CAPÍTULO 5 DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TASA INTERNA DE RETORNO A PARTIR DE LAS ESTIMACIONES FACILITADAS POR EL EXPERTO

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1 CAPÍTULO 5 DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TASA INTERNA DE RETORNO A PARTIR DE LAS ESTIMACIONES FACILITADAS POR EL EXPERTO FEDERICO PALACIOS GONZÁLEZ JOSÉ CALLEJÓN CÉSPEDES Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa. Universidad de Granada RESUMEN En este trabajo se estima la distribución de probabilidad de la Tasa Interna de Retorno, mediante métodos no paramétricos. Fijado un horizonte temporal, se puede disponer de una distribución de probabilidad para cada uno de los flujos de caja (o incluso de la aportación inicial) de una inversión, utilizando la distribución beta PERT o bien alguno de los modelos alternativos, a partir de las estimaciones pesimista, optimista y más probable que, de cada uno los mencionados flujos, proporcione un experto. Con la mencionada modelización, se simula una muestra aleatoria, de los valores de la tasa interna de retorno correspondiente. Esta muestra es el punto de partida para la estimación no paramétrica, mediante el núcleo gaussiano, de la distribución de la TIR. PALABRAS CLAVE: Tasa interna de retorno; distribución beta PERT; modelos alternativos al PERT; estimación no paramétrica.. INTRODUCCIÓN Como es suficientemente conocido (véase por ejemplo Suárez 993) que el Valor Actual Neto (VAN), conocidos la aportación inicial, el horizonte temporal

2 96 PALACIOS, F - CALLEJÓN J. y los flujos de caja y las tasas de descuento correspondientes a cada uno de los períodos, se obtiene mediante la expresión: donde VAN = A + Q + + r Q A representa el desembolso inicial, QT + L + () ( + r )( + r ) ( + r )( + r ) L( + r ) T la duración del proyecto, es decir el número de períodos a considerar,, Q, L Q T los flujos de caja en cada uno de los períodos y Q,, r, L r T las tasas de descuento correspondientes a cada uno de los períodos. r, Si en la expresión () se hace VAN = 0 y si, además, se considera la misma tasa de descuento, r, en cada uno de los T periodos, se obtiene T Q 0 = A + () t ( ) t r t= + Esta expresión () permite definir la Tasa Interna de Retorno (TIR) como la tasa r a la que se descuentan los flujos para que en un número de periodos T se recupere la inversión inicial Puesto que se va a utilizar la metodología PERT para modelizar los flujos de caja, será necesario disponer de los valores mínimo, más probable y máximo, correspondientes a cada uno de los flujos de caja que se consideren. Si la aportación inicial no está determinada, también es posible solicitarle al experto sus correspondientes valores mínimo, máximo y más probable. Una vez modelizados los distintos flujos de caja, se puede disponer, para cada uno de los periodos, de una muestra aleatoria simulada de los flujos de caja, así como de la aportación inicial, si es que esta no estuviera fijada de antemano. A partir de la ecuación (), y supuestos conocidos los valores de la aportación inicial, A, del horizonte temporal, T, y de cada uno de los flujos de caja, Q, Q, L, Q T, es posible, mediante métodos numéricos, obtener el correspondiente valor de la Tasa Interna de Retorno. T En el ANEXO se recogen las distintas distribuciones utilizadas en la modelización

