el del empleo de las distintas formas de representar la ecuación de una recta. Como ejemplo ver la ilustración nº 16 del punto 3.2. Bloque 5, tasa de variación media. No he encontrado ejemplos en este libro, de hecho no hay una introducción teórica como señalaba en el apartado anterior. Bloque 5; análisis de distintas formas de crecimiento, en tablas, gráficas y enunciados verbales, a pesar de estar contemplado la representación de la función bajo distintas formas como muestra la ilustración nº17, no he encontrado ejercicios que contemplen exactamente este contenido. Bloque 5, interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, un ejercicio tipo podría ser el que aparece recogido en la ilustración nº 18, pero vemos que en ese ejercicio no piden su interpretación, se solicita únicamente la realización de la gráfica. Uso de TICs, no queda contemplado en este libro 1º Bachillerato Ciencias Aproximación al concepto de derivada. Como ejemplo los ejercicios relacionados con la tasa de variación, ilustración nº 25 del punto 3.3. Extremos relativos. Como ejemplo los ejercicios en los que se solicita el cálculo de los máximos y mínimos relativos, ilustración nº 30. Ecuaciones de la recta. Como ejemplo los ejercicios en los que se piden las ecuaciones de las rectas tangente y normal, ilustración nº 26 Dominio, recorrido y extremos de una función. Como ejemplo, los ejercicios de representación de funciones, que contemplan su realización siguiendo los pasos de un formulario que incluye estos tres puntos, ilustración nº 33. TICs, en este libro si está contemplado el uso de programas informáticos como son el Windows Derive o el Wiris. Interpretación y análisis de funciones sencillas expresadas de forma analítica o gráfica que describan situaciones reales. Sobre este punto sin embargo no he encontrado ejemplos en el libro, como ya apuntaba en el apartado anterior, la mayor parte de los ejercicios presentes en este libro son de carácter descontextualizado. 52

53 Laura López Jiménez En el libro se añaden más puntos respecto a lo exigido por el currículo vigente en este curso y que corresponden al curso siguiente como son la función derivada, el cálculo de derivadas, la derivada de la suma, producto y cociente de funciones, la función compuesta, la aplicación de la derivada al estudio de las propiedades locales de una función, problemas con condiciones, aplicaciones de derivadas a otras áreas. 1º Bachillerato Ciencias Sociales Tasa de variación, se realiza la introducción de este punto contemplado en el currículo vigente. En cambio añaden respecto al currículo vigente, la función derivada, reglas de derivación y la representación de funciones polinómicas y racionales. Uso de TICs, no queda contemplado en este libro. 2º Bachillerato Ciencias Aproximación al concepto de derivada. Como ejemplo ejercicios relacionados con la tasa de variación media. Función derivada. Como ejemplo el ejercicio de la ilustración 45. Cálculo de derivadas. Como ejemplo el ejercicio de la ilustración 45. Derivada de la suma, producto y cociente de funciones, función compuesta. Como ejemplo el ejercicio de la ilustración 45. Aplicación de la derivada al estudio de las propiedades locales de una función. Como ejemplo el ejercicio de la ilustración 49. Problemas de optimización. Existen ejercicios similares a los del libro del curso anterior. Ecuaciones de la recta. Existen ejercicios similares a los del libro del curso anterior. TICs, en el libro de ciencias si está contemplado el uso de programas informáticos como son el Windows Derive o el Wiris. En el libro de ciencias se añade respecto al currículo oficial el concepto de derivabilidad y su estudio para una función dada, el estudio y aplicación de distintos teoremas. Ciencias Sociales Los puntos a tratar según el currículo coinciden con los de ciencias. Una vez analizado el libro que se emplea en el centro, observamos que entre los dos temas (6 y 7) se cumple fielmente lo contemplado en la ley, con la salvedad de las TICs, cuyo uso no está incluido dentro del temario. Destacar que no he apreciado muchas diferencias en cuanto a contenido entre los cursos 3º y 4º, es decir se trabaja con las mismas nociones con un grado mayor de dificultad en el curso superior, aunque algunos ejercicios eran muy similares, en cambio he observado un ascenso en espiral en 1º y 2º en cuanto a contenido. Así se concluye que las nociones de función y sus distintas expresiones, de dominio, recorrido, funciones definidas a trozos y las propiedades de las funciones son introducidas en 3º de la ESO, y en 4º son afianzadas. Mientras que a partir de 1º de bachiller en las dos opciones, tanto de ciencias y como de ciencias sociales, se introducen nuevos 53

54 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) conceptos como son la tasa de variación media, la derivada de una función, su interpretación geométrica, tablas y reglas de derivadas, su aplicación tanto para la obtención de los puntos críticos que antes eran obtenidos directamente de la observación de la representación gráfica de la función y en este curso se emplean las nuevas nociones como herramientas para su obtención analítica. En 2º de bachiller en ambas opciones se trabajan sobre las mismas nociones vistas en el curso anterior pero en la opción de ciencias se introducen nuevas, como son las derivadas laterales, la función diferencial, derivadas de funciones implícitas, el estudio de la derivabilidad, y aparecen por primera vez teoremas y demostraciones. Esto se puede ver claramente, en los descriptores de los temas, que se presentan en los índices de los libros: Tabla 13 3º E.S.O. Funciones Concepto de función Formas de expresar un función Características de una función Funciones lineales y afines Función lineal Función afín Ecuaciones y gráficas Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Rectas secantes y paralelas Aplicaciones Estudio conjunto de dos funciones Tabla 14 4º E.S.O. opciones A y B Vectores y rectas Vectores Operaciones con vectores Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas Ecuación continua Ecuaciones punto-pendiente y explícita Ecuación general Posiciones relativas de dos rectas en el plano Funciones Concepto de función Tablas y gráficas Dominio y recorrido de una función Funciones definidas a trozos Propiedades de las funciones 54

55 Laura López Jiménez Tabla 15 1º Bachiller (Ciencias) Cálculo de derivadas La derivada La función derivada Reglas de derivación Máximos, mínimos relativos y monotonía Puntos de inflexión y curvatura Aplicaciones de las derivadas Representación de funciones polinómicas Representación de funciones racionales Problemas con condiciones Aplicaciones de las derivadas a otras áreas Problemas de optimización Tabla 16 1º Bachiller (Ciencias Sociales)) Iniciación al cálculo de derivadas Crecimiento de una función en un intervalo Crecimiento de una función en un punto. Derivada Función derivada de otra Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones Utilidad de la función derivada Representación de funciones polinómicas Representación de funciones racionales Tabla 17a 2º Bachiller (Ciencias) Derivadas La derivada Tasa de variación media Derivada de una función en un punto Función derivada Interpretación geométrica de la derivada Derivadas laterales Continuidad y derivabilidad Función diferencial en un punto Cálculo de derivadas Reglas de derivación Derivadas sucesivas Uso de los logaritmos en la derivación Derivadas de funciones implícitas Estudio de la derivabilidad Demostraciones de las reglas de derivación Teoremas fundamentales del cálculo diferencial Teorema de Fermat Teorema de Rolle Teorema de Lagrange o del valor medio Regla de L Hopital Aplicaciones de las derivadas Variación y extremos de las funciones Monotonía, máximos y mínimos 55

56 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Tabla 17b 2º Bachiller (Ciencias) Curvatura y puntos de inflexión Puntos críticos o singulares Procedimiento para analizar una función Dominio y continuidad Periodicidad Simetrías Asíntotas Cortes con los ejes y regiones Máximos, mínimos relativos y monotonía Puntos de inflexión y curvatura Gráfica Recorrido e imagen Otras aplicaciones Aplicaciones geométricas Aplicaciones del teorema de Bolzano Aplicaciones del teorema de Weierstrass Problemas de máximos y de mínimos Cálculo de funciones con condiciones Aplicaciones a otras áreas Tabla 188 2º Bachiller (Ciencias Sociales)) Derivadas. Técnicas de derivación Derivada de una función en un punto Función derivada Reglas de derivación Estudio de la derivabilidad de una función definida a trozos Aplicaciones de las derivadas Recta tangente a una curva en uno de sus puntos Información extraída de la primera derivada Información extraída de la segunda derivada Optimización de funciones Al realizar el análisis de los libros de los centros frente al libro de referencia se han observado algunas similitudes y algunas diferencias. De nuevo en el libro de referencia nos encontramos el contenido de derivadas y aplicación de derivadas en dos temas o unidades, capítulo 2 Derivadas y capítulo 3 Teorema del Valor Medio y Trazo de Curvas. Si bien la noción de derivada como razón de cambio es introducida en el Capítulo 1, Límites y Razones de Cambio A continuación para ayudar a hacer una idea del contenido del libro de referencia, en el siguiente cuadro aparece el listado de los descriptores del índice del libro: 56

