Slide 2 / 128 Algebra I

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1 New Jersey enter for Teaching and Learning Slide 1 / 18 Iniciativa de la Matemática Progresiva Este material está disponible gratuitamente en y esta pensado para el uso no comercial de estudiantes y profesores. Este material no puede serutilizado para cualquier propósito comercial sin el consentimiento permiso de los propietarios. NJTL mantiene susitio web para la comodidad de los profesores que deseenhacer su trabajo a disponible para otros profesores, participar en un aprendizaje profesional virtuales comunidad, y / o facilitar el acceso al campo de materiales a los padres, estudiantes y otros. Haga lick para ir a la página Slide / 18 lgebra I Polnomios Parte Tabla de ontenidos efiniciones de Monomio, Polinomio y grados dición y sustracción de polinomios Multiplicación de Monomios ivisión de Monomios Multiplicación de un polinomio por un monomio Multiplicación de Polinomios Productos especiales de inomios (Productos Notables) Resolución de ecuaciones por factoreo Slide 3 / 18

2 Slide 4 / 18 efiniciones de Monomio, Polinomio y grados Volver Slide 5 / 18 Un monomioes una ex presión de un térm ino form ada por un núm ero, una variable,o el producto de núm eros y variables. Ejem plos de m onom ios... 81y z 1 7x 8 4x 4 3 rt 6,4 5 7 m n3 rrastra los siguientes térm inos a la caja seleccionadora correcta. Si seleccionás correctam ente, el térm ino será visible. Si seleccionás de m odo incorrecto, el térm ino desaparecerá. 5x + 7 a+ b -5 x y4 7 7 y) x ( x3y 5 t rs Monom ios x yz 15 4 (5 a b c ) Slide 6 / 18

3 Un polinomio es una expresión que contiene dos o más monomios. Slide 7 / 18 Ejemplos de polinomios a 7+ x 3+ 8x b + c + d 3 c+ 4 8a - b 3 d 3 a4b 4 c- m n rt El grado de los Monomios Slide 8 / 18 El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus variables. El grado de una constante distinta de cero como 5 o 1 es 0. La constante 0 no tiene grado. Ejemplos: 1) El grado de 3x es 1. La variable x tiene grado 1. ) El grado de -6x3y es 4. La x tiene un exponente de 3 y la y tiene una potencia de 1, así que el grado es 3+1=4. 3) El grado de 9 es 0. Una constnte tiene grado 0, porque no hay variable. Slide 9 / 18 1 uál es el grado de 0 1 3?

4 Slide 10 / 18 uál es el grado de 0 1 3? Slide 11 / 18 3 uál es el grado de 3? Slide 1 / 18 4 uál es el grado?

5 Slide 13 / 18 Grado de un polinomio El grado de un polinomio es el mismo que el del término con el grado más grande. Ejemplo: Encuentre el grado del polinomio 4x 3y - 6xy + xy. El monomio 4x3y tiene grado 5, El monomio 6xy tiene 3, y el monomio xy tiene grado. El grado mayor es 5, así que el grado del polinomio es 5. Encuentre el grado de cada polinomio Respuestas: 1) 0 1) 3 3 ) 3 ) 1c 3) ab 3) 4) 8s4 t 4) 5 5) - 7n 5) 1 6) h - 8t 6) 4 7) s3 + v y - 1 7) 4 4 Slide 14 / 18 Slide 15 / 18 5 uál es el grado del siguiente polinomio?

6 Slide 16 / 18 6 uál es el grado del siguiente polinomio? Slide 17 / uál es el grado del siguiente polinomio? uál es el grado del siguiente polinomio? Slide 18 / 18

7 Slide 19 / 18 Sumar y restar polinomios Volver Slide 0 / 18 Forma Estándar La forma estándar de una ecuación es poner los términos con los términos ordenados del grado mayor al grado menor. La forma estándar es el modo esperado comúnmente para escribir polinomios. Ejemplo: es en forma estándar. Poner en forma estándar la siguiente ecuación: Slide 1 / 18 Monomios con las mismas variables y las mismas potencias son términos semejantes. Términos Semejantes 4x y -1x x3y y 4x3y Términos no semejantes -3b y 3a 6ab y -ab