3 DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TIR MUESTRA ALEATORIA SIMULADA DE LA TASA INTERNA DE RETORNO Supuesto que se haya fijado el número de periodos a considerar, T, para la obtención de una muestra aleatoria simulada de valores de la TIR se van a considerar las siguientes etapas ) En primer lugar se solicitan al experto los valores pesimista, optimista y más probable, tanto de la aportación inicial, A ( si es que ésta se desconoce ), como de cada uno de los flujos de caja, Qt ) Mediante la distribución oportuna (beta PERT, Triangular, Trapezoidal CPR 3 ) se modelizan tanto la aportación inicial como los distintos flujos de caja. Se tendrán así T + distribuciones de probabilidad correspondientes, la primera de ellas a la aportación inicial y, las T restantes, a los flujos de caja de cada uno de los periodos considerados Q, Q, L, QT. 3) Utilizando las distribuciones obtenidas en el apartado anterior, se simula, por el método de Montecarlo, un valor para cada variable. Se obtiene así un vector de dimensión T+ con los valores de A, Q, Q, L, QT simulados. 4) Se obtiene el correspondiente valor de r mediante métodos de aproximación numérica, a partir de la ecuación dada en (), T t= Q t t ( + r) = A puesto que se conoce el horizonte temporal, T (previamente se había fijado) y una vez que en el apartado 3) son conocidos los valores de A y del vector de flujos Q, Q, L, QT. De este modo se obtiene un valor simulado de la variable aleatoria TIR. 5) Reiterando las dos últimas etapas (3 y 4), tantas veces como sean necesarias, se genera una muestra de tamaño n. Es evidente que el tamaño muestral será tan alto como se precise; la búsqueda de valores simulados de la TIR sólo supone la oportuna simulación mediante el programa correspondiente que bien pudiera ser utilizando la hoja EXCEL. En los ejemplos desarrollados posteriormente se observa la importancia, en cuanto a nivel de información se refiere, que tiene el hecho de conocer A. 3 Para mayor información sobre esta distribución puede consultarse el anexo

4 98 PALACIOS, F - CALLEJÓN J. 3. ESTIMACIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD DE LA TASA INTERNA DE RETORNO Se dispone de una muestra aleatoria de tamaño n, (obtenida mediante simulación, según se indica en el epígrafe anterior), de la variable aleatoria TIR que permite obtener una estimación de la función de densidad de la variable TIR. En este estudio se proponen dos tipos de estimación: a) Mediante una distribución normal b) Mediante métodos no paramétricos. En este segundo caso, a partir de los valores muestrales, r, r, L, rn, se define la función de densidad de la variable aleatoria univariante TIR mediante la expresión (Härdle, 99), n x xi f ˆ h ( x) = K n h h (3) i= donde K es una función núcleo, normalmente una densidad simétrica y con valor esperado cero. Concretamente, en este trabajo se ha utilizado el núcleo gaussiano, es decir K(z) está definida como la función de densidad de la distribución normal tipificada K z ( z) = e y donde h representa un parámetro de suavizamiento (bandwith) que se obtiene, a partir de los datos, mediante π h S n 5 El valor esperado y la varianza del estimador considerado en (3)son: [ ˆ h f ( x) ] f ( x) + f ( x) µ ( K) + ( h ) E h = θ (4) [ ˆ f ( x) ] = K f ( x) + ( nh) ) Var h θ (5) nh siendo, (Silverman, 986),

5 DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TIR K + ( k( u) ) = du El estimador es asintóticamente insesgado y consistente ya que si h 0 y nh entonces [ fˆ ( x) ] f ( x) [ fˆ ( x) ] 0 Mediante simple integración se puede obtener donde n, lim E h = (6) lim Var h = (7) n x xi F ˆ h ( x) = KI n h (8) i= KI ( s) = s k( u) du (9) 4. APLICACIÓN En el siguiente ejemplo se ha supuesto una inversión que se mantiene durante diez periodos, de la que no se conoce con seguridad la inversión inicial. Al experto se les solicitan los valores mínimo, máximo y más probable de esta inversión, resultando ser , y euros respectivamente. A continuación se solicitan los valores optimistas, pesimistas y más probables para cada uno de los diez flujos de caja considerados. Los resultados se recogen en la tabla. Utilizando la hoja de cálculo EXCEL, se han modelizado tanto la aportación inicial como los flujos de caja para cada uno de los diez periodos mediante una distribución beta PERT que, para cada caso, corresponda. Tal como se indica en el epígrafe, se ha generado, para la variable aleatoria TIR, una muestra simulada de tamaño mil (el tamaño muestral se ha fijado de antemano, si bien