57 Laura López Jiménez Tabla 19 Libro de referencia: Cálculo. James Stewart Derivadas Derivadas Fórmulas de Derivación Razones de Cambio en las Ciencias Naturales y Sociales Derivadas de Funciones Trigonométricas Regla de la cadena Diferenciación (o derivación) implícita Derivadas de Orden Superior Razones de Cambio Relacionadas Diferenciales y Aproximaciones Lineales Método de Newton Teorema del Valor Medio y Trazo de Curvas Valores Máximo y Mínimo Teorema del Valor Medio Funciones Monótonas y Criterio de la Primera Derivada Concavidad y Puntos de Inflexión Límites al Infinito; Asíntotas Horizontales Límites Infinitos; Asíntotas Verticales Trazo de Curvas Problemas de Aplicación Máximos y Mínimos Aplicaciones a la Economía Antiderivadas La principal similitud entre el libro de referencia y los libros del centro es de que todos siguen la misma estructura a la hora de introducir las nociones en el alumno, teoría y a continuación aplicación práctica de la teoría, basando el aprendizaje en la realización de ejercicios y problemas. Los puntos tratados son prácticamente los mismos que en 2º de bachiller, por lo que continuamos con el aprendizaje en espiral. Tanto en los libros de bachiller como en el de referencia se realiza una interpretación geométrica de la derivada y como tasa de variación aunque en el de referencia se emplea el término razón de cambio. También dentro del apartado trazo de curvas en el libro de referencia se vuelve a destacar las ventajas de la aplicación de todas las nociones vistas con respecto al método de marcar puntos, y se ven aplicaciones prácticas en distintas áreas como son las Ciencias Naturales y Sociales y en Economía. Las principales diferencias encontradas entre el libro universitario de referencia y los libros de texto usados en el centro, son como era de esperar la profundidad con que son presentados todos los puntos en el libro de referencia y la mayor cantidad de ejercicios y problemas. La noción de continuidad en los libros escolares se describe de una manera muy gráfica, llegando a usarse como definición en secundaria: La gráfica que se puede trazar sin levantar el lápiz del papel mientras que en bachiller y en el texto de referencia se apoya en la noción de limite. Esto es aplicable también al cálculo de las asíntotas, si en ba- 57

58 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) chiller se estudian como la posición de la función respecto a determinadas rectas en el libro de referencia se aproximan más a la noción de continuidad en el caso de verticales y oblicuas y en el caso de las asíntotas horizontales a la noción de límites al infinito. También existen diferencias en cómo son vistos la monotonía, los máximos y mínimos, la curvatura y los puntos de inflexión. En secundaria son definidos de una manera visual, como los puntos donde la gráfica de la función pasa de ser creciente a decreciente y viceversa, sin diferenciar si son relativos o absolutos ni aclarar que debe de ocurrir en un intervalo concreto. En cambio en bachiller sólo se habla de máximos y mínimos relativos en un punto y aquí ya se incide en que debe de ocurrir en un entorno del punto. Además aparte de explicarlos como puntos en los que su imagen es mayor o menor que el resto de puntos de su entorno, en este nivel se relacionan con el cambio de signo de las pendientes en los puntos que pertenecen al entorno del punto objeto de estudio. En el texto de referencia además se introducen los máximos y mínimos absolutos. Como conclusión de lo observado, en secundaria se da una visión más intuitiva de los temas analizados y en bachiller se profundiza en las nociones introducidas en los cursos previos. Llama la atención que la representación gráfica de la función sea uno de los objetivos finales en el tema de la aplicación de derivadas y no sea visto como un apoyo para la compresión del comportamiento de una función. También es de resaltar la importancia que se le da al estudio y representación de funciones dentro del este mismo tema respecto a otros puntos como son los problemas de tasa media, optimización y condiciones, muy útiles en otras disciplinas Coherencia de los libros de texto en relación con el currículo. Después de analizar los libros de texto empleados en el centro para los cursos 3º y 4º de la ESO, y 1º y 2º de bachillerato, y compararlos con el currículo vigente, se puede concluir que estos incluyen en general todos los bloques vistos salvo excepciones, como ocurre con el libro para 4º curso. Según el currículo es en este curso donde se debería introducir la idea de tasa de variación media y según se puede observar en el índice del libro de 4º de la ESO, tanto en el de la opción A como en el de la opción B, esta introducción no existía dentro de ninguno de sus capítulos (ver Anexo E) Tampoco se ven en general ni en los libros de 3º y 4º, una contextualización de los ejercicios de funciones, para que gracias a estos enunciados se facilite al alumno la interpretación de algún fenómeno a través de la representación gráfica de funciones. El departamento de matemáticas de cada centro deberá completar el programa con lo que no esté incluido en los libros de texto con la finalidad de cumplir con los mínimos exigidos por la ley. 58

59

60

61 Laura López Jiménez Parte II: Análisis de un proceso de estudio sobre las derivadas y su aplicación en 1º de bachiller 61

62

63 Laura López Jiménez Esta segunda parte está basada en el tema impartido durante el periodo de prácticas realizado en el Centro Asignado con alumnos de 1º de bachiller. En la cual, se hace un análisis didáctico de la resolución por parte de los alumnos de problemas de derivadas y aplicación de derivadas. Para ello, se divide esta parte en cuatro capítulos. En el primer capítulo se hace un análisis de cómo trata el libro los temas de derivadas y aplicación de derivadas. En el segundo capítulo, se hace mención a los problemas y errores que pueden encontrar los alumnos con este tema. En el tercer capítulo, se analiza el proceso de aprendizaje y en el cuarto capítulo se analiza la experimentación con los resultados esperados. 63

64

65 Laura López Jiménez Capítulo 5 Las derivadas y la aplicación de derivadas en el libro de texto de referencia En este capítulo se va a analizar los temas 10 y 11 del libro de 1º de bachillerato. Editorial Bruño. Matemáticas 1. Ciencias y Tecnología. Este fue el libro de texto de referencia durante el periodo de prácticas en el Centro. Para la realización de este capítulo, se usara como texto de referencia el artículo de Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la resta, de Godino, J. D., Font, V., Wilhelmi, M. R. (2006) Objetos matemáticos involucrados Para realizar el análisis de los objetos matemáticos involucrados seguiremos el artículo de referencia, en concreto el cuadro de la página 139. Tabla 20 Lenguaje Verbal - Función, variable, variable independiente, variable dependiente, función polinómica, función racional, representación, gráfica, ejes, ejes cartesianos, abscisas, ordenadas, coordenadas, función de una variable, función de dos variables, función derivada, valor de una función en un punto, recta tangente, recta normal, números reales, números complejos, recta real, dominio de definición, tramos, simetría, par, impar, signo de la función, cortes con los ejes, asíntotas, verticales, horizontales, oblicuas, límite de la función en el entorno de un punto, tendencia, asíntotas, límite, entorno, monotonía, creciente, decreciente, punto crítico, máximo, mínimo, curvatura, punto de inflexión, interpretación resultados, abscisa que minimiza o maximiza, optimización, condiciones, comprobación, Gráfico - Representaciones de las funciones en ejes cartesianos, recta tangente y recta normal, crecimiento, curvatura, figuras geométricas para resolución problemas de optimización. Simbólico -,,,,,,,,,,,,,,,,,,,í,,, 65