8 Slide / 18 ombine estos términos semejantes usando la operación indicada. Slide 3 / 18 9 Simplificar Slide 4 / Simplificar

9 Slide 5 / Simplificar Para sumar polinomios, combinar los términos semejantes de cada polinomio. Slide 6 / 18 Para sumar verticalmente, primero encolumnar los términos semejantes y luego sumar. Ejemplos: (3x +5x -1) + (5x -7x +3) (3x Encolumnar términos semajntes 3x + 5x - 1 (+) 5x - 7x + 3 8x - x x) + (7x 4 +5x -14x) Encolumnar términos Semejantes 4 3x -5x (+) 7x4 +5x - 14x 4 10x +5x - 19x Slide 7 / 18 Podemos sumar también horizontalmente (3x + 1x - 5) + (5x - 7x - 9) Usar las propiedades asociativas y conmutativas para agrupar términos semejantes. (3x + 5x) + (1x + -7x) + ( ) 8x + 5x - 14

10 Slide 8 / 18 1 Sumar Slide 9 / Sumar Slide 30 / Sumar

11 Slide 31 / Sumar Slide 3 / Sumar Slide 33 / 18 Para restar polinomios, resta los coeficientes de los términos semejantes. Ejemplo: -3x - 4x = -7x 13y - (-9y) = y 6xy - 13xy = -7xy

12 Se pueden restar polinomios vertical y horizontalmente. Slide 34 / 18 Para restar un polinomio cambie la resta agregando un -1. istribuya el -1 aplicando distributiva y luego siga las reglas para suamr polinomios. (3x +4x -5) - (5x -6x +3) (3x+4x-5) +(-1) (5x -6x+3) (3x+4x-5) + (-5x +6x-3) 3x + 4x - 5 (+) -5x - 6x + 3 -x +10x - 8 Se pueden restar polinomios vertical y horizontalmente. Slide 35 / 18 Para restar un polinomio cambie la resta agregando un -1. istribuya el -1 aplicando distributiva y luego siga las reglas para suamr polinomios. (4x3-3x -5) - (x 3 +4x -7) (4x3-3x -5) +(-1)(x 3 +4x -7) (4x3-3x -5) + (-x 3-4x +7) 4x 3-3x - 5 (+) -x3-4x +7 x 3-4x - 3x + Slide 36 / 18 También podemos restar polinomios horizontalmente. (3x + 1x - 5) - (5x - 7x - 9) ambia la resta en suma agregando un -1 y distribuyendo es -1. (3x + 1x - 5) +(-1)(5x - 7x - 9) (3x + 1x - 5) + (-5x + 7x + 9) Usa las propiedades conmutativa y asociativa para agrupar términos semejantes. (3x +-5x) + (1x +7x) + (-5 +9) -x + 19x + 4

13 Slide 37 / Substraer Slide 38 / Substraer Slide 39 / Substraer

14 Slide 40 / 18 0 Substraer Slide 41 / 18 1 Substraer Slide 4 / 18 uál es el perímetro de la siguiente figura (las respuestas están en unidades)

15 Slide 43 / 18 Multiplicción de Monomios Volver Recordar: un m onom io es una ex presión form ada núm por ero, un una variable o el producto de núm eros y variables.. Slide 44 / 18 hora que sabem os cóm o sum ar y restar polinom ios, necesitam aprenderos cóm o m ultiplicarlsos. om encem os con dos m onom ios. Escribe esta ex presión en form a ex pandida. (sin ex ponentes) (x esliza x x x )(x x x ) x7 Sim plifica. (x elevada una potencia) esliza Podrías ver la regla que se usa com o atajo para encontrar producto el de potencias? Slide 45 / 18 Multiplicando monomios sin coeficientes Regla: am an = am + n Ejemplos: x4 x7 = x = x 11 a3b5 ab6 = a 3+ b5+6 = a 5b11