6 00 PALACIOS, F - CALLEJÓN J. puede establecerse, mediante una muestra inicial o previa, un tamaño muestral mínimo para que no se rebase una determinada cota de error de estimación ). Periodo Pesimista Más probable Optimista 0.000,00.500, , ,00.500, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00.400, , ,00.00,00 Tabla. Valores proporcionados por el experto sobre los flujos de caja Es posible simular tantas muestras como se deseen. En una simulación concreta se ha obtenido una media muestral igual a 0,357 con una desviación estándar igual a 0,04. A partir de los valores muestrales, se han obtenido dos estimaciones de la función de densidad de la variable aleatoria TIR correspondientes, la primera de ellas a la distribución normal y la segunda a la estimación no paramétrica. Sus representaciones gráficas se recogen en la figura. Las gráficas son similares: la densidad obtenida por métodos no paramétricos presenta una ligera asimetría a la derecha y tiene un apuntamiento un poco menor, por tanto, los valores en los que se aproximan al eje x son muy similares. A partir de la distribución normal estimada, ha resultado que, con probabilidad 0,95, la variable aleatoria TIR oscila entre 0,0530 y 0,84 cuando la modelización de los flujos de caja y de la aportación inicial se realizó mediante la distribución beta PERT. De nuevo, con los mismos datos proporcionados por el experto (tabla ), se realiza la modelización de la aportación inicial y de los diez flujos de caja, utilizando para ello la distribución trapezoidal CPR. Se genera ahora una segunda muestra, también de tamaño mil. En este caso la media muestral ha resultado ser 0,35 y la desviación estándar es 0,0456 (ligeramente mayor).

7 DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TIR , -0, 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 No paramétrica Normal Figura. Funciones de densidad correspondientes a una modelización de los flujos de caja y la aportación inicial mediante la distribución beta PERT , -0, 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 No paramétrica Normal Figura. Funciones de densidad correspondientes a una modelización de los flujos de caja y la aportación inicial mediante la distribución trapezoidal CPR.

8 0 PALACIOS, F - CALLEJÓN J. Las correspondientes gráficas de las funciones de densidad estimadas de las distribuciones normal y no paramétrica obtenidas a partir de esta segunda muestra se recogen en la figura. En esta figura también se observa una ligera asimetría a la derecha para la densidad estimad por métodos no paramétricos y un apuntamiento muy similar. Utilizando la distribución normal estimada, cuando la modelización de los flujos de caja y de la aportación inicial se realizó mediante la distribución trapezoidal CPR, con probabilidad 0,95, la variable aleatoria TIR ha resultado comprendida entre 0,043 y 0,9. Es decir, el intervalo que se obtiene utilizando la distribución trapezoidal CPR tiene una amplitud ligeramente mayor que el intervalo obtenido utilizando la distribución beta PERT. De forma empírica, se ha observado que esta situación se repite en una mayoría de las ocasiones, independientemente de la información facilitada por el experto 4. Si fijamos ahora la aportación inicial en euros 5, dejando las mimas cantidades para los valores pesimista, más probable y optimista de cada uno de los diez flujos de caja, y repetimos el mismo procedimiento: modelización de los flujos de caja utilizando una distribución beta PERT, simulación de una muestra de tamaño mil y estimación de las funciones de densidad normal y no paramétrica, se observa que la información que se recibe sobre la TIR es mucho más precisa. Sigue existiendo una ligera asimetría en la densidad no paramétrica y siguen siendo muy parecidas las gráficas correspondientes a la primera y a la segunda muestra (utilizando la distribución beta PERT y la distribución trapezoidal CPR, respectivamente). En la figura 3 se representan, en un mismo gráfico, las funciones de densidad en el caso en el que se considera la aportación inicial como una variable aleatoria (densidades menos puntadas) y en el caso en el que la aportación inicial es una cantidad fija (densidades con mayor apuntamiento). En ambas situaciones las modelizaciones oportunas se han realizado utilizando la distribución beta PERT. En la figura 4 se repite el esquema de la figura 3, pero las modelizaciones de los flujos de caja y, en su caso, de la aportación inicial se han realizado utilizando la distribución trapezoidal CPR. Las diferencias entre utilizar una distribución u otra, a la hora de las modelizaciones, son prácticamente inapreciables, si bien cuando se utiliza la distribución beta PERT el apuntamiento es ligeramente mayor. 4 En el anexo se pone de manifiesto que esta situación se hace más patente a medida que el valor más probable, proporcionado por el experto, se aproxima más a cualquiera de los dos extremos, bien al pesimista, bien al optimista. 5 Ahora se trata de una cantidad fija y no de una variable aleatoria