66 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Tabla 21 Situaciones Problemas descontextualizados en los que se pide representar determinadas funciones. Problemas descontextualizados en los que se pide representar una función polinómica conociendo las coordenadas de sus puntos críticos y el comportamiento de la función cuando variable x tiende a +/- infinito. Problemas descontextualizados en los que se pide calcular valor de coeficientes de la función, de tal forma que la función tenga un punto crítico en una determinada coordenada. Problemas contextualizados en los que se da una determinada condición que cumplen dos variables, y se pide construir una función de unas determinadas características y que depende de esas dos variables, que debe ser maximizada o minimizada. Tabla 22 Conceptos Previos - Función, coordenadas, coordenadas cartesianas, dominio, simetría (noción), puntos de cortes con los ejes máximos, mínimos, monotonía, crecimiento, decrecimiento, punto de inflexión, curvatura, pendiente, asíntotas verticales, horizontales, oblicuas y comportamiento de la función respecto a las mismas, resolución de sistemas, y conocimientos en perímetros, áreas y volúmenes. Emergentes - Estudio analítico de la simetría, optimización, condiciones, función de dos variables. Tabla 23 Procedimientos Analizar las características de una gráfica. Representar gráficamente una función, elaborando un esquema de actuación. Resolución de problemas con condiciones, elaborando un esquema de actuación. Resolución de problemas de optimización, elaborando un esquema de actuación. Descontextualización del enunciado del problema. Tabla 24a Propiedades La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto: Recta tangente: Recta normal: Operaciones: Regla de la cadena: permite calcular la derivada de la función compuesta, es decir, la derivada de una función que a su vez es función de otra función: Un máximo relativo de una función es un punto en el que la función es mayor que en los puntos que están muy cercanos, es decir, una función f(x) tiene un máximo relativo en x=a, si existe un entorno del punto a, en el que se cumple que para todo del entorno, y cumple que y 0 66

67 Laura López Jiménez Tabla 25 Propiedades Un mínimo relativo de una función es un punto en el que la función es menor que en los puntos que están muy cercanos, es decir, una función f(x) tiene un mínimo relativo en x=a, si existe un entorno del punto a, en el que se cumple que! para todo del entorno, y cumple que y "0 Una función es creciente en un intervalo dado cuando para toda x perteneciente al intervalo se cumple "0, y decreciente cuando 0 Una función tiene un punto de inflexión cuando se produce un cambio de curvatura, si este punto es cumple, y Tabla 26 Argumentos Representación gráfica de las funciones. Comprobación de las propiedades en casos particulares. Justificación de las propiedades, utilizando elementos genéricos Análisis global de la unidad didáctica. Las unidades didácticas a analizar son: tema 10, Cálculo de derivadas y tema 11, Aplicaciones de las derivadas del libro empleado durante el Prácticum II. Ambos temas se adjuntan escaneados en el Anexo A, al final de la memoria. Si realizamos el análisis de los dos temas conjuntamente, se observa que existe la siguiente estructura: 67

68 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Ilustración 58 El tema 10 se estructura de la siguiente manera: Cálculo de derivadas La derivada La función derivada Reglas de derivación Máximos, mínimos relativos y monotonía Puntos de inflexión y curvatura Todas las unidades didácticas comienzan por una página en la que siempre nos muestran una imagen. La página siguiente consta de dos partes. La primera se trata de la introducción que permite al alumno situarse. La segunda parte, que se titula organiza tus ideas, es una organización de las nociones adelantadas en la introducción. Después cada apartado principal comienza con un apartado titulado Piensa y calcula, que consiste en un ejercicio para que el alumno piense antes de ver la teoría. Estos ejercicios permiten al alumno plantearse dudas que van a ser enseguida resueltas. 68

69 Laura López Jiménez Ilustración 59 La página siguiente consta de dos partes. La primera se trata de la introducción que permite al alumno situarse. La segunda parte, que se titula organiza tus ideas, es una organización de las nociones adelantadas en la introducción. 69

70 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Ilustración 60 Cada una de las secciones del tema sigue la misma estructura: Ilustración 61 Es decir cada nuevo apartado comienza con un apartado titulado Piensa y calcula, que consiste en un ejercicio para que el alumno se enfrente a él antes de ver la teoría. Estos ejercicios permiten al alumno plantearse dudas que van a ser enseguida resueltas. 70

71 Laura López Jiménez Ilustración 62 En esa misma página y en la siguiente se desarrolla la teoría que en este caso sería la correspondiente a la derivada. Comprende las nociones de tasa de variación media, derivada de una función en un punto y la interpretación geométrica de la derivada. Las definiciones vienen recuadradas y resaltadas y vienen acompañadas de un ejemplo. A la izquierda se aprovechan los márgenes para dar un apoyo gráfico a lo que se está explicando. Ilustración 63 Al final de cada apartado aparece una tanda de ejercicios relacionados con la teoría anterior y titulada aplica la teoría. 71

72 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Ilustración 64 El siguiente apartado La función derivada se desarrolla también en dos páginas, y sigue la misma estructura. Aquí se introducen la Continuidad y derivabilidad y La función derivada. Los márgenes son aprovechados para, mediante la representación de gráficas, ayudar a la compresión de lo explicado, y también para resaltar ideas importantes a través de cuadros en azul, como en el caso de la ilustración 65, que es una aclaración sobre la existencia de la derivada. Ilustración 65 El tercer apartado, Reglas de derivación que contiene Tablas de derivadas, Regla de la cadena, Aplicación de las reglas de derivación y Derivadas sucesivas, sigue la misma estructura anteriormente explicada y acaba con un gran número de ejercicios propuestos para que el alumno practique con todo tipo de funciones. En esta ocasión de nuevo se añaden anotaciones en los márgenes con ideas importantes e incluso indicaciones de errores habituales. 72

73 Laura López Jiménez Ilustración 66 El cuarto apartado, Máximos, mínimos relativos y monotonía ocupa otras dos hojas, como ya se comentó, explican los máximos y mínimos relativos en un punto apoyándose en gráficas en los márgenes izquierdos. Dan la definición basada en la idea de entorno del punto para posteriormente dar un procedimiento para poder calcularlos. Con la monotonía hacen igual, dan una definición y posteriormente indican un procedimiento para poder estudiarla para una función en concreto. Este apartado termina de nuevo con ejercicios para que apliquen la teoría. Ilustración 67 El siguiente y último apartado de esta unidad es el de puntos de inflexión y curvatura, en el que se sigue el mismo esquema, definición de punto de inflexión, procedimiento para calcularlos y lo mismo con la curvatura. También en esta ocasión emplean de apoyo las gráficas de la izquierda. Se completa este apartado con el estudio de puntos críticos o singulares cuando la segunda derivada no es ni positiva, ni negativa, sino cero. En esta ocasión se hace igual, se realiza definición, se da un procedimiento y a continuación unos ejercicios para que practiquen. La siguiente sección se titula Profundización: demostraciones, en esta sección se realizan demostraciones de la derivada de la suma de dos funciones, la derivada del pro- 73

74 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) ductos de dos funciones, la derivada de un cociente, la derivada de la función exponencial y la derivada de la función seno. A continuación comienza otra sección que se titula Ejercicios y problemas en la que aparecen ejercicios similares a los vistos durante el desarrollo del tema, catalogados en los mismos apartados: la derivada, la función derivada, reglas de derivación, máximos, mínimos relativos y monotonía y puntos de inflexión y curvatura. Después dentro de esta misma sección, aparece otro apartado titulado para ampliar en donde aparecen ejercicios similares pero esta vez sin catalogar, aunque siguiendo el mismo orden cronológico que durante el desarrollo del tema. Finalmente esta sección acaba con el apartado de problemas en el que vuelven a aparecer enunciados sin catalogar pero siguiendo el mismo orden cronológico y de dificultad similar. Finalmente el tema termina con ejercicios para resolver con los programas informáticos Wiris para Linux/Windows o Derive de Windows. Comentar que la mayor parte de los ejercicios presentados en este tema son ejercicios o problemas descontextualizados. El tema 11 se estructura de la siguiente manera: Aplicaciones de las derivadas Representación de funciones polinómicas Representación de funciones racionales Problemas con condiciones Aplicaciones de las derivadas a otras áreas Problemas de optimización La metodología es la misma, es decir portada, contraportada con introducción del tema y organización de las ideas, apartados desarrollados en varias páginas y terminados con ejercicios de aplicación sobre la teoría explica, y termina de la misma forma que el anterior capítulo es decir con una sección de ejercicios y problemas, donde en la primera parte vienen catalogados por apartados, en la segunda parte aparece una colección de problemas de similar dificultad pero sin catalogar y por último aparecen los problemas a resolver con los dos programas informáticos Wiris y Derive. Comentar que cada apartado comienza con un piensa y calcula que en general ayuda al estudiante a situarse en el tema y a tener preguntas, y todos los apartados aparecen soportados con gráficas en los márgenes situados a la izquierda. Durante la planificación de las sesiones se acordó con la tutora no explicar el apartado cuarto de aplicaciones de las derivadas a otras áreas por no considerarlo adecuado a las características del grupo. Resaltar que en este tema, el único apartado donde el libro contextualiza todos los problemas y ejercicios es en el último problemas de optimización. Añadir que precisamente en este último se hace un recordatorio sobre el cálculo de perímetros, longitudes y áreas en el plano, así como de áreas y volúmenes en el espacio, necesario para poder resolver los problemas y ejercicios de esta sección. 74