16 Slide 46 / 18 Multiplicación de monomios con coeficientes. 6x3 7x4 reagrupar los coeficientes. y las variables multiplica los números (6 7) (x3 x4) 4x7 usa la regla para multiplicar los exponentes Slide 47 / 18 Multiplicación de Monomios -3x7y3 9x4y6 (-3 9) (x 7x4) (y3y6) -7x11y9 Slide 48 / 18 Producto de potencias l multiplicar monomios con bases iguales, suma los exponentes. Ejemplos 1) 3y eslizar ) eslizar 1 a8 b8 7

17 Slide 49 / 18 3 El producto de 4ab 6a 3 b es 10a 4 b3. True False Slide 50 / 18 4 Multiplica Slide 51 / 18 5 uál es el coeficiente de?

18 Slide 5 / 18 6 uál es el grado del producto? Slide 53 / 18 7 Slide 54 / 18 hora intenta esto l expandir la expresión, tenemos eslizar Podrías ver la regla que puede usarse como atajo para simplificar una potencia de una potencia?

19 Slide 55 / 18 Se aplica tu regla para el ejemplo anterior, a este ejemplo? Expandiendo la expresión queda ( )( )( eslizar )= Se puede refinar la regla para que pueda usarse como atajo para simplificar la potencia de un producto? Potencia de una potencia Slide 56 / 18 Regla: Ejemplos: eslizar 1) eslizar ) Slide 57 / 18 8 Simplifica

20 Slide 58 / 18 9 Simplifica Slide 59 / Simplifica Slide 60 / Simplifica

21 Slide 61 / 18 ivisión de Monomios Volver Slide 6 / 18 x7 x3 onsidera: Escribe en notación expandida. x x x x x x x x x x Simplifica x x x x x x x x x x = x Podrías dar una regla que sirva como atajo para dividir monomios con base semejante? Slide 63 / 18 ivisión de monomios de igual base Regla: Ejemplos:

22 Slide 64 / 18 x3 hora, considera 5 x esto: Escribe en notación expandida. Simplifica. x x x x x x x x x x x x x x x x = 1 x Si usáramos el atajo restando los exponentes, tendríamos: x3 = x3-5 = x- x5 omo es imposible tener dos resultados diferentes a este problema, concluimos que: Slide 65 / 18 Regla del exponente negativo Para todos los reales,. Ejemplos: Slide 66 / 18 hora, considera esto: Escribe en notación expandida. x x x x x x x x Simplifica x x x x x x x x = Si hiciéramos esto usando el atajo de restar los exponentes, tendríamos: x4 = x4-4 = x0 x4 omo es imposible tener dos respuestas distintas a este problema,.

23 Slide 67 / 18 Regla del exponente cero Para todos los reales distintos de cero,. Slide 68 / 18 Reglas ombina los términos semejantes. En la forma más sencilla de modo que no haya exponentes negativos. Ejemplos 1) k9 k3 k eslizar ) d5 d5 eslizar ) h1 0 h 6 1 Slidehto 7 check. 4) g8 g 5) p5 p1 8 6) 7 g eslizar 1 eslizar p1 3 Slide 1 to check. Slide 69 / 18

24 Slide 70 / 18 Intentemos ahora, unos problemas más: Ejemplos 1) j- 4k9 j- 7k- 0-3 ) b- 5cd b c3d- 1 eslizar j3k11 3) g- h- 4 gh7 b5 eslizar cd 4) (mnp8 ) m- 4n p5 1 eslizar g3 h1 1 m6p11 eslizar Slide 71 / 18 3 Simplifica Slide 7 / Simplifica

25 Slide 73 / Simplifica Slide 74 / Simplifica Slide 75 / Simplifica

26 Slide 76 / 18 Simplifica 37 Slide 77 / Simplifica Slide 78 / Simplifica

27 40 Simplifica 41 x4 y 4 z5 x0 y 4 z5 Simplifica Slide 79 / 18 x y- 3z0 x- yz 5 x4 y 3 z5 1 y 4 z5 Slide 80 / 18 x- y4 z x- 3z x 5 y4 z 0 xy 4 x - 5y4 z0 xy 4 z0 4 Simplifica x4 y4 z3 1 3 x y 4 z3 4 Slide 81 / x- y x yz y3 z x0 y3 z3