9 DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TIR ,05 0, 0,5 0, 0,5 No paramétrica Normal Figura 3. Las densidades más apuntadas corresponden al caso en que la aportación inicial es constante. Modelizaciones mediante la distribución beta PERT ,05 0, 0,5 0, 0,5 No paramétrica Normal Figura 4. Si la aportación inicial es conocida, entonces las densidades son más apuntadas. Modelizaciones mediante la distribución trapezoidal CPR.

10 04 PALACIOS, F - CALLEJÓN J. Cuando se conoce la aportación inicial el recorrido de la variable TIR es menor y, por tanto, la desviación estándar de la muestra es sensiblemente menor (las densidades presentan un mayor apuntamiento) y ello hace que los intervalos de oscilación, con 0,95 de probabilidad, de la variable TIR tengan un radio más pequeño. De las simulaciones que se han realizado se han obtenido los siguientes resultados: 0,7 el extremo inferior y 0,436 el extremo superior, cuando la estimación de los flujos de caja se realizó mediante la distribución beta PERT, y 0,88 y 0,44, respectivamente, cuando se utilizó la distribución trapezoidal CPR. En este caso, como era de esperar, también la amplitud del intervalo al utilizar la distribución trapezoidal CPR es ligeramente mayor que cuando se utiliza la distribución beta PERT. Para apreciar con mayor detalle las pequeñas diferencias que existen entre las densidades estimadas normal y no paramétrica se ha realizado un cambio de escala en los ejes de coordenadas. En la figuras 5 se representa las funciones de densidad estimadas cuando la aportación inicial es conocida y las modelizaciones se realizan mediante la distribución beta PERT. Son pocas las diferencias entre ambas funciones de densidad, si bien se sigue observando una ligera asimetría a la derecha cuando se modeliza mediante métodos no paramétricos , 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 No paramétrica Normal Figura 5. Funciones de densidad correspondientes a una modelización de los flujos de caja mediante la distribución beta PERT.

11 DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TIR En la figura 6, bajo el mismo supuesto (se conoce la aportación inicial) las modelizaciones se realizan mediante la distribución trapezoidal CPR. Tal como ya se ha comentado, cuando se utiliza la distribución trapezoidal en la modelización de los flujos de caja, las densidades que se obtienen tienen un apuntamiento menor , 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 No paramétrica Normal Figura 6. Funciones de densidad correspondientes a una modelización de los flujos de caja mediante la distribución trapezoidal CPR. Tanto cuando se conoce la aportación inicial, como cuando a ésta se le considera una variable aleatoria, es posible fijar de antemano la cota para el error de estimación y obtener, el tamaño muestral mínimo necesario para que no se rebase dicha cota. BIBLIOGRAFÍA CALLEJÓN, J.; PÉREZ, E. y RAMOS, A. (998). La distribución trapezoidal como modelo probabilístico para la metodología PERT. Actas de la X Reunión ASEPELT-ESPAÑA, publicadas en CD-ROM, fichero G..6. Universidad de Castilla-La Mancha