75 Laura López Jiménez 5.3. Otros aspectos relevantes. La unidad didáctica 10 fue dada íntegramente por mi tutora durante el primer periodo del prácticum II, en el que yo estaba de observadora. Durante este tiempo anoté los errores y dificultades que más se repetían entre los alumnos. Estas anotaciones me sirvieron de base para realizar el concurso de repaso de esa unidad 10. Este concurso fue un éxito en cuanto a la motivación con la que acudieron los alumnos, aunque resultó un poco frustrante por la mala puntuación obtenida pero esto sirvió para incidir en la siguiente sesión en los puntos que más les costaba. La unidad didáctica 11 la impartí íntegramente a lo largo de 7 sesiones. En el anexo B adjunto el material que emplee en clase para su exposición así como los ejercicios del libro que les pedíamos resolver para que pusieran en práctica lo visto en clase. Las gráficas que aparecen y sirven de apoyo para la visualización de los distintos conceptos están realizadas con el programa informático Geogebra. Comentar en este punto que he observado un mejor seguimiento por parte de los alumnos a las explicaciones realizadas con pizarra y tiza que con las proyecciones. 75

76

77 Laura López Jiménez Capítulo 6 Dificultades y errores previsibles en el aprendizaje de la unidad didáctica. En este capítulo se recogerán los errores y dificultades esperados y observados en el alumno a la hora de enfrentarse a estas dos unidades didácticas (derivadas y aplicación de derivadas) Dificultades. Del tema 10, derivadas, la primera dificultad que esperaba es la compresión de la expresión de función derivada y su particularización para un punto en concreto. Durante las clases comprobé que efectivamente la noción presentaba dificultades para ellos pero, en particular me llamó la atención que dada una función concreta, la dificultad de calcular la función derivada fuera que no sabían hallar #$%. La segunda dificultad esperada y comentada durante la asignatura del máster aprendizaje y enseñanza de las matemáticas, es la dificultad que tienen los alumnos para operar con números racionales e irracionales. Esto lo pude comprobar ya que les suponía un gran esfuerzo transformar funciones racionales e irracionales en exponenciales con exponentes negativos o racionales y a partir de la nueva función aplicar la regla para la derivada de una exponencial. Una tercera dificultad esperada es la aplicación adecuada de las reglas de derivación o las propiedades de las derivadas. Pude comprobar que les costaba menos aplicar la derivada de un cociente de funciones o la de la función racional, en cambio les costaba aplicar la regla de la cadena. Comentar que una vez aprendida una regla tenían tendencia a aplicarla independientemente de que fuese la solución más sencilla, como ejemplo ilustrativo: & 3$( 5 4 En funciones de este tipo aplicaban la propiedad del cociente de funciones en lugar de la regla para funciones polinómicas. 77

78 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) En cambio no esperaba que fueran a tener problemas con la ecuación de la recta tangente o normal ni con la ecuación de la recta conocidos dos puntos de esta, tal y cómo pude comprobar en la corrección de uno de los cuestionarios. Dentro ya del tema 11, en la parte de la representación de funciones, no esperaba que fueran a tener problemas para entender el corte de la función con los ejes así cómo interpretar su signo. Tampoco esperaba que dentro de esta misma parte, dentro del estudio de la monotonía fueran a tener dificultades a la hora de observar el signo que toma la función derivada dentro del intervalo de interés, para obtener el signo, necesitaban coger un número y operar con la calculadora. En cambio sí que esperaba que dentro del apartado cálculo de una función con condiciones no supieran cómo resolver un sistema formado por dos ecuaciones y dos incógnitas. El origen de esta dificultad estriba en la enseñanza parcelada de las matemáticas. En cambio este tema relaciona distintas herramientas vistas en distintas áreas de las matemáticas. Dentro de los problemas de optimización esperaba, tal y cómo habíamos comentado durante las clases teóricas, que les supusiese una dificultad trabajar con variables distintas a "$" e "&", y me sorprendió que no tuviesen problemas con las formas de llamar a las incógnitas. En cambio me sorprendió que no entendieran dentro de este mismo tipo de problemas de optimización la expresión maximizar o minimizar, por ejemplo encuentra el lado del rectángulo que maximiza el área., cuando hasta ese momento dominaban el cálculo de los máximos y mínimos de una función. La explicación a este problema puede ser por la descontextualización de todos los problemas y ejercicios realizados antes de llegar a este apartado Errores y su posible origen. El principal error encontrado es que no sabían operar con soltura cuando trabajaban con variables genéricas ni cuando tenían que operar con paréntesis y/o con fracciones, es decir no tenían destreza con las propiedades básicas de los números. El origen del error puede ser las circunstancias especiales del grupo de 1º de bachiller, son alumnos repetidores, que han tenido problemas en los cursos previos de matemáticas y no han adquirido esa destreza en el cálculo. Tenían problemas para comprender que cuando la solución era una raíz de un número negativo, no era una solución válida para nosotros. El posible origen puede estar en el tema 10 porque habían visto durante el curso los números complejos y pensaban que aquí también se podían aceptar como solución, pero en el tema 11 el error viene de no realizar la conexión dentro de los distintos puntos del estudio de la función. Por ejemplo cuando hallaban el dominio y el recorrido lo estaban haciendo dentro de los números 78

79 Laura López Jiménez reales por lo que las soluciones de los máximos y los mínimos deberían de formar parte del mismo conjunto. Otro error muy común era que cuando tenían que igualar a 0 una fracción de la siguiente forma: 4 $ ( 1 para encontrar sus raíces, igualaban a 0 el denominador. El posible origen es el que se ha comentado en numerosas ocasiones en la asignatura aprendizaje y enseñanza de las matemáticas, y es que piensan que siempre tiene que haber una solución, por lo que aquí forzaban a que la hubiera, sin respetar las reglas. 79

80

81 Laura López Jiménez Capítulo 7 El proceso de estudio En este apartado, de acuerdo con la planificación realizada con mi tutora asignada en el centro, Merche Lleyda, se detallarán las 10 sesiones que impartí. 7 se corresponden al tema de aplicación de las derivadas, 2 a repaso del primer tema, y la última que es un repaso más enfocado a resolver dudas del segundo tema Distribución del tiempo de la clase. Por tratarse de bachiller nocturno las clases tenían una duración de 45 minutos, mi grupo asignado era el correspondiente a 1º de bachiller, opción ciencias. El material adicional y de repaso empleado se adjunta respectivamente en los anexo B y C. En la siguiente tabla se recoge la distribución del tiempo en las distintas sesiones. Tabla 27 Nº sesión 1 Actividad Tiempo Responsable Recordatorio de lo visto durante el curso para la representación de funciones (asíntotas). Ejemplo libro página 274. Empleo de las herramientas adquiridas durante la unidad anterior (nº10) para la búsqueda de las coordenadas exactas de los puntos críticos. Estudio de monotonía y curvatura. Introducción del tema. Formulario para poder realizar la representación de funciones racionales. Tarea para casa. Breve explicación. Página 284, nº 29. Tipo de docencia 15 Compartida Dialógica 15 Compartida Dialógica 10 Profesor Magistral 5 Profesor Dialógica Tabla 28 Nº sesión 2 Actividad Tiempo Responsable Tipo de docencia Corregimos tarea de casa 20 Compartida Dialógica Representación de funciones polinómicas (mismo formulario) 20 Compartida Dialógica ejemplo página 272 Planteamiento tarea para casa. Función polinómica, página 5 Profesor Magistral 273 nº2. 81