28 Slide 8 / 18 Multiplicación de un monomio por un polinomio Volver Slide 83 / 18 Hallar el área total de los rectángulos unidades cuadradas unidades cuadradas Slide 84 / 18 Para m ultiplicar un polinom io por un m onom io, se usa la propiedad distributiva junto con las leyes de los ex ponentes para la m ultiplicación. Ejemplos: Simplificar - x(5x - 6x + 8) - x(5x + - 6x + 8) (- x)(5x) + -( x)(- 6x ) +- x ( )(8) 3-10x + 1x x 3-10x + 1x - 16x

29 Slide 85 / 18 Para m ultiplicar un polinom io por un m onom io, selausa propiedad distributiva junto con las leyes de los ex ponentes para la m ultiplicación. Ejemplos: Simplificar - 3x(- x + 3x - 1) - 3x(- x + 3x + - 1) (- 3x)(- x) + -( 3x)(3x ) + -(3x)(- 1) 6x x + 36x 6x4-9x + 36x Slide 86 / 18 Intentém oslomultiplica para sim plificar x4 + 4x 3 eslizar 7x 0x - 4x eslizar 1x. 4x(5x - 6x - 3) x y(4x y - 5xy3 + 8x4y) 1x4y3-15x3y4 + 4xy5 Slide to check. Slide 87 / uál es el área del rectángulo mostrado? x + x + 4 x

30 Slide 88 / x + 8x - 1 6x + 8x - 1 6x + 8x - 1x 6x 3 + 8x - 1x Slide 89 / Slide 90 / 18 46

31 Slide 91 / Hallar el área de un triángulo (=1 / bh) con una base de 4x y una altura de x - 8. Todas las respuestas están en unidades cuadradas. Slide 9 / 18 Multiplicación de Polinomios Volver Encontrar el área total de los rectángulos Área del rectángulo grande Área de los rectángulos horizontales Área de cada caja sq.units Slide 93 / 18

32 Observemos el ejemplo del ejemplo anterior, Slide 94 / 18 sq.units e a, hemos cambiado el problema para tener un monomio por un polinomio, en vez de un polinomio por un polinomio. Use esto para resolver el siguiente ejemplo. Slide 95 / 18 Encuentre el área total de los rectángulos x 4 x 3 Para m ultiplicar un polinom io por otro polinom io, se m ultiplica térm inocada del prim er polinom io por cada térm ino del segundo. Luego se sum an los térm inos sem ejantes. Ejemplo 1 : (x + 4y)(3x + y) x(3x + y) + 4y(3x + y) x(3x) + x(y) + 4y(3x) + 4y(y) 6x + 4xy + 1xy + 8y 6x + 16xy + 8y Ejemplo : Slide 96 / 18

33 El Método PEIU puede utilizarse para recordar cómo multiplicar dos binomios. Para multiplicar dos binomios, encuentra la suma de Primero términos Externos, Términos Internos y Últimos Slide 97 / 18 Ejemplo: Primero Externos Internos Últimos Slide 98 / 18 Inténtalo! Encuentra cada producto 1) (x - 4)(x - 3) x eslizar - 7x + 1-3x - 8) ) (x + )(x x3eslizar + x - 14x - 16 Inténtalo! Encuentra cada producto 3) (x - 3y)(4x + 5y) 8x - x y - 15y - x + 4) 4) (x + 3x - 6)(x x4 +eslizar x3-8x + 4x - 4 eslizar Slide 99 / 18

34 Slide 100 / uál es el área total de los rectánglos mostrados? 4x 5 x 4 Slide 101 / Slide 10 / 18 50

35 Slide 103 / Slide 104 / 18 5 Slide 105 / Encuentra el área de un cuadrado con lados que miden:

36 Slide 106 / uál es el área del rectángulo (en unidades cuadradas)? Slide 107 / 18 ómo podríamos encontrar el área de la región sombreada? Área sombreada = Área Total - Área sin sombrear sq. units Slide 108 / uál es el área de la región sombreada(en unidades cuadradas? 11x + 3x - 8 7x + 3x - 9 7x - 3x x - 3x - 8