12 06 PALACIOS, F - CALLEJÓN J. CANAVOS G.C. (987). Probabilidad y Estadística Aplicaciones y Métodos. McGraw- Hill. DUMAS DE RAULY,D. (968). L estimation statistique. Gauthier-Villars. HÄRDLE W., (99): Smoothing Tecniques. Springer Verlag. New York. HERRERÍAS, R. (989). Modelos probabilísticos alternativos para el método PERT. Aplicación al Análisis de Inversiones. Estudios de Economía Aplicada, pp Secretariado de Publicaciones de la Universidad de Valladolid. HERRERÍAS, R. (995). Un nuevo uso de las tres estimaciones subjetivas del PERT. IX Reunión ASEPELT-España, Vol IV, pp 4-46 HERRERÍAS, R. Y CALVETE, H. (987). Una ley de probabilidad para el estudio de los flujos de caja de una inversión. Libro Homenaje al Profesor Gonzalo Arnaiz Vellando. INE, Madrid, pp HERRERÍAS, R. y MIGUEL, S. (989). Expresiones alternativas para la varianza de la distribución trapezoidal. Estudios de Economía Aplicada. Secretariado de Publicaciones de la Universidad de Valladolid, pp HERRERÍAS, R. y PÉREZ, E. (99). Estimación de una distribución beta como modelo para su utilización en el método PERT. Actas de la V Reunión de ASEPELT- España, pp Universidad de Las Palmas. PALACIOS, F. (998). Modelización de la opinión del experto, realizada en términos de valores optimista, pesimista y más verosímil. Propiedades del valor esperado y soluciones alternativas a las del PERT clásico. Actas de la I Reunión Científica de Programación, Selección y Control de Proyectos, pp Universidad de Almería. PALACIOS F, Y RAMOS A., (995). Análisis del mecanismo de compensación de errores en el PERT clásico: Una solución alternativa. IX Reunión ASEPELT- España vol. IV, pp MOITRA, S. D. (990). Skwness and the beta distribution. J. Opl. Res. Soc. Vol 4 nº 0 pp SASIENI, M. W. (986). A note on PERT Times. Management Sci. 3 pp SILVERMAN, B. W. (986). Density Estimation for Statistics and Data Analysis. Chapman and Hall. SUÁREZ, A.S. (993). Decisiones óptimas de inversión y financiación en la empresa. Ed. Pirámide Madrid

13 DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TIR ANEXO DISTRIBUCIONES UTILIZADAS EN LA MODELIZACIÓN DE LOS FLUJOS DE CAJA Y, EN SU CASO, LA APORTACIÓN INICIAL. Una forma bastante intuitiva y tradicional de recabar la información del experto consiste en pedirle tres valores: pesimista, a y optimista, b, que determinan el rango donde fluctuará la variable (flujo de caja) y m (a, b) considerado por dicho experto como el más verosímil (Palacios.998). Hay un infinito no numerable de distribuciones cuya masa de probabilidad se reparte, entera o casi entera, en el interior del intervalo (a, b) y cuya única moda es el valor m. Por tanto, estas tres cantidades proporcionadas por el experto dejan un altísimo grado de indeterminación sobre la distribución de probabilidades de las variables que miden el resultado de la inversión (Sasieni 986), (Moitra 990). 5. DISTRIBUCIÓN BETA PERT Es comúnmente aceptado que la familia tetraparamétrica de distribuciones beta (Suárez 993), tiene suficiente capacidad para modelizar la opinión del experto sobre la variable flujo de caja en términos de probabilidad. La familia de distribuciones beta tetraparamétrica, subyacente en la metodología del PERT clásico esta definida por la siguiente función de densidad dependiente de cuatro parámetros a, b, p>, q> f p- q- ( x; a, b, p, q) = (x - a ) (b - x ) si a < x < b (b - a ) p+q- β(p,q) (0) donde a y b son el valor pesimista y optimista del experto. Los parámetros p y q serán tales que la moda de la distribución coincida con el valor m, más verosímil, también proporcionado por el experto. Para ello han de verificar la siguiente relación lineal, Herrerías-Pérez (99), Palacios-Ramos (995) b m m c q = p + () m a m a siendo c el punto medio del intervalo (a, b)