82 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Tabla 29 Nº sesión 3 Actividad Tiempo Responsable Tipo de docencia Corregimos tarea de casa 10 Compartida Dialógica Realización de repaso con powerpoint de lo visto hasta 10 Compartida Dialógica ahora Planteamiento tareas para casa. Función polinómica, página 273 nº4. Función racional, 15 Compartida Dialógica página 275, nº9. (no da tiempo a acabarlos) Tabla 30 Nº sesión 4 Actividad Tiempo Responsable Corregimos tareas de casa de una manera ligera, sin profundizar mucho, viendo resultados o puntos conflictivos. Introducción nuevo punto, problemas con condiciones. Se les muestra a través de un ejemplo de la página 276. Planteamiento de tareas para casa página 277, nº10 y 12 y página 284, nº 30 y 32. Tipo de docencia 15 Compartida Dialógica 15 Compartida Dialógica 15 Compartida Dialógica Tabla 31 Nº sesión 5 Actividad Tiempo Responsable Recordamos fecha examen, y explicamos planning de los temas que quedan. Esquema de los puntos a seguir para resolver este tipo de ejercicios. Tipo de docencia 5 Profesor - 10 Profesor Magistral Corregimos tareas de casa. 15 Compartida Dialógica Planteamiento de tarea para casa. Función racional página 275, nº 8 15 Compartida Dialógica 82

83 Laura López Jiménez Tabla 32 Nº sesión 6 Actividad Tiempo Responsable Corregimos la tarea de casa de una manera ligera, viendo dificultades Introducción problemas de optimización. Primero con un ejemplo, entre todos. Esquema de los puntos a seguir para resolver este tipo de ejercicios. Reparto de tareas para casa, ver anexo, y página 281, nº 18 y 20, y página 288, nº 79. Introducción áreas y volúmenes, necesarios para resolver este tipo de ejercicios Tipo de docencia 5 Compartida Dialógica 15 Profesor Dialógica 10 Profesor Dialógica 10 Profesor Dialógica Planteamiento tareas para casa. 5 Profesor Dialógica Tabla 33 Nº sesión 7 Actividad Tiempo Responsable Planteamos entre todos problemas de optimización mandados para hacer en casa. Mandamos estudio de funciones página 275, nº6 y página y página 284, nº 24. Les explicamos que el repaso de la unidad 10 se va a realizar a través de un concurso. Para poder afrontarlo tienen que repasar la ecuación de una recta y recta tangente y normal a una función en un punto. Tipo de docencia 40 Compartida Dialógica 10 Profesor Dialógica 5 Profesor Dialógica Tabla 34 Nº sesión 8 Actividad Tiempo Responsable Realización del concurso repaso por equipos. 45 Compartida entre los alumnos de cada equipo Tipo de docencia Dialógica 83

84 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Tabla 35 Nº sesión 9 Actividad Tiempo Responsable Tipo de docencia 5 Profesor Dialógica 15 Profesor Dialógica Breve explicación para aclarar preguntas relacionadas con la ecuación de una recta y la ecuación de la recta tangente y normal a una función en un punto. Dados los malos resultados permitimos revancha. Los alumnos que no vinieron el día del concurso han de realizarlo solos. Corrección del repaso-concurso. 22 Profesor Dialógica Les comunicamos que dados los malos resultados, cambiamos el repaso que teníamos planeado de la unidad 11. Si no quieren tener el examen el día 10 tendrán que traer en la siguiente sesión dudas. 2 Profesor - Tabla 36 Nº sesión 10 Actividad Tiempo Responsable Tipo de docencia Resolución dudas 25 Profesor Dialógica Corrección tareas sesión 7 20 Profesor Dialógica Tabla 37 Sesión de Evaluación Tipo Tiempo Responsable Tipo de docencia Evaluación 55 Alumnos Constructivista 7.2. Actividades adicionales planificadas. Todas estas actividades fueron previamente planificadas y consensuadas con la tutora asignada en el centro. Una actividad adicional que se planificó para completar el libro de texto fue el concurso repaso que tuvo lugar durante dos sesiones. Con esta actividad se buscaba que los alumnos se interesasen por las matemáticas a través de una competición así como fomentar el trabajo en equipo. En este repaso se trataban los puntos más importantes de la unidad 10 y además se hacía hincapié en las dificultades y errores que había detectado durante mi etapa como observadora. Esta actividad adicional se puede encontrar en el Anexo C de esta memoria. La segunda actividad adicional fue el empleo de gráficas realizadas con el programa Geogebra para la presentación del tema. De esta forma los alumnos tenían que realizar 84

85 Laura López Jiménez un ejercicio inverso, es decir a partir de una gráfica de una función decir cuáles eran las asíntotas, cuales los puntos de corte, determinar los intervalos de crecimiento, etc. Estas gráficas pueden observarse en el Anexo B. En este punto añadir que me hubiera gustado poder desarrollar alguna actividad con el Geogebra en la sala de ordenadores, pero no encajaba esta posibilidad dentro de la programación. La tercera actividad adicional fue la búsqueda de ejercicios y problemas de optimización en otras fuentes distintas a las del libro. Estos enunciados se pueden encontrar en el Anexo B La tarea: actividad autónoma del alumno prevista. A continuación se adjunta tabla en la que se realiza una estimación del tiempo a invertir por cada alumno después de cada sesión. Tabla 38 Sesión Tipo Tiempo Estimado Relación con el proceso de enseñanza aprendizaje Sesión Estudio personal 20 minutos Refuerzo 1 Ejercicio 30 minutos Aplicación Sesión 2 Sesión 3 Sesión 4 Sesión 5 Sesión 6 Sesión 7 Sesión 8 Estudio personal 20 minutos Refuerzo Ejercicio 30 minutos Aplicación Ejercicios 60 minutos Refuerzo Estudio personal 10 minutos Refuerzo Ejercicios 40 minutos Aplicación Repaso de ejercicios de clase 30 minutos Refuerzo Estudio personal 10 minutos Refuerzo Ejercicios 60 minutos Aplicación Repaso de ejercicios de clase 60 minutos Refuerzo Estudio personal 60 minutos Refuerzo 85

86

87 Laura López Jiménez Capítulo 8 Experimentación. En este capítulo, vamos a analizar la experimentación que se nos permitió realizar con los alumnos a los que les impartimos clase. Por un lado realizamos un concurso con preguntas sobre la primera unidad y por otro lado realizamos un examen sobre las dos unidades impartidas. Ambas actividades fueron supervisadas por la tutora asignada en el centro. Para ello definiremos la muestra y analizaremos el diseño de los dos experimentos que se nos permitió realizar. Tras esto comentaremos tanto el cuestionario del concurso como el examen. Posteriormente analizaremos los comportamientos esperados. Posteriormente veremos los resultados reales obtenidos para finalmente discutir sobre si los resultados obtenidos, coinciden con los esperados Método La evolución de una teoría en didáctica de las matemáticas puede determinarse por el contraste entre un análisis a priori y un análisis a posteriori. La teoría busca validar las hipótesis que formula (a priori). Los hechos observados permiten (a posteriori) validar o refutar, total o parcialmente, las hipótesis enunciadas. La ingeniería didáctica (Artigue, 1989) permite abordar el contraste experimental necesario, que permita determinar condiciones de reproducibilidad de situaciones didácticas. Aquí, las variables didácticas actúan de contraste o reactivo que permiten de manera controlada provocar en los sujetos modificaciones en sus estrategias de acción para adaptarlas al medio. El estudio de la adecuación de las variables didácticas para determinar cambios en las estrategias de acción representa un instrumento de validación interna de las conclusiones que puedan extraerse de una observación concreta. En estas condiciones, se puede definir una situación reproducible; es decir, en condiciones similares, con un control del medio, la construcción del conocimiento pretendido será la misma. La cuestión de la reproducibilidad de las situaciones incide sobre la fiabilidad de las observaciones y, sobre todo, sobre su validez. La fiabilidad presupone una estabilidad en el funcionamiento del sistema didáctico; el contraste repetido entre el análisis a priori y el análisis a posteriori permite hacer evolucionar las condiciones del medio (incluidas las intervenciones del profesor) que garanticen la construcción del saber pretendido, de tal manera que la situación devenga reproducible. Es entonces cuando su validez puede ser aceptada, puesto que la situación es exitosa y aplicable de manera estable. 87