37 Slide 109 / uál es el área de la región sombreada(en unidades cuadradas? x - x - 8 x - 4x - 6 x - 10x - 8 x - 6x - 4 Slide 110 / 18 Productos binomiales especiales (Productos Notables) Volver Slide 111 / 18 El cuadrado de una sum a (a + b) (a + b)(a + b) a + ab + b El cuadrado de a+ b es el cuadrado de a m ás el doble del producto de a y be m ás el cuadrado de. b Ejem plo: (5x + 3) (5x + 3)(5x + 3) 5x + 30x + 9

38 Slide 11 / 18 uadrado de una diferencia (a - b) (a - b)(a - b) a - ab + b El cuadrado de a - b es el cuadrado de a m enos el doble del producto de a y b m ás el cuadrado de. b Ejem plo: (7x - 4) (7x - 4)(7x - 4) 49x - 56x + 16 Slide 113 / 18 Producto de una sum a y una diferencia (a + b)(a - b) a + - ab + ab + - bnote los- ab y ab a - b es igual 0. a El producto de a + b y a - b es cuadrado el de m a enos el cuadrado deb. Ejem plo: (3y - 8)(3y + 8) Recuerde que los térm inos interior 9y - 64y ex terior son igual a 0. Slide 114 / 18 Intenéntalo! Encontrar cada producto 1. (3p + 9) 9p + 54p + 81 eslizar. (6 - p) 36 -eslizar 1p + p 3. (x - 3)(x + 4x 3) - 9 eslizar

39 Slide 115 / x + 5 x + 10x + 5 x - 10x + 5 x - 5 Slide 116 / Slide 117 / uál es el área de un cuadrado cuyos lados miden x + 4?

40 Slide 118 / Slide 119 / 18 Resolución de ecuaciones Return to Table of ontents Slide 10 / 18 ada la siguiente ecuación, qué conlusión puede llegarse? ab = 0 om o el producto es 0, uno de los factores a, o b debe ser 0. Esto se conoce compropiedad o del elem ento neutro.

41 Slide 11 / 18 Propiedad del elemento nulo Regla: Si ab=0, entonces o a=0 o b=0 ada la siguiente ecuación qué conclusión se puede llegar? Slide 1 / 18 (x - 4)(x + 3) = 0 om o el producto es 0, uno de los factores debe ser 0. Por lo tanto, xo - 4 = 0o x + 3 =.0 x - 4 = 0 o x + 3 = x = 4 o x = - 3 conjunto solución es {- 3, 4}. Para verificar Por lo tanto, nuesro resultados, los sustituye cada solución en la ecuación original. Verificar x = - 3: (x - 4)(x + 3) = 0 Verificar x = 4: (x - 4)(x + 3) = 0 (4-4)(4 + 3) = 0 (0)(7) = 0 0= 0 (- 3-4)( ) = 0 (- 7)(0) = 0 0= 0 Qué pasaría si te dieran la siguiente ecuación? (x - 6)(x + 4) = 0 Por la propiedad del elem ento nulo: x - 6= 0 x = 6 x = -4 or x + 4= 0 Luego de resolver cada ecuación, llegam os a nuestra solución {- 4, 6} Slide 13 / 18

42 Slide 14 / Resuelve (a + 3)(a - 6) = 0. {3, 6} {-3, -6} {-3, 6} {3, -6} Slide 15 / 18 6 Resuelve (a - )(a - 4) = 0. {, 4} {-, -4} {-, 4} {, -4} Slide 16 / Resuelve (a - 8)(a + 1) = 0. {-1, -16} {-1, 16} {-1, 4} {-1, -4}

43 Términos lave Slide 17 / 18 efinición de Monomios, Polinomios y Grado Suma y resta de Polinomios Multiplicación de Monomios ivisión por monomios Multiplicación de un polinomio por un monomio Multiplicación de polinomios Productos binomiales especiales Resolución de ecuaciones por Factoreo Slide 18 / 18