14 08 PALACIOS, F - CALLEJÓN J. Sus principales características estocásticas son: Moda m = p - q - b+ a p+q - p+q - Media µ = p p+q b+ q p+q a Varianza = σ pq( b - a) ( p+ q+ )( p+ q) Utilizando como nuevo parámetro, K = p+ q - se obtienen los parámetros p y q de la distribución beta en función de K y de las tres estimaciones periciales: m - a p = + K y b - a b - m q = + K () b - a quedando entonces para la media la expresión: a + Km + b µ = K + El parámetro K, que juega el papel de peso o ponderación del valor estimado como más probable, puede representar la confiabilidad que se tenga en dicha estimación. Puede, por tanto, encontrase una infinidad no numerable de distribuciones Beta sobre el intervalo (a, b) y con moda m. La distribución beta PERT utilizada asigna a K el valor 4. Así la distribución beta queda determinada por las tres estimaciones facilitadas por el experto: a, b y m. En este caso (véase, por ejemplo, Herrerías 995): m - a p = + 4 ; b - a b - m q = + 4 b - a a+ 4m+ b µ = ; ( µ a)( b µ ) σ = 6 7

15 DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TIR DISTRIBUCIÓN TRAPEZOIDAL CPR El modelo trapezoidal surge como modelo híbrido de las distribuciones rectangular y triangular, Herrerías-Calvete (987) y Herrerías-Miguel (989), y necesita el conocimiento de los extremos del intervalo (valores optimista y pesimista) y además de un intervalo modal. Su función de densidad responde a la expresión: 0 b a + m f ( x) = b a + m b a + m 0 m m m x a m a b x b m si si si si si x a a x m m m x b x m x b (3) de cuya gráfica ha tomado el nombre: a m m b siendo m el valor mínimo para la moda y m el valor máximo para m. Puede observarse que si m a y, m b dicha distribución coincide con la distribución uniforme o rectangular, mientras que si m m m dicha distribución se convierte en la distribución triangular. El modelo probabilístico que en este trabajo se utiliza es la distribución trapezoidal CPR (Callejón, Pérez y Ramos 998) que viene definida por los extremos del intervalo, (valores pesimista y optimista), por el centro del

16 0 PALACIOS, F - CALLEJÓN J. intervalo, c, y el valor más probable, m. Es decir, a partir de la definición dada en (3), tomaremos m = m, m = c en la asimetría a la derecha (si m < c), a m c b o bien m = c, m = m en la asimetría a la izquierda (si m > c) a c m b Evidentemente, cuando la moda coincida con el centro del intervalo se tratará entonces de la distribución triangular. En los siguientes gráficos se comparan la media y la varianza de los modelos correspondientes a la distribución triangular, a la beta utilizada en el método PERT y a este modelo trapezoidal, propuesto. La comparación entre estos tres modelos se justifica porque, en cada uno de ellos, sólo se requieren las tres estimaciones periciales del experto a, m y b, quedando entonces totalmente especificada la distribución. En las siguientes gráficas, fijados a y b, que en este caso han sido cero y uno, se hace variar m entre dichos valores. En la primera de ellas se calcula la esperanza matemática, para cada uno de los tres modelos, en función de la moda. Se observa, como era de esperar, que las medias de los tres modelos coinciden cuando la moda es igual al centro del intervalo. En todo caso, la media proporcionada por esta distribución trapezoidal está más próxima al centro del intervalo que cualquiera de las otras dos. Este modelo proporciona una esperanza más "centrada". Como puede apreciarse, la varianza de la distribución trapezoidal CPR coincide con la varianza del modelo triangular, si bien la primera de ellas es ligeramente superior cuando la moda está próxima a los extremos del intervalo.

17 DISTRIBUCIÓN NO PARAMÉTRICA DE LA TIR... MEDIAS 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 PERT Triangular Trapezoidal CPR VARIANZAS 0,06 0,04 0, , 0,4 0,6 0,8 PERT Triangular Trapezoidal CPR

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