88 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) En este trabajo, la parte I las derivadas y su aplicación en el currículo vigente y en los libros de texto constituye el estudio previo de la dimensión de enseñanza, desde una perspectiva eminentemente institucional; a saber: 1. El contenido matemático en el currículo vigente, incluidas las orientaciones y criterios de evaluación. 2. El desarrollo de estas directrices oficiales en los libros de texto escolares. Este estudio precede al análisis a priori realizado en los capítulos 5, 6 y 7, donde se abordan las dimensiones: Epistemológica: las matemáticas presentes en la unidad didáctica objeto de estudio. Cognitiva: dificultades y errores de los estudiantes en el aprendizaje de la unidad didáctica. De enseñanza: descripción del proceso de estudio implementado. En el capítulo 8, este análisis a priori es contrastado con los resultados de la experimentación, permitiendo una valoración de los mismos basada en las expectativas previas (discusión de los resultados), que supone la fase última del método de la ingeniería didáctica Muestra y diseño de la experimentación. Quisiera destacar las circunstancias especiales de los alumnos que a mi modo de entender afectan al nivel de seguimiento de la asignatura. Se trata de alumnos en su mayoría repetidores, y algunos de ellos están trabajando. Sólo hay una clase de 1º de bachiller y tiene una asistencia regular de unas 8 personas aproximadamente, por lo que el tamaño de la muestra, que es de 6 alumnos en el caso del concurso y de 8 alumnos en el caso del examen, no se puede considerar representativa. Es un grupo heterogéneo, perteneciente en su mayoría a un estrato de clase media, muchos de ellos son mayores de edad, algunos están trabajando por las mañanas o los fines de semana, hay una minoría alumnos extranjeros de nacimiento pero han asimilado correctamente la lengua castellana. No hay problemas de comportamiento ni de seguimiento de la asignatura en el aula, aunque sí hay problemas de responsabilidad, en cuanto a que se recomienda la realización de tareas en casa (ver apartado 7.3) y muy pocos son los alumnos que reconocen haberlas hecho. El objetivo principal de este estudio es observar la aplicación de las derivadas por los estudiantes El cuestionario. Ambas pruebas estuvieron condicionadas por el calendario y por el transcurso normal de la clase y fueron consensuadas con la tutora asignada en el centro. 88

89 Laura López Jiménez El cuestionario del concurso, estaba enfocado para ayudar al estudiante a observar sus principales errores y afrontar las dificultades más comunes. Constaba de 10 preguntas y todas ellas eran del tema 10 y no formaba parte de la nota final. Se agrupó a los 6 alumnos en dos equipos, teniendo especial cuidado en formar equipos de niveles similares. El cuestionario se adjunta en el anexo C. El examen era de los dos temas, 10 y 11, constaba de 4 apartados y formaba parte de la nota final. El examen se adjunta en el anexo D Cuestiones y comportamientos esperados. En esta sección se analizarán las cuestiones planteadas tanto en el concurso como en el examen final y los comportamientos esperados, partiendo de la base de que algunos alumnos cometerán los errores y las dificultades comentadas en el capítulo 6 de esta memoria. Antes de comenzar con ellas, señalar dos comportamientos genéricos esperados, que a mi modo de ver eran esenciales para la buena marcha del cuestionario-concurso, como son: Motivación por parte de los alumnos a la hora de realizar el concurso. Realización de la actividad previa recomendada, repaso de ecuaciones de recta genérica y recta tangente y normal en un punto a una función. Las cuestiones que se les plantea y sus comportamientos esperados son las siguientes: Concurso La primera cuestión que se les plantea a los alumnos es que interpreten la expresión que permite obtener la función derivada de una función. El objetivo de esta pregunta era que se fijasen en la escritura matemática de la misma y que entendiesen su significado matemático y geométrico. El comportamiento esperado después de las explicaciones dadas en clase era que al menos el significado matemático si lo supieran explicar. La variable que pretendería estudiar aquí sería: V01-manejo de la expresión algebraica de la función derivada. Con la segunda cuestión se les pide que calculen sólo un término de la anterior definición para una función dada, ya que como hemos explicado en el capítulo 6, tenían problemas con las operaciones algebraicas. Tras las explicaciones realizadas en clase esperábamos que esta pregunta no supusiera un problema. La variable que pretendería estudiar aquí sería la misma que en el punto anterior: V01-manejo de la expresión algebraica de la función derivada 89

90 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) En la tercera pregunta se les solicita escribir la expresión de la derivada en un punto, dado que en la primera pregunta les facilitábamos la expresión de la función derivada, esperábamos que no les costara particularizarla para un punto cualquiera, por ejemplo $ -. La variable que pretendería estudiar aquí sería la misma que en el punto anterior: V01-manejo de la expresión algebraica de la función derivada La cuarta pregunta pide describir lo que está ocurriendo en una gráfica realizada con el programa informático Geogebra en la que se representa una función parabólica y tres rectas dos secantes y una tangente. El objetivo de esta pregunta era que practicasen con la obtención de las ecuaciones de la recta dados dos puntos y que observasen la relación entre las pendientes de las rectas secantes y la de la recta tangente. Para ello se les recordó el día de antes del concurso que tenían que repasar esta parte en casa. El comportamiento esperado era que fueran capaces de sacar las ecuaciones de las tres rectas y que fueran capaces de entender el significado geométrico de la función derivada. Las variables que pretendería estudiar aquí serían: V02-manejo de las ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos y V03-manejo de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto Con la quinta cuestión, en la que se solicita identificar las rectas tangente y normal en un punto dado de una función conocida, se busca que practiquen con la obtención de las ecuaciones de ambas rectas. El comportamiento esperado era que fueran capaces de obtener ambas. Las variables que pretendería estudiar aquí serían: V03-manejo de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto y V04-manejo de la ecuación de la recta normal a una función en un punto. En la sexta cuestión se les pide que transformen dos funciones genéricas, una racional y la otra irracional, en exponenciales y que calculen su derivada como la derivada de una función exponencial, ya que durante las clases se había observado que les costaba trabajar de esta forma. El comportamiento esperado es que les costase ya que sí que se les había explicado con funciones concretas pero no lo dominaban y el salto a funciones genéricas podía presentarles dificultad. Las variables que pretendería estudiar aquí serían: V05-manejo de las funciones exponenciales (exponentes negativos y racionales) y V06-la aplicación de la regla de derivación correspondiente. La séptima pregunta persigue que se den cuenta del significado de la letra u que aparece en las tablas de derivadas del libro, para que se den cuenta qué tipo de funciones se les puede pedir que deriven en el examen. El comportamiento esperado es que fueran capaces de poner la mayor parte de los ejemplos. La variable que pretendería estudiar aquí sería: V07-interpretación algebraica. En la octava cuestión se les pide en el apartado a) derivar dos tipos de funciones con las que se ha observado que tienen problemas, la primera es una polinómica que siempre confunden con un cociente de funciones y la segunda, es un producto de funciones y en una de ellas tienen que aplicar la regla de la cadena. En el segundo apartado se pretende que operen con paréntesis y fracciones, ya que durante mi etapa como observadora aprecie errores con este tipo de ejercicios. El comportamiento esperado es que los dos 90

91 Laura López Jiménez grupos fueran capaces de realizar correctamente las operaciones ya que en la formación de los grupos se puso especial cuidado en que estuviesen integrados por persona con distintas habilidades. Las variables que pretendería estudiar aquí serían V06-la aplicación de la regla de derivación correspondiente y V08-facilidad para la realización de operaciones numéricas. Con la novena pregunta se pretendía que conectaran con la parte de monotonía y máximos y mínimos, del tema 11 y vieran la relación con la exigencia de que la derivada en un punto que es máximo o mínimo sea igual a 0. También se buscaba que el alumno se familiarizara con la expresión maximizar. El comportamiento esperado es que fueran capaces de ver los signos de las pendientes de las rectas y calcular la ecuación de la recta tangente. La variable que pretendería estudiar aquí sería: V03-manejo de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto. En la decima y última cuestión se les pide que establezcan una correspondencia entre los distintos métodos vistos en clase y su objetivo. El comportamiento esperado es que sean capaces de establecer esa correspondencia. La variable que pretendería estudiar aquí sería: V09-compresión o identificación metodología o procesos Examen La primera cuestión que se les plantea a los alumnos es que apliquen la definición de derivada para calcular la función derivada de una función concreta y que la particularicen para un punto dado. A continuación se les solicita las ecuaciones de las rectas tangente y normal. El comportamiento esperado tras las explicaciones dadas en clase y la corrección del cuestionario es que la mayoría de ellos fueran capaces de contestar correctamente a esta primera pregunta. Las variables aquí serían: V01-manejo de la expresión algebraica de la función derivada y V03-manejo de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto y V04-manejo de la ecuación de la recta normal a una función en un punto. En la segunda pregunta se les pide que apliquen las reglas de derivación para la función exponencial a 4 funciones, racionales e irracionales. El comportamiento esperado tras las explicaciones dadas en clase y la corrección del cuestionario es que la mayoría de ellos fueran capaces de contestar correctamente a esta segunda cuestión. En este caso las variables serían: V05-manejo de las funciones exponenciales (exponentes negativos y racionales) y V06-aplicación de la regla de derivación correspondientes. En la tercera cuestión se les solicita que apliquen reglas de derivación y que simplifiquen cuando sea necesario. El comportamiento esperado es que sean capaces de contestar correctamente a la aplicación de las reglas de derivación de la mayoría de apartados y que tuviesen problemas a la hora de simplificar, por ello se desglosaba la puntuación de cada uno de los apartados teniendo en cuenta ambas cosas. Las variables en esta ocasión serían: V06-aplicación de la regla de derivación correspondientes y V08-facilidad para la realización de operaciones matemáticas. 91

92 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) En la cuarta pregunta se les solicita la representación gráfica de una función concreta. El comportamiento esperado es que tengan problemas con las asíntotas, a pesar de haber corregido un ejercicio similar el día de repaso del último tema, pero que no tuvieran problemas para el resto de apartados, también esperábamos que hubiese correspondencia entre los resultados analíticos y su representación gráfica.v10-coherencia entre resultados analíticos y representación gráfica de funciones. En la quinta cuestión se les plantea un problema de optimización El comportamiento esperado es que les costase entender el enunciado y plantear el problema, para ello habíamos acordado que durante el examen les íbamos a decir si estaba bien planteado o no lo estaba. Pero que no iban a tener problema en su resolución. V11-compresión lectora y planteamiento problemas Resultados. Tal y cómo comentaba al comienzo de este capítulo el tamaño de la muestra que pude observar hace que los resultados obtenidos no sean representativos, por lo que voy a realizar una enumeración de las variables apuntadas en el apartado 8.4 y explicar en general los resultados obtenidos y también indicaré los resultados observados durante la explicación de la materia. V01-manejo de la expresión algebraica de la función derivada. De los 8 alumnos sólo tres aplicaron en el examen correctamente la definición. V02-manejo de las ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos. Durante la ejecución del concurso ningún equipo manejó correctamente las ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos. Tras el repaso específico que se realizó tras su corrección los dos equipos fueron capaces de obtener correctamente las ecuaciones de las rectas solicitadas. V03-manejo de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto. Durante el concurso ningún equipo manejó correctamente la ecuación de la recta tangente a la función dada en el punto solicitado. Tras el repaso específico sólo un equipo resolvió correctamente el ejercicio. En el examen miembros de los dos equipos resolvieron correctamente el ejercicio en el que había que aplicar este conocimiento. V04-manejo de la ecuación de la recta normal a una función en un punto. Durante el concurso ningún equipo manejó correctamente la ecuación de la recta tangente a la función dada en el punto solicitado. Tras el repaso específico sólo un equipo resolvió correctamente el ejercicio. En el examen miembros de los dos equipos resolvieron correctamente el ejercicio en el que había que aplicar este conocimiento. V05-manejo de las funciones exponenciales (exponentes negativos y racionales) Durante el concurso aunque ambos equipos fueron capaces de transformar las funciones racionales e irracionales en exponenciales con 92

93 Laura López Jiménez exponentes negativos o racionales, ninguno supo aplicar correctamente la regla de derivación correspondiente. En el examen sólo un alumno hizo correctamente dos apartados del ejercicio en el que se solicitaba aplicación de estos conocimientos. V06-la aplicación de la regla de derivación correspondiente. Sólo un par de alumnos supieron aplicar correctamente las reglas del cociente de funciones y de funciones irracionales. V07-interpretación algebraica. Durante el concurso sólo un equipo supo resolver correctamente el ejercicio en el que se solicitaba este tipo de conocimiento. V08-facilidad para la realización de operaciones numéricas. Durante el concurso sólo uno de los dos grupos sabe operar correctamente. V09-compresión o identificación metodología o procesos. Ambos grupos saben identificar correctamente los procesos descritos en el concurso en la última pregunta. V10-coherencia entre resultados analíticos y representación gráfica de funciones. En el examen sólo un alumno realiza correctamente todos los pasos contemplados en el formulario dado en clase necesarios para la obtención de la representación gráfica de la función. Otros 3 siguen los pasos pero no los aplican correctamente, no existiendo coherencia entre lo obtenido y lo representado. V11-compresión lectora y planteamiento problemas. En el examen sólo un alumno plantea correctamente el problema. La mayor parte de ellos no lo llegan ni a intentar. En cuanto a la impartición de las clases observé: Que los alumnos no tomaban apuntes durante la exposición proyectada. Están acostumbrados a la técnica del dictado. Falta de implicación por parte de los alumnos. En varias sesiones se mandaron tareas para casa pero muy pocos eran los que las realizaban. Buena predisposición para hacer el concurso Discusión de los resultados. Una vez resumidos en el apartado anterior los resultados obtenidos y comparados estos con los resultados esperados, podemos concluir que existe una gran diferencia entre ambos. En cuanto a la actividad del concurso-repaso, por un lado se cumplió mi expectativa de alta motivación e implicación por parte de ellos, pero por otro los resultados demuestran que no hubo un estudio previo en casa, a pesar de que se advirtió que era necesario. Esto 93

94 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) lo constata el hecho de que una vez se les recuerda la ecuación de la recta dados dos puntos y la ecuación de la recta tangente y normal a la función en un punto y se les da una segunda oportunidad para volver a realizar los tres ejercicios relacionados con estos objetos, se obtiene una mejor puntuación final. Este mal resultado inicial se podía haber evitado con algún tipo de bonificación en la nota del examen final. Los malos resultados tanto en el concurso como en el examen de: V05 y V06 responde a que a los alumnos les cuesta trabajar con exponentes racionales y negativos y a la dificultad que tienen para aplicar las reglas de derivación. V08, responde a la dificultad que tienen los alumnos para realizar operaciones numéricas. V10, en la resolución de la cuarta pregunta del examen, representación gráfica de la función, lo que más me llamó la atención, fue la incoherencia que había en los exámenes entre los resultados analíticos y la representación gráfica. V11, esta variable corresponde a la quinta pregunta del examen. La explicación a la falta de respuestas a esta pregunta es que muchos alumnos venían presuponiendo que no iban a ser capaces de resolverlo, ya que durante su impartición en clase fueron numerosas las quejas en cuanto a la dificultad de este tipo de problemas. En cuanto a la impartición de las clases concluyo que se pueden emplear las proyecciones para hacer resúmenes de una forma más rápida que empleando la pizarra pero que si esta técnica se emplea para impartir clases habría que completarla con la entrega de la teoría en papel, para facilitarles el estudio en casa los puntos vistos en clase. En cuanto a la falta de responsabilidad por parte del alumno, esta puede tener múltiples causas, desmotivación hacia la asignatura, esto puede venir por la falta de contextualización de los ejercicios vistos en clase por lo que es más difícil encontrar por ellos mismos la utilidad de los nociones vistas durante la unidad didáctica, otra explicación es que no obtienen recompensa directa, es decir, ni con la realización de la tarea para casa ni con el concurso obtienen bonificación para el examen por lo que al final la realización o no de los mismos es una decisión personal de cada alumno. 94

95 Laura López Jiménez Síntesis, conclusiones y cuestiones abiertas. Síntesis Con este trabajo fin de máster se ha pretendido hacer un análisis del tema derivadas y aplicación de las derivadas en 1º de Bachiller, desde el punto de vista del alumno. Para ello se ha realizado en la primera parte, para únicamente estas dos unidades didácticas, un análisis del currículo vigente así como un estudio acerca de cómo los libros de textos empleados en el centro en los cursos 3º, 4º de la ESO y 1º y 2º de bachiller, cumplen con la legislación actual. En la segunda parte de este trabajo, se ha analizado el caso concreto de 1º de Bachiller, opción Ciencias, y cómo afrontan los alumnos los problemas que se encuentran en estos dos temas. Analizando dos pruebas que los alumnos realizaron y extrayendo las conclusiones que nos fue posible tanto de ellas como de las clases impartidas. Conclusiones Como primera conclusión es la predisposición que alcanzan los alumnos ante la novedad, como ha sido el caso de la realización del concurso-repaso. A pesar de los malos resultados obtenidos, creo que es algo que podría funcionar con algunas mejoras, como por ejemplo que la puntuación obtenida cuente para la nota del examen final, o realizar varios concursos durante el curso con los mismos equipos para normalizarlo en cierta forma. La segunda conclusión es la necesidad de detectar desde el inicio los errores más frecuentes y comunes como eran en este caso los problemas que tenían para realizar operaciones numéricas, ya que para afrontar correctamente este tema es necesario que el alumno tenga cierta soltura a la hora de realizar simplificaciones. Como tercera conclusión apuntar que estas unidades dejan de manifiesto el problema que hay con a la atomización de contenidos, ya que es un tema que se nutre de otras áreas de las matemáticas como son la geometría, el análisis, la teoría de números o el álgebra. Y durante mi observación e impartición de las clases pude constatar que les es difícil relacionar o asociar conceptos. La cuarta conclusión es la observación de una dejación por parte del alumno a la hora de hacer actividades o tareas en casa. Considero que la principal causa como ya apuntaba en apartados anteriores es que en este centro al menos, en bachiller sólo puntúa la nota de los exámenes y no las actividades extra que se les manda a los alumnos. Es un salto 95

96 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) que se da respecto a ESO, para el que no parece que estén todos los alumnos preparados, por lo que sería un aspecto a revisar. Como última conclusión y en referencia a la primera parte de este trabajo, destacar la importante labor de análisis que ha de realizar el profesor ante el contenido de los libros elegidos en su centro. Cuestiones abiertas La principal cuestión es cómo se puede conseguir que el alumno se haga responsable de sus tareas, y cómo se puede conseguir que realice un estudio continuo de la asignatura. Quizá una forma sea aumentando su motivación y esto puede conseguirse a través de ejemplos de situaciones reales. La segunda cuestión es cómo hacer que superen los errores que tienen de base, como son la operación numérica o las nociones algebraicas, para poder afrontar con éxito estas dos unidades. La tercera cuestión es la conveniencia o no de atomizar los contenidos matemáticos ya que la consecuencia de la atomización es que el alumno pierda la relación que existe entre las distintas áreas. La última cuestión es la adecuación del uso o no de proyecciones en clase a alumnos que están acostumbrados al uso de la pizarra tradicional o a la técnica del dictado, ya que durante la impartición de las clases observé que seguían mejor cuando escribía en la pizarra que cuando empleaba la presentación realizada en powerpoint. 96

97 Laura López Jiménez Referencias Enrique Juan Redal (2008) Matemáticas 3º ESO. Editorial Santillana. Proyecto Casa del Saber. Enrique Juan Redal (2008) Opción A y B Matemáticas 4º ESO. Editorial Santillana. Proyecto Casa del Saber. J.Colera, M.J. Oliveira, R García, E.Santaella. (2009). 1º y 2º Bachiller. Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales. Editorial Anaya. José María Arias Cabezas, Ildefonso Maza Sáez (2011). Matemáticas 1 Ciencias y Tecnología. Editorial Bruño. J.M. Arias, I. Maza, J. Mercadé (2003). Matemáticas 2 Ciencias de la naturaleza y de la salud-tecnología.editorial Axis. MacMaster University. (1994). Cálculo. James Stewart. Grupo Editorial Iberoamérica, S.A de C.V. MEC (2006). Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre. BOE 293, de 8 diciembre, MEC (2007a). Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre. BOE 5, de 5 enero, MEC (2007b). Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre. BOE 266, de 6 noviembre, Godino, J. D., Font, V., Wilhelmi, M. R. (2006). Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la resta. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 9 (Especial), Artigue, M. (1989). Ingénierie didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 9(3),

98

99 Laura López Jiménez Anexos A. Unidad didáctica del libro de texto. B. Material didáctico. Adicional C. Material didáctico. Repaso. D. Prueba corta. E. Índices de 4º ESO 99

100

101 Laura López Jiménez A. Unidad didáctica del libro de texto Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 101

102 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 102

103 Laura López Jiménez Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 103

104 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 104

105 Laura López Jiménez Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 105

106 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 106

107 Laura López Jiménez Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 107

108 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 108

109 Laura López Jiménez Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 109

110 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 110

111 Laura López Jiménez Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 111

112 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 112

113 Laura López Jiménez Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 113

114 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 114

115 Laura López Jiménez Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 115

116 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 116

117 Laura López Jiménez Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 117

118 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 118

119 Laura López Jiménez Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 119

120 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 120

121 Laura López Jiménez Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 121

122 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 10. Cálculo de las derivadas 122

123 Laura López Jiménez Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 123

124 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 124

125 Laura López Jiménez Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 125

126 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 126

127 Laura López Jiménez Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 127

128 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 128

129 Laura López Jiménez Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 129

130 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 130

131 Laura López Jiménez Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 131

132 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 132

133 Laura López Jiménez Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 133

134 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 134

135 Laura López Jiménez Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 135

136 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 136

137 Laura López Jiménez Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 137

138 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 138

139 Laura López Jiménez Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 139

140 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 140

141 Laura López Jiménez Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 141

142 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 142

143 Laura López Jiménez Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 143

144 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 144

145 Laura López Jiménez Unidad didáctica 11. Aplicación de las derivadas 145

146

147 Laura López Jiménez B. Material didáctico adicional 147

148 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) 148

149 149 Laura López Jiménez

150 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) 150

151 151 Laura López Jiménez

152 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) 152

153 153 Laura López Jiménez

154 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) 154

155 155 Laura López Jiménez

156 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) 156

157 Laura López Jiménez Cuestionario C. Material didáctico. Repaso #$$ ( 6$11 /6,11 / 0 5,6 14,3 157

158 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Cuestionario #$$ ( 6$11 24,3 158

159 Laura López Jiménez Cuestionario #$ $( 4 2$3 42,6 14,7 66,6 159

160 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Cuestionario en powerpoint 160

161 Laura López Jiménez Cuestionario en powerpoint 161

162 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Cuestionario en powerpoint 162

163 Laura López Jiménez Respuestas Respuesta A Respuesta B 163

164 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Respuestas 164

165 Laura López Jiménez Cuestionario en powerpoint 165

166 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Respuestas Respuesta A 166

167 Laura López Jiménez Cuestionario en powerpoint 167

168 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Respuestas Respuesta A Respuesta B 168

169 Laura López Jiménez Respuestas Respuesta A 169

170 Aplicación de las derivadas por estudiantes de 1º de bachiller (ciencias y tecnología) Respuestas Respuesta A Respuesta B 170

171 Laura López Jiménez Respuestas 171